رقم عددي

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 40 صور
الموسوعة الحرة

0123456789
الأرقام العشرة للأرقام العربية، مرتبة حسب قيمتها

الرقم العددي (ويُختصر غالبًا إلى " رقم ") هو رمز واحد يُستخدم لتمثيل الأعداد في الترميز الموضعي ، مثل 0 ، 1 ، ...، 9 في النظام العشري الشائع . كلمة "رقم" مشتقة من الكلمة اللاتينية digiti ، والتي تعني الأصابع. [ 1 ] يمكن استخدام الأرقام منفردة (مثل "1") أو مجتمعة (مثل "15") لتكوين عدد .

في أي نظام عد ذي أساس صحيح ، يكون عدد الأرقام المختلفة المطلوبة هو القيمة المطلقة للأساس. على سبيل المثال،  يتطلب النظام العشري (الأساس 10) عشرة أرقام (من 0 إلى 9)، بينما يتطلب النظام الثنائي (الأساس  2) رقمين فقط (0 و1). أما الأنظمة ذات الأساس الأكبر من 10 فتتطلب أكثر من 10 أرقام، فمثلاً يتطلب النظام الست عشري (الأساس  16) ستة عشر رقمًا (عادةً من 0 إلى 9 ومن A إلى F).

ملخص

في نظام رقمي أساسي، العدد عبارة عن سلسلة من الأرقام، قد يكون طولها غير محدد. لكل خانة في السلسلة قيمة مكانية ، ولكل رقم قيمة. تُحسب قيمة العدد بضرب كل رقم في السلسلة بقيمته المكانية، ثم جمع النتائج.

القيم الرقمية

يمثل كل رقم في نظام العد عددًا صحيحًا. على سبيل المثال، في النظام العشري، يمثل الرقم "1" العدد الصحيح واحد ، وفي النظام الست عشري ، يمثل الحرف "A" العدد عشرة . يحتوي نظام العد الموضعي على رقم فريد واحد لكل عدد صحيح من الصفر حتى أساس نظام العد ، باستثناء أساس النظام.

في النظام العشري الموضعي، يمكن التعبير عن الأعداد من 0 إلى 9 باستخدام أرقامها المقابلة "0" إلى "9" في خانة "الآحاد" اليمنى. أما العدد 12 فيُكتب بالرقم "2" في خانة "الآحاد"، وبالرقم "1" في خانة "العشرات" إلى يسار الرقم "2". بينما يُكتب العدد 312 بثلاثة أرقام: "3" في خانة "المئات"، و"1" في خانة "العشرات"، و"2" في خانة "الآحاد".

حساب القيم المكانية

يستخدم النظام العشري فاصلة عشرية ، وهي عادةً نقطة في اللغة الإنجليزية، أو فاصلة في لغات أوروبية أخرى، [ 2 ] للدلالة على خانة الآحاد، [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] التي تساوي قيمتها واحدًا. كل خانة تالية على يسار هذه الخانة تساوي قيمة خانة الرقم السابق مضروبة في الأساس . وبالمثل، كل خانة تالية على يمين الفاصلة تساوي قيمة خانة الرقم السابق مقسومة على الأساس. على سبيل المثال، في العدد 10.34 (المكتوب بالأساس 10 )،

يقع الصفر مباشرة على يسار الفاصل، لذا فهو في خانة الآحاد أو خانة الوحدات، ويسمى رقم الآحاد أو رقم الوحدات ؛ [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]
الرقم 1 الموجود على يسار خانة الآحاد يقع في خانة العشرات، ويسمى رقم العشرات ؛ [ 9 ]
الرقم 3 يقع على يمين خانة الآحاد، لذا فهو في خانة الأعشار، ويسمى رقم الأعشار ؛ [ 10 ]
الرقم 4 الموجود على يمين خانة الأعشار يقع في خانة الأجزاء من مئة، ويسمى رقم الأجزاء من مئة . [ 10 ]

القيمة الإجمالية للعدد هي عشرة واحدة، وصفر آحاد، وثلاثة أعشار، وأربعة أجزاء من مئة. يشير الصفر، الذي لا يُضيف أي قيمة للعدد، إلى أن الرقم 1 موجود في خانة العشرات وليس في خانة الآحاد.

يمكن تحديد القيمة المكانية لأي رقم في عدد ما من خلال عملية حسابية بسيطة، تُعدّ بحد ذاتها مكملاً لمنطق أنظمة العد. تتضمن هذه العملية ضرب الرقم المعطى في الأساس مرفوعًا للأس n - 1 ، حيث يمثل n موضع الرقم بالنسبة للفاصلة؛ وتكون قيمة n موجبة (+) فقط إذا كان الرقم على يسار الفاصلة. أما إذا كان على يمينها، فيُضرب الرقم في الأساس مرفوعًا للأس n السالب (-) . على سبيل المثال، في العدد 10.34 (المكتوب بالنظام  العشري)،

الرقم 1 هو الثاني من جهة اليسار بعد الفاصل، لذا بناءً على الحساب، فإن قيمته هي:
ن-1=2-1=1{\displaystyle n-1=2-1=1}
1×101=10{\displaystyle 1\times 10^{1}=10}
الرقم 4 هو الثاني من جهة اليمين بعد الفاصل، لذا بناءً على الحساب، فإن قيمته هي:
ن=-2{\displaystyle n=-2}
4×10-2=4100{\displaystyle 4\times 10^{-2}={\frac {4}{100}}}

تاريخ

اللغة العربية الغربية0123456789
العربية الشرقية٠1أربعة٣سري٥ج٧يونان٩
الفارسية۰1٢345٦7٨٩
ديفاناغاري٠١٢3٤٥6٧٨٩
كادامبا೦1೨٣4೫೬೭೮೯

يُعتبر نظام الأرقام الهندية العربية أول نظام كتابة حقيقي للأرقام الموضعية . وقد أُرسِيَ هذا النظام في الهند في القرن السابع الميلادي، [ 11 ] ولكنه لم يكن قد وصل إلى شكله الحديث آنذاك، لأن استخدام الرقم صفر لم يكن شائعًا بعد. فبدلًا من الصفر، كانت الأرقام تُعلَّم أحيانًا بنقاط للدلالة على أهميتها، أو تُستخدم مسافة كفاصل. وكان أول استخدام معترف به للصفر على نطاق واسع في عام 876. [ 12 ] وكانت الأرقام الأصلية شديدة الشبه بالأرقام الحديثة، حتى في الرموز المستخدمة لتمثيل الأرقام. [ 11 ] 

بحلول القرن الثالث عشر، أصبحت الأرقام العربية الغربية مقبولة في الأوساط الرياضية الأوروبية ( استخدمها فيبوناتشي في كتابه "ليبر أباتشي "). وبدأ استخدامها على نطاق واسع في  القرن الخامس عشر. [ 13 ] وبحلول نهاية القرن العشرين،  كانت جميع العمليات الحسابية غير المحوسبة في العالم تقريبًا تُجرى باستخدام الأرقام العربية، التي حلت محل أنظمة الأرقام المحلية في معظم الثقافات.

أنظمة الأرقام التاريخية الأخرى التي تستخدم الأرقام

أرقام نظام الأرقام المايا

لا يُعرف على وجه الدقة عمر الأرقام الماياوية ، ولكن من المحتمل أنها أقدم من النظام الهندوسي العربي. كان النظام عشريًا (أساسه  20)، لذا فهو يتكون من عشرين رقمًا. استخدم المايا رمز الصدفة لتمثيل الصفر. كُتبت الأرقام عموديًا، مع وضع الآحاد في الأسفل. لم يكن لدى المايا ما يُعادل الفاصلة العشرية الحديثة ، لذا لم يكن نظامهم قادرًا على تمثيل الكسور.

يتطابق نظام الأرقام التايلاندي مع نظام الأرقام الهندي العربي باستثناء الرموز المستخدمة لتمثيل الأرقام. وقد قلّ استخدام هذه الرموز في تايلاند مقارنةً بما كان عليه في السابق، إلا أنها لا تزال تُستخدم إلى جانب الأرقام العربية.

الأرقام العصوية، وهي الأشكال الكتابية لعصي العد التي استخدمها علماء الرياضيات الصينيون واليابانيون ، هي نظام عشري موضعي قادر على تمثيل الصفر والأعداد السالبة. وتسبق عصي العد نفسها نظام الأرقام الهندية العربية. وتُعدّ أرقام سوتشو أحد أشكال الأرقام العصوية.

أرقام القضبان (الرأسية)
0123456789
-0-1-2-3-4-5-6-7-8-9

الأنظمة الرقمية الحديثة

في علوم الحاسوب

تتبع أنظمة العد الثنائية (الأساس  2)، والثمانية (الأساس  8)، والسداسية عشرية (الأساس  16)، المستخدمة على نطاق واسع في علوم الحاسوب ، جميعها اصطلاحات نظام الأرقام الهندي العربي . [ 14 ] يستخدم النظام الثنائي الرقمين "0" و"1" فقط، بينما يستخدم النظام الثماني الأرقام من "0" إلى "7". أما النظام السداسي عشري فيستخدم جميع أرقام النظام العشري، بالإضافة إلى الأحرف من "A" إلى "F"، والتي تمثل الأرقام من 10 إلى 15 على التوالي. [ 15 ] عند استخدام النظام الثنائي، يُستخدم مصطلح "بت" عادةً كبديل لمصطلح "رقم"، وهو مصطلح مُركّب من "رقم ثنائي".

أنظمة غير عادية

وقد تم استخدام النظام الثلاثي والنظام الثلاثي المتوازن في بعض الأحيان. وكلاهما  نظامان أساسهما 3. [ 16 ]

يُعدّ النظام الثلاثي المتوازن غير مألوفٍ لاحتوائه على القيم الرقمية 1 و0 و-1. وقد تبيّن أن لهذا النظام بعض الخصائص المفيدة، وقد استُخدم في حواسيب سيتون الروسية التجريبية . [ 17 ]

لاحظ العديد من المؤلفين خلال الثلاثمائة عام الماضية سهولة استخدام الترميز الموضعي الذي يُعدّ تمثيلاً عشرياً مُعدّلاً . وقد ذُكرت بعض المزايا لاستخدام الأرقام التي تُمثّل القيم السالبة. في عام 1840، دعا أوغستين لويس كوشي إلى استخدام تمثيل الأرقام المُوقّعة ، وفي عام 1928، قدّم فلوريان كاجوري مجموعته من المراجع للأعداد السالبة . كما تمّ تبنّي مفهوم تمثيل الأرقام المُوقّعة في تصميم الحواسيب .

الأرقام في الرياضيات

على الرغم من الدور الأساسي للأرقام في وصف الأعداد، إلا أنها ذات أهمية ضئيلة نسبياً في الرياضيات الحديثة . [ 18 ] ومع ذلك، هناك بعض المفاهيم الرياضية المهمة التي تستخدم تمثيل العدد كسلسلة من الأرقام.

الجذور الرقمية

الجذر الرقمي هو العدد المكون من رقم واحد والذي يتم الحصول عليه عن طريق جمع أرقام عدد معين، ثم جمع أرقام الناتج، وهكذا حتى يتم الحصول على عدد مكون من رقم واحد. [ 19 ]

رمي التسعات

استبعاد الرقم تسعة هو إجراء للتحقق من العمليات الحسابية التي تُجرى يدويًا. لوصفه، لنفترضو(x){\displaystyle f(x)}يمثل الجذر الرقمي لـx{\displaystyle x}كما هو موضح أعلاه. يعتمد استبعاد الرقم تسعة على حقيقة أنه إذاأ+ب=ج{\displaystyle A+B=C}، ثمو(و(أ)+و(ب))=و(ج){\displaystyle f(f(A)+f(B))=f(C)}في عملية استبعاد الرقم تسعة، يتم حساب كلا طرفي المعادلة الأخيرة ، وإذا لم يكونا متساويين، فلا بد أن عملية الجمع الأصلية كانت خاطئة. [ 20 ]

المكافآت والأرقام المتكررة

الأعداد المتكررة هي أعداد صحيحة تُمثَّل بالرقم 1 فقط. على سبيل المثال، 1111 (ألف ومئة وأحد عشر) هو عدد متكرر. أما الأعداد المتكررة بالأرقام فهي تعميم للأعداد المتكررة بالأرقام؛ وهي أعداد صحيحة تُمثَّل بتكرار الرقم نفسه. على سبيل المثال، 333 هو عدد متكرر بالأرقام. وتُعدّ أولية الأعداد المتكررة بالأرقام ذات أهمية للرياضيين. [ 21 ]

الأعداد المتناظرة والأعداد الليكريلية

الأعداد المتناظرة هي أعداد تُقرأ بنفس الطريقة عند عكس أرقامها. [ 22 ] أما عدد ليكريل فهو عدد صحيح موجب لا يُعطي أبدًا عددًا متناظرًا عند جمعه مع نفسه مع عكس أرقامه. [ 23 ] يُعدّ سؤال وجود أعداد ليكريل في النظام  العشري مسألة مفتوحة في الرياضيات الترفيهية ؛ وأصغر عدد مرشح هو 196. [ 24 ]

تاريخ الأرقام القديمة

استُخدمت وسائل العدّ، ولا سيما استخدام أجزاء الجسم (كالعدّ على الأصابع)، في عصور ما قبل التاريخ كما هي اليوم. وتتعدد أشكال هذه الوسائل. فإلى جانب عدّ الأصابع العشر، اعتمدت بعض الثقافات على عدّ مفاصل الأصابع، والمسافة بينها، وأصابع القدمين. وتستخدم ثقافة أوكسابمين في غينيا الجديدة نظامًا يعتمد على 27 موضعًا في الجزء العلوي من الجسم لتمثيل الأرقام. [ 25 ]

للحفاظ على المعلومات الرقمية، استُخدمت علامات العد المنحوتة في الخشب والعظم والحجر منذ عصور ما قبل التاريخ. [ 26 ] استخدمت ثقافات العصر الحجري، بما في ذلك مجموعات السكان الأصليين الأمريكيين القدماء ، علامات العد للمقامرة والخدمات الشخصية والسلع التجارية.

ابتكر السومريون طريقةً لحفظ المعلومات العددية في الطين بين عامي 8000 و3500  قبل الميلاد. [ 27 ] وكانت هذه الطريقة تتم باستخدام قطع طينية صغيرة بأشكال متنوعة، تُربط كحبات الخرز على خيط. وابتداءً من حوالي عام 3500  قبل الميلاد، استُبدلت القطع الطينية تدريجيًا برموز عددية تُطبع بقلم دائري بزوايا مختلفة على ألواح طينية (كانت في الأصل أوعيةً للقطع الطينية)، ثم تُخبز. وفي حوالي عام 3100 قبل الميلاد، انفصلت الأرقام المكتوبة عن الأشياء التي تُعدّ، وأصبحت أرقامًا مجردة.  

بين عامي 2700 و2000 قبل الميلاد، في سومر، استُبدل القلم الدائري تدريجيًا بقلم من القصب استُخدم لضغط علامات مسمارية إسفينية الشكل على الطين. تشابهت هذه العلامات المسمارية مع العلامات الدائرية التي حلت محلها، واحتفظت بنظام الجمع بين العلامات والقيم . تقاربت هذه الأنظمة تدريجيًا نحو نظام عددي ستينيّ مشترك ؛ وهو نظام قيمة مكانية يتكون من علامتين مطبوعتين فقط، وهما الإسفين العمودي والشكل المثلثي، اللذان يمكنهما أيضًا تمثيل الكسور. [ 28 ] اكتمل تطوير هذا النظام العددي الستينيّ في بداية فترة بابل القديمة (حوالي 1950  قبل الميلاد) وأصبح النظام القياسي في بابل. [ 29 ]

كانت الأرقام الستينية نظامًا عديًا مختلطًا يحتفظ بالتناوب بين الأساس  10 والأساس  6 في سلسلة من الأوتاد والخطوط العمودية المسمارية. وبحلول عام 1950  قبل الميلاد، أصبح هذا النظام نظامًا للترقيم الموضعي . شاع استخدام الأرقام الستينية في التجارة، كما استُخدمت في الحسابات الفلكية وغيرها. وقد صُدِّر هذا النظام من بابل واستُخدم في جميع أنحاء بلاد ما بين النهرين، ومن قِبَل كل دولة متوسطية استخدمت وحدات القياس والعد البابلية القياسية، بما في ذلك الإغريق والرومان والمصريون. ولا يزال الترقيم الستيني البابلي يُستخدم في المجتمعات الحديثة لقياس الوقت (الدقائق في الساعة) والزوايا (الدرجات). [ 30 ]

تاريخ الأرقام الحديثة

في الصين ، كان يتم حساب الجيوش والمؤن باستخدام جداول حسابية معيارية للأعداد الأولية . وتظهر أعداد القوات ومقادير الأرز الفريدة كمجموعات فريدة من هذه الجداول. ومن أهم مزايا الحساب المعياري سهولة عمليات الضرب فيه. [ 31 ] وهذا ما يجعل استخدامه في حساب المؤن جذابًا للغاية. أما الجداول التقليدية، فعمليات الضرب والقسمة فيها صعبة للغاية. وفي العصر الحديث، يُستخدم الحساب المعياري أحيانًا في معالجة الإشارات الرقمية . [ 32 ]

كان أقدم نظام كتابة يوناني هو نظام الأرقام الأتيكية ، [ 33 ] ولكن في القرن الرابع قبل الميلاد بدأوا باستخدام نظام أبجدي شبه عشري (انظر الأرقام اليونانية ). [ 34 ] بدأ اليهود باستخدام نظام مشابه ( الأرقام العبرية )، وأقدم الأمثلة المعروفة هي عملات معدنية من حوالي عام 100  قبل الميلاد. [ 35 ]

استخدمت الإمبراطورية الرومانية جداول مكتوبة على الشمع والبردي والحجر، واتبعت إلى حد كبير العادة اليونانية في تخصيص حروف للأرقام المختلفة. وظل نظام الأرقام الرومانية شائع الاستخدام في أوروبا حتى شاع استخدام الترقيم الموضعي  في القرن السادس عشر. [ 36 ]

استخدم شعب المايا في أمريكا الوسطى نظامًا مختلطًا للحساب، أساسه 18 وأساسه 20، ربما ورثوه عن شعب الأولمك ، ويتضمن ميزات متقدمة مثل الترميز الموضعي والصفر . [ 37 ] استخدموا هذا النظام لإجراء حسابات فلكية متقدمة، بما في ذلك حسابات دقيقة للغاية لطول السنة الشمسية ومدار كوكب الزهرة . [ 38 ]

أدارت إمبراطورية الإنكا اقتصادًا مركزيًا واسع النطاق باستخدام الكيبو ، وهي عبارة عن عدادات مصنوعة عن طريق عقد ألياف ملونة. [ 39 ] تم قمع معرفة رموز العقد والألوان من قبل الغزاة الإسبان في القرن السادس عشر، ولم تنجُ هذه المعرفة على الرغم من أن أجهزة تسجيل بسيطة تشبه الكيبو لا تزال مستخدمة في منطقة الأنديز . 

يعتقد بعض العلماء أن الحساب الموضعي بدأ مع الاستخدام الواسع لعصي العد في الصين. [ 40 ] ويبدو أن أقدم السجلات المكتوبة للحساب الموضعي هي نتائج حساب العصي في الصين حوالي عام 400. وقد استُخدم الصفر لأول مرة في الهند في القرن السابع الميلادي على يد براهماغوبتا . [ 41 ]

تم تطوير نظام الأرقام العربية الموضعية الحديثة من قبل علماء الرياضيات في الهند ، وتم نقله إلى علماء الرياضيات المسلمين ، إلى جانب الجداول الفلكية التي أحضرها سفير هندي إلى بغداد حوالي عام 773. [ 42 ]

انتقلت فكرة الأرقام العربية من الهند إلى القاهرة بفضل ازدهار التجارة بين السلاطين المسلمين وأفريقيا . قام علماء الرياضيات العرب بتوسيع النظام ليشمل الكسور العشرية ، وكتب محمد بن موسى الخوارزمي كتابًا هامًا في هذا الشأن في القرن التاسع الميلادي. [ 43 ] ودخلت الأرقام العربية الحديثة إلى أوروبا مع ترجمة هذا الكتاب في القرن الثاني عشر الميلادي في إسبانيا، وكتاب " ليبر أباتشي" لليوناردو البيزي عام 1201. [ 44 ] وفي أوروبا، استُمدّ النظام الهندي الكامل، بما فيه الصفر، من العرب في القرن الثاني عشر الميلادي. [ 45 ]    

انتشر النظام الثنائي (الأساس 2) في القرن السابع عشر على يد  غوتفريد لايبنتز . [ 46 ] وكان لايبنتز قد طور هذا المفهوم في بداية مسيرته المهنية، ثم عاد إليه عندما راجع نسخة من كتاب التغييرات (الإي تشينغ) من الصين. [ 47 ] وشاع استخدام الأرقام الثنائية في القرن العشرين  بفضل تطبيقات الحاسوب. [ 46 ]

اللغة العربية الغربية0123456789
أسوميا (الآسامية)؛ البنغالية٠1٢3٤٥٦٧٨9
ديفاناغاري٠١٢3٤٥6٧٨٩
العربية الشرقية٠1أربعة٣سري٥ج٧يونان٩
الفارسية٠1أربعة٣45٦٧يونان٩
الغورموخية31٢34٥2٧٨9
الأردية۰1٢345٦7٨٩
الصينية (اليومية)〇一ثالثا三四五六七八九
الصينية (التقليدية)零壹貳叄肆伍陸柒捌玖
الصينية (المبسطة)零壹贰叁肆伍陆柒捌玖
الصينية (سوتشو)〇〡〢〣〤〥〦〧〨〩
الجعزية (الإثيوبية)፩፪፫፬፭፮፯፰፱
الغوجاراتية૦1٢3٤٥2٧٨9
الهيروغليفية المصرية𓏺𓏻𓏼𓏽𓏾𓏿𓐀𓐁𓐂
اليابانية (اليومية)〇一ثالثا三四五六七八九
اليابانية (رسمية)零壱弐参四五六七八九
الكانادا೦1೨٣4೫೬೭೮೯
الخمير (كمبوديا)០១២៣៤៥៦៧៨៩
لاو໐໑໒໓໔໕໖໗໘໙
ليمبو᥆᥇᥈᥉᥊᥋᥌᥍᥎᥏
المالايالامية൦1൨1൪൫൬1൮൯
المنغولي᠐᠑᠒᠓᠔᠕᠖᠗᠘᠙
البورميين၀၁၂၃၄၅၆၇၈၉
أوريا୦1୨3٧୫୬୭٨9
رومانيأنا٢3رابعاًVالسادسالسابعالثامن9
شان႐႑႒႓႔႕႖႗႘႙
السنهالية𑇡𑇢𑇣𑇤𑇥𑇦𑇧𑇨𑇩
التاميل௦1௨௩௪٥௬௭௮௯
التيلجو౦1౨౩౪౫౬౭౮౯
تايلاندي๐๑๒๓๔๕๖๗๘๙
التبتية༠༡༢༣༤༥༦༧༨༩
نيو تاي لو᧐ص᧒᧓᧔᧕᧖᧗᧘᧙
الجاويين꧐꧑꧒꧓꧔꧕꧖꧗꧘꧙

أرقام إضافية

1510203040506070809010050010001000010 8
الصينية (العادية)一五十二十三十四十五十六十七十نعم九十نعم五百千万亿
الصينية (المالية)壹伍拾贰拾نعمنعمنعم陆拾柒拾捌拾玖拾佰伍佰仟萬億
جيز፩፭፲፳፴፵፶፷፸፹፺፻፭፻፲፻፼፼፼
رومانيأناVXXXXXXXLلLXالسبعينية80إكس سيجدمX

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ""أصل كلمة "رقم"" . dictionary.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مايو 2015 .
  2. ↑ وايسشتاين، إريك و. "الفاصلة العشرية" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2020 .
  3. ↑ سنايدر، باربرا بود (1991). الرياضيات العملية للفني : الأساسيات . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ص 225. ISBN   0-13-251513-XOCLC 22345295. وحدات أو آحاد مكان 
  4. ↑ أندرو جاكسون ريكوف (1888). الأعداد التطبيقية . دي. أبليتون وشركاه. ص 5–. مكان الآحاد أو الوحدات 
  5. ↑ جون ويليام مكليموندز؛ د. ر. جونز (1905). الحساب الابتدائي . ر. ل. تيلفر. ص 17-18 . مكان الآحاد أو الوحدات 
  6. ↑ ريتشارد إي. جونسون؛ لونا لي ليندسي؛ ويليام إي. سليسنيك (1967). الجبر التمهيدي لطلاب الجامعات . شركة أديسون-ويسلي للنشر. ص 30. الآحاد أو الوحدات، رقم 
  7. ↑ آر سي بيرس؛ دبليو جيه تيبو (1983). الرياضيات التشغيلية للأعمال . شركة وادزورث للنشر. ص 29. ISBN  978-0-534-01235-9رقم الآحاد أو رقم الوحدة
  8. ↑ ماكس أ. سوبل (1985). هاربر آند رو، الجبر 1. هاربر آند رو. ص 282. ISBN  978-0-06-544000-3الآحاد ، أو رقم الآحاد
  9. ↑ ماكس أ. سوبل (1985). هاربر آند رو، الجبر 1. هاربر آند رو. ص 277. ISBN  978-0-06-544000-3يمكن التعبير عن كل عدد مكون من رقمين على النحو التالي: 10t+u، حيث t هو رقم العشرات .
  10. 1 2 تاغارت، روبرت (2000). الرياضيات. الأعداد العشرية والنسب المئوية . بورتلاند، مين: ج. ويستون والش. ص 51-54 . ISBN  0-8251-4178-8. OCLC 47352965 . 
  11. 1 2 أوكونور، جيه جيه وروبرتسون، إي إف الأرقام العربية . يناير 2001. تم الاطلاع عليه في 20 فبراير 2007.
  12. ↑ بيل كاسلمان (فبراير 2007). "كل شيء من أجل لا شيء" . عمود مميز . AMS.
  13. ↑ برادلي، جيريمي. "كيف تم اختراع الأرقام العربية" . www.theclassroom.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2020 .
  14. ↑ رافيشاندرا، د. (1 يوليو 2001). مقدمة في الحاسوب والاتصالات . دار تاتا ماكجرو هيل للتعليم. الصفحات 24-47 . ISBN  978-0-07-043565-0.
  15. ↑ "الأعداد الست عشرية" . www.mathsisfun.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2020 .
  16. ↑ "القاعدة الثالثة" (ملف PDF) . 30 أكتوبر 2019. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 30 أكتوبر 2019. تم الاطلاع عليه في 22 يوليو 2020 .
  17. ↑ "تطوير الحواسيب الثلاثية في جامعة موسكو الحكومية. المتحف الروسي الافتراضي للحاسوب" . www.computer-museum.ru . تاريخ الاطلاع: 22 يوليو 2020 .
  18. ↑ كيريلوف، أ.أ. "ما هي الأرقام؟" (ملف PDF) . math.upenn . ص. 2. صحيح، إذا فتحت مجلة رياضية حديثة وحاولت قراءة أي مقال، فمن المحتمل جدًا ألا ترى أي أرقام على الإطلاق. 
  19. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "الجذر الرقمي" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2020 .
  20. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "استبعاد التسعات" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2020 .
  21. ^ وايسستين ، إريك دبليو. “Repunit” . عالم الرياضيات .
  22. ↑ وايسشتاين، إريك و. "العدد المتناظر" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2020 .
  23. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "عدد ليشرل" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يوليو 2020 .
  24. ↑ غارسيا، ستيفان رامون؛ ميلر، ستيفن جيه. (13 يونيو 2019). مئة عام من الإنجازات الرياضية: مجموعة باي مو إبسيلون المئوية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 104-105 . ISBN  978-1-4704-3652-0.
  25. ↑ ساكس، جيفري ب. (2012). التطور الثقافي للأفكار الرياضية : دراسات بابوا غينيا الجديدة . إزموند، إنديجو. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 44-45 . ISBN   978-1-139-55157-1OCLC 811060760. يتضمن نظام أوكسبامين للجسم 27 جزءًا ... 
  26. ↑ تونيز، سي. (كلاوديو) (24 مايو 2016). البشر : سيرة غير مرخصة . تيبيري فيبرايو، باتريزيا، هايدوك، جولييت. سويسرا. ص 101. ISBN   978-3-319-31021-3. OCLC 951076018 . ...حتى الشقوق المقطوعة في العصي المصنوعة من الخشب أو العظام أو مواد أخرى يعود تاريخها إلى 30000 عام (يشار إليها غالبًا باسم "علامات الشقوق"). {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  27. ^ إفراح، جورج (1985). من واحد إلى الصفر : تاريخ عالمي للأرقام . نيويورك: فايكنغ. ص. 154. ردمك   0-670-37395-8OCLC 11237558. وهكذا ، بحلول بداية الألفية الثالثة قبل الميلاد، كان السومريون والعيلاميون قد تبنوا ممارسة تسجيل المعلومات الرقمية على ألواح طينية صغيرة، وعادة ما تكون مستطيلة الشكل . 
  28. ↑ موسوعة لندن، أو القاموس الشامل للعلوم والفنون والآداب والميكانيكا العملية: تتضمن نظرة عامة على الحالة الراهنة للمعرفة؛ موضحة بالعديد من النقوش والرسوم البيانية المناسبة . تي. تيج. 1845. ص 226. 
  29. ↑ نويغباور، أ. (11 نوفمبر 2013). علم الفلك والتاريخ: مقالات مختارة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-4612-5559-8.
  30. ↑ باول، مارفن أ. (2008). "النظام الستيني". موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية . برلين/هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ. ص 1998-1999 . doi : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9055 . ISBN  978-1-4020-4559-2.
  31. ↑ كنوت، دونالد إرفين (1998). فن برمجة الحاسوب . ريدينغ، ماساتشوستس: شركة أديسون-ويسلي للنشر. ISBN 0-201-03809-9OCLC 823849. من مزايا التمثيل المعياري سهولة عمليات الجمع والطرح والضرب . 
  32. ↑ إيشتل، كلاوس؛ هامر، ديتر؛ باول، ديفيد (21 سبتمبر 1994). الحوسبة الموثوقة - EDCC-1: المؤتمر الأوروبي الأول للحوسبة الموثوقة، برلين، ألمانيا، 4-6 أكتوبر 1994. وقائع المؤتمر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 439. ISBN  978-3-540-58426-1.
  33. ↑ وودهد، أ. ج. (آرثر جيفري) (1981). دراسة النقوش اليونانية ( الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 109-110 . ISBN   0-521-23188-4. OCLC 7736343 . 
  34. ↑ أوشاكوف، إيغور (22 يونيو 2012). في البدء كان العدد (2) . Lulu.com. ISBN 978-1-105-88317-0.
  35. ↑ كريسوماليس، ستيفن (2010). الترميز العددي : تاريخ مقارن . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 157. ISBN   978-0-511-67683-3OCLC 630115876. أول مثال مؤرخ بشكل مؤكد لاستخدام الأرقام الأبجدية العبرية هو على العملات المعدنية من عهد الملك الحشموني ألكسندر يانوس (103 إلى 76 قبل الميلاد) ... 
  36. ↑ سيلفركلاود، تيري ديفيد (2007). شكل الإله: أسرار وحكايات وأساطير محاربي الفجر . تيري ديفيد سيلفركلاود. ص 152. ISBN  978-1-4251-0836-6.
  37. ↑ ويلر، روريك إي.؛ ويلر، إد آر. (2001)، الرياضيات الحديثة ، كيندال هانت، ص 130، ISBN  9780787290627.
  38. ↑ سوامي، ديفامريتا (2002). البحث عن الهند الفيدية . مؤسسة بهاكتيفيدانتا للكتاب. ISBN 978-0-89213-350-5لقد حسب علم الفلك لدى المايا بدقة مدة السنة الشمسية والدوران الاقتراني لكوكب الزهرة
  39. ↑ "كيبو | أداة عد إنكا" . موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يوليو 2020 .
  40. ↑ تشين، شينغ-هونغ (21 يونيو 2018). الجيوميكانيكا الحاسوبية والمنشآت الهيدروليكية . سبرينغر. ص 8. ISBN  978-981-10-8135-4... بالتأكيد قبل عام 400 قبل الميلاد، كان لديهم نظام تدوين موضعي مماثل يعتمد على قضبان العد القديمة.
  41. ↑ "أسس الرياضيات - إعادة النظر في اللانهاية" . موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يوليو 2020 .
  42. ↑ الموسوعة البريطانية . 1899. ص 626. 
  43. ↑ ستريك، ديرك ج. (ديرك جان) (1967). تاريخ موجز للرياضيات (الطبعة الثالثة المنقحة). نيويورك: منشورات دوفر. ISBN  0-486-60255-9. OCLC 635553 . 
  44. ↑ سيجلر، لورانس (11 نوفمبر 2003). كتاب فيبوناتشي للأباجيات: ترجمة إلى الإنجليزية الحديثة لكتاب ليوناردو بيزانو في الحساب . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-40737-1.
  45. ↑ ديمينغ، ديفيد (2010). العلم والتكنولوجيا في تاريخ العالم. المجلد 1، العالم القديم والحضارة الكلاسيكية . جيفرسون، كارولاينا الشمالية: ماكفارلاند وشركاه. ص 86. ISBN  978-0-7864-5657-4. OCLC 650873991 . 
  46. 1 2 يانوشكيفيتش، سفيتلانا ن. (2008). مقدمة في التصميم المنطقي شميركو، فلاد ب. بوكا راتون: مطبعة اتفاقية حقوق الطفل. ص. 56. ردمك  978-1-4200-6094-2. OCLC 144226528 . 
  47. ↑ سلون، سارة (2005). كتاب التغييرات (الإي تشينغ) للكتاب : إيجاد الصفحة بداخلك . نوفاتو، كاليفورنيا: مكتبة العالم الجديد. ص 9. ISBN   1-57731-496-4. OCLC 56672043 .