التعبير (الرياضيات)

في الجبر الابتدائي ، المتغير في التعبير هو حرف يمثل عددًا قد تتغير قيمته. تقييم تعبير يحتوي على متغير يعني إيجاد قيمة التعبير عند استبدال المتغير بالعدد المُعطى. يمكن تبسيط التعبيرات باستبدال العمليات التي تظهر فيها بنتائجها، أو بدمج الحدود المتشابهة . يتكون تقييم التعبير من تكرار خطوات التبسيط حتى الوصول في النهاية إلى عدد واحد. ^{[ 6 ]}

على سبيل المثال، خذ التعبير${\displaystyle 4x^{2}+8}$ويمكن تقييمها عندما تكون قيمة x = 3 في الخطوات التالية:

${\textstyle 4\cdot 3^{2}+8}$(استبدل x بـ 3)

${\displaystyle 4\cdot 9+8}$(تقييم المربع)

${\displaystyle 36+8}$(تقييم عملية الضرب)

${\displaystyle 44}$(قم بتقييم عملية الجمع)

الحد هو ثابت أو حاصل ضرب ثابت في متغير واحد أو أكثر. ومن الأمثلة على ذلك :${\displaystyle 7,\;5x,\;13x^{2}y,\;4b}$يُسمى الثابت في حاصل الضرب بالمعامل . أما الحدود التي تكون إما ثوابت أو تحتوي على نفس المتغيرات مرفوعة لنفس القوى فتُسمى حدودًا متشابهة . إذا وُجدت حدود متشابهة في عبارة رياضية، يُمكن تبسيطها بجمع هذه الحدود المتشابهة، وذلك بجمع المعاملات مع الإبقاء على نفس المتغير.

${\displaystyle 4x+7x+2x=13x}$

يمكن تصنيف أي متغير إما كمتغير حر أو متغير مقيد . بالنسبة لمجموعة معينة من قيم المتغيرات الحرة، يمكن تقييم تعبير ما، مع العلم أنه بالنسبة لبعض مجموعات قيم المتغيرات الحرة، قد تكون قيمة التعبير غير مُعرَّفة . وبالتالي، يُمثل التعبير عملية على الثوابت والمتغيرات الحرة، ويكون ناتجها هو القيمة الناتجة للتعبير. ^{[ 7 ]}

بالنسبة للغة غير الرسمية، أي في معظم النصوص الرياضية خارج نطاق المنطق الرياضي ، لا يمكن دائمًا تحديد المتغيرات الحرة والمقيدة في التعبير الفردي. على سبيل المثال، في${\textstyle \sum _{i<k}a_{ik}}$، بحسب السياق، المتغير${\textstyle i}$يمكن أن يكون مجانيًا و${\textstyle k}$مقيد، أو العكس، لكن لا يمكن أن يكون كلاهما حراً. يعتمد تحديد القيمة التي يُفترض أنها حرة على السياق والدلالات . ^{[ 8 ]}

يُستخدم التعبير غالبًا لتعريف دالة ، أو للدلالة على تركيب الدوال، وذلك بأخذ المتغيرات كمعاملات أو مدخلات للدالة، وتعيين الناتج ليكون تقييم التعبير الناتج. ^{[ 9 ]} على سبيل المثال،${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$و${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ عرّف الدالة التي تربط كل عدد بمربعه زائد واحد. يُعرّف التعبير الذي لا يحتوي على متغيرات دالة ثابتة . وبهذه الطريقة، يُقال إن تعبيرين متكافئان إذا كان لهما نفس الناتج لكل توليفة من قيم المتغيرات الحرة، أي أنهما يمثلان نفس الدالة. ^{[ 10 ] [ 11 ]} يُطلق على التكافؤ بين تعبيرين اسم الهوية ، ويُرمز إليه أحيانًا بـ${\displaystyle \equiv .}$

على سبيل المثال، في التعبير${\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}$المتغير n مقيد، والمتغير x حر. هذا التعبير مكافئ للتعبير الأبسط 12 x ؛ أي$${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.}$$قيمة x = 3 هي 36، والتي يمكن التعبير عنها بـ$${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}$$

يمكن وصف بنية التعبيرات الرياضية بشكل غير رسمي إلى حد ما كما يلي: يجب أن تحتوي المعاملات المسموح بها على العدد الصحيح من المدخلات في المواضع الصحيحة (عادةً ما تُكتب باستخدام الترميز الوسطي )، ويجب أن تكون التعبيرات الفرعية التي تُكوّن هذه المدخلات سليمة البنية، وأن يكون لها ترتيب واضح للعمليات ، وما إلى ذلك. تُسمى سلاسل الرموز التي تتوافق مع قواعد البنية سليمة البنية ، وتُسمى تلك التي لا تتوافق مع البنية سليمة البنية ، ولا تُعتبر تعبيرات رياضية. ^{[ 12 ]}

على سبيل المثال، في الحساب ، يكون التعبير 1 + 2 × 3 صحيحًا، ولكن

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

ليس كذلك.

لكنّ كون الشيء مُصاغًا جيدًا لا يكفي لاعتباره مُعرّفًا جيدًا. على سبيل المثال، في الحساب، التعبير${\textstyle {\frac {1}{0}}}$هي صيغة صحيحة، لكنها غير مُعرَّفة تعريفاً جيداً (انظر القسمة على صفر ). تُسمى هذه التعبيرات غير مُعرَّفة .

علم الدلالة هو دراسة المعنى. أما الدلالة الرسمية فتتعلق بإضفاء معنى على التعبيرات. يُقال إن التعبير الذي يُحدد قيمة أو معنىً فريدًا مُحدد جيدًا . وإلا، يُقال إن التعبير غير مُحدد جيدًا أو غامض. ^{[ 13 ]} بشكل عام، لا يقتصر معنى التعبيرات على تحديد القيم؛ فعلى سبيل المثال، قد يُشير التعبير إلى شرط، أو معادلة يجب حلها، أو يمكن اعتباره كائنًا قائمًا بذاته يمكن التعامل معه وفقًا لقواعد معينة. بعض التعبيرات التي تُشير إلى قيمة تُعبر في الوقت نفسه عن شرط يُفترض تحققه، على سبيل المثال تلك التي تتضمن المُعامل.${\displaystyle \oplus }$لتحديد المجموع المباشر الداخلي .

في الجبر ، يُستخدم التعبير للدلالة على قيمة، قد تعتمد على القيم المُسندة للمتغيرات الواردة في التعبير. ويعتمد تحديد هذه القيمة على دلالات رموز التعبير، والتي بدورها تعتمد على سياق التعبير. فعلى سبيل المثال، يمكن للتعبير النحوي نفسه 1 + 2 × 3 أن يحمل قيمًا مختلفة (رياضيًا 7، وأيضًا 9)، وذلك تبعًا لترتيب العمليات الذي يُشير إليه السياق (انظر أيضًا قسم العمليات § الآلات الحاسبة ).

بالنسبة للأعداد الحقيقية ، يكون الناتج${\displaystyle a\times b\times c}$لا لبس فيه لأن${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$لذا يُقال إن الترميز مُحدد جيدًا . ^{[ 13 ]} تضمن هذه الخاصية، المعروفة أيضًا باسم تجميعية الضرب، أن النتيجة لا تعتمد على تسلسل عمليات الضرب؛ لذلك، يمكن حذف تحديد التسلسل. عملية الطرح غير تجميعية؛ على الرغم من ذلك، هناك اصطلاح ينص على أن${\displaystyle abc}$هو اختصار لـ${\displaystyle (ab)-c}$لذا يُعتبر "محددًا جيدًا". من ناحية أخرى، القسمة غير تجميعية، وفي حالة${\displaystyle a/b/c}$، قواعد وضع الأقواس ليست راسخة بشكل جيد؛ لذلك، غالباً ما يعتبر هذا التعبير غير محدد بشكل جيد.

على عكس الدوال، يمكن التغلب على الغموض في الرموز باستخدام تعريفات إضافية (مثل قواعد الأسبقية ، وتجميعية المعامل). على سبيل المثال، في لغة البرمجة C ، يكون معامل -الطرح تجميعيًا من اليسار إلى اليمين ، أي أن a-b-cيُعرَّف على أنه (a-b)-c، ويكون معامل =الإسناد تجميعيًا من اليمين إلى اليسار ، أي أن a=b=cيُعرَّف على أنه a=(b=c). ^{[ 14 ]} أما في لغة البرمجة APL، فهناك قاعدة واحدة فقط: من اليمين إلى اليسار - ولكن الأقواس أولًا.

الحساب هو أي نوع من العمليات الحسابية، سواءً كانت حسابية أو غير حسابية، التي تتسم بـ"التعريف الجيد". ^{[ 19 ]} وقد ناقش علماء الرياضيات فكرة ضرورة أن تكون العبارات الرياضية "مُعرَّفة جيدًا" منذ القرن السابع عشر على الأقل ، ^{[ 20 ]} إلا أن التوصل إلى تعريف مناسب ظل أمرًا صعب المنال. ^{[ 21 ]} وقد اقترح العديد من علماء الرياضيات تعريفًا مُرشحًا بشكل مستقل في ثلاثينيات القرن العشرين. ^{[ 22 ]} وقد صاغ عالم الرياضيات آلان تورينج أشهر هذه التعريفات، حيث عرّف العبارة أو العملية الحسابية المُعرَّفة جيدًا بأنها أي عبارة يمكن التعبير عنها بدلالة مُعاملات التهيئة لآلة تورينج . ^{[ 23 ]} وقد شمل تعريف تورينج "التعريف الجيد" فئة واسعة جدًا من العبارات الرياضية، بما في ذلك جميع العبارات الجبرية المُصاغة جيدًا ، وجميع العبارات المكتوبة بلغات برمجة الحاسوب الحديثة. ^{[ 24 ]}

على الرغم من شيوع هذا التعريف، إلا أن هناك بعض المفاهيم الرياضية التي لا يوجد لها تعريف دقيق وفقًا له. يشمل ذلك مسألة التوقف ولعبة القندس المشغول . ويبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كان هناك تعريف أكثر دقة لمصطلح "مُعرَّف جيدًا" قادر على استيعاب كلٍّ من العبارات القابلة للحساب وغير القابلة للحساب. ^{[ أ ] [ 25 ]} جميع العبارات المُعرَّفة في لغات البرمجة الحديثة مُعرَّفة جيدًا، بما في ذلك C++ و Python و Java . ^{[ 24 ]}

من الأمثلة الشائعة على العمليات الحسابية العمليات الحسابية الأساسية وتنفيذ خوارزميات الحاسوب . العملية الحسابية هي عملية رياضية مُتعمّدة تُحوّل مُدخلًا واحدًا أو أكثر إلى مُخرج واحد أو أكثر أو نتيجة واحدة أو أكثر . على سبيل المثال، ضرب 7 في 6 هو عملية حسابية بسيطة. أما استخراج الجذر التربيعي أو الجذر التكعيبي لعدد باستخدام النماذج الرياضية فهو عملية حسابية أكثر تعقيدًا.

تتكون متعددة الحدود من متغيرات ومعاملات ، وتقتصر عملياتها على الجمع والطرح والضرب والرفع إلى قوى صحيحة غير سالبة ، ولها عدد محدود من الحدود. وتبرز مشكلة حساب متعددات الحدود بشكل متكرر في التطبيقات العملية. ففي الهندسة الحسابية ، تُستخدم متعددات الحدود لحساب تقريبات الدوال باستخدام متعددات حدود تايلور . وفي علم التشفير وجداول التجزئة ، تُستخدم متعددات الحدود لحساب التجزئة المستقلة من الرتبة k .

في الحالة الأولى، تُحسب كثيرات الحدود باستخدام حسابات الفاصلة العائمة ، وهي ليست دقيقة تمامًا. لذا، فإن الطرق المختلفة للحساب ستعطي، بشكل عام، نتائج مختلفة قليلاً. أما في الحالة الثانية، فتُحسب كثيرات الحدود عادةً في حقل منتهٍ ، وفي هذه الحالة تكون النتائج دقيقة دائمًا.

لتقييم متعدد الحدود أحادي المتغير${\textstyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0},}$أبسط الطرق هي استخدام${\displaystyle n}$عمليات الضرب لحساب${\displaystyle a_{n}x^{n}}$، يستخدم${\textstyle n-1}$عمليات الضرب لحساب${\displaystyle a_{n-1}x^{n-1}}$وهكذا دواليك حتى المجموع${\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$الضرب و${\displaystyle n}$الإضافات. باستخدام طرق أفضل، مثل قاعدة هورنر ، يمكن اختزال ذلك إلى${\displaystyle n}$الضرب و${\displaystyle n}$إضافات. إذا سُمح ببعض المعالجة المسبقة، فمن الممكن تحقيق وفورات أكبر.

التعبير الجبري هو تعبير يتكون من ثوابت جبرية ومتغيرات وعمليات جبرية ( الجمع والطرح والضرب والقسمة والرفع إلى أس عدد نسبي ) . ^{[ 28 ]} على سبيل المثال، 3x² - ^2xy + c هو تعبير جبري. وبما أن أخذ الجذر التربيعي هو نفسه رفع العدد إلى القوة 1/2 ، فإن ما يلي هو أيضًا تعبير جبري :

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

انظر أيضًا: المعادلة الجبرية والإغلاق الجبري

كثير الحدود هو تعبير مبني على كميات قياسية (أعداد عناصر حقل معين)، ومتغيرات ، وعمليات الجمع والضرب والرفع إلى قوى صحيحة غير سالبة؛ على سبيل المثال${\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}$

باستخدام خصائص التجميع والتبديل والتوزيع ، فإن كل تعبير متعدد الحدود يكافئ تعبيرًا متعدد الحدود ، أي تعبيرًا يمثل توليفة خطية من نواتج قوى صحيحة للمتغيرات. على سبيل المثال، التعبير متعدد الحدود أعلاه مكافئ (يرمز إلى نفس متعدد الحدود بـ )${\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}$

لا يُميّز العديد من المؤلفين بين كثيرات الحدود والتعبيرات متعددة الحدود. في هذه الحالة، يُطلق على التعبير عن التعبير متعدد الحدود كتركيبة خطية اسم الشكل القانوني أو الشكل الطبيعي أو الشكل الموسع لكثيرة الحدود.

التعبير الرسمي هو نوع من سلسلة الرموز ، يُنشأ وفقًا لقواعد الإنتاج نفسها المستخدمة في التعبيرات القياسية، إلا أنه يُستخدم دون مراعاة معنى التعبير. وبهذا، يُعتبر تعبيران رسميان متساويين فقط إذا كانا متطابقين نحويًا ، أي إذا كانا التعبير نفسه تمامًا. ^{[ 29 ] [ 30 ]} على سبيل المثال، التعبيران الرسميان "2" و"1+1" غير متساويين.

تسمح اللغات الرسمية بصياغة مفهوم التعبيرات السليمة بشكل رسمي .

في ثلاثينيات القرن العشرين، قدم ألونسو تشيرش وستيفن كلين نوعًا جديدًا من التعبيرات، وهو تعبير لامدا ، لصياغة الدوال وتقييمها. ^{[ 31 ] [ ب ]} تشكل عوامل لامدا (تجريد لامدا وتطبيق الدالة) أساس حساب لامدا، وهو نظام رسمي يُستخدم في المنطق الرياضي ونظرية لغات البرمجة .

إن تكافؤ تعبيرين من نوع لامدا غير قابل للتقرير (لكن انظر التوحيد (علوم الحاسوب) ). وينطبق هذا أيضًا على التعبيرات التي تمثل الأعداد الحقيقية، والتي تُبنى من الأعداد الصحيحة باستخدام العمليات الحسابية واللوغاريتم والأس ( نظرية ريتشاردسون ).

The Ishango bone at the RBINS. A Babylonian tablet approximating the square root of 2. Problem 14 from the Moscow Mathematical Papyrus.

The earliest written mathematics likely began with tally marks, where each mark represented one unit, carved into wood or stone. An example of early counting is the Ishango bone, found near the Nile and dating back over 20,000 years ago, which is thought to show a six-month lunar calendar.^[32]Ancient Egypt developed a symbolic system using hieroglyphics, assigning symbols for powers of ten and using addition and subtraction symbols resembling legs in motion.^[33][34] This system, recorded in texts like the Rhind Mathematical Papyrus (c. 2000–1800 BC), influenced other Mediterranean cultures. In Mesopotamia, a similar system evolved, with numbers written in a base-60 (sexagesimal) format on clay tablets written in Cuneiform, a technique originating with the Sumerians around 3000 BC. This base-60 system persists today in measuring time and angles.

The "syncopated" stage of mathematics introduced symbolic abbreviations for commonly used operations and quantities, marking a shift from purely geometric reasoning. Ancient Greek mathematics, largely geometric in nature, drew on Egyptian numerical systems (especially Attic numerals),^[35] with little interest in algebraic symbols, until the arrival of Diophantus of Alexandria,^[36] who pioneered a form of syncopated algebra in his Arithmetica, which introduced symbolic manipulation of expressions.^[37] His notation represented unknowns and powers symbolically, but without modern symbols for relations (such as equality or inequality) or exponents.^[38] An unknown number was called ${\displaystyle \zeta }$.^[39] The square of ${\displaystyle \zeta }$ was ${\displaystyle \Delta ^{v}}$; the cube was ${\displaystyle K^{v}}$; the fourth power was ${\displaystyle \Delta ^{v}\Delta }$; the fifth power was ${\displaystyle \Delta K^{v}}$; and ${\displaystyle \pitchfork }$المقصود هو طرح كل شيء على اليمين من اليسار. ^{[ 40 ]} على سبيل المثال، ما الذي يُكتب بالتدوين الحديث على النحو التالي: $${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1,}$$ ستُكتب هذه الصيغة باستخدام تدوين ديوفانتوس المتزامن على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$

في القرن السابع، استخدم براهمغوبتا ألوانًا مختلفة لتمثيل المجاهيل في المعادلات الجبرية في كتاب براهمسفوتاسيدانتا . غالبًا ما كانت التطورات الرياضية اليونانية وغيرها من التطورات الرياضية القديمة عالقة في دورات من طفرات الإبداع، تليها فترات طويلة من الركود، لكن هذا بدأ يتغير مع انتشار المعرفة في أوائل العصر الحديث .

بدأ التحول إلى الجبر الرمزي الكامل مع ابن البنا المراكشي (1256-1321) وأبو الحسن بن علي القلصادي (1412-1482) اللذين أدخلا رموزًا للعمليات باستخدام الأحرف العربية . ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]} ظهرت علامة الجمع (+) حوالي عام 1351 مع نيكول أورسم ، ^{[ 44 ]} ويُرجح أنها مشتقة من الكلمة اللاتينية et (بمعنى "و")، بينما استُخدمت علامة الطرح (−) لأول مرة عام 1489 على يد يوهانس ويدمان . ^{[ 45 ]} أدرج لوكا باتشولي هذه الرموز في أعماله، على الرغم من أن الكثير منها استند إلى مساهمات سابقة لبييرو ديلا فرانشيسكا . أدخل كريستوف رودولف رمز الجذر التربيعي (√) في القرن السادس عشر، بينما أدخل نيكولو تارتاليا الأقواس لتحديد الأسبقية في عام 1556. وقد وضع فرانسوا فييت كتابه " الجبر الجديد " (1591) قواعد التلاعب الرمزي الحديث. أما علامة الضرب (×) فقد استخدمها ويليام أوتريد لأول مرة ، وعلامة القسمة (÷) استخدمها يوهان ران .

طوّر رينيه ديكارت الرمزية الجبرية في كتابه "الهندسة" (1637)، حيث أدخل استخدام الأحرف في نهاية الأبجدية (س، ص، ع) للمتغيرات ، إلى جانب نظام الإحداثيات الديكارتية ، الذي ربط بين الجبر والهندسة. ^{[ 46 ]} طوّر كل من إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم لايبنتز حساب التفاضل والتكامل بشكل مستقل في أواخر القرن السابع عشر، وأصبحت رموز لايبنتز هي المعيار.