نظام الجذور

ليكن E فضاءً متجهيًا إقليديًا محدود الأبعاد ، مع رمز الضرب الداخلي الإقليدي القياسي بـ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$نظام جذري${\displaystyle \Phi }$في E هي مجموعة محدودة من المتجهات غير الصفرية (تسمى الجذور ) التي تحقق الشروط التالية: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. تمتد الجذور إلى الشرق .
2. المضاعفات العددية الوحيدة للجذر${\displaystyle \alpha \in \Phi }$التي تنتمي إلى${\displaystyle \Phi }$نكون${\displaystyle \alpha }$نفسها و${\displaystyle -\alpha }$.
3. لكل جذر${\displaystyle \alpha \in \Phi }$المجموعة${\displaystyle \Phi }$يكون مغلقًا تحت الانعكاس عبر المستوى الفائق العمودي على${\displaystyle \alpha }$.
4. ( التكامل ) إذا${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$جذورها في${\displaystyle \Phi }$ثم إسقاط${\displaystyle \beta }$على الخط من خلال${\displaystyle \alpha }$هو مضاعف صحيح أو نصف صحيح لـ${\displaystyle \alpha }$.

فيما يلي الطرق المكافئة لكتابة الشرطين 3 و 4 على التوالي:

3. لأي جذرين${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$المجموعة${\displaystyle \Phi }$يحتوي على العنصر${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. لأي جذرين${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$الرقم${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle$ :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}} هو عدد صحيح .

يكتفي بعض المؤلفين بتضمين الشروط من 1 إلى 3 فقط في تعريف نظام الجذور. ^{[ 4 ]} في هذا السياق، يُعرف نظام الجذور الذي يحقق شرط التكامل بنظام الجذور البلوري . ^{[ 5 ]} بينما يتجاهل مؤلفون آخرون الشرط 2، ويطلقون على أنظمة الجذور التي تحقق الشرط 2 اسم أنظمة الجذور المختزلة . ^{[ 6 ]} في هذه المقالة، يُفترض أن جميع أنظمة الجذور مختزلة وبلورية.

بالنظر إلى الخاصية 3، فإن شرط التكامل يكافئ القول بأن β وانعكاسها σ _α ( β ) يختلفان بمضاعف صحيح لـ α . لاحظ أن المؤثر  $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$$ إنّ الخاصية 4 المحددة ليست ضربًا داخليًا. وهي ليست بالضرورة متناظرة، وتكون خطية فقط في المتغير الأول.

أنظمة الجذر من الرتبة الثانية

نظام الجذور${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$	نظام الجذور${\displaystyle D_{2}}$
نظام الجذور${\displaystyle A_{2}}$	نظام الجذور${\displaystyle G_{2}}$
نظام الجذور${\displaystyle B_{2}}$	نظام الجذور${\displaystyle C_{2}}$

رتبة نظام الجذور Φ هي بُعد الفضاء الإقليدي E. يمكن دمج نظامي جذور باعتبار الفضاءات الإقليدية التي يمتدان عليها فضاءات فرعية متعامدة ضمن فضاء إقليدي مشترك. يُقال إن _نظام الجذور الذي لا ينشأ من هذا الدمج ، مثل الأنظمة A² _و B² و G² الموضحة على اليمين _، غير قابل للاختزال .

يُقال عن نظامي الجذر ( E1 _,  Φ1 ₎ و( _E2 , Φ2 ) _أنهما متماثلان إذا وُجد تحويل خطي قابل للعكس _{E1 →} E2 يُحوّل Φ1 إلى Φ2 بحيث _يكون عدد كل زوج _من الجذور     ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$^{[ 7 ]} يتم الحفاظ عليه.

الالشبكة الجذرية لنظام جذري Φ هيZمنEالمتولدة بواسطة. وهيشبكةفيE. 

تُسمى مجموعة التماثلات لـ E الناتجة عن الانعكاسات عبر المستويات الفائقة المرتبطة بجذور Φ بمجموعة فايل لـ Φ . ولأنها تؤثر بأمانة على المجموعة المنتهية Φ ، فإن مجموعة فايل تكون منتهية دائمًا. مستويات الانعكاس هي المستويات الفائقة العمودية على الجذور، المشار إليها بـ    ${\displaystyle A_{2}}$يُشار إليها بخطوط متقطعة في الشكل أدناه. زمرة ويل هي زمرة التناظر لمثلث متساوي الأضلاع ، وتتكون من ستة عناصر. في هذه الحالة، لا تُمثل زمرة ويل زمرة التناظر الكاملة لنظام الجذور (على سبيل المثال، الدوران بزاوية 60 درجة هو تناظر لنظام الجذور ولكنه ليس عنصرًا من عناصر زمرة ويل).

يوجد نظام جذر واحد فقط من الرتبة 1، ويتكون من متجهين غير صفريين${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$يُطلق على هذا النظام الجذري اسم${\displaystyle A_{1}}$.

في المرتبة الثانية توجد أربع احتمالات، تتوافق مع${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$، أين${\displaystyle n=0,1,2,3}$[ ^{8 ]} يوضح الشكل الموجود على اليمين هذه الاحتمالات، ولكن مع بعض التكرارات ^:${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$متماثل مع${\displaystyle D_{2}}$و${\displaystyle B_{2}}$متماثل مع${\displaystyle C_{2}}$.

لاحظ أن نظام الجذر لا يتحدد بالشبكة التي يولدها:${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$و${\displaystyle B_{2}}$كلاهما يُنتج شبكة مربعة بينما${\displaystyle A_{2}}$و${\displaystyle G_{2}}$كلاهما يُولّد شبكة سداسية .

عندما يكون Φ نظامًا جذريًا في E ، ويكون S فضاءً جزئيًا من E مُوَلَّدًا بواسطة Ψ  =  Φ  ∩ S ، فإن Ψ يكون نظامًا جذريًا في S. وبالتالي، تُظهر القائمة الشاملة لأنظمة الجذور الأربعة من الرتبة 2 الاحتمالات الهندسية لأي جذرين مُختارين من نظام جذري ذي رتبة عشوائية. على وجه الخصوص، يجب أن يتقاطع هذان الجذران بزاوية 0، أو 30، أو 45، أو 60، أو 90، أو 120، أو 135، أو 150، أو 180 درجة.    

لو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي جبر لي شبه بسيط معقد و${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$إذا كانت جبرًا جزئيًا من جبر كارتان ، فيمكننا بناء نظام جذري على النحو التالي. نقول إن${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$هو جذر​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بالنسبة إلى${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$لو${\displaystyle \alpha \neq 0}$ويوجد بعض${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$بحيث $${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$$ للجميع${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$يمكن إثبات ^{[ 9 ]} وجود جداء داخلي تشكل مجموعة جذوره نظامًا جذريًا. النظام الجذري لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تُعد أداة أساسية لتحليل بنية${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وتصنيف تمثيلاتها. (انظر القسم أدناه حول أنظمة الجذور ونظرية لي.)

إذا كان Φ نظامًا جذريًا في E ، فإن الجذر المرافق α ^∨ للجذر α يُعرَّف بواسطة $${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$$

تشكل مجموعة الجذور المرافقة أيضًا نظامًا جذريًا Φ ^∨ في E ، يُسمى النظام الجذري الثنائي (أو أحيانًا النظام الجذري العكسي ). بالحساب المباشر، α ^∨∨ = α، لذا فإن Φ هو النظام الجذري الثنائي لـ Φ ^∨ . تُسمى الشبكة في E التي يُولدها Φ ^∨ شبكة الجذور المرافقة . لكل من Φ و Φ ^∨ نفس زمرة ويل W ، وبالنسبة لـ s في W ، $${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$$

إذا كانت Δ مجموعة من الجذور البسيطة للمعادلة Φ، فإن Δ ^∨ هي مجموعة من الجذور البسيطة للمعادلة Φ ^∨ . ^{[ 17 ]}

في التصنيف الموصوف أدناه، أنظمة الجذور من النوع${\displaystyle A_{n}}$و${\displaystyle D_{n}}$إلى جانب أنظمة الجذور الاستثنائية${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$جميعها أنظمة ثنائية ذاتية، مما يعني أن نظام الجذر الثنائي متماثل مع نظام الجذر الأصلي. على النقيض من ذلك، فإن${\displaystyle B_{n}}$و${\displaystyle C_{n}}$أنظمة الجذور ثنائية لبعضها البعض، ولكنها ليست متماثلة (إلا عندما${\displaystyle n=2}$).

متجه${\displaystyle \lambda }$يُطلق على المجموعة E اسم مجموعة صحيحة ^{[ 18 ]} إذا كان حاصل ضربها الداخلي مع كل جذر مشترك عددًا صحيحًا: $${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$$ منذ مجموعة${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$مع${\displaystyle \alpha \in \Delta }$يشكل أساسًا لنظام الجذر المزدوج، للتحقق من ذلك.${\displaystyle \lambda }$إذا كان جزءًا لا يتجزأ، يكفي التحقق من الشرط المذكور أعلاه لـ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$.

تُسمى مجموعة العناصر الصحيحة بشبكة الأوزان المرتبطة بنظام الجذور المعطى. هذا المصطلح مستمد من نظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط ، حيث تُشكل العناصر الصحيحة الأوزان الممكنة للتمثيلات ذات الأبعاد المحدودة.

يضمن تعريف نظام الجذور أن تكون الجذور نفسها عناصر صحيحة. وبالتالي، فإن كل توليفة خطية صحيحة من الجذور هي أيضاً عدد صحيح. مع ذلك، في معظم الحالات، ستكون هناك عناصر صحيحة ليست توليفات صحيحة من الجذور. أي أن شبكة الأوزان لا تتطابق عموماً مع شبكة الجذور.

بفرض وجود نظام جذري، اختر مجموعة Δ من الجذور البسيطة كما في القسم السابق. تتوافق رؤوس مخطط دينكين المرتبط مع الجذور في Δ. تُرسَم الحواف بين الرؤوس وفقًا للزوايا. (لاحظ أن الزاوية بين الجذور البسيطة لا تقل عن 90 درجة).

• لا توجد حافة إذا كانت المتجهات متعامدة،
• حافة مفردة غير موجهة إذا شكلت زاوية مقدارها 120 درجة،
• يكون الضلع المزدوج الموجه إذا شكلا زاوية مقدارها 135 درجة، و
• تكون الحافة الثلاثية موجهة إذا شكلت زاوية مقدارها 150 درجة.

يشير مصطلح "الحافة الموجهة" إلى أن الحواف المزدوجة والثلاثية تُعلّم بسهم يشير إلى المتجه الأقصر. (يُمكن اعتبار السهم علامة "أكبر من" لتوضيح الاتجاه الذي يُفترض أن يشير إليه السهم).

لاحظ أنه بناءً على الخصائص الأساسية للجذور المذكورة أعلاه، يمكن وصف قواعد إنشاء مخطط دينكين على النحو التالي: لا يوجد ضلع إذا كانت الجذور متعامدة؛ أما بالنسبة للجذور غير المتعامدة، فيوجد ضلع واحد أو ضلعان أو ثلاثة أضلاع وفقًا لما إذا كانت نسبة طول الضلع الأطول إلى الضلع الأقصر تساوي 1.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$،${\displaystyle {\sqrt {3}}}$في حالة${\displaystyle G_{2}}$على سبيل المثال، يوجد في نظام الجذر جذران بسيطان بزاوية 150 درجة (بنسبة طول تبلغ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$وبالتالي، يحتوي مخطط دينكين على رأسين متصلين بثلاثة أضلاع، مع سهم يشير من الرأس المرتبط بالجذر الأطول إلى الرأس الآخر. (في هذه الحالة، يكون السهم زائداً بعض الشيء، لأن المخطط مكافئ بغض النظر عن اتجاه السهم).

على الرغم من أن نظام الجذر الواحد قد يحتوي على أكثر من مجموعة ممكنة من الجذور البسيطة، فإن زمرة ويل تؤثر بشكل متعدٍّ على هذه الخيارات. ^{[ 19 ]} ونتيجةً لذلك، فإن مخطط دينكين مستقل عن اختيار الجذور البسيطة؛ فهو مُحدد بنظام الجذر نفسه. وعلى العكس، إذا كان لدينا نظاما جذر لهما نفس مخطط دينكين، فيمكن مطابقة الجذور، بدءًا من الجذور في القاعدة، وإثبات أن النظامين متطابقان بالفعل. ^{[ 20 ]}

وبالتالي، فإن مشكلة تصنيف أنظمة الجذور تُختزل إلى مشكلة تصنيف مخططات دينكين الممكنة. يكون نظام الجذور غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كان مخطط دينكين الخاص به متصلاً. ^{[ 21 ]} المخططات المتصلة الممكنة موضحة في الشكل. تشير الرموز السفلية إلى عدد الرؤوس في المخطط (وبالتالي رتبة نظام الجذور غير القابل للاختزال المقابل).

لو${\displaystyle \Phi }$هو نظام جذري، مخطط دينكين لنظام الجذر المزدوج${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$يتم الحصول عليها من مخطط دينكين لـ${\displaystyle \Phi }$وذلك بالاحتفاظ بجميع الرؤوس والحواف نفسها، ولكن بعكس اتجاهات جميع الأسهم. وبالتالي، يمكننا أن نرى من مخططات دينكين الخاصة بهم أن${\displaystyle B_{n}}$و${\displaystyle C_{n}}$هما متضادان لبعضهما البعض.

الجذور البسيطة في A ₃

	هـ 1	هـ 2	هـ 3	هـ 4
α 1	1	-1	0	0
α 2	0	1	-1	0
α 3	0	0	1	-1

ليكن E الفضاء الجزئي من Rⁿ⁺¹ الذي مجموع إحداثياته ​​يساوي صفرًا، ولتكن Φ مجموعة المتجهات في E التي طولها √2 وهي متجهات صحيحة، أي إحداثياتها صحيحة في Rⁿ⁺¹ ^{. يجب أن تكون جميع إحداثيات هذا المتجه مساوية للصفر باستثناء إحداثيين، وإحداثي واحد يساوي 1، وإحداثي} _آخر يساوي -1، وبالتالي يوجد n² ^{+ n} جذرًا إجمالًا. أحد الخيارات للجذور البسيطة المعبر عنها في _الأساس القياسي هو αᵢ ₌ eᵢ - eᵢ⁺¹ حيث 1 ≤ i _≤ n .

الانعكاس σ _i عبر المستوى الفائق العمودي على α _i هو نفسه تبديل الإحداثيات المتجاورة i و ( i + 1 ) . تُولّد هذه التبديلات مجموعة التبديلات الكاملة . بالنسبة للجذور البسيطة المتجاورة، σ _i ( α _{i + 1} ) = α _{i + 1} + α _i = σ _{i + 1} ( α _i ) = α _i + α _{i + 1} ، أي أن الانعكاس يُكافئ إضافة مُضاعف للعدد 1؛ لكن انعكاس جذر بسيط عمودي على جذر بسيط غير مجاور له لا يُغيّره، ويختلف عنه بمُضاعف للعدد 0.          

يمكن وصف شبكة الجذور A _n - أي الشبكة المتولدة بواسطة جذور A _n - بسهولة بأنها مجموعة المتجهات الصحيحة في R ^{n +1} التي مجموع مكوناتها يساوي صفرًا.

شبكة الجذر A ₂ هي ترتيب رؤوس التبليط المثلثي .

تُعرف الشبكة الجذرية A3 لدى علماء البلورات باسم الشبكة المكعبة _ذات المراكز الوجهية (أو الشبكة المكعبة ذات التراص المتراص ). ^{[ 29 ]} وهي ترتيب رؤوس قرص العسل رباعي الأوجه-ثماني الأوجه .

يمكن نمذجة نظام الجذر A ₃ (وكذلك أنظمة الجذر الأخرى من الرتبة الثالثة) في مجموعة بناء Zometool . ^{[ 30 ]}

بشكل عام، فإن شبكة الجذر A _n هي ترتيب الرؤوس لقرص العسل البسيط ذي الأبعاد n .

الجذور البسيطة في B ₄

	هـ 1	هـ 2	هـ 3	هـ 4
α 1	1	-1	0	0
α 2	0	1	-1	0
α 3	0	0	1	-1
α 4	0	0	0	1

ليكن E = R ⁿ ، ولتكن Φ مجموعة جميع المتجهات الصحيحة في E التي طولها 1 أو √2 . العدد الإجمالي للجذور هو 2 n 2. أحد خيارات الجذور البسيطة هو α _i = e _i – e _{i +1} حيث 1 ≤ i ≤ n – 1 (وهو الخيار المذكور أعلاه للجذور البسيطة لـ A _{n −1} )، والجذر الأقصر ^هو α _n = e _n .

_إن الانعكاس σn عبر المستوى الفائق العمودي على الجذر القصير αn هو ببساطة نفي الإحداثي النوني . بالنسبة للجذر البسيط الطويل _αn⁻¹ ، فإن _{σn⁻¹ (} αn ) ₌ αn + αn⁻¹ ، _{أما بالنسبة للانعكاس} العمودي على الجذر القصير، فإن _{σn(αn⁻¹ )} = αn⁻¹ ₊ 2αn _، وهو _{فرق من} مضاعفات _العدد 2 بدلاً _{من 1} .

تتكون شبكة الجذور B _n - أي الشبكة المتولدة بواسطة جذور B _n - من جميع المتجهات الصحيحة.

B ₁ متماثل مع A ₁ عن طريق القياس بواسطة √ 2 ، وبالتالي فهو ليس نظام جذر مميز.

الجذور البسيطة في C ₄

	هـ 1	هـ 2	هـ 3	هـ 4
α 1	1	-1	0	0
α 2	0	1	-1	0
α 3	0	0	1	-1
α 4	0	0	0	2

ليكن E = Rⁿ ^، ولتكن Φ مجموعة جميع المتجهات الصحيحة في _E التي طولها _{√2 بالإضافة} إلى جميع المتجهات من الشكل 2λ _، حيث _λ متجه صحيح طوله 1. العدد الإجمالي للجذور هو 2ⁿ². أحد الخيارات للجذور البسيطة هو: αᵢ = eᵢ - eᵢ⁺¹ _، حيث ₁ ^≤ i ≤ n - _{1 (} وهو الخيار السابق للجذور البسيطة لـ _{Aⁿ⁻¹ )} ، والجذر _الأطول αⁿ = 2eⁿ . الانعكاس σⁿ ₍ αⁿ⁻¹ _{) =} αⁿ⁻¹ + αⁿ ، ولكن _σⁿ⁻¹ ( αⁿ _{) =} αⁿ _{+ 2αⁿ⁻¹} .

تتكون شبكة الجذور C _n - أي الشبكة المتولدة بواسطة جذور C _n - من جميع المتجهات الصحيحة التي مجموع مكوناتها عدد صحيح زوجي.

C ₂ متماثل مع B ₂ عن طريق القياس بواسطة √ 2 ودوران 45 درجة، وبالتالي فهو ليس نظام جذر مميز.

الجذور البسيطة في D ₄

	هـ 1	هـ 2	هـ 3	هـ 4
α 1	1	-1	0	0
α 2	0	1	-1	0
α 3	0	0	1	-1
α 4	0	0	1	1

ليكن E = R ⁿ ، ولتكن Φ مجموعة جميع المتجهات الصحيحة في E التي طولها √2 . العدد الإجمالي للجذور هو 2n ( n -1) . أحد خيارات الجذور البسيطة هو αi = ei _- ei ₊ 1 _حيث 1 ≤ i ≤ n - 1 ₍ وهو الخيار السابق للجذور البسيطة لـ _An - _{1 )} بالإضافة إلى αn = _en - _{1 +} en .

الانعكاس عبر المستوى الفائق العمودي على α _n هو نفسه نقل وإسقاط الإحداثيات المجاورة رقم n و ( n − 1). أي جذر بسيط وانعكاسه العمودي على جذر بسيط آخر يختلفان بمضاعفات 0 أو 1 للجذر الثاني، وليس بأي مضاعف أكبر.

تتكون شبكة الجذور D _n - أي الشبكة المولدة من جذور D _n - من جميع المتجهات الصحيحة التي يكون مجموع عناصرها عددًا زوجيًا. وهذا هو نفسه شبكة الجذور C _{n .}

يتم التعبير عن جذور D n كرؤوس لمخطط كوكسيتر - دينكين المعدل n - orthoplex : ... . توجد الرؤوس 2 n ( n − 1) _في منتصف حواف n -orthoplex.

يتطابق D ₃ مع A ₃ ، وبالتالي فهو ليس نظام جذر منفصل. تُعبّر متجهات الجذر الاثني عشر لـ D ₃ عن رؤوس ، وهو بناء ذو ​​تناظر أقل للمكعب الثماني الأوجه .

تتمتع D ₄ بتناظر إضافي يُسمى التناظر الثلاثي . تُعبّر متجهات الجذور الأربعة والعشرون لـ D ₄ عن رؤوس ، وهو بناء ذو ​​تناظر أقل للخلية 24 .

تمثل 72 رأسًا من 1 22 متجهات الجذر لـ E 6 (يتم مضاعفة العقد الخضراء في إسقاط مستوى كوكسيتر E6 هذا)	تمثل 126 رأسًا من 2 31 متجهات الجذر لـ E 7	تمثل 240 رأسًا من 4 21 متجهات الجذر لـ E 8

• نظام الجذر E ₈ هو أي مجموعة من المتجهات في R ⁸ التي تتطابق مع المجموعة التالية:$${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$$

يحتوي نظام الجذور على 240 جذرًا. المجموعة المذكورة آنفًا هي مجموعة المتجهات ذات الطول √2 في شبكة الجذور E8، والمعروفة أيضًا ببساطة باسم شبكة E8 أو Γ8 _. هذه هي مجموعة النقاط في R8 التي ^تحقق ما يلي:

1. جميع الإحداثيات أعداد صحيحة أو جميع الإحداثيات أنصاف أعداد صحيحة (لا يُسمح بمزيج من الأعداد الصحيحة وأنصاف الأعداد الصحيحة)، و
2. مجموع الإحداثيات الثمانية هو عدد زوجي صحيح .

هكذا، $${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup \left(\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=2,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$$

• نظام الجذور E7 هو مجموعة المتجهات في E8 التي تكون _عمودية على جذر ثابت في _E8 . يحتوي نظام الجذور E7 _على 126 جذراً _.
• _إن نظام الجذور E6 ليس مجموعة المتجهات في E7 العمودية على جذر ثابت في E7 _، بل إننا نحصل على _D6 بهذه الطريقة. مع ذلك، فإن E6 هو النظام الفرعي من E8 _{العمودي} على جذرين _{مختارين بشكل} مناسب من _E8 . يحتوي نظام الجذور E6 _على 72 جذرًا.

يُمكن وصف شبكة E ₈ بشكل بديل، وهو وصف مناسب في بعض الأحيان، بأنها مجموعة Γ' ₈ لجميع النقاط في R ⁸ بحيث

• جميع الإحداثيات أعداد صحيحة ومجموع الإحداثيات عدد زوجي، أو
• جميع الإحداثيات هي أنصاف أعداد صحيحة ومجموع الإحداثيات فردي.

الشبكتان Γ ₈ و Γ' ₈ متماثلتان ؛ إذ يمكن الانتقال من إحداهما إلى الأخرى بتغيير إشارات أي عدد فردي من الإحداثيات. تُسمى الشبكة Γ _{8 أحيانًا} بنظام الإحداثيات الزوجي لـ E _8، بينما تُسمى الشبكة Γ' ₈ بنظام الإحداثيات الفردي .

أحد الخيارات للجذور البسيطة للمعادلة E ₈ في نظام الإحداثيات الزوجي مع ترتيب الصفوف حسب ترتيب العقد في مخططات دينكين البديلة (غير القياسية) (أعلاه) هو:

α _i = e _i − e _{i +1} ، لـ 1 ≤ i ≤ 6، و

α ₇ = e ₇ + e ₆

(اختيار الجذور البسيطة المذكورة أعلاه للمعادلة D ₇ ) بالإضافة إلى $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{8}={\boldsymbol {\beta }}_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {e} _{i}=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$$

أحد الخيارات للجذور البسيطة للمعادلة E ₈ في نظام الإحداثيات الفردي مع ترتيب الصفوف حسب ترتيب العقد في مخططات دينكين البديلة (غير القياسية) (أعلاه) هو

α _i = e _i − e _{i +1} ، لـ 1 ≤ i ≤ 7

(اختيار الجذور البسيطة المذكورة أعلاه للمعادلة A7 ₎ بالإضافة إلى

α ₈ = β ₅ ، حيث

${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\frac {1}{2}}\left(-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}\right).}$

(استخدام β ₃ سيعطي نتيجة متماثلة. استخدام β _1,7 أو β _2,6 سيعطي ببساطة A ₈ أو D _8. أما بالنسبة لـ β ₄ ، فإن مجموع إحداثياته ​​يساوي صفرًا، وينطبق الشيء نفسه على α _1...7 ، لذا فهي تغطي فقط الفضاء الفرعي ذي الأبعاد السبعة الذي يكون مجموع إحداثياته ​​يساوي صفرًا؛ في الواقع، −2 β ₄ له إحداثيات (1,2,3,4,3,2,1) في الأساس ( α _i ).)

بما أن التعامد على α ₁ يعني أن أول إحداثيين متساويان، فإن E ₇ هي المجموعة الجزئية من E ₈ حيث يكون أول إحداثيين متساويين، وبالمثل فإن E ₆ هي المجموعة الجزئية من E ₈ حيث تكون أول ثلاثة إحداثيات متساوية. وهذا يُسهّل التعريفات الصريحة لـ E ₇ و E ₆ على النحو التالي:

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z +1/2) ⁷  : Σ α _i ² + α ₁ ² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z +1/2) ⁶  : Σ α _i ² + 2 α ₁ ² = 2, Σ α _i + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

لاحظ أن حذف α ₁ ثم α ₂ يُعطي مجموعات من الجذور البسيطة لـ E ₇ و E _6. ومع ذلك، فإن مجموعات الجذور البسيطة هذه تقع في فضاءات فرعية مختلفة من E _{8 ، وهي} E ₇ و E _6، عن تلك المذكورة أعلاه، لأنها ليست متعامدة مع α ₁ أو α ₂ .

الجذور البسيطة في F ₄

	هـ 1	هـ 2	هـ 3	هـ 4
α 1	1	-1	0	0
α 2	0	1	-1	0
α 3	0	0	1	0
α 4	- 1 / 2​​	- 1 / 2​​	- 1 / 2​​	- 1 / 2​​

بالنسبة للمعادلة F ₄ ، ليكن E = R ⁴ ، ولتكن Φ مجموعة المتجهات α ذات الطول 1 أو √2 بحيث تكون إحداثيات 2α جميعها أعدادًا صحيحة، إما زوجية أو فردية. يوجد 48 جذرًا في هذا النظام. أحد خيارات الجذور البسيطة هو: اختيار الجذور البسيطة المذكور أعلاه للمعادلة B ₃ ، بالإضافة إلى${\textstyle {\boldsymbol {\alpha }}_{4}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$.

شبكة الجذور F⁴ - أي الشبكة المولدة بواسطة ^نظام _الجذور F⁴ - هي مجموعة النقاط في R⁴ التي _تكون إحداثياتها إما أعدادًا صحيحة أو أنصاف أعداد صحيحة (لا يُسمح بمزيج من الأعداد الصحيحة وأنصاف الأعداد الصحيحة). هذه الشبكة متماثلة مع شبكة رباعيات هورويتز .

الجذور البسيطة في G ₂

	هـ 1	هـ 2	هـ 3
α 1	1	-1	0
β	-1	2	-1

يحتوي النظام الجذري G ₂ على 12 جذرًا، تشكل رؤوس شكل سداسي . انظر الصورة أعلاه .

أحد خيارات الجذور البسيطة هو ( α ₁ , β = α ₂ − α ₁ ) حيث α _i = e _i − e _{i +1} لـ i = 1, 2 هو الخيار أعلاه للجذور البسيطة لـ A ₂ .

إن شبكة الجذر G ₂ - أي الشبكة المتولدة بواسطة جذور G ₂ - هي نفسها شبكة الجذر A _{2 .}