النموذج الرياضي

النموذج الرياضي هو وصف تجريدي لنظام ملموس باستخدام المفاهيم الرياضية واللغة . وتسمى عملية تطوير نموذج رياضي بالنمذجة الرياضية . تُستخدم النماذج الرياضية في الرياضيات التطبيقية وفي العلوم الطبيعية (مثل الفيزياء والأحياء وعلوم الأرض والكيمياء ) والتخصصات الهندسية (مثل علوم الكمبيوتر والهندسة الكهربائية ) ، وكذلك في الأنظمة غير الفيزيائية مثل العلوم الاجتماعية ^[1] (مثل الاقتصاد وعلم النفس وعلم الاجتماع والعلوم السياسية ). ويمكن أيضًا تدريسها كموضوع قائم بذاته. [ ^2]

إن استخدام النماذج الرياضية لحل المشكلات في العمليات التجارية أو العسكرية يشكل جزءًا كبيرًا من مجال بحوث العمليات . تُستخدم النماذج الرياضية أيضًا في الموسيقى ، ^[3] واللغويات ، ^[4] والفلسفة ( على سبيل المثال، بشكل مكثف في الفلسفة التحليلية ). قد يساعد النموذج في شرح نظام ودراسة تأثيرات المكونات المختلفة، والتنبؤ بالسلوك.

يمكن أن تتخذ النماذج الرياضية أشكالاً عديدة، بما في ذلك الأنظمة الديناميكية ، والنماذج الإحصائية ، والمعادلات التفاضلية ، أو نماذج نظرية الألعاب . ويمكن أن تتداخل هذه النماذج وأنواع أخرى منها، حيث يتضمن نموذج معين مجموعة متنوعة من الهياكل المجردة. وبشكل عام، قد تتضمن النماذج الرياضية نماذج منطقية . وفي كثير من الحالات، تعتمد جودة المجال العلمي على مدى توافق النماذج الرياضية المطورة على الجانب النظري مع نتائج التجارب القابلة للتكرار. وغالبًا ما يؤدي عدم التوافق بين النماذج الرياضية النظرية والقياسات التجريبية إلى تقدم مهم مع تطوير نظريات أفضل. وفي العلوم الفيزيائية ، يحتوي النموذج الرياضي التقليدي على معظم العناصر التالية:

1. المعادلات الحاكمة
2. النماذج الفرعية التكميلية
   1. تعريف المعادلات
   2. المعادلات التكوينية
3. الافتراضات والقيود
   1. الشروط الأولية والحدودية
   2. القيود الكلاسيكية والمعادلات الحركية

النماذج الرياضية لها أنواع مختلفة:

• الخطي مقابل غير الخطي. إذا أظهرت جميع العوامل في النموذج الرياضي خطية ، فإن النموذج الرياضي الناتج يُعرَّف بأنه خطي. يُعتبر النموذج غير خطي بخلاف ذلك. يعتمد تعريف الخطية وعدم الخطية على السياق، وقد تحتوي النماذج الخطية على تعبيرات غير خطية فيها. على سبيل المثال، في النموذج الخطي الإحصائي ، يُفترض أن العلاقة خطية في المعلمات، ولكنها قد تكون غير خطية في متغيرات التنبؤ. وبالمثل، يُقال عن المعادلة التفاضلية أنها خطية إذا كان من الممكن كتابتها باستخدام عوامل تفاضلية خطية ، ولكن لا يزال من الممكن أن تحتوي على تعبيرات غير خطية فيها. في نموذج البرمجة الرياضية ، إذا تم تمثيل الدوال والقيود الموضوعية بالكامل بواسطة معادلات خطية ، فإن النموذج يُعتبر نموذجًا خطيًا. إذا تم تمثيل واحدة أو أكثر من الدوال أو القيود الموضوعية بمعادلة غير خطية ، فإن النموذج يُعرف باسم النموذج غير الخطي.
  يشير الهيكل الخطي إلى أنه يمكن تحليل المشكلة إلى أجزاء أبسط يمكن معالجتها بشكل مستقل و/أو تحليلها على نطاق مختلف وستظل النتائج التي تم الحصول عليها صالحة للمشكلة الأولية عند إعادة تكوينها وإعادة قياسها.
  غالبًا ما ترتبط اللاخطية، حتى في الأنظمة البسيطة إلى حد ما، بظواهر مثل الفوضى وعدم الانعكاس . وعلى الرغم من وجود استثناءات، إلا أن الأنظمة والنماذج غير الخطية تميل إلى أن تكون أكثر صعوبة في الدراسة من الأنظمة والنماذج الخطية. النهج الشائع للمشكلات غير الخطية هو الخطية ، ولكن هذا يمكن أن يكون إشكاليًا إذا كان المرء يحاول دراسة جوانب مثل عدم الانعكاس، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بعدم الخطية.
• النموذج الثابت مقابل النموذج الديناميكي. يأخذ النموذج الديناميكي في الاعتبار التغيرات المعتمدة على الوقت في حالة النظام، بينما يحسب النموذج الثابت (أو النموذج المستقر) النظام في حالة توازن، وبالتالي فهو ثابت مع الزمن. عادةً ما يتم تمثيل النماذج الديناميكية بالمعادلات التفاضلية أو معادلات الفرق .
• صريح مقابل ضمني. إذا كانت جميع معلمات الإدخال للنموذج الإجمالي معروفة، ويمكن حساب معلمات الإخراج من خلال سلسلة محدودة من العمليات الحسابية، يقال إن النموذج صريح . ولكن في بعض الأحيان تكون معلمات الإخراج هي المعروفة، ويجب حل المدخلات المقابلة من خلال إجراء تكراري، مثل طريقة نيوتن أو طريقة برويدن . في مثل هذه الحالة، يقال إن النموذج ضمني . على سبيل المثال، يمكن حساب الخصائص الفيزيائية لمحرك نفاث مثل مساحة التوربين وحلق الفوهة صراحةً مع الأخذ في الاعتبار دورة ترموديناميكية للتصميم (معدلات تدفق الهواء والوقود والضغوط ودرجات الحرارة) في حالة طيران محددة وإعداد طاقة، ولكن لا يمكن حساب دورات تشغيل المحرك في ظروف طيران أخرى وإعدادات طاقة صراحةً من الخصائص الفيزيائية الثابتة.
• المنفصل مقابل المستمر. يعامل النموذج المنفصل الأشياء على أنها منفصلة، ​​مثل الجسيمات في النموذج الجزيئي أو الحالات في النموذج الإحصائي ؛ بينما يمثل النموذج المستمر الأشياء بطريقة مستمرة، مثل مجال سرعة السوائل في تدفقات الأنابيب، ودرجات الحرارة والإجهادات في المواد الصلبة، والمجال الكهربائي الذي ينطبق باستمرار على النموذج بأكمله بسبب شحنة نقطية.
• الحتمية مقابل الاحتمالية (العشوائية). النموذج الحتمي هو النموذج الذي يتم فيه تحديد كل مجموعة من الحالات المتغيرة بشكل فريد من خلال المعلمات في النموذج ومجموعات الحالات السابقة لهذه المتغيرات؛ وبالتالي، يعمل النموذج الحتمي دائمًا بنفس الطريقة لمجموعة معينة من الظروف الأولية. وعلى العكس من ذلك، في النموذج العشوائي - والذي يُطلق عليه عادةً " النموذج الإحصائي " - تكون العشوائية موجودة، ولا يتم وصف الحالات المتغيرة بقيم فريدة، بل بالأحرى من خلال توزيعات الاحتمالات .
• استنتاجي، استقرائي، أو عائم.النموذج الاستنتاجي هو بنية منطقية مبنية على نظرية. ينشأ النموذج الاستقرائي من النتائج التجريبية والتعميم منها. لا يعتمد النموذج العائم على النظرية أو الملاحظة، بل هو مجرد استحضار للبنية المتوقعة. تعرض تطبيق الرياضيات في العلوم الاجتماعية خارج الاقتصاد لانتقادات بسبب النماذج التي لا أساس لها. ^[5] تم وصفتطبيق نظرية الكارثة في العلوم بأنه نموذج عائم. ^[6]
• الاستراتيجية مقابل غير الاستراتيجية. تختلف النماذج المستخدمة في نظرية الألعاب بمعنى أنها تنمذج عملاء بحوافز غير متوافقة، مثل الأنواع المتنافسة أو المزايدين في المزاد. تفترض النماذج الاستراتيجية أن اللاعبين هم صناع قرار مستقلون يختارون بعقلانية الإجراءات التي تعظم وظيفتهم الهدف. التحدي الرئيسي لاستخدام النماذج الاستراتيجية هو تحديد وحساب مفاهيم الحل مثل توازن ناش . من الخصائص المثيرة للاهتمام للنماذج الاستراتيجية أنها تفصل بين التفكير في قواعد اللعبة والتفكير في سلوك اللاعبين. ^[7]

في مجال الأعمال والهندسة ، يمكن استخدام النماذج الرياضية لتعظيم ناتج معين. سيتطلب النظام قيد النظر مدخلات معينة. يعتمد النظام الذي يربط المدخلات بالمخرجات على متغيرات أخرى أيضًا: متغيرات القرار ومتغيرات الحالة والمتغيرات الخارجية والمتغيرات العشوائية . تُعرف متغيرات القرار أحيانًا بالمتغيرات المستقلة. تُعرف المتغيرات الخارجية أحيانًا بالمعلمات أو الثوابت . المتغيرات ليست مستقلة عن بعضها البعض حيث تعتمد متغيرات الحالة على متغيرات القرار والمدخلات والمتغيرات العشوائية والخارجية. علاوة على ذلك، تعتمد متغيرات المخرجات على حالة النظام (الممثلة بمتغيرات الحالة).

يمكن تمثيل أهداف وقيود النظام ومستخدميه كوظائف لمتغيرات المخرجات أو متغيرات الحالة. ستعتمد وظائف الهدف على وجهة نظر مستخدم النموذج. اعتمادًا على السياق ، تُعرف وظيفة الهدف أيضًا باسم مؤشر الأداء ، حيث إنها مقياس يثير اهتمام المستخدم. على الرغم من عدم وجود حد لعدد وظائف الهدف والقيود التي يمكن أن يمتلكها النموذج، إلا أن استخدام النموذج أو تحسينه يصبح أكثر تعقيدًا (حسابيًا) مع زيادة العدد. على سبيل المثال، غالبًا ما يطبق خبراء الاقتصاد الجبر الخطي عند استخدام نماذج المدخلات والمخرجات . يمكن دمج النماذج الرياضية المعقدة التي تحتوي على العديد من المتغيرات باستخدام متجهات حيث يمثل رمز واحد عدة متغيرات.

غالبًا ما يتم تصنيف مشكلات النمذجة الرياضية إلى نماذج الصندوق الأسود أو الصندوق الأبيض ، وفقًا لكمية المعلومات الأولية المتاحة عن النظام. نموذج الصندوق الأسود هو نظام لا تتوفر فيه أي معلومات أولية. نموذج الصندوق الأبيض (يُسمى أيضًا الصندوق الزجاجي أو الصندوق الشفاف) هو نظام تتوفر فيه جميع المعلومات الضرورية. عمليًا، تقع جميع الأنظمة في مكان ما بين نموذجي الصندوق الأسود والصندوق الأبيض، لذا فإن هذا المفهوم مفيد فقط كدليل بديهي لتحديد النهج الذي يجب اتباعه.

عادةً، من الأفضل استخدام أكبر قدر ممكن من المعلومات المسبقة لجعل النموذج أكثر دقة. لذلك، عادةً ما تُعتبر نماذج الصندوق الأبيض أسهل، لأنه إذا استخدمت المعلومات بشكل صحيح، فسيتصرف النموذج بشكل صحيح. غالبًا ما تأتي المعلومات المسبقة في أشكال معرفة نوع الوظائف التي تربط بين متغيرات مختلفة. على سبيل المثال، إذا قمنا بعمل نموذج لكيفية عمل دواء في نظام بشري، فإننا نعلم أن كمية الدواء في الدم عادةً ما تكون دالة متحللة بشكل أسي ، ولكن لا يزال لدينا العديد من المعلمات غير المعروفة؛ ما مدى سرعة تحلل كمية الدواء، وما هي الكمية الأولية للدواء في الدم؟ لذلك، هذا المثال ليس نموذجًا للصندوق الأبيض تمامًا. يجب تقدير هذه المعلمات من خلال بعض الوسائل قبل أن يتمكن المرء من استخدام النموذج.

في نماذج الصندوق الأسود، نحاول تقدير كل من الشكل الوظيفي للعلاقات بين المتغيرات والمعلمات العددية في تلك الوظائف. باستخدام معلومات مسبقة، قد ننتهي، على سبيل المثال، بمجموعة من الوظائف التي ربما يمكنها وصف النظام بشكل كافٍ. إذا لم تكن هناك معلومات مسبقة، فسنحاول استخدام وظائف عامة قدر الإمكان لتغطية جميع النماذج المختلفة. النهج المستخدم غالبًا لنماذج الصندوق الأسود هو الشبكات العصبية التي لا تقوم عادةً بافتراضات حول البيانات الواردة. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام خوارزميات NARMAX (نموذج المتوسط ​​المتحرك التلقائي غير الخطي مع مدخلات خارجية) التي تم تطويرها كجزء من تحديد النظام غير الخطي ^[8] لاختيار مصطلحات النموذج وتحديد بنية النموذج وتقدير المعلمات غير المعروفة في وجود ضوضاء مترابطة وغير خطية. تتمثل ميزة نماذج NARMAX مقارنة بالشبكات العصبية في أن NARMAX تنتج نماذج يمكن تدوينها وربطها بالعملية الأساسية، في حين تنتج الشبكات العصبية تقريبًا غير شفاف.

في بعض الأحيان يكون من المفيد دمج المعلومات الذاتية في نموذج رياضي. ويمكن القيام بذلك بناءً على الحدس أو الخبرة أو رأي الخبراء أو بناءً على ملاءمة الشكل الرياضي. توفر الإحصاءات البايزية إطارًا نظريًا لدمج مثل هذه الذاتية في تحليل صارم: نحدد توزيع احتمالي مسبق (يمكن أن يكون ذاتيًا)، ثم نقوم بتحديث هذا التوزيع بناءً على البيانات التجريبية.

ومن الأمثلة على الحالات التي قد يكون فيها هذا النهج ضرورياً أن يقوم أحد المجربين بثني قطعة نقود قليلاً ثم يرميها مرة واحدة، ويسجل ما إذا كانت ستسقط على الوجه، ثم يُكلف بمهمة التنبؤ باحتمالية سقوط العملة على الوجه في الرمية التالية. وبعد ثني القطعة النقدية، لا يكون الاحتمال الحقيقي لسقوط العملة على الوجه معروفاً؛ لذا فإن المجربين سوف يحتاجون إلى اتخاذ قرار (ربما بالنظر إلى شكل القطعة النقدية) بشأن التوزيع المسبق الذي سوف يستخدمونه. وقد يكون دمج مثل هذه المعلومات الذاتية مهماً للحصول على تقدير دقيق للاحتمالية.

بشكل عام، ينطوي تعقيد النموذج على مقايضة بين البساطة ودقة النموذج. يعد مبدأ أوكام مبدأً ذا صلة خاصة بالنمذجة، وتتمثل فكرته الأساسية في أنه من بين النماذج ذات القوة التنبؤية المتساوية تقريبًا، فإن أبسطها هو الأكثر مرغوبية. في حين أن التعقيد الإضافي يحسن عادةً من واقعية النموذج، إلا أنه قد يجعل من الصعب فهم النموذج وتحليله، ويمكن أن يفرض أيضًا مشكلات حسابية، بما في ذلك عدم الاستقرار العددي . يزعم توماس كون أنه مع تقدم العلم، تميل التفسيرات إلى أن تصبح أكثر تعقيدًا قبل أن يقدم التحول النموذجي تبسيطًا جذريًا. ^[9]

على سبيل المثال، عند نمذجة طيران طائرة، يمكننا تضمين كل جزء ميكانيكي من الطائرة في نموذجنا وبالتالي نحصل على نموذج شبه صندوقي للنظام. ومع ذلك، فإن التكلفة الحسابية لإضافة مثل هذا القدر الهائل من التفاصيل من شأنها أن تمنع فعليًا استخدام مثل هذا النموذج. بالإضافة إلى ذلك، فإن عدم اليقين سيزداد بسبب النظام المعقد للغاية، لأن كل جزء منفصل يحفز قدرًا معينًا من التباين في النموذج. لذلك من المناسب عادةً إجراء بعض التقريبات لتقليل النموذج إلى حجم معقول. غالبًا ما يمكن للمهندسين قبول بعض التقريبات من أجل الحصول على نموذج أكثر قوة وبساطة. على سبيل المثال، ميكانيكا نيوتن الكلاسيكية هي نموذج تقريبي للعالم الحقيقي. ومع ذلك، فإن نموذج نيوتن كافٍ تمامًا لمعظم مواقف الحياة العادية، أي طالما أن سرعات الجسيمات أقل بكثير من سرعة الضوء ، ونحن ندرس الجسيمات الكبيرة فقط. لاحظ أن الدقة الأفضل لا تعني بالضرورة نموذجًا أفضل. تكون النماذج الإحصائية عرضة للمبالغة في التجهيز، وهو ما يعني أن النموذج يتناسب مع البيانات أكثر مما ينبغي، مما يفقده قدرته على التعميم على الأحداث الجديدة التي لم يتم ملاحظتها من قبل.

أي نموذج ليس نموذجًا مربعًا أبيض خالصًا يحتوي على بعض المعلمات التي يمكن استخدامها لملاءمة النموذج للنظام المقصود وصفه. إذا تم إجراء النمذجة بواسطة شبكة عصبية اصطناعية أو أي تعلُّم آلي آخر ، فإن تحسين المعلمات يسمى التدريب ، بينما يسمى تحسين معلمات النموذج الفائقة الضبط وغالبًا ما يستخدم التحقق المتبادل . ^[10] في النمذجة الأكثر تقليدية من خلال وظائف رياضية محددة صراحةً، غالبًا ما يتم تحديد المعلمات من خلال ملاءمة المنحنى . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

إن الجزء الأساسي من عملية النمذجة هو تقييم ما إذا كان نموذج رياضي معين يصف نظامًا بدقة أم لا. قد يكون من الصعب الإجابة على هذا السؤال لأنه يتضمن عدة أنواع مختلفة من التقييم.

عادةً، يكون الجزء الأسهل من تقييم النموذج هو التحقق مما إذا كان النموذج يتنبأ بقياسات تجريبية أو بيانات تجريبية أخرى غير مستخدمة في تطوير النموذج. في النماذج ذات المعلمات، يكون النهج الشائع هو تقسيم البيانات إلى مجموعتين فرعيتين منفصلتين: بيانات التدريب وبيانات التحقق. تُستخدم بيانات التدريب لتقدير معلمات النموذج. سيتطابق النموذج الدقيق بشكل وثيق مع بيانات التحقق حتى لو لم تُستخدم هذه البيانات لتعيين معلمات النموذج. يشار إلى هذه الممارسة باسم التحقق المتبادل في الإحصاء.

إن تحديد مقياس لقياس المسافات بين البيانات الملاحظة والمتوقعة يعد أداة مفيدة لتقييم ملاءمة النموذج. في الإحصاء ونظرية القرار وبعض النماذج الاقتصادية ، تلعب دالة الخسارة دورًا مشابهًا. في حين أنه من السهل إلى حد ما اختبار ملاءمة المعلمات، فقد يكون من الصعب اختبار صحة الشكل الرياضي العام للنموذج. بشكل عام، تم تطوير المزيد من الأدوات الرياضية لاختبار ملاءمة النماذج الإحصائية أكثر من النماذج التي تنطوي على معادلات تفاضلية . يمكن في بعض الأحيان استخدام أدوات من الإحصاء غير المعلمي لتقييم مدى ملاءمة البيانات لتوزيع معروف أو للتوصل إلى نموذج عام يقوم فقط بافتراضات بسيطة حول الشكل الرياضي للنموذج.

إن تقييم نطاق النموذج، أي تحديد المواقف التي ينطبق عليها النموذج، قد يكون أقل وضوحًا. فإذا تم إنشاء النموذج استنادًا إلى مجموعة من البيانات، فيجب تحديد الأنظمة أو المواقف التي تعتبر البيانات المعروفة فيها مجموعة "نموذجية" من البيانات. ويسمى السؤال حول ما إذا كان النموذج يصف جيدًا خصائص النظام بين نقاط البيانات بالاستقراء ، ويسمى السؤال نفسه بالنسبة للأحداث أو نقاط البيانات خارج البيانات المرصودة بالاستقراء .

وكمثال على القيود النموذجية لنطاق النموذج، في تقييم الميكانيكا الكلاسيكية النيوتونية ، يمكننا أن نلاحظ أن نيوتن أجرى قياساته دون معدات متقدمة، وبالتالي لم يتمكن من قياس خصائص الجسيمات التي تتحرك بسرعات قريبة من سرعة الضوء. وعلى نحو مماثل، لم يقيس حركات الجزيئات والجسيمات الصغيرة الأخرى، بل الجسيمات الكبيرة فقط. ومن غير المستغرب إذن أن نموذجه لا يتوسع بشكل جيد في هذه المجالات، على الرغم من أن نموذجه كافٍ تمامًا لفيزياء الحياة العادية.

تتضمن العديد من أنواع النمذجة ضمناً ادعاءات حول السببية . وهذا ينطبق عادةً (ولكن ليس دائمًا) على النماذج التي تتضمن معادلات تفاضلية. ونظرًا لأن الغرض من النمذجة هو زيادة فهمنا للعالم، فإن صحة النموذج لا تعتمد فقط على ملاءمته للملاحظات التجريبية، بل تعتمد أيضًا على قدرته على استقراء المواقف أو البيانات التي تتجاوز تلك الموصوفة في الأصل في النموذج. ويمكن للمرء أن يفكر في هذا باعتباره التمييز بين التنبؤات النوعية والكمية. ويمكن للمرء أيضًا أن يزعم أن النموذج لا قيمة له ما لم يقدم بعض الرؤى التي تتجاوز ما هو معروف بالفعل من التحقيق المباشر في الظاهرة التي تتم دراستها.

ومن الأمثلة على هذا النقد الحجة القائلة بأن النماذج الرياضية لنظرية البحث الأمثل عن الطعام لا تقدم رؤى تتجاوز الاستنتاجات السليمة للتطور والمبادئ الأساسية الأخرى لعلم البيئة. ^[11] وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه في حين تستخدم النمذجة الرياضية المفاهيم واللغة الرياضية، فإنها ليست في حد ذاتها فرعًا من الرياضيات ولا تتوافق بالضرورة مع أي منطق رياضي ، ولكنها عادةً فرع من بعض العلوم أو موضوع تقني آخر، مع المفاهيم والمعايير المقابلة للحجج. ^[2]

النماذج الرياضية لها أهمية كبيرة في العلوم الطبيعية، وخاصة في الفيزياء . يتم التعبير عن النظريات الفيزيائية دائمًا تقريبًا باستخدام النماذج الرياضية. على مر التاريخ، تم تطوير نماذج رياضية أكثر دقة. تصف قوانين نيوتن بدقة العديد من الظواهر اليومية، ولكن عند حدود معينة يجب استخدام نظرية النسبية وميكانيكا الكم .

من الشائع استخدام النماذج المثالية في الفيزياء لتبسيط الأشياء. تعد الحبال عديمة الكتلة والجسيمات النقطية والغازات المثالية والجسيم الموجود في الصندوق من بين العديد من النماذج المبسطة المستخدمة في الفيزياء. يتم تمثيل قوانين الفيزياء بمعادلات بسيطة مثل قوانين نيوتن ومعادلات ماكسويل ومعادلة شرودنجر . تشكل هذه القوانين أساسًا لصنع نماذج رياضية للمواقف الحقيقية. العديد من المواقف الحقيقية معقدة للغاية وبالتالي يتم نمذجتها تقريبًا على جهاز كمبيوتر، يتم عمل نموذج قابل للحساب من القوانين الأساسية أو من نماذج تقريبية مصنوعة من القوانين الأساسية. على سبيل المثال، يمكن نمذجة الجزيئات بواسطة نماذج مدارية جزيئية تمثل حلولًا تقريبية لمعادلة شرودنجر. في الهندسة ، غالبًا ما يتم عمل نماذج الفيزياء من خلال طرق رياضية مثل تحليل العناصر المحدودة .

تستخدم النماذج الرياضية المختلفة أشكالاً هندسية مختلفة لا تمثل بالضرورة أوصافًا دقيقة لهندسة الكون. تُستخدم الهندسة الإقليدية كثيرًا في الفيزياء الكلاسيكية، في حين تُعَد النسبية الخاصة والنسبية العامة أمثلة على النظريات التي تستخدم أشكالاً هندسية غير إقليدية.

في كثير من الأحيان، عندما يقوم المهندسون بتحليل نظام للتحكم فيه أو تحسينه، فإنهم يستخدمون نموذجًا رياضيًا. في التحليل، يمكن للمهندسين بناء نموذج وصفي للنظام كفرضية لكيفية عمل النظام، أو محاولة تقدير كيف يمكن لحدث غير متوقع أن يؤثر على النظام. وبالمثل، في التحكم في النظام، يمكن للمهندسين تجربة طرق تحكم مختلفة في عمليات المحاكاة .

يصف النموذج الرياضي عادةً نظامًا بمجموعة من المتغيرات ومجموعة من المعادلات التي تنشئ علاقات بين المتغيرات. قد تكون المتغيرات من أنواع عديدة؛ أرقام حقيقية أو صحيحة ، أو قيم منطقية أو سلاسل ، على سبيل المثال. تمثل المتغيرات بعض خصائص النظام، على سبيل المثال، غالبًا ما يخرج النظام المقاس في شكل إشارات وبيانات توقيت وعدادات وحدوث حدث. النموذج الفعلي هو مجموعة الوظائف التي تصف العلاقات بين المتغيرات المختلفة.

• أحد الأمثلة الشائعة في علوم الكمبيوتر هي النماذج الرياضية للآلات المختلفة، ومن الأمثلة على ذلك الأتمتة المحدودة الحتمية (DFA) والتي يتم تعريفها كمفهوم رياضي تجريدي، ولكن نظرًا للطبيعة الحتمية للأتمتة المحدودة الحتمية، يمكن تنفيذها في الأجهزة والبرامج لحل مشاكل محددة مختلفة. على سبيل المثال، فيما يلي أتمتة محدودة حتمية (DFA M) بأبجدية ثنائية، والتي تتطلب أن يحتوي الإدخال على عدد زوجي من الأصفار:

${\displaystyle M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_{0},F)}$أين

• ${\displaystyle Q=\{S_{1},S_{2}\},}$
• ${\displaystyle \Sigma =\{0,1\},}$
• ${\displaystyle q_{0}=S_{1},}$
• ${\displaystyle F=\{S_{1}\},}$و
• ${\displaystyle \delta }$يتم تعريفه بواسطة جدول انتقال الحالة التالي :

	0	1
س 1	${\displaystyle S_{2}}$	${\displaystyle S_{1}}$
س 2	${\displaystyle S_{1}}$	${\displaystyle S_{2}}$

تمثل الحالة وجود عدد زوجي من الأصفار في المدخلات حتى الآن، بينما تشير while إلى عدد فردي. لا يغير وجود 1 في المدخلات حالة الأتمتة. عندما تنتهي المدخلات، ستوضح الحالة ما إذا كان المدخل يحتوي على عدد زوجي من الأصفار أم لا. إذا كان المدخل يحتوي على عدد زوجي من الأصفار، فسوف ينتهي في حالة قبول، وبالتالي سيتم قبول سلسلة المدخلات.${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S_{1},}$

اللغة المعترف بها هي اللغة العادية المعطاة بواسطة التعبير العادي 1*( 0 (1*) 0 (1*) )*، حيث "*" هي نجمة كليين ، على سبيل المثال، يشير 1* إلى أي رقم غير سلبي (ربما صفر) من الرموز "1".${\displaystyle M}$

• إن العديد من الأنشطة اليومية التي تتم بدون تفكير هي عبارة عن استخدامات للنماذج الرياضية. إن إسقاط خريطة جغرافية لمنطقة من الأرض على سطح مستوٍ صغير هو نموذج يمكن استخدامه لأغراض عديدة مثل التخطيط للسفر. ^[12]
• هناك نشاط بسيط آخر وهو التنبؤ بموضع المركبة من موقعها الأولي واتجاهها وسرعتها، باستخدام المعادلة التي تنص على أن المسافة المقطوعة هي حاصل ضرب الزمن والسرعة. يُعرف هذا باسم الحساب الميت عند استخدامه بشكل أكثر رسمية. لا تتطلب النمذجة الرياضية بهذه الطريقة بالضرورة الرياضيات الرسمية؛ فقد ثبت أن الحيوانات تستخدم الحساب الميت. ^{[13] [14]}
• النمو السكاني . نموذج النمو المالتوسي هو نموذج بسيط (وإن كان تقريبيًا) للنمو السكاني. نموذج النمو السكاني الأكثر واقعية والأكثر استخدامًا هو الدالة اللوجستية ، وامتداداتها.
• نموذج لجسيم في مجال محتمل . في هذا النموذج نعتبر الجسيم نقطة كتلة تصف مسارًا في الفضاء يتم نمذجته بواسطة دالة تعطي إحداثياته ​​في الفضاء كدالة للزمن. يتم تحديد المجال المحتمل بواسطة دالة والمسار، أي دالة، هو حل المعادلة التفاضلية: والتي يمكن كتابتها أيضًا على النحو التالي${\displaystyle V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {r} \!:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3},}$$${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,}$$$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (ر)].}$$

لاحظ أن هذا النموذج يفترض أن الجسيم عبارة عن كتلة نقطية، ومن المؤكد أن هذا غير صحيح في العديد من الحالات التي نستخدم فيها هذا النموذج؛ على سبيل المثال، كنموذج لحركة الكواكب.

• نموذج السلوك العقلاني للمستهلك . في هذا النموذج نفترض أن المستهلك يواجه اختيارًا من السلع التي تحمل كل منها سعر السوق. يُفترض أن المستهلك لديه دالة منفعة ترتيبية (ترتيبية بمعنى أن علامة الاختلافات بين منفعتين فقط، وليس مستوى كل منفعة، هي ذات مغزى)، اعتمادًا على كميات السلع المستهلكة. يفترض النموذج أيضًا أن المستهلك لديه ميزانية تُستخدم لشراء متجه بطريقة تعظيمية . تصبح مشكلة السلوك العقلاني في هذا النموذج بعد ذلك مشكلة تحسين رياضي ، أي: تخضع لـ: تم استخدام هذا النموذج في مجموعة واسعة من السياقات الاقتصادية، مثل نظرية التوازن العام لإظهار وجود وكفاءة باريتو للتوازنات الاقتصادية.${\displaystyle n}$${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle U(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$$${\displaystyle \max \,U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq م,}$$$${\displaystyle x_{i}\geq 0\;\;\;{\text{ لجميع }}i=1,2,\dots ,n.}$$
• نموذج استشعار الجار هو نموذج يفسر تشكل الفطر من الشبكة الفطرية الفوضوية في البداية.
• في علوم الكمبيوتر ، يمكن استخدام النماذج الرياضية لمحاكاة شبكات الكمبيوتر.
• في الميكانيكا ، يمكن استخدام النماذج الرياضية لتحليل حركة نموذج الصاروخ.

• أريس، رذرفورد [ 1978 ] ( 1994 ). تقنيات النمذجة الرياضية ، نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-68131-9 
• بندر، إي إيه [ 1978 ] ( 2000 ). مقدمة في النمذجة الرياضية ، نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-41180-X 
• غاري شارتراند (1977) الرسوم البيانية كنماذج رياضية ، بريندل، ويبر وشميت ISBN 0871502364 
• دوبوا، ج. (2018) "النمذجة والمحاكاة"، تايلور وفرانسيس، مطبعة سي آر سي.
• جيرشينفيلد، ن. (1998) طبيعة النمذجة الرياضية ، مطبعة جامعة كامبريدج ISBN 0-521-57095-6 . 
• لين، سي سي وسيجل، إل إيه (1988). الرياضيات التطبيقية على المشكلات الحتمية في العلوم الطبيعية ، فيلادلفيا: سيام. رقم ISBN 0-89871-229-7 

• Papadimitriou, Fivos. (2010). النمذجة الرياضية للأنظمة المعقدة المكانية والبيئية: تقييم. الجغرافيا والبيئة والاستدامة 1(3)، 67-80. doi :10.24057/2071-9388-2010-3-1-67-80
• بييرلز، ر. (1980). "صنع النماذج في الفيزياء". الفيزياء المعاصرة . 21 : 3-17. رمز Bibcode :1980ConPh..21....3P. doi :10.1080/00107518008210938.
• مقدمة في نمذجة الأمراض المعدية بقلم إميليا فينيكي وريتشارد جي وايت.

مرجع عام

• باترون، ف. مقدمة إلى النمذجة عبر المعادلات التفاضلية، مع ملاحظات نقدية.
• حزمة Plus للمعلم والطالب: النمذجة الرياضية. تجمع كل المقالات حول النمذجة الرياضية من مجلة Plus ، وهي مجلة الرياضيات عبر الإنترنت التي ينتجها مشروع Millennium Mathematics في جامعة كامبريدج.

فلسفي

• فريج، ر. وس. هارتمان، النماذج في العلوم، في: موسوعة ستانفورد للفلسفة، (طبعة ربيع 2006)
• جريفثس، إي سي (2010) ما هو النموذج؟