منحنى إهليلجي

في الرياضيات ، المنحنى الإهليلجي هو منحنى جبري إسقاطي أملس من النوع الأول ، توجد عليه نقطة محددة O. يُعرَّف المنحنى الإهليلجي على حقل K ويصف النقاط في K² ^، وهو حاصل الضرب الديكارتي لـ K مع نفسه. إذا كانت خاصية الحقل مختلفة عن 2 أو 3، فيمكن وصف المنحنى بأنه منحنى جبري مستوٍ يتكون من حلول ( x , y ) للمعادلة التالية:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

لبعض المعاملات a و b في K. يُشترط أن يكون المنحنى غير منفرد ، أي أنه لا يحتوي على نقاط انعطاف حادة أو تقاطعات ذاتية. (هذا يُكافئ الشرط 4a³ + 27b² ≠ 0 ، أي أنه خالٍ ^من المربعات في x ) . من المفهوم عادةً أن المنحنى مُضمّن في المستوى الإسقاطي ^، حيث تكون النقطة O هي النقطة الوحيدة عند اللانهاية . تُعرّف العديد من المصادر المنحنى الإهليلجي بأنه ببساطة منحنى مُعطى بمعادلة من هذا الشكل. (عندما يكون لحقل المعاملات خاصية 2 أو 3، فإن المعادلة أعلاه ليست عامة بما يكفي لتشمل جميع المنحنيات التكعيبية غير المنفردة ؛ انظر §  المنحنيات الإهليلجية على حقل عام أدناه).

المنحنى الإهليلجي هو تنوع أبيلي - أي أنه يحتوي على قانون مجموعة معرف جبريًا، والذي يعتبر بالنسبة له مجموعة أبيلية - و O بمثابة عنصر الوحدة.

إذا كانت ^y² = P ( x ) ، حيث P أي كثيرة حدود من الدرجة الثالثة في x بدون جذور مكررة، فإن مجموعة الحلول هي منحنى مستوٍ غير شاذ من النوع الأول، أي منحنى إهليلجي. إذا كانت P من الدرجة الرابعة وخالية من المربعات، فإن هذه المعادلة تصف أيضًا منحنى مستوٍ من النوع الأول؛ ومع ذلك، ليس لها عنصر محايد طبيعي. بشكل عام، يُطلق على أي منحنى جبري من النوع الأول، على سبيل المثال تقاطع سطحين تربيعيين مغمورين في فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد، اسم منحنى إهليلجي، بشرط أن يكون مزودًا بنقطة مميزة تعمل كعنصر محايد.

باستخدام نظرية الدوال الإهليلجية ، يمكن إثبات أن المنحنيات الإهليلجية المعرفة على الأعداد المركبة تُقابل تضمينات الطارة في المستوى الإسقاطي المركب . الطارة هي أيضًا زمرة تبديلية ، وهذا التناظر هو أيضًا تماثل زمر .

تُعدّ المنحنيات الإهليلجية ذات أهمية خاصة في نظرية الأعداد ، وتشكل مجالًا رئيسيًا للبحوث الحالية؛ فعلى سبيل المثال، استُخدمت في برهان أندرو وايلز لنظرية فيرما الأخيرة . كما تُستخدم أيضًا في تشفير المنحنيات الإهليلجية (ECC) وتحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية .

المنحنى الإهليلجي ليس قطعًا ناقصًا بالمعنى المتعارف عليه للقطع المخروطي الإسقاطي، الذي يكون جنسه صفرًا: انظر التكامل الإهليلجي لمعرفة أصل المصطلح. مع ذلك، يوجد تمثيل طبيعي للمنحنيات الإهليلجية الحقيقية ذات الشكل الثابت j ≥ 1 كقطع ناقصة في المستوى الزائدي.${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$على وجه التحديد، ينتج عن تقاطعات القطع الزائد مينكوفسكي مع الأسطح التربيعية التي تتميز بخاصية زاوية ثابتة معينة، قطع شتاينر الناقصة في${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$(ناتجة عن طريق المحاذاة المحافظة على الاتجاه). علاوة على ذلك، تشمل المسارات المتعامدة لهذه القطوع الناقصة المنحنيات الإهليلجية مع j ≤ 1 ، وأي قطع ناقص في${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$يُعرَّف الموضع بالنسبة لبؤرتين بأنه مجموع المنحنيات الإهليلجية لقطعين إهليلجيين من نوع شتاينر، يتم الحصول عليهما بجمع أزواج التقاطعات على كل مسار متعامد. هنا، يمثل رأس القطع الزائد نقطة التطابق على كل منحنى مسار. ^{[ 1 ]}

من الناحية الطوبولوجية ، فإن المنحنى الإهليلجي المعقد هو شكل حلقي ، بينما القطع الناقص المعقد هو شكل كروي .

على الرغم من أن التعريف الرسمي للمنحنى الإهليلجي يتطلب بعض الخلفية في الهندسة الجبرية ، إلا أنه من الممكن وصف بعض سمات المنحنيات الإهليلجية على الأعداد الحقيقية باستخدام الجبر والهندسة التمهيدية فقط .

في هذا السياق، المنحنى الإهليلجي هو منحنى مستوٍ يُعرَّف بمعادلة من الشكل التالي:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$

بعد تغيير خطي للمتغيرات (حيث a و b أعداد حقيقية). يُطلق على هذا النوع من المعادلات اسم الصيغة الطبيعية لـ Weierstrass ، أو صيغة Weierstrass ، أو معادلة Weierstrass .

يشترط تعريف المنحنى الإهليلجي أيضًا أن يكون المنحنى غير منفرد . هندسيًا، يعني هذا أن الرسم البياني لا يحتوي على نقاط انعطاف حادة ، أو تقاطعات ذاتية، أو نقاط معزولة . جبريًا، يتحقق هذا إذا وفقط إذا كان المميز ،${\displaystyle \Delta }$، لا يساوي صفرًا، حيث${\displaystyle \Delta }$يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle \Delta =-16\left(4a^{3}+27b^{2}\right)}$

(انظر J-invariant#Algebraic_definition للاطلاع على الاشتقاق).

المميز يساوي صفرًا عندما${\displaystyle a=-3k^{2},b=2k^{3}}$لبعض الأشياء الحقيقية${\displaystyle k}$وفي هذه الحالة${\displaystyle E}$العوامل${\displaystyle E:y^{2}=(x-k)^{2}(x+2k)}$.

على الرغم من أن العامل -16 لا علاقة له بكون المنحنى غير منفرد أم لا، إلا أن هذا التعريف للمميز مفيد في دراسة أكثر تقدماً للمنحنيات الإهليلجية. ^{[ 2 ]}

يتكون الرسم البياني الحقيقي لمنحنى غير منفرد من مركبتين إذا كان مميزه موجباً، ومركبة واحدة إذا كان سالباً. على سبيل المثال، في الرسوم البيانية الموضحة في الشكل على اليمين، المميز في الحالة الأولى هو 64، وفي الحالة الثانية هو -368.

عند العمل في المستوى الإسقاطي ، تصبح المعادلة في الإحداثيات المتجانسة

${\displaystyle {\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}={\frac {X^{3}}{Z^{3}}}+a{\frac {X}{Z}}+b.}$

هذه المعادلة غير معرفة على الخط عند اللانهاية ، ولكن يمكننا الضرب في${\displaystyle Z^{3}}$للحصول على واحد يكون:

${\displaystyle ZY^{2}=X^{3}+aZ^{2}X+bZ^{3}.}$

تُعرَّف هذه المعادلة الناتجة على كامل المستوى الإسقاطي، ويُسقط المنحنى الذي تُعرِّفه على المنحنى الإهليلجي المطلوب. ولإيجاد نقطة تقاطعه مع الخط عند اللانهاية، يمكننا ببساطة افتراض${\displaystyle Z=0}$وهذا يعني${\displaystyle X^{3}=0}$، وهو ما يعني في هذا المجال${\displaystyle X=0}$.${\displaystyle Y}$من ناحية أخرى، يمكن أن تأخذ أي قيمة، وبالتالي جميع الثلاثيات${\displaystyle (0,Y,0)}$تحقق المعادلة. في الهندسة الإسقاطية، هذه المجموعة هي ببساطة النقطة${\displaystyle O=[0:1:0]}$، وهو بالتالي التقاطع الفريد للمنحنى مع الخط عند اللانهاية.

بما أن المنحنى أملس، وبالتالي متصل ، يمكن إثبات أن هذه النقطة عند اللانهاية هي العنصر المحايد لبنية مجموعة يتم وصف عملها هندسيًا على النحو التالي:

بما أن المنحنى متناظر حول المحور السيني ، فإنه لأي نقطة P ، يمكننا اعتبار −P هي النقطة المقابلة لها. عندئذٍ يكون لدينا${\displaystyle -O=O}$، مثل${\displaystyle O}$يقع على المستوى XZ ، بحيث${\displaystyle -O}$وهو أيضًا متناظر لـ${\displaystyle O}$حول الأصل، وبالتالي يمثل نفس النقطة الإسقاطية.

إذا كانت P و Q نقطتين على المنحنى، فيمكننا وصف نقطة ثالثة P + Q بشكل فريد بالطريقة التالية. أولًا، نرسم الخط الذي يتقاطع مع P و Q. سيتقاطع هذا الخط عمومًا مع المنحنى التكعيبي عند نقطة ثالثة، R. ثم نعتبر P + Q هي -R ، أي النقطة المقابلة لـ R.

هذا التعريف للجمع صالحٌ باستثناء بعض الحالات الخاصة المتعلقة بالنقطة عند اللانهاية وتعدد نقاط التقاطع. الحالة الأولى هي عندما تكون إحدى النقاط هي O. هنا، نُعرّف P + O = P = O + P ، مما يجعل O العنصر المحايد للمجموعة. إذا كانت P = Q ، فلدينا نقطة واحدة فقط، وبالتالي لا يمكننا تعريف الخط الواصل بينهما. في هذه الحالة، نستخدم المماس للمنحنى عند هذه النقطة كخطنا. في معظم الحالات، يتقاطع المماس مع نقطة ثانية R ، ويمكننا أخذ معكوسها. إذا كانت P و Q معكوسين لبعضهما البعض، نُعرّف P + Q = O. أخيرًا، إذا كانت P نقطة انعطاف (نقطة يتغير عندها تقوس المنحنى)، نعتبر R هي P نفسها، و P + P هي ببساطة النقطة المقابلة لها، أي P نفسها.

ليكن K حقلاً تُعرَّف عليه المنحنى (أي أن معاملات المعادلة أو المعادلات المُعرِّفة للمنحنى تنتمي إلى K )، ولنرمز إلى المنحنى بـ E. عندئذٍ، تُعرَّف النقاط العقلانية K في E بأنها النقاط على E التي تقع إحداثياتها جميعها في K ، بما في ذلك النقطة عند اللانهاية. ويُرمز إلى مجموعة النقاط العقلانية K بـ E ( K ) . تُشكِّل E ( K ) زمرة، لأن خصائص المعادلات متعددة الحدود تُبيِّن أنه إذا كانت P تنتمي إلى E ( K ) ، فإن −P تنتمي أيضًا إلى E ( K ) ، وإذا كانت اثنتان من P و Q و R تنتميان إلى E (K) ، فإن الثالثة تنتمي أيضًا إلى E ( K ) . بالإضافة إلى ذلك، إذا كان K حقلاً جزئياً من L ، فإن E ( K ) زمرة جزئية من E ( L ) .

المنحنى E المعرف على حقل الأعداد النسبية هو نفسه المعرف على حقل الأعداد الحقيقية. لذلك، يمكن تطبيق قانون الجمع (للنقاط ذات الإحداثيات الحقيقية) باستخدام طريقتي المماس والقاطع على E. تُظهر الصيغ الصريحة أن مجموع نقطتين P و Q ذواتي إحداثيات نسبية له إحداثيات نسبية أيضًا، لأن الخط الواصل بين P و Q له معاملات نسبية. بهذه الطريقة، يُمكن إثبات أن مجموعة النقاط النسبية في E تُشكل زمرة جزئية من زمرة النقاط الحقيقية في E.

ليكن K = F _q الحقل المنتهي ذو q عنصرًا ، وليكن E منحنى إهليلجيًا معرفًا على K. في حين أن حساب العدد الدقيق للنقاط النسبية لمنحنى إهليلجي E على K أمر صعب عمومًا، فإن نظرية هاس حول المنحنيات الإهليلجية تعطي المتباينة التالية:

${\displaystyle |\#E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}$

بمعنى آخر، يزداد عدد النقاط على المنحنى تناسبياً مع عدد العناصر في الحقل. ويمكن فهم هذه الحقيقة وإثباتها بالاستعانة ببعض النظريات العامة؛ انظر على سبيل المثال دالة زيتا المحلية وعلم التماثل الإيتالي .

مجموعة النقاط E ( F, _q ) هي زمرة أبيلية منتهية. وهي دائمًا دورية أو حاصل ضرب زمرتين دوريتين. على سبيل المثال، ^{[ 19 ]} المنحنى المعرف بـ

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

يحتوي الحقل F ₇₁ على 72 نقطة (71 نقطة أفينية بما في ذلك النقطة (0,0) ونقطة واحدة عند اللانهاية )، وبنيته الزمرية معطاة بالصيغة Z /2 Z × Z /36 Z. يمكن حساب عدد النقاط على منحنى معين باستخدام خوارزمية شوف .

يتم تسهيل دراسة المنحنى على امتدادات المجال لـ F _q من خلال إدخال دالة زيتا المحلية لـ E على F _q ، المعرفة بواسطة سلسلة مولدة (انظر أعلاه أيضًا).

${\displaystyle Z(E(K),T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\#\left[E(K_{n})\right]{T^{n} \over n}\right)}$

where the field K_n is the (unique up to isomorphism) extension of K = F_q of degree n (that is, ${\displaystyle K_{n}=F_{q^{n}}}$).

The zeta function is a rational function in T. To see this, consider the integer ${\displaystyle a}$ such that

${\displaystyle \#E(K)=1-a+q}$

There is a complex number ${\displaystyle \alpha }$ such that

${\displaystyle 1-a+q=(1-\alpha )(1-{\bar {\alpha }})}$

where ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ is the complex conjugate, and so we have

${\displaystyle \alpha +{\bar {\alpha }}=a}$

${\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=q}$

We choose ${\displaystyle \alpha }$ so that its absolute value is ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$, that is ${\displaystyle \alpha =q^{\frac {1}{2}}e^{i\theta },{\bar {\alpha }}=q^{\frac {1}{2}}e^{-i\theta }}$, and that ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{2{\sqrt {q}}}}}$. Note that ${\displaystyle |a|\leq 2{\sqrt {q}}}$.

${\displaystyle \alpha }$ can then be used in the local zeta function as its values when raised to the various powers of n can be said to reasonably approximate the behaviour of ${\displaystyle a_{n}}$, in that

${\displaystyle \#E(K_{n})=1-a_{n}+q^{n}}$

Using the Taylor series for the natural logarithm,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}Z(E(K),T)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\alpha ^{n}-{\bar {\alpha }}^{n}+q^{n}\right){T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}+\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}{T^{n} \over n}\right)\\&=\exp \left(-\ln(1-T)+\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)-\ln(1-qT)\right)\\&=\exp \left(\ln {\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\right)\\&={\frac {(1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)}{(1-T)(1-qT)}}\\\end{alignedat}}}$

Then ${\displaystyle (1-\alpha T)(1-{\bar {\alpha }}T)=1-aT+qT^{2}}$, so finally

${\displaystyle Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}}$

For example,^[20] the zeta function of E : y² + y = x³ over the field F₂ is given by

${\displaystyle {\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}}$

which follows from:

${\displaystyle \left|E(\mathbf {F} _{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1&r{\text{ odd}}\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}}&r{\text{ even}}\end{cases}}}$

as ${\displaystyle q=2}$, then ${\displaystyle |E|=2^{1}+1=3=1-a+2}$, so ${\displaystyle a=0}$.

The functional equation is

${\displaystyle Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)={\frac {1-a{\frac {1}{qT}}+q\left({\frac {1}{qT}}\right)^{2}}{(1-q{\frac {1}{qT}})(1-{\frac {1}{qT}})}}={\frac {q^{2}T^{2}-aqT+q}{(qT-q)(qT-1)}}=Z(E(K),T)}$

As we are only interested in the behaviour of ${\displaystyle a_{n}}$, we can use a reduced zeta function

${\displaystyle Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-a_{n}{T^{n} \over n}\right)}$

${\displaystyle Z(a,T)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }-\alpha ^{n}{T^{n} \over n}-{\bar {\alpha }}^{n}{T^{n} \over n}\right)}$

and so

${\displaystyle Z(a,T)=\exp \left(\ln(1-\alpha T)+\ln(1-{\bar {\alpha }}T)\right)}$

which leads directly to the local L-functions

${\displaystyle L(E(K),T)=1-aT+qT^{2}}$

The Sato–Tate conjecture is a statement about how the error term ${\displaystyle 2{\sqrt {q}}}$ in Hasse's theorem varies with the different primes q, if an elliptic curve E over Q is reduced modulo q. It was proven (for almost all such curves) in 2006 due to the results of Taylor, Harris and Shepherd-Barron,^[21] and says that the error terms are equidistributed.

Elliptic curves over finite fields are notably applied in cryptography and for the factorization of large integers. These algorithms often make use of the group structure on the points of E. Algorithms that are applicable to general groups, for example the group of invertible elements in finite fields, F*_q, can thus be applied to the group of points on an elliptic curve. For example, the discrete logarithm is such an algorithm. The interest in this is that choosing an elliptic curve allows for more flexibility than choosing q (and thus the group of units in F_q). Also, the group structure of elliptic curves is generally more complicated.

يمكن تعريف المنحنيات الإهليلجية على أي حقل K ؛ التعريف الرسمي للمنحنى الإهليلجي هو منحنى جبري إسقاطي غير منفرد على K من النوع 1 ومزود بنقطة مميزة معرفة على K.

إذا لم تكن خاصية K هي 2 أو 3، فيمكن كتابة كل منحنى إهليلجي فوق K على الصورة

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$

بعد تغيير خطي للمتغيرات. هنا، ^p و q عنصران من K بحيث لا تحتوي كثيرة الحدود في الطرف الأيمن x³ - px - q على أي جذور مكررة. إذا كانت الخاصية 2 أو 3، فيجب الاحتفاظ بمزيد من الحدود: في الخاصية 3، تكون المعادلة الأكثر عمومية على الشكل التالي:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+b_{2}x^{2}-b_{4}x+b_{6}}$

لثوابت اختيارية b₂ _، b₄ _، b₆ بحيث يكون لكثير الحدود في الطرف الأيمن جذور مختلفة (تم اختيار هذه الصيغة لأسباب تاريخية). في خاصية 2، حتى هذا القدر غير ممكن، والمعادلة الأكثر عمومية _هي

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

بشرط أن يكون التنوع الذي تحدده غير منفرد. إذا لم تكن الخاصية عائقًا، فإن كل معادلة ستُختزل إلى المعادلات السابقة بتغيير خطي مناسب للمتغيرات.

عادةً ما يُفترض أن المنحنى هو مجموعة جميع النقاط ( x , y ) التي تحقق المعادلة المذكورة أعلاه، والتي يكون كل من x و y عنصرين من الإغلاق الجبري لـ K. تُسمى نقاط المنحنى التي تنتمي إحداثياتها إلى K نقاطًا عقلانية من النوع K.

تظل العديد من النتائج السابقة صالحة عندما يكون حقل تعريف E حقلًا عدديًا K ، أي امتدادًا حقليًا منتهيًا لـ Q. على وجه الخصوص، فإن المجموعة E(K) للنقاط K- العقلانية لمنحنى إهليلجي E معرف على K مولدة توليدًا منتهيًا، مما يعمم نظرية مورديل-ويل المذكورة أعلاه. تُظهر نظرية لويك ميريل أنه بالنسبة لعدد صحيح معطى d ، يوجد ( حتى التشاكل) عدد منتهٍ فقط من المجموعات التي يمكن أن تظهر كمجموعات التواء لـ E ( K ) لمنحنى إهليلجي معرف على حقل عددي K من الدرجة d . بتعبير أدق، ^{[ 22 ]} يوجد عدد B ( d ) بحيث يكون لأي منحنى إهليلجي E معرف على حقل عددي K من الدرجة d ، أي نقطة التواء لـ E ( K ) من رتبة أقل من B ( d ). تُعدّ النظرية فعّالة: بالنسبة لـ d > 1، إذا كانت نقطة الالتواء من الرتبة p ، حيث p عدد أولي، فإن

${\displaystyle p<d^{3d^{2}}}$

أما بالنسبة للنقاط الصحيحة، فإن نظرية سيجل تُعمم على النحو التالي: ليكن E منحنى إهليلجيًا مُعرَّفًا على حقل عددي K ، و x و y إحداثيات فايرشتراس. عندئذٍ، يوجد عدد محدود فقط من نقاط E(K) التي يقع إحداثيها x في حلقة الأعداد الصحيحة O ∈ _K.

ويمكن أيضًا توسيع خصائص دالة زيتا هاس-ويل وتخمين بيرش وسوينرتون-داير لتشمل هذه الحالة الأكثر عمومية.

إن صياغة المنحنيات الإهليلجية على أنها تضمين لسطح حلقي في المستوى الإسقاطي المركب تنبع بشكل طبيعي من خاصية غريبة لدوال فايرشتراس الإهليلجية . وترتبط هذه الدوال ومشتقاتها الأولى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

هنا، _g₂ و g₃ ثابتان ؛ و℘( _z ) هي دالة فايرشتراس الإهليلجية ، و℘ ′ ( z ) مشتقتها. من الواضح أن هذه العلاقة تأخذ شكل منحنى إهليلجي (على الأعداد المركبة ). دوال فايرشتراس دورية مزدوجة؛ أي أنها دورية بالنسبة للشبكة Λ ؛ في جوهرها، تُعرَّف دوال فايرشتراس بشكل طبيعي على سطح حلقي T = C /Λ . يمكن تضمين هذا السطح الحلقي في المستوى الإسقاطي المركب بواسطة التحويل

${\displaystyle z\mapsto \left[1:\wp (z):{\tfrac {1}{2}}\wp '(z)\right]}$

هذه الخريطة هي تماثل زمر للسطح الحلقي (مع الأخذ في الاعتبار بنيته الزمرية الطبيعية) مع قانون زمرة الوتر والمماس على المنحنى التكعيبي الذي يمثل صورة هذه الخريطة. وهي أيضًا تماثل لأسطح ريمان من السطح الحلقي إلى المنحنى التكعيبي، لذا من الناحية الطوبولوجية، يُعد المنحنى الإهليلجي سطحًا حلقيًا. إذا كانت الشبكة Λ مرتبطة بالضرب في عدد عقدي غير صفري c بشبكة c Λ ، فإن المنحنيات المقابلة تكون متماثلة. تُحدد فئات التماثل للمنحنيات الإهليلجية بواسطة الثابت j .

يمكن فهم فئات التشاكل بطريقة أبسط أيضًا. فالثوابت g₂ _و g₃ ، التي تُسمى الثوابت المعيارية ، تُحدد بشكل فريد بواسطة الشبكة، أي بواسطة بنية الطارة. ومع ذلك، فإن جميع كثيرات الحدود الحقيقية تتحلل كليًا إلى عوامل خطية على الأعداد المركبة، لأن حقل الأعداد المركبة هو _{الإغلاق} الجبري للأعداد الحقيقية. لذا، يمكن كتابة المنحنى الإهليلجي على النحو التالي:

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

يجد المرء أن

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}'&={\frac {\sqrt[{3}]{4}}{3}}\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)\\[4pt]g_{3}'&={\frac {1}{27}}(\lambda +1)\left(2\lambda ^{2}-5\lambda +2\right)\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {{g_{2}'}^{3}}{{g_{2}'}^{3}-27{g_{3}'}^{2}}}=256{\frac {\left(\lambda ^{2}-\lambda +1\right)^{3}}{\lambda ^{2}\left(\lambda -1\right)^{2}}}}$

مع ثبات j ( τ ) و λ ( τ ) ، يُطلق عليها أحيانًا اسم دالة لامدا المعيارية . على سبيل المثال، إذا كان τ = 2i ، فإن λ (2i ) = (−1 + √2 ) ^/4، مما يعني أن g ′ ₍₂ ) و g ′( ₃₎ هما دالتان ثابتتان ، وبالتالي g ′ ₍₂₎ ^/3.− 27 غ ′ ₃ ²جميع عناصر الصيغة أعلاه أعداد جبرية إذا كان τ يتضمن حقلًا تربيعيًا تخيليًا . في الواقع، ينتج عنها العدد الصحيح j (2i ) = ⁶⁶³ =287 496 .

في المقابل، المميز المعياري

${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}$

هو عمومًا عدد متسامٍ . على وجه الخصوص، قيمة دالة ديديكيند إيتا η (2 i ) هي

${\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}}$

لاحظ أن نظرية التوحيد تنص على أنه يمكن تمثيل كل سطح ريمان مضغوط من النوع واحد على شكل حلقة. وهذا يسمح أيضًا بفهم سهل لنقاط الالتواء على منحنى إهليلجي: إذا كانت الشبكة Λ ممتدة بواسطة الفترات الأساسية ω1 و ω2 _، فإن نقاط الالتواء من _الرتبة n هي (فئات التكافؤ لـ) النقاط من الشكل

${\displaystyle {\frac {a}{n}}\omega _{1}+{\frac {b}{n}}\omega _{2}}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة a و b في النطاق 0 ≤ ( a , b ) < n .

لو

${\displaystyle E:y^{2}=4(x-e_{1})(x-e_{2})(x-e_{3})}$

هو منحنى إهليلجي على الأعداد المركبة و

${\displaystyle a_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{3}}},\qquad b_{0}={\sqrt {e_{1}-e_{2}}},\qquad c_{0}={\sqrt {e_{2}-e_{3}}},}$

ثم يمكن حساب زوج من الدورات الأساسية لـ E بسرعة كبيرة بواسطة

${\displaystyle \omega _{1}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (a_{0},b_{0})}},\qquad \omega _{2}={\frac {\pi }{\operatorname {M} (c_{0},ib_{0})}}}$

M( w , z ) هو المتوسط ​​الحسابي-الهندسي للمتغيرين w و z . في كل خطوة من خطوات حساب المتوسط ​​الحسابي-الهندسي، تُختار إشارات z_{_n الناتجة عن غموض حسابات المتوسط ​​الهندسي بحيث يكون} | w _{_n} - z _{_n} | ≤ | w_n + z _n | ، حيث يُمثل w _{_n} و z _{_n} المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي للمتغيرين w و z على التوالي. عندما يكون | w _{_n} - z _{_n} | = | w _{_n} + z_{_n} | ، يكون هناك شرط إضافي وهو أن Im ( z _{_n} / w_{_n} ) > 0. ^{[ 23 ]}

في مجموعة الأعداد المركبة، يحتوي كل منحنى إهليلجي على تسع نقاط انعطاف . كل خط يمر بنقطتين من هذه النقاط يمر أيضًا بنقطة انعطاف ثالثة؛ تشكل النقاط التسع والخطوط الـ 12 المتكونة بهذه الطريقة تحقيقًا لتكوين هيسه .

بالنظر إلى التماثل

${\displaystyle f:E\to E'}$

منحنيات إهليلجية من الدرجة${\displaystyle n}$، التماثل الثنائي هو تماثل

${\displaystyle {\hat {f}}:E'\to E}$

من نفس الدرجة بحيث

${\displaystyle f\circ {\hat {f}}=[n].}$

هنا${\displaystyle [n]}$يشير إلى عملية الضرب في${\displaystyle n}$التماثل الجيني${\displaystyle e\mapsto ne}$والتي لها درجة${\displaystyle n^{2}.}$

تُستخدم المنحنيات الإهليلجية على الحقول المنتهية في بعض تطبيقات التشفير، وكذلك في تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية . وتتلخص الفكرة العامة في هذه التطبيقات في إعادة كتابة خوارزمية معروفة تستخدم مجموعات منتهية معينة، لتستخدم مجموعات النقاط النسبية للمنحنيات الإهليلجية. للمزيد، انظر أيضًا:

• التشفير باستخدام المنحنى الإهليلجي
  • مولد الأرقام العشوائية المزدوج EC DRBG
  • خوارزمية التوقيع الرقمي لـ EdDSA
  • تبادل مفاتيح ديفي-هيلمان باستخدام المنحنى الإهليلجي (ECDH)
  • خوارزمية التوقيع الرقمي للمنحنى الإهليلجي (ECDSA)
  • تبادل مفاتيح التماثل الفائق التفرد
• إثبات أولية المنحنى الإهليلجي
• تحليل منحنى لينسترا الإهليلجي

• منحنى دوش-إيكارت-كوهيل الموجه نحو المضاعفة
• منحنى إدواردز
• منحنى هيسيان
• منحنى جاكوبيان
• منحنى مونتغمري
• منحنى دوش-إيكارت-كوهيل الموجه نحو التثليث
• منحنى ملتوٍ
• منحنى إدواردز الملتوي
• منحنى هيسيان ملتوٍ

• الديناميكا الحسابية
• مقارنة أنظمة الجبر الحاسوبي
• الجبر الإهليلجي
• سطح إهليلجي
• التماثل الجيني
• خط جيه
• بنية المستويات (الهندسة الجبرية)
• نظرية النمطية
• مجموعة من المنحنيات الإهليلجية
• نظرية ناجل-لوتز
• صيغة ريمان-هرويتز
• برهان وايلز على نظرية فيرما الأخيرة

ذكر سيرج لانغ ، في مقدمة الكتاب المذكور أدناه، أنه "من الممكن الكتابة بلا نهاية عن المنحنيات الإهليلجية. (وهذا ليس تهديدًا)". وبالتالي، فإن القائمة المختصرة التالية هي في أحسن الأحوال دليل على الأدبيات التوضيحية الواسعة المتاحة حول الجوانب النظرية والخوارزمية والتشفيرية للمنحنيات الإهليلجية.

• إيان بليك؛ جاديل سيروسي؛ نايجل سمارت (2000). المنحنيات الإهليلجية في علم التشفير . سلسلة محاضرات جمعية لندن للرياضيات. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-65374-6.
• براون، عزرا (2000). "ثلاثة مسارات فيرما للمنحنيات الإهليلجية". مجلة الرياضيات الجامعية . 31 (3): 162-172 . doi : 10.1080/07468342.2000.11974137 . S2CID 5591395 . الفائز بجائزة الكتابة من جمعية المؤلفين الأمريكيين وجائزة جورج بوليا
• ريتشارد كراندال ؛ كارل بوميرانس (2001). "الفصل 7: الحساب على المنحنيات الإهليلجية". الأعداد الأولية: منظور حسابي (  الطبعة الأولى). سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 285-352 . ISBN  0-387-94777-9.
• كريمونا، جون (1997). خوارزميات المنحنيات الإهليلجية المعيارية (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-59820-6.
• داريل هانكرسون، ألفريد مينيزيس، وسكوت فانستون (2004). دليل تشفير المنحنيات الإهليلجية . سبرينغر . ISBN 0-387-95273-X.
• هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (2008) [1938]. مدخل إلى نظرية الأعداد . مراجعة دي آر هيث براون وجيه إتش سيلفرمان . مقدمة بقلم أندرو وايلز . (  الطبعة السادسة). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-921986-5. السيد 2445243 . زبل 1159.11001 .   الفصل الخامس والعشرون
• هيليغوارتش، إيف (2001). دعوة للرياضيات من فيرما-ويلز . باريس: دونود. رقم ISBN 978-2-10-005508-1.
• هوسمولر، ديل (2004). المنحنيات الإهليلجية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  111 (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-387-95490-2.
• كينيث أيرلاند؛ مايكل آي. روزن (1998). "الفصلان 18 و19". مدخل كلاسيكي لنظرية الأعداد الحديثة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  84 (  الطبعة الثانية المنقحة). سبرينغر. ISBN 0-387-97329-X.
• كناب، أنتوني و. (2018) [1992]. المنحنيات الإهليلجية . ملاحظات رياضية. المجلد  40. مطبعة جامعة برينستون. ISBN 9780691186900.
• كوبليتز، نيل (1993). مقدمة في المنحنيات الإهليلجية والأشكال النمطية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  97 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-97966-2.
• كوبليتز، نيل (1994). "الفصل 6". دورة في نظرية الأعداد والتشفير . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  114 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-94293-9.
• سيرج لانج (1978). المنحنيات الإهليلجية: تحليل الديوفانتين . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  231. سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-08489-4.
• هنري ماكين ؛ فيكتور مول (1999). المنحنيات الإهليلجية: نظرية الدوال، والهندسة، والحساب . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-65817-9.
• إيفان نيفن ؛ هربرت س. زوكرمان؛ هيو مونتغمري (1991). "القسم 5.7" . مدخل إلى نظرية الأعداد (  الطبعة الخامسة). جون وايلي. ISBN 0-471-54600-3.
• سيلفرمان، جوزيف هـ. (1986). حساب المنحنيات الإهليلجية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  106. سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-96203-4.
• جوزيف هـ. سيلفرمان (1994). مواضيع متقدمة في حساب المنحنيات الإهليلجية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  151. سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-94328-5.
• جوزيف هـ. سيلفرمان ؛ جون تيت (1992). النقاط العقلانية على المنحنيات الإهليلجية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-97825-9.
• جون تيت (1974). "حساب المنحنيات الإهليلجية". Inventiones Mathematicae . 23 ( 3-4 ): 179-206 . Bibcode : 1974InMat..23..179T . doi : 10.1007/BF01389745 . S2CID 120008651 . 
• لورانس واشنطن (2003). المنحنيات الإهليلجية: نظرية الأعداد والتشفير . تشابمان آند هول/سي آر سي. رقم ISBN 1-58488-365-0.

• LMFDB: قاعدة بيانات المنحنيات الإهليلجية على Q
• "المنحنى الإهليلجي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المنحنيات الإهليلجية" . عالم الرياضيات .
• حساب المنحنيات الإهليلجية من PlanetMath
• منحنى إهليلجي تفاعلي فوق R وفوق Zp - تطبيق ويب يتطلب متصفحًا يدعم HTML5.
• تصوير المنحنيات الإهليلجية . ورقة بحثية مرجعية

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Isogeny على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .