تسلسل

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ترتيب الأعداد الأولية ترتيبًا طبيعيًا يُعطي المتتالية (2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، ...) . تُستخدم الأعداد الأولية على نطاق واسع في الرياضيات ، وخاصة في نظرية الأعداد حيث توجد العديد من النتائج المتعلقة بها.

أعداد فيبوناتشي هي متتالية يكون كل عنصر فيها مجموع العنصرين السابقين له. العنصران الأول والثاني هما 0 و1 على التوالي، لذا فإن المتتالية هي (0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، ...) . ^{[ 1 ]}

تتضمن بعض المتتاليات أعدادًا نسبية . على سبيل المثال، تقترب المتتالية (0.9، 0.99، 0.999، 0.9999، ...) من العدد 1. ومثال آخر، π هي نهاية المتتالية (3، 3.1، 3.14، 3.141، 3.1415، ...) ، وهي متتالية متزايدة. في الواقع، يمكن كتابة أي عدد حقيقي على شكل نهاية متتالية من الأعداد النسبية (مثلًا من خلال تمثيله العشري ، انظر أيضًا اكتمال الأعداد الحقيقية ). يتكون نوع مشابه من المتتاليات من الأرقام العشرية لعدد حقيقي، مثل متتالية أرقام π ، (3، 1، 4، 1، 5، 9، ...) . لا تحتوي هذه المتتالية على أي نمط واضح للعيان.

يمكن أن تكون عناصر المتتالية دوالًا بدلًا من أعداد. على سبيل المثال، يشكل الأساس الأحادي لكثيرات الحدود لمتغير واحد المتتالية${\displaystyle (x\mapsto 1,x\mapsto x,x\mapsto x^{2},x\mapsto x^{3},\ldots )}$باستخدام رمز السهم .

تتضمن الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة قائمة كبيرة من الأمثلة على تسلسلات الأعداد الصحيحة. ^{[ 3 ]}

قد تكون هناك رموز أخرى مفيدة للمتتاليات التي يصعب تخمين نمطها، أو للمتتاليات التي لا تملك نمطًا محددًا، مثل أرقام العدد π . أحد هذه الرموز هو كتابة صيغة عامة لحساب الحد النوني كدالة في n ، ووضعها بين قوسين، وإضافة رمز سفلي يشير إلى مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها n . على سبيل المثال، في هذا الرمز، يمكن كتابة متتالية الأعداد الزوجية على النحو التالي:${\displaystyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$، حيث${\displaystyle \mathbb {N} }$يرمز إلى مجموعة الأعداد الطبيعية . ويمكن كتابةمتتالية الأعداد المربعة على النحو التالي:${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$يُطلق على المتغير n اسم الفهرس ، وتُسمى مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها مجموعة الفهرس .

من المفيد غالبًا الجمع بين هذه الصيغة وتقنية التعامل مع عناصر المتتالية كمتغيرات فردية. ينتج عن ذلك تعابير مثل${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$، وهو ما يشير إلى متتالية يكون عنصرها النوني معطى بالمتغير${\displaystyle a_{n}}$. على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{العنصر الأول من }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{العنصر الثاني}}\\a_{3}&=3{\text{العنصر الثالث}}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{العنصر}}\\a_{n}&=n{\text{العنصر}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{العنصر}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

يمكن للمرء أن ينظر في عدة تسلسلات في نفس الوقت باستخدام متغيرات مختلفة؛ على سبيل المثال${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$قد يكون تسلسلًا مختلفًا عن${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$بل يمكن للمرء أن يفكر في سلسلة من السلاسل:${\displaystyle {\bigl (}(a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }{\bigr )}_{m\in \mathbb {N} }}$يرمز إلى متتالية حدها m هو المتتالية${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$.

An alternative to writing the domain of a sequence in the subscript is to indicate the range of values that the index can take by listing its highest and lowest legal values. For example, the notation ${\textstyle (ك^{2}){\vphantom {)}}_{ك=1}^{10}}$ denotes the ten-term sequence of squares ${\displaystyle (1,4,9,\ldots ,100)}$. Using the symbol ${\displaystyle \infty }$ as an upper limit means that the indices continue infinitely. For example, the notations ${\textstyle {(2n-1)}_{n=1}^{\infty }}$ and ${\textstyle (2n-1)_{n\in \mathbb {N} }}$ both describe the sequence of odd integers (1, 3, 5, ...).

A bi-infinite sequence is a sequence indexed by ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠, the set of all integers, and therefore continues infinitely in both negative and positive directions. Such a sequence can be written as ${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$, ${\textstyle {(a_{n})}_{n\in \mathbb {Z} }}$, or ${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$.

In cases where the set of indexing numbers is understood, the subscripts and superscripts are often left off. That is, one simply writes ${\textstyle (a_{n})}$ for an arbitrary sequence. Typically the index n is then understood to run over all natural numbers starting from 1, or sometimes over all non-negative integers starting from 0.

Sequences whose elements are related to the previous elements in a straightforward way are often defined using recursion. This is in contrast to the definition of sequences of elements as functions of their positions.

To define a sequence by recursion, one needs a rule, called recurrence relation to construct each element in terms of the ones before it. In addition, enough initial elements must be provided so that all subsequent elements of the sequence can be computed by successive applications of the recurrence relation.

The Fibonacci sequence is a simple classical example, defined by the recurrence relation

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}$

with initial terms ${\displaystyle a_{0}=0}$ and ${\displaystyle a_{1}=1}$. The first several terms can be simply computed as (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...).

A complicated example of a sequence defined by a recurrence relation is Recamán's sequence,^[4] defined by the recurrence relation

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{otherwise}},\end{cases}}}$

with initial term ${\displaystyle a_{0}=0.}$

A linear recurrence with constant coefficients is a recurrence relation of the form

${\displaystyle a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

where ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$ are constants. There is a general method for expressing the general term ${\displaystyle a_{n}}$ of such a sequence as a function of n; see Linear recurrence. In the case of the Fibonacci sequence, one has ${\displaystyle c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,}$ and the resulting function of n is given by Binet's formula.

A holonomic sequence is a sequence defined by a recurrence relation of the form

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

where ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$هي كثيرات حدود في n . بالنسبة لمعظم المتتابعات الهولونومية، لا توجد صيغة صريحة للتعبير عنها.${\displaystyle a_{n}}$كدالة لـ n . ومع ذلك، تلعب المتتابعات الهولونومية دورًا هامًا في مجالات متنوعة من الرياضيات. على سبيل المثال، تمتلك العديد من الدوال الخاصة متسلسلة تايلور تكون متتابعة معاملاتها هولونومية. يتيح استخدام علاقة التكرار حسابًا سريعًا لقيم هذه الدوال الخاصة.

لا يمكن تحديد جميع المتتاليات بعلاقة تكرارية. ومن الأمثلة على ذلك متتالية الأعداد الأولية بترتيبها الطبيعي (2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، ...) .

بصورة رسمية، يمكن تعريف المتتالية بأنها دالة مجالها فترة من الأعداد الصحيحة . عناصر المجال هي مواقع أو مؤشرات عناصر المتتالية، بينما القيم التي تأخذها الدالة هي عناصر المتتالية. قد تكون الفترة منتهية أو غير منتهية؛ لذا، يشمل هذا التعريف استخدامات متعددة لكلمة "متتالية"، بما في ذلك المتتاليات غير المنتهية من جانب واحد، والمتتاليات غير المنتهية من الجانبين، والمتتاليات المنتهية (انظر أدناه لتعريفات هذه الأنواع من المتتاليات). في بعض السياقات، يُحدد المجال المقابل للمتتالية (القيم الممكنة لحدودها) بحسب السياق، على سبيل المثال باشتراط أن يكون المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية، ^{[ 5 ]} المجموعة${\displaystyle \mathbb {C} }$من الأعداد المركبة، ^{[ 6 ]} أو فضاء طوبولوجي . ^{[ 7 ]}

على الرغم من أن المتتاليات نوع من الدوال، إلا أنها تُفرّق عادةً عن الدوال الأخرى في طريقة كتابة الرموز، حيث يُكتب المُدخل كرمز سفلي بدلاً من بين قوسين، أي _aⁿ بدلاً من a ( n ) . وهناك اختلافات مصطلحية أيضاً: تُسمى قيمة المتتالية عند أصغر مُدخل (غالباً 1 ) "العنصر الأول" في المتتالية، وتُسمى القيمة عند ثاني أصغر مُدخل (غالباً 2 ) "العنصر الثاني"، وهكذا. كذلك، بينما يُرمز عادةً للدالة المُجرّدة من مُدخلها بحرف واحد (مثل f )، فإن المتتالية المُجرّدة من مُدخلها تُكتب عادةً برمز مثل${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$أو كما هو الحال${\textstyle (a_{n}).}$هنا A هو المجال، أو مجموعة الفهارس، للتسلسل.

يُعرَّف طول المتتالية بأنه عدد الحدود الموجودة في المتتالية .

المتتالية ذات الطول المحدود هي متتالية منتهية . وتُسمى المتتالية المنتهية ذات الطول n أيضًا بالمتتالية n -tuple . تشمل المتتاليات المنتهية المتتالية الفارغة ، والتي يُرمز لها بـ (  ) ، والتي لا تحتوي على أي عناصر.

يشير مصطلح " المتتالية اللانهائية" عادةً إلى متتالية لانهائية في اتجاه واحد، ومحدودة في الاتجاه الآخر؛ تحتوي هذه المتتالية على عنصر أول، ولكن ليس لها عنصر أخير، وتُسمى " متتالية لانهائية أحادية" أو " متتالية لانهائية أحادية الجانب" عند الحاجة إلى توضيح المعنى. في المقابل، تُسمى المتتالية اللانهائية في كلا الاتجاهين - أي التي لا تحتوي على عنصر أول ولا عنصر أخير - " متتالية لانهائية ثنائية" أو " متتالية لانهائية مزدوجة" .${\displaystyle \mathbb {Z} }$يمكن تعريف مجموعة جميع الأعداد الصحيحة ، على سبيل المثال، متتالية جميع الأعداد الزوجية (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...) ، بأنها متتالية ثنائية اللانهاية. ويمكن الإشارة إلى هذه المتتالية بالرمز التالي:${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$.

يُقال إن المتتالية متزايدة بشكل رتيب إذا كان كل حد فيها أكبر من أو يساوي الحد الذي يسبقه. على سبيل المثال، المتتالية${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$تكون الدالة متزايدة بشكل رتيب إذا وفقط إذا${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$إذا كان كل حد متتالٍ أكبر من الحد السابق له، فإن المتتالية تُسمى متزايدة رتيبة تمامًا . وتكون المتتالية متناقصة رتيبة إذا كان كل حد متتالٍ أصغر من أو يساوي الحد السابق له، وتكون متناقصة رتيبة تمامًا إذا كان كل حد أصغر من الحد السابق له. وإذا كانت المتتالية إما متزايدة أو متناقصة، فإنها تُسمى متتالية رتيبة . وهذه حالة خاصة من المفهوم الأعم للدالة الرتيبة .

غالباً ما يتم استخدام مصطلحي "غير متناقص" و "غير متزايد" بدلاً من "متزايد " و "متناقص" لتجنب أي لبس محتمل مع "متزايد تماماً" و "متناقص تماماً" على التوالي.

إذا كانت متتالية الأعداد الحقيقية ( an ₎ بحيث تكون جميع حدودها أصغر من عدد حقيقي M ، فإن المتتالية تُسمى محدودة من الأعلى . بعبارة أخرى، هذا يعني أنه يوجد عدد حقيقي M بحيث يكون an ≤ M لكل n . _يُسمى أي عدد حقيقي M من هذا النوع حدًا أعلى . وبالمثل، إذا كان an ≥ m لكل n أكبر من عدد حقيقي N _، فإن المتتالية تكون محدودة من الأسفل ، ويُسمى أي عدد حقيقي m من هذا النوع حدًا أدنى . إذا كانت المتتالية محدودة من الأعلى ومن الأسفل، فإنها تُسمى محدودة .

المتتالية الجزئية لمتتالية معينة هي متتالية تتكون من المتتالية الأصلية بحذف بعض عناصرها دون تغيير مواقع العناصر المتبقية. على سبيل المثال، متتالية الأعداد الزوجية الموجبة (2، 4، 6، ...) هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الموجبة (1، 2، 3، ...) . تتغير مواقع بعض العناصر عند حذف عناصر أخرى، لكن مواقعها النسبية تبقى ثابتة.

بصورة رسمية، تسلسل فرعي من التسلسل${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$أي تسلسل من الشكل${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$، أين${\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$هي متتالية متزايدة تمامًا من الأعداد الصحيحة الموجبة.

تتضمن بعض أنواع التسلسلات الأخرى التي يسهل تعريفها ما يلي:

• المتتالية العددية الصحيحة هي متتالية تكون حدودها أعدادًا صحيحة.
• المتتالية متعددة الحدود هي متتالية تكون حدودها متعددة الحدود.
• تُسمى متتالية الأعداد الصحيحة الموجبة أحيانًا متتالية ضربية ، إذا كان a _{_nm} = a _an a_{_m} لجميع أزواج n و m التي يكون فيها n و m أوليين فيما بينهما . ^{[ 8 ]} وفي حالات أخرى، تُسمى المتتاليات غالبًا متتالية ضربية ، إذا كان a _{_n} = a_{na  1} لجميع قيم n . علاوة على ذلك، فإن متتالية فيبوناتشي الضربية ^{[ 9 ]} تحقق العلاقة التكرارية a _{_n} = a _{_{n -1}} a _{_{n- 2}} .
• التسلسل الثنائي هو تسلسل تكون حدوده واحدة من قيمتين منفصلتين، على سبيل المثال قيم الأساس 2 (0، 1، 1، 0، ...) ، وسلسلة من رميات العملة (الرأس/الذيل) (H، T، H، H، T، ...)، وإجابات مجموعة من أسئلة الصواب أو الخطأ (T، F، T، T، ...)، وما إلى ذلك.

متتالية من الأعداد الحقيقية${\displaystyle (a_{n})}$يتقارب إلى عدد حقيقي${\displaystyle L}$إذا، من أجل الجميع${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n\geq N}$لدينا ^{[ 5 ]}

${\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon .}$

لو${\displaystyle (a_{n})}$إذا كانت متتالية من الأعداد المركبة وليست متتالية من الأعداد الحقيقية، فلا يزال من الممكن استخدام هذه الصيغة الأخيرة لتحديد التقارب، بشرط أن${\displaystyle |\cdot |}$يرمز إلى المعامل ، أي${\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}$، أين${\displaystyle z^{*}}$هو المرافق المعقد لـ${\displaystyle z}$إذا​${\displaystyle (a_{n})}$إذا كانت سلسلة من النقاط في فضاء متري ، فيمكن استخدام الصيغة لتعريف التقارب، إذا كان التعبير${\displaystyle |a_{n}-L|}$يتم استبدالها بالتعبير${\displaystyle \operatorname {dist} (a_{n},L)}$، وهو ما يدل على المسافة بين${\displaystyle a_{n}}$و${\displaystyle L}$.

لو${\displaystyle (a_{n})}$و${\displaystyle (b_{n})}$إذا كانت متتابعات متقاربة، فإن النهايات التالية موجودة، ويمكن حسابها على النحو التالي: ^{[ 5 ] [ 10 ]}

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$لجميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$بشرط أن${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}}$للجميع${\displaystyle p>0}$و${\displaystyle a_{n}>0}$

علاوة على ذلك:

• لو${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$للجميع${\displaystyle n}$أكبر من بعض${\displaystyle N}$، ثم${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$. ^{[ أ ]}
• ( نظرية الضغط ) إذا${\displaystyle (c_{n})}$هي متتالية بحيث${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$للجميع${\displaystyle n>N}$و${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$، ثم${\displaystyle (c_{n})}$متقاربة، و${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$.
• إذا كانت المتتالية محدودة ورتيبة، فإنها تكون متقاربة.
• تكون المتتالية متقاربة إذا وفقط إذا كانت جميع متتالياتها الفرعية متقاربة.

متتالية كوشي هي متتالية تتقارب حدودها بشكل كبير كلما ازداد عدد عناصرها n. يُعد مفهوم متتالية كوشي مهمًا في دراسة المتتاليات في الفضاءات المترية ، وخاصة في التحليل الحقيقي . ومن أهم نتائج التحليل الحقيقي توصيف كوشي لتقارب المتتاليات .

تكون متتالية الأعداد الحقيقية متقاربة (في الأعداد الحقيقية) إذا وفقط إذا كانت متقاربة كوشي.

في المقابل، توجد متتابعات كوشي من الأعداد النسبية غير متقاربة في الأعداد النسبية، على سبيل المثال المتتابعة المعرفة بواسطة${\displaystyle x_{1}=1}$و${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}}$هي متتالية كوشي، لكن ليس لها نهاية نسبية (انظر متتالية كوشي §  مثال غير صحيح: الأعداد النسبية ). وبشكل أعم، أي متتالية من الأعداد النسبية تتقارب إلى عدد غير نسبي هي متتالية كوشي، لكنها ليست متقاربة عند تفسيرها كمتتالية في مجموعة الأعداد النسبية.

تُسمى الفضاءات المترية التي تحقق توصيف كوشي للتقارب بالنسبة للمتتاليات بالفضاءات المترية الكاملة وهي مفيدة بشكل خاص للتحليل.

في حساب التفاضل والتكامل، من الشائع تعريف رموز للمتتاليات التي لا تتقارب بالمعنى المذكور أعلاه، ولكنها بدلاً من ذلك تصبح وتبقى كبيرة بشكل تعسفي، أو تصبح وتبقى سالبة بشكل تعسفي. إذا${\displaystyle a_{n}}$يصبح كبيرًا بشكل تعسفي عندما${\displaystyle n\to \infty }$نكتب

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .}$

في هذه الحالة نقول إن المتتالية متباعدة ، أو أنها تتقارب إلى ما لا نهاية . مثال على هذه المتتالية هو a _n = n .

لو${\displaystyle a_{n}}$يصبح سالباً بشكل تعسفي (أي سالباً وكبيراً في المقدار) عندما${\displaystyle n\to \infty }$نكتب

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$

ونقول إن المتتالية تتباعد أو تتقارب إلى سالب ما لا نهاية .

تلعب المتتاليات دورًا هامًا في علم الطوبولوجيا، وخاصة في دراسة الفضاءات المترية . على سبيل المثال:

• تكون الفضاءات المترية متراصة بالضبط عندما تكون متراصة تسلسلياً .
• تكون الدالة من فضاء متري إلى فضاء متري آخر متصلة بالضبط عندما تأخذ متتابعات متقاربة إلى متتابعات متقاربة.
• الفضاء المتري هو فضاء متصل إذا وفقط إذا كان، كلما تم تقسيم الفضاء إلى مجموعتين، تحتوي إحدى المجموعتين على متتالية تتقارب إلى نقطة في المجموعة الأخرى.
• تكون الفضاءات الطوبولوجية قابلة للفصل تحديداً عندما يكون هناك تسلسل كثيف من النقاط.

يمكن تعميم المتتاليات لتشمل الشبكات أو المرشحات . تسمح هذه التعميمات بتوسيع بعض النظريات المذكورة أعلاه لتشمل الفضاءات التي لا تحتوي على مقاييس.

عند مناقشة المتتاليات في التحليل ، يُنظر عمومًا إلى المتتاليات التي تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$

أي بمعنى آخر، سلاسل لا نهائية من العناصر المفهرسة بالأعداد الطبيعية .

قد تبدأ المتتالية بفهرس مختلف عن 1 أو 0. على سبيل المثال، المتتالية المعرفة بالعلاقة x _{_n} = 1/log( n ) ، حيث log هو اللوغاريتم الطبيعي ، تكون معرفة فقط عندما n ≥ 2. عند الحديث عن مثل هذه المتتاليات اللانهائية، يكفي عادةً (ولا يتغير هذا كثيرًا في معظم الحالات) افتراض أن عناصر المتتالية معرفة على الأقل لجميع الفهارس الكبيرة بما يكفي ، أي أكبر من قيمة معينة N.

أبسط أنواع المتتابعات هي المتتابعات العددية، أي متتابعات الأعداد الحقيقية أو المركبة . ويمكن تعميم هذا النوع ليشمل متتابعات عناصر فضاء متجهي ما . وفي التحليل، غالبًا ما تكون الفضاءات المتجهة المدروسة فضاءات دوال . وبشكل أعم، يمكن دراسة متتابعات عناصرها تنتمي إلى فضاء طوبولوجي ما .

يمكن أيضًا النظر إلى المتتاليات على حقل ما على أنها متجهات في فضاء متجهي . على وجه التحديد، فإن مجموعة المتتاليات ذات القيم في الحقل F (حيث F حقل) هي فضاء دالة (في الواقع، فضاء ضرب ) للدوال ذات القيم في الحقل F على مجموعة الأعداد الطبيعية.

يستخدم الجبر المجرد عدة أنواع من المتتاليات، بما في ذلك متتاليات الكائنات الرياضية مثل المجموعات أو الحلقات.

المتتالية المفهرسة ترتيبيًا هي تعميم للمتتالية. إذا كان α عددًا ترتيبيًا حديًا و X مجموعة، فإن المتتالية المفهرسة بـ α لعناصر X هي دالة من α إلى X. في هذا السياق، تُسمى المتتالية المفهرسة بـ ω متتالية عادية.

في علم الحاسوب ، تُسمى المتتاليات المنتهية بالقوائم . أما المتتاليات التي قد تكون غير منتهية فتُسمى بالتدفقات . وتُسمى المتتاليات المنتهية من الأحرف أو الأرقام بالسلاسل النصية .

تُعدّ المتتاليات اللانهائية من الأرقام (أو الأحرف ) المُستمدة من أبجدية محدودة ذات أهمية خاصة في علوم الحاسوب النظرية . ويُشار إليها غالبًا ببساطة باسم المتتاليات أو التدفقات ، على عكس السلاسل المحدودة . فعلى سبيل المثال، المتتاليات الثنائية اللانهائية هي متتاليات لانهائية من البتات (أحرف مُستمدة من الأبجدية {0، 1} ). وتُسمى المجموعة C = {0، 1} ^∞ لجميع المتتاليات الثنائية اللانهائية أحيانًا بفضاء كانتور .

يمكن تمثيل لغة رسمية (مجموعة من السلاسل) بتسلسل ثنائي لانهائي عن طريق ضبط البت رقم n في التسلسل على 1 إذا وفقط إذا كانت السلسلة رقم n ( بترتيب مختصر ) موجودة في اللغة. هذا التمثيل مفيد في طريقة القطرية المستخدمة في البراهين. ^{[ 11 ]}