نظام غير خطي

في الرياضيات والعلوم ، يُعرف النظام غير الخطي بأنه نظام لا يتناسب فيه تغير المخرجات مع تغير المدخلات. ^{[ 1 ] [ 2 ]} تحظى المشكلات غير الخطية باهتمام المهندسين ، وعلماء الأحياء ، ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} والفيزيائيين ، ^{[ 6 ] [ 7 ]} والرياضيين ، والعديد من العلماء الآخرين، نظرًا لأن معظم الأنظمة غير خطية بطبيعتها. ^{[ 8 ]} قد تبدو الأنظمة الديناميكية غير الخطية ، التي تصف تغيرات المتغيرات مع مرور الوقت، فوضوية أو غير قابلة للتنبؤ أو غير بديهية، على عكس الأنظمة الخطية الأبسط بكثير .

عادةً ما يُوصف سلوك النظام غير الخطي في الرياضيات بنظام معادلات غير خطي ، وهو مجموعة من المعادلات الآنية التي تظهر فيها المجاهيل (أو الدوال المجهولة في حالة المعادلات التفاضلية ) كمتغيرات لكثير حدود من الدرجة الثانية أو أعلى، أو في وسيط دالة ليست كثيرة حدود من الدرجة الأولى. بعبارة أخرى، في نظام المعادلات غير الخطي، لا يمكن كتابة المعادلة (أو المعادلات) المراد حلها كتركيبة خطية للمتغيرات أو الدوال المجهولة التي تظهر فيها. يمكن تعريف الأنظمة بأنها غير خطية، بغض النظر عما إذا كانت الدوال الخطية المعروفة تظهر في المعادلات. على وجه الخصوص، تكون المعادلة التفاضلية خطية إذا كانت خطية بدلالة الدالة المجهولة ومشتقاتها، حتى لو كانت غير خطية بدلالة المتغيرات الأخرى التي تظهر فيها .

نظرًا لصعوبة حل المعادلات الديناميكية غير الخطية، تُقارب الأنظمة غير الخطية عادةً بمعادلات خطية ( التخطيط الخطي ). يُجدي هذا الأسلوب نفعًا ضمن نطاق معين من الدقة وقيم الإدخال، إلا أن بعض الظواهر المهمة، مثل السوليتونات والفوضى [ ^{9 ] والحالات} الشاذة ، تُخفى بالتخطيط الخطي. ونتيجةً لذلك، قد تبدو بعض جوانب السلوك الديناميكي للنظام غير الخطي غير بديهية، أو غير قابلة للتنبؤ، أو حتى فوضوية. ورغم أن هذا السلوك الفوضوي قد يُشبه السلوك العشوائي ، إلا أنه ليس عشوائيًا في الواقع. فعلى سبيل المثال، تُعتبر بعض جوانب الطقس فوضوية، حيث تُحدث تغييرات بسيطة في جزء من النظام تأثيرات معقدة في جميع أجزائه. تُعد هذه اللاخطية أحد أسباب استحالة التنبؤات الدقيقة طويلة المدى باستخدام التقنيات الحالية.

يستخدم بعض المؤلفين مصطلح " العلوم غير الخطية" لدراسة الأنظمة غير الخطية. ويُعارض آخرون هذا المصطلح.

إن استخدام مصطلح مثل "العلم غير الخطي" يشبه الإشارة إلى الجزء الأكبر من علم الحيوان على أنه دراسة الحيوانات غير الفيلة.

في الرياضيات ، التحويل الخطي (أو الدالة الخطية )${\displaystyle f(x)}$هو الذي يحقق الخاصيتين التاليتين:

• مبدأ الجمع أو التراكب :${\displaystyle \textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);}$
• تجانس:${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).}$

تستلزم خاصية الجمع التجانس لأي عدد نسبي α ، وبالنسبة للدوال المتصلة ، لأي عدد حقيقي α . أما بالنسبة لعدد مركب α ، فلا ينتج التجانس من خاصية الجمع. على سبيل المثال، يكون التطبيق المضاد للخطية جمعيًا ولكنه غير متجانس. غالبًا ما تُدمج شروط الجمع والتجانس في مبدأ التراكب. $${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}$$

معادلة مكتوبة على النحو التالي $${\displaystyle f(x)=C}$$

يُطلق عليه اسم خطي إذا${\displaystyle f(x)}$هي دالة خطية (كما هو مُعرَّف أعلاه) وغير خطية فيما عدا ذلك. تُسمى المعادلة متجانسة إذا${\displaystyle C=0}$و${\displaystyle f(x)}$هي دالة متجانسة .

التعريف${\displaystyle f(x)=C}$هذا عام جداً في ذلك${\displaystyle x}$يمكن أن يكون أي كائن رياضي معقول (عدد، متجه، دالة، إلخ)، والدالة${\displaystyle f(x)}$يمكن أن تكون حرفيًا أي عملية ربط ، بما في ذلك التكامل أو التفاضل مع القيود المرتبطة بها (مثل القيم الحدية ). إذا${\displaystyle f(x)}$يتضمن التمايز فيما يتعلق بـ${\displaystyle x}$، وستكون النتيجة معادلة تفاضلية .

يتكون النظام غير الخطي للمعادلات من مجموعة من المعادلات في عدة متغيرات بحيث لا تكون واحدة منها على الأقل معادلة خطية .

لمعادلة واحدة من الشكل${\displaystyle f(x)=0,}$تم تصميم العديد من الطرق؛ انظر خوارزمية إيجاد الجذور . في حالة كون f دالة متعددة الحدود ، يكون لدينا معادلة متعددة الحدود مثل: ${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$تنطبق خوارزميات البحث عن الجذور العامة على جذور كثيرات الحدود، ولكنها لا تجد جميع الجذور عادةً، وعندما تفشل في إيجاد جذر، فهذا لا يعني بالضرورة عدم وجود جذور. تسمح طرق خاصة بكثيرات الحدود بإيجاد جميع الجذور أو الجذور الحقيقية ؛ انظر عزل الجذور الحقيقية .

يُعد حل أنظمة المعادلات متعددة الحدود ، أي إيجاد الأصفار المشتركة لمجموعة من كثيرات الحدود في عدة متغيرات، مشكلة صعبة تم تصميم خوارزميات معقدة لحلها، مثل خوارزميات قاعدة غروبنر . ^{[ 11 ]}

في الحالة العامة لنظام المعادلات المُشكَّل من مساواة عدة دوال قابلة للتفاضل بالصفر ، تُعدّ طريقة نيوتن ومشتقاتها الطريقة الرئيسية . عمومًا، قد تُقدّم هذه الطرق حلًا، لكنها لا تُقدّم أي معلومات عن عدد الحلول.

تُعرّف العلاقة التكرارية غير الخطية الحدود المتتالية في متتالية ما كدالة غير خطية للحدود السابقة. ومن أمثلة العلاقات التكرارية غير الخطية الخريطة اللوجستية والعلاقات التي تُعرّف متتاليات هوفستاتر المختلفة . تشمل النماذج المنفصلة غير الخطية التي تُمثل فئة واسعة من العلاقات التكرارية غير الخطية نموذج NARMAX (المتوسط ​​المتحرك التلقائي غير الخطي مع مدخلات خارجية) وإجراءات تحديد وتحليل الأنظمة غير الخطية ذات الصلة. ^{[ 12 ]} يمكن استخدام هذه المناهج لدراسة فئة واسعة من السلوكيات غير الخطية المعقدة في مجالات الزمن والتردد والمكان والزمان.

يُقال إن نظام المعادلات التفاضلية غير خطي إذا لم يكن نظام معادلات خطية . تتسم المسائل التي تتضمن معادلات تفاضلية غير خطية بتنوعها الشديد، وتعتمد طرق الحل أو التحليل على طبيعة المسألة. من أمثلة المعادلات التفاضلية غير الخطية معادلات نافيير-ستوكس في ديناميكا الموائع ومعادلات لوتكا-فولتيرا في علم الأحياء.

من أبرز صعوبات المسائل غير الخطية عدم إمكانية دمج الحلول المعروفة لتكوين حلول جديدة. ففي المسائل الخطية، على سبيل المثال، يمكن استخدام مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا لبناء حلول عامة من خلال مبدأ التراكب . ومن الأمثلة الجيدة على ذلك نقل الحرارة أحادي البعد مع شروط حدودية من نوع ديريشليه ، حيث يمكن كتابة حلها كتركيبة خطية متغيرة مع الزمن لدوال جيبية بترددات مختلفة؛ مما يجعل الحلول مرنة للغاية. غالبًا ما يكون من الممكن إيجاد عدة حلول محددة جدًا للمعادلات غير الخطية، إلا أن غياب مبدأ التراكب يحول دون بناء حلول جديدة.

البندول

تُعدّ ديناميكيات البندول عديم الاحتكاك تحت تأثير الجاذبية مسألةً كلاسيكيةً ودُرست على نطاق واسع في مجال اللاخطية . وباستخدام ميكانيكا لاغرانج ، يمكن إثبات ^{[ 14 ]} أن حركة البندول يُمكن وصفها بالمعادلة اللاخطية عديمة الأبعاد .$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0}$$

حيث تشير الجاذبية "إلى الأسفل" و${\displaystyle \theta }$هي الزاوية التي يشكلها البندول مع موضع سكونه، كما هو موضح في الشكل على اليمين. إحدى طرق "حل" هذه المعادلة هي استخدام${\displaystyle d\theta /dt}$كعامل تكاملي ، والذي سيؤدي في النهاية إلى $${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}}$$

وهو حل ضمني يتضمن تكاملًا إهليلجيًا . هذا "الحل" عمومًا ليس له استخدامات كثيرة لأن معظم طبيعة الحل مخفية في التكامل غير الأولي (غير أولي إلا إذا${\displaystyle C_{0}=2}$).

ثمة طريقة أخرى لمعالجة المشكلة وهي تحويل أي دالة غير خطية (حد دالة الجيب في هذه الحالة) إلى دالة خطية عند النقاط المختلفة ذات الأهمية باستخدام متسلسلات تايلور . على سبيل المثال، التحويل الخطي عند${\displaystyle \theta =0}$، والتي تُسمى تقريب الزاوية الصغيرة، هي $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0}$$

منذ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$ل${\displaystyle \theta \approx 0}$هذا مذبذب توافقي بسيط يتوافق مع تذبذبات البندول قرب أسفل مساره. ويمكن إجراء عملية تبسيط أخرى عند${\displaystyle \theta =\pi }$، بما يتوافق مع كون البندول مستقيماً للأعلى: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$$

منذ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$ل${\displaystyle \theta \approx \pi }$يتضمن حل هذه المشكلة استخدام الدوال الجيبية الزائدية ، ولاحظ أنه على عكس تقريب الزاوية الصغيرة، فإن هذا التقريب غير مستقر، مما يعني أن${\displaystyle |\theta |}$عادةً ما ينمو هذا العدد بلا حدود، مع أن الحلول المحدودة ممكنة. وهذا يُشابه صعوبة موازنة البندول في وضع رأسي، فهو حالة غير مستقرة حرفيًا.

هناك عملية تخطيط خطي أخرى مثيرة للاهتمام ممكنة حول${\displaystyle \theta =\pi /2}$، والتي حولها${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$$

يتوافق هذا مع مسألة السقوط الحر. ويمكن الحصول على صورة نوعية مفيدة للغاية لديناميكيات البندول من خلال تجميع هذه المعادلات الخطية، كما هو موضح في الشكل على اليمين. ويمكن استخدام تقنيات أخرى لإيجاد مخططات الطور (الدقيقة) والفترات التقريبية.

• موت السعة – تتوقف أي تذبذبات موجودة في النظام بسبب نوع من التفاعل مع نظام آخر أو بسبب التغذية الراجعة من نفس النظام
• الفوضى – لا يمكن التنبؤ بقيم النظام إلى أجل غير مسمى في المستقبل، والتقلبات غير دورية
• الاستقرار المتعدد – وجود حالتين مستقرتين أو أكثر
• السوليتونات – موجات منفردة ذاتية التعزيز
• الدورات الحدية - مدارات دورية تقاربية تنجذب إليها النقاط الثابتة غير المستقرة.
• التذبذبات الذاتية - تذبذبات التغذية الراجعة التي تحدث في الأنظمة الفيزيائية المفتوحة المبددة للطاقة.

• برنامج أبحاث القيادة والسيطرة (CCRP)
• معهد نيو إنجلاند للأنظمة المعقدة: مفاهيم في الأنظمة المعقدة
• الديناميكا غير الخطية 1: الفوضى في موقع MIT للمقررات الدراسية المفتوحة
• مكتبة النماذج غير الخطية، مؤرشفة بتاريخ 19 ديسمبر 2008 على موقع Wayback Machine – (باستخدام MATLAB ) قاعدة بيانات للأنظمة الفيزيائية 
• مركز الدراسات غير الخطية في مختبر لوس ألاموس الوطني