معادلة كلاين-غوردون

اكتُشفت معادلة كلاين-غوردون بشكل مستقل في منتصف عشرينيات القرن العشرين على يد العديد من الفيزيائيين . ولذلك، وصفها فولفغانغ باولي بعبارته الشهيرة "المعادلة ذات الآباء الكثيرين". ^{[ 1 ] : 356} ويُشار إليها أحيانًا باسم معادلة شرودنغر النسبية أو معادلة كلاين-غوردون-فوك. ^{[ 2 ] : 679}

كان إرفين شرودنغر أول من اكتشف المعادلة في ديسمبر 1925، لكنه لم ينشرها . ^{[ 2 ] : 679.} استند في اشتقاقه إلى نظرية دي برولي للموجات المادية ، حيث سعى شرودنغر إلى إيجاد معادلة موجية تصف تطورها . ^{[ 3 ]} طبق معادلة كلاين-غوردون على ذرة الهيدروجين ، حيث حسب البنية الدقيقة لطيفها . ولما وجد أن هذه النتائج لا تتطابق مع النتائج التجريبية، فقد ثبط ذلك عزيمته عن مواصلة البحث في المعادلة. ونتيجة لذلك، لم ينشر سوى الحد غير النسبي للمعادلة في أوائل عام 1926، وهي معادلة شرودنغر. ولم ينشر معادلة كلاين-غوردون كاملة إلا في ورقته البحثية الرابعة في يوليو 1926. ^{[ 4 ]}

خلال عشرينيات القرن العشرين، كان أوسكار كلاين يطور نظريته الخاصة بالموجات، والتي لا تختلف كثيرًا عن نظرية دي برولي. ^{[ 3 ]} وعلى وجه الخصوص، اقتنع بأن نظريته الموجية للذرات يمكن ربطها بتوحيد الديناميكا الكهربائية لماكسويل والنسبية العامة لأينشتاين . قاده هذا إلى فكرة توحيدهما في نظرية نسبية خماسية الأبعاد (انظر نظرية كالوزا-كلاين )، حيث فسر البعد الإضافي على أنه ليس اتجاهًا فيزيائيًا حقيقيًا، بل إحداثية داخلية شكلية تُشفّر الشحنة الكهربائية . ^{[ 5 ] : 49} ومن هذه النظرية استنتج معادلة كلاين-غوردون، لكنه لم يُعرها أهمية كبيرة، إذ لم تُشكّل سوى جزء صغير من منشوره في أبريل 1926. ^{[ 6 ]} وكانت هذه هي المرة الأولى التي تظهر فيها المعادلة مطبوعة. ^{[ 3 ]} زعم كلاين لاحقًا أنه اكتشف المعادلة في الأصل في صيف عام 1925، قبل شرودنغر، ولكن لا يوجد دليل أولي مباشر على ذلك.

بعد نشر شرودنغر للمعادلة غير النسبية، كان من السهل تعميمها إلى صيغتها النسبية . وبهذه الطريقة، حصل باولي على المعادلة النسبية في أبريل 1926، لكنه لم ينشرها. ^{[ 7 ] [ 1 ] : 315} وقد فقد ثقته في المعادلة بعد أن عجز عن استخدامها لإثبات التكافؤ بين ميكانيكا المصفوفات وميكانيكا الموجات ، كما فعل مع معادلة شرودنغر. ^{[ 3 ]}

في غضون ذلك، ودون علمه بورقة كلاين، استنتج فلاديمير فوك المعادلة ونشرها في يونيو/حزيران. ^{[ 8 ]} ركز فوك على مناقشة معادلة الموجة لدراسة تأثير زيمان وتأثير ستارك . وكان أيضًا أول من نشر البنية الدقيقة الناتجة للهيدروجين باستخدام المعادلة التي اكتشفها شرودنغر سابقًا. وبعد ذلك بوقت قصير، قام كارل إيكارت أيضًا بحساب البنية الدقيقة للهيدروجين وفقًا لمعادلة كلاين-غوردون. ^{[ 9 ]}

وبالمثل، استنتج لويس دي بروي المعادلة ونشرها في يوليو، مدفوعًا بصياغة شرودنغر غير النسبية لفرضية نظرية الموجات المادية. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] : 44}

كما اشتق والتر جوردون المعادلة ونشرها في نهاية سبتمبر، ^{[ 13 ] [ 14 ] : 115} مع التركيز بشكل أساسي على تطبيقها على تأثير كومبتون ، كما اشتق التيار المرتبط بمعادلة كلاين-جوردون، وهي نتيجة توصل إليها كلاين سابقًا. ^{[ 3 ]}

أخيرًا، كان هناك ثلاثة مكتشفين آخرين لمعادلة كلاين-غوردون. وهم ثيوفيل دي دوندر وفرانس -هـ. فان دن دونجن ، اللذان كانا يعالجان الأنظمة الديناميكية العامة ولم يركزا بشكل صريح على نظرية الكم على الإطلاق. ^{[ 11 ] [ 5 ] : 49} نُشرت ورقتهم البحثية في يوليو 1926. ^{[ 15 ]} وبالمثل، نشر يوهان كودار بحثًا حول معادلة كلاين-غوردون في عام 1926. ^{[ 16 ] : 21 [ 17 ]}

استُخدمت المعادلة في السنوات اللاحقة لدراسة عددٍ محدود من المسائل. فعلى سبيل المثال، استخدمها فيكتور بورسيان لمعالجة التشتت كاضطراب ، ولم يجد سوى تصحيح نسبي طفيف للنتيجة المستخلصة من معادلة شرودنغر. ^{[ 18 ]} وبصرف النظر عن استخدامها في دراسة التشتت وتشتت كومبتون، لم تكن المعادلة مفيدةً جدًا في معالجة معظم المسائل الفيزيائية، ويعود ذلك أساسًا إلى عدم قدرتها على دمج اللف المغزلي . ^{[ 3 ] : 1031} والأهم من ذلك، أنها لم تكن مقبولةً لدى المنظرين لأنها لم تتوافق مع مبادئ ميكانيكا الكم كما كانت مفهومةً آنذاك، مثل مبدأ هايزنبرغ للشك ، وتفسير بورنز الاحتمالي ، ونظرية التحويل لبول ديراك وباسكوال جوردان . ^{[ 19 ] : 35} ونتيجةً لذلك، لم تلعب المعادلة دورًا مهمًا في تطور ميكانيكا الكم.

بينما اختفت المعادلة فعليًا من الفيزياء بعد اكتشاف معادلة ديراك عام 1928، أُعيد إحياؤها عام 1934 على يد باولي وفيكتور فايسكوف اللذين أعادا تفسيرها في ضوء نظرية تكميم المجال التي طُوّرت آنذاك، مما منحها تفسيرًا كميًا مقبولًا بوصفها جسيمات ذات لف مغزلي صفري . ^{[ 20 ] [ 2 ] : 684} وقد سمح هذا بإعادة تفسير حالات الطاقة السالبة التي ظهرت في التفسير الكمي البسيط على أنها جسيمات مضادة .

كان الميزون أول جسيم ذي لف مغزلي صفري تم التنبؤ به عام 1935 على يد هيديكي يوكاوا ، الذي استخدم صيغة من المعادلة. ^{[ 21 ]} أما أول الميزونات التي تم اكتشافها فكانت البيونات المشحونة عام 1947، والتي تُوصف حركتها بمعادلة كلاين-غوردون. وتم اكتشاف العديد من الميزونات الأخرى في العقود اللاحقة. وكان بوزون هيغز أول جسيم أولي ذي لف مغزلي صفري يتم اكتشافه عام 2012.

بما أن الحقول العددية النسبية تلعب دورًا بارزًا في الفيزياء الحديثة ، فإن نظرية كلاين-غوردون لا غنى عنها في العديد من المجالات. على سبيل المثال، توجد هذه الحقول العددية في علم الكونيات ونظرية التضخم ، ^{[ 22 ] : 154} وفي وصف مرشحي المادة المظلمة مثل الأكسيونات والعديد من سيناريوهات ما وراء النموذج القياسي ، ^{[ 23 ]} وفي العديد من مجالات الفيزياء النظرية مثل نظرية الأوتار في شكل معاملات ، وفي تناظر AdS/CFT . ^{[ 24 ]}

تصف معادلة كلاين-غوردون التطور الزمني لحقل قياسي حقيقي${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})}$وهو حقل يُسند عددًا حقيقيًا لكل نقطة في الزمكان . المعادلة هي معادلة تفاضلية جزئية زائدية من الدرجة الثانية معطاة بالصيغة ^{[ 2 ] : 680}

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {c^{2}m^{2}}{\hbar ^{2}}}{\bigg )}\phi (t,{\boldsymbol {x}})=0.}$

هنا${\displaystyle \nabla ^{2}}$هو عامل لابلاس ،${\displaystyle c}$سرعة الضوء ، و${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل . المعامل${\displaystyle m}$يلعب دور كتلة الحقل القياسي . [ ^{ملاحظة 1 ]} الحالة المستقلة عن الزمن للمعادلة مكافئة لمعادلة بواسون المحجوبة . يستخدم تعبير أكثر إيجازًا للمعادلة وحدات طبيعية ، حيث تُضبط كل من سرعة الضوء وثابت بلانك المختزل على الوحدة.${\displaystyle c=\hbar =1}$يأخذ المؤثر التفاضلي شكل مؤثر دالمبير${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$، أين${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$هي المقياس المسطح المرفوع . عندئذٍ تأخذ معادلة كلاين-غوردون الشكل ^{[ 25 ] : 17}

يمكن لمعادلة كلاين-غوردون أن تؤثر أيضًا على حقل قياسي معقد${\displaystyle \chi (x)}$وهو حقل يُسند لكل نقطة في الزمكان عددًا مركبًا. ^{[ 25 ] : 18} في هذه الحالة، يمكن تحليل المعادلة إلى زوج من معادلات كلاين-غوردون التي تعمل بشكل مستقل على درجتي حرية الحقل القياسي المركب. يمكن أن تكون هاتان الدرجتان هما المكونان الحقيقي والتخيلي ، أو بديلًا عن ذلك، الحقل ومرافقه المركب . هذا التحليل صحيح لأن نظرية غير متفاعلة لحقل قياسي مركب واحد تُكافئ نظرية حقلين قياسيين حقيقيين منفصلين.

في حالة المجال القياسي المركب، يمكن إدخال التفاعلات الكهرومغناطيسية عن طريق ربط المجالات بشكل طفيف من خلال إدخال مشتق متغاير قياسي.

${\displaystyle D_{\mu }\chi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\chi (x),}$

أين${\displaystyle A_{\mu }}$هو مجال القياس و${\displaystyle e}$هي الشحنة الكهربائية للحقل القياسي. يُستخدم المشتق المتغير لضمان أن تكون النظرية الناتجة ثابتة تحت تحويلات القياس حيث يتحول حقل القياس والحقل القياسي كما

${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x),\ \ \ \ \ \ \ \ \chi (x)\rightarrow e^{ie\lambda (x)}\chi (x),}$

لمعامل القياس${\displaystyle \lambda (x)}$تأخذ معادلة كلاين-غوردون المقترنة بشكل طفيف بالكهرومغناطيسية الشكل التالي

${\displaystyle (D_{\mu }D^{\mu }+m^{2})\chi (x)=0.}$

تصف هذه المعادلة تطور الحقول العددية المعقدة في الديناميكا الكهربائية العددية .

في صياغة لاغرانجية ، يمكن الحصول على معادلة كلاين-غوردون لحقل قياسي حقيقي كمعادلة أويلر-لاغرانجية للاغرانجية ^{[ 16 ] : 21}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\جزئي ^{\mu }\phi \جزئي _{\mu}\phi - {\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}.}$

في نظرية الحقل الكمومي، يصف هذا اللاغرانجيان حقلاً قياسياً حقيقياً ضخماً غير متفاعل، وتكون إثاراته عبارة عن بوزونات قياسية ذات كتلة${\displaystyle m}$في حالة حقل قياسي معقد${\displaystyle \chi (x)}$، ويُعطى لاغرانجيانها بالصيغة ^{[ 25 ] : 18}

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\chi ^{\dagger }\partial _{\mu }\chi -m^{2}\chi ^{\dagger }\chi .}$

معادلة كلاين-غوردون لـ${\displaystyle \chi }$و${\displaystyle \chi ^{\dagger }}$يتم إيجادها عن طريق تغيير لاغرانجيان بالنسبة إلى${\displaystyle \chi ^{\dagger }}$و${\displaystyle \chi }$على التوالي. من الواضح أن هذه اللاغرانجية ثابتة تحت تأثير عالمي${\displaystyle {\text{U}}(1)}$التناظر ، الذي ينتج عنه عند قياسه الديناميكا الكهربائية العددية. ^{[ 26 ] : 140.} تُعدّ صيغة لاغرانج مفيدة عند حساب التيارات المرتبطة بالتناظرات باستخدام نظرية نوثر . ^{[ 27 ] : 92}

يمكن اشتقاق المعادلة بشكل مماثل لكيفية اشتقاق معادلة شرودنغر من المعادلة غير النسبية لطاقة الجسيم . على وجه الخصوص، في الحد غير النسبي، الطاقة${\displaystyle E}$لجزيء حر ذي زخم${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle E={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {p}}^{2}.}$

من خلال رفع الزخم والطاقة للمشغلين عبر مبدأ التوافق ^{[ 14 ] : 116-117}

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}\rightarrow {\hat {\boldsymbol {p}}}=-i\hbar \nabla ,\ \ \ \ \ \ \ \ E\rightarrow {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}},}$

وهذا يُعطي معادلة شرودنغر. ^{[ 12 ] : 368} وبالمثل، تُستنتج معادلة كلاين-غوردون عن طريق استبدال الطاقة والزخم بالمؤثرات المناظرة في علاقة الطاقة-الزخم النسبية ^{[ 2 ] : 680}

${\displaystyle E^{2}={\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}.}$

من ناحية أخرى، تُعدّ محاولة إيجاد معادلة الجذر التربيعي للتعبير أعلاه إشكالية، إذ لا يُعامل الزمان والمكان على قدم المساواة. ^{[ 28 ] : 4} إضافةً إلى ذلك، سيُضطر المرء إلى التعامل مع الجذور التربيعية للمؤثرات التفاضلية ، والتي تُعالج عادةً بتوسيع تايلور للجذر التربيعي. يؤدي هذا إلى سلسلة لانهائية من حدود المشتقات العليا، مما يجعل تطبيق النظرية صعبًا. ^{[ 14 ] : 118}

تتحول المعادلة بشكل متغاير تحت إزاحات الزمكان ومجموعة لورنتز . تشكل هذه العناصر معًا مجموعة بوانكاريه التي تشفر التناظرات في الزمكان المسطح . تتحول الحقول العددية ككميات عددية تحت تحويلات لورنتز ، مما يعني أنه تحت${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }_{\nu }x^{\nu }}$يتحول الحقل القياسي على النحو التالي${\displaystyle \phi '(x')=\phi (x)}$[ ^{12 ] : 364-365​}

تُؤدي التناظرات العالمية إلى ظهور التيارات والشحنات وفقًا لنظرية نوثر . تُعطى التيارات الأربعة المُقابلة لإزاحات الزمكان الأربعة بواسطة موتر الإجهاد والطاقة ، والذي يُعطى لنظرية حقل قياسي حقيقي بالصيغة ^{[ 28 ] : 138}

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }\phi \partial ^{\nu }\phi -g^{\mu \nu }{\mathcal {L}},}$

أين${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هي دالة لاغرانج . تُعطى الشحنات المحفوظة بالتكامل المكاني للمركبة الصفرية للتيار. في هذه الحالة، تمثل الشحنات المحفوظة الطاقة الكلية وزخم المجال . [ 27 ] ^{: 95 بالنسبة لتحويلات لورنتز} ، تُعبّر التيارات الستة بدلالة موتر الإجهاد والطاقة كما يلي ^{[ 28 ] : 139}

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu \rho }=x^{\nu }T^{\mu \rho }-x^{\rho }T^{\mu \nu }.}$

الشحنات المحفوظة الناشئة عن درجات الحرية الدورانية الثلاث هي الزخم الزاوي ، بينما بالنسبة للدفعات الثلاث، فإنها تتوافق مع حركة مركز الطاقة.

تحتوي نظرية الحقل القياسي الحقيقي أيضًا على بنية داخلية منفصلة.${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$التناظر${\displaystyle \phi (x)\rightarrow -\phi (x)}$على الرغم من أن هذا لا يترتب عليه أي تبعات ديناميكية في النظرية الحرة. ^{[ 28 ] : 144-145} في حالة حقل قياسي معقد، يوجد مجال داخلي مستمر${\displaystyle {\text{U}}(1)}$تناظر الطور ^{[ 16 ] : 79}

${\displaystyle \chi (x)\rightarrow e^{i\alpha }\chi (x),}$

مع تيار نوثر مرتبط به معطى بالمعادلة ^{[ 25 ] : 18}

${\displaystyle j^{\mu }=i(\chi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\chi -\chi \partial ^{\mu }\chi ^{\dagger }).}$

يقيس الشحنة المحفوظة لهذا التناظر الفرق في عدد الجسيمات إلى الجسيمات المضادة . وعند اقترانها بالكهرومغناطيسية ، تكون الشحنة هي الشحنة الكهربائية ، التي يتوافق حفظها مع حفظ الشحنة . ^{[ 27 ] : 96}

يمكن تحويل معادلة كلاين-غوردون إلى معادلة كلاين-غوردون غير المتجانسة من خلال إدخال حد المصدر.${\displaystyle J(x)}$كما في ^{[ 27 ] : 66}

${\displaystyle (\square +m^{2})\phi (x)=J(x).}$

تقبل هذه المعادلة حلاً عاماً على الصورة ^{[ 27 ] : 146}

${\displaystyle \phi (x)=\int d^{4}y\ G(x,y)J(y),}$

أين${\displaystyle G(x,y)}$تُعرف هذه الدالة بدالة غرين ، وهي الحل الرسمي للمعادلة ^{[ 28 ] : 55}

${\displaystyle (\square +m^{2})G(x,y)=-i\delta ^{4}(xy).}$

المبدأ الكامن وراء وظيفة غرين${\displaystyle G(x,y)}$يتمثل الهدف في ربط الحل بـ${\displaystyle x}$إلى بعض المصطلحات القسرية في${\displaystyle y}$[ ^{27 ] : 145} في حين يمكن اعتبار دالة غرين بمثابة المعكوس الرسمي لمؤثر كلاين- ^غوردون${\displaystyle (\square +m^{2})^{-1}}$هذا الخيار ليس فريدًا. ^{[ 16 ] : 133} يتطلب الاختيار الدقيق لدالة غرين اختيار شروط حدودية ، تحدد نطاق دعمها ، مثل تلاشيها لقيم معينة من${\displaystyle y}$.

فعلى سبيل المثال، تُعرَّف دالة غرين المتأخرة بأنها تربط الحل في الوقت الحاضر بالنبضات القادمة من الماضي فقط.${\displaystyle y^{0}<x^{0}}$[ ^{28 ] : 30} في الوقت نفسه، تربط دالة غرين المتقدمة الحلول في الحاضر بالنبضات القادمة من المستقبل بشكل مباشر. ويتم ذلك ^بواسطة

${\displaystyle G_{r,a}(x,y)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{ip\cdot (xy)}}{(p_{0}\pm i\epsilon )^{2}-{\boldsymbol {p}}^{2}-m^{2}}},}$

حيث تشير الإشارة الموجبة إلى دالة غرين المتقدمة. ^{[ 29 ]}

ينتج عن اختيار شائع آخر لشروط الحدود مُوَصِّل فاينمان ، الذي يُطبِّق الترتيب الزمني ويُعطى بالصيغة ^{[ nb 2 ] [ 28 ] : 55}

${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {e^{ip\cdot (xy)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.}$

في نظرية الحقل الكمومي ، يتناسب هذا المُوَصِّل مع دالة الارتباط ثنائية النقاط المرتبة زمنيًا للحقول العددية. ^{[ 25 ] : 31}

يمكن حل معادلة كلاين-غوردون مباشرةً عن طريق إدخال تحويل فورييه للحقل القياسي ^{[ 27 ] : 59}

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\phi (p)e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}.}$

يؤثر مؤثر دالمبير فقط على الحد ذي الموضع الرابع في الأس، مما يقلل من عوامل الزخم. عندئذٍ، تختزل المعادلة إلى قيد على الزخم الرباعي للموجات المستوية.

${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}.}$

إن كتابة هذا بدلالة الطاقة والزخم الثلاثي يكشف أنه مكافئ لعلاقة الطاقة والزخم لجسيم ذي كتلة${\displaystyle E^{2}-{\boldsymbol {p}}^{2}=m^{2}}$^{[ 12 ] : 367} لذلك ، فإن الحل الأكثر عمومية لمعادلة كلاين-غوردون هو تراكب حلول الموجات المستوية التي تحقق زخمها علاقة الطاقة بالزخم. ^{[ 26 ] : 21}

من خلال فرض شرط الغلاف ، كما هو الحال من خلال إدخال دوال دلتا في حل تحويل فورييه، يتم إيجاد شكل أكثر وضوحًا للحلول ^{[ ملاحظة 3 ]}

${\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {d^{3}{\boldsymbol {p}}}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E({\boldsymbol {p}})}}(A({\boldsymbol {p}})e^{-ip_{\mu }x^{\mu }}+B({\boldsymbol {p}})e^{ip_{\mu }x^{\mu }}),}$

أين${\displaystyle A({\boldsymbol {p}})}$و${\displaystyle B({\boldsymbol {p}})}$هي دوال اختيارية للزخم الثلاثي، و${\displaystyle E({\boldsymbol {p}})={\sqrt {{\boldsymbol {p}}^{2}+m^{2}}}}$تمثل طاقة الأنماط. يوضح هذا الشكل وجود حلول الترددات الموجبة والسالبة بشكل حتمي .

عندما يتم ربط معادلة كلاين-غوردون بالكهرومغناطيسية باستخدام جهد كولوم ، فإنها تُستخدم لدراسة الذرات الغريبة التي تدور حول نواتها جسيمات بوزونية عديمة اللف المغزلي . ^{[ 31 ] : 34} على سبيل المثال، في الذرة البيونية، تدور حول النواة الذرية بيونات سالبة الشحنة.${\displaystyle \pi ^{-}}$مع الكتلة${\displaystyle m_{\pi }}$عمر البيونات طويل بما يكفي لكي يشكل هذا النظام حالات مرتبطة قبل أن يتحلل البيون .

الحالة التي يدور فيها بيون واحد فقط حول نواة مشحونة${\displaystyle Ze}$يمكن حلها مباشرة. تستخدم الحلول الثابتة لجهد كولوم فصل المتغيرات ، حيث يُكتب المجال على النحو التالي${\displaystyle \phi (x)=e^{-i\epsilon t}\Phi ({\boldsymbol {x}})}$للتعبير عن معادلة كلاين-غوردون على النحو التالي ^{[ 2 ] : 681}

${\displaystyle {\bigg [}{\bigg (}\epsilon +{\frac {Z\alpha }{r}}{\bigg )}^{2}+\nabla ^{2}-m_{\pi }^{2}{\bigg ]}\Phi ({\boldsymbol {x}})=0,}$

أين${\displaystyle \alpha }$هو ثابت البنية الدقيقة . تُعطى مستويات الطاقة لهذا النظام بالعلاقة ^{[ 31 ] : 34-37}

${\displaystyle E_{\text{KG}}={\frac {m_{\pi }}{\sqrt {1+{\frac {(Z\alpha )^{2}}{{\Big (}n-{\big (}l+{\tfrac {1}{2}}{\big )}+{\sqrt {{\big (}l+{\tfrac {1}{2}}{\big )}^{2}-(Z\alpha )^{2}}}{\Big )}^{2}}}}}},}$

أين${\displaystyle n}$هو العدد الكمي الرئيسي و${\displaystyle l}$يمثل العدد الكمي لعزم الدوران المداري . وعلى عكس الحالة غير النسبية، فإن التأثيرات النسبية تزيل الانحلال في${\displaystyle l}$الولايات.

تختلف مستويات الطاقة هذه عن الذرات التقليدية لأن الإلكترونات فرميونات ذات لف مغزلي نصف ، بينما تصف معادلة كلاين-غوردون جسيمات بوزونية ذات لف مغزلي صفري. مع ذلك، فإن صيغة مستويات الطاقة للذرات العادية، والمعروفة بصيغة سومرفيلد، متشابهة جدًا. تُستنتج هذه الصيغة مباشرةً من الصيغة السابقة باستبدال كتلة البيون بكتلة الإلكترون ، واستبدال .${\displaystyle l\rightarrow j}$، وهو العدد الكمي الزاوي للدوران المداري. مستويات الطاقة المتوقعة بواسطة${\displaystyle E_{\text{KG}}}$وقد لوحظت بنجاح في الذرات البيونية. ^{[ 32 ]}

ينهار الحل عندما${\displaystyle Z\alpha >l+1/2}$، حيث يصبح الجذر التربيعي تخيليًا، وهو ما يحدث أولًا لـ${\displaystyle Z=69}$^{[ 33 ] : 95} من الناحية الفيزيائية ، يكون جهد كولوم الجاذب قويًا جدًا، حيث لا تكفي الطاقة الحركية للبيون لمنعه من الدوران حلزونيًا نحو النواة. ^{[ 33 ] : 97} على عكس الحالة غير النسبية، يحدث هذا بشكل تقريبي على المستوى الكلاسيكي في النظرية النسبية لأن سرعة البيون لا يمكنها الزيادة بالسرعة الكافية مع انخفاض نصف قطر مداره للحفاظ على قوة الطرد المركزي اللازمة لمقاومة قوة كولوم. ^{[ 14 ] : 166} وبشكل أدق، تنشأ المشكلة لأن الدالة الموجية تُظهر سلوكًا غير طبيعي على مسافات قصيرة. بالنسبة لأنوية الذرات الواقعية، يتم تجنب هذه المشكلة جزئيًا للأحجام الأكبر${\displaystyle Z}$وذلك لعدم امتلاكها جهود كولوم مثالية تشبه النقاط . ^{[ 14 ] : 166-167}

ومن الحلول البارزة الأخرى لمعادلة كلاين-غوردون تشتت موجة مستوية أولية عن عتبة جهدية ذات ارتفاع${\displaystyle V}$[ ^{34 ]} تُوصف خصائص هذا الحل بمعامل ^انعكاس${\displaystyle R}$ومعامل انتقال${\displaystyle T}$والتي تحقق${\displaystyle R+T=1}$تصف هذه القيم احتمالية انعكاس الموجة الساقطة عن الحاجز أو مرورها عبره، على التوالي. بالنسبة للطاقات الواردة الكبيرة${\displaystyle E>V+m}$يكون كل من معامل الانعكاس ومعامل النفاذ غير صفريين، مع وجود احتمال معين لمرور الجسيم عبر الحاجز واحتمال آخر لانعكاسه. ^{[ 31 ] : 30-34} في حالة${\displaystyle V+m>E>V-m}$يكون معامل النفاذية صفرًا ومعامل الانعكاس واحدًا، حيث ينعكس الجسيم دائمًا. يتطابق هذا السلوك مع ما وُجد في معادلة شرودنغر غير النسبية . ^{[ 33 ] : 85-88}

لكن عندما يكون الاحتمال كبيرًا جدًا${\displaystyle V>E+m}$، يكتسب الحل معاملات انتقال سالبة${\displaystyle T<0}$ومعامل انعكاس أكبر من واحد${\displaystyle R>1}$يُعرف هذا السلوك بمفارقة كلاين ، وقد وصفه أوسكار كلاين لأول مرة في سياق معادلة ديراك . ^{[ 35 ]} تُحل هذه المفارقة بإعادة تفسير الظاهرة على أنها تكوّن أزواج من الجسيمات والجسيمات المضادة من حاجز الجهد نفسه. ^{[ 31 ] : 30-34.} تنجذب الجسيمات المضادة إلى الجهد بينما تتنافر الجسيمات، مما يُسهم في الحزمة المنعكسة ، ويزيد من عدد الجسيمات المُرصودة العائدة من الحاجز. يتطلب التحليل الكامل نظرية نسبية متعددة الجسيمات في صورة نظرية الحقل الكمومي. ^{[ 33 ] : 88}

تم وضع معادلة كلاين-غوردون في الأصل في سياق ميكانيكا الكم النسبية ، حيث تؤدي دور تعميم نسبي لمعادلة شرودنغر . وهناك تصف تطور الدالة الموجية ذات القيم المركبة.${\displaystyle \Psi (t,{\boldsymbol {x}})}$من خلال ^{[ 36 ] : 480}

${\displaystyle \hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\Psi (t,{\boldsymbol {x}})={\big (}c^{2}\hbar ^{2}\nabla ^{2}-c^{4}m^{2}{\big )}\Psi (t,{\boldsymbol {x}}),}$

أين${\displaystyle \nabla ^{2}}$هو اللابلاسي ،${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل ، و${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء .

إذا كان من المفترض أن تصف معادلة كلاين-غوردون دالة موجية، فلا بد من وجود دالة كثافة احتمالية محفوظة مقابلة يمكن بناؤها من الدالة الموجية. ^{[ 36 ] : 482} دالة الكثافة الاحتمالية المرشحة، المعطاة بالمركبة الصفرية للتيار الرباعي المقابل لـ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$تناظر الطور المعقد${\displaystyle \Psi (t,{\boldsymbol {x}})\rightarrow e^{i\theta }\Psi (t,{\boldsymbol {x}})}$، معطى بواسطة ^{[ 2 ] : 683}

${\displaystyle P({\boldsymbol {r}},t)={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}{\bigg (}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}{\bigg )}.}$

على الرغم من أن هذا محفوظ ، إلا أنه ليس موجبًا تمامًا، وبالتالي لا يمكن تفسيره على أنه دالة كثافة احتمالية. ^{[ 12 ] : 365} وذلك على الرغم من أن تياره الثلاثي المقابل يطابق شكل تيار الاحتمالية لمعادلة شرودنغر في الحد غير النسبي.

تتمثل إحدى المشكلات الأخرى في وجود حالات طاقة سالبة . حلول الموجة المستوية للمعادلة${\displaystyle \Psi =Ae^{-i(Et-{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {x}})/\hbar }}$قبول حلول الطاقة الإيجابية${\displaystyle E>mc^{2}}$وحلول الطاقة السلبية${\displaystyle E<-mc^{2}}$^{[ 2 ] : 683} من حيث المبدأ ، لا يُمثل وجود طيف غير محدود مشكلة في نظرية تخلو من التفاعلات. إلا أن الإشكاليات تظهر عند إدخال التفاعلات، مثل الاقتران بالمجال الكهرومغناطيسي . تاريخيًا، اعتُبر هذا مشكلة لأنه لا يوجد ما يمنع التحلل غير المحدود للحالة عبر انبعاث الإشعاع الكهرومغناطيسي . من منظور حديث ، يعكس هذا انهيار تفسير الجسيم الواحد للنظرية. ^{[ 36 ] : 487}

في إطار التكميم الثاني لنظرية الحقل الكمومي ، تُرفع الحقول إلى مرتبة المؤثرات التي تؤثر على الحالات. ^{[ 36 ] : 489} ويمكن استخدامها لإنشاء أو تدمير الجسيمات أو الجسيمات المضادة عند تأثيرها على حالة ما. بالنسبة لحقل قياسي معقد، فإن المؤثر${\displaystyle {\hat {\phi }}(x)}$يُفني الجسيمات ويُنتج الجسيمات المضادة، بينما${\displaystyle {\hat {\phi }}^{\dagger }(x)}$يُنشئ جسيمات ويُفني جسيمات مضادة. ^{[ 16 ] : 66} وهذا يُخالف ميكانيكا الكم النسبية حيث يُقابل الحقل دالة موجية تصف حالة جسيم واحد. تصف معادلة كلاين-غوردون معادلة حركة مؤثر الحقل والجسيمات التي يُنشئها. ^{[ 37 ] : 82} في حالة أعداد شغل كبيرة في حالة متماسكة أو شبه كلاسيكية ، تختزل نظرية الحقل الكمومي لحقل قياسي إلى نظرية حقل كلاسيكية . ^{[ 38 ] : 209}

تُعاد تفسير حالات التردد السالب التي تُسبب مشاكل في تطبيق معادلة كلاين-غوردون في ميكانيكا الكم على أنها جسيمات مضادة ذات طاقة موجبة . ^{[ 37 ] : 18} في نظرية الحقل القياسي الحقيقي، تكون الجسيمات هي جسيماتها المضادة، بينما في نظرية الحقل القياسي المركب، يكون للجسيمين شحنات متعاكسة . أما دالة كثافة الاحتمال المرشحة لنظرية الكم، والتي لم تكن موجبة تمامًا، فتُعاد تفسيرها على أنها تصف مؤثر كثافة الشحنة المحفوظة في نظرية الحقل الكمومي. ^{[ 31 ] : 26}

الحد غير النسبي${\displaystyle v\ll c}$ينتج عن معادلة كلاين-غوردون المعقدة معادلة شرودنغر في الرتبة الأولى. ويمكن اشتقاق هذه المعادلة عن طريق استخراج طاقة كتلة السكون المتذبذبة من خلال إعادة تعريف المجال ^{[ 16 ] : 190}

${\displaystyle \chi (t,{\boldsymbol {x}})={\tilde {\chi }}(t,{\boldsymbol {x}})e^{-imt},}$

وبالاقتصار على قطاع الجسيمات ذي التردد الموجب، يتم استبعاد الجسيمات المضادة من الطيف . ^{[ 27 ] : 112-113.} ويؤدي اتباع نهج أكثر دقة إلى معادلتين مستقلتين لشرودنغر لحقلين معقدين .${\displaystyle ({\tilde {\chi }}_{1},{\tilde {\chi }}_{2})}$واحد للجسيم وواحد للجسيم المضاد. ^{[ 12 ] : 366.} تتميز النظرية غير النسبية الناتجة بتوسع${\displaystyle {\text{U}}(2)}$مجموعة التناظر المرتبطة بالزوج المركب${\displaystyle ({\tilde {\chi }}_{1},{\tilde {\chi }}_{2})}$هذا يحتوي على${\displaystyle {\text{U}}(1)\times {\text{U}}(1)}$مجموعة فرعية ، تتوافق مع إعادة تعريف طور لكل${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{i}}$وهذا يعني حفظ عدد الجسيمات وعدد الجسيمات المضادة، كلٌ على حدة. ^{[ 39 ]} وعند تضمين التفاعلات، يمكن أن تنهار هذه التناظرات إلى تناظر عالمي واحد.${\displaystyle {\text{U}}(2)\rightarrow {\text{U}}(1)}$يتوافق ذلك مع مبدأ حفظ الشحنة الموروث من النظرية النسبية الكاملة. إضافةً إلى ذلك، قد يكون لنظرية المجال الفعّالة غير النسبية نطاق صلاحية محدود، كأن تكون صالحة فقط في حالة عدم التقاء الجسيمات والجسيمات المضادة وفنائها في حالات نسبية . إذا سُمح بحدوث مثل هذه الأحداث، ولم تتضمن نظرية المجال الفعّالة درجات الحرية النسبية، فإنها لن تُصبح نظرية وحدوية مغلقة . ^{[ 40 ]}

يُعدّ الحدّ غير النسبي لمعادلة كلاين-غوردون الحقيقية أكثر تعقيدًا نظرًا لأن الجسيم هو جسيمه المضاد. ومع ذلك، يمكن تعريفه بحقل قياسي حقيقي نسبي واحد ، مما ينتج عنه نظرية لحقل قياسي مُركّب واحد في الحدّ غير النسبي. على الرغم من كونه حقلًا مُركّبًا، فإن درجات الحرية تتطابق لأن النظرية النسبية هي نظرية مشتقة ثانية بالنسبة للزمن، بينما النظرية غير النسبية هي نظرية من الدرجة الأولى، وبالتالي فإن لكل حقل غير نسبي نصف عدد درجات الحرية الموجودة في النظرية النسبية. ^{[ 41 ]} التعريف البسيط للحقل القياسي المُركّب غير النسبي${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$من المجال النسبي${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})}$هو ^{[ 42 ]}

${\displaystyle \phi (t,{\boldsymbol {x}})={\frac {1}{\sqrt {2m}}}[\psi (t,{\boldsymbol {x}})e^{-imt}+\psi ^{*}(t,{\boldsymbol {x}})e^{imt}].}$

هذا التعريف مناسب لنظرية حرة حيث تكون النظرية غير النسبية لـ${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$يتم الحصول عليها عن طريق حذف الحدود عالية التردد من الرتبة${\displaystyle m}$مما يعطي معادلة شرودنغر للرتبة الأولى. ومع ذلك، عند أخذ التفاعلات في الاعتبار، يتم استخدام تعريف غير محلي معدل لـ${\displaystyle \psi (t,{\boldsymbol {x}})}$يُستخدم عادةً للوصول بسهولة أكبر إلى نظرية غير نسبية فعّالة . ^{[ 43 ]} كما أن للنظرية غير النسبية أيضًا نشأة${\displaystyle {\text{U}}(1)}$التناظر، وهو دقيق في حالة عدم التفاعل. هذا التناظر يعني حفظ عدد الجسيمات بشحنة عددية مقدارها

${\displaystyle N=\int d^{3}{\boldsymbol {x}}\ |\psi |^{2}.}$

في نظرية التفاعل الذاتي، ينطبق هذا التناظر على جميع رتب نظرية الاضطراب في حالة الطاقات المنخفضة بما فيه الكفاية.${\displaystyle E\ll m}$وبالنسبة لأعداد الإشغال المنخفضة التي تمنع حركيًا العمليات التي تنتهك العدد. ^{[ 43 ]}

بينما يُعدّ تحويل معادلة كلاين-غوردون الكلاسيكية غير التفاعلية إلى معادلة شرودنغر الكلاسيكية أمرًا مباشرًا، إلا أنه يجب توخي المزيد من الحذر عند تحويل نظرية الحقل الكمومي إلى ميكانيكا الكم غير النسبية . ويعود ذلك إلى اختلاف المتغيرات الأساسية المستخدمة اختلافًا كبيرًا في الإطارين.

تتمثل إحدى الطرق التقريبية للوصول إلى الحد غير النسبي في بناء دالة الموجة لحالة الجسيم . وعلى وجه الخصوص، بالنسبة لحقل كلاين-غوردون المعقد، يتم ذلك باستخدام مؤثر حقل نظرية الحقل الكمومي لإنشاء حالة جسيم عند الموضع${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$كما في ^{[ رقم 4 ] [ 36 ] : 480}

${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}\rangle =\phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}})|0\rangle .}$

ثم يُستخدم هذا لبناء حالة أكثر عمومية كتراكب لحالات الموضع هذه

${\displaystyle |\varphi \rangle =\int d^{3}x\varphi ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}\rangle ,}$

أين${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}})}$وهي الآن دالة الموجة. ^{[ 44 ]} من خلال بناء هاميلتونيان نظرية المجال ، يمكن إثبات أن هذا يستلزم معادلة شرودنغر لدالة الموجة

${\displaystyle i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\varphi .}$

هذا الإجراء غير دقيق تقنيًا، ولا يمكن تعميمه بسهولة ليشمل التفاعلات. كما أنه لا يتناول مصير درجات حرية الجسيم المضاد. في المقابل، يُظهر تحليل أكثر دقة أن الحد غير النسبي يُفضي إلى معادلة شرودنغر لكل من الجسيم والجسيم المضاد. ويمكن استخدام هذا الإجراء أيضًا في حالة حقل كلاين-غوردون الحقيقي للحصول على نظرية كمومية غير نسبية. ^{[ 45 ]}

في الزمكان المنحني ، يجب رفع المقياس المسطح إلى مقياس منحني ، ويجب تعديل المشتقات لمراعاة انحناء الزمكان من خلال إدخال مشتق متغاير.${\displaystyle \nabla _{\mu }}$في التوقيع المتري السلبي في الغالب ، تأخذ معادلة كلاين-غوردون في الزمكان المنحني الشكل ^{[ 46 ] : 182}

${\displaystyle (g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }+m^{2})\phi =0.}$

يُعطى شكل بديل يستبدل المشتق المتغير بمشتقات جزئية منتظمة ، متجنبًا الحاجة إلى حساب رموز كريستوفيل صراحةً، بواسطة ^{[ 47 ] : 105}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\phi )+m^{2}\phi =0.}$

هنا${\displaystyle g^{\mu \nu }}$هو موتر القياس العكسي و${\displaystyle g}$هو المحدد الرئيسي للمقياس.

يُعطى شكلٌ أكثر عمومية لمعادلة كلاين-غوردون يسمح بالاقتران غير الأدنى مع الجاذبية بواسطة ^{[ 48 ] : 44}

${\displaystyle (\nabla ^{\mu }\nabla _{\mu }+m^{2}+\xi R)\phi =0,}$

أين${\displaystyle R}$هو مقياس ريتشي . حالة${\displaystyle \xi =0}$يُعرف هذا باسم الاقتران الأدنى، حيث تُختزل المعادلة إلى الشكل المذكور آنفًا. في الوقت نفسه، في${\displaystyle d}$الزمكان ذو الأبعاد، عندما ^{[ 49 ] : 44}

${\displaystyle \xi ={\frac {1}{4}}{\frac {d-2}{d-1}},}$

يُقال إن حقل كلاين-غوردون مقترن توافقيًا بالجاذبية. عندما يكون الحقل المقترن توافقيًا عديم الكتلة أيضًا ، تكون المعادلة ثابتة توافقيًا . تُستخدم هذه الحالة غالبًا كنموذج سهل المعالجة لنظرية الحقل الكمومي في حسابات الزمكان المنحني. على وجه الخصوص، بالنسبة للزمكانات المسطحة توافقيًا، لا تشهد هذه الحقول أي إنتاج للجسيمات نظرًا لأن النظام مكافئ لنظرية الفضاء المسطح . ^{[ 48 ] : 62}

معادلة كلاين-غوردون هي معادلة الحركة لنظريات الحقول العددية النسبية الحرة. بمجرد إدخال التفاعلات الذاتية من خلال جهد${\displaystyle V(\phi )}$، وتأخذ معادلة الحركة الناتجة شكل معادلة كلاين-غوردون غير الخطية ^{[ 26 ] : 32}

${\displaystyle (\square +m^{2})\phi (x)=-{\frac {\partial V}{\partial \phi }}.}$

ومن الأمثلة البارزة معادلة ساين-غوردون ومعادلة الحركة لـ${\displaystyle \phi ^{4}}$النظرية . ^{[ 38 ] : 59-60}

يمكن أيضًا إدخال التفاعلات إلى معادلة كلاين-غوردون عن طريق قياس الحقل القياسي تحت مجموعة قياس معينة . ^{[ 26 ] : 121} عندما يتم قياسه تحت${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ثم يؤدي هذا إلى الديناميكا الكهربائية القياسية ، بينما عندما يتم قياسها تحت تأثير${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$تُعرف النتيجة باسم الديناميكا اللونية القياسية . وبشكل عام، عند قياسها تحت زمرة لي معينة${\displaystyle G}$تأخذ معادلة كلاين-غوردون الشكل ^{[ 50 ]}

${\displaystyle (D_{\mu }D^{\mu }+m^{2})\Phi (x)=0,}$

أين${\displaystyle \Phi (x)}$هو حقل قياسي متعدد المكونات ينتمي إلى تمثيل ما لمجموعة لي. وهذا يعني أنه يتحول على النحو التالي:${\displaystyle \Phi (x)\rightarrow \rho (g(x))\Phi (x)}$، أين${\displaystyle \rho (g)}$هو تمثيل مصفوفي لعنصر المجموعة${\displaystyle g\in G}$في الوقت نفسه، يُعرَّف المشتق المتغير مع المقياس على النحو التالي ^{[ 26 ] : 482}

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}T^{a},}$

أين${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$هي مكونات مجال القياس، التي تتوافق مع الاتصال ، و${\displaystyle T^{a}}$هي المولدات في تمثيل جبر لي المقابل لتمثيل زمرة لي${\displaystyle \rho (g)}$.

تُحقق مُركبات جميع حقول الدوران غير المتفاعلة معادلة كلاين-غوردون إما مباشرةً أو بعد فرض قيود مناسبة. ^{[ 51 ]} هذه نتيجة نظرية الزمر ، حيث تُحقق جميع التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال لزمرة بوانكاريه المعادلة. ^{[ 38 ] : 8} على سبيل المثال، أي حل لمعادلة ديراك ، التي تصف حقول الدوران ذات اللف المغزلي 1/2 ، هو تلقائيًا حل لمعادلة كلاين-غوردون. ^{[ 52 ]} تنطبق نتيجة مماثلة على معادلة ماكسويل ومعادلة بروكا ، اللتين تصفان حقول الدوران المغزلي عديمة الكتلة وذات الكتلة ذات اللف المغزلي 1${\displaystyle A^{\mu }}$على التوالي. ^{[ 27 ] : 120-121.} تتحول معادلات مكوناتها إلى معادلة كلاين-غوردون عديمة الكتلة وذات الكتلة بمجرد إزالة القيد.${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}$يُفرض هذا القيد، وهو قيد ضروري لمعادلة بروكا، بينما يُعد اختيار مقياس لورنز شرطًا أساسيًا لمعادلة ماكسويل. ^{[ 38 ] : 125 [ 26 ] : 119}