تقريب قيمة باي

رسم بياني يوضح التطور التاريخي للدقة القياسية للتقريبات العددية لـ π، مقاسة بالمنازل العشرية (موضحة على مقياس لوغاريتمي؛ الوقت قبل عام 1400 غير موضح على المقياس)

بلغت دقة تقديرات الثابت الرياضي باي ( $π$ ) في تاريخ الرياضيات قبل بداية العصر الميلادي 0.04% من قيمته الحقيقية . وفي الرياضيات الصينية ، تحسّنت هذه الدقة لتصل إلى تقديرات صحيحة تصل إلى ما يعادل سبعة أرقام عشرية تقريبًا بحلول القرن الخامس الميلادي.

لم يُحرز أي تقدم إضافي حتى القرن الرابع عشر، عندما طوّر مادهافا من سانغاماغراما تقريبات صحيحة إلى أحد عشر رقمًا، ثم إلى ثلاثة عشر رقمًا. ثم حقق جمشيد الكاشي ستة عشر رقمًا. ووصل علماء الرياضيات في أوائل العصر الحديث إلى دقة بلغت 35 رقمًا بحلول بداية القرن السابع عشر ( لودولف فان كولين )، و126 رقمًا بحلول القرن التاسع عشر ( يوري فيغا ).

يحمل ويليام شانكس الرقم القياسي لأسرع تقريب يدوي لقيمة $π$ ، حيث حسب 527 رقمًا عشريًا بشكل صحيح عام 1853. ^[¹^] منذ منتصف القرن العشرين، أصبح تقريب قيمة $π$ مهمة الحواسيب الرقمية الإلكترونية (للاطلاع على سرد شامل، انظر التسلسل الزمني لحساب π ). في 11 ديسمبر 2025، سُجّل الرقم القياسي الحالي بواسطة StorageReview باستخدام برنامج y-cruncher الخاص بألكسندر يي، حيث بلغ 314 تريليون (3.14 × 10^12) .10 ¹⁴ ) أرقام. ^{[ 2 ]}

التاريخ المبكر

كانت أفضل التقريبات المعروفة لقيمة $π$ ، والتي تعود إلى ما قبل الميلاد، دقيقةً إلى منزلتين عشريتين؛ وقد تحسّن هذا في الرياضيات الصينية تحديدًا بحلول منتصف الألفية الأولى، ليصل إلى دقة سبع منازل عشرية. بعد ذلك، لم يُحرز أي تقدم إضافي حتى أواخر العصور الوسطى.

زعم بعض علماء المصريات ^{[ 3 ]} أن المصريين القدماء استخدموا قيمة تقريبية لـ $π$ تُقدّر بـ 22 ⁄ 7 = 3.142857 (أي أعلى بنسبة 0.04% تقريبًا) منذ عصر الدولة القديمة (حوالي 2700-2200 قبل الميلاد). ^{[ 4 ]} وقد قوبل هذا الزعم بالتشكيك. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

كانت الرياضيات البابلية تُقارب قيمة $π$ عادةً إلى 3، وهو ما كان كافيًا للمشاريع المعمارية في ذلك الوقت (ويتجلى ذلك بوضوح في وصف هيكل سليمان في الكتاب المقدس العبري ). ^{[ 7 ]} كان البابليون يدركون أن هذا تقريب، وقد أعطت لوحة رياضية بابلية قديمة، تم التنقيب عنها بالقرب من سوسة عام 1936 (يعود تاريخها إلى ما بين القرنين التاسع عشر والسابع عشر قبل الميلاد)، تقريبًا أفضل لقيمة $π$ وهو 25 ⁄ 8 = 3.125، أي أقل بنحو 0.528% من القيمة الدقيقة. ^[⁸^]^[⁹^]^[¹⁰^]^[¹¹^]

في نفس الوقت تقريبًا، تشير بردية ريند الرياضية المصرية (المؤرخة بالفترة الانتقالية الثانية ، حوالي 1600 قبل الميلاد، على الرغم من أنها تُذكر على أنها نسخة من نص أقدم من عصر الدولة الوسطى ) إلى تقريب قيمة $π$ لتكون 256 ⁄ 81 ≈ 3.16 (بدقة تصل إلى 0.6 بالمائة) عن طريق حساب مساحة الدائرة من خلال التقريب باستخدام الشكل الثماني . ^[⁵^]^[¹²^]

تستخدم الحسابات الفلكية في كتاب شاتاباثا براهمانا (حوالي القرن السادس قبل الميلاد) تقريبًا كسريًا قدره $339$ $⁄$ $108$ $\approx 3.139$ . ^[¹³^]

يقدم كتاب ماهابهاراتا (500 قبل الميلاد - 300 ميلادي) تقريبًا قدره 3، في النسب الواردة في أبيات بيشما بارفا : 6.12.40-45. ^{[ 14 ]}

...
يُتناقل عبر الذاكرة أن قطر القمر يبلغ أحد عشر ألف يوجانا . وعند حساب محيطه، نجد أنه يبلغ ثلاثة وثلاثين ألف يوجانا. ... أما الشمس، فيبلغ قطرها ثمانية آلاف يوجانا، وقطرها ألفا يوجانا. ومن ذلك، نجد أن محيطها يساوي ثلاثين ألف يوجانا.
...

— "الآيات: 6.12.40–45، بيشما بارفا من الملحمة الهندية ماهابهاراتا "

في القرن الثالث قبل الميلاد، أثبت أرخميدس المتباينات الدقيقة 223 ⁄ 71 < $π$ < 22 ⁄ 7 ، باستخدام مضلعات منتظمة ذات 96 ضلعًا (بدقة 2 × 10⁻⁴ ^و 4 × ^10⁻⁴ على التوالي). ^[¹⁵^]

في القرن الثاني الميلادي، استخدم بطليموس القيمة 377/120 ، وهي أول قيمة تقريبية معروفة بدقة تصل إلى ثلاثة أرقام عشرية (دقة 2 × 10⁻⁵ ⁾ . ^[¹⁶^] وهي تساوي $3+8/60+30/60^{2},$ وهو دقيق إلى رقمين ستينيين .

قام عالم الرياضيات الصيني ليو هوي في عام 263 ميلادي بحساب قيمة $π$ لتكون بين3.141 024 و3.142 708 عن طريق رسم شكل هندسي مكون من 96 ضلعًا وآخر مكون من 192 ضلعًا؛ متوسط هاتين القيمتين هو3.141866 (بدقة 9 × 10⁻⁵ ^{) . كما أشار إلى أن}3.14 قيمة تقريبية كافية للأغراض العملية. ويُنسب إليه أيضاً في كثير من الأحيان نتيجة لاحقة وأكثر دقة، وهي π ≈ 3927 / 1250 = 3.1416 (بدقة 2 × 10⁻⁶ ⁾ ، مع أن بعض الباحثين يعتقدون أن هذه النتيجة تعود إلى عالم الرياضيات الصيني زو تشونغ تشي (القرن الخامس الميلادي) . ^[¹⁷^] من المعروف أن زو تشونغ تشي قد حسب قيمة $π$ لتكون بين 3.1415926 و3.1415927، وكانت هذه القيمة صحيحة حتى سبعة منازل عشرية. كما قدّم تقريبين آخرين لقيمة $π$ : π ≈ 22 ⁄ 7 و π ≈ 355 ⁄ 113 ، وهما أقل دقة من نتيجته العشرية. يُعدّ الكسر الأخير أفضل تقريب نسبي ممكن لقيمة $π$ باستخدام أقل من خمسة أرقام عشرية في البسط والمقام. تتجاوز نتائج زو تشونغتشي الدقة التي تم التوصل إليها في الرياضيات الهلنستية، وظلت دون تحسين لما يقرب من ألف عام.

في عصر غوبتا في الهند (القرن السادس)، قال عالم الرياضيات أريابهاتا في أطروحته الفلكية أريابهاتيا :

أضف 4 إلى 100، واضرب الناتج في 8، ثم أضف الناتج إلى 62000. هذا هو محيط دائرة قطرها 20000 تقريبًا.

— أريابهاتيا

بتقريب قيمة $π$ إلى أربعة أرقام عشرية: π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3.1416، ^[¹⁸^]^[¹⁹^]^[²⁰^] ذكر أريابهاتا أن نتيجته "تقريبًا" ( āsanna "الاقتراب") تعطي محيط دائرة. وقد جادل معلقه نيلاكانثا سوماياجي ( مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات ) في القرن الخامس عشر بأن الكلمة لا تعني فقط أن هذا تقريب، بل إن القيمة غير قابلة للقياس (غير نسبية) . ^[²¹^]

العصور الوسطى

لم يُحرز أي تقدم إضافي لما يقرب من ألف عام، حتى القرن الرابع عشر، عندما اكتشف عالم الرياضيات والفلك الهندي مادهافا من سانغاماغراما ، مؤسس مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات ، متسلسلة ماكلورين لدالة الظل العكسي، ثم متسلسلتين لانهائيتين لـ $π$ . ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} إحداهما تُعرف الآن باسم متسلسلة مادهافا-لايبنيز ، استنادًا إلى $\pi =4\arctan(1):$

\pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)

أما الآخر فكان مبنياً على $\pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):$

\pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)

استخدم أول 21 حدًا لحساب قيمة تقريبية لـ $π$ تصل إلى 11 منزلة عشرية كما يلي:3.141 592 653 59 .

كما قام بتحسين الصيغة القائمة على arctan(1) من خلال تضمين تصحيح:

\pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots -{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}

لا يُعرف كيف توصل إلى هذا التصحيح. ^{[ 23 ]} وباستخدامه، وجد تقريبًا لقيمة $π$ بدقة تصل إلى 13 منزلة عشرية عندما $n$ = 75.

استخدم عالم الرياضيات الهندي بهاسكارا الثاني (القرن الثاني عشر) المضلعات المنتظمة التي يصل عدد أضلاعها إلى 384 للحصول على تقريب آخر لـ π، حيث حسبها على أنها 3.141666. ^{[ 25 ]}

قام جمشيد الكاشي (الكاشاني) (القرن الخامس عشر)، وهو فلكي ورياضي فارسي ، بحساب الجزء الكسري من 2π بشكل صحيح $إلى$ 9 أرقام ستينية في عام 1424، ^[²⁶^] وترجم ذلك إلى 16 رقمًا عشريًا ^[²⁷^] بعد الفاصلة العشرية:

2\pi \approx 6.2831853071795864,

مما يعطي 16 رقمًا صحيحًا لـ π بعد الفاصلة العشرية:

\pi \approx 3.1415926535897932

وقد حقق هذا المستوى من الدقة عن طريق حساب محيط مضلع منتظم ذي ²⁸ ضلعًا (3 × 2) . ^{[ 28 ]}

القرن السادس عشر إلى القرن التاسع عشر

في النصف الثاني من القرن السادس عشر، اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت منتجًا لانهائيًا يتقارب على $π$ يُعرف باسم صيغة فييت .

قام عالم الرياضيات الألماني الهولندي لودولف فان كولين ( حوالي عام 1600) بحساب أول 35 خانة عشرية من $π$ باستخدام مضلع ذي ⁶² ضلعًا. وكان فخورًا جدًا بهذا الإنجاز لدرجة أنه أمر بنقش الأرقام على شاهد قبره . ^{[ 29 ]}

في كتابه "Cyclometricus" (1621)، برهن ويليبرورد سنيليوس أن محيط المضلع المرسوم داخل الشكل الهندسي يتقارب مع محيط الشكل الهندسي المحيط به أسرع بمرتين من تقارب محيط المضلع المقابل له. وقد أثبت كريستيان هويغنز ذلك عام 1654. تمكن سنيليوس من الحصول على سبعة أرقام من قيمة $π$ من مضلع ذي 96 ضلعًا. ^{[ 30 ]}

في عام 1656، نشر جون واليس منتج واليس :

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots$

في عام 1706، استخدم جون ماشين متسلسلة غريغوري ( متسلسلة تايلور لدالة الظل العكسي ) والهوية ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239}$ لحساب 100 رقم من $π$ (انظر § صيغة شبيهة بصيغة ماشين أدناه). ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]} في عام 1719، استخدم توماس دي لاغني متطابقة مشابهة لحساب 127 رقمًا (كان 112 منها صحيحًا). في عام 1789، حسّن عالم الرياضيات السلوفيني يوري فيغا صيغة جون ماشين لحساب أول 140 رقمًا، كان أول 126 منها صحيحًا. ^{[ 33 ]} في عام 1841، حسب ويليام رذرفورد 208 أرقام، كان أول 152 منها صحيحًا.

يمكن وضع حجم هذه الدقة (152 منزلة عشرية) في سياقها من خلال حقيقة أنه يمكن حساب محيط أكبر جسم معروف، وهو الكون المرئي، من قطره (93 مليار سنة ضوئية ) بدقة أقل من طول بلانك واحد (عند1.6162 × 10 ⁻³⁵متراً (أقصر وحدة طول يُتوقع أن تكون قابلة للقياس المباشر) باستخدام $π$ معبرًا عنها إلى 62 منزلة عشرية فقط. ^{[ 34 ]}

في يناير 1853، قام عالم الرياضيات الإنجليزي الهاوي ويليام شانكس بحساب قيمة $π$ حتى 530 منزلة عشرية، وكانت أول 527 منها صحيحة (مع احتمال وجود أخطاء في المنازل العشرية الأخيرة نتيجة التقريب). ^{[ 1 ]}^{[ 35 ]} ثم وسّع شانكس حسابه إلى 607 منازل عشرية في أبريل 1853، ^{[ 36 ]} لكن خطأً وقع عند المنزلة العشرية 530 جعل بقية الحساب خاطئًا؛ وبسبب طبيعة صيغة ماشين، امتد الخطأ إلى المنزلة العشرية 528، ولم يتبق سوى أول 527 منزلة صحيحة. ^{[ 1 ]} بعد عشرين عامًا، في أبريل 1873، وسّع شانكس حسابه إلى 707 منازل عشرية. ^{[ 37 ]} ولأن هذا كان توسيعًا لحسابه السابق، كانت معظم المنازل العشرية الجديدة خاطئة أيضًا. ^{[ 1 ]} قيل إن شانكس كان يحسب أرقامًا جديدة طوال الصباح، ثم يقضي فترة ما بعد الظهر بأكملها في مراجعة عمله الصباحي. وكان هذا أطول توسيع لقيمة $π$ حتى ظهور الحاسوب الرقمي الإلكتروني بعد ثلاثة أرباع قرن. ^{[ 38 ]}

القرنان العشرون والحادي والعشرون

في عام 1910، اكتشف عالم الرياضيات الهندي سرينيفاسا رامانوجان العديد من المتسلسلات اللانهائية المتقاربة بسرعة لـ $π$ ، بما في ذلك

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

والتي تحسب ثمانية منازل عشرية إضافية لقيمة $π$ مع كل حد في المتسلسلة. تُعدّ هذه المتسلسلة الآن أساسًا لأسرع الخوارزميات المستخدمة حاليًا لحساب $π$ . تقييم الحد الأول وحده يُعطي قيمة صحيحة حتى سبعة منازل عشرية.

\pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273

انظر سلسلة رامانوجان-ساتو .

منذ منتصف القرن العشرين فصاعدًا، تم إجراء جميع التحسينات في حساب $π$ بمساعدة الآلات الحاسبة أو أجهزة الكمبيوتر .

في عامي 1944-1945، اكتشف دي إف فيرغسون، بمساعدة آلة حاسبة مكتبية ميكانيكية ، أن ويليام شانكس قد ارتكب خطأً في الخانة العشرية رقم 528، وأن جميع الأرقام اللاحقة كانت خاطئة. ^{[ 35 ]}^{[ 39 ]}

في السنوات الأولى للحاسوب، كان توسيع $π$ إلىتم حساب π بدقة 100,000 منزلة عشرية ^{[ 40 ]}^{: 78} بواسطة عالم الرياضيات دانيال شانكس (لا تربطه صلة قرابة بويليام شانكس المذكور سابقًا) وفريقه في مختبر الأبحاث البحرية الأمريكية في واشنطن العاصمة. في عام 1961، استخدم شانكس وفريقه سلسلتين مختلفتين من القوى لحساب أرقام $π$ . بالنسبة للسلسلة الأولى، كان من المعروف أن أي خطأ فيها سيؤدي إلى قيمة أعلى قليلاً، وبالنسبة للسلسلة الثانية، كان من المعروف أن أي خطأ فيها سيؤدي إلى قيمة أقل قليلاً. وبالتالي، طالما أنتجت السلسلتان نفس الأرقام، كان هناك ثقة عالية جدًا في صحتها. نُشرت أول 100,265 رقمًا من $π في عام 1962.$ ^{[ 40 ]}^{: 80-99.} حدد المؤلفون المتطلبات اللازمة لحساب $π$ بدقة مليون منزلة عشرية، وخلصوا إلى أن هذه المهمة تتجاوز إمكانيات التكنولوجيا في ذلك الوقت، ولكنها ستكون ممكنة في غضون خمس إلى سبع سنوات. ^{[ 40 ]}^{: 78}

في عام 1989، قام الأخوان تشودنوفسكي بحساب قيمة $π$ لأكثر من مليار منزلة عشرية على الحاسوب العملاق IBM 3090 باستخدام الصيغة التالية من سلسلة رامانوجان اللانهائية لـ $π$ :

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.

جميع الأرقام القياسية التي سُجلت منذ ذلك الحين تحققت باستخدام خوارزمية تشودنوفسكي . في عام 1999، قام ياسوماسا كانادا وفريقه في جامعة طوكيو بحساب قيمة $π$ لأكثر من 200 مليار منزلة عشرية على الحاسوب العملاق هيتاشي SR8000/MPP (128 عقدة) باستخدام صيغة أخرى من متسلسلة رامانوجان اللانهائية لحساب $π$ . في نوفمبر 2002، استخدم ياسوماسا كانادا وفريق مكون من 9 باحثين آخرين حاسوب هيتاشي SR8000 العملاق، وهو حاسوب فائق مكون من 64 عقدة وذاكرة رئيسية سعتها 1 تيرابايت، لحساب قيمة $π$ لما يقارب 1.24 تريليون رقم في حوالي 600 ساعة (25 يومًا). ^{[ 41 ]}

السجلات الحديثة

في أغسطس 2009، قام حاسوب عملاق ياباني يسمى T2K Open Supercomputer بتجاوز الرقم القياسي السابق بأكثر من الضعف من خلال حساب $π$ إلى ما يقرب من 2.6 تريليون رقم في حوالي 73 ساعة و36 دقيقة.
في ديسمبر 2009، استخدم فابريس بيلارد حاسوبًا منزليًا لحساب 2.7 تريليون رقم عشري للعدد $π$ . أُجريت الحسابات بالنظام الثنائي (الأساس 2)، ثم حُوِّلت النتيجة إلى النظام العشري (الأساس 10). استغرقت خطوات الحساب والتحويل والتحقق 131 يومًا. ^{[ 42 ]}
في أغسطس 2010، استخدم شيغيرو كوندو برنامج "واي-كرانشر" لألكسندر يي لحساب 5 تريليونات رقم من $π$ . كان هذا رقماً قياسياً عالمياً لأي نوع من العمليات الحسابية، ولكن اللافت للنظر أنه تم إجراؤه على جهاز كمبيوتر منزلي صنعه كوندو بنفسه. ^{[ 43 ]} أُجريت العملية الحسابية بين 4 مايو و3 أغسطس، واستغرقت عمليتا التحقق الأساسي والثانوي 64 و66 ساعة على التوالي. ^{[ 44 ]}
في أكتوبر 2011، حطم شيغيرو كوندو رقمه القياسي السابق بحساب عشرة تريليونات (10^ ¹³ ) وخمسين رقمًا باستخدام نفس الطريقة ولكن بأجهزة أفضل. ^{[ 45 ]}^{[ 46 ]}
في ديسمبر 2013، حطم كوندو رقمه القياسي للمرة الثانية عندما قام بحساب 12.1 تريليون رقم من $π$ . ^{[ 47 ]}
في أكتوبر 2014، استخدم ساندون فان نيس، الذي يستخدم الاسم المستعار "houkouonchi"، برنامج y-cruncher لحساب 13.3 تريليون رقم من $π$ . ^{[ 48 ]}
في نوفمبر 2016، أجرى بيتر ترويب ورعاته حسابات على جهاز y-cruncher، وتحققوا بالكامل من 22.4 تريليون رقم من أرقام ^$π$^{(22,459,157,718,361 (πe × 10¹²} $)$ ) $.$ [ 49 ] ^{استغرقت}^{العملية}^{الحسابية} (مع ثلاث انقطاعات) 105 أيام لإتمامها، ^[⁴⁸^] وكان العامل المحدد الرئيسي للتوسع المستقبلي هو مساحة التخزين. ^[⁴⁷^]
في مارس 2019، قامت إيما هاروكا إيواو ، وهي موظفة في جوجل ، بحساب 31.4 تريليون رقم من قيمة باي (ما يقارب 10 $π$ ) باستخدام برنامج y-cruncher وأجهزة جوجل كلاود . استغرقت هذه العملية 121 يومًا لإنجازها. ^{[ 50 ]}
في يناير 2020، أعلن تيموثي موليكان عن حساب 50 تريليون رقم على مدى 303 أيام. ^{[ 51 ]}^{[ 52 ]}
في 14 أغسطس 2021، أعلن فريق (DAViS) في جامعة العلوم التطبيقية في غراوبوندن عن إتمام حساب قيمة $π$ حتى 62.8 تريليون رقم (حوالي 20 $π$ ). ^{[ 53 ]}^{[ 54 ]}
في 8 يونيو 2022، أعلنت إيما هاروكا إيواو على مدونة جوجل كلاود عن حساب 100 تريليون (10 ¹⁴ ) رقم من $π على مدى 158 يومًا باستخدام$ برنامج y-cruncher الخاص بألكسندر يي . ^{[ 55 ]}
في 14 مارس 2024، قام كل من جوردان رانوس وكيفن أوبراين وبريان بيلر بحساب $قيمة π$ حتى 105 تريليون رقم، باستخدام برنامج y-cruncher أيضًا. ^{[ 56 ]}
في 28 يونيو 2024، قام فريق StorageReview بحساب $قيمة π$ إلى 202 تريليون رقم، باستخدام برنامج y-cruncher أيضًا. ^{[ 57 ]}
في 2 أبريل 2025، قامت مجموعة لينوس ميديا وكيوكسيا بحساب $قيمة π$ إلى 300 تريليون رقم، باستخدام برنامج y-cruncher أيضًا. ^[⁵⁸^]
في 11 ديسمبر 2025، أُعيد السجل إلى فريق StorageReview ، بعد أن قاموا بحساب $قيمة π$ إلى 314 تريليون رقم، باستخدام برنامج y-cruncher مرة أخرى. ^{[ 2 ]}

تقديرات عملية

بحسب الغرض من الحساب، يمكن تقريب قيمة $π$ باستخدام الكسور لتسهيل الحساب. ومن أبرز هذه التقريبات 22/7 ( بخطأ نسبي يبلغ حوالي 4 × 10⁻⁴ ⁾ و 355 / 113 (بخطأ نسبي يبلغ حوالي 8 × 10⁻⁸ ⁾ . ^[⁵⁹^]^[⁶⁰^]^[⁶¹^] في الرياضيات الصينية، يُعرف الكسران 22/7 و355/113 باسم Yuelü (约率؛ yuēlǜ ؛ وتعني " النسبة التقريبية " ) و Milü (密率؛ mìlǜ ؛ وتعني " النسبة القريبة " ).

"تعريفات" غير رياضية لـ $π$

ومن بين النصوص الجديرة بالذكر النصوص القانونية أو التاريخية التي يُزعم أنها "تعرف $π$ " على أن لها قيمة منطقية، مثل " قانون إنديانا باي " لعام 1897، الذي نص على أن "نسبة القطر إلى المحيط هي خمسة أرباع إلى أربعة" (مما يعني " $π = 3.2$ ") ومقطع في الكتاب المقدس العبري يشير إلى أن $π = 3$ .

مشروع قانون إنديانا

كثيراً ما يُوصف ما يُسمى بـ"قانون إنديانا باي" الصادر عام 1897 بأنه محاولة "لتشريع قيمة باي". لكن في الحقيقة، تناول القانون حلاً مزعوماً لمشكلة " تربيع الدائرة " هندسياً. ^{[ 62 ]}

كاد مشروع القانون أن يُقرّ في الجمعية العامة لولاية إنديانا الأمريكية، وزُعم أنه يتضمن عددًا من القيم المختلفة لـ $π$ ، مع أن أقرب ما يصل إليه من تأكيد صريح لقيمة معينة هو عبارة "نسبة القطر إلى المحيط هي خمسة أرباع إلى أربعة"، مما يجعل $π = 16 ⁄ 5 = 3.2$ ، أي بفارق يقارب 2%. وقد ساهم أستاذ رياضيات، كان حاضرًا يوم طرح مشروع القانون للمناقشة في مجلس الشيوخ بعد إقراره في مجلس النواب، في إيقاف إقراره في قراءته الثانية، وبعدها سخر منه مجلس النواب بشدة قبل تأجيله إلى أجل غير مسمى .

القيمة الكتابية المنسوبة

يُزعم أحيانًا أن الكتاب المقدس العبري يشير إلى أن " $π$ يساوي ثلاثة"، استنادًا إلى مقطع في سفر الملوك الأول 7:23 وسفر أخبار الأيام الثاني 4:2 الذي يعطي قياسات للحوض المستدير الموجود أمام الهيكل في القدس بقطر 10 أذرع ومحيط 30 ذراعًا.

تُناقش هذه المسألة في التلمود وفي الأدبيات الحاخامية . ^{[ 63 ]} ومن بين التفسيرات والتعليقات العديدة ما يلي:

شرح الحاخام نحميا هذا في كتابه "مشنات هاميدوت" (أقدم نص عبري معروف في الهندسة ، حوالي عام 150 ميلادي) قائلاً إن القطر يُقاس من الحافة الخارجية ، بينما يُقاس المحيط على طول الحافة الداخلية . ويشير هذا التفسير إلى أن عرض الحافة يبلغ حوالي 0.225 ذراع (أو، بافتراض أن "الذراع" يساوي 18 بوصة، أي حوالي 4 بوصات)، أو ما يعادل عرض شبر وثلث (انظر الترجمة القياسية الجديدة المنقحة ) .
يذكر موسى بن ميمون (حوالي عام ١١٦٨ ميلادي) أن $قيمة π$ لا يمكن معرفتها إلا تقريبًا، ولذلك تم اختيار القيمة ٣ كقيمة دقيقة كافية للأغراض الدينية. ويعتبر البعض ^{[ ٦٤ ]} هذا أول تأكيد على أن $π$ عدد غير نسبي.

لا يزال هناك بعض الجدل حول هذا المقطع في الدراسات الكتابية. ^[⁶⁵^]^[⁶⁶^] تُظهر العديد من عمليات إعادة بناء الحوض حافة أعرض (أو حافة متسعة) تمتد للخارج من الوعاء نفسه بعدة بوصات لتتوافق مع الوصف الوارد في النسخة القياسية الجديدة المنقحة ( NRSV). ^[⁶⁷^] في الآيات التالية، وُصفت الحافة بأنها "سمكها شبر، وحافتها مصنوعة كحافة الكأس، كزهرة الزنبق: استقبلت واحتوت ثلاثة آلاف باث" (NRSV) ، مما يوحي بشكل يمكن أن يُحيط به خيط أقصر من الطول الإجمالي للحافة، مثل زهرة الزنبق أو فنجان الشاي .

تطوير صيغ فعالة

تقريب المضلع إلى دائرة

ابتكر أرخميدس، في كتابه "قياس الدائرة" ، أول خوارزمية لحساب $π$ ، مستندًا إلى فكرة أن محيط أي مضلع (محدب) مرسوم داخل دائرة أصغر من محيط الدائرة، والذي بدوره أصغر من محيط أي مضلع محيط بها. بدأ أرخميدس بالسداسيات المنتظمة المرسومة داخل الدائرة والمحاطة بها، والتي يسهل تحديد محيطاتها. ثم بيّن كيفية حساب محيطات المضلعات المنتظمة ذات ضعف عدد الأضلاع، سواء كانت مرسومة داخل الدائرة أو محيطة بها. هذه عملية تكرارية يمكن وصفها اليوم كما يلي: لنفترض أن $p<sub> k</sub>$ و $P<sub> k</sub>$ يمثلان محيطي المضلعات المنتظمة ذات $k$ ضلع، المرسومة داخل الدائرة والمحاطة بها، على التوالي.

P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.

يستخدم أرخميدس هذا لحساب القيم التالية على التوالي: $P 12 ، p 12 ، P 24 ، p 24 ، P 48 ، p 48 ، P 96،$ و p $96. [$ ^{68 ] وباستخدام} هذه القيم الأخيرة، يحصل على

3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.

لا يُعرف سبب توقف أرخميدس عند مضلع ذي 96 ضلعًا؛ فالأمر لا يتطلب سوى الصبر لتوسيع نطاق الحسابات. يذكر هيرون في كتابه "المقاييس" (حوالي عام 60 ميلاديًا) أن أرخميدس واصل الحساب في كتاب مفقود الآن، لكنه ينسب إليه قيمة غير صحيحة. ^{[ 69 ]}

لم يستخدم أرخميدس حساب المثلثات في هذه العملية الحسابية، وتكمن صعوبة تطبيق هذه الطريقة في الحصول على تقريبات جيدة للجذور التربيعية المعنية. وربما استخدم كلاوديوس بطليموس الإسكندري حساب المثلثات، في صورة جدول لأطوال الأوتار في الدائرة، للحصول على قيمة $π$ الواردة في كتاب المجسطي (حوالي عام 150 ميلادي). ^{[ 70 ]}

أُحرزت تطورات في تقريب قيمة $π$ (عند معرفة الطرق) بزيادة عدد أضلاع المضلعات المستخدمة في الحساب. وقد حقق تحسينٌ مثلثيٌّ أجراه ويليبرورد سنيل (1621) حدودًا أفضل من زوج من الحدود المستمدة من طريقة المضلعات. وبالتالي، تم الحصول على نتائج أكثر دقة من المضلعات ذات الأضلاع الأقل. ^{[ 71 ]} أما صيغة فييت ، التي نشرها فرانسوا فييت عام 1593، فقد اشتقها فييت باستخدام طريقة مضلعات وثيقة الصلة، ولكن مع مساحات المضلعات التي تكون أضلاعها قوى للعدد اثنين، بدلًا من محيطاتها. ^{[ 72 ]}

أُجريت آخر محاولة رئيسية لحساب $π بهذه الطريقة بواسطة غرينبرغر في عام 1630، حيث قام بحساب 39 منزلة عشرية من$ $π$ باستخدام تحسين سنيل. ^{[ 71 ]}

تركيبة تشبه الآلة

لإجراء حسابات سريعة، يمكن استخدام صيغ مثل صيغة ماشين :

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

بالإضافة إلى متسلسلة تايلور لتوسيع الدالة arctan ( x ). ويمكن التحقق من هذه الصيغة بسهولة باستخدام الإحداثيات القطبية للأعداد المركبة ، مما ينتج عنه:

$(5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).$

(( $x$ ),( $y$ ) = {239, 13 ² } هو حل لمعادلة بيل $x$ ² − 2 $y$ ² = −1.)

تُعرف هذه الصيغ باسم الصيغ الشبيهة بصيغة ماشين . وقد استُخدمت صيغة ماشين تحديدًا حتى عصر الحوسبة لحساب أعداد قياسية من أرقام $π$ ، ^{[ 40 ]} ولكن في الآونة الأخيرة، استُخدمت صيغ أخرى مماثلة أيضًا.

على سبيل المثال، استخدم شانكس وفريقه الصيغة التالية الشبيهة بصيغة ماشين في عام 1961 لحساب أول 100000 رقم من $π$ : ^{[ 40 ]}

{\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}

واستخدموا صيغة أخرى مشابهة لصيغة ماشين.

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}

كإجراء للتحقق.

بلغ الرقم القياسي المسجل حتى ديسمبر 2002، والذي سجله ياسوماسا كانادا من جامعة طوكيو، 1,241,100,000,000 رقم. وقد استُخدمت الصيغ التالية المشابهة لصيغة ماشين لتحقيق ذلك:

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

ك. تاكانو (1982).

{\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}

FCM Størmer (1896).

صيغ كلاسيكية أخرى

تتضمن الصيغ الأخرى التي تم استخدامها لحساب تقديرات $π$ ما يلي:

ليو هوي (انظر أيضًا صيغة فييت ):

{\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.14159046323.\end{aligned}}

مادهافا :

\pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)

تحويل التقارب لنيوتن / أويلر: ^{[ 73 ]}

{\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}

حيث

m!!

هو المضروب المزدوج ، وهو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة حتى

m

بنفس الزوجية .

أويلر :

{\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}

(تم التقييم باستخدام السلسلة السابقة لدالة

الظل العكسي.

)

رامانوجان :

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

ديفيد تشودنوفسكي وجريجوري تشودنوفسكي :

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}

يُعد عمل رامانوجان أساسًا لخوارزمية تشودنوفسكي ، وهي أسرع الخوارزميات المستخدمة، اعتبارًا من مطلع الألفية، لحساب $π$ .

الخوارزميات الحديثة

تُحسب عادةً المتسلسلات العشرية الطويلة جدًا للعدد $π باستخدام صيغ تكرارية مثل$ خوارزمية جاوس-ليجندر وخوارزمية بورواين . وتتميز الأخيرة، التي اكتشفها جوناثان وبيتر بورواين عام 1985 ، بتقاربها السريع للغاية.

ل $y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}$ و

y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})

أين $f(y)=(1-y^{4})^{1/4}$ ، التسلسل $1/a_{k}$ يتقارب المتسلسلة من الدرجة الرابعة إلى $π$ ، مما ينتج عنه حوالي 100 رقم في ثلاث خطوات وأكثر من تريليون رقم بعد 20 خطوة. على الرغم من أن متسلسلة تشودنوفسكي تتقارب خطيًا فقط، إلا أن خوارزمية تشودنوفسكي قد تكون أسرع من الخوارزميات التكرارية عمليًا؛ ويعتمد ذلك على عوامل تقنية مثل أحجام الذاكرة وأوقات الوصول . ^{[ 74 ]} ولتحطيم الأرقام القياسية العالمية، تُستخدم الخوارزميات التكرارية بشكل أقل شيوعًا من خوارزمية تشودنوفسكي نظرًا لاستهلاكها الكبير للذاكرة.

تتوفر أول مليون رقم من $π$ و 1 / $π$ من مشروع غوتنبرغ . ^[⁷⁵^]^[⁷⁶^] وكان الرقم القياسي السابق للحساب (ديسمبر 2002) قد سجله ياسوماسا كانادا من جامعة طوكيو ، حيث بلغ 1.24 تريليون رقم، وقد تم حسابها في سبتمبر 2002 على حاسوب هيتاشي فائق مكون من 64 عقدة وذاكرة رئيسية سعتها 1 تيرابايت، والذي يُجري 2 تريليون عملية في الثانية، أي ما يقرب من ضعف عدد العمليات التي أجراها الحاسوب المستخدم في الرقم القياسي السابق (206 مليار رقم). وقد استُخدمت الصيغ التالية المشابهة لصيغة ماشين في هذا الحساب:

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

( كيكو تاكانو (1982))

{\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}

( إف. سي. إم. ستورمر (1896)).

تحتوي هذه التقريبات على عدد هائل من الأرقام لدرجة أنها لم تعد ذات فائدة عملية، باستثناء اختبار الحواسيب العملاقة الجديدة. ^{[ 77 ]} ستعتمد خصائص مثل احتمالية كون $π$ طبيعية دائمًا على سلسلة الأرقام اللانهائية في النهاية، وليس على أي عملية حسابية محدودة.

تقديرات متنوعة

بالإضافة إلى الصيغ والتقريبات مثل ${\tfrac {22}{7}}$ و ${\tfrac {355}{113}}$ كما هو موضح في موضع آخر من هذه المقالة، تم استخدام التعبيرات التالية لتقدير $π$ :

دقة تصل إلى ثلاثة أرقام: ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}.$ افترض كارل بوبر أن أفلاطون كان على دراية بهذا التعبير، وأنه كان يعتقد أنه يساوي $π$ بالضبط ، وأن هذا هو السبب في ثقة أفلاطون في القوة الشاملة للهندسة، وفي مناقشته المتكررة للمثلثات القائمة الخاصة التي تكون إما متساوية الساقين أو أنصاف مثلثات متساوية الأضلاع . ^{[ 78 ]}
دقة تصل إلى أربعة أرقام: $1+e-\gamma =3.1410^{+},$ أين $e$ هو الأساس اللوغاريتمي الطبيعي و $\gamma$ هو ثابت أويلر ، و ^{[ 79 ]} ${\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}.$
دقة تصل إلى أربعة أرقام (أو خمسة أرقام معنوية ): ^{[ 80 ]} ${\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}.$
تقريب من قبل رامانوجان ، دقيق إلى 4 أرقام (أو خمسة أرقام معنوية): ^{[ 81 ]} ${\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}.$
دقة تصل إلى خمسة أرقام: ${\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+},$ ${\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+},$ و(بقلم كوتشانسكي ) ${\sqrt {{40 \over 3}-2{\sqrt {3}}\ }}=3.14153^{+}.$
دقة تصل إلى ستة أرقام: ^{[ 82 ]} $\left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}.$
دقة تصل إلى ثمانية أرقام:

\left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}

^{[ 83 ]}

هذه هي الحالة التي لا يمكن الحصول عليها من تقريب رامانوجان (22). ^{[ 81 ]}

دقة تصل إلى تسعة أرقام:

{\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}

هذا من رامانوجان ، الذي زعم أن إلهة ناماجيري ظهرت له في المنام وأخبرته بالقيمة الحقيقية لـ

π

. من ناحية أخرى، يصف أيضًا طريقة للحصول على هذا التقريب من خلال بناء هندسي ذكي. ^{[ 81 ]}

بدقة تصل إلى عشرة أرقام (أو أحد عشر رقماً معنوياً): ${\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}$ يتبع هذا التقريب الملاحظة التي تفيد بأن القوة 193 لـ 1/ $π$ تعطي المتتالية 1122211125... استبدال 5 بـ 2 يكمل التناظر دون تقليل الأرقام الصحيحة لـ $π ، بينما إدخال فاصلة عشرية مركزية يثبت بشكل$ ^ملحوظ المقدار المصاحب عند ^10100.^[⁸⁴ ]
بدقة تصل إلى 12 منزلة عشرية:

\left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89^{+}

يتم الحصول على هذا من سلسلة تشودنوفسكي (

قم

بحذف السلسلة (1.4) ^{[ 85 ]} عند الحد الأول ودع

E6 (τ163) 2 / E4 (τ163) 3 = 151931373056001/151931373056000

≈ 1).

دقة تصل إلى 16 رقمًا:

{\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 9^{+}

- معكوس مجموع الحدين الأولين من متسلسلة رامانوجان.

{\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 4^{+}

دقة تصل إلى 18 رقمًا:

\left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2387^{+}

هذا هو التقريب (22) في ورقة رامانوجان ^{[ 81 ]} مع

n

= 253.

دقة تصل إلى 19 رقمًا:

{\frac {3949122332{\sqrt {2}}}{1777729635}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2382^{+}

- معكوس محسّن لمجموع الحدين الأولين من متسلسلة رامانوجان.

دقة تصل إلى 24 رقمًا:

{\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 2649^{+}

- معكوس مجموع الحدود الثلاثة الأولى من متسلسلة رامانوجان.

بدقة تصل إلى 25 منزلة عشرية:

{\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 9^{+}

هذا مشتق من ثابت فئة رامانوجان

g 100 = 2 5/8 /(5 1/4 - 1)

. ^{[ 81 ]}

بدقة تصل إلى 31 منزلة عشرية:

1.8656436928143307\times 1.6839188885261840=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}

يتناسب المضاعف والمضروب مع أرقام الفاصلة العائمة ذات الدقة المزدوجة IEEE 754 ، لاستخدامها مع وظائف FMA .

بدقة تصل إلى 32 منزلة عشرية:

{\frac {24111373508318876}{7674888557167847}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279\ 5^{+}

يتناسب البسط والمقام مع أرقام الفاصلة العائمة ذات الدقة المزدوجة وفقًا لمعيار IEEE 754 .

بدقة تصل إلى 30 منزلة عشرية:

{\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}

مشتق من قرب ثابت رامانوجان من العدد الصحيح 640320 ³ +744. هذا لا يسمح بتعميمات واضحة في الأعداد الصحيحة، لأنه لا يوجد سوى عدد محدود من أعداد هيجنر والمميزات السالبة d ذات رقم الفئة h (− d ) = 1، و d = 163 هو الأكبر من حيث القيمة المطلقة .

التوافقي الثاني للأعلى، بدقة تصل إلى 42 منزلة عشرية:

{\frac {\ln((640320^{3}+744)^{2}-393768)}{2{\sqrt {163}}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279\ 50288\ 41971\ 69^{+}

بدقة تصل إلى 52 منزلة عشرية:

{\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}

كما هو الحال في المثال أعلاه، فإن هذا نتيجة لخاصية j الثابتة . ومن بين المميزات السلبية ذات رقم الفئة 2، فإن هذه الخاصية هي الأكبر من حيث القيمة المطلقة.

بدقة تصل إلى 52 منزلة عشرية:

{\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}

^{هذا مستمد من ثابت فئة} رامانوجان

G 385.

[ ^{81 ]}

التوافقي الثالث لثابت رامانوجان، بدقة تصل إلى 60 منزلة عشرية:

{\frac {\ln((640320^{3}+744)^{3}-206777679108482908708720251060018649)}{3{\sqrt {163}}}}=

3.1415\ 9265\ 3589\ 7932\ 3846\ 2643\ 3832\ 7950\ 2884\ 1971\ 6939\ 9375\ 1058\ 2097\ 4944\ 6^{+}

بدقة تصل إلى 161 منزلة عشرية:

{\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}

حيث u هو ناتج ضرب أربع وحدات رباعية بسيطة،

u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})

و،

{\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}

استنادًا إلى واحدة وجدها دانيال شانكس . وهي مشابهة للحالتين السابقتين، ولكن هذه المرة هي خارج قسمة شكل نمطي ، وتحديدًا دالة إيتا لديديكيند ، حيث يتضمن الوسيط

\tau ={\sqrt {-3502}}

. المميز d = 3502 له h (− d ) = 16.

دقة تصل إلى 256 رقمًا:

{\frac {15261343909396942111177730086852826352374060766771618308167575028500999}{48590509502030754798379641288876701245663220023884870402810360529259}}...

...{\frac {551152789881364457516133280872003443353677807669620554743{\sqrt {10005}}}{3134188302895457201473978137944378665098227220269702217081111}}

- معكوس محسّن لمجموع أول تسعة عشر حدًا من متسلسلة تشودنوفسكي.

يمكن استخدام تمثيل الكسر المستمر للعدد $π$ لتوليد أفضل التقريبات الكسرية المتتالية . هذه التقريبات هي أفضل التقريبات الكسرية الممكنة للعدد $π$ نسبةً إلى حجم مقاماتها. فيما يلي قائمة بأول ثلاثة عشر منها: ^{[ 86 ]}^{[ 87 ]}

{\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}

من بين هذه،

{\frac {355}{113}}

هو الكسر الوحيد في هذه المتتالية الذي يُعطي أرقامًا أكثر دقة لـ

π

(أي 7) من عدد الأرقام اللازمة لتقريبه (أي 6). يمكن تحسين الدقة باستخدام كسور أخرى ذات بسط ومقام أكبر، ولكن بالنسبة لمعظم هذه الكسور، يتطلب التقريب عددًا من الأرقام أكثر من عدد الأرقام المعنوية الصحيحة التي يتم الحصول عليها في النتيجة. ^{[ 88 ]}

جمع مساحة الدائرة

يمكن الحصول على قيمة باي (π) من دائرة إذا كان نصف قطرها ومساحتها معروفين باستخدام العلاقة التالية:

A=\pi r^{2}.

إذا رُسمت دائرة نصف قطرها $r$ ومركزها النقطة $(0, 0)$ ، فإن أي نقطة تبعد عن مركز الدائرة مسافة أقل من $r$ تقع داخلها. تنص نظرية فيثاغورس على أن المسافة من أي نقطة $(x, y)$ إلى مركز الدائرة هي:

d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

تُشكّل "ورقة الرسم البياني" الرياضية بتخيّل مربع 1×1 متمركز حول كل خلية $(x, y)$ ، حيث $x$ و $y$ عددان صحيحان بين $-r$ و $r$ . ويمكن بعد ذلك عدّ المربعات التي يقع مركزها داخل الدائرة أو على حدودها تمامًا عن طريق اختبار ما إذا كان، لكل خلية $(x, y)$ ،

{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.

وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للخلايا التي تحقق هذا الشرط يقارب مساحة الدائرة، والتي يمكن استخدامها بعد ذلك لحساب قيمة تقريبية لـ $π$ . ويمكن الحصول على تقريبات أدق باستخدام قيم أكبر لـ $r$ .

رياضياً، يمكن كتابة هذه الصيغة على النحو التالي:

\pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}

بمعنى آخر، ابدأ باختيار قيمة لـ $r$ . ضع في اعتبارك جميع الخلايا ( $x$ , $y$ ) التي يكون فيها كل من $x$ و $y عددًا صحيحًا بين$ $-r$ و $r$ . بدءًا من 0، أضف 1 لكل خلية تبعد مسافة أقل من أو تساوي $r عن نقطة الأصل$ $(0, 0)$ . عند الانتهاء، اقسم المجموع، الذي يمثل مساحة دائرة نصف قطرها $r$ ، على $r²$ لإيجاد قيمة تقريبية لـ $π$ . على سبيل المثال، إذا كانت $r$ ^تساوي 5، فإن الخلايا التي تم أخذها في الاعتبار هي:

(−5,5)	(−4,5)	(-3,5)	(-2,5)	(-1,5)	(0.5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(-3,4)	(-2,4)	(-1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(-2,3)	(-1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(-1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(-2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5,−1)	(−4,−1)	(−3,−1)	(−2,−1)	(−1,−1)	(0,−1)	(1، -1)	(2، -1)	(3، -1)	(4، -1)	(5، -1)
(−5,−2)	(−4,−2)	(−3,−2)	(−2,−2)	(-1، -2)	(0,−2)	(1، -2)	(2، -2)	(3، -2)	(4، -2)	(5، -2)
(−5,−3)	(−4,−3)	(−3,−3)	(−2,−3)	(−1,−3)	(0,−3)	(1، -3)	(2، -3)	(3، -3)	(4، -3)	(5، -3)
(−5,−4)	(−4,−4)	(−3,−4)	(−2,−4)	(−1,−4)	(0,−4)	(1، -4)	(2، -4)	(3، -4)	(4، -4)	(5، -4)
(−5,−5)	(−4,−5)	(−3,−5)	(−2,−5)	(-1، -5)	(0,−5)	(1، -5)	(2، -5)	(3، -5)	(4، -5)	(5، -5)

هذه الدائرة كما لو كانت مرسومة على مخطط إحداثيات ديكارتية . تم تسمية الخليتين $(\pm3، \pm4)$ و $(\pm4، \pm3) .$

تقع الخلايا الـ 12 (0، ±5)، (±5، 0)، (±3، ±4)، (±4، ±3) تمامًا على الدائرة، بينما تقع 69 خلية داخلها بالكامل ، لذا فإن المساحة التقريبية هي 81، وقيمة $π$ المحسوبة تساوي تقريبًا 3.24 لأن 81 / 5² = ^3.24 . تُعرض نتائج بعض قيم $r$ في الجدول أدناه: ^{[ 89 ]}

ر	منطقة	تقريب $π$
2	13	3.25
3	29	3.22222
4	49	3.0625
5	81	3.24
10	317	3.17
20	1257	3.1425
100	31417	3.1417
1000	3141549	3.141549

وبالمثل، فإن التقريبات الأكثر تعقيدًا لـ $π$ الواردة أدناه تتضمن حسابات متكررة من نوع ما، مما يؤدي إلى تقريبات أقرب فأقرب مع زيادة عدد الحسابات.

الكسور المستمرة

إلى جانب تمثيلها البسيط للكسر المستمر [3؛ 7، 15، 1، 292، 1، 1، ...]، والذي لا يُظهر نمطًا واضحًا، فإن $π$ لها العديد من تمثيلات الكسر المستمر المعممة التي يتم إنشاؤها بواسطة قاعدة بسيطة، بما في ذلك هذين التمثيلين.

\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}

\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}

يمكن التعبير عن الجزء المتبقي من متسلسلة مادهافا-لايبنيز ككسر مستمر معمّم على النحو التالي. ^{[ 90 ]}

\pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )

لاحظ أن مصطلح التصحيح الذي وضعه مادهافا هو

{\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}

.

القيم المعروفة ⁠ 22 / 7 ⁠ و ⁠ 355 / 113 ⁠ هي على التوالي التقريب الثاني والرابع للكسور المستمرة لـ π. ^[⁹¹^]

علم المثلثات

سلسلة غريغوري-لايبنيتز

سلسلة غريغوري -لايبنيتز

\pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)

هي متسلسلة قوى لدالة arctan (x) مُخصصة لـ $x$ = 1. تتقارب ببطء شديد بحيث لا تكون ذات أهمية عملية. ومع ذلك، تتقارب متسلسلة القوى بشكل أسرع بكثير للقيم الأصغر لـ $x$ مما يؤدي إلى صيغ حيث $\pi$ ينشأ كمجموع زوايا صغيرة ذات مماسات نسبية، والمعروفة باسم الصيغ الشبيهة بصيغة ماشين .

أركتانجنت

بمعرفة أن 4 arctan 1 = $π$ ، يمكن تبسيط الصيغة للحصول على:

{\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}

بتقارب بحيث ينتج عن كل 10 حدود إضافية ثلاثة أرقام إضافية على الأقل.

\pi =2+{\frac {1}{3}}\left(2+{\frac {2}{5}}\left(2+{\frac {3}{7}}\left(2+\cdots \right)\right)\right)

تُعد هذه السلسلة أساسًا لخوارزمية الصنبور العشري التي وضعها رابينوفيتز وواغون. ^{[ 92 ]}

صيغة أخرى لـ $\pi$ يتم إعطاء الدالة التي تتضمن دالة الظل العكسي بواسطة

{\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,

أين $a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}$ بحيث $a_{1}={\sqrt {2}}$ يمكن إجراء التقريبات باستخدام، على سبيل المثال، صيغة أويلر سريعة التقارب ^{[ 93 ]}

\arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.

بدلاً من ذلك، يمكن استخدام سلسلة التوسع البسيطة التالية لدالة الظل العكسي

\arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},

أين

{\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}

لتقريب $\pi$ مع تقارب أسرع. التقارب في صيغة الظل العكسي هذه لـ $\pi$ يتحسن مع زيادة العدد الصحيح $k$ يزداد.

الثابت $\pi$ ويمكن التعبير عنها أيضاً بمجموع لانهائي من دوال الظل العكسي كما يلي:

{\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots

و

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},

أين $F_{n}$ هو العدد النوني في متتالية فيبوناتشي . ومع ذلك، فإن هاتين الصيغتين لـ $\pi$ تكون عملية التقارب أبطأ بكثير بسبب مجموعة دوال الظل العكسي التي تدخل في الحساب.

جيب الزاوية

ملاحظة المثلث المتساوي الأضلاع وملاحظة أن

\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}

العائد

{\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}

بتقارب بحيث ينتج عن كل خمسة حدود إضافية ثلاثة أرقام إضافية على الأقل.

طرق استخراج الأرقام

تم اكتشاف صيغة بيلي-بورواين-بلوف (BBP) لحساب π في عام 1995 على يد سيمون بلوف. باستخدام خوارزمية الصنبور ، $تستطيع$ الصيغة حساب أي رقم محدد من أرقام $π$ في النظام الست عشري - مع إرجاع القيمة الست عشرية لهذا الرقم - دون حساب الأرقام الفاصلة. ^[⁹⁴^]

\pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}

في عام ١٩٩٦، ابتكر بلوف خوارزمية لاستخراج الرقم العشري رقم $n من العدد$ $π$ (باستخدام العمليات الحسابية العشرية لاستخراج رقم من النظام العشري)، وتتميز هذه الخوارزمية بسرعة محسّنة تبلغ $O (n³ (log n) ³) . لا تتطلب الخوارزمية ذاكرة لتخزين نتيجة كاملة مكونة من$ n رقمًا، لذا يمكن نظريًا حساب الرقم المليون من $π باستخدام آلة حاسبة جيبية.$ ^{[ ٩٥ ]} (مع ذلك، سيكون ذلك شاقًا وغير عملي).

\pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}

تم تحسين سرعة حساب صيغة بلوف إلى $O (n 2)$ بواسطة فابريس بيلارد ، الذي اشتق صيغة بديلة (وإن كانت فقط في الرياضيات ذات الأساس 2) لحساب $π$ . ^{[ 96 ]}

\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)

أساليب فعالة

قام عالم الرياضيات الهندي سرينيفاسا رامانوجان بتطوير ونشر العديد من الصيغ الأخرى للعدد $π$ . وقد عمل مع عالم الرياضيات جودفري هارولد هاردي في إنجلترا لعدة سنوات.

يتم عادةً حساب التوسعات العشرية الطويلة للغاية لـ $π باستخدام$ خوارزمية Gauss–Legendre وخوارزمية Borwein ؛ كما تم استخدام خوارزمية Salamin–Brent التي تم اختراعها في عام 1976.

في عام 1997، نشر ديفيد إتش. بيلي وبيتر بورواين وسيمون بلوف ورقة بحثية (بيلي، 1997) حول صيغة جديدة لـ $π$ كسلسلة لانهائية :

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).

تُمكّن هذه الصيغة من حساب الرقم الثنائي أو الست عشري رقم k من العدد $π$ بسهولة نسبية ، دون الحاجة إلى حساب الأرقام k − 1 السابقة. يحتوي موقع بيلي الإلكتروني ^[⁹⁷^] على الاشتقاق بالإضافة إلى تطبيقات بلغات برمجة مختلفة . وقد قام مشروع PiHex بحساب 64 بتًا حول البت رقم كوادريليون من $π$ (والذي تبين أنه يساوي 0).

قام فابريس بيلارد بتحسين BBP بشكل أكبر من خلال تركيبته : ^{[ 98 ]}

\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)

تتضمن الصيغ الأخرى التي تم استخدامها لحساب تقديرات $π$ ما يلي:

{\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)

نيوتن .

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

سرينيفاسا رامانوجان .

يتقارب هذا بسرعة فائقة. ويُعدّ عمل رامانوجان أساسًا لأسرع الخوارزميات المستخدمة، مع مطلع الألفية، لحساب $π$ .

في عام 1988، وجد ديفيد تشودنوفسكي وغريغوري تشودنوفسكي سلسلة متقاربة بشكل أسرع ( خوارزمية تشودنوفسكي ):

{\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}

.

يوضح الجدول أدناه سرعة خوارزميات مختلفة لحساب قيمة باي (π) بدقة n رقمًا، مرتبة تنازليًا حسب التعقيد التقاربي. يمثل M(n) تعقيد خوارزمية الضرب المستخدمة.

الخوارزمية	سنة	التعقيد الزمني أو السرعة
خوارزمية جاوس-ليجندر	1975	$O(M(n)\log(n))$ ^{[ 74 ]}
خوارزمية تشودنوفسكي	1988	$O(n\log(n)^{3})$ ^{[ 48 ]}
التقسيم الثنائي لسلسلة arctan في صيغة ماشين		$O(M(n)(\log n)^{2})$ ^{[ 74 ]}
صيغة لايبنيز لـ π	القرن الرابع عشر	تقارب شبه خطي. خمسة مليارات حد لعشرة منازل عشرية صحيحة

المشاريع

باي سداسي عشري

كان مشروع Pi Hex يهدف إلى حساب ثلاثة أرقام ثنائية محددة من العدد $π$ باستخدام شبكة موزعة تضم مئات الحواسيب. في عام 2000، وبعد عامين، أنجز المشروع حساب الأرقام الخمسة تريليون (5 × 10¹² ⁾ ، والأربعين تريليون (40 × 10¹² ⁾ ، والكوادريليون ( ^10¹⁵ ). وكانت جميعها تساوي صفرًا في النظام الثنائي.

برنامج لحساب $π$

على مر السنين، تم كتابة العديد من البرامج لحساب قيمة $π$ إلى العديد من الأرقام على أجهزة الكمبيوتر الشخصية .

إعلان عام

تستطيع معظم أنظمة الجبر الحاسوبية حساب قيمة $π$ وغيرها من الثوابت الرياضية الشائعة بأي دقة مطلوبة.

كما تم تضمين وظائف لحساب $π في العديد من$ المكتبات العامة للحسابات ذات الدقة التعسفية ، على سبيل المثال مكتبة الفئات للأرقام و MPFR و SymPy .

غرض خاص

قد تتمتع البرامج المصممة لحساب قيمة $π$ بأداء أفضل من برامج الرياضيات العامة. فهي عادةً ما تستخدم تقنية حفظ البيانات عند نقطة معينة وتبديل القرص بكفاءة لتسهيل العمليات الحسابية الطويلة جدًا والتي تتطلب ذاكرة كبيرة.

برنامج TachusPi من تأليف فابريس بيلارد ^{[ 99 ]} هو البرنامج الذي استخدمه بنفسه لحساب الرقم القياسي العالمي لعدد أرقام باي في عام 2009.
$برنامج y$ -cruncherمن تطوير ألكسندر يي^{[ 48 ]} هو البرنامج الذي استخدمه جميع حاملي الأرقام القياسية العالمية منذ شيغيرو كوندو في عام 2010 لحسابالأرقام القياسية العالمية. $y$ -cruncher لحساب ثوابت أخرى، ويحمل أرقامًا قياسية عالمية في العديد منها.
كان برنامج PiFast، $من تطوير كزافييه غوردون$ $،$ أسرع برنامج لنظام مايكروسوفت ويندوز عام 2003. ووفقًا لمطوره، يستطيع البرنامج حساب مليون رقم في 3.5 ثانية على معالج بنتيوم 4 بسرعة 2.4 جيجاهرتز . ^[¹⁰⁰^] كما يستطيع PiFast حساب أعداد غير نسبية أخرى مثل $e$ و√2 . ويمكنه أيضًا العمل بكفاءة أقل مع ذاكرة محدودة جدًا (تصل إلى بضع عشرات من الميغابايتات لحساب أكثر من مليار رقم (10⁹ ⁾ ). يُعد هذا البرنامج معيارًا شائعًا في مجتمع كسر سرعة المعالج . يتوفر PiFast 4.4 على صفحة ستو الخاصة بـ Pi ، بينما يتوفر PiFast 4.3 على صفحة غوردون.
برنامج QuickPi من تطوير ستيف باجليارولو لنظام ويندوز أسرع من برنامج PiFast في عمليات حساب الأعداد التي تقل عن 400 مليون رقم. الإصدار 4.5 متوفر على صفحة ستو الخاصة بحساب باي (المذكورة أدناه). وكما هو الحال مع PiFast، يستطيع QuickPi حساب أعداد غير نسبية أخرى مثل $e و\sqrt2$ $و\sqrt3$ $.$ يمكن الحصول $على$ البرنامج من منتدى Pi-Hacks على ياهو، أو من $صفحة$ ستو الخاصة بحساب باي .
برنامج Super PI، من تطوير مختبر كانادا^{[ 101 ]} بجامعة طوكيو، هو برنامج يعمل على نظام التشغيل مايكروسوفت ويندوز، ويُجري عمليات حسابية تتراوح بين 16,000 و33,550,000 رقم. يستطيع البرنامج حساب مليون رقم في 40 دقيقة، ومليوني رقم في 90 دقيقة، وأربعة ملايين رقم في 220 دقيقة على معالج بنتيوم بسرعة 90 ميجاهرتز. يتوفر الإصدار 1.9 من Super PI على صفحة Super PI 1.9 .

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 3 4 هايز، برايان (سبتمبر 2014). "القلم والورقة وباي" . مجلة ساينتست الأمريكية . المجلد 102، العدد 5. ص 342. doi : 10.1511/2014.110.342 .
1 2 أوبراين، كيفن (11 ديسمبر 2025). "موقع StorageReview يسجل رقماً قياسياً جديداً في عدد الأرقام: 314 تريليون رقم على خادم Dell PowerEdge R7725" . StorageReview . تاريخ الاسترجاع: 18 ديسمبر 2025 .
↑ بيتري، دبليو إم إف (1940). حكمة المصريين .
↑ فيرنر، ميروسلاف (2001) [1997]. الأهرامات: لغز وثقافة وعلم الآثار العظيمة في مصر . دار غروف للنشر . ISBN 978-0-8021-3935-1. استنادًا إلى الهرم الأكبر في الجيزة ، والذي يُفترض أنه بُني بحيث يكون محيط الدائرة التي يساوي نصف قطرها ارتفاع الهرم مساويًا لمحيط القاعدة (يبلغ محيطها 1760 ذراعًا وارتفاعها 280 ذراعًا).
1 2 روسي (2007). العمارة والرياضيات في مصر القديمة . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-69053-9.
↑ ليجون، جيه إيه آر (1991). حول أبعاد الأهرامات ونسبها . مناقشات في علم المصريات. المجلد 20. الصفحات 25-34 . مؤرشف من الأصل في 18 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه في 7 يونيو 2011 .
↑ انظر #القيمة الكتابية المنسوبة . بيكمان 1971 "كان هناك قلق بشأن البيان الكتابي الظاهر لـ $π$ ≈ 3 منذ العصور المبكرة لليهودية الحاخامية ، والذي تناوله الحاخام نحميا في القرن الثاني."
↑ رومانو، ديفيد جيلمان (1993). ألعاب القوى والرياضيات في كورنث القديمة: أصول الملعب اليوناني . الجمعية الفلسفية الأمريكية . ص 78. ISBN 978-0871692061. مجموعة من الألواح الطينية الرياضية من العصر البابلي القديم، التي تم التنقيب عنها في سوسة عام 1936، ونشرها إي إم بروينز عام 1950، توفر المعلومات التي تفيد بأن التقريب البابلي لـ $π$ كان 3 1/8 أو 3.125.
^ بروينز ، م (1950). "Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse" (PDF) .
^ بروينز، م. روتن، م. (1961). نصوص رياضية في سوس . مذكرات البعثة الأثرية في إيران. المجلد. الرابع والثلاثون.
↑ انظر أيضًا Beckmann 1971 ، الصفحات 12، 21-22 "في عام 1936، تم اكتشاف لوح على بعد حوالي 200 ميل من بابل.... اللوح المذكور، الذي نُشرت ترجمته جزئيًا فقط في عام 1950،... ينص على أن نسبة محيط سداسي منتظم إلى محيط الدائرة المحيطة به تساوي عددًا يُعطى في التدوين الحديث بالصيغة 57/60+36/(60)² [أي $π$ = 3/0.96 = 25/8]".
↑ إمهاوزن، أنيت (2007). كاتز، فيكتور ج. (محرر). رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مصادر . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 978-0-691-11485-9.
↑ تشايتانيا، كريشنا. لمحة عن الثقافة الهندية. شركة الكتب الهندية (1975). ص 133.
^ جادهاف ، ديباك (1 يناير 2018). "حول القيمة المضمنة في البيانات المشار إليها في Mahabhārata لـ π" . Vidyottama Sanatana: المجلة الدولية للعلوم الهندوسية والدراسات الدينية . 2 (1): 18. دوى : 10.25078/ijhsrs.v2i1.511 . ISSN 2550-0651 . S2CID 146074061 .
↑ داميني، د.ب.؛ أبهيشيك، دار (2020). "كيف أثبت أرخميدس أن π يساوي تقريبًا 22/7". ص 8. arXiv : 2008.07995 [ math.HO ].
↑ لازاروس موديهوي (فبراير 1997). "قصة باي" . زيماثس . مؤرشف من الأصل في 8 يناير 2013.
↑ لام، لاي يونغ؛ أنغ، تيان سي (1986)، "قياسات الدائرة في الصين القديمة"، هيستوريا ماثيماتيكا ، 13 (4): 325-340 ، doi : 10.1016/0315-0860(86)90055-8 ، MR 0875525 أُعيد طبعه في: Berggren, JL; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter, eds. (2004). Pi: A Source Book . Springer. ص 20-35 . ISBN 978-0387205717.. See in particular pp. 333–334 (pp. 28–29 of the reprint).
↑How Aryabhata got the earth's circumference rightArchived 15 January 2017 at the Wayback Machine
↑Āryabhaṭīya (gaṇitapāda 10):
chaturadhikam śatamaṣṭaguṇam dvāśaṣṭistathā sahasrāṇām ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vr̥ttapariṇahaḥ.
"Add four to one hundred, multiply by eight and then add sixty-two thousand. The result is approximately the circumference of a circle of diameter twenty thousand. By this rule the relation of the circumference to diameter is given."
In other words, (4 + 100) × 8 + 62000 is the circumference of a circle with diameter 20000. This provides a value of π ≈ 62832⁄20000 = 3.1416, Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Third ed.). New York: W.H. Freeman and Company. p. 70.
↑"Aryabhata the Elder". University of St Andrews, School of Mathematics and Statistics. Retrieved 20 July 2011.
↑S. Balachandra Rao (1998). Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore: Jnana Deep Publications. ISBN 978-81-7371-205-0.
↑George E. Andrews, Ranjan Roy; Richard Askey (1999). Special Functions. Cambridge University Press. p. 58. ISBN 978-0-521-78988-2.
1 2J J O'Connor and E F Robertson (November 2000). "Madhava of Sangamagramma". MacTutor. University of St. Andrews.
↑Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
↑"Bhāskara II | 12th Century Indian Mathematician & Astronomer | Britannica". www.britannica.com. 1 January 2025. Retrieved 28 February 2025.
↑Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch (1981). "Ghiyath al-din Jamshid Masud al-Kashi (or al-Kashani)". Dictionary of Scientific Biography. Vol. 7. p. 256.
↑J J O'Connor and E F Robertson (July 1999). "Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi". MacTutor. University of St. Andrews.
↑ أزاريان، محمد ك. (2010). "الرسالة المحاذية: ملخص" . مجلة ميسوري للعلوم الرياضية . 22 (2): 64-85 . doi : 10.35834/mjms/1312233136 .
↑ كابرا، ب. "أرقام باي" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2018 .
↑ تشاكرابارتي، جوبال؛ هدسون، ريتشارد (2003). "تحسين طريقة أرخميدس لتقريب π" (ملف PDF) . المجلة الدولية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 7 (2): 207-212 .
↑ جونز، ويليام ( 1706). ملخص الرياضيات . لندن: ج. ويل. ص 243 ، 263. توجد طرق أخرى عديدة لإيجاد أطوال أو مساحات خطوط أو مستويات منحنية معينة ، مما قد يُسهّل الممارسة بشكل كبير؛ فعلى سبيل المثال، في الدائرة ، يكون القطر بالنسبة للمحيط بنسبة 1 إلى 1. ${\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=$ $3.14159، و ج. = π$ . هذه السلسلة (من بين سلاسل أخرى لنفس الغرض، ومستمدة من نفس المبدأ) تلقيتها من المحلل المتميز، وصديقي العزيز السيد جون ماشين ؛ وبواسطتها، يمكن فحص رقم فان كولين ، أو الرقم الوارد في المادة 64.38، بكل سهولة وسرعة مرغوبة.
أُعيد طبعه في: سميث، ديفيد يوجين (1929). "ويليام جونز: أول استخدام لـ $π$ لنسبة الدائرة" . كتاب مصادر في الرياضيات . ماكجرو هيل. الصفحات 346-347 .
↑ تويدل، إيان (1991). " جون ماشين وروبرت سيمسون حول متسلسلات الظل العكسي لـ $π$ ". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 42 (1): 1-14 . doi : 10.1007/BF00384331 . JSTOR 41133896. S2CID 121087222 .
^ فيجا، جورج (1795) [1789]. "تحديد نصف محيط دائرة لا يبلغ قطرها $1$ ، ويتم اختبارها من خلال $140$ رقمًا عشريًا" . ملحق. Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae . 11 : 41 - 44.
سانديفر، إدوارد (2006). “لماذا 140 رقمًا من Pi Matter” (PDF) . Jurij baron Vega in njegov čas: Zbornik ob 250-letnici rojstva [ Baron Jurij Vega and His Times: Celebriting 250 Years ] . ليوبليانا: DMFA. رقم ISBN 978-961-6137-98-0LCCN 2008467244. OCLC 448882242. مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 28 أغسطس 2006. تجدر الإشارة إلى أن قيمة فيغا تحتوي على خطأ في الرقم 127. حيث تُظهر فيغا الرقم 4 بدلًا من الرقم 6 ، وجميع الأرقام التي تليه غير صحيحة.
↑ "ما مدى دقة حساب قيمة باي حتى 40 منزلة عشرية؟" . ستاك إكستشينج . 11 مايو 2015.
1 2 فيرغسون، د. ف. (16 مارس 1946). "قيمة π" . مجلة نيتشر . 157 (3985): 342. رمز Bibcode : 1946Natur.157..342F . doi : 10.1038/157342c0 . ISSN 1476-4687 . S2CID 4085398 .
↑ شانكس، ويليام (1853). مساهمات في الرياضيات: تتضمن بشكل رئيسي تصحيح الدائرة إلى 607 خانات عشرية . دار نشر ماكميلان . ص. 8 – عبر أرشيف الإنترنت .
↑ شانكس، ويليام (1873). "خامساً: حول توسيع القيمة العددية لـ π" . وقائع الجمعية الملكية في لندن . 21 ( 139-147 ). منشورات الجمعية الملكية : 318-319 . doi : 10.1098/rspl.1872.0066 . S2CID 120851313 .
↑ "ويليام شانكس (1812-1882) - سيرة ذاتية" . جامعة سانت أندروز . يوليو 2007. تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يناير 2022 .
^ فيرغسون 1946 أ، دوى : 10.2307 / 3608485
1 2 3 4 5 شانكس، د .؛ ورينش، ج. و. الابن (1962). "حساب $π$ حتى 100,000 منزلة عشرية". رياضيات الحساب . 16 (77): 76-99 . doi : 10.2307/2003813 . JSTOR 2003813 .
↑ "إعلان على موقع مختبر كانادا الإلكتروني" . Super-computing.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 12 مارس 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 ديسمبر 2017 .
↑ "سجل حساب باي" .
↑ خريج ماكورميك يحطم رقماً قياسياً جديداً في قيمة باي ( مؤرشف بتاريخ 28 سبتمبر 2011 في أرشيف الإنترنت)
↑ "باي - 5 تريليون رقم" .
↑ غلين (19 أكتوبر 2011). "علوم موجزة ودقيقة: رحلة بحث ملحمية عن العدد باي تسجل رقماً قياسياً بلغ 10 تريليونات رقم" . مجلة نيو ساينتست . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 أبريل 2016 .
↑ يي، ألكسندر جيه؛ كوندو، شيجيرو (22 أكتوبر 2011). "الجولة 2 ... 10 تريليون رقم من باي" .
1 2 يي، ألكسندر جيه؛ كوندو، شيجيرو (28 ديسمبر 2013). "12.1 تريليون رقم من باي" .
1 2 3 4 يي، ألكسندر ج. (2018). "y-cruncher: برنامج باي متعدد الخيوط" . numberworld.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 مارس 2018 .
↑ ترويب، بيتر (30 نوفمبر 2016). "إحصائيات الأرقام لأول 22.4 تريليون رقم عشري من باي". arXiv : 1612.00489 [ math.NT ].
↑ "جوجل كلاود تحطم الرقم القياسي لقيمة باي" . numberworld.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 مارس 2019 .
↑ "عودة سجل باي إلى الحاسوب الشخصي" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 يناير 2020 .
↑ "حساب باي: محاولتي لكسر الرقم القياسي العالمي لباي" . 26 يونيو 2019. تم الاطلاع عليه في 30 يناير 2020 .
↑ "Die FH Graubünden kennt Pi am genauesten – Weltrekord!" . تم الاسترجاع في 31 أغسطس 2021 .
↑ «باحثون سويسريون يحسبون قيمة باي لتصل إلى رقم قياسي جديد يبلغ 62.8 تريليون رقم» . صحيفة الغارديان . 16 أغسطس 2021. تاريخ الاطلاع: 31 أغسطس 2021 .
↑ "المزيد من باي في السماء: حساب 100 تريليون رقم من باي على جوجل كلاود" . منصة جوجل كلاود . 8 يونيو 2022. تم الاطلاع عليه في 10 يونيو 2022 .
↑ يي، ألكسندر ج. (14 مارس 2024). "يقترب من تسجيل رقم قياسي جديد لقيمة باي يبلغ 105 تريليون رقم" . NumberWorld.org . تم الاطلاع عليه في 16 مارس 2024 .
↑ رانوس، جوردان (28 يونيو 2024). "مختبر ستوريدج ريفيو يحطم الرقم القياسي العالمي لحساب باي بأكثر من 202 تريليون رقم" . www.storagereview.com . تاريخ الاطلاع: 2 يوليو 2024 .
↑ "أدق قيمة لـ π" . موسوعة غينيس للأرقام القياسية . مؤرشف من الأصل في 8 مايو 2025. تم الاطلاع عليه في 16 مايو 2025 .
↑ ألان، ريت (18 مارس 2011). "ما هو أفضل تمثيل كسري لـ π؟" . وايرد . تم الاسترجاع في 16 مارس 2020 .
↑ جون د. كوك (22 مايو 2018). "أفضل التقريبات النسبية لـ π" . شركة جون د. كوك للاستشارات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 مارس 2020 .
↑ "تقريبات الكسور المستمرة لـ π" (ملف PDF) . قسم الرياضيات، جامعة إلينوي . مجلس أمناء جامعة إلينوي. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 23 يناير 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 مارس 2020 .
↑ هالربرغ، آرثر إي. (1977). "دائرة إنديانا المربعة". مجلة الرياضيات . 50 (3): 136-140 . doi : 10.1080/0025570X.1977.11976632 .
^ تسابان، بوعز؛ جاربر ، ديفيد (فبراير 1998). “على التقريب الحاخامي لـ $π$ “ (PDF) . تاريخ الرياضيات . 25 (1): 75-84 . دوى : 10.1006/hmat.1997.2185 . ISSN 0315-0860 . تم الاسترجاع 14 يوليو 2009 .
↑ ويلبر ريتشارد كنور ، التقاليد القديمة للمسائل الهندسية ، نيويورك: منشورات دوفر، 1993.
↑ أليف، هـ. بيتر. "قصص الخلق القديمة كما ترويها الأرقام: باي سليمان" . recoverscience.com. مؤرشف من الأصل في 14 أكتوبر 2007. تم الاطلاع عليه في 30 أكتوبر 2007 .
↑ أوكونور، جيه جيه؛ إي إف روبرتسون (أغسطس 2001). "تاريخ باي" . مؤرشف من الأصل في 30 أكتوبر 2007. تم الاطلاع عليه في 30 أكتوبر 2007 .
↑ منتدى الرياضيات – اسأل دكتور الرياضيات
↑ إيفز 1992 ، ص 131
↑ بيكمان 1971 ، ص 66
↑ إيفز 1992 ، ص 118
1 2 حواء 1992 ، ص 119
↑ بيكمان 1971 ، الصفحات 94-95
↑ عمل غير منشور لنيوتن (1684)، اكتشفه آخرون بشكل مستقل فيما بعد، ونشره أويلر (1755).
روي، رانجان (2021) [الطبعة الأولى 2011]. المتسلسلات والمنتجات في تطور الرياضيات . المجلد 1 ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 215-216 ، 219-220 .
سانديفير، إد (2009). "تقدير π" (ملف PDF) . كيف فعلها أويلر .أُعيد طبعه في كتاب "كيف فعل أويلر أكثر من ذلك ". الجمعية الرياضية الأمريكية. 2014. الصفحات 109-118 .
نيوتن، إسحاق (1971). وايتسايد، ديريك توماس (محرر). الأوراق الرياضية لإسحاق نيوتن . المجلد 4، 1674-1684 . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 526-653 .
أويلر، ليونارد (1755). "§2.30" . المؤسسات الحسابية التفاضلية (باللاتينية). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. ص. 318. ه 212 .
أويلر، ليونارد (1798) [مكتوب عام 1779]. "التحقيق في سلسلة طويلة من الأمور، حيث أن الحدود المحيطية للدوائر ذات القطر الحقيقي المحدد هي الحد الأقصى المسموح به" . Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133 – 149 ، 167 – 168. ه 705 .
هوانغ تشين-ليه (2005)، "اشتقاق أولي لمتسلسلة أويلر لدالة الظل العكسي"، المجلة الرياضية ، 89 (516): 469-470 ، doi : 10.1017/S0025557200178404 ، S2CID 123395287
1 2 3 ترويب، بيتر (2020). الأخوان بورفين، باي، والاجتماع العام السنوي . وقائع سبرينغر في الرياضيات والإحصاء. المجلد 313. arXiv : 1802.07558 . doi : 10.1007/978-3-030-36568-4 . ISBN 978-3-030-36567-7. S2CID 214742997 .
↑ هيمفيل، سكوت (1993). باي .
^ كندا ، ياسوماسا (1996). واحد مقسوما على باي .
↑ أنتوني، سيباستيان (15 مارس 2012). "ماذا يمكنك أن تفعل باستخدام حاسوب فائق؟ - إكستريم تك" . إكستريم تك .
↑ بوبر، ك. ر. (أغسطس 1952). "طبيعة المشكلات الفلسفية وجذورها في العلم". المجلة البريطانية لفلسفة العلوم . 3 (10). مطبعة جامعة شيكاغو: 124-156 . doi : 10.1093/bjps/iii.10.124 . JSTOR 685553 . انظر الصفحة 150.
↑ غاردنر، مارتن (1995). انحرافات رياضية جديدة . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 92. ISBN 978-0-88385-517-1.
↑ شنايدر، مارتن (6 يوليو 2011). "تقريب جذري متداخل لـ $π$ " (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 6 يوليو 2011.
1 2 3 4 5 6 رامانوجان، س. (1914). "المعادلات النمطية والتقريبات لـ $π$ " . المجلة الفصلية للرياضيات . 45 : 350-372 .أعيد طبعه في بيرجرين، لينارت؛ بوروين، جوناثان؛ بوروين، بيتر (2004). “المعادلات المعيارية والتقريبات لـ $π$ “. باي: كتاب مصدر ( الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 241 – 257. دوى : 10.1007 / 978-1-4757-4217-6_29 . رقم ISBN 0-387-20571-3MR 2065455
^ "Hemmes mathematische Rätsel: Die Quadratur des Kreises" . www.spektrum.de (باللغة الألمانية) . تم الاسترجاع في 30 سبتمبر 2024 .
↑ بورواين، جوناثان؛ بيلي، ديفيد (2008). الرياضيات بالتجربة: الاستدلال المعقول في القرن الحادي والعشرين، الطبعة الثانية . إيه كيه بيترز. ص 135. ISBN 978-1-56881-442-1.
↑ هوفمان، ديفيد و. (نوفمبر 2009). "فضول حول باي". مجلة الرياضيات الجامعية . 40 (5). JSTOR 25653799 .
^ بيرجرين ، لينارت. بوروين، جوناثان؛ بوروين، بيتر (2003). باي: كتاب مصدر، الطبعة الثالثة سبرينغر. ص 596 – 622. ISBN 978-0-387-20571-7.
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A002485 (بسط المتتاليات المتقاربة إلى باي)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A002486 (مقامات المتقاربة إلى باي)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.
↑ "التقريبات الكسرية لـ π" .
↑ للاطلاع على النتائج ذات الصلة، انظر مسألة الدائرة: عدد النقاط (x,y) في الشبكة المربعة مع x^2 + y^2 <= n .
↑ دوتكا، ج. (1982). "ناتج واليس، وكسر برونكر المستمر، ومتسلسلة لايبنتز". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 26 (2): 115-126 . doi : 10.1007/BF00348349 . S2CID 121628039 .
↑ تتوفر تمثيلات أخرى على موقع Wolfram Functions .
↑ رابينوفيتز، ستانلي؛ واجن، ستان (1995). "خوارزمية صنبور لأرقام π" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 102 (3): 195-203 . doi : 10.2307/2975006 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2975006 .
↑ هوانغ تشين-ليه (2005)، "اشتقاق أولي لمتسلسلة أويلر لدالة الظل العكسي"، المجلة الرياضية ، 89 (516): 469-470 ، doi : 10.1017/S0025557200178404 ، S2CID 123395287
^ وايسستين، إريك دبليو. “صيغة BBP” . عالم الرياضيات .
↑ بلوف، سيمون (2009). "حول حساب الرقم العشري النوني لأعداد متسامية مختلفة". arXiv : 0912.0303v1 [ math.NT ].
↑ "حساب الرقم النوني لأي عدد في أي أساس في زمن O(n^2)" . bellard.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 سبتمبر 2024 .
↑ "ديفيد إتش بيلي" . crd.LBL.gov . مؤرشف من الأصل في 10 أبريل 2011. تم الاطلاع عليه في 11 ديسمبر 2017 .
↑ "عالم باي - بيلارد" . Pi314.net. 13 أبريل 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 أبريل 2016 .
↑ بيلارد، فابريس. "تاشوس باي" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 مارس 2020 .
↑ " توقيتات PiFast "
↑ تاكاهاشي، دايسوكي؛ كانادا، ياسوماسا (10 أغسطس 2010). "الصفحة الرئيسية لمختبر كانادا" . جامعة طوكيو. مؤرشف من الأصل في 24 أغسطس 2011. تم الاطلاع عليه في 1 مايو 2011 .

مراجع

بيلي، ديفيد هـ .؛ بورواين، بيتر ب.؛ وبلوف ، سيمون (أبريل 1997). "حول الحساب السريع لثوابت متعددة اللوغاريتمات" (ملف PDF) . رياضيات الحساب . 66 (218): 903-913 . Bibcode : 1997MaCom..66..903B . doi : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
بيكمان، بيتر (1971). تاريخ $باي$ . نيويورك: مطبعة سانت مارتن. ISBN 978-0-88029-418-8MR 0449960 .
إيفز، هوارد (1992). مدخل إلى تاريخ الرياضيات ( الطبعة السادسة). دار نشر ساوندرز كوليدج. رقم ISBN 978-0-03-029558-4.
جوزيف، جورج ج. (2000). قمة الطاووس: الجذور غير الأوروبية للرياضيات (طبعة جديدة، لندن : دار بنغوين للنشر). لندن: دار بنغوين للنشر. ISBN 978-0-14-027778-4.
جاكسون، ك؛ ستامب، ج. (2002). الهرم: ما وراء الخيال. داخل الهرم الأكبر في الجيزة . لندن: بي بي سي. ISBN 9780563488033.
بيرغرين، لينارت؛ بورواين، جوناثان م.؛ بورواين، بيتر ب. (2004). باي: كتاب مرجعي ( الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا ذ.م.م. رقم ISBN 978-1-4757-4217-6.

[hayes-2014-1] 1 2 3 4 هايز، برايان (سبتمبر 2014). "القلم والورقة وباي" . مجلة ساينتست الأمريكية . المجلد 102، العدد 5. ص 342. doi : 10.1511/2014.110.342 .

[StorageReview_314-2] 1 2 أوبراين، كيفن (11 ديسمبر 2025). "موقع StorageReview يسجل رقماً قياسياً جديداً في عدد الأرقام: 314 تريليون رقم على خادم Dell PowerEdge R7725" . StorageReview . تاريخ الاسترجاع: 18 ديسمبر 2025 .

[3] بيتري، دبليو إم إف (1940). حكمة المصريين .

[4] فيرنر، ميروسلاف (2001) [1997]. الأهرامات: لغز وثقافة وعلم الآثار العظيمة في مصر . دار غروف للنشر . ISBN 978-0-8021-3935-1. استنادًا إلى الهرم الأكبر في الجيزة ، والذي يُفترض أنه بُني بحيث يكون محيط الدائرة التي يساوي نصف قطرها ارتفاع الهرم مساويًا لمحيط القاعدة (يبلغ محيطها 1760 ذراعًا وارتفاعها 280 ذراعًا).

[Rossi-5] 1 2 روسي (2007). العمارة والرياضيات في مصر القديمة . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-69053-9.

[6] ليجون، جيه إيه آر (1991). حول أبعاد الأهرامات ونسبها . مناقشات في علم المصريات. المجلد 20. الصفحات 25-34 . مؤرشف من الأصل في 18 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه في 7 يونيو 2011 .

[7] انظر #القيمة الكتابية المنسوبة . بيكمان 1971 "كان هناك قلق بشأن البيان الكتابي الظاهر لـ $π$ ≈ 3 منذ العصور المبكرة لليهودية الحاخامية ، والذي تناوله الحاخام نحميا في القرن الثاني."

[8] رومانو، ديفيد جيلمان (1993). ألعاب القوى والرياضيات في كورنث القديمة: أصول الملعب اليوناني . الجمعية الفلسفية الأمريكية . ص 78. ISBN 978-0871692061. مجموعة من الألواح الطينية الرياضية من العصر البابلي القديم، التي تم التنقيب عنها في سوسة عام 1936، ونشرها إي إم بروينز عام 1950، توفر المعلومات التي تفيد بأن التقريب البابلي لـ $π$ كان 3 1/8 أو 3.125.

[9] بروينز ، م (1950). "Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse" (PDF) .

[10] بروينز، م. روتن، م. (1961). نصوص رياضية في سوس . مذكرات البعثة الأثرية في إيران. المجلد. الرابع والثلاثون.

[11] انظر أيضًا Beckmann 1971 ، الصفحات 12، 21-22 "في عام 1936، تم اكتشاف لوح على بعد حوالي 200 ميل من بابل.... اللوح المذكور، الذي نُشرت ترجمته جزئيًا فقط في عام 1950،... ينص على أن نسبة محيط سداسي منتظم إلى محيط الدائرة المحيطة به تساوي عددًا يُعطى في التدوين الحديث بالصيغة 57/60+36/(60)² [أي $π$ = 3/0.96 = 25/8]".

[12] إمهاوزن، أنيت (2007). كاتز، فيكتور ج. (محرر). رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مصادر . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 978-0-691-11485-9.

[13] تشايتانيا، كريشنا. لمحة عن الثقافة الهندية. شركة الكتب الهندية (1975). ص 133.

[14] جادهاف ، ديباك (1 يناير 2018). "حول القيمة المضمنة في البيانات المشار إليها في Mahabhārata لـ π" . Vidyottama Sanatana: المجلة الدولية للعلوم الهندوسية والدراسات الدينية . 2 (1): 18. دوى : 10.25078/ijhsrs.v2i1.511 . ISSN 2550-0651 . S2CID 146074061 .

[15] داميني، د.ب.؛ أبهيشيك، دار (2020). "كيف أثبت أرخميدس أن π يساوي تقريبًا 22/7". ص 8. arXiv : 2008.07995 [ math.HO ].

[16] لازاروس موديهوي (فبراير 1997). "قصة باي" . زيماثس . مؤرشف من الأصل في 8 يناير 2013.

[17] لام، لاي يونغ؛ أنغ، تيان سي (1986)، "قياسات الدائرة في الصين القديمة"، هيستوريا ماثيماتيكا ، 13 (4): 325-340 ، doi : 10.1016/0315-0860(86)90055-8 ، MR 0875525 أُعيد طبعه في: Berggren, JL; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter, eds. (2004). Pi: A Source Book . Springer. ص 20-35 . ISBN 978-0387205717.. See in particular pp. 333–334 (pp. 28–29 of the reprint).

[aryabhattapi-18] How Aryabhata got the earth's circumference rightArchived 15 January 2017 at the Wayback Machine

[19] Āryabhaṭīya (gaṇitapāda 10):
chaturadhikam śatamaṣṭaguṇam dvāśaṣṭistathā sahasrāṇām ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vr̥ttapariṇahaḥ.
"Add four to one hundred, multiply by eight and then add sixty-two thousand. The result is approximately the circumference of a circle of diameter twenty thousand. By this rule the relation of the circumference to diameter is given."
In other words, (4 + 100) × 8 + 62000 is the circumference of a circle with diameter 20000. This provides a value of π ≈ 62832⁄20000 = 3.1416, Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Third ed.). New York: W.H. Freeman and Company. p. 70.

[20] "Aryabhata the Elder". University of St Andrews, School of Mathematics and Statistics. Retrieved 20 July 2011.

[21] S. Balachandra Rao (1998). Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore: Jnana Deep Publications. ISBN 978-81-7371-205-0.

[22] George E. Andrews, Ranjan Roy; Richard Askey (1999). Special Functions. Cambridge University Press. p. 58. ISBN 978-0-521-78988-2.

[MacTutor-23] 1 2J J O'Connor and E F Robertson (November 2000). "Madhava of Sangamagramma". MacTutor. University of St. Andrews.

[24] Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.

[25] "Bhāskara II | 12th Century Indian Mathematician & Astronomer | Britannica". www.britannica.com. 1 January 2025. Retrieved 28 February 2025.

[26] Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch (1981). "Ghiyath al-din Jamshid Masud al-Kashi (or al-Kashani)". Dictionary of Scientific Biography. Vol. 7. p. 256.

[27] J J O'Connor and E F Robertson (July 1999). "Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi". MacTutor. University of St. Andrews.

[28] أزاريان، محمد ك. (2010). "الرسالة المحاذية: ملخص" . مجلة ميسوري للعلوم الرياضية . 22 (2): 64-85 . doi : 10.35834/mjms/1312233136 .

[29] كابرا، ب. "أرقام باي" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2018 .

[30] تشاكرابارتي، جوبال؛ هدسون، ريتشارد (2003). "تحسين طريقة أرخميدس لتقريب π" (ملف PDF) . المجلة الدولية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 7 (2): 207-212 .

[jones-31] جونز، ويليام ( 1706). ملخص الرياضيات . لندن: ج. ويل. ص 243 ، 263. توجد طرق أخرى عديدة لإيجاد أطوال أو مساحات خطوط أو مستويات منحنية معينة ، مما قد يُسهّل الممارسة بشكل كبير؛ فعلى سبيل المثال، في الدائرة ، يكون القطر بالنسبة للمحيط بنسبة 1 إلى 1. ${\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=$ $3.14159، و ج. = π$ . هذه السلسلة (من بين سلاسل أخرى لنفس الغرض، ومستمدة من نفس المبدأ) تلقيتها من المحلل المتميز، وصديقي العزيز السيد جون ماشين ؛ وبواسطتها، يمكن فحص رقم فان كولين ، أو الرقم الوارد في المادة 64.38، بكل سهولة وسرعة مرغوبة.
أُعيد طبعه في: سميث، ديفيد يوجين (1929). "ويليام جونز: أول استخدام لـ $π$ لنسبة الدائرة" . كتاب مصادر في الرياضيات . ماكجرو هيل. الصفحات 346-347 .

[32] تويدل، إيان (1991). " جون ماشين وروبرت سيمسون حول متسلسلات الظل العكسي لـ $π$ ". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 42 (1): 1-14 . doi : 10.1007/BF00384331 . JSTOR 41133896. S2CID 121087222 .

[33] فيجا، جورج (1795) [1789]. "تحديد نصف محيط دائرة لا يبلغ قطرها $1$ ، ويتم اختبارها من خلال $140$ رقمًا عشريًا" . ملحق. Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae . 11 : 41 - 44.
سانديفر، إدوارد (2006). “لماذا 140 رقمًا من Pi Matter” (PDF) . Jurij baron Vega in njegov čas: Zbornik ob 250-letnici rojstva [ Baron Jurij Vega and His Times: Celebriting 250 Years ] . ليوبليانا: DMFA. رقم ISBN 978-961-6137-98-0LCCN 2008467244. OCLC 448882242. مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 28 أغسطس 2006. تجدر الإشارة إلى أن قيمة فيغا تحتوي على خطأ في الرقم 127. حيث تُظهر فيغا الرقم 4 بدلًا من الرقم 6 ، وجميع الأرقام التي تليه غير صحيحة.

[34] "ما مدى دقة حساب قيمة باي حتى 40 منزلة عشرية؟" . ستاك إكستشينج . 11 مايو 2015.

[Ferguson_-1946-35] 1 2 فيرغسون، د. ف. (16 مارس 1946). "قيمة π" . مجلة نيتشر . 157 (3985): 342. رمز Bibcode : 1946Natur.157..342F . doi : 10.1038/157342c0 . ISSN 1476-4687 . S2CID 4085398 .

[36] شانكس، ويليام (1853). مساهمات في الرياضيات: تتضمن بشكل رئيسي تصحيح الدائرة إلى 607 خانات عشرية . دار نشر ماكميلان . ص. 8 – عبر أرشيف الإنترنت .

[37] شانكس، ويليام (1873). "خامساً: حول توسيع القيمة العددية لـ π" . وقائع الجمعية الملكية في لندن . 21 ( 139-147 ). منشورات الجمعية الملكية : 318-319 . doi : 10.1098/rspl.1872.0066 . S2CID 120851313 .

[shanks-bio-38] "ويليام شانكس (1812-1882) - سيرة ذاتية" . جامعة سانت أندروز . يوليو 2007. تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 يناير 2022 .

[39] فيرغسون 1946 أ، دوى : 10.2307 / 3608485

[Shanks_&_Wrench-40] 1 2 3 4 5 شانكس، د .؛ ورينش، ج. و. الابن (1962). "حساب $π$ حتى 100,000 منزلة عشرية". رياضيات الحساب . 16 (77): 76-99 . doi : 10.2307/2003813 . JSTOR 2003813 .

[41] "إعلان على موقع مختبر كانادا الإلكتروني" . Super-computing.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 12 مارس 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 ديسمبر 2017 .

[42] "سجل حساب باي" .

[43] خريج ماكورميك يحطم رقماً قياسياً جديداً في قيمة باي ( مؤرشف بتاريخ 28 سبتمبر 2011 في أرشيف الإنترنت)

[44] "باي - 5 تريليون رقم" .

[45] غلين (19 أكتوبر 2011). "علوم موجزة ودقيقة: رحلة بحث ملحمية عن العدد باي تسجل رقماً قياسياً بلغ 10 تريليونات رقم" . مجلة نيو ساينتست . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 أبريل 2016 .

[46] يي، ألكسندر جيه؛ كوندو، شيجيرو (22 أكتوبر 2011). "الجولة 2 ... 10 تريليون رقم من باي" .

[Yee_2013-47] 1 2 يي، ألكسندر جيه؛ كوندو، شيجيرو (28 ديسمبر 2013). "12.1 تريليون رقم من باي" .

[Yee2018-48] 1 2 3 4 يي، ألكسندر ج. (2018). "y-cruncher: برنامج باي متعدد الخيوط" . numberworld.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 مارس 2018 .

[49] ترويب، بيتر (30 نوفمبر 2016). "إحصائيات الأرقام لأول 22.4 تريليون رقم عشري من باي". arXiv : 1612.00489 [ math.NT ].

[50] "جوجل كلاود تحطم الرقم القياسي لقيمة باي" . numberworld.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 مارس 2019 .

[51] "عودة سجل باي إلى الحاسوب الشخصي" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 يناير 2020 .

[52] "حساب باي: محاولتي لكسر الرقم القياسي العالمي لباي" . 26 يونيو 2019. تم الاطلاع عليه في 30 يناير 2020 .

[53] "Die FH Graubünden kennt Pi am genauesten – Weltrekord!" . تم الاسترجاع في 31 أغسطس 2021 .

[54] «باحثون سويسريون يحسبون قيمة باي لتصل إلى رقم قياسي جديد يبلغ 62.8 تريليون رقم» . صحيفة الغارديان . 16 أغسطس 2021. تاريخ الاطلاع: 31 أغسطس 2021 .

[:0-55] "المزيد من باي في السماء: حساب 100 تريليون رقم من باي على جوجل كلاود" . منصة جوجل كلاود . 8 يونيو 2022. تم الاطلاع عليه في 10 يونيو 2022 .

[56] يي، ألكسندر ج. (14 مارس 2024). "يقترب من تسجيل رقم قياسي جديد لقيمة باي يبلغ 105 تريليون رقم" . NumberWorld.org . تم الاطلاع عليه في 16 مارس 2024 .

[57] رانوس، جوردان (28 يونيو 2024). "مختبر ستوريدج ريفيو يحطم الرقم القياسي العالمي لحساب باي بأكثر من 202 تريليون رقم" . www.storagereview.com . تاريخ الاطلاع: 2 يوليو 2024 .

[:1-58] "أدق قيمة لـ π" . موسوعة غينيس للأرقام القياسية . مؤرشف من الأصل في 8 مايو 2025. تم الاطلاع عليه في 16 مايو 2025 .

[59] ألان، ريت (18 مارس 2011). "ما هو أفضل تمثيل كسري لـ π؟" . وايرد . تم الاسترجاع في 16 مارس 2020 .

[60] جون د. كوك (22 مايو 2018). "أفضل التقريبات النسبية لـ π" . شركة جون د. كوك للاستشارات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 مارس 2020 .

[61] "تقريبات الكسور المستمرة لـ π" (ملف PDF) . قسم الرياضيات، جامعة إلينوي . مجلس أمناء جامعة إلينوي. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 23 يناير 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 مارس 2020 .

[62] هالربرغ، آرثر إي. (1977). "دائرة إنديانا المربعة". مجلة الرياضيات . 50 (3): 136-140 . doi : 10.1080/0025570X.1977.11976632 .

[63] تسابان، بوعز؛ جاربر ، ديفيد (فبراير 1998). “على التقريب الحاخامي لـ $π$ “ (PDF) . تاريخ الرياضيات . 25 (1): 75-84 . دوى : 10.1006/hmat.1997.2185 . ISSN 0315-0860 . تم الاسترجاع 14 يوليو 2009 .

[64] ويلبر ريتشارد كنور ، التقاليد القديمة للمسائل الهندسية ، نيويورك: منشورات دوفر، 1993.

[65] أليف، هـ. بيتر. "قصص الخلق القديمة كما ترويها الأرقام: باي سليمان" . recoverscience.com. مؤرشف من الأصل في 14 أكتوبر 2007. تم الاطلاع عليه في 30 أكتوبر 2007 .

[ahop-66] أوكونور، جيه جيه؛ إي إف روبرتسون (أغسطس 2001). "تاريخ باي" . مؤرشف من الأصل في 30 أكتوبر 2007. تم الاطلاع عليه في 30 أكتوبر 2007 .

[67] منتدى الرياضيات – اسأل دكتور الرياضيات

[68] إيفز 1992 ، ص 131

[69] بيكمان 1971 ، ص 66

[70] إيفز 1992 ، ص 118

[EvesSnell-71] 1 2 حواء 1992 ، ص 119

[72] بيكمان 1971 ، الصفحات 94-95

[73] عمل غير منشور لنيوتن (1684)، اكتشفه آخرون بشكل مستقل فيما بعد، ونشره أويلر (1755).
روي، رانجان (2021) [الطبعة الأولى 2011]. المتسلسلات والمنتجات في تطور الرياضيات . المجلد 1 ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 215-216 ، 219-220 .
سانديفير، إد (2009). "تقدير π" (ملف PDF) . كيف فعلها أويلر .أُعيد طبعه في كتاب "كيف فعل أويلر أكثر من ذلك ". الجمعية الرياضية الأمريكية. 2014. الصفحات 109-118 .
نيوتن، إسحاق (1971). وايتسايد، ديريك توماس (محرر). الأوراق الرياضية لإسحاق نيوتن . المجلد 4، 1674-1684 . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 526-653 .
أويلر، ليونارد (1755). "§2.30" . المؤسسات الحسابية التفاضلية (باللاتينية). Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae. ص. 318. ه 212 .
أويلر، ليونارد (1798) [مكتوب عام 1779]. "التحقيق في سلسلة طويلة من الأمور، حيث أن الحدود المحيطية للدوائر ذات القطر الحقيقي المحدد هي الحد الأقصى المسموح به" . Nova Acta Academiae Scientiarum Petropolitinae . 11 : 133 – 149 ، 167 – 168. ه 705 .
هوانغ تشين-ليه (2005)، "اشتقاق أولي لمتسلسلة أويلر لدالة الظل العكسي"، المجلة الرياضية ، 89 (516): 469-470 ، doi : 10.1017/S0025557200178404 ، S2CID 123395287

[ReferenceA-74] 1 2 3 ترويب، بيتر (2020). الأخوان بورفين، باي، والاجتماع العام السنوي . وقائع سبرينغر في الرياضيات والإحصاء. المجلد 313. arXiv : 1802.07558 . doi : 10.1007/978-3-030-36568-4 . ISBN 978-3-030-36567-7. S2CID 214742997 .

[Gutenberg-75] هيمفيل، سكوت (1993). باي .

[Gutenberg2-76] كندا ، ياسوماسا (1996). واحد مقسوما على باي .

[77] أنتوني، سيباستيان (15 مارس 2012). "ماذا يمكنك أن تفعل باستخدام حاسوب فائق؟ - إكستريم تك" . إكستريم تك .

[78] بوبر، ك. ر. (أغسطس 1952). "طبيعة المشكلات الفلسفية وجذورها في العلم". المجلة البريطانية لفلسفة العلوم . 3 (10). مطبعة جامعة شيكاغو: 124-156 . doi : 10.1093/bjps/iii.10.124 . JSTOR 685553 . انظر الصفحة 150.

[79] غاردنر، مارتن (1995). انحرافات رياضية جديدة . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 92. ISBN 978-0-88385-517-1.

[80] شنايدر، مارتن (6 يوليو 2011). "تقريب جذري متداخل لـ $π$ " (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 6 يوليو 2011.

[sr1914-81] 1 2 3 4 5 6 رامانوجان، س. (1914). "المعادلات النمطية والتقريبات لـ $π$ " . المجلة الفصلية للرياضيات . 45 : 350-372 .أعيد طبعه في بيرجرين، لينارت؛ بوروين، جوناثان؛ بوروين، بيتر (2004). “المعادلات المعيارية والتقريبات لـ $π$ “. باي: كتاب مصدر ( الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 241 – 257. دوى : 10.1007 / 978-1-4757-4217-6_29 . رقم ISBN 0-387-20571-3MR 2065455

[82] "Hemmes mathematische Rätsel: Die Quadratur des Kreises" . www.spektrum.de (باللغة الألمانية) . تم الاسترجاع في 30 سبتمبر 2024 .

[83] بورواين، جوناثان؛ بيلي، ديفيد (2008). الرياضيات بالتجربة: الاستدلال المعقول في القرن الحادي والعشرين، الطبعة الثانية . إيه كيه بيترز. ص 135. ISBN 978-1-56881-442-1.

[84] هوفمان، ديفيد و. (نوفمبر 2009). "فضول حول باي". مجلة الرياضيات الجامعية . 40 (5). JSTOR 25653799 .

[85] بيرجرين ، لينارت. بوروين، جوناثان؛ بوروين، بيتر (2003). باي: كتاب مصدر، الطبعة الثالثة سبرينغر. ص 596 – 622. ISBN 978-0-387-20571-7.

[86] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A002485 (بسط المتتاليات المتقاربة إلى باي)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[87] سلون، ن. ج. أ. (محرر). "المتتالية A002486 (مقامات المتقاربة إلى باي)" . الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . مؤسسة OEIS.

[88] "التقريبات الكسرية لـ π" .

[89] للاطلاع على النتائج ذات الصلة، انظر مسألة الدائرة: عدد النقاط (x,y) في الشبكة المربعة مع x^2 + y^2 <= n .

[jd1982-90] دوتكا، ج. (1982). "ناتج واليس، وكسر برونكر المستمر، ومتسلسلة لايبنتز". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 26 (2): 115-126 . doi : 10.1007/BF00348349 . S2CID 121628039 .

[91] تتوفر تمثيلات أخرى على موقع Wolfram Functions .

[92] رابينوفيتز، ستانلي؛ واجن، ستان (1995). "خوارزمية صنبور لأرقام π" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 102 (3): 195-203 . doi : 10.2307/2975006 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2975006 .

[93] هوانغ تشين-ليه (2005)، "اشتقاق أولي لمتسلسلة أويلر لدالة الظل العكسي"، المجلة الرياضية ، 89 (516): 469-470 ، doi : 10.1017/S0025557200178404 ، S2CID 123395287

[94] وايسستين، إريك دبليو. “صيغة BBP” . عالم الرياضيات .

[95] بلوف، سيمون (2009). "حول حساب الرقم العشري النوني لأعداد متسامية مختلفة". arXiv : 0912.0303v1 [ math.NT ].

[96] "حساب الرقم النوني لأي عدد في أي أساس في زمن O(n^2)" . bellard.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 سبتمبر 2024 .

[97] "ديفيد إتش بيلي" . crd.LBL.gov . مؤرشف من الأصل في 10 أبريل 2011. تم الاطلاع عليه في 11 ديسمبر 2017 .

[98] "عالم باي - بيلارد" . Pi314.net. 13 أبريل 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 أبريل 2016 .

[99] بيلارد، فابريس. "تاشوس باي" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 مارس 2020 .

[100] " توقيتات PiFast "

[101] تاكاهاشي، دايسوكي؛ كانادا، ياسوماسا (10 أغسطس 2010). "الصفحة الرئيسية لمختبر كانادا" . جامعة طوكيو. مؤرشف من الأصل في 24 أغسطس 2011. تم الاطلاع عليه في 1 مايو 2011 .

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[

[

[

[

[

[ 14 ]

[

[

[

[

[

[

[

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[

[

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

استغرقت

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[

[

[

[ 62 ]

[ 63 ]

[ ٦٤ ]

[

[

[

68 ] وباستخدام

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[

[

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

ملحوظ

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]

[

[ 92 ]

[ 93 ]

[

[ ٩٥ ]

[ 96 ]

[

[ 98 ]

[ 99 ]

[

[ 101 ]