نظرية ليكسيل

الفكرة الرئيسية في برهان ليكسيل الهندسي الذي يعود إلى حوالي عام 1777 - والذي اعتمده أيضًا كل من يوجين كاتالان (1843)، وروبرت ألاردس (1883)، وجاك هادامارد (1901)، وأنطوان غوب (1922)، وهيروشي مايهارا (1999) - هي تقسيم المثلث${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$إلى ثلاثة مثلثات متساوية الساقين ذات رأس مشترك في مركز الدائرة المحيطة.${\displaystyle P}$ثم تتبع الزوايا للعثور على الزيادة الكروية${\displaystyle \varepsilon }$مثلث${\displaystyle \triangle ABC.}$في الشكل، النقاط${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$تقع على الجانب البعيد من الكرة بحيث يمكننا رؤية نقاطها المتقابلة بوضوح، بالإضافة إلى دائرة ليكسيل بأكملها.${\displaystyle l.}$^{[ 7 ]}

لنفترض أن زوايا قاعدة المثلثات متساوية الساقين${\displaystyle \triangle B^{*~\!\!}CP}$(مظلل باللون الأحمر في الشكل)،${\displaystyle \triangle CA^{*~\!\!}P}$(أزرق)، و${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}P}$(أرجواني) على التوالي${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \beta ,}$و${\displaystyle \delta .}$(في بعض الحالات)${\displaystyle P}$يقع في الخارج${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$ثم إحدى الكميات${\displaystyle \alpha ,\beta ,\delta }$ستكون سالبة.) يمكننا حساب الزوايا الداخلية لـ${\displaystyle \triangle ABC}$(برتقالي) من حيث هذه الزوايا:${\displaystyle \angle A=\pi -\beta -\delta }$( ملحق من${\displaystyle \angle A^{*~\!\!}}$) وبالمثل${\displaystyle \angle B=\pi -\alpha -\delta ,}$وأخيراً${\displaystyle \angle C=\alpha +\beta .}$

بحسب نظرية جيرارد، فإن الزيادة الكروية لـ${\displaystyle \triangle ABC}$يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\angle A+\angle B+\angle C-\pi \\[3mu]&=(\pi -\beta -\delta )+(\pi -\alpha -\delta )+(\alpha +\beta )-\pi \\[3mu]&=\pi -2\delta .\end{aligned}}}$

إذا كانت القاعدة${\displaystyle AB}$ثابت، لأي رأس ثالث${\displaystyle C}$تقع على نفس قوس دائرة ليكسيل، النقطة${\displaystyle P}$وبالتالي الكمية${\displaystyle \delta }$لن يتغير، وبالتالي فإن الفائض${\displaystyle \varepsilon }$ل${\displaystyle \triangle ABC,}$والذي يعتمد فقط على${\displaystyle \delta ,}$وسيكون ثابتًا بالمثل. والعكس صحيح: إذا${\displaystyle \varepsilon }$يظل ثابتًا عندما تكون النقطة${\displaystyle C}$إذا تغيرت، فيجب أن تتغير كذلك${\displaystyle \delta }$يكون، وبالتالي${\displaystyle P}$يجب إصلاحه، لذلك${\displaystyle C}$يجب أن يبقى ضمن دائرة ليكسيل.

كتب جاكوب شتاينر (1827) برهانًا بأسلوب مشابه لبرهان ليكسيل، مستخدمًا أيضًا نظرية جيرارد، ولكنه أظهر ثوابت الزاوية في المثلث.${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$عن طريق إنشاء شكل رباعي دائري داخل دائرة ليكسيل، باستخدام خاصية أن مجموع زوايا أي زوج من الزوايا المتقابلة في شكل رباعي دائري كروي متساوٍ. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

بدءاً من مثلث${\displaystyle \triangle ABC}$، يترك${\displaystyle l}$كن دائرة ليكسيل المحيطة${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C,}$ودع${\displaystyle D}$نقطة أخرى على${\displaystyle l}$منفصل عن${\displaystyle C}$بواسطة الدائرة العظمى${\displaystyle B^{*~\!\!}A^{*}\!.}$يترك${\displaystyle \alpha _{1}=\angle CA^{*~\!\!}B^{*}\!,}$${\displaystyle \beta _{1}=\angle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C,}$${\displaystyle \alpha _{2}=\angle B^{*~\!\!}A^{*~\!\!}D,}$${\displaystyle \beta _{2}=\angle DA^{*~\!\!}B^{*}\!.}$

لأن الشكل الرباعي${\displaystyle \square A^{*~\!\!}DB^{*~\!\!}C}$إذا كانت دائرية، فإن مجموع كل زوج من زواياها المتقابلة متساوٍ.${\displaystyle \angle C+\angle D={}\!}$${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\beta _{1}+\beta _{2},}$أو أعيد ترتيبها${\displaystyle \alpha _{1}+\beta _{1}-\angle C={}\!}$${\displaystyle \angle D-\alpha _{2}-\beta _{2}.}$

بحسب نظرية جيرارد، فإن الزيادة الكروية${\displaystyle \varepsilon }$ل${\displaystyle \triangle ABC}$يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\angle A+\angle B+\angle C-\pi \\[3mu]&=(\pi -\alpha _{1})+(\pi -\beta _{1})+\angle C-\pi \\[3mu]&=\pi -(\alpha _{1}+\beta _{1}-\angle C)\\[3mu]&=\pi -(\angle D-\alpha _{2}-\beta _{2}).\end{aligned}}}$

الكمية${\displaystyle \angle D-\alpha _{2}-\beta _{2}}$لا يعتمد ذلك على اختيار${\displaystyle C,}$لذا فهو ثابت عندما${\displaystyle C}$يتم نقلها إلى نقطة أخرى على نفس القوس${\displaystyle l.}$لذلك${\displaystyle \varepsilon }$وهو ثابت أيضاً.

على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle C}$لقد تغير ولكن${\displaystyle \varepsilon }$إذا كان ثابتًا، فإن الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي${\displaystyle \square A^{*~\!\!}DB^{*~\!\!}C}$سيكون لها نفس المجموع، مما يعني${\displaystyle C}$يقع على الدائرة الصغيرة${\displaystyle A^{*~\!\!}DB^{*}\!.}$

أثبت أويلر في عام 1778 نظرية ليكسيل بطريقة مماثلة لإثبات إقليدس للعناصر 1.35 و1.37 ، كما فعل فيكتور أميدي لوبيغ بشكل مستقل في عام 1855، باستخدام متوازيات الأضلاع الكروية - وهي أشكال رباعية كروية ذات أضلاع متقابلة متطابقة، ولها دوائر صغيرة متوازية تمر عبر أزواج متقابلة من الرؤوس المتجاورة، وهي تشبه متوازيات الأضلاع الإقليدية في نواحٍ عديدة . ومع ذلك، ثمة تعقيد واحد مقارنةً بإثبات إقليدس: أضلاع متوازي الأضلاع الكروي الأربعة هي أقواس الدائرة العظمى التي تمر بالرؤوس وليست الدوائر الصغيرة المتوازية. لا يحتاج إثبات إقليدس إلى تفسير المناطق الصغيرة العدسية الشكل المحصورة بين الدائرة العظمى والصغرى، والتي تختفي في الحالة المستوية. ^{[ 10 ]}

معضلة مماثلة للعناصر I.35: متوازيان كرويان على نفس القاعدة وبين نفس الخطوط المتوازية لهما نفس المساحة .

البرهان : ليكن${\displaystyle \square ABC_{1}D_{1}}$و${\displaystyle \square ABC_{2}D_{2}}$تكون متوازيات أضلاع كروية مع الدائرة العظمى${\displaystyle m}$(دائرة المنتصف) التي تمر بمنتصفات الأضلاع${\displaystyle BC_{1}}$و${\displaystyle AD_{1}}$متطابقة مع دائرة نقطة المنتصف المقابلة في${\displaystyle \square ABC_{2}D_{2}.}$يترك${\displaystyle F}$لتكن نقطة التقاطع بين الجانبين${\displaystyle AD_{2}}$و${\displaystyle BC_{1}.}$لأن دائرة المنتصف${\displaystyle m}$يتم تقاسم الجانبين العلويين${\displaystyle C_{1}D_{1}}$و${\displaystyle C_{2}D_{2}}$تقع على نفس الدائرة الصغيرة${\displaystyle l}$بالتوازي مع${\displaystyle m}$ومقابل لدائرة صغيرة${\displaystyle l^{*~\!\!}}$المرور عبر${\displaystyle A}$و${\displaystyle B.}$

قوسان من${\displaystyle l}$متطابقة،${\displaystyle D_{1}D_{2}\cong C_{1}C_{2},}$وبالتالي المثلثان المنحنيان${\displaystyle \triangle BC_{1}C_{2}}$و${\displaystyle \triangle AD_{1}D_{2},}$كل منها محاط بـ${\displaystyle l}$تكون الأشكال المتطابقة في الأعلى متطابقة. ويتكون كل متوازي أضلاع من أحد هذه المثلثات المنحنية المضافة إلى المثلث.${\displaystyle \triangle ABF}$وإلى إحدى المناطق المتطابقة على شكل عدسة بين كل جانب علوي و${\displaystyle l,}$مع المثلث المنحني${\displaystyle \triangle D_{2}C_{1}F}$يُقطع. لذلك، فإن متوازيات الأضلاع لها نفس المساحة. (كما هو الحال في كتاب العناصر ، تم حذف الحالة التي لا تتقاطع فيها متوازيات الأضلاع على الجوانب، ولكن يمكن إثباتها بحجة مماثلة.)

برهان نظرية ليكسيل : معطى مثلثان كرويان${\displaystyle \triangle ABC_{1}}$و${\displaystyle \triangle ABC_{2}}$كل منها يقع رأسه على نفس الدائرة الصغيرة${\displaystyle l}$عبر النقاط${\displaystyle A^{*~\!\!}}$و${\displaystyle B^{*}\!,}$إنشاء قطاعات جديدة${\displaystyle C_{1}D_{1}}$و${\displaystyle C_{2}D_{2}}$متطابق مع${\displaystyle AB}$ مع رؤوس${\displaystyle D_{1}}$و${\displaystyle D_{2}}$على${\displaystyle l.}$الشكلان الرباعيان${\displaystyle \square ABC_{1}D_{1}}$و${\displaystyle \square ABC_{2}D_{2}}$هي متوازيات أضلاع كروية، يتكون كل منها من لصق المثلث الأصلي ونسخة مطابقة له. وبحسب اللمة، فإن لمتوازيي الأضلاع نفس المساحة، لذا يجب أن يكون للمثلثين الأصليين نفس المساحة أيضًا.

برهان العكس : إذا كان لمثلثين كرويين نفس المساحة، وبافتراض أن رأس المثلث الثاني لا يقع على دائرة ليكسيل للمثلث الأول، فإن الخط المار بأحد أضلاع المثلث الثاني يمكن أن يتقاطع مع دائرة ليكسيل لتكوين مثلث جديد مساحته مختلفة عن مساحة المثلث الثاني، لكنها تساوي مساحة المثلث الأول، وهذا تناقض. هذه الحجة هي نفسها الواردة في كتاب الأصول ١.٣٩.

ثمة برهان آخر باستخدام دائرة المنتصف، وهو أكثر وضوحًا بصريًا في صورة واحدة، ويعود الفضل فيه إلى كارل فريدريش جاوس (1841)، الذي أنشأ شكل ساكيري الرباعي (شكل رباعي فيه زاويتان قائمتان متجاورتان وزاويتان متساويتان أخريان) المتكون بين ضلع المثلث وإسقاطه العمودي على دائرة المنتصف.${\displaystyle m,}$^{[ 11 ]} والتي لها نفس مساحة المثلث. ^{[ 12 ]}

يترك${\displaystyle m}$كن الدائرة العظمى التي تمر بمنتصف النقاط${\displaystyle M_{1}}$ل${\displaystyle AC}$و${\displaystyle M_{2}}$ل${\displaystyle BC,}$ودع${\displaystyle A',}$${\displaystyle B',}$و${\displaystyle C'}$لتكن الإسقاطات العمودية لرؤوس المثلث على${\displaystyle m.}$ الزوج الناتج من المثلثات القائمة${\displaystyle \triangle AA'M_{1}}$و${\displaystyle \triangle CC'M_{1}}$(المظللة باللون الأحمر) لها زوايا متساوية عند${\displaystyle M_{1}}$( الزوايا المتقابلة بالرأس ) والوتران متساويان ، لذا فهما متطابقان ؛ وكذلك المثلثان.${\displaystyle \triangle BB'M_{2}}$و${\displaystyle \triangle CC'M_{2}}$(أزرق). لذلك، مساحة المثلث${\displaystyle \triangle ABC}$تساوي مساحة الشكل الرباعي ساكيري${\displaystyle \square ABB'A',}$حيث يتكون كل منها من مثلث أحمر واحد، ومثلث أزرق واحد، وشكل رباعي أخضر${\displaystyle \square ABM_{2}M_{1}}$ملتصقة ببعضها. (إذا)${\displaystyle C'}$يقع خارج القوس${\displaystyle A'B',}$عندها ستكون مساحة المثلث الأحمر أو الأزرق سالبة الإشارة . لأن الدائرة العظمى${\displaystyle m,}$وبالتالي الشكل الرباعي${\displaystyle \square ABB'A',}$وينطبق الأمر نفسه على أي اختيار من${\displaystyle C}$مستلقيًا على دائرة ليكسيل${\displaystyle l,}$مساحة المثلث المقابل${\displaystyle \triangle ABC}$ثابت.

يُسقط الإسقاط المجسم الكرة على المستوى. تُسقط دائرة عظمى مُحددة على الدائرة الأصلية في المستوى، ويُسقط قطباها على نقطة الأصل (مركز الدائرة الأصلية) ونقطة اللانهاية ، على التوالي. تُسقط كل دائرة على الكرة على دائرة أو خط مستقيم في المستوى، حيث تُمثل الخطوط المستقيمة الدوائر المارة بالقطب الثاني. الإسقاط المجسم متطابق ، أي أنه يحافظ على الزوايا.

لإثبات العلاقات حول مثلث كروي عام${\displaystyle \triangle ABC,}$دون فقدان للعمومية، رأس${\displaystyle A}$يمكن اعتبارها النقطة التي تُسقط إلى نقطة الأصل. تُسقط أضلاع المثلث الكروي بعد ذلك إلى قطعتين مستقيمتين وقوس دائري. إذا تقاطعت الخطوط المماسية للضلع الدائري عند الرأسين الآخرين عند النقطة${\displaystyle E,}$شكل رباعي الأضلاع مستقيم ومستوي${\displaystyle \square ABEC}$يمكن تشكيل زاوية خارجية عند${\displaystyle E}$هو الفائض الكروي${\displaystyle \varepsilon =\angle A+\angle B+\angle C-\pi }$من المثلث الكروي. ويُطلق على هذا أحيانًا اسم طريقة سيزارو في حساب المثلثات الكروية، نسبةً إلى عالم البلورات جوزيبي سيزارو الذي نشرها في ورقتين بحثيتين عام 1905. ^{[ 13 ]}

استخدم بول سيريت (في عام 1855، أي قبل نصف قرن من سيزارو)، وألكسندر سيمونيتش (2019) بشكل مستقل، طريقة سيزارو لإثبات نظرية ليكسيل.${\displaystyle O}$ليكن المركز في مستوى القوس الدائري الذي يقع على أي جانب${\displaystyle BC}$المشاريع. ثم الشكل الرباعي المستوي${\displaystyle \square OBEC}$هي طائرة ورقية قائمة ، لذا فإن الزاوية المركزية${\displaystyle \angle BOC}$يساوي الزاوية الخارجية عند${\displaystyle E,}$الزيادة الكروية للمثلث${\displaystyle \varepsilon .}$الزاوية المستوية${\displaystyle \angle BB^{*~\!\!}C}$هي زاوية محيطية تقابل نفس القوس، لذا وفقًا لنظرية الزاوية المحيطية، فإن قياسها${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varepsilon .}$تُحفظ هذه العلاقة لأي اختيار من${\displaystyle C}$لذلك ، فإن الزيادة الكروية للمثلث تكون ثابتة كلما${\displaystyle C}$لا يزال في دائرة ليكسيل${\displaystyle l,}$والذي يمتد إلى خط يمر عبر${\displaystyle B^{*~\!\!}}$في المستوى. (إذا كانت مساحة المثلث أكبر من نصف كرة، فيمكن تقديم حجة مماثلة، ولكن النقطة${\displaystyle E}$لم يعد داخل الزاوية${\displaystyle \angle BOC.}$) ^{[ 14 ]}

لكل مثلث كروي مثلث ثنائي ، وهو مثلثه القطبي ؛ إذا كان المثلث${\displaystyle \triangle A'B'C'}$(المظلل باللون الأرجواني) هو المثلث القطبي لـ${\displaystyle \triangle ABC}$(مظلل باللون البرتقالي) ثم الرؤوس${\displaystyle A'\!,B'\!,C'}$هي أقطاب الجوانب المعنية${\displaystyle BC,CA,AB,}$والعكس صحيح، الرؤوس${\displaystyle A,B,C}$هي أقطاب الجوانب ${\displaystyle B'C'\!,C'A'\!,A'B'\!.}$تقوم الازدواجية القطبية بتبديل الأضلاع ( الزوايا المركزية ) والزوايا الخارجية (الزوايا ثنائية السطوح) بين المثلثين.

لأن كل ضلع من أضلاع المثلث المزدوج هو مكمل لزاوية داخلية من زوايا المثلث الأصلي، فإن الزيادة الكروية${\displaystyle \varepsilon }$ل${\displaystyle \triangle ABC}$هي دالة للمحيط${\displaystyle p'}$من المثلث المزدوج${\displaystyle \triangle A'B'C'}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\angle A+\angle B+\angle C-\pi \\[3mu]&={\bigl (}\pi -|B'C'|{\bigr )}+{\bigl (}\pi -|C'A'|{\bigr )}+{\bigl (}\pi -|A'B'|{\bigr )}-\pi \\[3mu]&=2\pi -p',\end{aligned}}}$

حيث الترميز${\displaystyle |PQ|}$يعني الطول الزاوي لقوس الدائرة العظمى${\displaystyle PQ.}$

في عام 1854، استخدم جوزيف إميل باربييه - وبشكل مستقل لازلو فيجيس توث (1953) - المثلث القطبي في برهانه على نظرية ليكسيل، وهو في الأساس ثنائي للبرهان باستخدام المثلثات متساوية الساقين أعلاه ، مشيرًا إلى أنه في ظل الازدواجية القطبية، فإن دائرة ليكسيل${\displaystyle l}$تحديد النطاق${\displaystyle \triangle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$يتحول إلى دائرة خارجية${\displaystyle l'}$ل${\displaystyle \triangle A'B'C'}$( الدائرة الداخلية لمثلث عمودي ) مماس خارجي للضلع${\displaystyle A'B'.}$^{[ 15 ]}

إذا كان الرأس${\displaystyle C}$يتم نقله${\displaystyle l,}$الجانب${\displaystyle A'B'}$تتغير لكنها تبقى دائماً مماسة لنفس الدائرة${\displaystyle l'.}$لأن الأقواس من كل رأس إلى أي من نقاط التماس المجاورة للدائرة الداخلية أو الخارجية متطابقة،${\displaystyle A'T_{B}\cong A'T_{C}}$(الأجزاء الزرقاء) و${\displaystyle B'T_{A}\cong B'T_{C}}$(الأجزاء الحمراء)، المحيط${\displaystyle p'}$يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}p'&=|A'B'|+|B'C'|+|C'A'|\\[3mu]&={\bigl (}|A'T_{C}|+|B'T_{C}|{\bigr )}+|C'B'|+|C'A'|\\[3mu]&={\bigl (}|C'A'|+|A'T_{B}|{\bigr )}+{\bigl (}|C'B'|+|B'T_{A}|{\bigr )}\\[3mu]&=|C'T_{B}|+|C'T_{A}|,\end{aligned}}}$

وهو ما يظل ثابتًا، ويعتمد فقط على الدائرة${\displaystyle l'}$لكن ليس على الجانب المتغير${\displaystyle A'B'.}$وعلى العكس من ذلك، إذا كانت النقطة${\displaystyle C}$يتحرك بعيدًا عن${\displaystyle l,}$الدائرة الخارجية المرتبطة بها${\displaystyle l'}$سيتغير حجمها، مما يؤدي إلى تحريك النقاط${\displaystyle T_{A}}$و${\displaystyle T_{B}}$كلاهما باتجاه أو كلاهما بعيدًا عن${\displaystyle C'^{*~\!\!}}$وتغيير المحيط${\displaystyle p'}$ل${\displaystyle \triangle A'B'C'\!}$وبالتالي التغيير${\displaystyle \varepsilon .}$

موضع النقاط${\displaystyle C}$والتي${\displaystyle \varepsilon }$ثابت، وبالتالي${\displaystyle l.}$

أدرج كلٌّ من ليكسيل ( حوالي 1777 ) وأويلر (1778) براهين مثلثية في أبحاثهما، وقدّم العديد من علماء الرياضيات اللاحقين براهين مثلثية، من بينهم أدريان ماري ليجندر (1800)، ولويس بويسان (1842)، وإغناس لويس ألفريد لو كوينت (1858)، وجوزيف ألفريد سيريه (1862). تبدأ هذه البراهين من علاقات مثلثية معروفة، مثل قانون جيب التمام الكروي أو صيغة الفائض الكروي، ثمّ تستكمل بالمعالجة الجبرية للمتطابقات المثلثية . ^{[ 16 ]}

بصفته القمة${\displaystyle C}$يقترب من أي من النقطتين المقابلتين لرؤوس القاعدة - على سبيل المثال${\displaystyle B^{*~\!\!}}$- على طول دائرة ليكسيل${\displaystyle l,}$في النهاية ، يتحول المثلث إلى هلال مماس لـ${\displaystyle l}$في${\displaystyle B^{*~\!\!}}$ومماس للدائرة الصغيرة المقابلة ${\displaystyle l^{*~\!\!}}$في${\displaystyle B,}$وبنفس الفائض${\displaystyle \varepsilon }$مثل أي من المثلثات التي تقع رؤوسها على نفس القوس${\displaystyle l.}$باعتباره مثلثًا منحطًا، فإنه يحتوي على زاوية مستقيمة عند${\displaystyle A}$(أي${\displaystyle \angle A=\pi ,}$نصف دورة) وزوايا متساوية${\displaystyle B=B^{*~\!\!}={\tfrac {1}{2}}\varepsilon .}$^{[ 18 ]}

مثل${\displaystyle C}$الأساليب${\displaystyle B^{*~\!\!}}$من الاتجاه المعاكس (على طول القوس الآخر لدائرة ليكسيل)، في النهاية يتحول المثلث إلى الهلال المتساوي نصف الكروي المماس لدائرة ليكسيل عند${\displaystyle B^{*~\!\!}}$مع الاتجاه والزوايا المعاكسة${\displaystyle \angle B=\angle B^{\star }=\pi -{\tfrac {1}{2}}\varepsilon .}$

مساحة المثلث الكروي تساوي نصف مساحة نصف الكرة الأرضية (الزائدة)${\displaystyle \varepsilon =\pi }$) إذا وفقط إذا كانت دائرة ليكسيل${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$متعامد مع الدائرة العظمى${\displaystyle AB,}$هذا إذا كان القوس${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}}$قطر الدائرة${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$والقوس${\displaystyle AB}$قطره${\displaystyle ABC^{*}\!.}$

في هذه الحالة، السماح${\displaystyle D}$لتكون النقطة المقابلة قطريًا لـ${\displaystyle C}$في دائرة ليكسيل${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$ثم المثلثات الأربعة${\displaystyle \triangle ABC,}$${\displaystyle \triangle BAD,}$${\displaystyle \triangle CDA,}$و${\displaystyle \triangle DCB}$متطابقة، وتشكل معًا سطحًا كرويًا ثنائي الوتدي${\displaystyle ABCD}$(الإسقاط المركزي لسطح ثنائي الوتد على كرة متحدة المركز). النقاط الثماني${\displaystyle AA^{*~\!\!}BB^{*~\!\!}CC^{*~\!\!}DD^{*~\!\!}}$هي رؤوس متوازي مستطيلات . ^{[ 19 ]}

متوازي الأضلاع الكروي هو شكل رباعي كروي${\displaystyle \square ABCD}$الأضلاع المتقابلة والزوايا المتقابلة متطابقة (${\displaystyle AB\cong CD,}$${\displaystyle BC\cong DA,}$${\displaystyle \angle A=\angle C,}$${\displaystyle \angle B=\angle D}$وهو يشبه في نواحٍ عديدة متوازي الأضلاع المستوي . القطران${\displaystyle AC}$و${\displaystyle BD}$يقسم كل منهما الآخر، ويتمتع الشكل بتناظر دوراني ثنائي حول نقطة التقاطع (لذا يقسم كل قطر من القطرين متوازي الأضلاع إلى مثلثين كرويين متطابقين).${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle CDA}$و${\displaystyle \triangle ABD\cong \triangle CDB}$إذا كانت نقاط منتصف أي زوج من الأضلاع المتقابلة متصلة بدائرة عظمى${\displaystyle m}$تقع الرؤوس الأربعة على دائرتين صغيرتين متوازيتين متساويتي البعد عنها. وبشكل أكثر تحديدًا، أي رأس (على سبيل المثال)${\displaystyle D}$تقع نقطة تقاطع متوازي الأضلاع الكروي عند تقاطع دائرتي ليكسيل (${\displaystyle l_{cd}}$و${\displaystyle l_{da}}$) يمر عبر أحد الرؤوس المجاورة والنقاط المقابلة للرأسين الآخرين.

كما هو الحال مع المثلثات الكروية، فإن متوازيات الأضلاع الكروية التي لها نفس القاعدة ورؤوسها الواقعة على نفس دائرة ليكسيل لها نفس المساحة؛ انظر §  متوازيات الأضلاع الكروية أعلاه. انطلاقًا من أي مثلث كروي، يمكن تكوين مثلث مطابق له عن طريق انعكاس نقطي (كروي) حول منتصف أي ضلع. عند دمج هذين المثلثين، يتشكل متوازي أضلاع كروي مساحته ضعف مساحة المثلث الأصلي. ^{[ 20 ]}

تنص المعادلة القطبية الثنائية لنظرية ليكسيل، والتي تسمى أحيانًا نظرية سورلين نسبةً إلى أن جيه سورلين الذي أثبتها لأول مرة حسابيًا في عام 1825، على أنه بالنسبة لشكل ثلاثي كروي${\displaystyle \triangle abc}$مع جوانب على دوائر عظمى ثابتة${\displaystyle a,b}$(وبذلك يتم تحديد الزاوية بينهما) ومحيط ثابت${\displaystyle p=|a|+|b|+|c|}$(أين${\displaystyle |a|}$يعني طول ضلع المثلث${\displaystyle a}$) غلاف الجانب الثالث${\displaystyle c}$هي دائرة صغيرة مماسة من الداخل لـ${\displaystyle a,b}$ومماس خارجي لـ${\displaystyle c,}$الدائرة الخارجية إلى شكل ثلاثي${\displaystyle \triangle abc.}$كتب جوزيف إميل باربييه لاحقًا برهانًا هندسيًا (1864) استخدمه لإثبات نظرية ليكسيل، عن طريق الازدواجية؛ انظر §  محيط المثلث القطبي أعلاه. ^{[ 21 ]}

ينطبق هذا أيضًا في الهندسة الإقليدية والزائدية : يمكن نقل حجة باربييه الهندسية مباشرة إلى المستوى الإقليدي أو الزائدي.

مواقع ليكسيل لأي قاعدة${\displaystyle AB}$قم بعمل توريق للكرة (تقسيمها إلى أوراق أحادية البعد )، مع وجود نقطتين شاذتين عند النقاط${\displaystyle A^{*~\!\!}}$و${\displaystyle B^{*~\!\!}}$هذه المواضع عبارة عن أقواس من دوائر صغيرة تنتهي عند${\displaystyle A^{*~\!\!}}$و${\displaystyle B^{*}\!,}$التي تقع عليها أي نقطة وسيطة${\displaystyle C}$رأس المثلث${\displaystyle ABC}$مساحة محددة بإشارة ثابتة. هذه المساحة تساوي ضعف الزاوية المحددة بين دائرة ليكسيل والدائرة العظمى${\displaystyle ABA^{*~\!\!}B^{*~\!\!}}$عند أي من النقطتين${\displaystyle A^{*~\!\!}}$أو${\displaystyle B^{*~\!\!}}$انظر §  انحلال القمر أعلاه. في الشكل، دوائر ليكسيل باللون الأخضر، باستثناء تلك التي تكون مساحة مثلثاتها من مضاعفات نصف الكرة الأرضية، والتي تظهر باللون الأسود، مع تسمية المساحة؛ انظر § مساحة  نصف الكرة الأرضية أعلاه. ^{[ 22 ]}

هذه الدوائر من ليكسيل${\displaystyle A^{*~\!\!}}$و${\displaystyle B^{*~\!\!}}$هي النظير الكروي لعائلة دوائر أبولو التي تمر بنقطتين في المستوى.

في عام 1784، طرح نيكولاس فوس مسألة إيجاد المثلث وقام بحلها${\displaystyle \triangle ABC}$مساحة قصوى على قاعدة معينة${\displaystyle AB}$بقمته${\displaystyle C}$على دائرة عظمى معينة${\displaystyle g.}$استخدم فوس حجة تتضمن تغيرًا متناهيًا في الصغر لـ${\displaystyle C,}$لكن الحل هو أيضًا نتيجة مباشرة لنظرية ليكسيل: دائرة ليكسيل${\displaystyle A^{*~\!\!}B^{*~\!\!}C}$يجب أن يكون الخط المار عبر القمة مماسًا لـ${\displaystyle g}$في${\displaystyle C.}$

لو${\displaystyle g}$يعبر الدائرة العظمى من خلال${\displaystyle AB}$في نقطة${\displaystyle P}$ثم، وفقًا للنظير الكروي لنظرية المماس والقاطع ، المسافة الزاوية${\displaystyle PC}$الوصول إلى نقطة التماس المطلوبة يرضي

${\displaystyle \tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}|PC|=\tan {\tfrac {1}{2}}|PA^{*}|\,\tan {\tfrac {1}{2}}|PB^{*}|,}$

ومنها يمكننا بناء النقطة بشكل صريح${\displaystyle C}$على${\displaystyle g}$بحيث${\displaystyle \triangle ABC}$له أكبر مساحة. ^{[ 23 ]}

في عام ١٧٨٦، طرح تيودور فون شوبرت مسألة إيجاد المثلثات الكروية ذات المساحة القصوى والدنيا لقاعدة معينة و"ارتفاع" محدد (طول العمود المسقط من رأس المثلث على الدائرة العظمى التي تحتوي على القاعدة)، ثم حلّها. المثلثات الكروية ذات الارتفاع الثابت يكون رأسها على دائرة صغيرة مشتركة ("دائرة الارتفاع") موازية للدائرة العظمى التي تحتوي على القاعدة. حلّ شوبرت هذه المسألة باستخدام منهج حسابي مثلثي، مُبيّنًا أن المثلث ذي المساحة الدنيا يقع رأسه عند أقرب نقطة تقاطع بين دائرة الارتفاع والمنصف العمودي للقاعدة، بينما يقع رأس المثلث ذي المساحة القصوى عند أبعد نقطة تقاطع. مع ذلك، تُعدّ هذه النظرية أيضًا نتيجة مباشرة لنظرية ليكسيل: دوائر ليكسيل المارة بالنقاط المقابلة لرؤوس القاعدة، والتي تُمثّل أصغر وأكبر مساحات المثلثات، هي تلك المماسية لدائرة الارتفاع. في عام 2019، قام فينسنت ألبرج وإيلينا فرينكل بحل المشكلة المماثلة في المستوى الزائدي . ^{[ 24 ]}

في المستوى الإقليدي، يُعرَّف متوسط ​​المثلث بأنه القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له. تتقاطع متوسطات المثلث الثلاثة جميعها عند مركزه . وينصف كل متوسط ​​مساحة المثلث.

على سطح الكرة، يُمكن تعريف متوسط ​​المثلث بأنه قوس الدائرة العظمى الذي يصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل. تتقاطع المتوسطات الثلاثة جميعها في نقطة واحدة، وهي الإسقاط المركزي على سطح الكرة لمركز المثلث الخارجي - أي مركز المثلث المسطح الذي يحتوي على النقاط الثلاث إذا كانت الكرة مغمورة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. مع ذلك، على سطح الكرة، يكون قوس الدائرة العظمى الذي يمر برأس المثلث ونقطة على الضلع المقابل، والذي ينصف مساحة المثلث، مختلفًا عمومًا عن المتوسط ​​المقابل.

استخدم جاكوب شتاينر نظرية ليكسيل لإثبات أن هذه الأقواس الثلاثة التي تنصف المساحة (والتي أطلق عليها اسم "المعادلات") تتقاطع جميعها في نقطة واحدة، وهي أحد النظائر البديلة الممكنة لمركز الثقل المستوي في الهندسة الكروية. (يُعدّ رأس ثلاثة مثلثات متساوية المساحة، قواعدها أضلاع المثلث الأصلي، نظيرًا كرويًا آخر لمركز الثقل، وهو النقطة التي${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}}$(باعتبارها إحداثيات مساحتها الكروية .) ^{[ 25 ]}

لا يوجد نظير تام لنظام الإحداثيات الباريسنترية للنقاط بالنسبة لمثلث معين في الفضاء الأفيني في الهندسة الكروية؛ إذ لا يوجد نظام إحداثيات كروي واحد يشاركها جميع خصائصها. ومن أوجه التشابه الجزئية إحداثيات المساحة الكروية لنقطة ما.${\displaystyle P}$بالنسبة لمثلث كروي معين${\displaystyle \triangle ABC,}$

${\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{PBC}}{\varepsilon _{ABC}}},{\frac {\varepsilon _{APC}}{\varepsilon _{ABC}}},{\frac {\varepsilon _{ABP}}{\varepsilon _{ABC}}}\right),}$

حيث كل كمية${\displaystyle \varepsilon _{QRS}}$هو الزيادة الكروية الموقعة للمثلث الكروي المقابل${\displaystyle \triangle QRS.}$مجموع هذه الإحداثيات يساوي${\displaystyle 1,}$واستخدام نفس التعريف في المستوى ينتج عنه إحداثيات مركزية.

بحسب نظرية ليكسيل، فإن المحل الهندسي للنقاط ذات الإحداثي الثابت هو دائرة ليكسيل المناظرة. وبالتالي، يمكن إيجاد النقطة المناظرة لثلاثية معينة من إحداثيات مساحة كروية عن طريق تقاطع دائرتين صغيرتين.

باستخدام إحداثيات مساحتها الكروية، يمكن تحويل أي مثلث كروي إلى أي مثلث آخر، أو إلى أي مثلث مستوٍ، باستخدام إحداثيات مركزية مقابلة في المستوى. يمكن استخدام ذلك في إسقاطات الخرائط متعددة السطوح ؛ أو لتعريف الشبكات العالمية المنفصلة ؛ أو لضبط معلمات تثليثات الكرة أو رسم خرائط نسيجية لأي شبكة مثلثية مكافئة طوبولوجيًا للكرة. ^{[ 26 ]}