الترميز الموضعي

Decimal fractions were first developed and used by the Chinese in the form of rod calculus in the 1st century BC, and then spread to the rest of the world.^[6][7] J. Lennart Berggren notes that positional decimal fractions were being used in Damascus by mathematician Abu'l-Hasan al-Uqlidisi in the mid 10th century.^[8] The Jewish mathematician Immanuel Bonfils used decimal fractions around 1350, but did not develop any notation to represent them.^[9] The Persian mathematician Jamshīd al-Kāshī similarly adopted their use in the 15th century.^[8]Al Khwarizmi introduced fractions to Islamic countries in the early 9th century; his fraction presentation was similar to the traditional Chinese mathematical fractions from Sunzi Suanjing.^[10] This form of fraction with numerator on top and denominator at bottom without a horizontal bar was also used by 10th century Abu'l-Hasan al-Uqlidisi and 15th century Jamshīd al-Kāshī's work "Arithmetic Key".^[10][11]

The adoption of the decimal representation of numbers less than one, a fraction, is often credited to Simon Stevin through his textbook De Thiende;^[12] but both Stevin and E. J. Dijksterhuis indicate that Regiomontanus contributed to the European adoption of general decimals:^[13]:17,18

European mathematicians, when taking over from the Hindus, via the Arabs, the idea of positional value for integers, neglected to extend this idea to fractions. For some centuries they confined themselves to using common and sexagesimal fractions ... This half-heartedness has never been completely overcome, and sexagesimal fractions still form the basis of our trigonometry, astronomy and measurement of time.

... Mathematicians sought to avoid fractions by taking the radius R equal to a number of units of length of the form 10ⁿ and then assuming for n so great an integral value that all occurring quantities could be expressed with sufficient accuracy by integers.

كان الفلكي الألماني ريجيومونتانوس أول من طبق هذه الطريقة. وبقدر ما عبّر عن القطع المستقيمة الزاوية بوحدة R /10ⁿ ^، يمكن اعتبار ريجيومونتانوس رائدًا لمبدأ الكسور الموضعية العشرية.

بحسب تقدير ديكسترهويس، "بعد نشر كتاب " دي ثينده"، لم يكن مطلوبًا سوى تقدم طفيف لإرساء النظام الكامل للكسور العشرية الموضعية، وقد سارع عدد من الكتّاب إلى اتخاذ هذه الخطوة... بعد ستيفن، كان ريجيومونتانوس الشخصية الأهم في هذا التطور". وأشار ديكسترهويس إلى أن ستيفن "يُنسب الفضل كاملًا إلى ريجيومونتانوس لمساهمته السابقة، قائلًا إن الجداول المثلثية لعالم الفلك الألماني تحتوي في الواقع على النظرية الكاملة لـ"أعداد التقدم العشري". ^{[ 13 ] : 19}

في أنظمة الأرقام الرياضية، يُمثل الأساس r عادةً عدد الأرقام الفريدة ، بما في ذلك الصفر، التي يستخدمها نظام الأرقام الموضعي لتمثيل الأعداد. في بعض الحالات، كما هو الحال مع الأساس السالب ، يكون الأساس هو القيمة المطلقة.${\displaystyle r=|b|}$في النظام العشري ، الأساس هو عشرة، لأنه يستخدم الأرقام العشرة من 0 إلى 9. فعندما يصل عدد ما إلى 9، لا يكون الرقم التالي رمزًا مختلفًا، بل هو 1 متبوعًا بـ 0. أما في النظام الثنائي، فالأساس هو اثنان، لأنه بعد الوصول إلى 1، بدلًا من 2 أو أي رمز آخر، ينتقل مباشرة إلى 10، ثم إلى 11، ثم إلى 100.

عادةً ما تكون أعلى قيمة في نظام العد الموضعي أقل بواحد من قيمة أساس ذلك النظام. وتختلف أنظمة العد الموضعية القياسية فيما بينها فقط في الأساس الذي تستخدمه.

الأساس هو عدد صحيح أكبر من 1، لأن الأساس صفر لا يحتوي على أي أرقام، والأساس 1 يحتوي على الرقم صفر فقط. نادرًا ما تُستخدم الأساسات السالبة. في نظام يحتوي على أكثر من${\displaystyle |b|}$قد يكون للأرقام، التي تحتوي على أرقام فريدة، العديد من التمثيلات الممكنة المختلفة.

من المهم أن يكون الأساس محدودًا، مما يعني أن عدد الأرقام يكون منخفضًا جدًا. وإلا، فلن يكون طول الرقم بالضرورة لوغاريتميًا .

(في بعض أنظمة الأرقام الموضعية غير القياسية ، بما في ذلك الترقيم التقابلي ، يختلف تعريف الأساس أو الأرقام المسموح بها عما سبق.)

في نظام الترقيم العشري القياسي ، يوجد عشرة أرقام عشرية ^{[ 14 ]} والعدد

${\displaystyle 5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})}$.

في النظام القياسي ذي الأساس 16 ( النظام الست عشري )، توجد الأرقام الست عشرية (من 0 إلى 9 ومن A إلى F) ^{[ 15 ]} والرقم

${\displaystyle 14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),}$

حيث يمثل الحرف B الرقم أحد عشر كرمز واحد.

بشكل عام، في النظام العددي ذي الأساس b ، يوجد b رقمًا${\displaystyle \{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D}$والعدد

${\displaystyle (a_{3}a_{2}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}\times b^{3})+(a_{2}\times b^{2})+(a_{1}\times b^{1})+(a_{0}\times b^{0})}$

لديه${\displaystyle \forall k\colon a_{k}\in D.}$ لاحظ أن${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$يمثل سلسلة من الأرقام، وليس عملية ضرب .

عند وصف الأساس في الترميز الرياضي ، يُستخدم الحرف b عادةً كرمز لهذا المفهوم، لذا، في النظام الثنائي ، b يساوي 2. وهناك طريقة شائعة أخرى للتعبير عن الأساس وهي كتابته كرقم سفلي عشري بعد العدد المُمثَّل (هذا الترميز مُستخدم في هذه المقالة). 1111011 ₂ يعني أن العدد 1111011 هو عدد أساسه 2، ويساوي 123 ₁₀ ( تمثيل بالترميز العشري )، و173 ₈ ( الثماني )، و7B ₁₆ ( الست عشري ). في الكتب والمقالات، عند استخدام الاختصارات المكتوبة لقواعد الأعداد في البداية، لا يُطبع الأساس لاحقًا: يُفترض أن العدد الثنائي 1111011 هو نفسه 1111011 ₂ .

يمكن الإشارة إلى الأساس b أيضًا بعبارة "الأساس- b ". لذا فإن الأعداد الثنائية هي "الأساس-2"؛ والأعداد الثمانية هي "الأساس-8"؛ والأعداد العشرية هي "الأساس-10"؛ وهكذا.

بالنسبة لنظام عدٍّ ذي أساس b مُعطى، تُسمى مجموعة الأرقام {0، 1، ...، b⁻² ، b⁻¹ } بالمجموعة القياسية للأرقام. وبالتالي، تحتوي الأعداد الثنائية على الرقمين {0، 1}؛ والأعداد العشرية على الأرقام {0، 1، 2، ...، 8، 9}؛ وهكذا. لذا، فإن ما يلي يُعدّ خطأً في الترميز: 52 ₂ ، 2 ₂ ، 1A _9. (في جميع الحالات، يوجد رقم واحد أو أكثر خارج مجموعة الأرقام المسموح بها لهذا الأساس).

تعتمد أنظمة العد الموضعية على رفع الأساس إلى الأسس. قيمة الرقم هي حاصل ضرب هذا الرقم في قيمة منزلته. وقيمة المنزلة هي عدد الأساس مرفوعًا إلى القوة ن ، حيث ن هو عدد الأرقام الأخرى بين رقم معين والفاصلة العشرية . إذا كان الرقم على يسار الفاصلة العشرية (أي أن قيمته عدد صحيح )، فإن ن تكون موجبة أو صفرًا؛ أما إذا كان الرقم على يمين الفاصلة العشرية (أي أن قيمته كسرية)، فإن ن تكون سالبة.

كمثال على الاستخدام، فإن العدد 465 في أساسه b (والذي يجب أن يكون على الأقل أساسه 7 لأن أعلى رقم فيه هو 6) يساوي:

${\displaystyle 4\times b^{2}+6\times b^{1}+5\times b^{0}}$

إذا كان العدد 465 مكتوبًا بالنظام العشري، فإنه يساوي:

${\displaystyle 465_{10}=4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}=4\times 100+6\times 10+5\times 1=465_{10}}$

أما إذا كان العدد بالنظام السباعي، فسيكون مساوياً لما يلي:

${\displaystyle 465_{7}=4\times 7^{2}+6\times 7^{1}+5\times 7^{0}=4\times 49+6\times 7+5\times 1=243_{10}}$

10 b = b لأي أساس b ، لأن 10 b = 1 × b 1 + 0 × b 0 . على سبيل المثال، 10 2 = 2؛ 10 3  = 3؛ 10 16 = 16 10 . لاحظ أن الرقم الأخير "16" يُشير إلى أنه في النظام العشري. لا يُؤثر الأساس على الأرقام المكونة من رقم واحد.

يمكن توضيح هذا المفهوم باستخدام رسم تخطيطي. يُمثل كل عنصر وحدة واحدة. عندما يكون عدد العناصر مساويًا أو أكبر من الأساس b ، يتم إنشاء مجموعة من العناصر تحتوي على b عنصرًا. وعندما يتجاوز عدد هذه المجموعات b ، يتم إنشاء مجموعة من هذه المجموعات من العناصر تحتوي على b مجموعة من b عنصرًا، وهكذا. وبالتالي، فإن العدد نفسه في أسس مختلفة سيكون له قيم مختلفة.

241 في النظام الخماسي: مجموعتان من 5 ( 25) 4 مجموعات من 5 مجموعة واحدة من 1 أوه أوه أوه oooooooooo oooooo ooooo ooooo ooooo + + o oooooooooo oooooo ooooo أوه أوه أوه

241 في النظام الثماني: مجموعتان من 8 أفراد ( 2 (64))، 4 مجموعات من 8 أفراد، مجموعة واحدة من فرد واحد أوووووو أوووووو أوووووو أوووووو أووووووو أوووووووو أوووووووو oooooooo oooooooo + + o أوووووو أوووووو أووووووو أوووووووو أوووووووو أوووووو أوووووو أوووووو أوووووو

يمكن توسيع نطاق الترميز بإضافة إشارة سالبة في البداية، مما يسمح بتمثيل الأعداد السالبة. بالنسبة لأي أساس، يتوافق كل تمثيل مع عدد حقيقي واحد فقط ، ولكل عدد حقيقي تمثيل واحد على الأقل. أما تمثيلات الأعداد النسبية فهي تلك التمثيلات المنتهية، أو التي تستخدم رمز الخط، أو التي تنتهي بسلسلة أرقام متكررة بلا نهاية.

الرقم هو رمز يُستخدم في الترميز الموضعي، بينما يتكون العدد من رقم واحد أو أكثر يُستخدم لتمثيل عدد باستخدام الترميز الموضعي. أكثر الأرقام شيوعًا اليوم هي الأرقام العشرية "0" و"1" و "2" و"3" و"4" و"5" و"6" و"7" و"8" و"9". يبرز الفرق بين الرقم والعدد بشكلٍ جليّ في سياق نظام العد.

العدد غير الصفري الذي يحتوي على أكثر من خانة واحدة يُمثل عددًا مختلفًا في نظام عد مختلف، ولكن بشكل عام، تحمل الأرقام نفس المعنى. ^{[ 16 ]} _{على سبيل المثال، العدد 23 8} في النظام الثماني يتكون من خانتين، "2" و"3"، بالإضافة إلى الرقم الأساسي (الرمز السفلي) "8". عند تحويله إلى النظام العشري، يُصبح 23 ₈ مُكافئًا لـ 19 ₁₀ ، أي 23 ₈ = 19 _10. في هذا الترميز، يُعتبر الرمز السفلي " ₈ " للعدد 23 ₈ جزءًا من العدد نفسه، ولكن قد لا يكون هذا هو الحال دائمًا.

تخيل أن العدد "23" له أساس عدّي غير محدد . عندئذٍ، يمكن أن يكون "23" أي أساس عدّي، بدءًا من الأساس 4. في الأساس 4، يعني "23" العدد 11 × ₁₀ ، أي 23 _{× 4} = 11 × _10. في الأساس 60، يعني "23" العدد 123 × ₁₀ ، أي 23 _{× 60} = 123 × _10. بالتالي، يتوافق العدد "23" في هذه الحالة مع مجموعة الأعداد العشرية {11، 13، 15، 17، 19، 21، 23 ، ...، 121، 123}، بينما يحتفظ الرقمان "2" و"3" دائمًا بمعناهما الأصلي: "2" يعني "اثنان"، و"3" يعني "ثلاثة".

في بعض التطبيقات، عندما يحتاج رقم ذو عدد ثابت من الخانات إلى تمثيل عدد أكبر، يمكن استخدام نظام عد ذي أساس أعلى يحتوي على عدد أكبر من الأرقام في كل خانة. يمكن لرقم عشري مكون من ثلاثة أرقام أن يمثل حتى 999 فقط . ولكن إذا زاد أساس العد إلى 11، على سبيل المثال، بإضافة الرقم "A"، فإن الخانات الثلاث نفسها، بعد تعظيمها إلى "AAA"، يمكنها تمثيل عدد يصل إلى 1330. يمكننا زيادة أساس العد مرة أخرى وتعيين "B" للرقم 11، وهكذا (ولكن هناك أيضًا إمكانية للتشفير بين الرقم والرقم في التسلسل الهرمي للرقم-الرقم-الرقم). يمكن أن يعني الرقم المكون من ثلاثة أرقام "ZZZ" في النظام ذي الأساس 60٢١٥٩٩٩. إذا استخدمنا جميع حروفنا وأرقامنا، فسنتمكن في النهاية من إنشاء نظام عدٍّ أساسه ٦٢ ، لكننا نحذف رقمين، الحرف "I" الكبير والحرف "O" الكبير، لتجنب الخلط مع الرقمين "١" و"٠". ^{[ ١٧ ]} يتبقى لدينا نظام عدٍّ أساسه ٦٠، أو النظام الستيني، الذي يستخدم ٦٠ حرفًا من أصل ٦٢ حرفًا ورقمًا قياسيًا. (انظر النظام الستيني أدناه). بشكل عام، عدد القيم الممكنة التي يمكن تمثيلها بواسطة${\displaystyle d}$رقم الخانة في الأساس${\displaystyle r}$يكون${\displaystyle r^{d}}$.

تُعدّ الأنظمة العددية الشائعة في علوم الحاسوب هي النظام الثنائي (أساسه 2)، والنظام الثماني (أساسه 8)، والنظام الست عشري (أساسه 16). في النظام الثنائي ، يقتصر العدد على الرقمين "0" و"1". أما في النظام الثماني ، فيتكون العدد من ثمانية أرقام من 0 إلى 7. بينما يتكون النظام الست عشري من الأرقام من 0 إلى 9 ومن A إلى F، حيث تحتفظ الأرقام العشرة بمعناها المعتاد، بينما تُقابل الأحرف الأبجدية القيم من 10 إلى 15، ليصبح المجموع ستة عشر رقمًا. يُقابل الرقم "10" الرقم الثنائي "2"، أو الرقم الثماني "8"، أو الرقم الست عشري "16".

يمكن توسيع الترميز ليشمل الأسس السالبة للأساس b . وبالتالي، يتم استخدام ما يسمى بنقطة الأساس، والتي غالباً ما تكون  ».«، كفاصل بين المواضع ذات الأسس غير السالبة وتلك ذات الأسس السالبة.

الأعداد غير الصحيحة تستخدم خانات بعد الفاصلة العشرية . لكل خانة بعد هذه الفاصلة (وبالتالي بعد خانة الآحاد)، ينقص الأس n للقوة bⁿ بمقدار 1 ^، وتقترب القوة من 0. على سبيل المثال، العدد 2.35 يساوي:

${\displaystyle 2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}}$

إذا كان الأساس وجميع الأرقام في مجموعة الأرقام غير سالبة، فلا يمكن التعبير عن الأعداد السالبة. وللتغلب على ذلك، تُضاف علامة الطرح ( -) إلى نظام العد. في الترميز المعتاد، تُضاف هذه العلامة في بداية سلسلة الأرقام التي تُمثل العدد غير السالب.

التحويل إلى قاعدة${\displaystyle b_{2}}$عدد صحيح n ممثل في الأساس${\displaystyle b_{1}}$يمكن القيام بذلك من خلال سلسلة من التقسيمات الإقليدية بواسطة${\displaystyle b_{2}:}$الرقم الأيمن في الأساس${\displaystyle b_{2}}$هو باقي قسمة n على${\displaystyle b_{2};}$الرقم الثاني من اليمين هو باقي قسمة الناتج على${\displaystyle b_{2},}$وهكذا. الرقم الموجود في أقصى اليسار هو ناتج القسمة الأخير. بشكل عام، الرقم k من اليمين هو باقي القسمة على${\displaystyle b_{2}}$من ناتج القسمة ( k − 1) .

على سبيل المثال: تحويل A10B _Hex إلى عشري (41227):

0xA10B/10 = Q: 0x101A, R: 7 (في خانة الآحاد) 0x101A/10 = Q: 0x19C, R: 2 (خانة العشرات) 0x19C/10 = Q: 0x29, R: 2 (خانة المئات) 0x29/10 = Q: 0x4, R: 1 ... 4

عند التحويل إلى أساس أكبر (مثل التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري)، يمثل الباقي${\displaystyle b_{2}}$كرقم واحد، باستخدام أرقام من${\displaystyle b_{1}}$على سبيل المثال: تحويل 0b11111001 (ثنائي) إلى 249 (عشري):

0b11111001/10 = Q: 0b11000, R: 0b1001 (0b1001 = "9" لمكان الآحاد) 0b11000/10 = Q: 0b10, R: 0b100 (0b100 = "4" للعشرات) 0b10/10 = Q: 0b0, R: 0b10 (0b10 = "2" للمئات)

بالنسبة للجزء الكسري ، يمكن التحويل بأخذ الأرقام بعد الفاصلة العشرية (البسط) وقسمتها على المقام الضمني في نظام العد المستهدف. قد يلزم التقريب نظرًا لاحتمالية وجود أرقام غير منتهية إذا كان مقام الكسر المختزل يحتوي على عامل أولي يختلف عن أي من العوامل الأولية لنظام العد المراد التحويل إليه. على سبيل المثال، 0.1 في النظام العشري (1/10) يُكتب 0b1/0b1010 في النظام الثنائي، وبقسمة هذا العدد في نظام العد الثنائي، تكون النتيجة 0b0.00011 ( لأن أحد العوامل الأولية للعدد 10 هو 5). لمزيد من المعلومات حول الكسور وأنظمة العد العامة، راجع خوارزمية أنظمة العد الموجبة .

بدلاً من ذلك، يمكن استخدام طريقة هورنر لتحويل الأساس باستخدام الضرب المتكرر، بنفس التعقيد الحسابي للقسمة المتكررة. ^{[ 18 ]} يمكن اعتبار العدد في التدوين الموضعي متعدد حدود، حيث يمثل كل رقم معاملًا. قد تكون المعاملات أكبر من رقم واحد، لذا فإن إحدى الطرق الفعالة لتحويل الأساس هي تحويل كل رقم، ثم حساب متعدد الحدود باستخدام طريقة هورنر ضمن الأساس المستهدف. تحويل كل رقم هو مجرد جدول بحث بسيط ، مما يلغي الحاجة إلى عمليات القسمة أو باقي القسمة المكلفة؛ ويصبح الضرب في x إزاحة إلى اليمين. مع ذلك، يمكن استخدام خوارزميات أخرى لحساب متعدد الحدود، مثل التربيع المتكرر للأرقام المفردة أو المتفرقة. مثال:

حوّل 0xA10B إلى 41227 A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

جدول البحث: 0x0 = 0 0x1 = 1 ... 0x9 = 9 0xA = 10 0xB = 11 0xC = 12 0xD = 13 0xE = 14 0xF = 15 لذلك فإن الأرقام العشرية للعدد 0xA10B هي 10 و 1 و 0 و 11.

رتب الأرقام على هذا النحو. يتم حذف الرقم الأكثر أهمية (10): 10 1 0 11 <- أرقام 0xA10B

 --------------- 10 ثم نضرب الرقم السفلي من الأساس المصدر (16)، ويوضع الناتج تحت الرقم التالي من القيمة المصدر، ثم نضيف: 10 1 0 11 160 --------------- 10 161

كرر العملية حتى تتم عملية الإضافة الأخيرة: 10 1 0 11 160 2576 41216 --------------- 10 161 2576 41227

وهذا يساوي 41227 بالنظام العشري.

حوّل 0b11111001 إلى 249 جدول البحث: 0b0 = 0 0b1 = 1

نتيجة: 1 1 1 1 1 0 0 1 <- أرقام 0b11111001 2 6 14 30 62 124 248 ------------------------- 1 3 7 15 31 62 124 249

الأعداد التي لها تمثيل محدود تشكل شبه الحلقة

${\displaystyle {\frac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} _{0}}}}:=\left\{mb^{-\nu }\mid m\in \mathbb {N} _{0}\wedge \nu \in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

وبشكل أكثر وضوحاً، إذا${\displaystyle p_{1}^{\nu _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{n}^{\nu _{n}}:=b}$هو تحليل إلى عوامل${\displaystyle b}$في الأعداد الأولية${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {P} }$مع الأسس${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}\in \mathbb {N} }$[ ^{19 ]} ثم مع مجموعة المقامات غير ^{الفارغة}${\displaystyle S:=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$ لدينا

${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}:=\left\{x\in \mathbb {Q} \left|\,\exists \mu _{i}\in \mathbb {Z} :x\prod _{i=1}^{n}{p_{i}}^{\mu _{i}}\in \mathbb {Z} \right.\right\}=b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} ={\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$

أين${\displaystyle \langle S\rangle }$هي المجموعة التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle p\in S}$و${\displaystyle {\langle S\rangle }^{-1}\mathbb {Z} }$هو ما يسمى بتوطين${\displaystyle \mathbb {Z} }$بالنسبة إلى${\displaystyle S}$.

مقام عنصر من${\displaystyle \mathbb {Z} _{S}}$يحتوي، إذا اختُزل إلى أبسط صورة، على العوامل الأولية فقط من${\displaystyle S}$هذه الحلقة من جميع الكسور المنتهية إلى الأساس${\displaystyle b}$كثيفة في مجال الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$. أما بالنسبة للمقياس المعتاد (الأرخميدي)، فإن إتمامها هو نفسه بالنسبة لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$أي الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$لذا، إذا${\displaystyle S=\{p\}}$ثم${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{p\}}}$لا ينبغي الخلط بينه وبين${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$، حلقة التقييم المنفصلة للأصل الأولي${\displaystyle p}$وهو ما يساوي${\displaystyle \mathbb {Z} _{T}}$مع${\displaystyle T=\mathbb {P} \setminus \{p\}}$.

لو${\displaystyle b}$يقسم${\displaystyle c}$لدينا${\displaystyle b^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} \subseteq c^{\mathbb {Z} }\,\mathbb {Z} .}$

في نظام الأرقام العشري (الأساس 10) الهندي العربي ، يمثل كل موضع بدءًا من اليمين قوة أعلى للعدد 10. يمثل الموضع الأول 100 ( ¹ )، والموضع الثاني 101 (10)، والموضع الثالث 102 (10 × 10 أو 100)، والموضع الرابع 103 ( ^{10 ×} 10 × 10 أو ¹⁰⁰⁰ ) ، وهكذا.

تُشير الأرقام الكسرية إلى وجود فاصل ، يختلف موقعه من خانة لأخرى. عادةً ما يكون هذا الفاصل نقطة أو فاصلة . تُضرب الأرقام التي على يمينه في 10 مرفوعة إلى قوة سالبة. يشير الموضع الأول على يمين الفاصل إلى 10⁻¹ ( ^0.1 )، والموضع الثاني ^إلى 10⁻² (0.01)، وهكذا بالنسبة لكل موضع لاحق.

على سبيل المثال، العدد 2674 في نظام العد ذي الأساس 10 هو:

(2 × 10³ ⁾ + (6 × 10² ⁾ + (7 × ^10¹ ) + (4 × ^10⁰ )

أو

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

استُخدم النظام الستيني أو النظام ذو الأساس 60 للأجزاء الصحيحة والكسرية من الأرقام البابلية وغيرها من الأنظمة الميزوبوتامية، من قِبل علماء الفلك الهلنستيين الذين استخدموا الأرقام اليونانية للجزء الكسري فقط، ولا يزال يُستخدم للوقت والزوايا الحديثة، ولكن فقط للدقائق والثواني. ومع ذلك، لم تكن جميع هذه الاستخدامات متعلقة بالموقع.

يفصل التوقيت الحديث بين كل موضع بنقطتين رأسيتين أو علامة الفتحة . على سبيل المثال، قد يكون الوقت 10:25:59 (10 ساعات و25 دقيقة و59 ثانية). وتستخدم الزوايا ترميزًا مشابهًا. على سبيل المثال، قد تكون الزاوية 10° 25 ′ 59 ″ (10 درجات و25 دقيقة و59 ثانية ). في كلتا الحالتين، تُستخدم الدقائق والثواني فقط بالترميز الستيني - يمكن أن تكون الدرجات الزاوية أكبر من 59 (دورة واحدة حول دائرة تساوي 360°، ودورتان تساويان 720°، وهكذا)، ويستخدم كل من الوقت والزوايا كسورًا عشرية من الثانية. وهذا يختلف عن الأرقام التي استخدمها علماء الفلك الهلنستيون وعصر النهضة ، الذين استخدموا الأثلاث والأرباع ، وما إلى ذلك، لزيادات أدق. في حين أننا قد نكتب 10° ‍ 25 ′ ‍ 59.392 ″ ، فإنهم كانوا سيكتبون 10° ‍ 25 ′ ‍ 59 ′′ ‍ 23 ′′′ ‍ 31 ′′′′ ‍ 12 ′′′′′ أو 10° ‍ 25ⁱ ‍ 59ⁱⁱ ‍ 23ⁱⁱⁱ ‍ 31^iv ‍ 12^v .

إن استخدام مجموعة من الأرقام مع الأحرف الكبيرة والصغيرة يسمح بتدوين مختصر للأرقام الستينية، على سبيل المثال 10:25:59 تصبح 'ARz' (عن طريق حذف I و O، ولكن ليس i و o)، وهو أمر مفيد للاستخدام في عناوين URL وما إلى ذلك، ولكنه ليس مفهومًا جدًا للبشر.

في ثلاثينيات القرن العشرين، قدّم أوتو نويغباور نظامًا حديثًا لتدوين الأرقام البابلية والهيلينية، يستبدل فيه الترميز العشري الحديث من 0 إلى 59 في كل خانة، مع استخدام فاصلة منقوطة (؛) للفصل بين الأجزاء الصحيحة والكسرية من العدد، وفاصلة (،) للفصل بين الخانات داخل كل جزء. ^{[ 22 ]} على سبيل المثال، يبلغ متوسط ​​الشهر الاقتراني الذي استخدمه علماء الفلك البابليون والهيلينيون، والذي لا يزال يُستخدم في التقويم العبري ، 29، 31، 50، 8، 20 يومًا، وتُكتب الزاوية المستخدمة في المثال أعلاه على النحو التالي: 10، 25، 59، 23، 31، 12 درجة.

في مجال الحوسبة ، تُستخدم أنظمة العد الثنائية (الأساس 2)، والثمانية (الأساس 8)، والسداسية عشرية (الأساس 16) على نطاق واسع. تتعامل الحواسيب، في أبسط مستوياتها، مع سلاسل من الأصفار والآحاد التقليدية، مما يُسهّل التعامل مع قوى العدد اثنين. يُستخدم النظام السداسي عشري كاختصار للنظام الثنائي، حيث تُقابل كل أربعة أرقام ثنائية (بتات) رقمًا سداسيًا عشريًا واحدًا فقط. في النظام السداسي عشري، تُرمز الأرقام الستة التي تلي الرقم 9 بالأحرف A، B، C، D، E، وF (وأحيانًا a، b، c، d، e، وf).

يُستخدم النظام الثماني أيضًا كطريقة أخرى لتمثيل الأعداد الثنائية. في هذه الحالة، الأساس هو 8، وبالتالي تُستخدم الأرقام 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، و7 فقط. عند التحويل من النظام الثنائي إلى النظام الثماني، يرتبط كل 3 بتات برقم ثماني واحد فقط.

تم استخدام النظام الست عشري، والنظام العشري، والنظام الثماني، ومجموعة واسعة من الأنظمة الأخرى لترميز البيانات الثنائية إلى نص ، وتنفيذ العمليات الحسابية ذات الدقة التعسفية ، وتطبيقات أخرى.

للاطلاع على قائمة بالأنظمة العددية وتطبيقاتها، انظر قائمة الأنظمة العددية .

حظيت أنظمة العد ذات الأساس 12 ( النظام الاثني عشري أو النظام ذو الأساس 12) بشعبية واسعة نظرًا لسهولة عمليات الضرب والقسمة فيها مقارنةً بالنظام ذي الأساس 10، مع سهولة مماثلة في الجمع والطرح. يُعدّ العدد 12 أساسًا مفيدًا لكثرة عوامله المشتركة ، فهو أصغر مضاعف مشترك للأعداد 1 و2 و3 و4 و6. ولا تزال هناك كلمة خاصة تُشير إلى "الدستة" في اللغة الإنجليزية، وبالقياس على كلمة " مئة ^{" (10²)} ، طوّرت التجارة كلمة " إجمالي " ( ^12² ). ويؤكد استخدام نظام الساعات الاثنتي عشرة القياسي والاستخدام الشائع للعدد 12 في الوحدات الإنجليزية على أهمية هذا الأساس. إضافةً إلى ذلك، قبل تحويل العملة البريطانية القديمة، الجنيه الإسترليني (GBP)، إلى النظام العشري جزئيًا ؛ حيث كان الشلن (s) يساوي 12 بنسًا (d)، والجنيه الإسترليني (£) يساوي 20 شلنًا، وبالتالي كان الجنيه الإسترليني يساوي 240 بنسًا. ومن هنا جاء مصطلح LSD أو، بشكل أدق، £sd .

استخدمت حضارة المايا وغيرها من حضارات أمريكا الوسطى قبل كولومبوس النظام العشري ( النظام العشرين )، كما فعلت العديد من قبائل أمريكا الشمالية (اثنتان منها في جنوب كاليفورنيا). وتوجد أدلة على أنظمة العد العشرية أيضاً في لغات وسط وغرب أفريقيا .

لا تزال بعض آثار النظام العشري الغالي موجودة في اللغة الفرنسية، كما يتضح اليوم في أسماء الأعداد من 60 إلى 99. على سبيل المثال، يُكتب العدد 65 على النحو التالي: soixante-cinq (أي "خمسة وستون")، بينما يُكتب العدد 75 على النحو التالي: soixante-quinze (أي "خمسة وستون"). علاوة على ذلك، بالنسبة لأي عدد بين 80 و99، يُكتب العدد في خانة العشرات كمضاعف للعدد 20. على سبيل المثال، يُكتب العدد 82 على النحو التالي: quatre-vingt-deux (أي "أربعة وعشرون واثنان")، بينما يُكتب العدد 92 على النحو التالي: quatre-vingt-douze (أي "أربعة وعشرون واثنا عشر"). في الفرنسية القديمة، كان يُكتب العدد 40 على أنه عشرونان، والعدد 60 على أنه ثلاث عشرون، وبالتالي كان يُكتب العدد 53 على أنه عشرونان وثلاثة عشر، وهكذا.

في اللغة الإنجليزية، يظهر نظام العد العشري نفسه في استخدام كلمة " scores ". ورغم أن استخدامه تاريخي في الغالب، إلا أنه يُستخدم أحيانًا في اللغة الدارجة. تبدأ الآية 10 من المزمور 90 في نسخة الملك جيمس من الكتاب المقدس بالآية: "أيام سنيننا سبعون سنة، وإن كانت مع القوة ثمانين سنة، فقوتها تعب وحزن". ويبدأ خطاب جيتيسبيرغ بالآية: "قبل أربعة وثمانين عامًا".

استخدمت اللغة الأيرلندية أيضًا القاعدة 20 في الماضي، حيث كانت عشرين عبارة عن fichid ، وأربعين dhá fhichid ، وستين trí fhichid ، وثمانين ceithre fhichid . يمكن رؤية بقايا هذا النظام في الكلمة الحديثة التي تعني 40، daoichead .

لا تزال اللغة الويلزية تستخدم نظام العد ذي الأساس 20 ، خاصةً في تحديد أعمار الأشخاص والتواريخ وفي العبارات الشائعة. للرقم 15 أهمية خاصة، حيث يُعبّر عن الأرقام من 16 إلى 19 بـ "واحد على 15" و"اثنان على 15" وهكذا. أما الرقم 18 فيُعبّر عنه عادةً بـ "تسعينين". ويُستخدم النظام العشري بشكل شائع.

تستخدم لغات الإنويت نظام العد ذي الأساس 20. وقد ابتكر طلاب من كاكتوفيك، ألاسكا، نظامًا عدديًا ذا أساس 20 في عام 1994 ^{[ 23 ].}

تُظهر الأرقام الدنماركية بنية مماثلة تعتمد على أساس 20 .

تحتوي لغة الماوري في نيوزيلندا أيضًا على دليل على نظام أساسه 20 كما يتضح في مصطلحات Te Hokowhitu a Tu التي تشير إلى فرقة حرب (حرفيًا "العشرونيات السبعة لـ Tu") و Tama-hokotahi ، التي تشير إلى محارب عظيم ("الرجل الواحد الذي يساوي 20").

استُخدم النظام الثنائي  في المملكة المصرية القديمة، من 3000 قبل الميلاد إلى 2050  قبل الميلاد. وكان يُكتب بخط اليد عن طريق تقريب الأعداد النسبية الأصغر من 1 إلى 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 ، مع حذف الحد 1/64 (كان يُطلق على النظام اسم عين حورس ).

يستخدم عدد من لغات السكان الأصليين الأسترالية أنظمة عد ثنائية أو ثنائية. على سبيل المثال، في Kala Lagaw Ya ، الأرقام من واحد إلى ستة هي urapon ، ukasar ، ukasar-urapon ، ukasar-ukasar ، ukasar-ukasar-urapon ، ukasar-ukasar-ukasar .

استخدم سكان أمريكا الشمالية والوسطى الأصليون النظام الرباعي (الأساس 4 ) لتمثيل الاتجاهات الأصلية الأربعة. أما سكان أمريكا الوسطى، فقد مالوا إلى إضافة نظام خماسي ثانٍ لإنشاء نظام معدل أساسه 20.

استُخدم النظام الخماسي (الأساس 5 ) في العديد من الثقافات للعد. وهو ببساطة يعتمد على عدد أصابع اليد البشرية. ويمكن اعتباره أيضاً أساساً فرعياً لأنظمة أخرى، مثل النظام العشري (الأساس 10)، والنظام العشرين (الأساس 20)، والنظام الستيني (الأساس 60).

ابتكرت قبيلة يوكي في شمال كاليفورنيا نظامًا ثمانيًا (الأساس 8 ) ، حيث استخدموا المسافات بين الأصابع للعد، والتي تُقابل الأرقام من واحد إلى ثمانية. ^{[ 24 ]} وهناك أيضًا أدلة لغوية تُشير إلى أن الأوروبيين الهندو-أوروبيين الأوائل في العصر البرونزي (الذين تنحدر منهم معظم اللغات الأوروبية والهندية) ربما استبدلوا النظام الثماني (أو نظامًا يقتصر على العد حتى 8) بنظام عشري. ويُشير الدليل إلى أن كلمة " نيوم" (newm ) التي تعني 9 ، يُعتقد أنها مُشتقة من كلمة "جديد" (newo-) ، مما يُوحي بأن الرقم 9 قد تم ابتكاره حديثًا وأُطلق عليه اسم "الرقم الجديد". ^{[ 25 ]}

تستخدم العديد من أنظمة العد القديمة الرقم خمسة كأساس رئيسي، وهو على الأرجح مشتق من عدد أصابع اليد. غالبًا ما تُستكمل هذه الأنظمة بأساس ثانوي، أحيانًا عشرة، وأحيانًا عشرين. في بعض اللغات الأفريقية، تُستخدم كلمة "خمسة" نفسها للدلالة على "يد" أو "قبضة" (مثل لغة ديولا في غينيا بيساو ، ولغة باندا في وسط أفريقيا ). يستمر العد بإضافة 1 أو 2 أو 3 أو 4 إلى مجموعات من 5، حتى الوصول إلى الأساس الثانوي. في حالة الرقم عشرين، غالبًا ما تعني هذه الكلمة "الرجل الكامل". يُشار إلى هذا النظام باسم " الخماسي عشري " . وهو موجود في العديد من لغات منطقة السودان .

تتميز لغة تليفول، التي يتم التحدث بها في بابوا غينيا الجديدة، بامتلاكها نظامًا عدديًا أساسه 27 .