المنطق الافتراضي

📅 آخر تحديث: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 221 صور
الموسوعة الحرة

المنطق الافتراضي فرع من فروع المنطق الكلاسيكي . [ 1 ] [ 2 ] ويُسمى أيضًا منطق العبارات ، [ 1 ] أو حساب الجمل ، [ 3 ] أو حساب القضايا ، [ 4 ] أو [ أ ] أو منطق الجمل ، [ 5 ] أو [ 1 ] أو أحيانًا منطق الرتبة الصفرية . [ ب ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] ويُطلق عليه أحيانًا منطق القضايا من الرتبة الأولى [ 10 ] لمقارنته بالنظام F ، ولكنه يختلف عنه . يتعامل هذا المنطق مع القضايا [ 1 ] ( التي يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة ) [ 11 ] والعلاقات بينها، [ 12 ] بما في ذلك بناء الحجج بناءً عليها. [ 13 ] تتكون القضايا المركبة من خلال ربط القضايا بروابط منطقية تُمثل دوال الصدق للاقتران ، والفصل ، والاستلزام ، والشرط الثنائي ، والنفي . [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] تتضمن بعض المصادر روابط أخرى، كما هو موضح في الجدول أدناه.

بخلاف منطق الرتبة الأولى ، لا يتعامل منطق القضايا مع الكائنات غير المنطقية، أو المسندات المتعلقة بها، أو الكميات . ومع ذلك، فإن جميع آليات منطق القضايا مُضمنة في منطق الرتبة الأولى ومنطق الرتب العليا. وبهذا المعنى، يُعد منطق القضايا أساس منطق الرتبة الأولى ومنطق الرتب العليا.

تُدرس منطق القضايا عادةً باستخدام لغة رسمية ، [ ج ] حيث تُمثل القضايا بأحرف تُسمى متغيرات القضايا . تُستخدم هذه المتغيرات، إلى جانب رموز الروابط المنطقية، لتكوين صيغ القضايا . ولهذا السبب، تُسمى متغيرات القضايا بالصيغ الذرية للغة القضايا الرسمية. [ 15 ] [ 2 ] بينما تُمثل القضايا الذرية عادةً بأحرف الأبجدية ، [ د ] [ 15 ] توجد مجموعة متنوعة من الرموز لتمثيل الروابط المنطقية. ولتسهيل الأمر على القراء الذين قد يكونون معتادين على رموز مختلفة للروابط المنطقية، يُبين الجدول التالي الرموز الرئيسية لكل رابط في منطق القضايا. وقد استُخدمت رموز أخرى تاريخيًا، مثل الرمز البولندي . للاطلاع على تاريخ كل رمز من هذه الرموز، يُرجى مراجعة المقالات ذات الصلة، بالإضافة إلى مقالة " الرابط المنطقي ".

المتغيرات التدوينية للروابط [ هـ ] [ 18 ] [ 19 ]
اتصالرمز
وأ∧ب{\displaystyle A\land B}،أ⋅ب{\displaystyle A\cdot B}،أب{\displaystyle AB}،أوب{\displaystyle A\&B}،أووب{\displaystyle A\&\&B}
مقابلأ≡ب{\displaystyle A\equiv B}،أ⇔ب{\displaystyle A\Leftrightarrow B}،أ⇋ب{\displaystyle A\leftrightharpoons B}
يشير إلىأ⇒ب{\displaystyle A\Rightarrow B}،أ⊃ب{\displaystyle A\supset B}،أ→ب{\displaystyle A\rightarrow B}
ذاكرة NANDأ∧¯ب{\displaystyle A{\overline {\land }}B}،أ|ب{\displaystyle A\mid B}،أ⋅ب¯{\displaystyle {\overline {A\cdot B}}}
غير متكافئأ≢ب{\displaystyle A\not \equiv B}،أ⇎ب{\displaystyle A\not \Leftrightarrow B}،أ↮ب{\displaystyle A\nleftrightarrow B}
ولاأ∨¯ب{\displaystyle A{\overline {\lor }}B}،أ↓ب{\displaystyle A\downarrow B}،أ+ب¯{\displaystyle {\overline {A+B}}}
لا¬أ{\displaystyle \neg A}،-أ{\displaystyle -A}،أ¯{\displaystyle {\overline {A}}}،∼أ{\displaystyle \sim A}
أوأ∨ب{\displaystyle A\lor B}،أ+ب{\displaystyle A+B}،أ|ب{\displaystyle A\mid B}،أ∥ب{\displaystyle A\parallel B}
إكسنورأ⊙ب{\displaystyle A\odot B}
XORأ∨_ب{\displaystyle A{\underline {\lor }}B}،أ⊕ب{\displaystyle A\oplus B}

يُعدّ منطق القضايا الكلاسيكي ذو الوظائف الصادقة الفرع الأكثر بحثًا في منطق القضايا ، [ 1 ] حيث تُفسَّر الصيغ على أنها تحمل إحدى قيمتين صادقتين محتملتين فقط ، إما القيمة الصادقة أو القيمة الخاطئة . [ 20 ] ويُطبَّق فيه مبدأ الثنائية وقانون الوسط المرفوع . وبالمقارنة مع منطق الرتبة الأولى ، يُعتبر منطق القضايا ذو الوظائف الصادقة منطقًا من الرتبة الصفرية . [ 8 ] [ 9 ]

تاريخ

على الرغم من أن الفلاسفة السابقين قد ألمحوا إلى منطق القضايا، يُنسب الفضل غالبًا إلى خريسيبوس في تطوير نظام استنتاجي لمنطق القضايا باعتباره إنجازه الرئيسي في القرن الثالث قبل الميلاد [ 21 ]، والذي وسّعه خلفاؤه الرواقيون . ركّز هذا المنطق على القضايا ، وهو ما يختلف عن المنطق القياسي التقليدي الذي ركّز على الحدود . مع ذلك، فُقدت معظم الكتابات الأصلية [ 22 ] ، وفي وقت ما بين القرنين الثالث والسادس الميلاديين، تلاشى المنطق الرواقي في طي النسيان، ليُبعث من جديد في القرن العشرين فقط، في أعقاب (إعادة) اكتشاف منطق القضايا. [ 23 ]

المنطق الرمزي ، الذي سيصبح ذا أهمية بالغة في تطوير المنطق الافتراضي، طُوِّر لأول مرة على يد عالم الرياضيات غوتفريد لايبنتز في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، إلا أن حسابه الاستدلالي كان مجهولاً لدى المجتمع المنطقي الأوسع. ونتيجة لذلك، أعاد منطقيون مثل جورج بول وأوغسطس دي مورغان ، بشكل مستقل تماماً عن لايبنتز، ابتكار العديد من الإنجازات التي حققها لايبنتز. [ 24 ]

يستند منطق المسندات لغوتلوب فريجه إلى منطق القضايا، وقد وُصف بأنه يجمع بين "السمات المميزة لمنطق القياس ومنطق القضايا". [ 25 ] ونتيجة لذلك، بشّر منطق المسندات بعصر جديد في تاريخ المنطق؛ ومع ذلك، فقد استمر التقدم في منطق القضايا بعد فريجه، بما في ذلك الاستدلال الطبيعي ، وأشجار الحقيقة ، وجداول الحقيقة . وقد ابتكر الاستدلال الطبيعي كل من غيرهارد جنتزن وستانيسواف ياسكوفسكي . أما أشجار الحقيقة فقد ابتكرها إيفرت ويليم بيث . [ 26 ] أما ابتكار جداول الحقيقة، فلا يزال من غير المؤكد من يُنسب إليه.

تتضمن أعمال فريجه [ 27 ] وبرتراند راسل [ 28 ] أفكارًا مؤثرة في ابتكار جداول الصواب. يُنسب تصميم الجدول نفسه، بشكل عام، إلى لودفيج فيتجنشتاين أو إميل بوست (أو كليهما، بشكل مستقل). [ 27 ] إلى جانب فريجه وراسل ، يُنسب إلى آخرين أفكار سبقت جداول الصواب، مثل فيلو، وبول، وتشارلز ساندرز بيرس [ 29 ] ، وإرنست شرودر . ومن بين الذين يُنسب إليهم تصميم الجدول نفسه: يان لوكاسيفيتش ، وألفريد نورث وايتهيد ، وويليام ستانلي جيفونز ، وجون فين ، وكلارنس إيرفينغ لويس . [ 28 ] في النهاية، خلص البعض، مثل جون شوسكي، إلى أنه "ليس من الواضح إطلاقًا منح لقب 'مخترع' جداول الصواب على أي شخص بعينه". [ 28 ]

الجمل

المنطق الافتراضي، كما يُدرس حالياً في الجامعات، هو تحديد لمعيار الاستدلال المنطقي حيث لا يُؤخذ في الاعتبار سوى معاني الروابط الافتراضية عند تقييم شروط صحة جملة ما، أو ما إذا كانت جملة ما تتبع منطقياً من جملة أخرى أو مجموعة من الجمل. [ 2 ]

الجمل الخبرية

يتعامل المنطق الافتراضي مع العبارات ، والتي تُعرَّف بأنها جمل خبرية ذات قيمة منطقية. [ 30 ] [ 1 ] ومن أمثلة العبارات ما يلي:

تُقارن الجمل الخبرية بالأسئلة ، مثل "ما هي ويكيبيديا؟"، والجمل الأمرية ، مثل "يرجى إضافة مراجع لدعم الادعاءات الواردة في هذه المقالة". [ 31 ] [ 32 ] لا تحمل هذه الجمل غير الخبرية قيمة صدق ، [ 33 ] ولا تُعالج إلا في المنطق غير الكلاسيكي ، المسمى بالمنطق الإيروتيكي والمنطق الأمري .

تركيب الجمل باستخدام أدوات الربط

في منطق القضايا، يمكن أن تحتوي العبارة على عبارة واحدة أو أكثر كأجزاء. [ 1 ] تتكون الجمل المركبة من جمل أبسط، وتعبر عن العلاقات بين الجمل المكونة لها. [ 34 ] ويتم ذلك بدمجها باستخدام الروابط المنطقية : [ 34 ] [ 35 ] الأنواع الرئيسية للجمل المركبة هي النفي ، والعطف ، والفصل ، والاستلزام ، والشرط الثنائي ، [ 34 ] والتي تتكون باستخدام الروابط المناسبة لربط القضايا. [ 36 ] [ 37 ] في اللغة الإنجليزية ، تُعبر هذه الروابط بالكلمات "و" ( عطف )، و"أو" ( فصل )، و"ليس" ( نفي )، و"إذا" ( شرط مادي )، و"إذا وفقط إذا" ( شرط ثنائي ). [ 1 ] [ 14 ] ومن أمثلة هذه الجمل المركبة:

  • ويكيبيديا موسوعة إلكترونية مجانية يمكن لأي شخص تعديلها، وقد قام الملايين بذلك بالفعل .
  • ليس صحيحاً أن جميع محرري ويكيبيديا يتحدثون ثلاث لغات على الأقل. (نفي)
  • إما أن تكون لندن عاصمة إنجلترا، أو أن تكون لندن عاصمة المملكة المتحدة ، أو كليهما. (فصل) [ f ]

إذا كانت الجمل تفتقر إلى أي روابط منطقية، فإنها تسمى جملًا بسيطة ، [ 1 ] أو جملًا ذرية ؛ [ 35 ] وإذا كانت تحتوي على رابط منطقي واحد أو أكثر، فإنها تسمى جملًا مركبة ، [ 34 ] أو جملًا جزيئية . [ 35 ]

الروابط الجملية فئة أوسع تشمل الروابط المنطقية. [ 2 ] [ 35 ] الروابط الجملية هي أي أدوات لغوية تربط الجمل لتكوين جملة مركبة جديدة، [ 2 ] [ 35 ] أو تُصرف جملة واحدة لتكوين جملة جديدة. [ 2 ] الرابط المنطقي ، أو الرابط القضوي ، هو نوع من الروابط الجملية يتميز بأنه عندما تكون الجمل الأصلية التي يعمل عليها قضايا (أو تعبر عنها) ، فإن الجملة الجديدة الناتجة عن تطبيقه تكون أيضًا قضية (أو تعبر عنها) . [ 2 ] يختلف الفلاسفة حول ماهية القضية تحديدًا، [ 11 ] [ 2 ] وكذلك حول أي الروابط الجملية في اللغات الطبيعية تُعتبر روابط منطقية. [ 35 ] [ 2 ] تُسمى الروابط الجملية أيضًا بوظائف الجمل ، [ 38 ] وتُسمى الروابط المنطقية أيضًا بوظائف الصدق . [ 38 ]

الحجج

تُعرَّف الحجة بأنها زوج من العناصر، وهما مجموعة من الجمل تُسمى المقدمات ، [ g ] وجملة تُسمى النتيجة . [ 39 ] [ 35 ] [ 38 ] يُزعم أن النتيجة تتبع من المقدمات، [ 38 ] ويُزعم أن المقدمات تدعم النتيجة. [ 35 ]

مثال على الحجة

فيما يلي مثال على حجة ضمن نطاق منطق القضايا:

الفرضية الأولى: إذا كانت السماء تمطر، فإنها تكون غائمة.
الفرضية الثانية: إنها تمطر.
الخلاصة: الجو غائم.

يُعرف الشكل المنطقي لهذه الحجة باسم " القياس المنطقي" (modus ponens )، [ 40 ] وهو شكل صحيح كلاسيكيًا . [ 41 ] لذا، في المنطق الكلاسيكي، تكون الحجة صحيحة ، وإن كانت قد تكون سليمة أو غير سليمة ، اعتمادًا على الحقائق المناخية في سياق معين. سيتم إعادة استخدام هذه الحجة كمثال عند شرح قسم " الصياغة الرسمية" . 

الصلاحية والمتانة

تكون الحجة صحيحة إذا، وفقط إذا، كان من الضروري أن تكون النتيجة صحيحة إذا كانت جميع مقدماتها صحيحة. [ 39 ] [ 42 ] [ 43 ] أو بعبارة أخرى، تكون الحجة صحيحة إذا، وفقط إذا، كان من المستحيل أن تكون جميع مقدماتها صحيحة بينما تكون النتيجة خاطئة. [ 43 ] [ 39 ]

يُقابل الصدق بالسلامة . [ 43 ] تكون الحجة سليمة إذا، وفقط إذا، كانت صحيحة وجميع مقدماتها صحيحة. [ 39 ] [ 43 ] وإلا فهي غير سليمة . [ 43 ]

يهدف المنطق، بشكل عام، إلى تحديد الحجج الصحيحة بدقة. [ 35 ] ويتم ذلك بتعريف الحجة الصحيحة بأنها تلك التي تكون نتيجتها نتيجة منطقية لمقدماتها، [ 35 ] وهو ما يعني، عند فهمه على أنه نتيجة دلالية ، أنه لا توجد حالة تكون فيها المقدمات صحيحة ولكن النتيجة غير صحيحة [ 35 ] - انظر §  الدلالات أدناه.

الإضفاء الطابع الرسمي

تُدرس منطق القضايا عادةً من خلال نظام رسمي تُفسَّر فيه صيغ لغة رسمية لتمثيل القضايا . تُشكِّل هذه اللغة الرسمية أساس أنظمة البرهان ، التي تسمح باستخلاص نتيجة من مقدمات إذا، وفقط إذا، كانت نتيجة منطقية لها. سيوضح هذا القسم كيفية عمل ذلك من خلال صياغة حجة المثال في القسم § . سيتم تحديد اللغة الرسمية لحساب القضايا بشكل كامل في القسم § اللغة ، وسيتم تقديم لمحة عامة عن أنظمة البرهان في القسم § أنظمة البرهان .   

المتغيرات الافتراضية

بما أن منطق القضايا لا يهتم ببنية القضايا بعد النقطة التي لا يمكن عندها تحليلها باستخدام الروابط المنطقية، [ 40 ] [ 1 ] فإنه يُدرس عادةً باستبدال هذه العبارات الذرية (غير القابلة للتجزئة) بأحرف الأبجدية، والتي تُفسر على أنها متغيرات تمثل عبارات ( متغيرات القضايا ). [ 1 ] باستخدام متغيرات القضايا، يُرمز إلى حجة المثال § كما يلي: 

الفرضية الأولى:P→سؤال{\displaystyle P\to Q}
الفرضية الثانية:P{\displaystyle P}
خاتمة:سؤال{\displaystyle Q}

عندما يُفسَّر P على أنه "إنها تمطر" و Q على أنه "إنها غائمة"، فإن هذه التعبيرات الرمزية تتطابق تمامًا مع التعبير الأصلي في اللغة الطبيعية. ليس هذا فحسب، بل إنها تتطابق أيضًا مع أي استدلال آخر له نفس الشكل المنطقي .

عند استخدام نظام رسمي لتمثيل المنطق الرسمي، تُستخدم فقط أحرف العبارات (عادةً ما تكون أحرفًا رومانية كبيرة مثلP{\displaystyle P}،سؤال{\displaystyle Q}وR{\displaystyle R}يتم تمثيلها بشكل مباشر. أما قضايا اللغة الطبيعية التي تنشأ عند تفسيرها فهي خارج نطاق النظام، والعلاقة بين النظام الرسمي وتفسيره تقع أيضاً خارج نطاق النظام الرسمي نفسه.

تدوين جنتزن

إذا افترضنا أن صحة قاعدة القياس المنطقي (modus ponens) قد تم قبولها كمسلمة ، فإن الحجة نفسها المذكورة  في المثال يمكن تصويرها أيضًا على النحو التالي:

P→سؤال،Pسؤال{\displaystyle {\frac {P\to Q,P}{Q}}}

تُعرف هذه الطريقة في عرضها باسم تدوين جنتزن للاستدلال الطبيعي وحساب المتتاليات . [ 44 ] تُعرض المقدمات أعلى خط يُسمى خط الاستدلال ، [ 16 ] مفصولة بفاصلة ، مما يدل على تركيب المقدمات. [ 45 ] تُكتب النتيجة أسفل خط الاستدلال. [ 16 ] يُمثل خط الاستدلال النتيجة التركيبية ، [ 16 ] والتي تُسمى أحيانًا النتيجة الاستنتاجية ، [ 46 ] والتي يُرمز لها أيضًا بالرمز ⊢. [ 47 ] [ 46 ] لذا، يمكن كتابة ما سبق في سطر واحد كما يلي:P→سؤال،P⊢سؤال{\displaystyle P\to Q,P\vdash Q}. [ h ]

تُقارن النتيجة التركيبية بالنتيجة الدلالية ، [ 48 ] والتي يُرمز لها بالرمز ⊧. [ 47 ] [ 46 ] في هذه الحالة، يتبع الاستنتاج تركيبيًا نظرًا لافتراض قاعدة الاستدلال الاستنباطي الطبيعي (modus ponens ). لمزيد من المعلومات حول قواعد الاستدلال، انظر الأقسام المتعلقة بأنظمة البرهان أدناه.

لغة

اللغة (التي تسمى عادةل{\displaystyle {\mathcal {L}}}) [ 46 ] [ 49 ] [ 35 ] من حساب القضايا يتم تعريفها من حيث: [ 2 ] [ 15 ]

  1. مجموعة من الرموز الأولية، تسمى الصيغ الذرية ، والجمل الذرية ، [ 40 ] [ 35 ] والذرات، [ 50 ] والعناصر النائبة ، والصيغ الأولية ، [ 50 ] وحروف القضايا ، وحروف الجمل ، [ 40 ] أو المتغيرات ، و
  2. مجموعة من رموز العمليات، تسمى الروابط المنطقية ، [ 19 ] [ 1 ] [ 51 ] الروابط المنطقية ، [ 1 ] العمليات المنطقية ، [ 1 ] الروابط المنطقية، [1] دوال الصدق، [ 1 ] دوال الصدق ، [ 38 ] أو الروابط الافتراضية . [ 2 ]

الصيغة السليمة هي أي صيغة ذرية، أو أي صيغة يمكن بناؤها من صيغ ذرية باستخدام رموز العمليات وفقًا لقواعد النحو.ل{\displaystyle {\mathcal {L}}}إذن، يُعرَّف إما بأنه مطابق لمجموعة صيغه السليمة، [ 49 ] أو بأنه يحتوي على تلك المجموعة (إلى جانب، على سبيل المثال، مجموعة روابطه ومتغيراته). [ 15 ] [ 35 ]

عادةً ما تكون صيغةل{\displaystyle {\mathcal {L}}}يُعرَّف هذا المصطلح بشكل متكرر من خلال عدد قليل من التعريفات، كما سيتبين لاحقًا؛ إذ يُدرج بعض المؤلفين الأقواس صراحةً كعلامات ترقيم عند تعريف قواعد لغتهم، [ 35 ] [ 52 ] بينما يستخدمها آخرون دون تعليق. [ 2 ] [ 15 ]

بناء الجملة

بالنظر إلى مجموعة من المتغيرات الافتراضية الذريةص1{\displaystyle p_{1}}،ص2{\displaystyle p_{2}}،ص3{\displaystyle p_{3}}...، ومجموعة من الروابط المنطقيةج11{\displaystyle c_{1}^{1}}،ج21{\displaystyle c_{2}^{1}}،ج31{\displaystyle c_{3}^{1}}...ج12{\displaystyle c_{1}^{2}}،ج22{\displaystyle c_{2}^{2}}،ج32{\displaystyle c_{3}^{2}}...ج13{\displaystyle c_{1}^{3}}،ج23{\displaystyle c_{2}^{3}}،ج33{\displaystyle c_{3}^{3}}...، يتم تعريف صيغة منطق القضايا بشكل متكرر من خلال هذه التعريفات: [ 2 ] [ 15 ] [ 51 ] [ i ]

التعريف 1 : المتغيرات الافتراضية الذرية هي صيغ.
التعريف 2 : إذاجنم{\displaystyle c_{n}^{m}}هي رابطة منطقية، و⟨{\displaystyle \langle }أ، ب، ج، …⟩{\displaystyle \rangle }إذا كانت سلسلة من m من الصيغ، قد تكون ذرية ولكن ليس بالضرورة، وقد تكون متميزة ولكن ليس بالضرورة، فإن نتيجة تطبيقجنم{\displaystyle c_{n}^{m}}ل⟨{\displaystyle \langle }أ، ب، ج، …⟩{\displaystyle \rangle }هي صيغة.
التعريف الثالث: لا شيء آخر هو صيغة.

كتابة نتيجة التقديمجنم{\displaystyle c_{n}^{m}}ل⟨{\displaystyle \langle }أ، ب، ج، ...⟩{\displaystyle \rangle }في الترميز الوظيفي، كماجنم{\displaystyle c_{n}^{m}}(أ، ب، ج، ...)، لدينا ما يلي كأمثلة على الصيغ الصحيحة:

  • ص5{\displaystyle p_{5}}
  • ج32(ص2،ص9){\displaystyle c_{3}^{2}(p_{2},p_{9})}
  • ج32(ص1،ج21(ص3)){\displaystyle c_{3}^{2}(p_{1},c_{2}^{1}(p_{3}))}
  • ج13(ص4،ص6،ج22(ص1،ص2)){\displaystyle c_{1}^{3}(p_{4},p_{6},c_{2}^{2}(p_{1},p_{2}))}
  • ج42(ج11(ص7)،ج31(ص8)){\displaystyle c_{4}^{2}(c_{1}^{1}(p_{7}),c_{3}^{1}(p_{8}))}
  • ج23(ج12(ص3،ص4)،ج21(ص5)،ج32(ص6،ص7)){\displaystyle c_{2}^{3}(c_{1}^{2}(p_{3},p_{4}),c_{2}^{1}(p_{5}),c_{3}^{2}(p_{6},p_{7}))}
  • ج31(ج13(ص2،ص3،ج22(ص4،ص5))){\displaystyle c_{3}^{1}(c_{1}^{3}(p_{2},p_{3},c_{2}^{2}(p_{4},p_{5})))}

ما ورد في التعريف الثاني أعلاه، المسؤول عن تركيب الصيغ، يُشار إليه من قِبل كولين هاوسون بمبدأ التركيب . [ 40 ] [ j ] هذا التكرار في تعريف بناء الجملة للغة هو ما يُبرر استخدام كلمة "ذري" للإشارة إلى المتغيرات الافتراضية، حيث أن جميع الصيغ في اللغةل{\displaystyle {\mathcal {L}}}تُبنى الجزيئات من الذرات باعتبارها اللبنات الأساسية. [ 2 ] تُسمى الصيغ المركبة (جميع الصيغ باستثناء الذرات) جزيئات ، [ 50 ] أو جمل جزيئية . [ 35 ] (هذا تشبيه غير دقيق بالكيمياء ، لأن الجزيء الكيميائي قد يحتوي أحيانًا على ذرة واحدة فقط، كما هو الحال في الغازات أحادية الذرة ). [ 50 ]

إن التعريف الوارد أعلاه، وهو التعريف الثالث ، والذي ينص على أنه "لا شيء آخر يُعد صيغة"، يستبعد أي صيغة من اللغة غير مطلوبة تحديدًا من قِبل التعريفات الأخرى في بناء الجملة. [ 38 ] وعلى وجه الخصوص، يستبعد هذا التعريف الصيغ الطويلة جدًا من كونها سليمة الصياغة . [ 38 ] ويُطلق عليه أحيانًا اسم " شرط الإغلاق" . [ 54 ]

قواعد CF في BNF

يتمثل البديل لتعريفات بناء الجملة المذكورة أعلاه في كتابة قواعد نحوية خالية من السياق (CF) للغة.ل{\displaystyle {\mathcal {L}}}في صيغة باكوس-ناور (BNF). [ 55 ] [ 56 ] وهذا أكثر شيوعًا في علوم الحاسوب منه في الفلسفة . [ 56 ] ويمكن القيام بذلك بعدة طرق، [ 55 ] منها طريقة مختصرة بشكل خاص، بالنسبة لمجموعة الروابط الخمسة الشائعة، وهي هذه الجملة المفردة: [ 56 ] [ 57 ]

ϕ::=أ1،أ2،... | ¬ϕ | ϕ و ψ | ϕ∨ψ | ϕ→ψ | ϕ↔ψ{\displaystyle \phi ::=a_{1},a_{2},\ldots ~|~\neg \phi ~|~\phi ~\&~\psi ~|~\phi \vee \psi ~|~\phi \rightarrow \psi ~|~\phi \leftrightarrow \psi }

هذه الفقرة، نظراً لطبيعتها المرجعية الذاتية (لأنϕ{\displaystyle \phi }يُعد ذلك جزءًا من بعض فروع تعريفϕ{\displaystyle \phi }كما أنه يعمل كتعريف تكراري ، وبالتالي يحدد اللغة بأكملها. لتوسيعه لإضافة عوامل نمطية ، يكفي إضافة ... | ◻ϕ | ◊ϕ{\displaystyle |~\Box \phi ~|~\Diamond \phi }إلى نهاية البند. [ 56 ]

الثوابت والمخططات

يُفرّق علماء الرياضيات أحيانًا بين الثوابت المنطقية، والمتغيرات المنطقية ، والمخططات. تُمثّل الثوابت المنطقية قضيةً مُحدّدة، [ 58 ] بينما تشمل المتغيرات المنطقية مجموعة جميع القضايا الذرية. [ 58 ] أما المخططات، أو الأحرف التخطيطية ، فتشمل جميع الصيغ. [ 38 ] [ 1 ] (تُسمى الأحرف التخطيطية أيضًا بالمتغيرات الفوقية ). [ 39 ] من الشائع تمثيل الثوابت المنطقية بالأحرف A و B و C ، والمتغيرات المنطقية بالأحرف P و Q و R ، وغالبًا ما تكون الأحرف التخطيطية أحرفًا يونانية، وأكثرها شيوعًا φ و ψ و χ . [ 38 ] [ 1 ]

ومع ذلك، لا يعترف بعض المؤلفين إلا بـ "ثابتين افتراضيين" في نظامهم الرسمي: الرمز الخاص⊤{\displaystyle \top }، والتي تسمى "الحقيقة"، والتي تُقيّم دائمًا إلى صحيح ، والرمز الخاص⊥{\displaystyle \bot }يُطلق عليها اسم "الزيف"، والتي تُقيّم دائمًا إلى خطأ . [ 59 ] [ 60 ] [ 61 ] كما يُدرج مؤلفون آخرون هذه الرموز، بنفس المعنى، لكنهم يعتبرونها "دوال صدق ذات خانة صفرية"، [ 38 ] أو ما يُعادلها، " روابط صفرية ". [ 51 ]

علم الدلالة

لكي تُستخدم اللغة الرسمية كنموذج لمنطق لغة طبيعية معينة، يجب تفسيرها دلاليًا. [ 35 ] في المنطق الكلاسيكي ، تُقيّم جميع القضايا إلى إحدى قيمتي الصواب فقط : صواب أو خطأ . [ 1 ] [ 62 ] على سبيل المثال، تُقيّم عبارة " ويكيبيديا موسوعة إلكترونية مجانية يمكن لأي شخص تحريرها" إلى صواب ، [ 63 ] بينما تُقيّم عبارة "ويكيبيديا موسوعة ورقية " إلى خطأ . [ 64 ]

من جوانب أخرى، يمكن تطبيق الدلالات الشكلية التالية على لغة أي منطق افتراضي، لكن الافتراضات القائلة بوجود قيمتين دلاليتين فقط ( الثنائية )، وأن إحدى هاتين القيمتين فقط تُسند لكل صيغة في اللغة ( عدم التناقض )، وأن كل صيغة تُسند إليها قيمة ( الوسط المرفوع )، هي سمات مميزة للمنطق الكلاسيكي. [ 62 ] [ 65 ] [ 38 ] للتعرف على المنطق غير الكلاسيكي الذي يحتوي على أكثر من قيمتين حقيقيتين، ودلالاته الفريدة، يمكن الرجوع إلى المقالات المتعلقة بـ " المنطق متعدد القيم "، و" المنطق ثلاثي القيم "، و" المنطق محدود القيم "، و" المنطق غير محدود القيم ".

التفسير (الحالة) والحجة

بالنسبة للغة معينةل{\displaystyle {\mathcal {L}}}التفسير ، [ 66 ] التقييم ، [ 52 ] التقييم المنطقي ، [ 67 ] أو الحالة ، [ 35 ] [ k ] هو تعيين قيم دلالية لكل صيغة منل{\displaystyle {\mathcal {L}}}[ 35 ] بالنسبة للغة رسمية للمنطق الكلاسيكي، تُعرَّف الحالة على أنها إسناد لكل صيغة من صيغ المنطق الكلاسيكي .ل{\displaystyle {\mathcal {L}}}، لإحدى قيمتي الصواب ، وليس كلتيهما، وهما الصواب ( ص ، أو 1) والخطأ ( خ ، أو 0). [ 68 ] [ 69 ] يُطلق على التفسير الذي يتبع قواعد المنطق الكلاسيكي أحيانًا اسم التقييم البولياني . [ 52 ] [ 70 ] غالبًا ما يُعبَّر عن تفسير اللغة الرسمية للمنطق الكلاسيكي باستخدام جداول الصواب . [ 71 ] [ 1 ] بما أن كل صيغة تُخصَّص لها قيمة صواب واحدة فقط، فيمكن اعتبار التفسير دالة ، مجالها هول{\displaystyle {\mathcal {L}}}ونطاقها هو مجموعة قيمها الدلاليةV={تي،F}{\displaystyle {\mathcal {V}}=\{{\mathsf {T}},{\mathsf {F}}\}}، [ 2 ] أوV={1،0}{\displaystyle {\mathcal {V}}=\{1,0\}}[ 35 ]​

لن{\displaystyle n}توجد رموز افتراضية مميزة2ن{\displaystyle 2^{n}}تفسيرات محتملة متميزة. لأي رمز معينأ{\displaystyle a}على سبيل المثال، هناك21=2{\displaystyle 2^{1}=2}التفسيرات المحتملة: إماأ{\displaystyle a}يتم تعيين T ، أوأ{\displaystyle a}يتم تعيين F. وبالنسبة للزوجأ{\displaystyle a}،ب{\displaystyle b}هناك22=4{\displaystyle 2^{2}=4}التفسيرات المحتملة: إما أن يُخصص لكليهما القيمة T ، أو يُخصص لكليهما القيمة F ، أوأ{\displaystyle a}تم تعيين T وب{\displaystyle b}يُخصص له F ، أوأ{\displaystyle a}تم تعيينه F وب{\displaystyle b}تم تعيين T. [ 71 ] بما أنل{\displaystyle {\mathcal {L}}}لديهℵ0{\displaystyle \aleph _{0}}أي، هناك عدد لا يُحصى من الرموز الافتراضية2ℵ0=ج{\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}وبالتالي، فإن هناك عددًا لا يحصى من التفسيرات الممكنة والمختلفة لـل{\displaystyle {\mathcal {L}}}ككل. [ 71 ]

أينأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}هو تفسير وφ{\displaystyle \varphi }وψ{\displaystyle \psi }يمكن تمثيل الصيغ، وتعريف الحجة ، الوارد في §  الحجج ، كزوج⟨{φ1،φ2،φ3،...،φن}،ψ⟩{\displaystyle \langle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\},\psi \rangle }، أين{φ1،φ2،φ3،...،φن}{\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}}هي مجموعة المباني وψ{\displaystyle \psi }هذا هو الاستنتاج. تعريف صحة الحجة ، أي خاصيتها التي{φ1،φ2،φ3،...،φن}⊨ψ{\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}\models \psi }ويمكن التعبير عن ذلك بأنه غياب مثال مضاد ، حيث يُعرَّف المثال المضاد بأنه حالةأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}حيث مقدمات الحجة{φ1،φ2،φ3،...،φن}{\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}}كل هذه الأمور صحيحة، لكن الاستنتاجψ{\displaystyle \psi }هذا غير صحيح. [ 35 ] [ 40 ] كما سيتبين في §  الحقيقة الدلالية، والصحة، والنتيجة ، فإن هذا يعني أن النتيجة هي نتيجة دلالية للمقدمات.

دلالات الاتصال الافتراضي

يُسند التفسير قيمًا دلالية للصيغ الذرية مباشرةً. [ 66 ] [ 35 ] تُسند للصيغ الجزيئية دالةٌ لقيمة ذراتها المكونة لها، وفقًا للرابط المستخدم؛ [ 66 ] [ 35 ] تُعرَّف الروابط بطريقةٍ تجعل قيمة الصواب لجملةٍ مُكوَّنةٍ من ذراتٍ ذات روابط تعتمد على قيم الصواب للذرات التي تُطبَّق عليها، وعلى تلك الذرات فقط . [ 66 ] [ 35 ] يُشير كولين هاوسون إلى هذا الافتراض بافتراض دالة الصواب للروابط . [ 40 ]

الدلالات عبر جداول الحقيقة

بما أن الروابط المنطقية تُعرَّف دلاليًا فقط من حيث قيم الصواب التي تأخذها عندما تأخذ المتغيرات الافتراضية التي تُطبَّق عليها إحدى قيمتي الصواب الممكنتين ، [ 1 ] [ 35 ] فإن التعريف الدلالي للروابط يُمثَّل عادةً بجدول صواب لكل رابط، [ 1 ] [ 35 ] [ 72 ] كما هو موضح أدناه:

ص{\displaystyle p}q{\displaystyle q}ص∧q{\displaystyle p\land q}ص∨q{\displaystyle p\lor q}ص→q{\displaystyle p\rightarrow q}ص⇔q{\displaystyle p\Leftrightarrow q}¬ص{\displaystyle \neg p}¬q{\displaystyle \neg q}
تيتيتيتيتيتيFF
تيFFتيFFFتي
FتيFتيتيFتيF
FFFFتيتيتيتي

يغطي هذا الجدول كلًا من الروابط المنطقية الخمسة الرئيسية : [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] العطف (المشار إليه هنا بـص∧q{\displaystyle p\land q}، والفصل ( p ∨ q )، والاستلزام ( p → q )، والشرط الثنائي ( p ↔ q ) ، والنفي ( ¬p أو ¬q ، حسب الحالة). يكفي هذا لتحديد دلالات كل عامل من هذه العوامل. [ 1 ] [ 73 ] [ 35 ] لمزيد من جداول الصواب لأنواع مختلفة من الروابط، انظر مقالة " جدول الصواب ".

الدلالات عبر تعابير التعيين

يكتب بعض المؤلفين دلالات الروابط باستخدام قائمة من العبارات بدلاً من جدول. في هذا الشكل، حيثأنا(φ){\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )}هو تفسيرφ{\displaystyle \varphi }، يتم تعريف الروابط الخمسة على النحو التالي: [ 38 ] [ 52 ]

  • أنا(¬P)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(\neg P)={\mathsf {T}}}إذا، وفقط إذا،أنا(P)=F{\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {F}}}
  • أنا(P∧سؤال)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(P\land Q)={\mathsf {T}}}إذا، وفقط إذا،أنا(P)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}وأنا(سؤال)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}
  • أنا(P∨سؤال)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(P\lor Q)={\mathsf {T}}}إذا، وفقط إذا،أنا(P)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}أوأنا(سؤال)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}
  • أنا(P→سؤال)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(P\to Q)={\mathsf {T}}}إذا، وفقط إذا، كان صحيحاً أن، إذاأنا(P)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}، ثمأنا(سؤال)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}
  • أنا(P↔سؤال)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(P\leftrightarrow Q)={\mathsf {T}}}إذا، وفقط إذا، كان صحيحاً أنأنا(P)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}}إذا، وفقط إذا،أنا(سؤال)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}}

بدلاً منأنا(φ){\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )}تفسيرφ{\displaystyle \varphi }يمكن كتابتها على النحو التالي:|φ|{\displaystyle |\varphi |}[ 38 ] [ 74 ] أو، بالنسبة لتعريفات مثل التعريفات المذكورة أعلاه ،أنا(φ)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )={\mathsf {T}}}يمكن كتابتها ببساطة على النحو التالي: الجملة الإنجليزية "φ{\displaystyle \varphi }يتم إعطاؤها القيمةتي{\displaystyle {\mathsf {T}}}[ 52 ] ومع ذلك ، قد يفضل مؤلفون آخرون [ 75 ] [ 76 ] الحديث عن نموذج تارسكيم{\displaystyle {\mathfrak {M}}}بالنسبة للغة، بحيث سيستخدمون بدلاً من ذلك الترميزم⊨φ{\displaystyle {\mathfrak {M}}\models \varphi }وهذا يعادل قولأنا(φ)=تي{\displaystyle {\mathcal {I}}(\varphi )={\mathsf {T}}}، أينأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}هي دالة التفسير لـم{\displaystyle {\mathfrak {M}}}[ 76 ]​

أساليب تعريف الروابط

يمكن تعريف بعض هذه الروابط من خلال روابط أخرى: على سبيل المثال، التضمين،ص→q{\displaystyle p\rightarrow q}يمكن تعريفها من حيث الفصل والنفي، كما يلي:¬ص∨q{\displaystyle \neg p\lor q}; [ 77 ] ويمكن تعريف الفصل من حيث النفي والوصل، كما¬(¬ص∧¬q{\displaystyle \neg (\neg p\land \neg q}[ 52 ] في الواقع، يمكن اشتقاق نظام كامل وظيفيًا من حيث الصدق ، [1] بمعنى أن جميع التكرارات المنطقية الكلاسيكية هي نظريات، باستخدام الفصل والنفي فقط (كما فعل راسل ووايتهيد وهيلبرت ) ، أو باستخدام الاستلزام والنفي فقط (كما فعل فريجه )، أو باستخدام العطف والنفي فقط، أو حتى باستخدام رابط واحد فقط لـ "ليس و" ( ضربة شيفر )، [ 3 ] كما فعل جان نيكود . [ 2 ] يكفي رابط النفي المشترك ( NOR المنطقي ) وحده لتعريف جميع الروابط الأخرى. فباستثناء NOR وNAND، لا توجد روابط أخرى تمتلك هذه الخاصية. [ 52 ] [ م ]

يميز بعض المؤلفين، وتحديدًا هاوسون [ 40 ] وكنينغهام [ 79 ] ، بين التكافؤ والشرط الثنائي. (فيما يتعلق بالتكافؤ، يسميه هاوسون "التكافؤ الوظيفي للحقيقة"، بينما يسميه كننغهام "التكافؤ المنطقي"). يُرمز للتكافؤ بالرمز ⇔ وهو رمز لغة وصفية، بينما يُرمز للشرط الثنائي بالرمز ↔ وهو رابط منطقي في لغة الموضوع.ل{\displaystyle {\mathcal {L}}}بغض النظر عن ذلك، يكون التكافؤ أو الشرط الثنائي صحيحًا إذا، وفقط إذا، أُسندت إلى الصيغ المرتبطة به نفس القيمة الدلالية في جميع التفسيرات. غالبًا ما يتجاهل مؤلفون آخرون هذا التمييز، وقد يستخدمون كلمة "تكافؤ" [ 16 ] و/أو الرمز ⇔ [ 80 ] للدلالة على الرابط الشرطي الثنائي في لغتهم الموضوعية.

الحقيقة الدلالية، الصلاحية، النتيجة

منحφ{\displaystyle \varphi }وψ{\displaystyle \psi }كصيغ ( أو جمل) للغةل{\displaystyle {\mathcal {L}}}، وأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}كتفسير (أو حالة) [ ن ] لـل{\displaystyle {\mathcal {L}}}إذاً، تنطبق التعريفات التالية: [ 71 ] [ 69 ]

  • الحقيقة في قضية: [ 35 ] جملةφ{\displaystyle \varphi }لل{\displaystyle {\mathcal {L}}}صحيح وفقًا لتفسير معينأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}لوأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}يُسند قيمة الصواب T إلىφ{\displaystyle \varphi }[ 69 ] [ 71 ] إذا​φ{\displaystyle \varphi }صحيح في ظلأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}، ثمأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}يُطلق عليه نموذجφ{\displaystyle \varphi }[ 71 ]​
  • الزيف في حالة واحدة: [ 35 ]φ{\displaystyle \varphi }خاطئ وفقًا للتفسيرأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}إذا، وفقط إذا،¬φ{\displaystyle \neg \varphi }صحيح في ظلأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}[ 71 ] [ 81 ] [ 35 ] هذا هو تعريف "صدق النفي" للكذب في حالة معينة. [35] يمكن أيضًا تعريف الكذب في حالة معينة بتعريف "المكمل".φ{\displaystyle \varphi }خاطئ وفقًا للتفسيرأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}إذا، وفقط إذا،φ{\displaystyle \varphi }هذا غير صحيح بموجبأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}[ 69 ] [ 71 ] في المنطق الكلاسيكي ، تكون هذه التعريفات متكافئة، ولكنها ليست كذلك في المنطق غير الكلاسيكي . [ 35 ]
  • النتيجة الدلالية: جملةψ{\displaystyle \psi }لل{\displaystyle {\mathcal {L}}}هو نتيجة دلالية (φ⊨ψ{\displaystyle \varphi \models \psi }) من جملةφ{\displaystyle \varphi }إذا لم يكن هناك تفسير بموجبهφ{\displaystyle \varphi }صحيح وψ{\displaystyle \psi }هذا غير صحيح. [ 69 ] [ 71 ] [ 35 ]
  • صيغة صحيحة (تكرار): جملةφ{\displaystyle \varphi }لل{\displaystyle {\mathcal {L}}}صحيح منطقياً (⊨φ{\displaystyle \models \varphi }), [ o ] أو تحصيل حاصل ، [ 82 ] [ 83 ] [ 80 ] [ 52 ] إذا كان صحيحًا في كل تفسير، [ 69 ] [ 71 ] أو صحيحًا في كل حالة. [ 35 ]
  • جملة متسقة: جملة منل{\displaystyle {\mathcal {L}}}تكون العبارة متسقة إذا كانت صحيحة في تفسير واحد على الأقل. وتكون غير متسقة إذا لم تكن متسقة. [ 69 ] [ 71 ] تُسمى الصيغة غير المتسقة أيضًا بالصيغة المتناقضة ذاتيًا ، [ 1 ] ويُقال إنها تناقض ذاتي ، [ 1 ] أو ببساطة تناقض ، [ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] على الرغم من أن هذا الاسم الأخير يُستخدم أحيانًا تحديدًا لعبارات من الشكل(ص∧¬ص){\displaystyle (p\land \neg p)}[ 1 ]​

للاطلاع على التفسيرات (الحالات)أنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}لل{\displaystyle {\mathcal {L}}}تُعطى هذه التعريفات أحيانًا:

  • القضية الكاملة: قضيةأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}تكتمل إذا، وفقط إذا، إماφ{\displaystyle \varphi }صحيح فيأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}أو¬φ{\displaystyle \neg \varphi }صحيح فيأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}، لأيφ{\displaystyle \varphi }فيل{\displaystyle {\mathcal {L}}}[ 35 ] [ 87 ]​
  • حالة متسقة: حالةأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}يكون متسقًا إذا، وفقط إذا، لم يكن هناكφ{\displaystyle \varphi }فيل{\displaystyle {\mathcal {L}}}بحيث يكون كلاهماφ{\displaystyle \varphi }و¬φ{\displaystyle \neg \varphi }صحيح فيأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}[ 35 ] [ 88 ]​

بالنسبة للمنطق الكلاسيكي ، الذي يفترض أن جميع الحالات كاملة ومتسقة، [ 35 ] تنطبق النظريات التالية:

  • في أي تفسير معين، تكون الصيغة المعطاة إما صحيحة أو خاطئة في ظله. [ 71 ] [ 81 ]
  • لا توجد صيغة تكون صحيحة وخاطئة في نفس الوقت وفقًا للتفسير نفسه. [ 71 ] [ 81 ]
  • φ{\displaystyle \varphi }صحيح في ظلأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}إذا، وفقط إذا،¬φ{\displaystyle \neg \varphi }هذا خطأ بموجبأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}; [ 71 ] [ 81 ]¬φ{\displaystyle \neg \varphi }صحيح في ظلأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}إذا، وفقط إذا،φ{\displaystyle \varphi }هذا غير صحيح بموجبأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}[ 71 ]​
  • لوφ{\displaystyle \varphi }و(φ→ψ){\displaystyle (\varphi \to \psi )}كلاهما صحيح في ظلأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}، ثمψ{\displaystyle \psi }صحيح في ظلأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}[ 71 ] [ 81 ]​
  • لو⊨φ{\displaystyle \models \varphi }و⊨(φ→ψ){\displaystyle \models (\varphi \to \psi )}، ثم⊨ψ{\displaystyle \models \psi }[ 71 ]​
  • (φ→ψ){\displaystyle (\varphi \to \psi )}صحيح في ظلأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}إذا، وفقط إذا، إماφ{\displaystyle \varphi }هذا غير صحيح بموجبأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}، أوψ{\displaystyle \psi }صحيح في ظلأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}[ 71 ]​
  • φ⊨ψ{\displaystyle \varphi \models \psi }إذا، وفقط إذا،(φ→ψ){\displaystyle (\varphi \to \psi )}صحيح منطقياً ، أيφ⊨ψ{\displaystyle \varphi \models \psi }إذا، وفقط إذا،⊨(φ→ψ){\displaystyle \models (\varphi \to \psi )}[ 71 ] [ 81 ]​

أنظمة الإثبات

يمكن تصنيف أنظمة الإثبات في منطق القضايا بشكل عام إلى أنظمة إثبات دلالية وأنظمة إثبات تركيبية ، [ 89 ] [ 90 ] [ 91 ] وفقًا لنوع النتيجة المنطقية التي تعتمد عليها: تعتمد أنظمة الإثبات الدلالية على النتيجة الدلالية (φ⊨ψ{\displaystyle \varphi \models \psi }[ 92 ] بينما تعتمد أنظمة البرهان النحوي على النتيجة النحوية (φ⊢ψ{\displaystyle \varphi \vdash \psi }[ 93 ] تتناول النتيجة الدلالية قيم الصدق للقضايا في جميع التفسيرات الممكنة ، بينما تتعلق النتيجة التركيبية باستخلاص النتائج من المقدمات بناءً على القواعد والمسلمات ضمن نظام رسمي. [ 94 ] يقدم هذا القسم لمحة موجزة عن أنواع أنظمة البرهان، مع روابط للأقسام ذات الصلة في هذه المقالة حول كل نظام، بالإضافة إلى مقالات ويكيبيديا المنفصلة حول كل نظام.

أنظمة الإثبات الدلالي

x0x1x1¯x0وx1¯0010010010111100{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}x_{0}&x_{1}&{\bar {x_{1}}}&x_{0}\&{\bar {x_{1}}}\\\hline 0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&1&1\\1&1&0&0\end{array}}}
مثال على جدول الحقيقة
تمثيل بياني لجدول اقتراحي مبني جزئياً

تعتمد أنظمة الإثبات الدلالي على مفهوم النتيجة الدلالية، والتي يرمز إليها بـφ⊨ψ{\displaystyle \varphi \models \psi }وهذا يشير إلى أنه إذاφ{\displaystyle \varphi }إذا كان ذلك صحيحاً، فإذنψ{\displaystyle \psi }يجب أن يكون صحيحًا أيضًا في كل تفسير ممكن. [ 94 ]

جداول الحقيقة

جدول الصواب هو أسلوب إثبات دلالي يُستخدم لتحديد قيمة الصواب لعبارة منطقية افتراضية في كل سيناريو ممكن. [ 95 ] من خلال سرد قيم الصواب لعناصرها المكونة بشكل شامل، يُمكن لجدول الصواب أن يُبين ما إذا كانت العبارة صحيحة، أو خاطئة، أو تحصيل حاصل، أو متناقضة. [ 96 ] انظر §  الإثبات الدلالي عبر جداول الصواب .

جداول دلالية

يُعدّ الجدول الدلالي أسلوبًا آخر من أساليب البرهان الدلالي، حيث يستكشف بشكل منهجي صحة القضية. [ 97 ] وهو يُنشئ شجرةً يُمثّل كل فرع منها تفسيرًا مُحتملًا للقضايا المعنية. [ 98 ] إذا أدّى كل فرع إلى تناقض، تُعتبر القضية الأصلية مُتناقضة، ويُعتبر نفيها تحصيل حاصل . [ 40 ] انظر §  البرهان الدلالي عبر الجداول .

أنظمة البرهان النحوي

قواعد حساب المتتاليات الافتراضية LK، باستخدام تدوين جنتزن

أما أنظمة البرهان النحوي، على النقيض من ذلك، فتركز على المعالجة الشكلية للرموز وفقًا لقواعد محددة. مفهوم النتيجة النحوية،φ⊢ψ{\displaystyle \varphi \vdash \psi }، مما يدل على أنψ{\displaystyle \psi }يمكن اشتقاقها منφ{\displaystyle \varphi }باستخدام قواعد النظام الرسمي. [ 94 ]

الأنظمة البديهية

النظام البديهي على نمط هيلبرت، أو نظام هيلبرت ، هو مجموعة من البديهيات أو الافتراضات التي تُشتق منها عبارات أخرى (نظريات) منطقيًا. [ 99 ] في منطق القضايا، تُعرّف الأنظمة البديهية مجموعة أساسية من القضايا التي تُعتبر بديهية، وتُثبت النظريات بتطبيق قواعد الاستدلال على هذه البديهيات. [ 100 ] انظر §  البرهان التركيبي عبر البديهيات .

الاستنتاج الطبيعي

الاستنتاج الطبيعي هو أسلوبٌ نحويٌّ للبرهان يُركِّز على استنباط النتائج من المقدمات باستخدام قواعد بديهية تعكس التفكير المنطقي العادي. [ 101 ] تُعبِّر كل قاعدة عن رابط منطقي مُحدَّد وتُبيِّن كيفية إدخاله أو حذفه. [ 101 ] انظر §  البرهان النحوي عبر الاستنتاج الطبيعي .

حساب المتتابعات

حساب المتتاليات هو نظام رسمي يُمثل الاستنتاجات المنطقية على شكل متتاليات أو "متتاليات" من الصيغ. [ 102 ] وقد طوّره غيرهارد جنتزن ، ويركز هذا المنهج على الخصائص البنيوية للاستنتاجات المنطقية، ويوفر إطارًا قويًا لإثبات العبارات ضمن منطق القضايا. [ 102 ] [ 103 ]

البرهان الدلالي عبر جداول الحقيقة

بالاستفادة من المفهوم الدلالي للصحة (الصدق في كل تفسير)، يُمكن إثبات صحة صيغة رياضية باستخدام جدول الصدق ، الذي يُبيّن جميع التفسيرات الممكنة (إسناد قيم الصدق للمتغيرات) لهذه الصيغة. [ 96 ] [ 50 ] [ 38 ] إذا، وفقط إذا، كانت جميع بنود جدول الصدق صحيحة، تكون الصيغة صحيحة دلاليًا (صحيحة في كل تفسير). [ 96 ] [ 50 ] علاوة على ذلك، إذا (وفقط إذا)¬φ{\displaystyle \neg \varphi }إذا كان ذلك صحيحاً، فـφ{\displaystyle \varphi }غير متسق. [ 84 ] [ 85 ] [ 86 ]

على سبيل المثال، يوضح هذا الجدول أن " p → ( q ∨ r → ( r → ¬p )) " غير صالح: [ 50 ]

صqرq ∨ rr → ¬ pq ∨ r → ( r → ¬ p )p → ( q ∨ r → ( r → ¬ p ))
تيتيتيتيFFF
تيتيFتيتيتيتي
تيFتيتيFFF
تيFFFتيتيتي
Fتيتيتيتيتيتي
FتيFتيتيتيتي
FFتيتيتيتيتي
FFFFتيتيتي

يمكن عرض حساب العمود الأخير من السطر الثالث على النحو التالي: [ 50 ]

ص→(q∨ر→(ر)→¬ص))
تي→(F∨تي→(T→¬T))
تي→(تي→(T→F))
تي→(تي→F)
تي→F
F
تيFFتيتيFتيFFتي

علاوة على ذلك، باستخدام النظرية التيφ⊨ψ{\displaystyle \varphi \models \psi }إذا، وفقط إذا،(φ→ψ){\displaystyle (\varphi \to \psi )}صحيح، [ 71 ] [ 81 ] يمكننا استخدام جدول الحقيقة لإثبات أن الصيغة هي نتيجة دلالية لمجموعة من الصيغ:{φ1،φ2،φ3،...،φن}⊨ψ{\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}\models \psi }إذا، وفقط إذا، استطعنا إنتاج جدول حقيقة يكون صحيحًا بالكامل بالنسبة للصيغة((⋀أنا=1نφأنا)→ψ){\displaystyle \left(\left(\bigwedge _{i=1}^{n}\varphi _{i}\right)\rightarrow \psi \right)}(أي إذا⊨((⋀أنا=1نφأنا)→ψ){\displaystyle \models \left(\left(\bigwedge _{i=1}^{n}\varphi _{i}\right)\rightarrow \psi \right)}). [ 104 ] [ 105 ]

البرهان الدلالي عبر الجداول

بما أن جداول الصواب تحتوي على 2 ^n سطرًا لـ n متغيرًا، فقد تكون طويلة بشكل مُرهِق عند القيم الكبيرة لـ n. [ 40 ] تُعدّ الجداول التحليلية طريقةً أكثر كفاءةً، ولكنها مع ذلك آلية، [ 72 ] في إثبات الدلالة؛ فهي تستفيد من حقيقة أننا "لا نتعلم شيئًا عن صحة الاستدلال من فحص توزيعات قيم الصواب التي تجعل المقدمات خاطئة أو النتيجة صحيحة: التوزيعات الوحيدة ذات الصلة عند النظر في صحة الاستنتاج هي تلك التي تجعل المقدمات صحيحة أو النتيجة خاطئة." [ 40 ]

تُحدد الجداول التحليلية لمنطق القضايا بشكل كامل بواسطة القواعد الموضحة في الشكل التخطيطي أدناه. [ 52 ] تستخدم هذه القواعد "الصيغ الموقعة"، حيث الصيغة الموقعة هي تعبيرتيX{\displaystyle TX}أوFX{\displaystyle FX}، أينX{\displaystyle X}هي صيغة (غير موقعة) للغةل{\displaystyle {\mathcal {L}}}[ 52 ] (بشكل غير رسمي ،تيX{\displaystyle TX}يُقرأ "X{\displaystyle X}صحيح"، وFX{\displaystyle FX}يُقرأ "X{\displaystyle X}(خطأ).) [ 52 ] تعريفهم الدلالي الرسمي هو أنه "بموجب أي تفسير، صيغة موقعةتيX{\displaystyle TX}يُقال صحيحًا إذاX{\displaystyle X}صحيح، وخاطئ إذاX{\displaystyle X}هذا خطأ، بينما الصيغة الموقعةFX{\displaystyle FX}يُطلق عليه اسم خطأ إذاX{\displaystyle X}صحيح، وصحيح إذاX{\displaystyle X}هذا غير صحيح. [ 52 ]

1)تي∼XFXF∼XتيXsصأجهـر2)تي(X∧Y)تيXتيYF(X∧Y)FX|FYsصأجهـر3)تي(X∨Y)تيX|تيYF(X∨Y)FXFYsصأجهـر4)تي(X⊃Y)FX|تيYF(X⊃Y)تيXFY{\displaystyle {\begin{aligned}&1)\quad {\frac {T\sim X}{FX}}\quad &&{\frac {F\sim X}{TX}}\\{\phantom {spacer}}\\&2)\quad {\frac {T(X\land Y)}{\begin{matrix}TX\\TY\end{matrix}}}\quad &&{\frac {F(X\land Y)}{FX|FY}}\\{\phantom {spacer}}\\&3)\quad {\frac {T(X\lor Y)}{TX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\lor Y)}{\begin{matrix}FX\\FY\end{matrix}}}\\{\phantom {spacer}}\\&4)\quad {\frac {T(X\supset Y)}{FX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\supset Y)}{\begin{matrix}TX\\FY\end{matrix}}}\end{aligned}}}

في هذا الترميز، تعني القاعدة 2 ما يلي:تي(X∧Y){\displaystyle T(X\land Y)}وينتج كلاهماتيX،تيY{\displaystyle TX,TY}، بينماF(X∧Y){\displaystyle F(X\land Y)}تفرعت إلىFX،FY{\displaystyle FX,FY}يُفهم الترميز بشكل مماثل للقاعدتين 3 و4. [ 52 ] غالبًا ما يتم تبسيط ترميز الصيغة الموقعة في جداول المنطق الكلاسيكي بحيثتيφ{\displaystyle T\varphi }تُكتب ببساطة على النحو التالي:φ{\displaystyle \varphi }، وFφ{\displaystyle F\varphi }مثل¬φ{\displaystyle \neg \varphi }وهذا ما يفسر تسمية القاعدة 1 بـ " قاعدة النفي المزدوج ". [ 40 ] [ 72 ]

يُنشأ جدول لمجموعة من الصيغ بتطبيق القواعد لإنتاج المزيد من الخطوط وفروع الشجرة حتى يتم استخدام كل خط، مما ينتج عنه جدول كامل . في بعض الحالات، يمكن أن يحتوي الفرع على كليهماتيX{\displaystyle TX}وFX{\displaystyle FX}بالنسبة للبعضX{\displaystyle X}أي بمعنى آخر، تناقض. في هذه الحالة، يُقال إن الفرع مغلق . [ 40 ] إذا أُغلق كل فرع في الشجرة، يُقال إن الشجرة نفسها مغلقة. [ 40 ] وبموجب قواعد بناء الجداول، تُعد الشجرة المغلقة دليلاً على أن الصيغة الأصلية، أو مجموعة الصيغ، المستخدمة في بنائها كانت متناقضة في حد ذاتها، وبالتالي خاطئة. [ 40 ] وعلى العكس من ذلك، يمكن للجدول أيضًا أن يثبت أن الصيغة المنطقية تحصيل حاصل : إذا كانت الصيغة تحصيل حاصل، فإن نفيها يُعد تناقضًا، لذا فإن الجدول المبني من نفيها سيكون مغلقًا. [ 40 ]

لإنشاء جدول لحجة⟨{φ1،φ2،φ3،...،φن}،ψ⟩{\displaystyle \langle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\},\psi \rangle }يقوم المرء أولاً بكتابة مجموعة صيغ المقدمات،{φ1،φ2،φ3،...،φن}{\displaystyle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}}، مع صيغة واحدة في كل سطر، وموقعة بـتي{\displaystyle T}(إنه،تيφ{\displaystyle T\varphi }لكلتيφ{\displaystyle T\varphi }في المجموعة)؛ [ 72 ] ومع تلك الصيغ (الترتيب غير مهم)، يكتب المرء أيضًا الاستنتاج،ψ{\displaystyle \psi }، موقعة بـF{\displaystyle F}(إنه،Fψ{\displaystyle F\psi }[ 72 ] ثم يتم إنشاء شجرة الحقيقة (جدول تحليلي) باستخدام جميع تلك الخطوط وفقًا للقواعد. [ 72 ] ستكون الشجرة المغلقة دليلاً على صحة الحجة ، نظرًا لحقيقة أنφ⊨ψ{\displaystyle \varphi \models \psi }إذا، وفقط إذا،{φ،∼ψ}{\displaystyle \{\varphi ,\sim \psi \}}غير متسق (يكتب أيضًا على النحو التالي)φ،∼ψ⊨{\displaystyle \varphi ,\sim \psi \models }). [ 72 ]

قائمة أشكال الحجج الصحيحة تقليديًا

باستخدام أساليب التحقق الدلالي، مثل جداول الصواب أو الجداول الدلالية، للتحقق من التكرارات المنطقية والنتائج الدلالية، يمكن إثبات أنه في المنطق الكلاسيكي، تكون أشكال الحجج الكلاسيكية التالية صحيحة دلاليًا، أي أن هذه التكرارات المنطقية والنتائج الدلالية صحيحة. [ 38 ] نستخدمφ{\displaystyle \varphi }⟚ψ{\displaystyle \psi }للدلالة على تكافؤφ{\displaystyle \varphi }وψ{\displaystyle \psi }أي كاختصار لكليهماφ⊨ψ{\displaystyle \varphi \models \psi }وψ⊨φ{\displaystyle \psi \models \varphi }[ 38 ] كمساعدة في قراءة الرموز، يُقدَّم وصف لكل صيغة. يقرأ الوصف الرمز ⊧ (المسمى "البوابة المزدوجة") بمعنى "لذلك"، وهي قراءة شائعة له، [ 38 ] [ 106 ] على الرغم من أن العديد من المؤلفين يفضلون قراءته بمعنى "يستلزم"، [ 38 ] [ 107 ] أو بمعنى " نماذج ". [ 108 ]

اسممتسلسلوصف
الوضع الاستدلالي((ص→q)∧ص)⊨q{\displaystyle ((p\to q)\land p)\models q}[ 35 ]إذا كان p فإن q ؛ p ؛ إذن q
الوضع المتجاهل((ص→q)∧¬q)⊨¬ص{\displaystyle ((p\to q)\land \neg q)\models \neg p}[ 35 ]إذا كان p فإن q ؛ ليس q ؛ إذن ليس p
القياس المنطقي الافتراضي((ص→q)∧(q→ر))⊨(ص→ر){\displaystyle ((p\to q)\land (q\to r))\models (p\to r)}[ 39 ]إذا كان p فإن q ؛ وإذا كان q فإن r ؛ لذلك، إذا كان p فإن r
القياس المنطقي الانفصالي((ص∨q)∧¬ص)⊨q{\displaystyle ((p\lor q)\land \neg p)\models q}[ 109 ]إما p أو q ، أو كلاهما؛ ليس p ؛ لذلك، q
معضلة البناء((ص→q)∧(ر→s)∧(ص∨ر))⊨(q∨s){\displaystyle ((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor r))\models (q\lor s)}[ 39 ]إذا كان p فإن q ؛ وإذا كان r فإن s ؛ ولكن p أو r ؛ لذلك q أو s
معضلة مدمرة((ص→q)∧(ر→s)∧(¬q∨¬s))⊨(¬ص∨¬ر){\displaystyle ((p\to q)\land (r\to s)\land (\neg q\lor \neg s))\models (\neg p\lor \neg r)}إذا كان p فإن q صحيح ؛ وإذا كان r صحيحًا فإن s صحيح ؛ ولكن ليس q ولا s صحيح ؛ لذلك ليس p ولا r صحيح.
معضلة ثنائية الاتجاه((ص→q)∧(ر→s)∧(ص∨¬s))⊨(q∨¬ر){\displaystyle ((p\to q)\land (r\to s)\land (p\lor \neg s))\models (q\lor \neg r)}إذا كان p فإن q ؛ وإذا كان r فإن s ؛ ولكن p أو ليس s ؛ لذلك q أو ليس r
تبسيط(ص∧q)⊨ص{\displaystyle (p\land q)\models p}[ 35 ]p و q صحيحان؛ لذلك p صحيح
اِقتِرانص،q⊨(ص∧q){\displaystyle p,q\models (p\land q)}[ 35 ]p و q صحيحان بشكل منفصل؛ لذلك فهما صحيحان معًا.
إضافةص⊨(ص∨q){\displaystyle p\models (p\lor q)}[ 35 ] [ 109 ]العبارة p صحيحة؛ لذلك فإنّ الفصل ( p أو q ) صحيح
تركيب حروف العطف((ص→q)∧(ص→ر)){\displaystyle ((p\to q)\land (p\to r))}⟚(ص→(q∧ر)){\displaystyle (p\to (q\land r))}إذا كان p صحيحًا، فإن q صحيح ؛ وإذا كان p صحيحًا ، فإن r صحيح ؛ لذلك إذا كان p صحيحًا، فإن q و r صحيحان.
تركيب الانفصال((ص→q)∨(ص→ر)){\displaystyle ((p\to q)\lor (p\to r))}⟚(ص→(q∨ر)){\displaystyle (p\to (q\lor r))}إذا كان p صحيحًا، فإن q صحيح ؛ أو إذا كان p صحيحًا ، فإن r صحيح ؛ لذلك إذا كان p صحيحًا، فإن q أو r صحيح.
نظرية دي مورغان (1)¬(ص∧q){\displaystyle \neg (p\land q)}⟚(¬ص∨¬q){\displaystyle (\neg p\lor \neg q)}[ 35 ]نفي ( p و q ) يكافئ (ليس p أو ليس q )
نظرية دي مورغان (2)¬(ص∨q){\displaystyle \neg (p\lor q)}⟚(¬ص∧¬q){\displaystyle (\neg p\land \neg q)}[ 35 ]نفي ( p أو q ) يكافئ (ليس p وليس q )
التبديل (1)(ص∨q){\displaystyle (p\lor q)}⟚(q∨ص){\displaystyle (q\lor p)}[ 109 ]( p أو q ) يكافئ ( q أو p )
التبديل (2)(ص∧q){\displaystyle (p\land q)}⟚(q∧ص){\displaystyle (q\land p)}[ 109 ]( p و q ) يكافئ ( q و p )
التبديل (3)(ص↔q){\displaystyle (p\leftrightarrow q)}⟚(q↔ص){\displaystyle (q\leftrightarrow p)}[ 109 ]( p iff q ) يكافئ ( q iff p )
الجمعية (1)(ص∨(q∨ر)){\displaystyle (p\lor (q\lor r))}⟚((ص∨q)∨ر){\displaystyle ((p\lor q)\lor r)}[ 40 ]p أو ( q أو r ) يكافئ ( p أو q ) أو r
الرابطة (2)(ص∧(q∧ر)){\displaystyle (p\land (q\land r))}⟚((ص∧q)∧ر){\displaystyle ((p\land q)\land r)}[ 40 ]p و ( q و r ) يكافئ ( p و q ) و r
التوزيع (1)(ص∧(q∨ر)){\displaystyle (p\land (q\lor r))}⟚((ص∧q)∨(ص∧ر)){\displaystyle ((p\land q)\lor (p\land r))}[ 109 ]p و ( q أو r ) يكافئ ( p و q ) أو ( p و r )
التوزيع (2)(ص∨(q∧ر)){\displaystyle (p\lor (q\land r))}⟚((ص∨q)∧(ص∨ر)){\displaystyle ((p\lor q)\land (p\lor r))}[ 109 ]p أو ( q و r ) يكافئ ( p أو q ) و ( p أو r )
النفي المزدوجص{\displaystyle p}⟚¬¬ص{\displaystyle \neg \neg p}[ 35 ] [ 109 ]p يكافئ نفي not p
تبديل(ص→q){\displaystyle (p\to q)}⟚(¬q→¬ص){\displaystyle (\neg q\to \neg p)}[ 35 ]إذا كان p فإن q يكافئ إذا لم يكن q فإن p
الآثار المادية(ص→q){\displaystyle (p\to q)}⟚(¬ص∨q){\displaystyle (\neg p\lor q)}[ 109 ]إذا كان p فإن q يكافئ عدم p أو q
التكافؤ المادي (1)(ص↔q){\displaystyle (p\leftrightarrow q)}⟚((ص→q)∧(q→ص)){\displaystyle ((p\to q)\land (q\to p))}[ 109 ]( p iff q ) يكافئ ( إذا كان p صحيحًا فإن q صحيح) و ( إذا كان q صحيحًا فإن p صحيح)
التكافؤ المادي (2)(ص↔q){\displaystyle (p\leftrightarrow q)}⟚((ص∧q)∨(¬ص∧¬q)){\displaystyle ((p\land q)\lor (\neg p\land \neg q))}[ 109 ]( p iff q ) يكافئ إما ( p و q صحيحان) أو ( كل من p و q خاطئان)
التكافؤ المادي (3)(ص↔q){\displaystyle (p\leftrightarrow q)}⟚((ص∨¬q)∧(¬ص∨q)){\displaystyle ((p\lor \neg q)\land (\neg p\lor q))}( p iff q ) يكافئ كلاً من ( p or not q is true) و (not p or q is true)
التصدير((ص∧q)→ر)⊨(ص→(q→ر)){\displaystyle ((p\land q)\to r)\models (p\to (q\to r))}[ 110 ]انطلاقاً من (إذا كانت p و q صحيحتين فإن r صحيحة) يمكننا إثبات (إذا كانت q صحيحة فإن r صحيحة، وإذا كانت p صحيحة)
استيراد(ص→(q→ر))⊨((ص∧q)→ر){\displaystyle (p\to (q\to r))\models ((p\land q)\to r)}[ 39 ]إذا كان p فإن (إذا كان q فإن r ) يكافئ إذا كان p و q فإن r
عدم قابلية الفصل للتكرارص{\displaystyle p}⟚(ص∨ص){\displaystyle (p\lor p)}[ 109 ]العبارة p صحيحة تعادل العبارة p صحيحة أو p صحيحة
عدم قابلية الاقتران للتكرارص{\displaystyle p}⟚(ص∧ص){\displaystyle (p\land p)}[ 109 ]العبارة p صحيحة تعادل العبارة p صحيحة و p صحيحة
Tertium Non datur (قانون الوسط المستبعد)⊨(ص∨¬ص){\displaystyle \models (p\lor \neg p)}[ 35 ] [ 109 ]p أو لا p صحيح
قانون عدم التناقض⊨¬(ص∧¬ص){\displaystyle \models \neg (p\land \neg p)}[ 35 ] [ 109 ]العبارة p و not p خاطئة، هي عبارة صحيحة
انفجار(ص∧¬ص)⊨q{\displaystyle (p\land \neg p)\models q}[ 35 ]p وليس p ؛ لذلك q

البرهان النحوي عن طريق الاستنتاج الطبيعي

يتم تحديد الاستدلال الطبيعي ، كونه أسلوبًا من أساليب البرهان النحوي، من خلال توفير قواعد الاستدلال (وتسمى أيضًا قواعد البرهان ) [ 39 ] للغة ذات المجموعة النموذجية من الروابط.{-،و،∨،→،↔}{\displaystyle \{-,\&,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}}لا تُستخدم أي بديهيات أخرى غير هذه القواعد. [ 111 ] ترد القواعد أدناه، ويُقدّم مثال توضيحي لاحقًا.

أنماط التدوين

تختلف قواعد الاستدلال التي يقدمها المؤلفون إلى حد ما، وسيتم التنويه إلى ذلك. لكن ما يلفت الانتباه أكثر في شكل البرهان ومضمونه هو تنوع أساليب الترميز. فأسلوب  جنتزن ، الذي سبق تناوله في سياق موجز، يمكن تكديسه لإنتاج براهين استنتاجية طبيعية كبيرة على شكل شجرة [ 44 ] [ 16 ] - لا ينبغي الخلط بينه وبين "أشجار الحقيقة"، وهو اسم آخر للجداول التحليلية . [ 72 ] وهناك أيضًا أسلوب يعود إلى ستانيسواف ياسكوفسكي ، حيث تُكتب الصيغ في البرهان داخل مربعات متداخلة مختلفة، [ 44 ] وهناك تبسيط لأسلوب ياسكوفسكي يعود إلى فريدريك فيتش ( ترميز فيتش )، حيث تُبسط المربعات إلى خطوط أفقية بسيطة أسفل مقدمات الافتراضات، وخطوط رأسية إلى يسار الخطوط الموجودة أسفل الافتراض. [ 44 ] أخيرًا، هناك أسلوب التدوين الوحيد الذي سيُستخدم فعليًا في هذه المقالة، وهو أسلوب باتريك سوبس ، [ 44 ] ولكنه انتشر على نطاق واسع بفضل إي جيه ليمون وبنسون ماتس . [ 112 ] تتميز هذه الطريقة بأنها، من الناحية الرسومية، الأقل استهلاكًا للموارد في الإنتاج والعرض، مما جعلها خيارًا طبيعيًا للمحرر الذي كتب هذا الجزء من المقالة، والذي لم يكن على دراية بأوامر LaTeX المعقدة المطلوبة لإنتاج البراهين في الطرق الأخرى.

إذن، البرهان ، المُصاغ وفقًا لأسلوب تدوين سوبس-ليمون ، [ 44 ] هو سلسلة من الأسطر تحتوي على جمل، [ 39 ] حيث تمثل كل جملة إما فرضية، أو نتيجة تطبيق قاعدة برهان على جمل سابقة في السلسلة. [ 39 ] يتكون كل سطر من البرهان من جملة برهان ، بالإضافة إلى شرحها ، ومجموعة فرضياتها ، ورقم السطر الحالي . [ 39 ] تُدرج مجموعة الفرضيات الفرضيات التي تعتمد عليها جملة البرهان المُعطاة، والتي يُشار إليها بأرقام الأسطر. [ 39 ] يُحدد الشرح قاعدة البرهان التي طُبقت، وعلى أي أسطر سابقة، للوصول إلى الجملة الحالية. [ 39 ] انظر مثال برهان الاستنتاج الطبيعي في القسم §  .

قواعد الاستدلال

تُعرض أدناه قواعد الاستدلال بالاستنتاج الطبيعي، والتي تُنسب في نهاية المطاف إلى جنتزن . [ 111 ] توجد عشر قواعد أساسية للإثبات، وهي قاعدة الفرضية ، بالإضافة إلى أربعة أزواج من قواعد الإدخال والحذف للروابط الثنائية، وقاعدة البرهان بالخلف . [ 39 ] يمكن استخدام القياس الانفصالي كبديل أسهل للحذف الصحيح، [ 39 ] وتُعدّ كل من MTT وDN من القواعد الشائعة، [ 111 ] على الرغم من أنها ليست أساسية. [ 39 ]

قائمة قواعد الاستدلال
اسم القاعدةأسماء بديلةشرحمجموعة الافتراضاتإفادة
قاعدة الافتراضات [ 111 ]الافتراض [ 39 ]أ [ 111 ] [ 39 ]رقم السطر الحالي. [ 39 ]في أي مرحلة من مراحل الحجة، قدم قضية كفرضية للحجة. [ 111 ] [ 39 ]
مقدمة حرف العطفمقدمة علامة العطف (&)، [ 111 ] [ 39 ] عطف (CONJ) [ 39 ] [ 113 ]م، ن و أنا [ 39 ] [ 111 ]اتحاد مجموعات الافتراضات عند الخطين m و n . [ 39 ]منφ{\displaystyle \varphi }وψ{\displaystyle \psi }عند السطرين م و ن ، استنتجφ و ψ{\displaystyle \varphi ~\&~\psi }[ 111 ] [ 39 ]​
حذف الاقترانالتبسيط (S)، [ 39 ] حذف علامة العطف [ 111 ] [ 39 ]م & هـ [ 39 ] [ 111 ]كما هو الحال في السطر م . [ 39 ]منφ و ψ{\displaystyle \varphi ~\&~\psi }في السطر م ، استنتجφ{\displaystyle \varphi }وψ{\displaystyle \psi }[ 39 ] [ 111 ]​
مقدمة الفصل [ 111 ]الجمع (ADD) [ 39 ]m ∨I [ 39 ] [ 111 ]كما هو الحال في السطر م . [ 39 ]منφ{\displaystyle \varphi }في السطر م ، استنتجφ∨ψ{\displaystyle \varphi \lor \psi }، أيا كانψ{\displaystyle \psi }ربما. [ 39 ] [ 111 ]
إزالة الانفصالاستبعاد الوتد، [ 111 ] معضلة (DL) [ 113 ]j,k,l,m,n ∨E [ 111 ]الخطوط j، k، l، m، n . [ 111 ]منφ∨ψ{\displaystyle \varphi \lor \psi }عند السطر j ، وافتراض لـφ{\displaystyle \varphi }عند السطر k ، واشتقاق منχ{\displaystyle \chi }منφ{\displaystyle \varphi }عند السطر l ، وافتراض لـψ{\displaystyle \psi }في السطر م ، واشتقاق منχ{\displaystyle \chi }منψ{\displaystyle \psi }في السطر ن ، استنتجχ{\displaystyle \chi }[ 111 ]​
القياس المنطقي الانفصاليإزالة الوتد (∨E)، [ 39 ] طريقة توليد الارتفاع (MTP) [ 39 ]م، ن DS [ 39 ]اتحاد مجموعات الافتراضات عند الخطين m و n . [ 39 ]منφ∨ψ{\displaystyle \varphi \lor \psi }عند الخط م و-φ{\displaystyle -\varphi }في السطر ن ، استنتجψ{\displaystyle \psi }؛ منφ∨ψ{\displaystyle \varphi \lor \psi }عند الخط م و-ψ{\displaystyle -\psi }في السطر ن ، استنتجφ{\displaystyle \varphi }[ 39 ]​
إزالة السهم [ 39 ]طريقة العمل (MPP)، [ 111 ] [ 39 ] طريقة العمل (MP)، [ 113 ] [ 39 ] الحذف المشروطم، ن → هـ [ 39 ] [ 111 ]اتحاد مجموعات الافتراضات عند الخطين m و n . [ 39 ]منφ→ψ{\displaystyle \varphi \to \psi }عند الخط م ، وφ{\displaystyle \varphi }في السطر ن ، استنتجψ{\displaystyle \psi }[ 39 ]​
مقدمة عن السهم [ 39 ]البرهان الشرطي (CP)، [ 113 ] [ 111 ] [ 39 ] مقدمة شرطيةn, →I (m) [ 39 ] [ 111 ]كل شيء في مجموعة الافتراضات في السطر n ، باستثناء m ، وهو السطر الذي تم فيه افتراض الشرط السابق. [ 39 ]منψ{\displaystyle \psi }في السطر ن ، بناءً على افتراضφ{\displaystyle \varphi }في السطر م ، استنتجφ→ψ{\displaystyle \varphi \to \psi }[ 39 ]​
Reductio ad absurdum [ 111 ]البرهان غير المباشر (IP)، [ 39 ] إدخال النفي (-I)، [ 39 ] حذف النفي (-E) [ 39 ]m, n RAA (k) [ 39 ]   اتحاد مجموعات الافتراضات عند الخطين m و n ، باستثناء k (الافتراض المرفوض). [ 39 ]من جملة ونفيها [ p ] في السطرين m و n ، استنتج نفي أي فرضية تظهر في البرهان (في السطر k ). [ 39 ]
مقدمة السهم المزدوج [ 39 ]التعريف المشروط الثنائي ( Df ↔)، [ 111 ] مقدمة مشروطة ثنائيةم، ن ↔ أنا [ 39 ]اتحاد مجموعات الافتراضات عند الخطين m و n . [ 39 ]منφ→ψ{\displaystyle \varphi \to \psi }وψ→φ{\displaystyle \psi \to \varphi }عند السطرين م و ن ، استنتجφ↔ψ{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }[ 39 ]​
حذف السهم المزدوج [ 39 ]التعريف المشروط الثنائي ( Df ↔)، [ 111 ] الحذف المشروط الثنائيم ↔ هـ [ 39 ]كما هو الحال في السطر م . [ 39 ]منφ↔ψ{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }في السطر م ، استنتج إماφ→ψ{\displaystyle \varphi \to \psi }أوψ→φ{\displaystyle \psi \to \varphi }[ 39 ]​
النفي المزدوج [ 111 ] [ 113 ]حذف النفي المزدوجm DN [ 111 ]كما هو الحال في السطر م . [ 111 ]من--φ{\displaystyle --\varphi }في السطر م ، استنتجφ{\displaystyle \varphi }[ 111 ]​
طريقة توليندو تولنس [ 111 ]Modus tollens (MT) [ 113 ]m, n MTT [ 111 ]اتحاد مجموعات الافتراضات عند الخطين m و n . [ 111 ]منφ→ψ{\displaystyle \varphi \to \psi }عند الخط م ، و-ψ{\displaystyle -\psi }في السطر ن ، استنتج-φ{\displaystyle -\varphi }[ 111 ]​

مثال على برهان الاستنتاج الطبيعي

البرهان أدناه [ 39 ] يستنتج-P{\displaystyle -P}منP→سؤال{\displaystyle P\to Q}و-سؤال{\displaystyle -Q}باستخدام MPP و RAA فقط ، مما يدل على أن MTT ليست قاعدة بدائية، حيث يمكن اشتقاقها من هاتين القاعدتين الأخريين.

اشتقاق MTT من MPP و RAA
مجموعة الافتراضاترقم السطرحكم الإثباتشرح
11P→سؤال{\displaystyle P\to Q}أ
22-سؤال{\displaystyle -Q}أ
33P{\displaystyle P}أ
1 ، 34سؤال{\displaystyle Q}1 ، 3 →E
1 ، 25-P{\displaystyle -P}2 ، 4 RAA

البرهان النحوي عبر البديهيات

من الممكن إجراء البراهين بطريقة بديهية، ما يعني اعتبار بعض التكرارات بديهية، واستنتاج غيرها منها باستخدام قاعدة الاستدلال المنطقي ( modus ponens) ، بالإضافة إلى قاعدة الاستبدال التي تسمح باستبدال أي صيغة صحيحة بأي صيغة بديلة منها. [ 114 ] وبدلاً من ذلك، يمكن استخدام مخططات البديهيات بدلاً من البديهيات، دون استخدام أي قاعدة استبدال. [ 114 ]

يُقدّم هذا القسم بديهيات بعض الأنظمة البديهية البارزة تاريخيًا في منطق القضايا. لمزيد من الأمثلة، بالإضافة إلى النظريات الميتافيزيقية الخاصة بهذه الأنظمة البديهية (مثل اكتمالها واتساقها)، انظر مقالة " النظام البديهي (المنطق)" .

كتاب فريجه المختصر

على الرغم من استخدام البرهان البديهي منذ كتاب الهندسة اليوناني القديم الشهير لإقليدس ، إلا أن استخدامه في منطق القضايا يعود إلى كتاب غوتلوب فريجه " Begriffsschrift " الصادر عام 1879. [ 38 ] [ 114 ] اعتمد نظام فريجه على الاستلزام والنفي فقط كأدوات ربط. [ 2 ] وتضمن ستة بديهيات: [ 114 ] [ 115 ] [ 116 ]

  • الاقتراح الأول:أ→(ب→أ){\displaystyle a\to (b\to a)}
  • الاقتراح الثاني:(ج→(ب→أ))→((ج→ب)→(ج→أ)){\displaystyle (c\to (b\to a))\to ((c\to b)\to (c\to a))}
  • الاقتراح رقم 8:(د→(ب→أ))→(ب→(د→أ)){\displaystyle (d\to (b\to a))\to (b\to (d\to a))}
  • الاقتراح رقم 28:(ب→أ)→(¬أ→¬ب){\displaystyle (b\to a)\to (\neg a\to \neg b)}
  • الاقتراح رقم 31:¬¬أ→أ{\displaystyle \neg \neg a\to a}
  • الاقتراح رقم 41:أ→¬¬أ{\displaystyle a\to \neg \neg a}

استخدم فريجه هذه القواعد إلى جانب قاعدة القياس المنطقي وقاعدة الاستبدال (التي تم استخدامها ولكن لم يتم تحديدها بدقة) للوصول إلى صياغة بديهية كاملة ومتسقة لمنطق القضايا الكلاسيكي القائم على وظائف الصدق. [ 115 ]

صفحة 2 من كتاب لوكاسيفيتش

أظهر يان لوكاسيفيتش أنه في نظام فريجه، "البديهية الثالثة زائدة عن الحاجة لأنها يمكن اشتقاقها من البديهيتين السابقتين، ويمكن استبدال البديهيات الثلاث الأخيرة بجملة واحدةججشمالصشمالqجqص{\displaystyle CCNpNqCqp}[ 116 ] وهو ما يعني ، عند نقله من تدوين لوكاسيفيتش البولندي إلى التدوين الحديث(¬ص→¬q)→(q→ص){\displaystyle (\neg p\rightarrow \neg q)\rightarrow (q\rightarrow p)}وبالتالي، يُنسب إلى لوكاسيفيتش [ 114 ] هذا النظام المكون من ثلاثة بديهيات:

  • ص→(q→ص){\displaystyle p\to (q\to p)}
  • (ص→(q→ر))→((ص→q)→(ص→ر)){\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}
  • (¬ص→¬q)→(q→ص){\displaystyle (\neg p\to \neg q)\to (q\to p)}

تمامًا مثل نظام فريجه، يستخدم هذا النظام قاعدة الاستبدال، ويستخدم قاعدة الاستدلال المنطقي (modus ponens) كقاعدة للاستدلال. [ 114 ] وقدّم ألونسو تشيرش النظام نفسه (مع قاعدة استبدال صريحة) ، [ 117 ] وأشار إليه باسم النظام P2 [ 117 ] [ 118 ] وساهم في نشره. [ 118 ]

الشكل التخطيطي لـ P 2

يمكن تجنب استخدام قاعدة الاستبدال من خلال تقديم البديهيات في شكل تخطيطي، واستخدامها لتوليد مجموعة لانهائية من البديهيات. وبالتالي، باستخدام الأحرف اليونانية لتمثيل المخططات (المتغيرات الميتافيزيقية التي يمكن أن تمثل أي صيغ سليمة )، تُعطى البديهيات على النحو التالي: [ 38 ] [ 118 ]

  • φ→(ψ→φ){\displaystyle \varphi \to (\psi \to \varphi )}
  • (φ→(ψ→χ))→((φ→ψ)→(φ→χ)){\displaystyle (\varphi \to (\psi \to \chi ))\to ((\varphi \to \psi )\to (\varphi \to \chi ))}
  • (¬φ→¬ψ)→(ψ→φ){\displaystyle (\neg \varphi \to \neg \psi )\to (\psi \to \varphi )}

يُنسب الشكل التخطيطي لـ P 2 إلى جون فون نيومان ، [ 114 ] ويُستخدم في قاعدة بيانات البراهين الرسمية "set.mm" في Metamath . [ 118 ] كما نُسب أيضًا إلى هيلبرت ، [ 119 ] وسُمّيح{\displaystyle {\mathcal {H}}}في هذا السياق. [ 119 ]

مثال على البرهان في الصفحة 2

كمثال على ذلك، برهان علىأ→أ{\displaystyle A\to A}يُعطى الجزء الثاني من الفقرة أدناه. أولاً، تُعطى البديهيات أسماءً:

(أ1)(ص→(q→ص)){\displaystyle (p\to (q\to p))}
(A2)((ص→(q→ر))→((ص→q)→(ص→ر))){\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}
(A3)((¬ص→¬q)→(q→ص)){\displaystyle ((\neg p\to \neg q)\to (q\to p))}

والدليل على ذلك هو كالتالي:

  1. أ→((ب→أ)→أ){\displaystyle A\to ((B\to A)\to A)}   (مثال على (A1))
  2. (أ→((ب→أ)→أ))→((أ→(ب→أ))→(أ→أ)){\displaystyle (A\to ((B\to A)\to A))\to ((A\to (B\to A))\to (A\to A))}   (مثال على (A2))
  3. (أ→(ب→أ))→(أ→أ){\displaystyle (A\to (B\to A))\to (A\to A)}   (من (1) و (2) عن طريق الاستدلال المنطقي )
  4. أ→(ب→أ){\displaystyle A\to (B\to A)}   (مثال على (A1))
  5. أ→أ{\displaystyle A\to A}   (من (4) و (3) عن طريق الاستدلال المنطقي)

ميتالوجيك

يتمتع منطق القضايا الكلاسيكي بعدد من الخصائص الميتافيزيقية الممتازة. وهو سليم مقارنةً بأي من أنواع أنظمة البرهان القياسية المذكورة أعلاه : كلماΓ⊢φ{\displaystyle \Gamma \vdash \varphi }، ولدى المرء أيضًاΓ⊨φ{\displaystyle \Gamma \models \varphi }وهي كاملة أيضاً ، بل كاملة بقوة لأي مجموعة من المقدمات: كلماΓ⊨φ{\displaystyle \Gamma \models \varphi }، ثمΓ⊢φ{\displaystyle \Gamma \vdash \varphi }[ 65 ] [ 71 ] على وجه الخصوص ، تُعتبر الصيغة نظرية إذا وفقط إذا كانت صحيحة منطقيًا. [ 65 ] [ 71 ]

ومن النتائج المركزية الأخرى التراص : مجموعةΓ{\displaystyle \Gamma }تكون الصيغ الافتراضية قابلة للتحقيق إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية منتهية منΓ{\displaystyle \Gamma }قابلة للتحقيق. [ 46 ] [ 65 ] أو بعبارة أخرى، إذاΓ⊨φ{\displaystyle \Gamma \models \varphi }إذن، هناك شيء محدودΔ⊆Γ{\displaystyle \Delta \subseteq \Gamma }بحيثΔ⊨φ{\displaystyle \Delta \models \varphi }[ 46 ] ولأن الاشتقاقات القياسية تستخدم عددًا محدودًا من المقدمات، يمكن أيضًا الحصول على التماسك من الاكتمال. [ 65 ] [ 46 ]

وبالمثل، يتطابق الاتساق النحوي مع قابلية الإرضاء: فمجموعة من الصيغ تكون متسقة إذا وفقط إذا كان لها قيمة منطقية (أي نموذج). [ 65 ] [ 71 ] وبالتالي، تتطابق المفاهيم الدلالية والنظرية البرهانية المستخدمة في منطق القضايا الكلاسيكي تمامًا. [ 65 ]

المنطق الافتراضي الكلاسيكي قابل للتقرير أيضًا . بما أن كل صيغة تحتوي على عدد محدود فقط من المتغيرات الافتراضية، يمكن تحديد ما إذا كانت الصيغة قابلة للإرضاء، أو غير قابلة للإرضاء، أو صحيحة، في عدد محدود من الخطوات، على سبيل المثال باستخدام جداول الصواب. [ 120 ] [ 96 ] [ 50 ]

حلول

يتمثل أحد الفروق البارزة بين حساب القضايا وحساب المسندات في أن قابلية إرضاء صيغة القضية قابلة للتقرير . [ 120 ] : 81 يُعدّ تقرير قابلية إرضاء صيغ منطق القضايا مسألةً كاملةً من فئة NP . ومع ذلك، توجد طرق عملية (مثل خوارزمية DPLL ، 1962؛ وخوارزمية Chaff ، 2001) تتسم بالسرعة الفائقة في العديد من الحالات المفيدة. وقد وسّعت الدراسات الحديثة خوارزميات حلّ SAT لتشمل القضايا التي تحتوي على تعابير حسابية ؛ وهذه هي خوارزميات حلّ SMT .

انظر أيضاً

مستويات منطقية أعلى

ملحوظات

  1. ↑ تكتب العديد من المصادر هذا باستخدام أداة تعريف، مثل حساب القضايا ، بينما يسميه البعض الآخر حساب القضايا بدون أداة تعريف.
  2. ↑ يُستخدم مصطلح منطق الرتبة الصفرية أحيانًا للدلالة على منطق المسند الخالي من المُكمِّمات . أي منطق القضايا المُوسَّع بالدوال والعلاقات والثوابت. [ 6 ]
  3. ↑ بالنسبة لمنطق القضايا، فإن اللغة الرسمية المستخدمة هي لغة القضايا .
  4. ↑ لا ينبغي الخلط بينها وبين أبجدية اللغة الرسمية.
  5. ↑ انظر إلى جميع الروابط الممكنة في منطق القضايا الوظيفية الصادقة مع بعض خصائصها.
  6. ↑ إن عبارة "أو كلاهما" توضح [ 35 ] أنها عبارة عن فصل منطقي ، وليست " أو حصرية" ، وهو أمر أكثر شيوعًا في اللغة الإنجليزية.
  7. ↑ قد تكون مجموعة المقدمات مجموعة فارغة ؛ [ 38 ] [ 39 ] وتكون الحجة المبنية على مجموعة مقدمات فارغة صحيحة إذا، وفقط إذا، كانت النتيجة تحصيل حاصل . [ 38 ] [ 39 ]
  8. ↑ إن للبوابة الدوارة، من حيث النتيجة النحوية، أسبقية أقلمن الفاصلة، التي تمثل تركيب المقدمات، والتي بدورها أسبقية أقل من السهم، المستخدم للاستلزام المادي؛ لذلك لا حاجة للأقواس لتفسير هذه الصيغة. [ 45 ]
  9. ↑ يُقدَّم هنا بناء جملة عام ومجرد للغاية، يتبع الترميز الوارد في موسوعة ستانفورد للفلسفة [ 2 ]، ولكنه يتضمن التعريف الثالث، الذي يُقدَّم بشكل صريح في مصادر أخرى، مثل جيلون [ 15 ] ، وبوستوك [ 38 ] ، وآلن وهاند [ 39 ]، وغيرها الكثير. وكما ذُكر في موضع آخر من المقال، تُكوِّن اللغات مجموعات متغيراتها المنطقية الذرية من أحرف كبيرة أو صغيرة (مع التركيز غالبًا على P/p وQ/q وR/r)، مع أو بدون أرقام سفلية؛ وفي مجموعة روابطها، قد تتضمن المجموعة الكاملة للروابط الخمسة النموذجية،{¬،∧،∨،→،↔}{\displaystyle \{\neg ,\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}}أو أي من المجموعات الفرعية الكاملة وظيفيًا من حيث الصدق. (وبالطبع، يمكنهم أيضًا استخدام أي من المتغيرات الترميزية لهذه الروابط.)
  10. ↑ لاحظ أن عبارة "مبدأ التركيب" قد أشارت إلى أشياء أخرى في سياقات أخرى، وحتى في سياق المنطق، حيث استخدمها برتراند راسل للإشارة إلى المبدأ القائل بأن "القضية التي تستلزم كل قضية من قضيتين تستلزم كلتيهما". [ 53 ]
  11. يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "التفسير"، بينما يستخدم آخرون مصطلح "القضية". لن يفرق هذا المقال بين المصطلحين، لأنه خضع لتحرير جماعي، ولا يوجد إجماع على المصطلح المُعتمد .
  12. ↑ تُسمىمجموعة الروابط الكاملة وظيفيًا من حيث الصدق [ 2 ] أيضًا مجموعة كاملة وظيفيًا ببساطة ، أو مناسبة لمنطق الصدق الوظيفي ، [ 40 ] أو مناسبة تعبيريًا ، [ 78 ] أو مناسبة ببساطة . [ 40 ] [ 78 ]
  13. ↑ انظر إلى جدول جميع دوال الحقيقة الثنائية الـ 16.
  14. ↑ تستخدم بعض هذه التعريفات كلمة "تفسير"، وتتحدث عن صحة أو خطأ الجمل/الصيغ "بموجب" هذا التفسير، بينما تستخدم أخرى كلمة "حالة"، وتتحدث عن صحة أو خطأ الجمل/الصيغ "في" هذه الحالة. وقد استخدمت المصادر الموثوقة المنشورة ( WP:RS ) كلا النوعين من المصطلحات، مع أن المؤلف الواحد عادةً ما يستخدم أحدهما فقط. ولأن هذه المقالة محررة بشكل جماعي، ولا يوجد إجماع على المصطلح المُستخدم، فقد تُركت هذه الاختلافات في المصطلحات كما هي.
  15. ↑ تقليديًا⊨φ{\displaystyle \models \varphi }يُستخدم رمز عدم وجود شيء على يسار البوابة الدوارة للدلالة على التكرار. ويمكن تفسيره على أنه يعني أنφ{\displaystyle \varphi }هو نتيجة دلالية لمجموعة الصيغ الفارغة، أي{}⊨φ{\displaystyle \{\}\models \varphi }، ولكن مع حذف الأقواس الفارغة للتبسيط؛ [ 38 ] وهو ما يعادل القول بأنها تحصيل حاصل، أي أنه لا يوجد تفسير يجعلها خاطئة. [ 38 ]
  16. ↑ لتبسيط صياغة القاعدة، تُستخدم كلمة "الإنكار" هنا على النحو التالي: إنكار الصيغةφ{\displaystyle \varphi }هذا ليس نفيًا-φ{\displaystyle -\varphi }، بينما النفي ،-φ{\displaystyle -\varphi }، لديه نفيان ، وهما:φ{\displaystyle \varphi }و--φ{\displaystyle --\varphi }[ 39 ]​

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 كليمنت، كيفن سي. "المنطق الافتراضي" . في: فيزر، جيمس؛ داودن، برادلي (محرران). موسوعة الإنترنت للفلسفة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 أبريل 2025 .
  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 فرانكس ، كورتيس (2024). "المنطق الافتراضي" . في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران). موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة شتاء 2024 ). مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد . تم الاطلاع عليه في 7 أبريل 2025 . 
  3. 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "حساب القضايا" . وولفرام ماث وورلد . تم الاسترجاع في 9 أغسطس 2025 .
  4. ↑ ليمون، إي جيه (30 سبتمبر 1971). مدخل إلى المنطق . مطبعة سي آر سي. ص. 9. رقم ISBN  978-0-412-38090-7.
  5. ↑ هيلبرت، د.؛ أكرمان، و. (1950). مبادئ المنطق الرياضي . شركة تشيلسي للنشر. OCLC 372927 . 
  6. ↑ تاو، تيرينس (2010)، "نظريات الاكتمال والتراص في منطق الرتبة الأولى" ، إبسيلون من المساحة، الجزء الثاني ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 27-31 ، doi : 10.1090/mbk/077 ، ISBN  978-0-8218-5280-4MR 2780010​ 
  7. ↑ أندروز، بيتر ب. (2002)، مقدمة في المنطق الرياضي ونظرية الأنواع: إلى الحقيقة من خلال البرهان ، سلسلة المنطق التطبيقي، المجلد 27 (الطبعة الثانية )، دار نشر كلوير الأكاديمية، دوردريخت، ص 201، doi : 10.1007/978-94-015-9934-4 ، ISBN    1-4020-0763-9، MR 1932484 
  8. 1 2 بيلوهلافيك، راديم؛ داوبن، جوزيف وارين ؛ كلير، جورج ج. (2017). المنطق الضبابي والرياضيات: منظور تاريخي . نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 463. ISBN  978-0-19-020001-5.
  9. 1 2 مانزانو، ماريا (2005). امتدادات منطق الرتبة الأولى . سلسلة كامبريدج في علوم الحاسوب النظرية (الطبعة الأولى المطبوعة رقميًا بغلاف ورقي ). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 180. ISBN   978-0-521-35435-6.
  10. ↑ ماتيس، رالف (1999). امتدادات النظام F بالتكرار والاستدعاء البدائي على الأنواع الاستقرائية الرتيبة . دار نشر هربرت أوتز. ص 23. ISBN  978-3-89675-578-0.
  11. 1 2 ماكغراث، ماثيو؛ فرانك، ديفين (2023)، "المقترحات" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة شتاء 2023 )، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 22 مارس 2024 
  12. ↑ "منطق المسند" . www3.cs.stonybrook.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  13. ↑ "الفلسفة 404: المحاضرة الخامسة" . www.webpages.uidaho.edu . تاريخ الاطلاع: 22 مارس 2024 .
  14. 1 2 3 "3.1 منطق القضايا" . www.teach.cs.toronto.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ديفيس، ستيفن؛ جيلون، بريندان س.، محرران. (2004). علم الدلالة: مختارات . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-513697-5.
  16. 1 2 3 4 5 6 7 أفلاطون، يان فون (2013). عناصر الاستدلال المنطقي ( الطبعة الأولى المنشورة). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 9، 32، 121. ISBN   978-1-107-03659-8.
  17. 1 2 "المنطق الافتراضي" . www.cs.miami.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  18. ↑ أفلاطون، يان فون (2013). عناصر الاستدلال المنطقي (الطبعة الأولى المنشورة ). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 9. ISBN   978-1-107-03659-8.
  19. 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "التواصل" . وولفرام ماث وورلد . تم الاسترجاع في 9 أغسطس 2025 .
  20. ↑ "المنطق الافتراضي | موسوعة الرياضيات والعلوم الرائعة" . brilliant.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أغسطس 2020 .
  21. ↑ بوبزيان، سوزان (1 يناير 2016). "المنطق القديم". في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد – عبر موسوعة ستانفورد للفلسفة.
  22. ↑ "المنطق الافتراضي | موسوعة الإنترنت للفلسفة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 أغسطس 2020 .
  23. ↑ بوبزيان، سوزان (2020)، "المنطق القديم" ، في زالتا، إدوارد ن. (محرر)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة صيف 2020 )، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 22 مارس 2024 
  24. ↑ بيكهاوس، فولكر (1 يناير 2014). "تأثير لايبنتز على منطق القرن التاسع عشر". في زالتا، إدوارد ن. (محرر). موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد - عبر موسوعة ستانفورد للفلسفة.
  25. ↑ هيرلي، باتريك (2007). مقدمة موجزة في المنطق، الطبعة العاشرة . دار وادزورث للنشر. ص 392. 
  26. ^ بيث ، إيفرت دبليو. "الاستلزام الدلالي والاشتقاق الرسمي"، السلسلة: Mededlingen van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen، Afdeling Letterkunde، Nieuwe Reeks، vol. 18، لا. 13، شمال هولندا أويتغ. ، أمستردام، 1955، ص 309-42. أعيد طبعه في Jaakko Intikka (محرر) فلسفة الرياضيات ، مطبعة جامعة أكسفورد، 1969
  27. 1 2 الحقيقة في فريجه
  28. 1 2 3 "راسل: مجلة دراسات برتراند راسل" . مؤرشف من الأصل في 3 نوفمبر 2013. تم الاطلاع عليه في 6 يناير 2012 .
  29. ↑ أنيليس، إيرفينغ هـ. (2012). "تحليل بيرس الوظيفي للحقيقة وأصل جدول الحقيقة". تاريخ وفلسفة المنطق . 33 : 87-97 . doi : 10.1080/01445340.2011.621702 . S2CID 170654885 . 
  30. ↑ "الجزء الثاني، الوحدة الأولى: المنطق: العبارات، النفي، الكميات، جداول الصواب" . www.math.fsu.edu . تاريخ الاسترجاع: 22 مارس 2024 .
  31. ↑ "ملاحظات المحاضرة حول التنظيم المنطقي والتفكير النقدي" . www2.hawaii.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  32. ↑ "الروابط المنطقية" . sites.millersville.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  33. ↑ "المحاضرة 1" . www.cs.columbia.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  34. 1 2 3 4 "مقدمة في المنطق - الفصل 2" . intrologic.stanford.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  35. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 بيال، جيفري سي. (2010). المنطق: الأساسيات (الطبعة الأولى المنشورة ). لندن: روتليدج. الصفحات 6، 8، 14-16 ، 19-20 ، 44-48 ، 50-53 ، 56. ISBN   978-0-203-85155-5.
  36. ↑ "واتسون" . watson.latech.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  37. ↑ "مقدمة في علوم الحاسوب النظرية، الفصل 1" . www.cs.odu.edu . تاريخ الاطلاع: 22 مارس 2024 .
  38. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 بوستوك، ديفيد (1997). المنطق الوسيط . أكسفورد : نيويورك: مطبعة كلارندون؛ مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 4-5 ، 8-13 ، 18-19 ، 22، 27، 29، 191، 194. ISBN   978-0-19-875141-0.
  39. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١ ١٢ ١٣ ١٤ ١٥ ١٦ ١٧ ١٨ ١٩ ٢٠ ٢١ ٢٢ ٢٣ ٢٤ ٢٥ ٢٦ ٢٧ ٢٨ ٢٩ ٣٠ ٣١ ٣٢ ٣٣ ٣٤ ٣٥ ٣٦ ٣٧ ٣٨ ٣٩ ٤٠ ٤١ ٤٢ ٤٣ ٤٤ ٤٥ ٤٦ ٤٧ ٤٨ ٤٩ ٥٠ ٥١ ٥٢ ٥٣ ٥٤ ٥٥ ٥٦ ٥٧ ٥٨ ٥٩ ٦٠ ٦١ ٦٢ ٦٣ ٦٤ ٦٥ ٦٦ ٦٧ ٦٨ ٦٩ ٧٠ ألين ، كولين؛ هاند، مايكل (٢٠٢٢). مدخل إلى المنطق ( الطبعة الثالثة). كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ISBN  978-0-262-54364-4.
  40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 هاوسون ، كولين ( 1997 ) . المنطق مع الأشجار : مقدمة في المنطق الرمزي . لندن؛ نيويورك: روتليدج. الصفحات: 9، 10، 5-6 ، 15-16 ، 20، 24-29 ، 38، 42-43 ، 47. ISBN  978-0-415-13342-5.
  41. ↑ ستوجنيتش، أونا (2017). "طريقة الاستدلال: المَطْلَى، والترابط، والمنطق" . مجلة الفلسفة والبحوث الظاهراتية . 95 (1): 167-214 . doi : 10.1111/phpr.12307 . ISSN 0031-8205 . JSTOR 48578954 .  
  42. ↑ دوتيل نوفايس، كاتارينا (2022)، "الجدال والمحاججة" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة خريف 2022 )، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 5 أبريل 2024 
  43. 1 2 3 4 5 "الصحة والصلاحية | موسوعة الإنترنت للفلسفة" . تم الاطلاع عليه في 5 أبريل 2024 .
  44. 1 2 3 4 5 6 بيليتييه، فرانسيس جيفري؛ هازن، ألين (2024)، "أنظمة الاستدلال الطبيعي في المنطق" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة ربيع 2024 )، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 22 مارس 2024 
  45. 1 2 ريستال، جريج (2018)، "المنطق البنيوي الفرعي" ، في زالتا، إدوارد ن. (محرر)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة ربيع 2018)، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 22 مارس 2024 
  46. 1 2 3 4 5 6 7 "الاختصار | موسوعة الإنترنت للفلسفة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  47. 1 2 "مواضيع المحاضرات لطلاب الرياضيات المتقطعة" . math.colorado.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  48. ↑ باسيو، ألكسندر؛ بريجل، فابيان (2023)، "الاستنتاجية في فلسفة الرياضيات" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة خريف 2023)، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 22 مارس 2024 
  49. 1 2 ديمي، لورنز؛ كوي، بارتيلد؛ ساك، جوشوا (2023)، "المنطق والاحتمال" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة خريف 2023)، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 22 مارس 2024 
  50. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 كلين ، ستيفن كول (2002). المنطق الرياضي ( طبعة دوفر). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN  978-0-486-42533-7.
  51. 1 2 3 همبرستون، لويد (2011). الروابط . كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 118، 702. ISBN  978-0-262-01654-4. OCLC 694679197 . 
  52. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 سموليان، ريموند م. (1995) [1968]. منطق الرتبة الأولى . نيويورك: منشورات دوفر . الصفحات 5، 10-11 ، 14. ISBN  978-0-486-68370-6.
  53. ↑ راسل، برتراند (2010). مبادئ الرياضيات . روتليدج كلاسيكس. لندن: روتليدج. ص 17. ISBN  978-0-415-48741-2.
  54. ↑ ماكريديس، أوديسيوس (2022). المنطق الرمزي . بالغراف فيلوسوفي توداي. ص 87. doi : 10.1007/978-3-030-67396-3 . ISBN  978-3-030-67395-6ISSN 2947-9339​​ 
  55. 1 2 هودجز، ويلفريد (1977). المنطق . هارموندسوورث؛ نيويورك: بنغوين. ص 80-85 . ISBN  978-0-14-021985-2.
  56. 1 2 3 4 هانسون، سفين أوف؛ هندريكس، فنسنت ف. (2018). مقدمة في الفلسفة الصورية . نصوص سبرينغر الجامعية في الفلسفة. تشام: سبرينغر. ص 38. ISBN  978-3-030-08454-7.
  57. ↑ أيالا-رينكون، ماوريسيو؛ دي مورا، فلافيو إل سي (2017). المنطق التطبيقي لعلماء الحاسوب . موضوعات جامعية في علوم الحاسوب. سبرينغر. ص 2. doi : 10.1007/978-3-319-51653-0 . ISBN  978-3-319-51651-6.
  58. 1 2 لاندي، نيلسون ب. (2013). المنطق الكلاسيكي ومتاهاته: مدخل تمهيدي . إنديانابوليس، إنديانا: شركة هاكيت للنشر، ص 20. ISBN  978-1-60384-948-7.
  59. ↑ غولدري، ديريك (2005). حساب القضايا والمسندات: نموذج للحجة . لندن: سبرينغر. ص 69. ISBN  978-1-85233-921-0.
  60. ↑ "المنطق الافتراضي" . www.cs.rochester.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  61. ↑ "حساب القضايا" . www.cs.cornell.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2024 .
  62. 1 2 شرامكو، ياروسلاف؛ وانسينغ، هاينريش (2021)، "قيم الحقيقة" ، في زالتا، إدوارد ن. (محرر)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة شتاء 2021 )، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 23 مارس 2024 
  63. ↑ ميتكالف، ديفيد؛ باول، جون (2011). "هل ينبغي للأطباء تجنب ويكيبيديا؟" . مجلة الجمعية الملكية للطب . 104 (12): 488-489 . doi : 10.1258/jrsm.2011.110227 . ISSN 0141-0768 . PMC 3241521. PMID 22179287 .   
  64. ↑ آيرز، فيبي؛ ماثيوز، تشارلز؛ ييتس، بن (2008). كيف تعمل ويكيبيديا: وكيف يمكنك أن تكون جزءًا منها . سان فرانسيسكو: دار نشر نو ستارش. ص 22. ISBN  978-1-59327-176-3. OCLC 185698411 . 
  65. 1 2 3 4 5 6 7 شابيرو، ستيوارت؛ كوري كيسيل، تيريزا (2024)، "المنطق الكلاسيكي" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة ربيع 2024 )، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 25 مارس 2024 
  66. 1 2 3 4 لاندمان، فريد (1991). هياكل الدلالة . دراسات في اللغويات والفلسفة. المجلد 45. ص 127. doi : 10.1007/978-94-011-3212-1 . ISBN   978-0-7923-1240-6ISSN 0924-4662​​ 
  67. ↑ فيتينغ، ملفين (6 ديسمبر 2012). منطق الرتبة الأولى وإثبات النظريات الآلي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 16. ISBN  978-1-4612-2360-3.
  68. ↑ ناسيمينتو، ماركو أنطونيو تشاير (2015). آفاق في أساليب الكم وتطبيقاتها في الكيمياء والفيزياء: مختارات من وقائع المؤتمر الثامن عشر لأنظمة الكم في الكيمياء والفيزياء (باراتي، البرازيل، ديسمبر 2013) . التقدم في الكيمياء والفيزياء النظرية. ورشة العمل الدولية حول أنظمة الكم في الكيمياء والفيزياء. تشام: سبرينغر. ص 255. ISBN  978-3-319-14397-2.
  69. 1 2 3 4 5 6 7 تشودري، ك. ر. (2020). أساسيات الذكاء الاصطناعي . ص 31-34 . doi : 10.1007/978-81-322-3972-7 . ISBN  978-81-322-3970-3.
  70. ↑ ريستال، جريج؛ ستانديفر، شون (3 يناير 2023). الأساليب المنطقية . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 76. ISBN  978-0-262-54484-9.
  71. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 هنتر، جيفري (1971). ما وراء المنطق: مقدمة في نظرية ما وراء المنطق القياسي من الدرجة الأولى . مطبعة جامعة كاليفورنيا. ISBN 0-520-02356-0.
  72. 1 2 3 4 5 6 7 8 ريستال، جريج (2010). المنطق: مقدمة . أساسيات الفلسفة. لندن: روتليدج. الصفحات 5، 36-41 ، 55-60 ، 69. ISBN  978-0-415-40068-8.
  73. ↑ ألوني، ماريا (2023)، "الانفصال" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة ربيع 2023 )، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 23 مارس 2024 
  74. ↑ ماكريديس، أوديسيوس (2022). المنطق الرمزي . فلسفة بالغراف اليوم. تشام، سويسرا: بالغراف ماكميلان. ص 119. ISBN  978-3-030-67395-6.
  75. ↑ بورغيس، جون ب. (2009). المنطق الفلسفي . أسس برينستون للفلسفة المعاصرة. برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ص 5. ISBN  978-0-691-13789-6. OCLC 276141382 . 
  76. 1 2 بيال، جيه سي؛ ريستال، جريج (2006). التعددية المنطقية . مطبعة كلارندون. ص 38. ISBN  978-0-19-928840-3.
  77. ↑ ليفين، أوسكار. المنطق الافتراضي .
  78. 1 2 سميث، بيتر (2003)، مقدمة في المنطق الصوري ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-00804-4. (يعرّف "التعبير الكافي"، المختصر إلى "مجموعة كافية من الروابط" في عنوان القسم.)
  79. ↑ كانينغهام، دانيال و. (2016). نظرية المجموعات: دورة تمهيدية . كتب كامبريدج الرياضية. نيويورك، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-12032-7.
  80. 1 2 جينسيريث، مايكل؛ كاو، إريك جيه. (2017). مقدمة في المنطق . محاضرات توليفية في علوم الحاسوب. تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. ص 18. doi : 10.1007/978-3-031-01801-5 . ISBN  978-3-031-00673-9.
  81. 1 2 3 4 5 6 7 روجرز، روبرت ل. (1971). المنطق الرياضي والنظريات الرسمية . إلسيفير. ص 38-39 . doi : 10.1016/c2013-0-11894-6 . ISBN  978-0-7204-2098-2.
  82. ↑ "6. دلالات منطق القضايا - توثيق المنطق والبرهان 3.18.4" . leanprover.github.io . تم ​​الاطلاع عليه بتاريخ 28 مارس 2024 .
  83. ↑ "تمثيل المعرفة والاستدلال: أساسيات المنطق" . www.emse.fr. تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 مارس 2024 .
  84. 1 2 "1.4: التكرار والتناقضات" . نصوص الرياضيات الحرة . 9 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 29 مارس 2024 .
  85. 1 2 سيلفستر، جيريمي. EF التكرارات والتناقضات .
  86. 1 2 ديلانسي، كريج؛ وودرو، جينا (2017). المنطق الصوري الابتدائي ( الطبعة الأولى). بريس بوكس. 
  87. ↑ ديكس، ج.؛ فيشر، مايكل؛ نوفاك، بيتر، محرران. (2010). المنطق الحسابي في أنظمة متعددة العوامل: ورشة العمل الدولية العاشرة، كليما إكس، هامبورغ، ألمانيا، 9-10 سبتمبر 2009: أوراق مختارة ومنقحة ومدعوة . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. برلين؛ نيويورك: سبرينغر. ص 49. ISBN  978-3-642-16866-6. OCLC 681481210 . 
  88. ↑ براكن، هنري؛ بيستاريلي، ستيفانو؛ سانتيني، فرانشيسكو؛ تاتيتشي، كارلو، محرران. (2020). النماذج الحاسوبية للحجاج: وقائع مؤتمر COMMA 2020. آفاق في الذكاء الاصطناعي وتطبيقاته. واشنطن: دار نشر IOS. ص 252. ISBN  978-1-64368-106-1.
  89. ↑ أوودي، ستيف؛ أرنولد، جريج فروست، محرران. (2024). رودولف كارناب: دراسات في علم الدلالة: الأعمال الكاملة لرودولف كارناب، المجلد 7. نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ص. 27. ISBN  978-0-19-289487-8.
  90. ↑ هاريل، غيرشون؛ ستيليانيدس، أندرياس ج.، محرران. (2018). التطورات في بحوث تعليم الرياضيات حول البرهان والإثبات: منظور دولي . سلسلة دراسات المؤتمر الدولي الثالث عشر لتعليم الرياضيات (الطبعة الأولى، 2018 ). تشام: دار نشر سبرينغر الدولية : اسم الطبعة: سبرينغر. ص 181. ISBN    978-3-319-70996-3.
  91. ↑ ديلانسي، كريج (2017). "مقدمة موجزة في المنطق: §4. البراهين" . دار نشر ميلن . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مارس 2024 .
  92. ↑ فيرغسون، توماس ماكولي؛ بريست، غراهام (23 يونيو 2016)، "النتيجة الدلالية" ، قاموس المنطق ، مطبعة جامعة أكسفورد، doi : 10.1093/acref/9780191816802.001.0001 ، ISBN 978-0-19-181680-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مارس 2024{{citation}}: CS1 maint: work parameter with ISBN ( link )
  93. ↑ فيرغسون، توماس ماكولي؛ بريست، غراهام (23 يونيو 2016)، "النتيجة النحوية" ، قاموس المنطق ، مطبعة جامعة أكسفورد، doi : 10.1093/acref/9780191816802.001.0001 ، ISBN 978-0-19-181680-2تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مارس 2024{{citation}}: CS1 maint: work parameter with ISBN ( link )
  94. 1 2 3 كوك، روي ت. (2009). قاموس المنطق الفلسفي . إدنبرة: مطبعة جامعة إدنبرة. ص 82، 176. ISBN  978-0-7486-2559-8.
  95. ↑ "جدول الحقيقة | العمليات المنطقية، والقواعد | بريتانيكا" . www.britannica.com . ١٤ مارس ٢٠٢٤. تاريخ الاسترجاع: ٢٣ مارس ٢٠٢٤ .
  96. 1 2 3 4 "المنطق الرياضي" . www.cs.yale.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مارس 2024 .
  97. ↑ "الجداول التحليلية" . www3.cs.stonybrook.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مارس 2024 .
  98. ↑ "المنطق الصوري - الجداول الدلالية، البراهين، القواعد | بريتانيكا" . www.britannica.com . تاريخ الاطلاع: 23 مارس 2024 .
  99. ↑ "المنهج البديهي | المنطق، البراهين، والأسس | بريتانيكا" . www.britannica.com . تاريخ الاطلاع: 23 مارس 2024 .
  100. ↑ "المنطق الافتراضي" . mally.stanford.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مارس 2024 .
  101. 1 2 "الاستنتاج الطبيعي | موسوعة الإنترنت للفلسفة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مارس 2024 .
  102. 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "حساب التفاضل والتكامل المتتابع" . وولفرام ماث وورلد . تم الاسترجاع في 9 أغسطس 2025 .
  103. ↑ "دليل تفاعلي لحساب المتتابعات" . logitext.mit.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مارس 2024 .
  104. ↑ لوكاس، بيتر؛ غاغ، ليندا فان دير (1991). مبادئ أنظمة الخبراء (ملف PDF) . سلسلة علوم الحاسوب الدولية. ووكينغهام، إنجلترا؛ ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ص 26. ISBN  978-0-201-41640-4.
  105. ↑ باخماير، ليو (2009). "منطق علوم الحاسوب CSE541" (ملف PDF) . جامعة ستوني بروك .
  106. ↑ لوسون، مارك ف. (2019). مدخل إلى المنطق . بوكا راتون: مطبعة سي آر سي، مجموعة تايلور وفرانسيس. ص. مثال 1.58. ISBN  978-0-8153-8664-3.
  107. ↑ دين، نيفيل (2003). المنطق واللغة . باسينجستوك: بالغراف ماكميلان. ص 66. ISBN  978-0-333-91977-4.
  108. ↑ تشيسويل، إيان؛ هودجز، ويلفريد (2007). المنطق الرياضي . نصوص أكسفورد في المنطق. أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 3. ISBN  978-0-19-857100-1.
  109. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 هودجز، ويلفريد (2001). المنطق ( الطبعة الثانية). لندن: كتب بنجوين. الصفحات 130-131 . ISBN   978-0-14-100314-6.
  110. ↑ تويدا، شونيتشي (2 أغسطس 2009). "إثبات الاستلزام" . مواد دورة CS381 هياكل منفصلة/رياضيات منفصلة على الإنترنت . قسم علوم الحاسوب، جامعة أولد دومينيون . تاريخ الاسترجاع: 10 مارس 2010 .
  111. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 ليمون، إدوارد جون (1998). مدخل إلى المنطق . بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي. الصفحات متفرقة، وخاصة 39-40. ISBN  978-0-412-38090-7.
  112. ↑ "أنظمة الاستدلال الطبيعي في المنطق > ملاحظات (موسوعة ستانفورد للفلسفة)" . plato.stanford.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أبريل 2024 .
  113. 1 2 3 4 5 6 آرثر، ريتشارد تي دبليو (2017). مقدمة في المنطق: استخدام الاستنتاج الطبيعي، والحجج الواقعية، وقليل من التاريخ، وبعض الفكاهة ( الطبعة الثانية). بيتربورو، أونتاريو: برودفيو برس. ISBN  978-1-55481-332-2. OCLC 962129086 . 
  114. 1 2 3 4 5 6 7 سموليان، ريموند م. (23 يوليو 2014). دليل المبتدئين في المنطق الرياضي . شركة كورير. الصفحات 102-103 . ISBN  978-0-486-49237-7.
  115. 12Mendelsohn, Richard L. (10 January 2005). The Philosophy of Gottlob Frege. Cambridge University Press. p. 185. ISBN 978-1-139-44403-3.
  116. 12Łukasiewicz, Jan (1970). Jan Lukasiewicz: Selected Works. North-Holland. p. 136.
  117. 12Church, Alonzo (1996). Introduction to Mathematical Logic. Princeton University Press. p. 119. ISBN 978-0-691-02906-1.
  118. 1234"Proof Explorer - Home Page - Metamath". us.metamath.org. Retrieved 2 July 2024.
  119. 12Walicki, Michał (2017). Introduction to mathematical logic (Extended ed.). New Jersey: World Scientific. p. 126. ISBN 978-981-4719-95-7.
  120. 12Quine, W. V. O. (1980). Mathematical Logic. Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5.

Further reading

  • Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY.
  • Chang, C.C. and Keisler, H.J. (1973), Model Theory, North-Holland, Amsterdam, Netherlands.
  • Kohavi, Zvi (1978), Switching and Finite Automata Theory, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.
  • Korfhage, Robert R. (1974), Discrete Computational Structures, Academic Press, New York, NY.
  • Lambek, J. and Scott, P.J. (1986), Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
  • Mendelson, Elliot (1964), Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand Company.