متسلسلة فورييه

كتب جوزيف فورييه ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

بضرب كلا الطرفين في${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ثم التكامل من${\displaystyle y=-1}$ل${\displaystyle y=+1}$النتائج:

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

يُعطي هذا مباشرةً أي معامل a _k للمتسلسلة المثلثية لـ φ( y ) لأي دالة لها مثل هذا التوسع. ينجح هذا لأنه إذا كان لـ φ مثل هذا التوسع، فإن التكامل (في ظل افتراضات تقارب مناسبة) $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$ يمكن تنفيذها فصلاً فصلاً. ولكن جميع الفصول التي تتضمن${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$بالنسبة لـ j ≠ k، تتلاشى عند التكامل من −1 إلى 1، ولا يتبقى سوى${\displaystyle k^{\text{th}}}$المصطلح، وهو 1 .

في هذه السطور القليلة، القريبة من الصيغة الحديثة المستخدمة في متسلسلات فورييه، أحدث فورييه ثورة في كلٍّ من الرياضيات والفيزياء. مع أن متسلسلات مثلثية مماثلة استُخدمت سابقًا من قِبل أويلر ، ودالمبير ، ودانيال برنولي، وغوس ، فقد اعتقد فورييه أن هذه المتسلسلات المثلثية قادرة على تمثيل أي دالة. أما مدى صحة ذلك في الواقع، فهو مسألة دقيقة نوعًا ما، وقد أدت المحاولات على مر السنين لتوضيح هذه الفكرة إلى اكتشافات مهمة في نظريات التقارب ، وفضاءات الدوال ، والتحليل التوافقي .

عندما قدم فورييه مقالًا لاحقًا للمسابقة في عام 1811، خلصت اللجنة (التي ضمت لاغرانج ، ولابلاس ، ومالوس ، وليجندر ، من بين آخرين) إلى ما يلي: "...إن الطريقة التي توصل بها المؤلف إلى هذه المعادلات لا تخلو من الصعوبات، و...لا يزال تحليله لدمجها يترك مجالًا للتحسين فيما يتعلق بالعمومية وحتى الدقة ". ^{[ 14 ]}

يبدو توسيع متسلسلة فورييه لدالة سن المنشار (أدناه) أكثر تعقيدًا من الصيغة البسيطة${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$لذا، ليس من الواضح تمامًا سبب الحاجة إلى متسلسلة فورييه. مع وجود العديد من التطبيقات، كان الدافع الرئيسي لفورييه هو حل معادلة الحرارة . على سبيل المثال، لنفترض صفيحة معدنية مربعة الشكل، طول ضلعها يساوي 10 ...${\displaystyle \pi }$أمتار، مع إحداثيات${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$إذا لم يكن هناك مصدر حرارة داخل الصفيحة، وإذا كانت ثلاثة من جوانبها الأربعة عند درجة حرارة صفر مئوية، بينما الجانب الرابع، المعطى بواسطة${\displaystyle y=\pi }$يتم الحفاظ على درجة الحرارة عند التدرج الحراري${\displaystyle T(x,\pi )=x}$درجات مئوية، لـ${\displaystyle x}$في${\displaystyle (0,\pi )}$ثم يمكن إثبات أن توزيع الحرارة الثابت (أو توزيع الحرارة بعد مرور وقت طويل) يُعطى بواسطة

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

هنا،${\displaystyle \sinh }$هي دالة الجيب الزائدي . يُحصل على هذا الحل لمعادلة الحرارة بضرب كل حد من حدود المعادلة من قسم التحليل § مثال في${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$بينما دالة المثال لدينا${\displaystyle s(x)}$يبدو أن لديه متسلسلة فورييه معقدة بلا داعٍ، توزيع الحرارة${\displaystyle T(x,y)}$إنها ليست تافهة. الدالة${\displaystyle T}$لا يمكن كتابتها كصيغة مغلقة . وقد أصبح حل مسألة الحرارة بهذه الطريقة ممكناً بفضل أعمال فورييه.

ومن التطبيقات الأخرى حل مسألة بازل باستخدام نظرية بارسيفال . ويمكن تعميم المثال، ويمكن حساب ζ (2 n ) لأي عدد صحيح موجب n .

يمكن كتابة متسلسلة فورييه بعدة صيغ متكافئة، موضحة هنا على النحو التالي:${\displaystyle N^{\text{th}}}$المجاميع الجزئية${\displaystyle s_{N}(x)}$من سلسلة فورييه لـ${\displaystyle s(x)}$[ ^{21 ]​}

صيغة الجيب وجيب التمام

${\displaystyle s_{N}(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+b_{n}\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\right)}$

المعادلة 1

الشكل الأسي

${\displaystyle s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}}$

المعادلة 2

يتم ترقيم التوافقيات بواسطة عدد صحيح،${\displaystyle n,}$وهو أيضاً عدد الدورات التي تقوم بها الموجات الجيبية المقابلة في الفترة الزمنية${\displaystyle P}$لذلك، فإن الموجات الجيبية لها :

• طول موجي يساوي${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$بنفس الوحدات${\displaystyle x}$.
• تردد يساوي​${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$بوحدات مقلوب${\displaystyle x}$.

يمكن لهذه المتسلسلات أن تمثل دوالًا هي مجرد مجموع تردد واحد أو أكثر في الطيف التوافقي . في النهاية${\displaystyle N\to \infty }$، يمكن للمتسلسلة المثلثية أيضًا أن تمثل الترددات المتوسطة أو الدوال غير الجيبية بسبب العدد اللانهائي من الحدود.

يمكن تحديد المعاملات أو افتراضها، كما هو الحال في مُركِّب الموسيقى أو عينات زمنية لموجة صوتية. في الحالة الأخيرة، يُولِّد الشكل الأسي لمتسلسلة فورييه تحويل فورييه منفصل الزمن حيث يكون المتغير${\displaystyle x}$يمثل التردد بدلاً من الزمن. وبشكل عام، يتم تحديد المعاملات من خلال تحليل دالة معينة.${\displaystyle s(x)}$مجال تعريفها هو فترة طولها${\displaystyle P}$. ^{[ ب ] [ 22 ]}

معاملات فورييه

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx&\\&a_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\textrm {for}}~n\geq 1\\&b_{n}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx,\ &{\text{for}}~n\geq 1\\\end{aligned}}}$

المعادلة 3

ال${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$يُستنتج عامل المقياس من خلال تعويض المعادلة 1 في المعادلة 3 واستخدام خاصية التعامد في النظام المثلثي . ^{[ 23 ]} وتُستنتج تكافؤ المعادلتين 1 و 2 من صيغة أويلر.$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}$$ مما أدى إلى:

مع${\displaystyle c_{0}}$كونها القيمة المتوسطة لـ${\displaystyle s}$على الفترة${\displaystyle P}$[ ^{24 ] على العكس} من ذلك:

مثال

لنفترض دالة سن المنشار: $${\displaystyle s(x)=s(x+2\pi k)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,{\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$$ في هذه الحالة، تُعطى معاملات فورييه بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=0.\\a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 1.\\b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$$ يمكن إثبات أن متسلسلة فورييه تتقارب إلى${\displaystyle s(x)}$في كل نقطة${\displaystyle x}$أين${\displaystyle s}$قابلة للتفاضل، وبالتالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}}$$ متى${\displaystyle x=\pi }$، تتقارب متسلسلة فورييه إلى 0، وهو نصف مجموع الحد الأيسر والحد الأيمن لـ${\displaystyle s}$في${\displaystyle x=\pi }$هذه حالة خاصة من نظرية ديريشليه لسلسلة فورييه.

يؤدي هذا المثال إلى حل مشكلة بازل .

إذا كانت الدالة${\displaystyle s(x)}$إذا كانت ذات قيم حقيقية، فيمكن تمثيل متسلسلة فورييه أيضًا على النحو التالي ^{[ 25 ] [ 26 ]}

شكل السعة والطور

${\displaystyle s_{N}(x)=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}$

المعادلة 4

أين${\displaystyle A_{n}}$هي السعة و${\displaystyle \varphi _{n}}$هو إزاحة الطور لـ${\displaystyle n^{th}}$متناسق.

ينتج تكافؤ المعادلتين 4 و 1 من المتطابقة المثلثية : $${\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)=\cos(\varphi _{n})\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right),}$$ وهذا يعني ^{[ 27 ]}$${\displaystyle a_{n}=A_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad b_{n}=A_{n}\sin(\varphi _{n})}$$

هي الإحداثيات المستطيلة لمتجه مكتوب بالإحداثيات القطبية كما يلي: $${\displaystyle A_{n}\angle \varphi _{n}=a_{n}+ib_{n}}$$ أين $${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\operatorname {atan2} (b_{n},a_{n})=-\operatorname {Arg} (c_{n})}$$

مثال على تحديد المعلمة${\displaystyle \varphi _{n}}$لقيمة واحدة من${\displaystyle n}$يظهر ذلك في الشكل 2. وهي قيمة${\displaystyle \varphi }$عند أعلى ارتباط بين${\displaystyle s(x)}$وقالب جيب التمام ،${\displaystyle \cos(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi )}$الرسم البياني الأزرق هو دالة الارتباط المتبادل ، والمعروفة أيضًا باسم المرشح المطابق :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} (\varphi )&=\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx\quad \varphi \in \left[0,2\pi \right]\\&=\cos(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(0)}+\sin(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(\pi /2)}\end{aligned}}}$

لحسن الحظ، ليس من الضروري تقييم هذه الدالة بأكملها، لأن مشتقتها تساوي صفرًا عند القيمة القصوى: $${\displaystyle X'(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot X(0)-\cos(\varphi )\cdot X(\pi /2)=0,\quad {\textrm {at}}\ \varphi =\varphi _{n}.}$$لذلك $${\displaystyle \varphi _{n}\equiv \arctan(b_{n}/a_{n})=\arctan(X(\pi /2)/X(0)).}$$

الترميز${\displaystyle c_{n}}$لا تكفي هذه الصيغة لمناقشة معاملات فورييه لعدة دوال مختلفة. لذلك، يتم استبدالها عادةً بصيغة معدلة من الدالة (${\displaystyle s,}$(في هذه الحالة)، مثل${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$أو${\displaystyle S[n],}$وغالباً ما تحل الرموز الوظيفية محل الرموز السفلية :

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

في الهندسة، وخاصة عندما يكون المتغير${\displaystyle x}$عندما يمثل الزمن، يُطلق على متتالية المعاملات اسم تمثيل مجال التردد . وغالبًا ما تُستخدم الأقواس المربعة للتأكيد على أن مجال هذه الدالة هو مجموعة منفصلة من الترددات.

يستخدم تمثيل آخر شائع الاستخدام في مجال التردد معاملات متسلسلة فورييه لتعديل مشط ديراك :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

أين${\displaystyle f}$يمثل مجال التردد المستمر. عندما يكون متغيرًا${\displaystyle x}$وحداتها هي الثواني،${\displaystyle f}$وحداتها هي الهرتز . "أسنان" المشط متباعدة بمضاعفات (أي توافقيات ) التردد${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$، وهو ما يسمى التردد الأساسي .${\displaystyle s(x)}$يمكن استخلاصها من هذا التمثيل عن طريق تحويل فورييه العكسي :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s(x).\end{aligned}}}$

الدالة المُنشأة${\displaystyle S(f)}$لذلك يُشار إليها عادةً باسم تحويل فورييه ، على الرغم من أن تكامل فورييه لدالة دورية لا يتقارب عند الترددات التوافقية. ^{[ ج ]}

عند تحليل الأجزاء الحقيقية والخيالية لدالة مركبة إلى أجزائها الزوجية والفردية ، نحصل على أربعة مكونات، يُشار إليها أدناه بالرموز السفلية RE وRO وIE وIO. وهناك تطابق تام بين المكونات الأربعة لدالة زمنية مركبة والمكونات الأربعة لتحويلها الترددي المركب: ^{[ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&s&=&s_{\mathrm {RE} }&+&s_{\mathrm {RO} }&+&i\ s_{\mathrm {IE} }&+&i\ s_{\mathrm {IO} }\\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&S&=&S_{\mathrm {RE} }&+&i\ S_{\mathrm {IO} }\,&+&i\ S_{\mathrm {IE} }&+&S_{\mathrm {RO} }\end{array}}}$

ومن هذا تتضح علاقات مختلفة، على سبيل المثال :

• تحويل دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+s_{\mathrm {RO} })}$هي الدالة المتناظرة المرافقة${\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+i\ S_{\mathrm {IO} }.}$ وعلى العكس من ذلك، فإن التحويل المتناظر المترافق يستلزم مجالًا زمنيًا ذا قيم حقيقية.
• تحويل دالة ذات قيمة تخيلية${\displaystyle (i\ s_{\mathrm {IE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })}$هي الدالة المتناظرة المترافقة${\displaystyle S_{\mathrm {RO} }+i\ S_{\mathrm {IE} },}$والعكس صحيح.
• تحويل الدالة المتناظرة المترافقة${\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })}$هي دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+S_{\mathrm {RO} },}$والعكس صحيح.
• تحويل دالة مترافقة مضادة للتناظر${\displaystyle (s_{\mathrm {RO} }+i\ s_{\mathrm {IE} })}$هي دالة ذات قيم تخيلية${\displaystyle i\ S_{\mathrm {IE} }+i\ S_{\mathrm {IO} },}$والعكس صحيح.

لو${\displaystyle S}$قابل للتكامل ،${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$،${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$و${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

لو${\displaystyle s}$ينتمي إلى${\displaystyle L^{2}(P)}$(دوري على مدى فترة طولها)${\displaystyle P}$) ثم:$${\displaystyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$$

لو${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$هي معاملات و${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$ثم هناك وظيفة فريدة${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$بحيث${\displaystyle S[n]=c_{n}}$لكل${\displaystyle n}$.

منح${\displaystyle P}$الدوال الدورية،${\displaystyle s_{P}}$و${\displaystyle r_{P}}$بمعاملات متسلسلة فورييه${\displaystyle S[n]}$و${\displaystyle R[n],}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• حاصل الضرب النقطي :$${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq s_{P}(x)\cdot r_{P}(x)}$$وهو أيضًا${\displaystyle P}$دورية، ومعاملات متسلسلة فورييه الخاصة بها تُعطى بواسطة الالتفاف المنفصل لـ${\displaystyle S}$و${\displaystyle R}$التسلسلات :$${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• الالتفاف الدوري :$${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq \int _{P}s_{P}(\tau )\cdot r_{P}(x-\tau )\,d\tau }$$وهو أيضًا${\displaystyle P}$دورية، بمعاملات متسلسلة فورييه :$${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• متتالية لانهائية مزدوجة${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$في${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$هي متتالية معاملات فورييه لدالة في${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$إذا وفقط إذا كانت عبارة عن التفاف لمتتاليتين في${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$انظر ^{[ 32 ]}

لو${\displaystyle s}$هو${\displaystyle P}$دالة دورية على${\displaystyle \mathbb {R} }$وهو${\displaystyle k}$قابلة للتفاضل مرات، و${\displaystyle k^{\text{th}}}$إذا كانت المشتقة متصلة، فإن${\displaystyle s}$ينتمي إلى فضاء الدوال${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$.

• لو${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {R} )}$ثم معاملات فورييه لـ${\displaystyle k^{\text{th}}}$مشتق من${\displaystyle s}$يمكن التعبير عنها بدلالة معاملات فورييه${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$ل${\displaystyle s}$، عبر الصيغة$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=\left(i{\frac {2\pi n}{P}}\right)^{k}{\widehat {s}}[n].}$$على وجه الخصوص، لأنه لأي قيمة ثابتة${\displaystyle k\geq 1}$لدينا${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$وبناءً على ذلك${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$يؤول إلى الصفر، أي أن معاملات فورييه تتقارب إلى الصفر أسرع من${\displaystyle k^{\text{th}}}$قوة${\displaystyle |n|}$.

من الخصائص المهمة لتحويل فورييه، التي ذكرناها سابقًا، أنه يُجري عمليات التفافية تُؤدي إلى جداءات نقطية. إذا أردنا الحفاظ على هذه الخاصية، يُمكننا إنشاء متسلسلات فورييه على أي ^زمرة متراصة . ومن الأمثلة الشائعة على ذلك الزمر الكلاسيكية المتراصة. يُعمم هذا تحويل فورييه ليشمل جميع الفضاءات من الشكل L² ( G )، حيث G زمرة متراصة، بحيث يُجري تحويل فورييه عمليات التفافية تُؤدي إلى جداءات نقطية. توجد متسلسلة فورييه وتتقارب بطرق مشابهة لحالة [ −π , π ] .

هناك امتداد بديل للمجموعات المدمجة وهو نظرية بيتر-ويل ، التي تثبت نتائج حول تمثيلات المجموعات المدمجة مماثلة لتلك المتعلقة بالمجموعات المنتهية.

إذا لم يكن المجال زمرة، فلا يوجد التفاف مُعرَّف جوهريًا. ومع ذلك، إذا${\displaystyle X}$هي مشعب ريماني مضغوط ، ولها مؤثر لابلاس-بيلترامي . مؤثر لابلاس-بيلترامي هو المؤثر التفاضلي الذي يقابل مؤثر لابلاس في المشعب الريماني.${\displaystyle X}$ثم، قياسًا على ذلك، يمكن للمرء أن ينظر في معادلات الحرارة على${\displaystyle X}$بما أن فورييه توصل إلى أساسه من خلال محاولة حل معادلة الحرارة، فإن التعميم الطبيعي هو استخدام الحلول الذاتية لمؤثر لابلاس-بيلترامي كأساس. وهذا يعمم متسلسلات فورييه إلى فضاءات من النوع${\displaystyle L^{2}(X)}$، أين${\displaystyle X}$هي فضاء ريماني متعدد الشعب. تتقارب متسلسلة فورييه بطرق مشابهة لـ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$مثال نموذجي هو أخذ${\displaystyle X}$أن تكون الكرة ذات المقياس المعتاد، وفي هذه الحالة يتكون أساس فورييه من التوافقيات الكروية .

لا ينطبق التعميم المذكور أعلاه على الزمر المدمجة على الزمر غير المدمجة وغير التبديلية . ومع ذلك، يوجد تعميم مباشر على الزمر التبديلية المدمجة محليًا (LCA) .

وهذا يعمم تحويل فورييه إلى${\displaystyle L^{1}(G)}$أو${\displaystyle L^{2}(G)}$، أين${\displaystyle G}$هي مجموعة تقييم دورة الحياة. إذا${\displaystyle G}$إذا كانت مضغوطة، فإنه يمكن الحصول أيضًا على متسلسلة فورييه، والتي تتقارب بشكل مشابه لـ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$في هذه الحالة، ولكن إذا${\displaystyle G}$إذا كانت المجموعة غير متراصة، فسنحصل بدلاً من ذلك على تكامل فورييه . هذا التعميم يُعطي تحويل فورييه المعتاد عندما تكون المجموعة الأبيلية المتراصة محليًا هي${\displaystyle \mathbb {R} }$.

بصورة رسمية، يمكن تعريف متسلسلة فورييه-ستيلتيس بأنها متسلسلة فورييه التي تُعطى معاملاتها بواسطة $${\displaystyle c_{n}={\hat {\mu }}(n)={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,d\mu (x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$ لأي${\displaystyle \mu \in M}$، أين${\displaystyle M}$هل الفضاء محدود؟ قياسات بوريل على الفترة${\displaystyle [0,P]}$وبالتالي، عندما${\displaystyle \mu \in M}$، الوظيفة${\displaystyle {\hat {\mu }}(n)}$ويُشار إليه أيضاً باسم تحويل فورييه-ستيلتيس . ^{[ 33 ] [ 34 ]}

وينتج هذا عن تمثيل سابق وأكثر تحديدًا لمقياس رادون (أي مقياس بوريل محدود محليًا ) على${\displaystyle \mathbb {R} }$، كما ذكرها ف. ريز . أي، إذا${\displaystyle F}$هي دالة ذات تباين محدود على الفترة${\displaystyle [0,P]}$عندئذٍ يمكن التعبير عن معاملات فورييه بواسطة تكامل ريمان-ستيلتيس$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dF(x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$ تُسمى معاملات فورييه-ستيلتيس${\displaystyle F}$[ ^{35 ]} باعتباره المشتق التوزيعي ^لـ${\displaystyle F}$هو مقياس رادون، ويخضع لتحليل لوبيغ ، ويمكن التعبير عنه على النحو التالي:${\displaystyle dF=F'dx+dF_{s}}$[ ^{36 ] [ 37 ]} إذا^​${\displaystyle dF_{s}=0}$يختزل التعبير إلى التعريف الأصلي لمعاملات فورييه، وبالتالي فإن متسلسلة فورييه هي متسلسلة فورييه-ستيلتيس.

السؤال هو ما إذا كان${\displaystyle \mu }$يوجد لتسلسل معين من${\displaystyle c_{n}}$يشكل أساس مسألة العزوم المثلثية . ^{[ 38 ]}

يمكن تعميم متسلسلة فورييه بشكل أكبر من مجرد قياسات إلى توزيعات . إذا تم تحديد معاملات فورييه بواسطة توزيع${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'}$ثم توصف السلسلة أحيانًا بأنها سلسلة فورييه-شوارتز . ^{[ 39 ]}

على الرغم من أنه من الصعب للغاية في كثير من الأحيان تحديد ما إذا كانت سلسلة معينة هي سلسلة فورييه أو سلسلة فورييه-ستيلتيس، فإن تحديد ما إذا كانت سلسلة فورييه-شوارتز أم لا هو أمر بسيط نسبياً. ^{[ 40 ]}

يمكننا أيضًا تعريف متسلسلة فورييه للدوال ذات متغيرين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في الساحة${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

إلى جانب فائدتها في حل المعادلات التفاضلية الجزئية مثل معادلة الحرارة، يُعدّ ضغط الصور أحد التطبيقات البارزة لمتسلسلة فورييه على المربع . فعلى وجه الخصوص، يستخدم معيار ضغط الصور JPEG تحويل جيب التمام المنفصل ثنائي الأبعاد ، وهو شكل منفصل من تحويل فورييه لجيب التمام ، والذي يستخدم دالة جيب التمام فقط كدالة أساسية.

بالنسبة للمصفوفات ثنائية الأبعاد ذات المظهر المتداخل، يختفي نصف معاملات متسلسلة فورييه، بسبب التناظر الإضافي. ^{[ 41 ]}

تُعرَّف شبكة برافي ثلاثية الأبعاد بأنها مجموعة المتجهات التي تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$ أين${\displaystyle n_{i}}$هي أعداد صحيحة و${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$هي ثلاثة متجهات مستقلة خطيًا ولكنها ليست بالضرورة متعامدة. لنفترض دالة ما${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$بنفس دورية شبكة برافي، أي${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$لأي متجه شبكي${\displaystyle \mathbf {R} }$يحدث هذا الوضع بشكل متكرر في فيزياء الحالة الصلبة حيث${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$قد يُمثل، على سبيل المثال، الجهد الفعال الذي "يشعر" به الإلكترون داخل بلورة دورية. في وجود مثل هذا الجهد الدوري، ينتج عن الوصف الكمي للإلكترون موجة مستوية مُعدَّلة دوريًا تُعرف باسم حالة بلوخ .

من أجل التطوير${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$في متسلسلة فورييه، من الملائم إدخال دالة مساعدة$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f{\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)}.}$$كلاهما${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$و${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$تحتوي على نفس المعلومات بشكل أساسي. ومع ذلك، بدلاً من متجه الموضع${\displaystyle \mathbf {r} }$حجج${\displaystyle g}$هي إحداثيات${\displaystyle x_{1,2,3}}$على طول متجهات الوحدة${\displaystyle \mathbf {a} _{i}/{a_{i}}}$من شبكة برافي، بحيث${\displaystyle g}$هي دالة دورية عادية في هذه المتغيرات،$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3})\quad \forall \;x_{1},x_{2},x_{3}.}$$تتيح لنا هذه الحيلة التطوير${\displaystyle g}$باعتبارها متسلسلة فورييه متعددة الأبعاد، على غرار الدالة المربعة الدورية التي نوقشت في القسم السابق. معاملات فورييه الخاصة بها هي$${\displaystyle {\begin{aligned}c(m_{1},m_{2},m_{3})={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,g(x_{1},x_{2},x_{3})\,e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}},}$$أين${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$جميعها أعداد صحيحة. ${\displaystyle c(m_{1},m_{2},m_{3})}$يؤدي نفس دور المعاملات${\displaystyle c_{j,k}}$في القسم السابق، ولكن لتجنب استخدام الرموز السفلية المزدوجة، نشير إليها كدالة.

بمجرد حصولنا على هذه المعاملات، تصبح الدالة${\displaystyle g}$يمكن استعادتها عبر متسلسلة فورييه$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }\,c(m_{1},m_{2},m_{3})\,e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$نود الآن التخلي عن الإحداثيات المساعدة${\displaystyle x_{1,2,3}}$والعودة إلى متجه الموضع الأصلي${\displaystyle \mathbf {r} }$ويمكن تحقيق ذلك عن طريق الشبكة المقلوبة التي تكون متجهاتها${\displaystyle \mathbf {b} _{1,2,3}}$يتم تعريفها بحيث تكون متعامدة (حتى عامل معين)${\displaystyle 2\pi }$) إلى متجهات برافي الأصلية${\displaystyle \mathbf {a} _{1,2,3}}$،$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b_{j}} =2\pi \delta _{ij},}$$مع${\displaystyle \delta _{ij}}$دلتا كرونكر . وبذلك، يكون الضرب القياسي بين متجه الشبكة المقلوبة${\displaystyle \mathbf {Q} }$ومتجه موضع عشوائي${\displaystyle \mathbf {r} }$تصبح عند كتابتها في أساس شبكة برافي $${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right),}$$وهو التعبير الذي يظهر تحديدًا في أسس فورييه. متسلسلة فورييه لـ${\displaystyle f(\mathbf {r} )=g(x_{1},x_{2},x_{3})}$وبالتالي يمكن إعادة كتابتها كمجموع على جميع متجهات الشبكة المقلوبة${\displaystyle \mathbf {Q} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$،$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {Q} }c(\mathbf {Q} )\,e^{i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} },}$$والمعاملات هي$${\displaystyle c(\mathbf {Q} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)e^{-i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} }.}$$تتمثل المهمة المتبقية في تحويل هذا التكامل على إحداثيات الشبكة إلى تكامل حجمي. العلاقة بين إحداثيات الشبكة${\displaystyle x_{1,2,3}}$والإحداثيات الديكارتية الأصلية${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ هو نظام معادلات خطي، $${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$والتي، عند كتابتها في شكل مصفوفة،$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=\mathbf {J} {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}},{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}},{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\,,}$$يتضمن مصفوفة ثابتة${\displaystyle \mathbf {J} }$أعمدتها هي متجهات الوحدة${\displaystyle \mathbf {a} _{j}/a_{j}}$من شبكة برافي. عند تغيير المتغيرات من${\displaystyle \mathbf {r} }$ل${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$في التكامل، نفس المصفوفة${\displaystyle \mathbf {J} }$يظهر على شكل مصفوفة جاكوبية$${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial y}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial z}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}\,.}$$