الدوال المثلثية العكسية

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 407 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف الدوال المثلثية العكسية (وتُسمى أحيانًا بالدوال المثلثية المضادة ، [ 1 ] أو الدوال الدائرية ، [ 2 ] أو دوال القوس ، [ 3 ] ) بأنها الدوال العكسية للدوال المثلثية ، ضمن نطاقات محددة . وتحديدًا، هي معكوسات دوال الجيب ، وجيب التمام ، والظل ، وظل التمام ، والقاطع ، وقاطع التمام ، [ 4 ] وتُستخدم لحساب الزاوية من أي نسبة مثلثية للزاوية. وتُستخدم الدوال المثلثية العكسية على نطاق واسع في الهندسة ، والملاحة ، والفيزياء ، والهندسة .

الترميز

بالنسبة لدائرة نصف قطرها 1، فإن arcsin و arccos هما أطوال الأقواس الفعلية التي تحددها الكميات المعنية.
مقارنات بين الرسوم البيانية sin x (أسود)، sin [ − 1] x (أزرق)، (sin x ) − 1 (أحمر) و sin ( x − 1 ) (أخضر) من − 2 π إلى 2 π .

توجد عدة رموز للدوال المثلثية العكسية. أكثرها شيوعًا استخدام البادئة arc- : arcsin( x ) ، arccos( x ) ، arctan( x ) ، إلخ. [ 1 ] (يُستخدم هذا الاصطلاح في جميع أنحاء هذه المقالة). ينشأ هذا الرمز من العلاقات الهندسية التالية: عند القياس بالراديان، تُقابل زاوية مقدارها θ راديان قوسًا طوله rθ ، حيث r هو نصف قطر الدائرة. بالتالي، في دائرة الوحدة ، دالة جيب تمام x هي كل من القوس والزاوية، لأن قوس دائرة نصف قطرها 1 هو نفسه الزاوية. أو بعبارة أخرى، "القوس الذي جيب تمامه x " هو نفسه "الزاوية التي جيب تمامها x "، لأن طول قوس الدائرة بنصف القطر هو نفسه قياس الزاوية بالراديان. [ 5 ] في لغات برمجة الحاسوب، غالبًا ما تُسمى الدوال المثلثية العكسية بالصيغ المختصرة asin و acos و atan . [ 6 ]

يستخدم ترميز شائع آخر في المصادر الإنجليزية رمزًا علويًا f − 1 : sin − 1 ( x ) ، cos − 1 ( x ) ، tan − 1 ( x ) ، إلخ، كما قدمه جون هيرشل عام 1813. [ 7 ] [ 8 ] [ 1 ] يتعارض هذا مع الصيغة الشائعة sin 2 ( x ) ، التي تدل على الأسس وليس تركيب الدوال ، وبالتالي قد يؤدي إلى خلط بين ترميز الدالة العكسية ( المعكوس الضربي ) والدالة العكسية . [ 9 ] يُعد اصطلاح الدالة العكسية باستخدام رمز علوي بين قوسين واضحًا ولكنه غير شائع الاستخدام: sin [ − 1] ( x ) ، cos [ − 1] ( x ) ، tan [ − 1] ( x ) .

يُخفف من هذا الغموض استخدام أسماء خاصة للدوال المثلثية المقلوبة، على سبيل المثال، (cos( x )) - 1 = sec( x ) . ومع ذلك، ينصح بعض المؤلفين بعدم استخدامها، لأنها غامضة. [ 1 ] [ 10 ] هناك اصطلاح إشكالي آخر يستخدمه عدد قليل من المؤلفين وهو استخدام حرف كبير في البداية، بالإضافة إلى رمز " -1 " في الأعلى : Sin - 1 ( x ) ، Cos - 1 ( x ) ، Tan - 1 ( x ) ، إلخ. [ 11 ] على الرغم من أن الهدف منه هو تجنب الخلط مع المقلوب ، الذي يجب تمثيله بـ sin - 1 ( x ) ، cos - 1 ( x ) ، إلخ، أو الأفضل من ذلك، بـ sin - 1x ، cos - 1x ، إلخ، إلا أنه بدوره يخلق مصدرًا رئيسيًا آخر للغموض، خاصةً وأن العديد من لغات البرمجة عالية المستوى الشائعة (مثل Mathematica و MAGMA ) تستخدم أسماءً مكتوبة بأحرف كبيرة للدوال المثلثية القياسية.

منذ عام 2019، حدد معيار ISO 80000-2 البادئة "arc" فقط للدوال العكسية.

المفاهيم الأساسية

تمثل النقاط المُعَلَّمة بـ 1 و Sec( θ ) و Csc( θ ) طول القطعة المستقيمة من نقطة الأصل إلى تلك النقطة. أما sin( θ ) و Tan( θ ) و 1 فهي ارتفاعات القطعة المستقيمة بدءًا من المحور السيني ، بينما cos( θ ) و 1 و Cot( θ ) هي أطوال القطعة المستقيمة على طول المحور السيني بدءًا من نقطة الأصل.

القيم الرئيسية

بما أن أياً من الدوال المثلثية الست ليست دالة أحادية ، فلا بد من تقييدها لكي يكون لها دوال عكسية. لذا، فإن نطاقات الدوال العكسية هي مجموعات جزئية فعلية (أي صارمة) من نطاقات الدوال الأصلية.

على سبيل المثال، استخدام الدالة بمعنى الدوال متعددة القيم ، تمامًا مثل دالة الجذر التربيعيy=x{\displaystyle y={\sqrt {x}}}يمكن تعريفها منy2=x،{\displaystyle y^{2}=x,}الوظيفةy=دالة الجيب العكسية⁡(x){\displaystyle y=\arcsin(x)}يتم تعريفها بحيثالخطيئة⁡(y)=x.{\displaystyle \sin(y)=x.}بالنسبة لعدد حقيقي معينx،{\displaystyle x,}مع-1≤x≤1،{\displaystyle -1\leq x\leq 1,}هناك أعداد متعددة (في الواقع، عدد لا نهائي قابل للعد )y{\displaystyle y}بحيثالخطيئة⁡(y)=x{\displaystyle \sin(y)=x}؛ على سبيل المثال،الخطيئة⁡(0)=0،{\displaystyle \sin(0)=0,}ولكن أيضاًالخطيئة⁡(π)=0،{\displaystyle \sin(\pi )=0,}الخطيئة⁡(2π)=0،{\displaystyle \sin(2\pi )=0,}إلخ. عندما تكون هناك حاجة إلى قيمة واحدة فقط، يمكن حصر الدالة في فرعها الرئيسي . مع هذا القيد، لكلx{\displaystyle x}في هذا المجال، التعبيردالة الجيب العكسية⁡(x){\displaystyle \arcsin(x)}ستُقيّم الدالة إلى قيمة واحدة فقط، تُسمى قيمتها الأساسية . تنطبق هذه الخصائص على جميع الدوال المثلثية العكسية.

تم إدراج المعكوسات الرئيسية في الجدول التالي.

اسمالترميز المعتادتعريفمجال x للنتيجة الحقيقيةنطاق القيمة الرئيسية المعتادة ( بالراديان )نطاق القيمة الرئيسية المعتادة ( بالدرجات )
دالة الجيب العكسيy = arcsin( x )x = sin ( y )−1 ≤ x ≤ 1− ⁠ π / 2 ⁠ ≥ ذ ≥ ⁠ π / 2 ⁠−90° ≤ y ≤ 90°
دالة الجيب العكسيةy = arccos( x )x = cos ( y )−1 ≤ x ≤ 10 ≤ y ≤ π0° ≤ y ≤ 180°
ظل الزاوية العكسيy = arctan( x )x = tan ( y )جميع الأرقام الحقيقية− ⁠ π / 2 ⁠ < y < ⁠ π / 2 ⁠−90° < y < 90°
arccotangenty = arccot( x )x = cot ( y )جميع الأرقام الحقيقية0 < y < π0° < y < 180°
قاطع القوسy = arcsec( x )x = sec ( y )| x | ≥ 10 ≤ y < π / 2 أو π / 2 < y ≤ π​​0° ≤ y < 90° أو 90° < y ≤ 180°
مادة مانعة للتسربy = arccsc( x )x = csc ( y )| x | ≥ 1− π / 2 ≤ y < 0 أو 0 < y ≤ π / 2​​−90° ≤ y < 0 أو 0° < y ≤ 90°

ملاحظة: يُعرّف بعض المؤلفين مدى دالة القاطع العكسي بأنه (0≤y<π2{\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}أوπ≤y<3π2{\textstyle \pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}}}[ 12 ] لأن دالة الظل غير سالبة على هذا النطاق. وهذا يجعل بعض العمليات الحسابية أكثر اتساقًا. على سبيل المثال، باستخدام هذا النطاق ،لون برونزي⁡(ثانية قوسية⁡(x))=x2-1،{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},}بينما مع النطاق (0≤y<π2{\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}أوπ2<y≤π{\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi })، سيتعين علينا أن نكتبلون برونزي⁡(ثانية قوسية⁡(x))=±x2-1،{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},}بما أن الظل غير سالب على0≤y<π2،{\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}لكن النتيجة غير إيجابية فيπ2<y≤π.{\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}ولسبب مماثل، يُعرّف المؤلفون أنفسهم نطاق دالة القطع العكسي على النحو التالي:(-π<y≤-π2{\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}أو0<y≤π2).{\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}

النطاقات

إذا سُمح لـ x بأن يكون عددًا مركبًا ، فإن مدى y ينطبق فقط على الجزء الحقيقي منه.

يعرض الجدول أدناه أسماء ومجالات الدوال المثلثية العكسية بالإضافة إلى نطاق قيمها الرئيسية المعتادة بالراديان .

اسمرمزاِختِصاصصورة/نطاقالدالة العكسيةاِختِصاصصورة للقيم الرئيسية
جيبالخطيئة{\displaystyle \sin }:{\displaystyle :} R{\displaystyle \mathbb {R} }→{\displaystyle \to }[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}دالة الجيب العكسية{\displaystyle \arcsin }:{\displaystyle :} [-1،1]{\displaystyle [-1,1]}→{\displaystyle \to }[-π2،π2]{\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]}
جيب التمامكوس{\displaystyle \cos }:{\displaystyle :} R{\displaystyle \mathbb {R} }→{\displaystyle \to }[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}أركوس{\displaystyle \arccos }:{\displaystyle :} [-1،1]{\displaystyle [-1,1]}→{\displaystyle \to }[0،π]{\displaystyle [0,\pi ]}
مماسلون برونزي{\displaystyle \tan }:{\displaystyle :} πZ+(-π2،π2){\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}→{\displaystyle \to }R{\displaystyle \mathbb {R} }دالة الظل العكسي{\displaystyle \arctan }:{\displaystyle :} R{\displaystyle \mathbb {R} }→{\displaystyle \to }(-π2،π2){\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}
ظل التمامسرير أطفال{\displaystyle \cot }:{\displaystyle :} πZ+(0،π){\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}→{\displaystyle \to }R{\displaystyle \mathbb {R} }أركوت{\displaystyle \operatorname {arccot} }:{\displaystyle :} R{\displaystyle \mathbb {R} }→{\displaystyle \to }(0،π){\displaystyle (0,\pi )}
القاطعثانية{\displaystyle \sec }:{\displaystyle :} πZ+(-π2،π2){\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}→{\displaystyle \to }R∖(-1،1){\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}ثانية قوسية{\displaystyle \operatorname {arcsec} }:{\displaystyle :} R∖(-1،1){\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}→{\displaystyle \to }[0،π]∖{π2}{\displaystyle [\,0,\;\pi \,]\;\;\;\setminus \left\{{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}
قاطع التمامcsc{\displaystyle \csc }:{\displaystyle :} πZ+(0،π){\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}→{\displaystyle \to }R∖(-1،1){\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}arccsc{\displaystyle \operatorname {arccsc} }:{\displaystyle :} R∖(-1،1){\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}→{\displaystyle \to }[-π2،π2]∖{0}{\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}

الرمزR=(-∞،∞){\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}يرمز إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية وZ={...،-2،-1،0،1،2،...}{\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}}يرمز إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة . مجموعة جميع مضاعفات العدد الصحيحπ{\displaystyle \pi }يُرمز إليه بـ

πZ := {πن:ن∈Z} = {...،-2π،-π،0،π،2π،...}.{\displaystyle \pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.}

الرمز∖{\displaystyle \,\setminus \,}يشير إلى طرح المجموعات، بحيث، على سبيل المثال،R∖(-1،1)=(-∞،-1]∪[1،∞){\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}هي مجموعة النقاط فيR{\displaystyle \mathbb {R} }(أي الأعداد الحقيقية) التي لا تقع ضمن الفترة(-1،1).{\displaystyle (-1,1).}

تدوين مجموع مينكوفسكيπZ+(0،π){\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}وπZ+(-π2،π2){\displaystyle \pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}}يُستخدم ذلك أعلاه لكتابة مجالاتسرير أطفال،csc،لون برونزي، و ثانية{\displaystyle \cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec }تم شرح ذلك الآن.

مجال ظل التمامسرير أطفال{\displaystyle \cot }وقاطع التمامcsc{\displaystyle \csc }مجالاتسرير أطفال{\displaystyle \,\cot \,}وcsc{\displaystyle \,\csc \,}هي نفسها. إنها مجموعة جميع الزواياθ{\displaystyle \theta }عندهاالخطيئة⁡θ≠0،{\displaystyle \sin \theta \neq 0,}أي جميع الأعداد الحقيقية التي ليست على الشكلπن{\displaystyle \pi n}لبعض الأعداد الصحيحةن،{\displaystyle n,}

πZ+(0،π)=⋯∪(-2π،-π)∪(-π،0)∪(0،π)∪(π،2π)∪⋯=R∖πZ{\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}

مجال المماسلون برونزي{\displaystyle \tan }والقاطعثانية{\displaystyle \sec }مجالاتلون برونزي{\displaystyle \,\tan \,}وثانية{\displaystyle \,\sec \,}هي نفسها. إنها مجموعة جميع الزواياθ{\displaystyle \theta }عندهاكوس⁡θ≠0،{\displaystyle \cos \theta \neq 0,}

πZ+(-π2،π2)=⋯∪(-3π2،-π2)∪(-π2،π2)∪(π2،3π2)∪⋯=R∖(π2+πZ){\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}}

حلول المعادلات المثلثية الأساسية

كل دالة من الدوال المثلثية دورية في الجزء الحقيقي من وسيطها، وتمر بجميع قيمها مرتين في كل فترة من فترات2π:{\displaystyle 2\pi :}

  • تبدأ دورة الجيب وقاطع التمام عند2πك-π2{\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}(أينك{\displaystyle k}(عدد صحيح)، أنهِها عند2πك+π2،{\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}ثم يعكسون أنفسهم2πك+π2{\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}ل2πك+3π2.{\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}
  • تبدأ دورتي جيب التمام والقاطع عند2πك،{\displaystyle 2\pi k,}أنهِ الأمر عند2πك+π.{\displaystyle 2\pi k+\pi .}ثم يعكسون أنفسهم2πك+π{\displaystyle 2\pi k+\pi }ل2πك+2π.{\displaystyle 2\pi k+2\pi .}
  • يبدأ المماس دورته عند2πك-π2،{\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},} ينهيها عند2πك+π2،{\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}ثم يكررها (إلى الأمام) على2πك+π2{\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}ل2πك+3π2.{\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}
  • يبدأ ظل الزاوية كوتانا دورته عند2πك،{\displaystyle 2\pi k,}ينهيها عند2πك+π،{\displaystyle 2\pi k+\pi ,}ثم يكررها (إلى الأمام) على2πك+π{\displaystyle 2\pi k+\pi }ل2πك+2π.{\displaystyle 2\pi k+2\pi .}

تنعكس هذه الدورية في المعكوسات العامة، حيثك{\displaystyle k}هو عدد صحيح.

يوضح الجدول التالي كيفية استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل المعادلات التي تتضمن الدوال المثلثية الست القياسية. ويُفترض أن القيم المعطاةθ،{\displaystyle \theta ,}ر،{\displaystyle r,}s،{\displaystyle s,}x،{\displaystyle x,}وy{\displaystyle y}تقع جميعها ضمن نطاقات مناسبة بحيث تكون التعبيرات ذات الصلة أدناه محددة جيدًا . لاحظ أنه "بالنسبة لبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }" هي مجرد طريقة أخرى لقول "لعدد صحيح ما"ك.{\displaystyle k.}"

الرمز⟺{\displaystyle \,\iff \,}وهي مساواة منطقية وتشير إلى أنه إذا كان الجانب الأيسر صحيحًا فإن الجانب الأيمن صحيح أيضًا، والعكس صحيح، إذا كان الجانب الأيمن صحيحًا فإن الجانب الأيسر صحيح أيضًا (انظر هذه الحاشية [ ملاحظة 1 ] لمزيد من التفاصيل ومثال يوضح هذا المفهوم).

معادلةإذا وفقط إذاحل
الخطيئة⁡θ=y{\displaystyle \sin \theta =y}⟺{\displaystyle \iff }θ={\displaystyle \theta =\,}(-1)ك{\displaystyle (-1)^{k}}دالة الجيب العكسية⁡(y){\displaystyle \arcsin(y)}+{\displaystyle +}πك{\displaystyle \pi k}بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
csc⁡θ=ر{\displaystyle \csc \theta =r}⟺{\displaystyle \iff }θ={\displaystyle \theta =\,}(-1)ك{\displaystyle (-1)^{k}}arccsc⁡(ر){\displaystyle \operatorname {arccsc}(r)}+{\displaystyle +}πك{\displaystyle \pi k}بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
كوس⁡θ=x{\displaystyle \cos \theta =x}⟺{\displaystyle \iff }θ={\displaystyle \theta =\,}±{\displaystyle \pm \,}أركوس⁡(x){\displaystyle \arccos(x)}+{\displaystyle +}2{\displaystyle 2}πك{\displaystyle \pi k}بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
ثانية⁡θ=ر{\displaystyle \sec \theta =r}⟺{\displaystyle \iff }θ={\displaystyle \theta =\,}±{\displaystyle \pm \,}ثانية قوسية⁡(ر){\displaystyle \operatorname {arcsec}(r)}+{\displaystyle +}2{\displaystyle 2}πك{\displaystyle \pi k}بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
لون برونزي⁡θ=s{\displaystyle \tan \theta =s}⟺{\displaystyle \iff }θ={\displaystyle \theta =\,}دالة الظل العكسي⁡(s){\displaystyle \arctan(s)}+{\displaystyle +}πك{\displaystyle \pi k}بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
سرير أطفال⁡θ=ر{\displaystyle \cot \theta =r}⟺{\displaystyle \iff }θ={\displaystyle \theta =\,}أركوت⁡(ر){\displaystyle \operatorname {arccot}(r)}+{\displaystyle +}πك{\displaystyle \pi k}بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }

حيث يمكن كتابة الحلول الأربعة الأولى بصيغة موسعة على النحو التالي:

معادلةإذا وفقط إذاحل
الخطيئة⁡θ=y{\displaystyle \sin \theta =y}⟺{\displaystyle \iff }θ=دالة الجيب العكسية⁡(y)+2πك{\displaystyle \theta =\;\;\;\,\arcsin(y)+2\pi k}          أوθ=-دالة الجيب العكسية⁡(y)+2πك+π{\displaystyle \theta =-\arcsin(y)+2\pi k+\pi }بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
csc⁡θ=ر{\displaystyle \csc \theta =r}⟺{\displaystyle \iff }θ=arccsc⁡(ر)+2πك{\displaystyle \theta =\;\;\;\,\operatorname {arccsc}(r)+2\pi k}          أوθ=-arccsc⁡(ر)+2πك+π{\displaystyle \theta =-\operatorname {arccsc}(r)+2\pi k+\pi }بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
كوس⁡θ=x{\displaystyle \cos \theta =x}⟺{\displaystyle \iff }θ=أركوس⁡(x)+2πك{\displaystyle \theta =\;\;\;\,\arccos(x)+2\pi k}         أوθ=-أركوس⁡(x)+2πك{\displaystyle \theta =-\arccos(x)+2\pi k}بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
ثانية⁡θ=ر{\displaystyle \sec \theta =r}⟺{\displaystyle \iff }θ=ثانية قوسية⁡(ر)+2πك{\displaystyle \theta =\;\;\;\,\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k}         أوθ=-ثانية قوسية⁡(ر)+2πك{\displaystyle \theta =-\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k}بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }

على سبيل المثال، إذاكوس⁡θ=-1{\displaystyle \cos \theta =-1}ثمθ=π+2πك=-π+2π(1+ك){\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}بالنسبة للبعضك∈Z.{\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}بينما إذاالخطيئة⁡θ=±1{\displaystyle \sin \theta =\pm 1}ثمθ=π2+πك=-π2+π(ك+1){\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}بالنسبة للبعضك∈Z،{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}أينك{\displaystyle k}سيكون الأمر كذلك حتى لوالخطيئة⁡θ=1{\displaystyle \sin \theta =1}وسيكون الأمر غريباً إذاالخطيئة⁡θ=-1.{\displaystyle \sin \theta =-1.}المعادلاتثانية⁡θ=-1{\displaystyle \sec \theta =-1}وcsc⁡θ=±1{\displaystyle \csc \theta =\pm 1}لها نفس الحلول مثلكوس⁡θ=-1{\displaystyle \cos \theta =-1}والخطيئة⁡θ=±1،{\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}على التوالي. في جميع المعادلات أعلاه باستثناء تلك التي تم حلها للتو (أي باستثناءالخطيئة{\displaystyle \sin }/csc⁡θ=±1{\displaystyle \csc \theta =\pm 1}وكوس{\displaystyle \cos }/ثانية⁡θ=-1{\displaystyle \sec \theta =-1}), العدد الصحيحك{\displaystyle k}يتم تحديد الصيغة الخاصة بالحل بشكل فريد بواسطةθ{\displaystyle \theta }(لأجل ثابت)ر،s،x،{\displaystyle r,s,x,}وy{\displaystyle y}).

بمساعدة التكافؤ الصحيحالتكافؤ⁡(ح)={0لو ح بل إنه كذلك 1لو ح غريب {\displaystyle \operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}} من الممكن كتابة حل لـكوس⁡θ=x{\displaystyle \cos \theta =x}وهذا لا يشمل "الزائد أو الناقص"±{\displaystyle \,\pm \,}رمز:

جosθ=x{\displaystyle cos\;\theta =x\quad }إذا وفقط إذاθ=(-1)حأركوس⁡(x)+πح+πالتكافؤ⁡(ح){\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }بالنسبة للبعضح∈Z.{\displaystyle h\in \mathbb {Z} .}

وبالمثل بالنسبة لدالة القاطع،

sهـجθ=ر{\displaystyle sec\;\theta =r\quad }إذا وفقط إذاθ=(-1)حثانية قوسية⁡(ر)+πح+πالتكافؤ⁡(ح){\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }بالنسبة للبعضح∈Z،{\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,}

أينπح+πالتكافؤ⁡(ح){\displaystyle \pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)}يساويπح{\displaystyle \pi h}عندما يكون العدد الصحيحح{\displaystyle h}زوجي، ويساويπح+π{\displaystyle \pi h+\pi }عندما يكون الأمر غريباً.

مثال وشرح مفصل لرمز "الزائد أو الناقص" ±

حلول لـكوس⁡θ=x{\displaystyle \cos \theta =x}وثانية⁡θ=x{\displaystyle \sec \theta =x}يتضمن رمز "الزائد أو الناقص".±،{\displaystyle \,\pm ,\,}وقد اتضح معناه الآن. الحل الوحيد لـكوس⁡θ=x{\displaystyle \cos \theta =x}سيتم مناقشة هذا الموضوع منذ بدء المناقشة حولثانية⁡θ=x{\displaystyle \sec \theta =x}هو نفسه. لقد أُعطيناx{\displaystyle x}بين-1≤x≤1{\displaystyle -1\leq x\leq 1}ونعلم أن هناك زاويةθ{\displaystyle \theta }في فترة زمنية معينة تحققكوس⁡θ=x.{\displaystyle \cos \theta =x.}نريد أن نجد هذاθ.{\displaystyle \theta .}يشير الجدول أعلاه إلى أن الحل هو θ=±أركوس⁡x+2πك بالنسبة للبعض ك∈Z{\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} } وهي طريقة مختصرة للقول بأن (على الأقل) واحدة من العبارات التالية صحيحة:

  1. θ=أركوس⁡x+2πك{\displaystyle \,\theta =\arccos x+2\pi k\,}لبعض الأعداد الصحيحةك،{\displaystyle k,} أو
  2. θ=-أركوس⁡x+2πك{\displaystyle \,\theta =-\arccos x+2\pi k\,}لبعض الأعداد الصحيحةك.{\displaystyle k.}

كما ذكرنا أعلاه، إذاأركوس⁡x=π{\displaystyle \,\arccos x=\pi \,}(والذي يحدث بحكم التعريف فقط عندماx=كوس⁡π=-1{\displaystyle x=\cos \pi =-1}إذاً، فإن كلا العبارتين (1) و(2) صحيحتان، وإن كان ذلك بقيم مختلفة للعدد الصحيح.ك{\displaystyle k}: لوك{\displaystyle K}هو العدد الصحيح من العبارة (1)، مما يعني أنθ=π+2πك{\displaystyle \theta =\pi +2\pi K}إذا كان العدد صحيحًا،ك{\displaystyle k}أما العبارة (2) فهيك+1{\displaystyle K+1}(لأنθ=-π+2π(1+ك){\displaystyle \theta =-\pi +2\pi (1+K)}ومع ذلك، إذاx≠-1{\displaystyle x\neq -1}ثم العدد الصحيحك{\displaystyle k}فريد من نوعه ومحدد بالكامل بواسطةθ.{\displaystyle \theta .} لوأركوس⁡x=0{\displaystyle \,\arccos x=0\,} (والذي يحدث بحكم التعريف فقط عندماx=كوس⁡0=1{\displaystyle x=\cos 0=1}) ثم±أركوس⁡x=0{\displaystyle \,\pm \arccos x=0\,}(لأن+أركوس⁡x=+0=0{\displaystyle \,+\arccos x=+0=0\,}و-أركوس⁡x=-0=0{\displaystyle \,-\arccos x=-0=0\,}لذا في كلتا الحالتين±أركوس⁡x{\displaystyle \,\pm \arccos x\,}يساوي0{\displaystyle 0}وبالتالي، فإن العبارتين (1) و(2) متطابقتان في هذه الحالة بالذات (وبالتالي فكلتاهما صحيحة). بعد النظر في الحالاتأركوس⁡x=0{\displaystyle \,\arccos x=0\,}وأركوس⁡x=π،{\displaystyle \,\arccos x=\pi ,\,}نركز الآن على الحالة التيأركوس⁡x≠0{\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}وأركوس⁡x≠π،{\displaystyle \,\arccos x\neq \pi ,\,}لذا، افترض هذا من الآن فصاعدًا. الحل لـكوس⁡θ=x{\displaystyle \cos \theta =x}لا يزال θ=±أركوس⁡x+2πك بالنسبة للبعض ك∈Z{\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} } وهو، كما في السابق، اختصار للقول بأن إحدى العبارتين (1) أو (2) صحيحة. ولكن هذه المرة، لأنأركوس⁡x≠0{\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}و0<أركوس⁡x<π،{\displaystyle \,0<\arccos x<\pi ,\,}العبارتان (1) و(2) مختلفتان، وعلاوة على ذلك، فإن إحدى المعادلتين صحيحة فقط (وليس كلتيهما). معلومات إضافية حولθ{\displaystyle \theta }يلزم تحديد أيهما صحيح. على سبيل المثال، لنفترض أنx=0{\displaystyle x=0}وكل ما هو معروف عن ذلكθ{\displaystyle \theta }هل هذا-π≤θ≤π{\displaystyle \,-\pi \leq \theta \leq \pi \,}(ولا يُعرف شيء آخر). ثم أركوس⁡x=أركوس⁡0=π2{\displaystyle \arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}} وعلاوة على ذلك، في هذه الحالة بالذاتك=0{\displaystyle k=0}(لكلا)+{\displaystyle \,+\,}القضية و-{\displaystyle \,-\,}وبالتالي، θ = ±أركوس⁡x+2πك = ±(π2)+2π(0) = ±π2.{\displaystyle \theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.} هذا يعني أنθ{\displaystyle \theta }قد يكون أيًا منهماπ/2{\displaystyle \,\pi /2\,}أو-π/2.{\displaystyle \,-\pi /2.}بدون معلومات إضافية، لا يمكن تحديد أي من هذه القيمθ{\displaystyle \theta }يحتوي. مثال على بعض المعلومات الإضافية التي يمكن أن تحدد قيمةθ{\displaystyle \theta }سيكون ذلك معرفة أن الزاوية أعلى منx{\displaystyle x}المحور السيني (في هذه الحالة)θ=π/2{\displaystyle \theta =\pi /2}أو بدلاً من ذلك، مع العلم أنه أقل منx{\displaystyle x}المحور السيني (في هذه الحالة)θ=-π/2{\displaystyle \theta =-\pi /2}).

الدوال المثلثية المتساوية والمتطابقة

يوضح الجدول أدناه كيفية عمل زاويتينθ{\displaystyle \theta }وφ{\displaystyle \varphi }يجب أن تكون هناك علاقة بينهما إذا كانت قيمهما تحت دالة مثلثية معينة متساوية أو سالبة لبعضها البعض.

معادلةإذا وفقط إذاحلول (لبعضها)ك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} })كما أنه حل لـ
−الخطيئة⁡θ=الخطيئة⁡φ{\displaystyle {\phantom {-}}\sin \theta =\sin \varphi }⟺{\displaystyle \iff }θ=(-1)كφ+2πك+π{\displaystyle \theta ={\phantom {\quad }}(-1)^{k}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}−csc⁡θ=csc⁡φ{\displaystyle {\phantom {-}}\csc \theta =\csc \varphi }
−كوس⁡θ=كوس⁡φ{\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta =\cos \varphi }⟺{\displaystyle \iff }θ=−1±φ+2πك+π{\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k{\phantom {+\pi }}}−ثانية⁡θ=ثانية⁡φ{\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta =\sec \varphi }
−لون برونزي⁡θ=لون برونزي⁡φ{\displaystyle {\phantom {-}}\tan \theta =\tan \varphi }⟺{\displaystyle \iff }θ=(−1)k+1φ+2πك+π{\displaystyle \theta ={\phantom {(-1)^{k+1}}}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}−سرير أطفال⁡θ=سرير أطفال⁡φ{\displaystyle {\phantom {-}}\cot \theta =\cot \varphi }
-الخطيئة⁡θ=الخطيئة⁡φ{\displaystyle -\sin \theta =\sin \varphi }⟺{\displaystyle \iff }θ=(-1)ك+1φ+2πك+π{\displaystyle \theta =(-1)^{k+1}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}-csc⁡θ=csc⁡φ{\displaystyle -\csc \theta =\csc \varphi }
-كوس⁡θ=كوس⁡φ{\displaystyle -\cos \theta =\cos \varphi }⟺{\displaystyle \iff }θ=−1±φ+2πك+π+π{\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k+\pi {\phantom {+\pi }}}-ثانية⁡θ=ثانية⁡φ{\displaystyle -\sec \theta =\sec \varphi }
-لون برونزي⁡θ=لون برونزي⁡φ{\displaystyle -\tan \theta =\tan \varphi }⟺{\displaystyle \iff }θ=−1-φ+2πك+π{\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}-\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}-سرير أطفال⁡θ=سرير أطفال⁡φ{\displaystyle -\cot \theta =\cot \varphi }
−|الخطيئة⁡θ|=|الخطيئة⁡φ|⇕−|كوس⁡θ|=|كوس⁡φ|{\displaystyle {\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\sin \theta \right|&=\left|\sin \varphi \right|\\&\Updownarrow \\{\phantom {-}}\left|\cos \theta \right|&=\left|\cos \varphi \right|\end{aligned}}}⟺{\displaystyle \iff }θ=−1±φ+2πك+π{\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}−|لون برونزي⁡θ|=|لون برونزي⁡φ||csc⁡θ|=|csc⁡φ||ثانية⁡θ|=|ثانية⁡φ||سرير أطفال⁡θ|=|سرير أطفال⁡φ|{\displaystyle {\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\tan \theta \right|&=\left|\tan \varphi \right|\\\left|\csc \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\\\left|\sec \theta \right|&=\left|\sec \varphi \right|\\\left|\cot \theta \right|&=\left|\cot \varphi \right|\end{aligned}}}

السهم المزدوج العمودي⇕{\displaystyle \Updownarrow }يشير السطر الأخير إلى أنθ{\displaystyle \theta }وφ{\displaystyle \varphi }مُرضٍ|الخطيئة⁡θ|=|الخطيئة⁡φ|{\displaystyle \left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|}إذا وفقط إذا استوفت الشروط|كوس⁡θ|=|كوس⁡φ|.{\displaystyle \left|\cos \theta \right|=\left|\cos \varphi \right|.}

مجموعة جميع حلول المعادلات المثلثية الأساسية

وبالتالي، بالنظر إلى حل واحدθ{\displaystyle \theta }إلى معادلة مثلثية ابتدائية (الخطيئة⁡θ=y{\displaystyle \sin \theta =y}على سبيل المثال، هذه معادلة، ولأنالخطيئة⁡(دالة الجيب العكسية⁡y)=y{\displaystyle \sin(\arcsin y)=y}دائماً ما يكون صحيحاً،θ:=دالة الجيب العكسية⁡y{\displaystyle \theta :=\arcsin y} هو دائمًا حل)، ومجموعة جميع الحلول له هي:

لوθ{\displaystyle \theta }يحلثممجموعة جميع الحلول (من حيثθ{\displaystyle \theta })
الخطيئة⁡θ=y{\displaystyle \;\sin \theta =y}ثم{φ:الخطيئة⁡φ=y}={\displaystyle \{\varphi :\sin \varphi =y\}=\,} (θ{\displaystyle (\theta }+2{\displaystyle \,+\,2}πZ){\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}∪(-θ{\displaystyle \,\cup \,(-\theta }-π{\displaystyle -\pi }+2πZ){\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}
csc⁡θ=ر{\displaystyle \;\csc \theta =r}ثم{φ:csc⁡φ=ر}={\displaystyle \{\varphi :\csc \varphi =r\}=\,} (θ{\displaystyle (\theta }+2{\displaystyle \,+\,2}πZ){\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}∪(-θ{\displaystyle \,\cup \,(-\theta }-π{\displaystyle -\pi }+2πZ){\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}
كوس⁡θ=x{\displaystyle \;\cos \theta =x}ثم{φ:كوس⁡φ=x}={\displaystyle \{\varphi :\cos \varphi =x\}=\,} (θ{\displaystyle (\theta }+2{\displaystyle \,+\,2}πZ){\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}∪(-θ{\displaystyle \,\cup \,(-\theta }+2πZ){\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}
ثانية⁡θ=ر{\displaystyle \;\sec \theta =r}ثم{φ:ثانية⁡φ=ر}={\displaystyle \{\varphi :\sec \varphi =r\}=\,} (θ{\displaystyle (\theta }+2{\displaystyle \,+\,2}πZ){\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}∪(-θ{\displaystyle \,\cup \,(-\theta }+2πZ){\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}
لون برونزي⁡θ=s{\displaystyle \;\tan \theta =s}ثم{φ:لون برونزي⁡φ=s}={\displaystyle \{\varphi :\tan \varphi =s\}=\,} θ{\displaystyle \theta }+{\displaystyle \,+\,}πZ{\displaystyle \pi \mathbb {Z} }
سرير أطفال⁡θ=ر{\displaystyle \;\cot \theta =r}ثم{φ:سرير أطفال⁡φ=ر}={\displaystyle \{\varphi :\cot \varphi =r\}=\,} θ{\displaystyle \theta }+{\displaystyle \,+\,}πZ{\displaystyle \pi \mathbb {Z} }

تحويل المعادلات

يمكن تحويل المعادلات أعلاه باستخدام متطابقات الانعكاس والإزاحة: [ 13 ]

تحويل المعادلات عن طريق الإزاحات والانعكاسات
دعوى:      _={\displaystyle {\underline {\;~~~~~~\;}}=}-θ{\displaystyle -\theta }π2±θ{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\pm \theta }π±θ{\displaystyle \pi \pm \theta }3π2±θ{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\pm \theta }2كπ±θ،{\displaystyle 2k\pi \pm \theta ,}(ك∈Z){\displaystyle (k\in \mathbb {Z} )}
الخطيئة⁡              _={\displaystyle \sin {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}-الخطيئة⁡θ{\displaystyle -\sin \theta }-كوس⁡θ{\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }∓الخطيئة⁡θ{\displaystyle \mp \sin \theta }-كوس⁡θ{\displaystyle -\cos \theta }±الخطيئة⁡θ{\displaystyle \pm \sin \theta }
csc⁡              _={\displaystyle \csc {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}-csc⁡θ{\displaystyle -\csc \theta }-ثانية⁡θ{\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }∓csc⁡θ{\displaystyle \mp \csc \theta }-ثانية⁡θ{\displaystyle -\sec \theta }±csc⁡θ{\displaystyle \pm \csc \theta }
كوس⁡              _={\displaystyle \cos {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}-كوس⁡θ{\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }∓الخطيئة⁡θ{\displaystyle \mp \sin \theta }-كوس⁡θ{\displaystyle -\cos \theta }±الخطيئة⁡θ{\displaystyle \pm \sin \theta }-كوس⁡θ{\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }
ثانية⁡              _={\displaystyle \sec {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}-ثانية⁡θ{\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }∓csc⁡θ{\displaystyle \mp \csc \theta }-ثانية⁡θ{\displaystyle -\sec \theta }±csc⁡θ{\displaystyle \pm \csc \theta }-ثانية⁡θ{\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }
لون برونزي⁡              _={\displaystyle \tan {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}-لون برونزي⁡θ{\displaystyle -\tan \theta }∓سرير أطفال⁡θ{\displaystyle \mp \cot \theta }±لون برونزي⁡θ{\displaystyle \pm \tan \theta }∓سرير أطفال⁡θ{\displaystyle \mp \cot \theta }±لون برونزي⁡θ{\displaystyle \pm \tan \theta }
سرير أطفال⁡              _={\displaystyle \cot {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}-سرير أطفال⁡θ{\displaystyle -\cot \theta }∓لون برونزي⁡θ{\displaystyle \mp \tan \theta }±سرير أطفال⁡θ{\displaystyle \pm \cot \theta }∓لون برونزي⁡θ{\displaystyle \mp \tan \theta }±سرير أطفال⁡θ{\displaystyle \pm \cot \theta }

تشير هذه الصيغ، على وجه الخصوص، إلى صحة ما يلي:

الخطيئة⁡θ=-الخطيئة⁡(-θ)=-الخطيئة⁡(π+θ)=-الخطيئة⁡(π-θ)=-كوس⁡(π2+θ)=-كوس⁡(π2-θ)=-كوس⁡(-π2-θ)=-كوس⁡(-π2+θ)=-كوس⁡(3π2-θ)=-كوس⁡(-3π2+θ)كوس⁡θ=-كوس⁡(-θ)=-كوس⁡(π+θ)=-كوس⁡(π-θ)=-الخطيئة⁡(π2+θ)=-الخطيئة⁡(π2-θ)=-الخطيئة⁡(-π2-θ)=-الخطيئة⁡(-π2+θ)=-الخطيئة⁡(3π2-θ)=-الخطيئة⁡(-3π2+θ)لون برونزي⁡θ=-لون برونزي⁡(-θ)=-لون برونزي⁡(π+θ)=-لون برونزي⁡(π-θ)=-سرير أطفال⁡(π2+θ)=-سرير أطفال⁡(π2-θ)=-سرير أطفال⁡(-π2-θ)=-سرير أطفال⁡(-π2+θ)=-سرير أطفال⁡(3π2-θ)=-سرير أطفال⁡(-3π2+θ){\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}

أين يتم التبادلالخطيئة↔csc،{\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}تبادلكوس↔ثانية،{\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}وتبادللون برونزي↔سرير أطفال{\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }يعطي المعادلات المماثلة لـcsc،ثانية، و سرير أطفال،{\displaystyle \csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,}على التوالى.

فعلى سبيل المثال، باستخدام المساواةالخطيئة⁡(π2-θ)=كوس⁡θ،{\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}المعادلةكوس⁡θ=x{\displaystyle \cos \theta =x}يمكن تحويلها إلىالخطيئة⁡(π2-θ)=x،{\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}مما يسمح بحل المعادلةالخطيئة⁡φ=x{\displaystyle \;\sin \varphi =x\;}(أينφ:=π2-θ{\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta } ) ليتم استخدامها؛ وهذا الحل هو: φ=(-1)كدالة الجيب العكسية⁡(x)+πك بالنسبة للبعض ك∈Z،{\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,} والذي يصبح: π2-θ = (-1)كدالة الجيب العكسية⁡(x)+πك بالنسبة للبعض ك∈Z{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} } حيث يتم استخدام حقيقة أن(-1)ك=(-1)-ك{\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}واستبدالح:=-ك{\displaystyle h:=-k}يثبت ذلك أن هناك حلاً آخر لـكوس⁡θ=x{\displaystyle \;\cos \theta =x\;}يكون: θ = (-1)ح+1دالة الجيب العكسية⁡(x)+πح+π2 بالنسبة للبعض ح∈Z.{\displaystyle \theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .} الاستبدالدالة الجيب العكسية⁡x=π2-أركوس⁡x{\displaystyle \;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;}يمكن استخدام هذا للتعبير عن الطرف الأيمن من الصيغة أعلاه بدلالةأركوس⁡x{\displaystyle \;\arccos x\;}بدلاً مندالة الجيب العكسية⁡x.{\displaystyle \;\arcsin x.\;}

العلاقات بين الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية

الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية مُدرجة في الجدول أدناه. يمكن اشتقاقها من متطابقات فيثاغورس. وهناك طريقة أخرى تتمثل في النظر إلى هندسة المثلث القائم الزاوية، حيث طول أحد أضلاعه 1 وطول الضلع الآخر .x،{\displaystyle x,}ثم بتطبيق نظرية فيثاغورس وتعريفات النسب المثلثية. تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة لدالة القاطع العكسي ودالة قاطع التمام العكسي، يفترض الرسم البياني أنx{\displaystyle x}موجب، وبالتالي يجب تصحيح النتيجة من خلال استخدام القيم المطلقة وعملية الإشارة (sgn).

θ{\displaystyle \theta }الخطيئة⁡(θ){\displaystyle \sin(\theta )}كوس⁡(θ){\displaystyle \cos(\theta )}لون برونزي⁡(θ){\displaystyle \tan(\theta )}رسم بياني
دالة الجيب العكسية⁡(x){\displaystyle \arcsin(x)}الخطيئة⁡(دالة الجيب العكسية⁡(x))=x{\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x}كوس⁡(دالة الجيب العكسية⁡(x))=1-x2{\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}لون برونزي⁡(دالة الجيب العكسية⁡(x))=x1-x2{\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
أركوس⁡(x){\displaystyle \arccos(x)}الخطيئة⁡(أركوس⁡(x))=1-x2{\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}كوس⁡(أركوس⁡(x))=x{\displaystyle \cos(\arccos(x))=x}لون برونزي⁡(أركوس⁡(x))=1-x2x{\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
دالة الظل العكسي⁡(x){\displaystyle \arctan(x)}الخطيئة⁡(دالة الظل العكسي⁡(x))=x1+x2{\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}كوس⁡(دالة الظل العكسي⁡(x))=11+x2{\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}لون برونزي⁡(دالة الظل العكسي⁡(x))=x{\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}
أركوت⁡(x){\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}الخطيئة⁡(أركوت⁡(x))=11+x2{\displaystyle \sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}كوس⁡(أركوت⁡(x))=x1+x2{\displaystyle \cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}لون برونزي⁡(أركوت⁡(x))=1x{\displaystyle \tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}}
ثانية قوسية⁡(x){\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}الخطيئة⁡(ثانية قوسية⁡(x))=1-1x2{\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}كوس⁡(ثانية قوسية⁡(x))=1x{\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}}لون برونزي⁡(ثانية قوسية⁡(x))=علامة⁡(x)x2-1{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}}
arccsc⁡(x){\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}الخطيئة⁡(arccsc⁡(x))=1x{\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}}كوس⁡(arccsc⁡(x))=1-1x2{\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc}(x))={\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}لون برونزي⁡(arccsc⁡(x))=علامة⁡(x)x2-1{\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}}

العلاقات بين الدوال المثلثية العكسية

القيم الرئيسية المعتادة لدالة arcsin( x ) (باللون الأحمر) و arccos( x ) (باللون الأزرق) مرسومة على المستوى الديكارتي.
القيم الرئيسية المعتادة لدالتي arctan( x ) و arccot( x ) المرسومة على المستوى الديكارتي.
القيم الرئيسية للدالتين arcsec( x ) و arccsc( x ) المرسومتين على المستوى الديكارتي.

الزوايا المتتامة:

أركوس⁡(x)=π2-دالة الجيب العكسية⁡(x)أركوت⁡(x)=π2-دالة الظل العكسي⁡(x)arccsc⁡(x)=π2-ثانية قوسية⁡(x){\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}

الحجج السلبية:

دالة الجيب العكسية⁡(-x)=-دالة الجيب العكسية⁡(x)arccsc⁡(-x)=-arccsc⁡(x)أركوس⁡(-x)=π-أركوس⁡(x)ثانية قوسية⁡(-x)=π-ثانية قوسية⁡(x)دالة الظل العكسي⁡(-x)=-دالة الظل العكسي⁡(x)أركوت⁡(-x)=π-أركوت⁡(x){\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}

الحجج المتبادلة:

دالة الجيب العكسية⁡(1x)=arccsc⁡(x)arccsc⁡(1x)=دالة الجيب العكسية⁡(x)أركوس⁡(1x)=ثانية قوسية⁡(x)ثانية قوسية⁡(1x)=أركوس⁡(x)دالة الظل العكسي⁡(1x)=أركوت⁡(x)=π2-دالة الظل العكسي⁡(x)، لو x>0دالة الظل العكسي⁡(1x)=أركوت⁡(x)-π=-π2-دالة الظل العكسي⁡(x)، لو x<0أركوت⁡(1x)=دالة الظل العكسي⁡(x)=π2-أركوت⁡(x)، لو x>0أركوت⁡(1x)=دالة الظل العكسي⁡(x)+π=3π2-أركوت⁡(x)، لو x<0{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}}

يمكن استخدام المتطابقات المذكورة أعلاه مع (والاشتقاق منها) حقيقة أنالخطيئة{\displaystyle \sin }وcsc{\displaystyle \csc }هي متبادلة (أيcsc=1الخطيئة{\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{\sin }}})، كما هو الحالكوس{\displaystyle \cos }وثانية،{\displaystyle \sec ,}ولون برونزي{\displaystyle \tan }وسرير أطفال.{\displaystyle \cot .}

متطابقات مفيدة إذا كان لدى المرء جزء فقط من جدول الجيب:

دالة الجيب العكسية⁡(x)=12أركوس⁡(1-2x2)، لو 0≤x≤1دالة الجيب العكسية⁡(x)=دالة الظل العكسي⁡(x1-x2)أركوس⁡(x)=12أركوس⁡(2x2-1)، لو 0≤x≤1أركوس⁡(x)=دالة الظل العكسي⁡(1-x2x)أركوس⁡(x)=دالة الجيب العكسية⁡(1-x2)، لو 0≤x≤1 ، ومنها تحصل أركوس(1-x21+x2)=دالة الجيب العكسية⁡(2x1+x2)، لو 0≤x≤1دالة الجيب العكسية(1-x2)=π2-علامة⁡(x)دالة الجيب العكسية⁡(x)دالة الظل العكسي⁡(x)=دالة الجيب العكسية⁡(x1+x2)أركوت⁡(x)=أركوس⁡(x1+x2){\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}

عندما يتم استخدام الجذر التربيعي لعدد مركب هنا، فإننا نختار الجذر الذي يحتوي على الجزء الحقيقي الموجب (أو الجزء التخيلي الموجب إذا كان المربع حقيقيًا سالبًا).

يُعدّ الشكل المفيد الذي يتبع مباشرة من الجدول أعلاه هو

دالة الظل العكسي⁡(x)=أركوس⁡(11+x2)، لو x≥0{\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}.

يتم الحصول عليه من خلال إدراك أنكوس⁡(دالة الظل العكسي⁡(x))=11+x2=كوس⁡(أركوس⁡(11+x2)){\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}.

من صيغة نصف الزاوية ،لون برونزي⁡(θ2)=الخطيئة⁡(θ)1+كوس⁡(θ){\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}، فنحصل على:

دالة الجيب العكسية⁡(x)=2دالة الظل العكسي⁡(x1+1-x2)أركوس⁡(x)=2دالة الظل العكسي⁡(1-x21+x)، لو -1<x≤1دالة الظل العكسي⁡(x)=2دالة الظل العكسي⁡(x1+1+x2){\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}

صيغة جمع الظل العكسي

دالة الظل العكسي⁡(u)±دالة الظل العكسي⁡(v)=دالة الظل العكسي⁡(u±v1∓uv)(تعديلπ)،uv≠1.{\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}

هذا مشتق من صيغة جمع الظل

لون برونزي⁡(α±β)=لون برونزي⁡(α)±لون برونزي⁡(β)1∓لون برونزي⁡(α)لون برونزي⁡(β)،{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}

عن طريق السماح

α=دالة الظل العكسي⁡(u)،β=دالة الظل العكسي⁡(v).{\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}

في حساب التفاضل والتكامل

مشتقات الدوال المثلثية العكسية

المشتقات للقيم المركبة لـ z هي كما يلي:

ددzدالة الجيب العكسية⁡(z)=11-z2؛z≠-1،+1ددzأركوس⁡(z)=-11-z2؛z≠-1،+1ددzدالة الظل العكسي⁡(z)=11+z2؛z≠-أنا،+أناددzأركوت⁡(z)=-11+z2؛z≠-أنا،+أناددzثانية قوسية⁡(z)=1z21-1z2؛z≠-1،0،+1ددzarccsc⁡(z)=-1z21-1z2؛z≠-1،0،+1{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}

فقط للقيم الحقيقية لـ x :

ددxثانية قوسية⁡(x)=1|x|x2-1؛|x|>1ددxarccsc⁡(x)=-1|x|x2-1؛|x|>1{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}

يمكن اشتقاق هذه الصيغ بدلالة مشتقات الدوال المثلثية. على سبيل المثال، إذاx=الخطيئة⁡θ{\displaystyle x=\sin \theta }، ثمدx/دθ=كوس⁡θ=1-x2،{\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}لذا

ددxدالة الجيب العكسية⁡(x)=دθدx=1دx/دθ=11-x2.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}

التعبير كتكاملات محددة

بإجراء التكامل للمشتقة وتثبيت القيمة عند نقطة واحدة، نحصل على تعبير للدالة المثلثية العكسية كتكامل محدد :

دالة الجيب العكسية⁡(x)=∫0x11-z2دz،|x|≤1أركوس⁡(x)=∫x111-z2دz،|x|≤1دالة الظل العكسي⁡(x)=∫0x1z2+1دz،أركوت⁡(x)=∫x∞1z2+1دz،ثانية قوسية⁡(x)=∫1x1zz2-1دz=π+∫-x-11zz2-1دz،x≥1arccsc⁡(x)=∫x∞1zz2-1دz=∫-∞-x1zz2-1دz،x≥1{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}

عندما تكون قيمة x تساوي 1، فإن التكاملات ذات المجالات المحدودة هي تكاملات غير صحيحة ، ولكنها لا تزال محددة جيدًا.

سلسلة لا نهائية

على غرار دالتي الجيب وجيب التمام، يمكن أيضًا حساب الدوال المثلثية العكسية باستخدام متسلسلات القوى ، كما يلي. بالنسبة لدالة الجيب العكسي، يمكن اشتقاق المتسلسلة بتوسيع مشتقتها.11-z2{\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}، كمتسلسلة ذات حدين ، وتكامل كل حد على حدة (باستخدام تعريف التكامل كما سبق). وبالمثل، يمكن اشتقاق متسلسلة دالة الظل العكسي بتوسيع مشتقتها.11+z2{\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}في سلسلة هندسية ، وتطبيق تعريف التكامل أعلاه (انظر سلسلة لايبنيز ).

دالة الجيب العكسية⁡(z)=z+(12)z33+(1⋅32⋅4)z55+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)z77+⋯=∑ن=0∞(2ن-1)!!(2ن)!!z2ن+12ن+1=∑ن=0∞(2ن)!(2نن!)2z2ن+12ن+1؛|z|≤1{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}تُعرف متسلسلة تايلور لدالة الظل العكسي أيضًا باسم متسلسلة الظل العكسي أو متسلسلة غريغوري. دالة الظل العكسي⁡(z)=z-z33+z55-z77+⋯=∑ن=0∞(-1)نz2ن+12ن+1؛|z|≤1z≠أنا،-أنا{\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}

يمكن التعبير عن متسلسلات الدوال المثلثية العكسية الأخرى بدلالة هذه الدوال وفقًا للعلاقات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال،أركوس⁡(x)=π/2-دالة الجيب العكسية⁡(x){\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}،arccsc⁡(x)=دالة الجيب العكسية⁡(1/x){\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}وهكذا. وتُعطى سلسلة أخرى على النحو التالي: [ 14 ]

2(دالة الجيب العكسية⁡(x2))2=∑ن=1∞x2نن2(2نن).{\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}

وجد ليونارد أويلر متسلسلة للدالة العكسية للظل تتقارب بشكل أسرع من متسلسلة تايلور الخاصة بها :

دالة الظل العكسي⁡(z)=z1+z2∑ن=0∞∏ك=1ن2كz2(2ك+1)(1+z2).{\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}[ 15 ] (الحد الموجود في المجموع لـn= 0 هوحاصل الضرب الفارغ، لذا فهو 1.)

أو يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:

دالة الظل العكسي⁡(z)=∑ن=0∞22ن(ن!)2(2ن+1)!z2ن+1(1+z2)ن+1.{\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}

تُعطى متسلسلة أخرى لدالة الظل العكسي بالصيغة التالية:

دالة الظل العكسي⁡(z)=أنا∑ن=1∞12ن-1(1(1+2أنا/z)2ن-1-1(1-2أنا/z)2ن-1)،{\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}

أينأنا=-1{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}هي الوحدة التخيلية . [ 16 ]

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسي

هناك بديلان لمتسلسلة القوى لدالة الظل العكسي وهما الكسور المستمرة المعممة التالية :

دالة الظل العكسي⁡(z)=z1+(1z)23-1z2+(3z)25-3z2+(5z)27-5z2+(7z)29-7z2+⋱=z1+(1z)23+(2z)25+(3z)27+(4z)29+⋱{\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}

يُعدّ الثاني من هذه الطرق صالحًا في المستوى المركب المقطوع. يوجد قطعان، أحدهما من -i إلى نقطة اللانهاية ، نزولًا على المحور التخيلي، والآخر من i إلى نقطة اللانهاية، صعودًا على المحور نفسه. وهو الأنسب للأعداد الحقيقية التي تتراوح من -1 إلى 1. المقامات الجزئية هي الأعداد الطبيعية الفردية، والبسط الجزئية (بعد الأول) هي ( nz ) ² ، حيث يظهر كل مربع كامل مرة واحدة. طُوّر الأول بواسطة ليونارد أويلر ، والثاني بواسطة كارل فريدريش غاوس باستخدام متسلسلة غاوس الهندسية الفائقة .

التكاملات غير المحددة للدوال المثلثية العكسية

بالنسبة للقيم الحقيقية والمركبة لـ z :

∫دالة الجيب العكسية⁡(z)دz=zدالة الجيب العكسية⁡(z)+1-z2+ج∫أركوس⁡(z)دz=zأركوس⁡(z)-1-z2+ج∫دالة الظل العكسي⁡(z)دz=zدالة الظل العكسي⁡(z)-12ln⁡(1+z2)+ج∫أركوت⁡(z)دz=zأركوت⁡(z)+12ln⁡(1+z2)+ج∫ثانية قوسية⁡(z)دz=zثانية قوسية⁡(z)-ln⁡[z(1+z2-1z2)]+ج∫arccsc⁡(z)دz=zarccsc⁡(z)+ln⁡[z(1+z2-1z2)]+ج{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}

بالنسبة لـ x الحقيقي ≥ 1:

∫ثانية قوسية⁡(x)دx=xثانية قوسية⁡(x)-ln⁡(x+x2-1)+ج∫arccsc⁡(x)دx=xarccsc⁡(x)+ln⁡(x+x2-1)+ج{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}

لجميع قيم x الحقيقية التي لا تقع بين -1 و 1:

∫ثانية قوسية⁡(x)دx=xثانية قوسية⁡(x)-علامة⁡(x)ln⁡|x+x2-1|+ج∫arccsc⁡(x)دx=xarccsc⁡(x)+علامة⁡(x)ln⁡|x+x2-1|+ج{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}

تُعدّ القيمة المطلقة ضرورية للتعويض عن القيم السالبة والموجبة لدالتي القاطع العكسي وقاطع التمام العكسي. كما أن دالة الإشارة ضرورية أيضًا نظرًا للقيم المطلقة في مشتقات الدالتين ، والتي تُنتج حلين مختلفين للقيم الموجبة والسالبة لـ x. ويمكن تبسيط هذه المعادلات باستخدام التعريفات اللوغاريتمية للدوال الزائدية العكسية .

∫ثانية قوسية⁡(x)دx=xثانية قوسية⁡(x)-أركوش⁡(|x|)+ج∫arccsc⁡(x)دx=xarccsc⁡(x)+أركوش⁡(|x|)+ج{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}

القيمة المطلقة في وسيط دالة arcosh تُنشئ نصفًا سالبًا من الرسم البياني الخاص بها، مما يجعلها مطابقة لدالة الإشارة اللوغاريتمية الموضحة أعلاه.

All of these antiderivatives can be derived using integration by parts and the simple derivative forms shown above.

Example

Using ∫udv=uv−∫vdu{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du} (i.e. integration by parts), set

u=arcsin⁡(x)dv=dxdu=dx1−x2v=x{\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}

Then

∫arcsin⁡(x)dx=xarcsin⁡(x)−∫x1−x2dx,{\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,}

which by the simple substitutionw=1−x2, dw=−2xdx{\displaystyle w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx} yields the final result:

∫arcsin⁡(x)dx=xarcsin⁡(x)+1−x2+C{\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}

Extension to the complex plane

A Riemann surface for the argument of the relation tan z = x. The orange sheet in the middle is the principal sheet representing arctan x. The blue sheet above and green sheet below are displaced by 2π and −2π respectively.

Since the inverse trigonometric functions are analytic functions, they can be extended from the real line to the complex plane. This results in functions with multiple sheets and branch points. One possible way of defining the extension is:

arctan⁡(z)=∫0zdx1+x2z≠−i,+i{\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}

where the part of the imaginary axis which does not lie strictly between the branch points (−i and +i) is the branch cut between the principal sheet and other sheets. The path of the integral must not cross a branch cut. For z not on a branch cut, a straight line path from 0 to z is such a path. For z on a branch cut, the path must approach from Re[x] > 0 for the upper branch cut and from Re[x] < 0 for the lower branch cut.

The arcsine function may then be defined as:

arcsin⁡(z)=arctan⁡(z1−z2)z≠−1,+1{\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}

where (the square-root function has its cut along the negative real axis and) the part of the real axis which does not lie strictly between −1 and +1 is the branch cut between the principal sheet of arcsin and other sheets;

arccos⁡(z)=π2−arcsin⁡(z)z≠−1,+1{\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}

which has the same cut as arcsin;

arccot⁡(z)=π2−arctan⁡(z)z≠−i,i{\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}

which has the same cut as arctan;

arcsec⁡(z)=arccos⁡(1z)z≠−1,0,+1{\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}

where the part of the real axis between −1 and +1 inclusive is the cut between the principal sheet of arcsec and other sheets;

arccsc⁡(z)=arcsin⁡(1z)z≠−1,0,+1{\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}

which has the same cut as arcsec.

Logarithmic forms

These functions may also be expressed using complex logarithms. This extends their domains to the complex plane in a natural fashion. The following identities for principal values of the functions hold everywhere that they are defined, even on their branch cuts.

arcsin⁡(z)=−iln⁡(1−z2+iz)=iln⁡(1−z2−iz)=arccsc⁡(1z)arccos⁡(z)=−iln⁡(z+i1−z2)=iln⁡(z−i1−z2)=π2−arcsin⁡(z)=arcsec⁡(1z)arctan⁡(z)=−i2ln⁡(i−zi+z)=−i2ln⁡(1+iz1−iz)=arccot⁡(1z)arccot⁡(z)=−i2ln⁡(z+iz−i)=−i2ln⁡(iz−1iz+1)=arctan⁡(1z)arcsec⁡(z)=−iln⁡(1z+i1−1z2)=iln⁡(1z−i1−1z2)=π2−arccsc⁡(z)=arccos⁡(1z)arccsc⁡(z)=−iln⁡(1−1z2+iz)=iln⁡(1−1z2−iz)=arcsin⁡(1z){\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(z+i{\sqrt {1-z^{2}}}\right)=i\ln \left(z-i{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)=i\ln \left({\frac {1}{z}}-i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}

Generalization

Because all of the inverse trigonometric functions output an angle of a right triangle, they can be generalized by using Euler's formula to form a right triangle in the complex plane. Algebraically, this gives us:

ceiθ=ccos⁡(θ)+icsin⁡(θ){\displaystyle ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )}

or

ceiθ=a+ib{\displaystyle ce^{i\theta }=a+ib}

where a{\displaystyle a} is the adjacent side, b{\displaystyle b} is the opposite side, and c{\displaystyle c} is the hypotenuse. From here, we can solve for θ{\displaystyle \theta }.

eln⁡(c)+iθ=a+ibln⁡c+iθ=ln⁡(a+ib)θ=Im⁡(ln⁡(a+ib)){\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}}

or

θ=−iln⁡(a+ibc){\displaystyle \theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)}

Simply taking the imaginary part works for any real-valued a{\displaystyle a} and b{\displaystyle b}, but if a{\displaystyle a} or b{\displaystyle b} is complex-valued, we have to use the final equation so that the real part of the result isn't excluded. Since the length of the hypotenuse doesn't change the angle, ignoring the real part of ln⁡(a+bi){\displaystyle \ln(a+bi)} also removes c{\displaystyle c} from the equation. In the final equation, we see that the angle of the triangle in the complex plane can be found by inputting the lengths of each side. By setting one of the three sides equal to 1 and one of the remaining sides equal to our input z{\displaystyle z}, we obtain a formula for one of the inverse trig functions, for a total of six equations. Because the inverse trig functions require only one input, we must put the final side of the triangle in terms of the other two using the Pythagorean theorem relation

a2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

The table below shows the values of a, b, and c for each of the inverse trig functions and the equivalent expressions for θ{\displaystyle \theta } that result from plugging the values into the equations θ=−iln⁡(a+ibc){\displaystyle \theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)} above and simplifying.

abc−iln⁡(a+ibc)θθa,b∈Rarcsin⁡(z)  1−z2z1−iln⁡(1−z2+iz1)=−iln⁡(1−z2+iz)Im⁡(ln⁡(1−z2+iz))arccos⁡(z)  z1−z21−iln⁡(z+i1−z21)=−iln⁡(z+z2−1)Im⁡(ln⁡(z+z2−1))arctan⁡(z)  1z1+z2−iln⁡(1+iz1+z2)=−i2ln⁡(i−zi+z)Im⁡(ln⁡(1+iz))arccot⁡(z)  z1z2+1−iln⁡(z+iz2+1)=−i2ln⁡(z+iz−i)Im⁡(ln⁡(z+i))arcsec⁡(z)  1z2−1z−iln⁡(1+iz2−1z)=−iln⁡(1z+1z2−1)Im⁡(ln⁡(1z+1z2−1))arccsc⁡(z)  z2−11z−iln⁡(z2−1+iz)=−iln⁡(1−1z2+iz)Im⁡(ln⁡(1−1z2+iz)){\displaystyle {\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}}

The particular form of the simplified expression can cause the output to differ from the usual principal branch of each of the inverse trig functions. The formulations given will output the usual principal branch when using the Im⁡(ln⁡z)∈(−π,π]{\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]} and Re⁡(z)≥0{\displaystyle \operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0} principal branch for every function except arccotangent in the θ{\displaystyle \theta } column. Arccotangent in the θ{\displaystyle \theta } column will output on its usual principal branch by using the Im⁡(ln⁡z)∈[0,2π){\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )} and Im⁡(z)≥0{\displaystyle \operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0} convention.

In this sense, all of the inverse trig functions can be thought of as specific cases of the complex-valued log function. Since these definition work for any complex-valued z{\displaystyle z}, the definitions allow for hyperbolic angles as outputs and can be used to further define the inverse hyperbolic functions. It's possible to algebraically prove these relations by starting with the exponential forms of the trigonometric functions and solving for the inverse function.

Example proof

sin⁡(ϕ)=zϕ=arcsin⁡(z){\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}}

Using the exponential definition of sine, and letting ξ=eiϕ,{\displaystyle \xi =e^{i\phi },}

z=eiϕ−e−iϕ2i2iz=ξ−1ξ0=ξ2−2izξ−1ξ=iz±1−z2ϕ=−iln⁡(iz±1−z2){\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}}

(the positive branch is chosen)

ϕ=arcsin⁡(z)=−iln⁡(iz+1−z2){\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
Color wheel graphs of inverse trigonometric functions in the complex plane
جيب الزاوية العكسي لـ z في المستوى المركب.جيب تمام الزاوية العكسي لـ z في المستوى المركب.ظل الزاوية العكسي لـ z في المستوى المركب.
arcsin⁡(z){\displaystyle \arcsin(z)}arccos⁡(z){\displaystyle \arccos(z)}arctan⁡(z){\displaystyle \arctan(z)}
قوس قاطع التمام لـ z في المستوى المركب.قاطع الزاوية العكسي لـ z في المستوى المركب.دالة الظل العكسي لـ z في المستوى المركب.
arccsc⁡(z){\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)}arcsec⁡(z){\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)}arccot⁡(z){\displaystyle \operatorname {arccot}(z)}

Applications

Finding the angle of a right triangle

A right triangle with sides relative to an angle at the A{\displaystyle A} point.

Inverse trigonometric functions are useful when trying to determine the remaining two angles of a right triangle when the lengths of the sides of the triangle are known. Recalling the right-triangle definitions of sine and cosine, it follows that

θ=arcsin⁡(oppositehypotenuse)=arccos⁡(adjacenthypotenuse).{\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).}

Often, the hypotenuse is unknown and would need to be calculated before using arcsine or arccosine using the Pythagorean theorem: a2+b2=h2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}أينح{\displaystyle h}يمثل طول الوتر. وتُعدّ دالة الظل العكسي مفيدة في هذه الحالة، حيث لا يلزم معرفة طول الوتر.

θ=دالة الظل العكسي⁡(عكسمجاور).{\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.}

على سبيل المثال، لنفترض أن سقفًا ينخفض ​​بمقدار 8 أمتار عند امتداده لمسافة 20 مترًا. يصنع السقف زاوية θ مع الأفقي، حيث يمكن حساب θ على النحو التالي:

θ=دالة الظل العكسي⁡(عكسمجاور)=دالة الظل العكسي⁡(يعلويجري)=دالة الظل العكسي⁡(820)≈21.8∘.{\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}

في علوم وهندسة الحاسوب

صيغة ذات وسيطين لدالة الظل العكسي

تحسب الدالة atan2 ذات الوسيطين زاوية الظل العكسي للزاوية y / x بمعلومية y و x ، ولكن ضمن نطاق (−π, π ) . بعبارة أخرى، atan2( y , x ) هي الزاوية بين المحور x الموجب لمستوى ما والنقطة ( x , y ) عليه، حيث تكون الإشارة موجبة للزوايا عكس اتجاه عقارب الساعة ( النصف العلوي من المستوى ، y > 0 )، وسالبة للزوايا مع اتجاه عقارب الساعة (النصف السفلي من المستوى، y < 0 ). ظهرت هذه الدالة لأول مرة في العديد من لغات البرمجة، ولكنها شائعة الاستخدام الآن في مجالات أخرى من العلوم والهندسة.

من حيث دالة الظل العكسي القياسية ، أي ضمن نطاق (−π/2، π/2) ، يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

atan2⁡(y،x)={دالة الظل العكسي⁡(yx)x>0دالة الظل العكسي⁡(yx)+πy≥0،x<0دالة الظل العكسي⁡(yx)-πy<0،x<0π2y>0،x=0-π2y<0،x=0غير محددy=0،x=0{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}}

كما أنها تساوي القيمة الرئيسية لوسيط العدد المركب x + iy .

يمكن أيضًا تعريف هذه النسخة المحدودة من الدالة المذكورة أعلاه باستخدام صيغ نصف الزاوية الظلية كما يلي: atan2⁡(y،x)=2دالة الظل العكسي⁡(yx2+y2+x){\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)} بشرط أن يكون إما x > 0 أو y ≠ 0. ومع ذلك، يفشل هذا إذا كان x ≤ 0 و y = 0 ، لذا فإن التعبير غير مناسب للاستخدام الحسابي.

يبدو أن ترتيب الوسائط أعلاه ( y ، x ) هو الأكثر شيوعًا، ويستخدم على وجه الخصوص في معايير ISO مثل لغة البرمجة C ، ولكن قد يستخدم بعض المؤلفين الاصطلاح المعاكس ( x ، y ) لذلك يلزم توخي الحذر.

دالة الظل العكسي مع معامل الموقع

في العديد من التطبيقات [ 17 ] الحلy{\displaystyle y}من المعادلةx=لون برونزي⁡(y){\displaystyle x=\tan(y)}الهدف هو الاقتراب قدر الإمكان من قيمة معينة-∞<η<∞{\displaystyle -\infty <\eta <\infty }يتم الحصول على الحل المناسب بواسطة دالة الظل العكسي المعدلة بالمعاملات

y=دالة الظل العكسيη⁡(x):=دالة الظل العكسي⁡(x)+πrni⁡(η-دالة الظل العكسي⁡(x)π).{\displaystyle y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.}

الوظيفةrni{\displaystyle \operatorname {rni} }يتم تقريبها إلى أقرب عدد صحيح.

الدقة العددية

بالنسبة للزوايا القريبة من 0 و π ، تكون دالة arccosine غير مستقرة ، وكذلك دالة arcsine للزوايا القريبة من −π /2 و π /2. لذا ، يجب على تطبيقات الحاسوب مراعاة استقرار المدخلات لهذه الدوال وحساسية حساباتها، أو استخدام طرق بديلة. [ 18 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ التعبير "الجانب الأيسر"⟺{\displaystyle \,\iff \,}يشير مصطلح "الجانب الأيمن" إلى أن (أ) كلا الجانبين الأيسر (أي LHS) والأيمن (أي RHS) صحيحان ، أو (ب) كلا الجانبين الأيسر والأيمن خاطئان؛ ولا يوجد خيار (ج) (على سبيل المثال، لا يمكن أن تكون عبارة LHS صحيحة وفي الوقت نفسه تكون عبارة RHS خاطئة)، لأنه بخلاف ذلك "LHS⟺{\displaystyle \,\iff \,}لم يكن ليُكتب "RHS". للتوضيح، لنفترض أنه كُتب "LHS".⟺{\displaystyle \,\iff \,}RHS" حيث LHS (اختصار للجانب الأيسر ) وRHS كلاهما عبارات يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة بشكل فردي. على سبيل المثال، إذاθ{\displaystyle \theta }وs{\displaystyle s}هناك بعض الأرقام المعطاة والثابتة، وإذا كُتب ما يلي: لون برونزي⁡θ=s⟺θ=دالة الظل العكسي⁡(s)+πك بالنسبة للبعض ك∈Z{\displaystyle \tan \theta =s\,\iff \,\theta =\arctan(s)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} } ثم يكون الجانب الأيسر هو العبارة "لون برونزي⁡θ=s{\displaystyle \tan \theta =s}". اعتمادًا على القيم المحددةθ{\displaystyle \theta }وs{\displaystyle s}إذا كان لدينا، فإن عبارة الطرف الأيسر هذه يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة. على سبيل المثال، يكون الطرف الأيسر صحيحًا إذاθ=0{\displaystyle \theta =0}وs=0{\displaystyle s=0}(لأن في هذه الحالةلون برونزي⁡θ=لون برونزي⁡0=s{\displaystyle \tan \theta =\tan 0=s}لكن الطرف الأيسر خاطئ إذاθ=0{\displaystyle \theta =0}وs=2{\displaystyle s=2}(لأن في هذه الحالةلون برونزي⁡θ=لون برونزي⁡0=s{\displaystyle \tan \theta =\tan 0=s}وهو ما لا يساويs=2{\displaystyle s=2})؛ وبشكل عام، يكون الطرف الأيسر خاطئًا إذاθ=0{\displaystyle \theta =0}وs≠0.{\displaystyle s\neq 0.}وبالمثل، فإن RHS هو البيان "θ=دالة الظل العكسي⁡(s)+πك{\displaystyle \theta =\arctan(s)+\pi k}بالنسبة للبعضك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }يمكن أن تكون عبارة الطرف الأيمن صحيحة أو خاطئة (كما في السابق، تعتمد صحة أو خطأ عبارة الطرف الأيمن على القيم المحددة).θ{\displaystyle \theta }وs{\displaystyle s}(يوجد). رمز المساواة المنطقية⟺{\displaystyle \,\iff \,}يعني هذا أنه (أ) إذا كانت العبارة في الطرف الأيسر صحيحة، فإن العبارة في الطرف الأيمن صحيحة بالضرورة ، وعلاوة على ذلك (ب) إذا كانت العبارة في الطرف الأيسر خاطئة، فإن العبارة في الطرف الأيمن خاطئة بالضرورة . وبالمثل،⟺{\displaystyle \,\iff \,}ويعني ذلك أيضاً أن (ج) إذا كانت عبارة الجانب الأيمن صحيحة فإن عبارة الجانب الأيسر صحيحة بالضرورة أيضاً ، وعلاوة على ذلك (د) إذا كانت عبارة الجانب الأيمن خاطئة فإن عبارة الجانب الأيسر خاطئة بالضرورة أيضاً .

مراجع

  1. ١ ٢ ٣ ٤ هول، آرثر غراهام؛ فرينك، فريد غودريتش (يناير ١٩٠٩). "الفصل الثاني. الزاوية الحادة [ ١٤ ] الدوال المثلثية العكسية" . كُتب في آن أربور، ميشيغان، الولايات المتحدة الأمريكية. علم المثلثات . المجلد. الجزء الأول: علم المثلثات المستوي. نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: هنري هولت وشركاه / مطبعة نوروود / شركة جيه إس كوشينغ - شركة بيرويك وسميث، نوروود، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية. ص ١٥. تم الاسترجاع في ٢٠١٧-٠٨-١٢ . [...] α = arcsin m : غالبًا ما تُقرأ " arc-sine m " أو " anti-sine m "، حيث يُقال إن دالتين عكسيتين هما دالة مضادة للأخرى. [...] علاقة رمزية مماثلة تنطبق على الدوال المثلثية الأخرى . [...] يُستخدم هذا الترميز عالميًا في أوروبا ويكتسب شعبية سريعة في هذا البلد. لا يزال الرمز الأقل تفضيلاً، α = sin⁻¹ m ، موجوداً في النصوص الإنجليزية والأمريكية. ولعلّ الرمز α = inv sin m أفضل من ذلك نظراً لتعدد استخداماته. […]      
  2. ^ كلاين، فيليكس (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: الحساب، الجبر، التحليل (باللغة الألمانية). المجلد. 1 ( الطبعة الثالثة). برلين: ج. سبرينغر.  تُرجم إلى الإنجليزية بعنوان: الرياضيات الابتدائية من منظور متقدم: الحساب، الجبر، التحليل . ترجمة: هيدريك، إي آر؛ نوبل، سي إيه. ماكميلان. ١٩٣٢. رقم ISBN 978-0-486-43480-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  3. ↑ هازوينكل، ميشيل (1994) [1987]. موسوعة الرياضيات (طبعة كاملة معاد طباعتها). دار نشر كلوير الأكاديمية / سبرينغر للعلوم والأعمال . رقم ISBN  978-155608010-4.
    برونشتاين، آي إن؛ سيميندييف، كيه إيه؛ موسيول، جيرهارد؛ موهليغ، هاينر. "الدوال المثلثية الدائرية أو العكسية". دليل الرياضيات (الطبعة السادسة  ). برلين: سبرينغر. § 2.8 ، ص  85-89. doi : 10.1007/978-3-663-46221-8 (غير نشط في 1 يوليو 2025).{{cite book}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
    ومع ذلك، يمكن أن يشير مصطلح "دالة أركوس" أيضًا إلى الدالة التي تعطي وسيطًا لعدد مركب، والتي تسمى أحيانًا أركوس .
  4. ↑ وايسشتاين، إريك و. "الدوال المثلثية العكسية" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29-08-2020 .
  5. ↑ بيتش، فريدريك كونفرس؛ راينز، جورج إدوين، محرران. (1912). "الدوال المثلثية العكسية". أمريكانا: مكتبة مرجعية شاملة . المجلد 21. 
  6. ↑ كوك، جون د. (11 فبراير 2021). "الدوال المثلثية عبر لغات البرمجة" . johndcook.com (مدونة) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 مارس 2021 .
  7. ↑ كاجوري، فلوريان (1919). تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: شركة ماكميلان . ص 272 .  
  8. ↑ هيرشل، جون فريدريك ويليام (1813). "حول تطبيق ملحوظ لنظرية كوتس" . المعاملات الفلسفية . 103 (1). الجمعية الملكية، لندن: 8. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 .
  9. ↑ "الدوال المثلثية العكسية" . ويكيبيديا. موقع Brilliant Math & Science (brilliant.org) . تاريخ الاسترجاع: 29 أغسطس 2020 .
  10. ↑ كورن، غراندينو آرثر؛ كورن، تيريزا م. (2000) [1961]. "21.2-4. الدوال المثلثية العكسية". دليل رياضي للعلماء والمهندسين: تعريفات ونظريات وصيغ للرجوع إليها ومراجعتها (الطبعة الثالثة ). مينولا ، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: منشورات دوفر، ص 811. ISBN   978-0-486-41147-7.
  11. ↑ بهاتي، ثناء الله؛ نواب الدين؛ أحمد، بشير؛ يوسف، إس إم؛ طهيم، الله بخش (1999). "تفاضل الدوال المثلثية واللوغاريتمية والأسية". في إلهي، محمد مقبول؛ دار، كرامات حسين؛ حسين، فهيم (محررون). حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية ( الطبعة الأولى). لاهور : مجلس كتب البنجاب. ص 140.  
  12. ↑ على سبيل المثال:
    ستيوارت، جيمس؛ كليج، دانيال؛ واتسون، سليم (2021). "الدوال العكسية واللوغاريتمات". حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة (  الطبعة التاسعة). سينجج ليرنينج. § 1.5، ص  64. ISBN 978-1-337-61392-7.
  13. ↑ أبراموفيتز وستيجون 1972 ، ص 73، 4.3.44
  14. ↑ بورواين، جوناثان؛ بيلي ، ديفيد؛ جينجرسون، رولاند (2004). التجريب في الرياضيات: مسارات حسابية للاكتشاف ( الطبعة الأولى). ويليسلي، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية: إيه كيه بيترز . ص 51. ISBN   978-1-56881-136-9.
  15. ↑Hwang Chien-Lih (2005), "An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function", The Mathematical Gazette, 89 (516): 469–470, doi:10.1017/S0025557200178404, S2CID 123395287
  16. ↑S. M. Abrarov and B. M. Quine (2018), "A formula for pi involving nested radicals", The Ramanujan Journal, 46 (3): 657–665, arXiv:1610.07713, doi:10.1007/s11139-018-9996-8, S2CID 119150623
  17. ↑when a time varying angle crossing ±π/2{\displaystyle \pm \pi /2} should be mapped by a smooth line instead of a saw toothed one (robotics, astronomy, angular movement in general)
  18. ↑Gade, Kenneth (2010). "A non-singular horizontal position representation"(PDF). The Journal of Navigation. 63 (3). Cambridge University Press: 395–417. Bibcode:2010JNav...63..395G. doi:10.1017/S0373463309990415.