التفاف

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 159 صور
الموسوعة الحرة
مقارنة بصرية بين الالتفاف، والارتباط المتبادل ، والارتباط الذاتي . بالنسبة للعمليات التي تتضمن دالةو{\displaystyle f}وبافتراض ارتفاعو{\displaystyle f}إذا كانت قيمة تساوي 1.0، فإن قيمة النتيجة عند 5 نقاط مختلفة موضحة بالمنطقة المظللة أسفل كل نقطة. تناظرو{\displaystyle f}هذا هو السببو⋆ز{\displaystyle f\star g}وز*و{\displaystyle g*f}متطابقة في هذا المثال.

في الرياضيات (وخاصة التحليل الوظيفي )، الالتفاف هو عملية رياضية على دالتينو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}وهذا ينتج عنه وظيفة ثالثةو*ز{\displaystyle f*g}تُعرَّف عملية الالتفاف بأنها تكامل حاصل ضرب دالتين بعد انعكاس إحداهما حول المحور الصادي وإزاحتها. يشير مصطلح الالتفاف إلى كلٍّ من الدالة الناتجة وعملية حسابها. يُحسب التكامل لجميع قيم الإزاحة، مما ينتج عنه دالة الالتفاف. لا يؤثر اختيار الدالة التي تُعكس وتُزاح قبل التكامل على نتيجة التكامل (انظر خاصية التبادل ). بيانيًا، يُعبِّر التكامل عن كيفية تعديل شكل إحدى الدالتين بفعل الأخرى.

تتشابه بعض خصائص الالتفاف مع الارتباط المتبادل : بالنسبة للدوال ذات القيم الحقيقية، لمتغير مستمر أو منفصل، فإن الالتفافو*ز{\displaystyle f*g}يختلف عن الارتباط المتبادلو⋆ز{\displaystyle f\star g}فقط من حيث أنو(x){\displaystyle f(x)}أوز(x){\displaystyle g(x)}ينعكس حول المحور الصادي في عملية الالتفاف؛ وبالتالي فهو ارتباط متبادل لـز(-x){\displaystyle g(-x)}وو(x){\displaystyle f(x)}، أوو(-x){\displaystyle f(-x)}وز(x){\displaystyle g(x)}. [ أ ]  بالنسبة للدوال ذات القيم المركبة، فإن عامل الارتباط المتبادل هو المرافق لعامل الالتفاف.

تتضمن تطبيقات الالتفاف الاحتمالات والإحصاء والصوتيات والتحليل الطيفي ومعالجة الإشارات ومعالجة الصور ورؤية الحاسوب والرؤية البشرية والجيوفيزياء والهندسة والفيزياء والمعادلات التفاضلية . [ 1 ]​​​

يمكن تعريف عملية الالتفاف للدوال على الفضاء الإقليدي والمجموعات الأخرى ( كبنى جبرية ). على سبيل المثال، يمكن تعريف الدوال الدورية ، مثل تحويل فورييه المتقطع ، على دائرة وإجراء عملية الالتفاف الدوري عليها . (انظر السطر 18 في قسم الخصائص من تحويل فورييه المتقطع ). كما يمكن تعريف عملية الالتفاف المتقطع للدوال على مجموعة الأعداد الصحيحة . 

تُستخدم تعميمات الالتفاف في مجال التحليل العددي والجبر الخطي العددي ، وفي تصميم وتنفيذ مرشحات الاستجابة النبضية المحدودة في معالجة الإشارات.

يُعرف حساب معكوس عملية الالتفاف باسم فك الالتفاف .

تعريف

التفافو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}مكتوبو*ز{\displaystyle f*g}، للدلالة على العامل بالرمز*{\displaystyle *}[ ب ] يُعرَّف بأنه تكامل حاصل ضرب دالتين بعد انعكاس إحداهما حول المحور الصادي وإزاحتها. وبذلك، فهو نوع خاص من التحويلات التكاملية .

(و*ز)(ت):=∫-∞∞و(τ)ز(ت-τ)دτ.{\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .}

التعريف المكافئ هو (انظر التبادلية ):

(و*ز)(ت):=∫-∞∞و(ت-τ)ز(τ)دτ.{\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .}

بينما الرمزت{\displaystyle t}إذا تم استخدام الرمز أعلاه، فلا يشترط أن يمثل المجال الزمني. في كلت{\displaystyle t}يمكن وصف صيغة الالتفاف بأنها المساحة تحت الدالةو(τ){\displaystyle f(\tau )}مرجحة حسب الدالةز(-τ){\displaystyle g(-\tau )}تم تغييرها بالمقدارت{\displaystyle t}. مثلت{\displaystyle t}التغييرات، دالة الترجيحز(ت-τ){\displaystyle g(t-\tau )}يركز على أجزاء مختلفة من دالة الإدخالو(τ){\displaystyle f(\tau )}؛ لوت{\displaystyle t}إذا كانت القيمة موجبة،ز(ت-τ){\displaystyle g(t-\tau )}يساويز(-τ){\displaystyle g(-\tau )}الذي ينزلق أو يتحرك على طولτ{\displaystyle \tau }المحور - نحو اليمين (باتجاه+∞{\displaystyle +\infty }) بمقدارت{\displaystyle t}بينما إذات{\displaystyle t}إذا كانت القيمة سالبة،ز(ت-τ){\displaystyle g(t-\tau )}يساويز(-τ){\displaystyle g(-\tau )}الذي ينزلق أو يتحرك نحو اليسار (نحو-∞{\displaystyle -\infty }) بمقدار|ت|{\displaystyle |t|}.

للوظائفو{\displaystyle f}،ز{\displaystyle g}مدعوم فقط[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}(أي، صفر للقيم السالبة)، يمكن اقتطاع حدود التكامل، مما ينتج عنه:

(و*ز)(ت)=∫0تو(τ)ز(ت-τ)دτ ل و،ز:[0،∞)→R.{\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad \ {\text{for }}f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R} .}

للاطلاع على الصياغة متعددة الأبعاد للالتفاف، انظر مجال التعريف (أدناه).

الترميز

من الاصطلاحات الشائعة في التدوين الهندسي ما يلي: [ 2 ]

و(ت)*ز(ت):=∫-∞∞و(τ)ز(ت-τ)دτ⏟(و*ز)(ت)،{\displaystyle f(t)*g(t)\mathrel {:=} \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } _{(f*g)(t)},}

وهذا يتطلب تفسيراً دقيقاً لتجنب الالتباس. على سبيل المثال،و(ت)*ز(ت-ت0){\displaystyle f(t)*g(t-t_{0})}يعادل(و*ز)(ت-ت0){\displaystyle (f*g)(t-t_{0})}، لكنو(ت-ت0)*ز(ت-ت0){\displaystyle f(t-t_{0})*g(t-t_{0})}وهو في الواقع يعادل(و*ز)(ت-2ت0){\displaystyle (f*g)(t-2t_{0})}[ 3 ]​

العلاقات مع التحولات الأخرى

بفرض وجود دالتينو(ت){\displaystyle f(t)}وز(ت){\displaystyle g(t)}باستخدام تحويلات لابلاس الثنائية (تحويل لابلاس ثنائي الجانب)

F(s)=∫-∞∞هـ-su و(u) دu{\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u}

و

جي(s)=∫-∞∞هـ-sv ز(v) دv{\displaystyle G(s)=\int _{-\infty}^{\infty}e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v}

على التوالي، عملية الالتفاف(و*ز)(ت){\displaystyle (f*g)(t)}يمكن تعريفها بأنها التحويل العكسي لابلاس لحاصل ضربF(s){\displaystyle F(s)}وجي(s){\displaystyle G(s)}[ 4 ] [ 5 ] وبشكل أدق ،

F(s)⋅جي(s)=∫-∞∞هـ-su و(u) دu⋅∫-∞∞هـ-sv ز(v) دv=∫-∞∞∫-∞∞هـ-s(u+v) و(u) ز(v) دu دv{\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-su}\ f(u)\ {\text{d}}u\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-sv}\ g(v)\ {\text{d}}v\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-s(u+v)}\ f(u)\ g(v)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}v\end{aligned}}}

يتركت=u+v{\displaystyle t=u+v}، ثم

F(s)⋅جي(s)=∫-∞∞∫-∞∞هـ-sت و(u) ز(ت-u) دu دت=∫-∞∞هـ-sت∫-∞∞و(u) ز(ت-u) دu⏟(و*ز)(ت) دت=∫-∞∞هـ-sت(و*ز)(ت) دت.{\displaystyle {\begin{aligned}F(s)\cdot G(s)&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\ f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(u)\ g(t-u)\ {\text{d}}u} _{(f*g)(t)}\ {\text{d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}(f*g)(t)\ {\text{d}}t.\end{aligned}}}

لاحظ أنF(s)⋅جي(s){\displaystyle F(s)\cdot G(s)}هو تحويل لابلاس الثنائي لـ(و*ز)(ت){\displaystyle (f*g)(t)}. يمكن إجراء اشتقاق مماثل باستخدام تحويل لابلاس أحادي الجانب (تحويل لابلاس أحادي الجانب).

تصف عملية الالتفاف أيضًا مخرجات (بدلالة المدخلات) فئة مهمة من العمليات تُعرف باسم العمليات الخطية الثابتة زمنيًا (LTI). راجع نظرية أنظمة LTI للاطلاع على اشتقاق الالتفاف كنتيجة لقيود LTI. بالنسبة لتحويلات فورييه للمدخلات والمخرجات في عملية LTI، لا تُنشأ أي مكونات ترددية جديدة، بل تُعدّل المكونات الموجودة فقط (السعة و/أو الطور). بعبارة أخرى، يكون تحويل المخرجات هو حاصل الضرب النقطي لتحويل المدخلات مع تحويل ثالث (يُعرف بدالة النقل ). راجع نظرية الالتفاف للاطلاع على اشتقاق هذه الخاصية. وبالمقابل، يمكن اشتقاق الالتفاف على أنه تحويل فورييه العكسي لحاصل الضرب النقطي لتحويلي فورييه.

شرح مرئي

  1. عبّر عن كل دالة بدلالة متغير وهميτ.{\displaystyle \tau .}
  2. يعكس أحد الوظائف التالية:ز(τ){\displaystyle g(\tau )}→ز(-τ).{\displaystyle g(-\tau ).}
  3. أضف إزاحة للمتغير المستقل،ت{\displaystyle t}مما يسمحز(-τ){\displaystyle g(-\tau )}للانزلاق على طولτ{\displaystyle \tau }المحور السيني. إذا كانت قيمة t موجبة، فإنز(ت-τ){\displaystyle g(t-\tau )}يساويز(-τ){\displaystyle g(-\tau )}الذي ينزلق أو يتحرك على طولτ{\displaystyle \tau }المحور - نحو اليمين (باتجاه+∞{\displaystyle +\infty }) بمقدارت{\displaystyle t}. لوت{\displaystyle t}إذا كانت القيمة سالبة،ز(ت-τ){\displaystyle g(t-\tau )}يساويز(-τ){\displaystyle g(-\tau )}الذي ينزلق أو يتحرك نحو اليسار (نحو-∞{\displaystyle -\infty }) بمقدار|ت|{\displaystyle |t|}.
  4. يبدأت{\displaystyle t}في-∞{\displaystyle -\infty }ثم حركها حتى النهاية+∞{\displaystyle +\infty }عند نقطة تقاطع الدالتين، أوجد تكامل حاصل ضربهما. بعبارة أخرى، عند الزمن tت{\displaystyle t}احسب المساحة تحت المنحنى.و(τ){\displaystyle f(\tau )}مرجحة بواسطة دالة الترجيحز(ت-τ).{\displaystyle g(t-\tau ).}

الشكل الموجي الناتج (غير موضح هنا) هو التفاف الدوالو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}.

لوو(ت){\displaystyle f(t)}هي نبضة وحدة ، ونتيجة هذه العملية هي ببساطةز(ت){\displaystyle g(t)}رسميًا:

∫-∞∞دلتا(τ)ز(ت-τ)دτ=ز(ت){\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\tau )g(t-\tau )\,d\tau =g(t)}
في هذا المثال، "النبضة" ذات اللون الأحمر، ز(τ)،{\displaystyle \ g(\tau ),}هي دالة زوجية( ز(-τ)=ز(τ) )،{\displaystyle (\ g(-\tau )=g(\tau )\ ),}إذن، الالتفاف مكافئ للارتباط. تُظهر لقطة من هذا "الفيلم" الدوال.ز(ت-τ){\displaystyle g(t-\tau )}وو(τ){\displaystyle f(\tau )}(باللون الأزرق) لقيمة معينة للمعاملت،{\displaystyle t,}والتي تُعرَّف بشكل تعسفي على أنها المسافة على طولτ{\displaystyle \tau }المحور من النقطةτ=0{\displaystyle \tau =0}إلى مركز النبضة الحمراء. كمية اللون الأصفر هي مساحة المنتجو(τ)⋅ز(ت-τ)،{\displaystyle f(\tau )\cdot g(t-\tau ),}يتم حسابها بواسطة التكامل التلفيفي/الترابطي. يتم إنشاء الفيلم عن طريق التغيير المستمرت{\displaystyle t}وإعادة حساب التكامل. والنتيجة (الموضحة باللون الأسود) هي دالة لـت،{\displaystyle t,}لكنها مرسومة على نفس المحور مثلτ،{\displaystyle \tau ,}للتسهيل والمقارنة.
في هذا التصوير،و(τ){\displaystyle f(\tau )}قد يمثل ذلك استجابة دائرة المقاومة والمكثف لنبضة ضيقة تحدث عندτ=0.{\displaystyle \tau =0.}بمعنى آخر، إذاز(τ)=دلتا(τ)،{\displaystyle g(\tau )=\delta (\tau ),}نتيجة عملية الالتفاف هي فقطو(ت).{\displaystyle f(t).}لكن متىز(τ){\displaystyle g(\tau )}النبضة الأوسع (باللون الأحمر)، والاستجابة هي نسخة "مشوشة" ​​منو(ت).{\displaystyle f(t).}يبدأ عندت=-0.5،{\displaystyle t=-0.5,}لأننا حددنات{\displaystyle t}كمسافة منτ=0{\displaystyle \tau =0}المحور إلى مركز النبضة العريضة (بدلاً من الحافة الأمامية).

التطورات التاريخية

ظهر أحد أقدم استخدامات التكامل التلفيفي في اشتقاق دالمبير لنظرية تايلور في Recherches sur différents points importants du système du monde، الذي نُشر عام 1754. [ 6 ]

وأيضًا، تعبير من النوع التالي:

∫و(u)⋅ز(x-u)دu{\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u)\,du}

استخدم سيلفستر فرانسوا لاكروا مصطلح "الالتفاف " في الصفحة 505 من كتابه " رسالة في الفروق والمتسلسلات" ، وهو المجلد الأخير من سلسلة موسوعية مكونة من ثلاثة مجلدات بعنوان: " رسالة في حساب الفروق والمتسلسلات" ، دار كورسييه للنشر، باريس، 1797-1800. [ 7 ] بعد ذلك بوقت قصير، ظهرت عمليات الالتفاف في أعمال بيير سيمون لابلاس ، وجان بابتيست جوزيف فورييه ، وسيميون دينيس بواسون ، وغيرهم. لم ينتشر استخدام المصطلح نفسه على نطاق واسع حتى خمسينيات أو ستينيات القرن العشرين. قبل ذلك، كان يُعرف أحيانًا باسم "فالتونغ " (والتي تعني الطي بالألمانية )، أو "الضرب التركيبي" ، أو "تكامل التراكب" ، أو "تكامل كارسون" . [ 8 ] ومع ذلك، فقد ظهر المصطلح في وقت مبكر يعود إلى عام 1903، على الرغم من أن تعريفه غير مألوف إلى حد ما في الاستخدامات القديمة. [ 9 ] [ 10 ]

العملية:

∫0تφ(s)ψ(ت-s)دs،0≤ت<∞،{\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s)\,ds,\quad 0\leq t<\infty ,}

وهي حالة خاصة من منتجات التركيب التي تناولها عالم الرياضيات الإيطالي فيتو فولتيرا في عام 1913. [ 11 ]

الالتفاف الدائري

عندما تكون الدالةزتي{\displaystyle g_{T}}دورية، ذات دورةتي{\displaystyle T}ثم بالنسبة للدوال،و{\displaystyle f}بحيثو*زتي{\displaystyle f*g_{T}}إذا وُجدت، فإن الالتفاف يكون دوريًا ومطابقًا لما يلي:

(و*زتي)(ت)≡∫ت0ت0+تي[∑ك=-∞∞و(τ+كتي)]زتي(ت-τ)دτ،{\displaystyle (f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,}

أينت0{\displaystyle t_{0}}هو اختيار اعتباطي. يُطلق على المجموع اسم المجموع الدوري للدالةو{\displaystyle f}.

متىزتي{\displaystyle g_{T}}هو مجموع دوري لدالة أخرى،ز{\displaystyle g}، ثمو*زتي{\displaystyle f*g_{T}}يُعرف باسم الالتفاف الدائري أو الدوري لـو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}.

وإذا تم استبدال الجمع الدوري أعلاه بـوتي{\displaystyle f_{T}}تُسمى هذه العملية بالالتفاف الدوري لـوتي{\displaystyle f_{T}}وزتي{\displaystyle g_{T}}.

الالتفاف المنفصل

رسوم متحركة ثنائية الأبعاد منفصلة بتقنية الالتفاف

للدوال ذات القيم المركبةو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}معرفة على المجموعةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }بالنسبة للأعداد الصحيحة، فإن الالتفاف المنفصل لـو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}يتم تحديده بواسطة: [ 12 ]

(و*ز)[ن]=∑م=-∞∞و[م]ز[ن-م]،{\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m],}

أو بصورة مكافئة (انظر خاصية التبديل ) عن طريق:

(و*ز)[ن]=∑م=-∞∞و[ن-م]ز[م].{\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]g[m].}

يُعرَّف التفاف متتابعتين منتهيتين بتمديد هاتين المتتابعتين إلى دوال ذات دعم محدود على مجموعة الأعداد الصحيحة. عندما تكون المتتابعتان معاملات كثيرتي حدود ، فإن معاملات حاصل الضرب العادي لهاتين الكثيرتي الحدود هي التفاف المتتابعتين الأصليتين. يُعرف هذا باسم حاصل ضرب كوشي لمعاملات المتتابعتين.

وبالتالي، عندما تكون قيمة g غير صفرية على فترة محدودة [ − m , + m ] (تمثل، على سبيل المثال، استجابة نبضية محدودة )، يمكن استخدام مجموع محدود: [ 13 ]

(و*ز)[ن]=∑م=-ممو[ن-م]ز[م].{\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m].}

الالتفاف الدائري المنفصل

عندما تكون الدالةزشمال{\displaystyle g_{_{N}}}دورية، ذات دورةشمال،{\displaystyle N,}ثم بالنسبة للدوال،و،{\displaystyle f,}بحيثو*زشمال{\displaystyle f*g_{_{N}}}إذا وُجدت، فإن الالتفاف دوري أيضًا ومطابق لـ :

(و*زشمال)[ن]≡∑م=0شمال-1(∑ك=-∞∞و[م+كشمال])زشمال[ن-م].{\displaystyle (f*g_{_{N}})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{_{N}}[n-m].}

الخلاصة حولك{\displaystyle k}يُطلق عليه اسم المجموع الدوري للدالةو.{\displaystyle f.}

لوزشمال{\displaystyle g_{_{N}}}هو مجموع دوري لدالة أخرى،ز،{\displaystyle g,}ثمو*زشمال{\displaystyle f*g_{_{N}}}يُعرف باسم الالتفاف الدائري لـو{\displaystyle f}وز.{\displaystyle g.}

عندما تكون مدة كل منو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}تقتصر على الفترة الزمنية[0،شمال-1]،{\displaystyle [0,N-1],} و*زشمال{\displaystyle f*g_{_{N}}}يختزل إلى هذه الأشكال الشائعة :

الترميزو*شمالز{\displaystyle f*_{N}g}يشير مصطلح "الالتفاف الدوري" إلى الالتفاف على المجموعة الدورية للأعداد الصحيحة modulo N.

يظهر الالتفاف الدائري في أغلب الأحيان في سياق الالتفاف السريع باستخدام خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT).

خوارزميات الالتفاف السريعة

في كثير من الحالات، يمكن تحويل الالتفافات المنفصلة إلى التفافات دائرية، مما يسمح باستخدام تحويلات سريعة ذات خاصية التفاف لتنفيذ العمليات الحسابية. على سبيل المثال، يُعد التفاف متواليات الأرقام العملية الأساسية في ضرب الأعداد متعددة الأرقام، والتي يمكن بالتالي تنفيذها بكفاءة باستخدام تقنيات التحويل ( Knuth 1997 ، §4.3.3.C ؛ von zur Gathen & Gerhard 2003 ، §8.2 ).

تتطلب المعادلة 1 عدد N من العمليات الحسابية لكل قيمة مُخرَجة، وعدد N² من العمليات لعدد N من المُخرَجات. ويمكن تقليل ذلك بشكل كبير باستخدام أي من الخوارزميات السريعة العديدة. وتستخدم معالجة الإشارات الرقمية وغيرها من التطبيقات عادةً خوارزميات الالتفاف السريعة لتقليل تكلفة الالتفاف إلى تعقيد O( N log N ).

تستخدم معظم خوارزميات الالتفاف السريع الشائعة خوارزميات تحويل فورييه السريع (FFT) عبر نظرية الالتفاف الدائري . تحديدًا، يُحسب الالتفاف الدائري لمتتاليتين محدودتي الطول بأخذ تحويل فورييه السريع لكل متتالية، وضربها نقطيًا، ثم إجراء تحويل فورييه السريع العكسي. بعد ذلك، تُنفذ عمليات الالتفاف من النوع المذكور أعلاه بكفاءة باستخدام هذه التقنية مع تمديد الصفر و/أو حذف أجزاء من الناتج. تستخدم خوارزميات التفاف سريع أخرى، مثل خوارزمية شونهاج-ستراسن أو تحويل ميرسين، [ 14 ] تحويلات فورييه السريعة في حلقات أخرى . تُستخدم طريقة وينوغراد كبديل لتحويل فورييه السريع. [ 15 ] وهي تُسرّع بشكل ملحوظ عمليات الالتفاف أحادية البعد، [ 16 ] وثنائية البعد، [ 17 ] وثلاثية الأبعاد . [ 18 ]

إذا كان أحد التسلسلين أطول بكثير من الآخر، فإن تمديد التسلسل الأقصر إلى الصفر ثم إجراء الالتفاف الدائري السريع ليس الطريقة الأمثل من حيث الكفاءة الحسابية. [ 19 ] بدلاً من ذلك، يسمح تقسيم التسلسل الأطول إلى كتل وإجراء الالتفاف على كل كتلة على حدة باستخدام خوارزميات أسرع، مثل طريقة التداخل والحفظ وطريقة التداخل والجمع . [ 20 ] كما تتيح طريقة الالتفاف الهجينة، التي تجمع بين خوارزميات الكتل وخوارزميات FIR، زمن استجابة صفري للإدخال والإخراج، وهو أمر مفيد لحسابات الالتفاف في الوقت الحقيقي. [ 21 ]

مجال التعريف

إن التفاف دالتين ذواتي قيم مركبة على R d هو نفسه دالة ذات قيم مركبة على R d ، معرفة على النحو التالي:

(و*ز)(x)=∫Rدو(y)ز(x-y)دy=∫Rدو(x-y)ز(y)دy،{\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy,}

ويكون التكامل مُعرَّفًا جيدًا فقط إذا تضاءلت قيمتا f و g بسرعة كافية عند اللانهاية لكي يكون التكامل موجودًا. قد تكون شروط وجود التكامل معقدة، إذ يمكن تعويض أي زيادة في قيمة g عند اللانهاية بسهولة بتضاؤل ​​سريع كافٍ في قيمة f . وبالتالي، قد تتضمن مسألة الوجود شروطًا مختلفة على f و g .

وظائف مدعومة بشكل مضغوط

إذا كانت الدالتان f و g دالتين متصلتين ذواتي دعم محدود ، فإن عملية الالتفاف بينهما موجودة، وهي أيضًا ذات دعم محدود ومتصلة ( هورماندر 1983 ، الفصل 1) . وبشكل أعم، إذا كانت إحدى الدالتين (مثلاً f ) ذات دعم محدود والأخرى قابلة للتكامل محليًا ، فإن عملية الالتفاف f ∗ g تكون معرفة جيدًا ومتصلة.

يكون التفاف f و g معروفًا جيدًا أيضًا عندما تكون كلتا الدالتين قابلتين للتكامل التربيعي محليًا على R ومدعومتين على فترة من الشكل [ a , +∞) (أو كلاهما مدعوم على [−∞, a ] ).

الدوال القابلة للتكامل

يوجد التفاف الدالتين f و g إذا كانت كلتاهما دالتين قابلتين للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ في L₁ ( Rₘ ) ، وفي هذه الحالة تكون f * g قابلة للتكامل أيضًا ( شتاين ووايس ، 1971 ، النظرية 1.3) . هذه نتيجة لنظرية تونيللي . وينطبق هذا أيضًا على الدوال في L₁ ، في حالة الالتفاف المتقطع، أو بشكل أعم على الالتفاف على أي زمرة .

وبالمثل، إذا كانت f ∈ L 1 ( R d )  و g ∈ L p ( R d ) حيث 1 ≤ p ≤ ∞ ، فإن f * g ∈ L p ( R d )، و   

‖و*ز‖ص≤‖و‖1‖ز‖ص.{\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}

في الحالة الخاصة p = 1 ، هذا يدل على أن L 1 هو جبر باناخ تحت الالتفاف (ويتحقق تساوي الجانبين إذا كانت f و g غير سالبة في كل مكان تقريبًا).

بشكل أعم، تشير متباينة يونغ إلى أن عملية الالتفاف هي دالة ثنائية الخطية متصلة بين فضاءات L p مناسبة. تحديدًا، إذا كانت 1 ≤ p ، q ، r ≤ ∞ تحقق ما يلي:

1ص+1q=1ر+1،{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1,}

ثم

‖و*ز‖ر≤‖و‖ص‖ز‖q،و∈لص، ز∈لq،{\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq \left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q},}

بحيث يكون الالتفاف تطبيقًا ثنائيًا خطيًا متصلًا من L<sub> p</sub> × L<sub> q</sub> إلى L<sub> r</sub> . متباينة يونغ للالتفاف صحيحة أيضًا في سياقات أخرى (مجموعة الدائرة، الالتفاف على Z ). المتباينة السابقة ليست دقيقة على خط الأعداد الحقيقية: عندما يكون 1 < p , q , r < ∞ ، يوجد ثابت B <sub> p , q </sub> < 1 بحيث:

‖و*ز‖ر≤بص،q‖و‖ص‖ز‖q،و∈لص، ز∈لq.{\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in L^{p},\ g\in L^{q}.}

تم اكتشاف القيمة المثلى لـ B p , q في عام 1975 [ 22 ] وبشكل مستقل في عام 1976، [ 23 ] انظر متباينة براسكامب-ليب .

يكون التقدير الأقوى صحيحًا بشرط أن يكون 1 < p , q , r < ∞ :

‖و*ز‖ر≤جص،q‖و‖ص‖ز‖q،w{\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq C_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q,w}}

أين‖ز‖q،w{\displaystyle \|g\|_{q,w}}هي معيار Lq الضعيف . كما يُعرّف الالتفاف خريطة ثنائية الخطية متصلة .لص،w×لq،w→لر،w{\displaystyle L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}}ل1<ص،q،ر<∞{\displaystyle 1<p,q,r<\infty }، بسبب ضعف متباينة يونغ: [ 24 ]

‖و*ز‖ر،w≤جص،q‖و‖ص،w‖ز‖ر،w.{\displaystyle \|f*g\|_{r,w}\leq C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.}

وظائف التحلل السريع

إضافةً إلى الدوال ذات الدعم المحدود والدوال القابلة للتكامل، يمكن أيضًا إجراء عملية الالتفاف للدوال التي تتلاشى بسرعة كافية عند اللانهاية. ومن السمات المهمة لعملية الالتفاف أنه إذا تلاشت كل من الدالتين f و g بسرعة، فإن f ∗ g تتلاشى بسرعة أيضًا. وعلى وجه الخصوص، إذا كانت f و g دالتين متناقصتين بسرعة ، فإن عملية الالتفاف f ∗ g تكون كذلك . وبالنظر إلى أن الالتفاف يتبادل مع التفاضل (انظر #الخصائص )، فإن فئة دوال شوارتز مغلقة تحت عملية الالتفاف ( شتاين ووايس 1971 ، النظرية 3.3) .

التوزيعات

إذا كانت f دالة سلسة ذات دعم مضغوط ، و g توزيعًا، فإن f ∗ g دالة سلسة معرفة بـ

∫Rدو(y)ز(x-y)دy=(و*ز)(x)∈ج∞(Rد).{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\,dy=(f*g)(x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}).}

وبشكل أعم، من الممكن توسيع تعريف الالتفاف بطريقة فريدة معφ{\displaystyle \varphi }كما هو الحال في f أعلاه، بحيث يكون قانون التجميع

و*(ز*φ)=(و*ز)*φ{\displaystyle f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi }

يظل هذا صحيحًا في الحالة التي يكون فيها f توزيعًا، و g توزيعًا مدعومًا بشكل مضغوط ( Hörmander 1983 ، §4.2) .

مقاسات

إنّ التفاف أي مقياسين من مقاييس بوريل μ و ν ذات التباين المحدود هو المقياسμ*ν{\displaystyle \mu *\nu }كما هو محدد من قبل ( رودين 1962 )

∫Rدو(x)د(μ*ν)(x)=∫Rد∫Rدو(x+y)دμ(x)دν(y).{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,d(\mu *\nu )(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y).}

بخاصة،

(μ*ν)(أ)=∫Rد×Rد1أ(x+y)د(μ×ν)(x،y)،{\displaystyle (\mu *\nu )(A)=\int _{\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}}1_{A}(x+y)\,d(\mu \times \nu )(x,y),}

أينأ⊂Rد{\displaystyle A\subset \mathbf {R} ^{d}}هي مجموعة قابلة للقياس و1أ{\displaystyle 1_{A}}هي وظيفة المؤشر لـأ{\displaystyle A}.

يتفق هذا مع الالتفاف المحدد أعلاه عندما يتم اعتبار μ و ν توزيعات، وكذلك التفاف دوال L 1 عندما تكون μ و ν متصلة بشكل مطلق بالنسبة لمقياس Lebesgue.

كما أن عملية التفاف المقاييس تحقق الصيغة التالية لمتباينة يونغ

‖μ*ν‖≤‖μ‖‖ν‖{\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|}

حيث يمثل المعيار التباين الكلي للمقياس. ولأن فضاء المقاييس ذات التباين المحدود هو فضاء باناخ ، يمكن معالجة التفاف المقاييس باستخدام أساليب التحليل الوظيفي القياسية التي قد لا تنطبق على التفاف التوزيعات.

ملكيات

الخصائص الجبرية

يُعرّف الالتفاف جداءً على الفضاء الخطي للدوال القابلة للتكامل. يحقق هذا الجداء الخصائص الجبرية التالية، والتي تعني شكليًا أن فضاء الدوال القابلة للتكامل مع الجداء المُعطى بالالتفاف هو جبر ترابطي تبديلي بدون عنصر محايد ( ستريشارتز 1994 ، §3.3) . الفضاءات الخطية الأخرى للدوال، مثل فضاء الدوال المتصلة ذات الدعم المتراص، مغلقة تحت الالتفاف، وبالتالي تُشكّل أيضًا جبرًا ترابطيًا تبديليًا.

التبادلية
و*ز=ز*و{\displaystyle f*g=g*f}البرهان: بحسب التعريف:(و*ز)(ت)=∫-∞∞و(τ)ز(ت-τ)دτ{\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }تغيير متغير التكامل إلىu=ت-τ{\displaystyle u=t-\tau }والنتيجة تلي ذلك.
الترابط
و*(ز*ح)=(و*ز)*ح{\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}البرهان: هذا يتبع من استخدام نظرية فوبيني (أي، يمكن تقييم التكاملات المزدوجة كتكاملات متكررة بأي ترتيب).
التوزيعية
و*(ز+ح)=(و*ز)+(و*ح){\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}البرهان: هذا يتبع من خطية التكامل.
خاصية التجميع مع الضرب القياسي
أ(و*ز)=(أو)*ز{\displaystyle a(f*g)=(af)*g}لأي عدد حقيقي (أو مركب)أ{\displaystyle a}.
الهوية المضاعفة
لا يمتلك أي جبر للدوال متطابقة لعملية الالتفاف. وعادةً لا يُعدّ غياب المتطابقة عائقًا كبيرًا، إذ يمكن إجراء عملية الالتفاف على معظم مجموعات الدوال التي تُجرى عليها العملية باستخدام توزيع دلتا (نبضة وحدوية مركزها الصفر)، أو على الأقل (كما هو الحال في L1 ) تقبل تقريبات للمتطابقة . مع ذلك، فإن الفضاء الخطي للتوزيعات ذات الدعم المحدود يقبل متطابقة تحت عملية الالتفاف. تحديدًا،و*دلتا=و{\displaystyle f*\delta =f}حيث δ هو توزيع دلتا.
العنصر العكسي
بعض التوزيعات S لها عنصر معكوس S −1 للالتفاف، والذي يجب أن يحققS-1*S=دلتا{\displaystyle S^{-1}*S=\delta }ومنها يمكن الحصول على صيغة صريحة لـ S −1 .
تشكل مجموعة التوزيعات القابلة للعكس مجموعة أبيلية تحت عملية الالتفاف.
الاقتران المعقد
و*ز¯=و¯*ز¯{\displaystyle {\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}}
عكس الزمن
لو q(ت)=ر(ت)*s(ت)،{\displaystyle q(t)=r(t)*s(t),} ثم q(-ت)=ر(-ت)*s(-ت).{\displaystyle q(-t)=r(-t)*s(-t).}

البرهان (باستخدام نظرية الالتفاف ):

q(ت) ⟺F  سؤال(و)=R(و)S(و){\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(f)=R(f)S(f)}

q(-ت) ⟺F  سؤال(-و)=R(-و)S(-و){\displaystyle q(-t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ Q(-f)=R(-f)S(-f)}

q(-ت)=F-1{R(-و)S(-و)}=F-1{R(-و)}*F-1{S(-و)}=ر(-ت)*s(-ت){\displaystyle {\begin{aligned}q(-t)&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f)S(-f){\bigg \}}\\&={\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}R(-f){\bigg \}}*{\mathcal {F}}^{-1}{\bigg \{}S(-f){\bigg \}}\\&=r(-t)*s(-t)\end{aligned}}}

العلاقة بالتمايز
(و*ز)′=و′*ز=و*ز′{\displaystyle (f*g)'=f'*g=f*g'}دليل:
(و*ز)′=ددت∫-∞∞و(τ)ز(ت-τ)دτ=∫-∞∞و(τ)∂∂تز(ت-τ)دτ=∫-∞∞و(τ)ز′(ت-τ)دτ=و*ز′.{\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)'&={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau ){\frac {\partial }{\partial t}}g(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g'(t-\tau )\,d\tau =f*g'.\end{aligned}}}
العلاقة بالتكامل
لوF(ت)=∫-∞تو(τ)دτ،{\textstyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ,}وجي(ت)=∫-∞تز(τ)دτ،{\textstyle G(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )\,d\tau ,}ثم(F*ز)(ت)=(و*جي)(ت)=∫-∞ت(و*ز)(τ)دτ.{\displaystyle (F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty }^{t}(f*g)(\tau )\,d\tau .}

اندماج

إذا كانت f و g دالتين قابلتين للتكامل، فإن تكامل التفافهما على الفضاء بأكمله يتم الحصول عليه ببساطة كحاصل ضرب تكاملاتهما: [ 25 ]

∫Rد(و*ز)(x)دx=(∫Rدو(x)دx)(∫Rدز(x)دx).{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}(f*g)(x)\,dx=\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,dx\right)\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}g(x)\,dx\right).}

ويترتب على ذلك نظرية فوبيني . وينطبق الأمر نفسه إذا افترضنا فقط أن f و g دالتان قابلتان للقياس وغير سالبتين، وذلك وفقًا لنظرية تونيللي .

التمايز

في حالة المتغير الواحد،

ددx(و*ز)=دودx*ز=و*دزدx{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g=f*{\frac {dg}{dx}}}

أينددx{\displaystyle {\frac {d}{dx}}}هي المشتقة . وبشكل أعم، في حالة الدوال ذات المتغيرات المتعددة، تنطبق صيغة مماثلة مع المشتقة الجزئية :

∂∂xأنا(و*ز)=∂و∂xأنا*ز=و*∂ز∂xأنا.{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}.}

ومن النتائج الخاصة لذلك أن عملية الالتفاف يمكن اعتبارها عملية "تنعيم": فالتفاف f و g قابل للتفاضل بعدد مرات تفاضل f و g إجمالاً.

تتحقق هذه المتطابقات، على سبيل المثال، في حالة كون الدالتين f و g قابلتين للتكامل المطلق، وأن تكون إحداهما على الأقل قابلة للتكامل المطلق (L1 ) كمشتقة ضعيفة، كنتيجة لمتباينة يونغ للالتفاف . على سبيل المثال، عندما تكون f قابلة للتفاضل باستمرار ولها مجال مضغوط، و g دالة قابلة للتكامل محليًا،

ددx(و*ز)=دودx*ز.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g.}

تنطبق هذه المتطابقات أيضًا على نطاق أوسع بكثير فيما يتعلق بالتوزيعات المعتدلة، إذا كانت إحدى الدالتين f أو g توزيعًا معتدلًا متناقصًا بسرعة ، أو توزيعًا معتدلًا محدود الدعم، أو دالة شوارتز، وكانت الأخرى توزيعًا معتدلًا. من ناحية أخرى، قد يكون لدالتين موجبتين قابلتين للتكامل وقابلتين للتفاضل إلى ما لا نهاية عملية التفاف غير متصلة في أي نقطة.

في الحالة المنفصلة، ​​يحقق عامل الفرق D f ( n ) = f ( n + 1) − f ( n ) علاقة مماثلة:

د(و*ز)=(دو)*ز=و*(دز).{\displaystyle D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).}

نظرية الالتفاف

تنص نظرية الالتفاف على أن [ 26 ]

F{و*ز}=F{و}⋅F{ز}{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}

أينF{و}{\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}يرمز إلى تحويل فورييه لـو{\displaystyle f}.

الالتفاف في أنواع أخرى من التحويلات

تنطبق نسخ من هذه النظرية أيضًا على تحويل لابلاس ، وتحويل لابلاس ثنائي الجانب ، وتحويل Z، وتحويل ميلين .

الالتفاف على المصفوفات

لودبليو{\displaystyle {\mathcal {W}}}إذا كانت مصفوفة تحويل فورييه ، فإن

دبليو(ج(1)x*ج(2)y)=(دبليوج(1)∙دبليوج(2))(x⊗y)=دبليوج(1)x∘دبليوج(2)y{\displaystyle {\mathcal {W}}\left(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y}،

أين∙{\displaystyle \bullet }هو منتج يسبب تشقق الوجه ، [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]⊗{\displaystyle \otimes }يشير إلى حاصل ضرب كرونكر ،∘{\displaystyle \circ }يشير إلى منتج هادامارد (هذه النتيجة هي تطور لخصائص رسم العد [ 32 ] ).

يمكن تعميم ذلك على المصفوفات المناسبة.أ،ب{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }:

دبليو((أx)*(بy))=((دبليوأ)∙(دبليوب))(x⊗y)=(دبليوأx)∘(دبليوبy){\displaystyle {\mathcal {W}}\left((\mathbf {A} x)\ast (\mathbf {B} y)\right)=\left(({\mathcal {W}}\mathbf {A} )\bullet ({\mathcal {W}}\mathbf {B} )\right)(x\otimes y)=({\mathcal {W}}\mathbf {A} x)\circ ({\mathcal {W}}\mathbf {B} y)}

من خصائص المنتج الذي يشق الوجه .

التباين الانتقالي

يتبادل الالتفاف مع عمليات الترجمة، مما يعني أن

τx(و*ز)=(τxو)*ز=و*(τxز){\displaystyle \tau _{x}(f*g)=(\tau _{x}f)*g=f*(\tau _{x}g)}

حيث τ x f هو إزاحة الدالة f بواسطة x المعرفة بـ

(τxو)(y)=و(y-x).{\displaystyle (\tau _{x}f)(y)=f(y-x).}

إذا كانت f دالة شوارتز ، فإن τ x f هي عملية الالتفاف مع دالة ديراك دلتا المزاحة τ x f = f ∗ τ x δ . لذا فإن ثبات عملية الالتفاف لدوال شوارتز تحت الإزاحة هو نتيجة لخاصية التجميع في عملية الالتفاف.

علاوة على ذلك، في ظل ظروف معينة، يُعدّ الالتفاف العملية الأكثر عمومية التي لا تتأثر بالإزاحة. وبصورة غير رسمية، ينطبق ما يلي

لنفترض أن S هو مؤثر خطي محدود يعمل على الدوال ويتبادل مع الإزاحات: S ( τ x f ) = τ x ( Sf ) لجميع قيم x . عندئذٍ، يُعطى S على أنه التفاف مع دالة (أو توزيع) g S ؛ أي Sf = g S ∗ f .

وبالتالي ، يمكن تمثيل بعض العمليات الثابتة تحت الإزاحة على شكل التفاف. تلعب عمليات الالتفاف دورًا هامًا في دراسة الأنظمة الثابتة زمنيًا ، وخاصةً نظرية الأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا . الدالة المُمثلة g S هي استجابة النبضة للتحويل S.

يتطلب نصٌّ أكثر دقةً للنظرية المذكورة أعلاه تحديد فئة الدوال التي يُعرَّف عليها الالتفاف، ويتطلب أيضًا افتراض أن S يجب أن يكون مؤثرًا خطيًا متصلًا بالنسبة للطوبولوجيا المناسبة . من المعروف، على سبيل المثال، أن كل مؤثر خطي متصل وثابت تحت الإزاحة على L1 هو التفاف ذو مقياس بوريل محدود . وبشكل أعم، فإن كل مؤثر خطي متصل وثابت تحت الإزاحة على Lp ، حيث 1 ≤ p < ∞، هو التفاف ذو توزيع معتدل يكون تحويل فورييه الخاص به محدودًا. أي أن جميعها تُعطى بواسطة مضاعفات فورييه محدودة .

الالتفافات على المجموعات

إذا كانت G زمرة مناسبة مزودة بمقياس λ ، وإذا كانت f و g دالتين حقيقيتين أو مركبتين قابلتين للتكامل على G ، فيمكننا تعريف التفافهما بواسطة

(و*ز)(x)=∫جيو(y)ز(y-1x)دλ(y).{\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda (y).}

ليست عملية تبادلية بشكل عام. في الحالات النموذجية ذات الأهمية، تكون G زمرة طوبولوجية هاوسدورف محلية التراص ، وλ مقياس هار (يساري) . في هذه الحالة، ما لم تكن G أحادية المعامل ، فإن الالتفاف المعرف بهذه الطريقة لا يكون هو نفسه∫و(xy-1)ز(y)دλ(y){\textstyle \int f\left(xy^{-1}\right)g(y)\,d\lambda (y)}يتم تفضيل أحدهما على الآخر بحيث يكون الالتفاف مع دالة ثابتة g متبادلاً مع الإزاحة اليسرى في المجموعة:

لح(و*ز)=(لحو)*ز.{\displaystyle L_{h}(f*g)=(L_{h}f)*g.}

علاوة على ذلك، فإن هذا الاصطلاح ضروري أيضاً لضمان الاتساق مع تعريف التفاف المقاييس المذكور أدناه. ومع ذلك، في حالة استخدام مقياس هار الأيمن بدلاً من الأيسر، يُفضّل استخدام التكامل الأخير على الأول.

في الزمر الأبيلية المدمجة محليًا ، تتحقق صيغة من نظرية الالتفاف : تحويل فورييه للالتفاف هو حاصل الضرب النقطي لتحويلات فورييه. تُعد زمرة الدائرة T ذات مقياس ليبيغ مثالًا مباشرًا على ذلك. بالنسبة لدالة g ثابتة في L₁ ( T ) ، لدينا المؤثر المألوف التالي الذي يعمل على فضاء هيلبرت L₂ ( T ):

تيو(x)=12π∫تيو(y)ز(x-y)دy.{\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy.}

المؤثر T مضغوط . تُظهر عملية حسابية مباشرة أن المؤثر المرافق له T * هو عملية التفاف مع

ز¯(-y).{\displaystyle {\bar {g}}(-y).}

بحسب خاصية التبديل المذكورة أعلاه، فإن T عملية طبيعية : T * T = TT *. كما أن T تتبادل مع عوامل الإزاحة. لنفترض عائلة S من العوامل التي تتكون من جميع عمليات الالتفاف هذه وعوامل الإزاحة. إذن، S عائلة تبادلية من العوامل الطبيعية. وفقًا لنظرية الأطياف ، يوجد أساس متعامد { h k } يُقطِّر S في آنٍ واحد . وهذا يُميِّز عمليات الالتفاف على الدائرة. تحديدًا، لدينا

حك(x)=هـأناكx،ك∈Z،{\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx},\quad k\in \mathbb {Z} ,\;}

وهي تحديدًا خصائص T. كل عملية التفاف هي عامل ضرب مضغوط في هذا الأساس. ويمكن اعتبار ذلك صيغةً من صيغ نظرية الالتفاف المذكورة أعلاه.

المثال المنفصل هو مجموعة دورية منتهية من الرتبة n . يتم تمثيل عوامل الالتفاف هنا بواسطة مصفوفات دائرية ، ويمكن تحويلها إلى مصفوفات قطرية بواسطة تحويل فورييه المنفصل .

وينطبق نتيجة مماثلة على المجموعات المدمجة (ليست بالضرورة أبيلية): تشكل معاملات المصفوفة للتمثيلات الوحدوية ذات الأبعاد المحدودة أساسًا متعامدًا في L 2 وفقًا لنظرية بيتر-ويل ، ويستمر نظير نظرية الالتفاف في العمل، إلى جانب العديد من الجوانب الأخرى للتحليل التوافقي التي تعتمد على تحويل فورييه.

التفاف المقاييس

ليكن G زمرة طوبولوجية (مكتوبة بشكل ضربي). إذا كان μ و ν مقياسين رادون على G ، فإن التفافهما μ ∗ ν يُعرَّف على أنه مقياس الدفع الأمامي لفعل الزمرة ويمكن كتابته على النحو التالي [ 33 ]

(μ*ν)(هـ)=∬1هـ(xy)دμ(x)دν(y){\displaystyle (\mu *\nu )(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}

لكل مجموعة جزئية قابلة للقياس E من G. الالتفاف هو أيضًا مقياس رادون، الذي يحقق تباينه الكلي الشرط التالي:

‖μ*ν‖≤‖μ‖‖ν‖.{\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \left\|\mu \right\|\left\|\nu \right\|.}

في حالة كون G مجموعة متراصة محليًا ذات مقياس هار (يساري) λ، وكانت μ و ν متصلتين اتصالًا مطلقًا بالنسبة إلى λ، بحيث يكون لكل منهما دالة كثافة احتمالية ، فإن عملية الالتفاف μ∗ν تكون أيضًا متصلة اتصالًا مطلقًا، ودالة كثافتها هي ببساطة التفاف دالتي الكثافة الاحتماليتين المنفصلتين. في الواقع، إذا كان أي من المقياسين متصلًا اتصالًا مطلقًا بالنسبة إلى مقياس هار، فإن التفافهما يكون كذلك أيضًا. [ 34 ]

إذا كانت μ و ν مقياسين احتماليين على المجموعة الطوبولوجية ( R ,+ )، فإن الالتفاف μ ∗ ν هو التوزيع الاحتمالي لمجموع X + Y لمتغيرين عشوائيين مستقلين X و Y اللذين يكون توزيعهما μ و ν على التوالي.

الالتفاف السفلي

في التحليل المحدب ، الالتفاف الأدنى لـ (ليس بشكل متطابق)+∞{\displaystyle +\infty }) الدوال المحدبةو1،...،وم{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}يتم تعريفها بواسطة: [ 35 ](و1*⋯*وم)(x)=معلوماتx{و1(x1)+⋯+وم(xم)|x1+⋯+xم=x}.{\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})(x)=\inf _{x}\{f_{1}(x_{1})+\cdots +f_{m}(x_{m})|x_{1}+\cdots +x_{m}=x\}.} يمكن إثبات أن الالتفاف الأدنى للدوال المحدبة هو التفاف محدب. علاوة على ذلك، فإنه يحقق متطابقة مماثلة لتلك الخاصة بتحويل فورييه للالتفاف التقليدي، حيث يلعب تحويل ليجندر دور تحويل فورييه بدلاً من ذلك . φ*(x)=رشفةy(x⋅y-φ(y)).{\displaystyle \varphi ^{*}(x)=\sup _{y}(x\cdot y-\varphi (y)).} لدينا: (و1*⋯*وم)*(x)=و1*(x)+⋯+وم*(x).{\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})^{*}(x)=f_{1}^{*}(x)+\cdots +f_{m}^{*}(x).}

الجبر الثنائي

ليكن ( X , Δ, ∇, ε , η ) جبرًا ثنائيًا مع الضرب المشترك Δ، والضرب ∇، والوحدة η، والوحدة المشتركة ε . الالتفاف هو حاصل ضرب مُعرَّف على جبر التشكل الداخلي End( X ) كما يلي: ليكن φ و ψ ∈ End( X )، أي أن φ و ψ : X → X دالتان تحافظان على جميع البنية الجبرية لـ X ، عندئذٍ يُعرَّف الالتفاف φ ∗ ψ على أنه التركيب

X→ΔX⊗X→ϕ⊗ψX⊗X→∇X.{\displaystyle X\mathrel {\xrightarrow {\Delta } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\phi \otimes \psi } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\nabla } } X.}

يظهر مفهوم الالتفاف بشكل ملحوظ في تعريف جبر هوبف ( كاسل 1995 ، القسم III.3) . الجبر الثنائي هو جبر هوبف إذا وفقط إذا كان له مضاد: أي تشاكل داخلي S بحيث

S*بطاقة تعريفX=بطاقة تعريفX*S=η∘ε.{\displaystyle S*\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{X}*S=\eta \circ \varepsilon .}

التطبيقات

يمكن استخدام التمويه الغاوسي للحصول على صورة رقمية رمادية ناعمة لطباعة نصفية .

تُستخدم عمليات الالتفاف والعمليات ذات الصلة في العديد من التطبيقات في العلوم والهندسة والرياضيات.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ تشمل أسباب التأمل ما يلي:
    • من الضروري تطبيق ما يعادل الضرب النقطي لتحويلات فورييه لـو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}.
    • عندما يُنظر إلى عملية الالتفاف على أنها متوسط ​​مرجح متحرك ، فإن دالة الترجيح،ز(-x){\displaystyle g(-x)}غالباً ما يتم تحديدها بدلالة دالة أخرى،ز(x){\displaystyle g(x)}، والتي تسمى استجابة النبضة لنظام خطي ثابت مع الزمن .
  2. ↑ يختلفالرمز U+2217 ∗ ASTERISK OPERATOR عن الرمز U+002A * ASTERISK ، الذي يُستخدم غالبًا للدلالة على الاقتران المركب. انظر علامة النجمة § الطباعة الرياضية . 

مراجع

  1. ↑ بحري، مواردي؛ أشينو، ريويتشي؛ فايلانكور، ريمي (2013). "نظريات الالتفاف لتحويل فورييه الرباعي: الخصائص والتطبيقات" (ملف PDF) . التحليل المجرد والتطبيقي . 2013 : 1-10 . doi : 10.1155/2013/162769 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 21-10-2020 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11-11-2022 .
  2. ↑ سميث، ستيفن و. (1997). "13. الالتفاف" . دليل العالم والمهندس لمعالجة الإشارات الرقمية ( الطبعة الأولى). دار النشر التقنية في كاليفورنيا. ISBN  0-9660176-3-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 أبريل 2016 .
  3. ↑ إيروين، ج. ديفيد (1997). "4.3". دليل الإلكترونيات الصناعية ( الطبعة الأولى). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. ص 75. ISBN   0-8493-8343-9.
  4. ↑ المعادلات التفاضلية (ربيع 2010)، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا 18.03. "المحاضرة 21: صيغة الالتفاف" . مواد معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا التعليمية المفتوحة . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 ديسمبر 2021 .{{cite web}}: صيانة CS1: الأسماء الرقمية: قائمة المؤلفين ( رابط )
  5. ↑ "18.03SC المعادلات التفاضلية خريف 2011" (ملف PDF) . صيغة غرين، تحويل لابلاس للالتفاف . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 2015-09-06.
  6. ↑ دومينغيز-توريس، ص 2
  7. ↑ دومينغيز-توريس، ص 4
  8. ↑ آر إن براسويل (2005)، "الأعمال المبكرة في نظرية التصوير في علم الفلك الراديوي" ، في دبليو تي سوليفان (محرر)، السنوات الأولى لعلم الفلك الراديوي: تأملات بعد خمسين عامًا من اكتشاف جانسكي ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 172، ISBN  978-0-521-61602-7
  9. ↑ جون هيلتون جريس وألفريد يونغ (1903)، جبر الثوابت ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 40 
  10. ↑ ليونارد يوجين ديكسون (1914)، الثوابت الجبرية ، جون وايلي، ص 85، ISBN  978-1-4297-0042-9{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  11. ^ وفقًا لـ [Lothar von Wolfersdorf (2000)، “Einige Klassen Quadratischer Integralgleichungen”، Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig ، Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse ، المجلد 128 ، العدد 2، 6–7]، المصدر هو فولتيرا، فيتو (1913)، “Leçons sur les fonctions de linges”. غوتييه فيلار، باريس 1913.
  12. ^ داملين وميلر 2011 ، ص. 219 
  13. ↑ بريس، ويليام هـ.؛ فلاني، برايان ب.؛ تيوكولسكي، شاول أ.؛ فيترلينغ، ويليام ت. (1989). وصفات عددية في باسكال . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 450. ISBN  0-521-37516-9.
  14. ↑ رادر، سي إم (ديسمبر 1972). "الالتفافات المنفصلة باستخدام تحويلات ميرسين". معاملات IEEE في الحوسبة . 21 (12): 1269-1273 . doi : 10.1109/TC.1972.223497 . S2CID 1939809 . 
  15. ↑ وينوغراد، شموئيل (يناير 1980). التعقيد الحسابي للحسابات . جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. doi : 10.1137/1.9781611970364 . ISBN 978-0-89871-163-9.
  16. ↑ لياخوف، ب.أ.؛ ناغورنوف، ن.ن.؛ سيميونوفا، ن.ف.؛ عبد السليموفا، أ.س. (يونيو 2023). "تقليل التعقيد الحسابي لمعالجة الصور باستخدام تحويل المويجات بناءً على طريقة وينوغراد" . التعرف على الأنماط وتحليل الصور . 33 (2): 184-191 . doi : 10.1134/S1054661823020074 . ISSN 1054-6618 . S2CID 259310351 .  
  17. ↑ وو، دي؛ فان، شيتيان؛ كاو، وي؛ وانغ، لينغلي (مايو 2021). "SWM: مُسرِّع شبكة عصبية تلافيفية عالي الأداء لضرب المصفوفات المتفرقة من نوع وينوغراد". معاملات IEEE لأنظمة التكامل واسع النطاق جدًا (VLSI) . 29 (5): 936-949 . Bibcode : 2021ITVL...29..936W . doi : 10.1109/TVLSI.2021.3060041 . ISSN 1063-8210 . S2CID 233433757 .  
  18. ↑ ميتال، سبارش؛ فيبهو (مايو 2021). "دراسة استقصائية لبنى المعالجات المسرّعة لشبكات عصبية التفافية ثلاثية الأبعاد" . مجلة هندسة النظم . 115 102041. doi : 10.1016/j.sysarc.2021.102041 . S2CID 233917781 . 
  19. ↑ سيليسنيك، إيفان دبليو؛ بوروس، سي. سيدني (1999). "الالتفاف السريع والترشيح". في ماديسيتي، فيجاي ك. (محرر). دليل معالجة الإشارات الرقمية . مطبعة سي آر سي. ص. القسم 8. ISBN  978-1-4200-4563-5.
  20. ↑ جوانغ، بي إتش "المحاضرة 21: الالتفاف الكتلي" (ملف PDF) . قسم الهندسة الكهربائية وعلوم الحاسوب في معهد جورجيا للتكنولوجيا. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 29 يوليو 2004. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 مايو 2013 .
  21. ↑ غاردنر، ويليام ج. (نوفمبر 1994). "الالتفاف الفعال بدون تأخير في الإدخال/الإخراج" (ملف PDF) . مؤتمر جمعية هندسة الصوت 97. ورقة بحثية رقم 3897. مؤرشفة (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 8 أبريل 2015. تم الاطلاع عليها بتاريخ 17 مايو 2013 .
  22. ↑ بيكنر، ويليام (1975). "المتباينات في تحليل فورييه". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 102 (1): 159-182 . doi : 10.2307/1970980 . JSTOR 1970980 . 
  23. ↑ براسكامب، هيرم جان؛ ليب، إليوت هـ. (1976). "أفضل الثوابت في متباينة يونغ، وعكسها، وتعميمها لأكثر من ثلاث دوال" . التقدم في الرياضيات . 20 (2): 151-173 . doi : 10.1016/0001-8708(76)90184-5 .
  24. ↑ ريد وسيمون 1975 ، IX.4
  25. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "الالتفاف" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 22-09-2021 .
  26. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "من عالم الرياضيات - مورد ويب من وولفرام" .
  27. ↑ سليوسار، السادس (27 ديسمبر 1996). "المنتجات النهائية في المصفوفات في تطبيقات الرادار" (ملف PDF) . أنظمة الإلكترونيات اللاسلكية والاتصالات . 41 (3): 50-53 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 11 أغسطس 2013.
  28. ↑ سليوسار، في. آي. (20-05-1997). "نموذج تحليلي لمصفوفة الهوائي الرقمي قائم على أساس منتجات المصفوفات المنقسمة للوجه" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي للاتصالات وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات 1997، كييف : 108-109 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 11-08-2013.
  29. ↑ سليوسار، في. آي. (15-09-1997). "عمليات جديدة لضرب المصفوفات لتطبيقات الرادار" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي للمسائل المباشرة والمعكوسة لنظرية الموجات الكهرومغناطيسية والصوتية (DIPED-97)، لفيف : 73-74 . مؤرشف (ملف PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 11-08-2013.
  30. ↑ سليوسار، السادس (13 مارس 1998). "عائلة من نواتج وجه المصفوفات وخصائصها" (ملف PDF) . مجلة علم التحكم الآلي وتحليل النظم C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz.- 1999. 35 ( 3 ): 379–384 . doi : 10.1007/BF02733426 . S2CID 119661450. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 11 أغسطس 2013. 
  31. ↑ سليوسار، في. آي. (2003). "الضرب المعمم للوجوه في المصفوفات في نماذج مصفوفات الهوائيات الرقمية ذات القنوات غير المتطابقة" (ملف PDF) . أنظمة الإلكترونيات اللاسلكية والاتصالات . 46 (10): 9-17 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 11-08-2013.
  32. ↑ نينه، فام؛ باج، راسموس (2013). نوى متعددة الحدود سريعة وقابلة للتوسع عبر خرائط الميزات الصريحة . المؤتمر الدولي SIGKDD حول اكتشاف المعرفة واستخراج البيانات. رابطة آلات الحوسبة. doi : 10.1145/2487575.2487591 .
  33. ↑ هيويت وروس (1979) التحليل التوافقي المجرد، المجلد 1 ، الطبعة الثانية، سبرينغر-فيرلاغ، ص 266.
  34. ↑ هيويت وروس (1979)، النظرية 19.18، ص 272.
  35. ↑ ر. تيريل روكافيلر (1970)، التحليل المحدب ، مطبعة جامعة برينستون
  36. ↑ تشانغ، يينغجي؛ سون، هونغ جيوك؛ يي، دونغسن؛ فوه، جيري يينغ هسي؛ تشو، كونبنغ (سبتمبر 2020). "مراقبة عملية دمج طبقة المسحوق باستخدام رؤية الآلة مع الشبكات العصبية الالتفافية الهجينة". معاملات IEEE في المعلوماتية الصناعية . 16 (9): 5769-5779 . Bibcode : 2020ITII...16.5769Z . doi : 10.1109/TII.2019.2956078 . ISSN 1941-0050 . S2CID 213010088 .  
  37. ↑ تشيرفياكوف، ن. إي.؛ لياخوف، ب. أ.؛ ديريابين، م. أ.؛ ناغورنوف، ن. ن.؛ فالويفا، م. ف.؛ فالويف، ج. ف. (سبتمبر 2020). " حل قائم على نظام الأعداد المتبقية لتقليل تكلفة الأجهزة لشبكة عصبية التفافية" . الحوسبة العصبية . 407 : 439-453 . doi : 10.1016/j.neucom.2020.04.018 . S2CID 219470398. تمثل الشبكات العصبية الالتفافية بنى التعلم العميق التي تُستخدم حاليًا في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك رؤية الحاسوب، والتعرف على الكلام، وتحليل السلاسل الزمنية في مجال التمويل، وغيرها الكثير. 
  38. ↑ أطلس، هوما، وماركس. "شبكة عصبية اصطناعية للأنماط ثنائية القطب المكانية-الزمانية: تطبيق على تصنيف الصوتيات" ( ملف PDF) . أنظمة معالجة المعلومات العصبية (NIPS 1987) . 1. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 14-04-2021.{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  39. ↑ زولزر، أودو، محرر. (2002). DAFX: المؤثرات الصوتية الرقمية ، ص 48-49. ISBN 0471490784.
  40. ↑ ديجل 1985 .
  41. ↑ قاسمي ونواك 2017 .
  42. ↑ موناغان، ج. ج. (1992). "ديناميكا الموائع الجزيئية الملساء" . المراجعة السنوية لعلم الفلك والفيزياء الفلكية . 30 : 543-547 . Bibcode : 1992ARA & A..30..543M . doi : 10.1146/annurev.aa.30.090192.002551 . تاريخ الاسترجاع: 16 فبراير 2021 .

للمزيد من القراءة

  • براسويل، ر. (1986)، تحويل فورييه وتطبيقاته (الطبعة الثانية  )، ماكجرو هيل، Bibcode : 1986ftia.book.....B ، ISBN 0-07-116043-4.
  • داميلين، س.؛ ميلر، و. (2011)، رياضيات معالجة الإشارات ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-1107601048
  • ديجل، بي جيه (1985)، "طريقة النواة لتنعيم بيانات عملية النقطة"، مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ج ، 34 (2): 138-147 ، doi : 10.2307/2347366 ، JSTOR 2347366 ، S2CID 116746157  
  • دومينغيز-توريس، أليخاندرو (2 نوفمبر 2010). "أصل وتاريخ الالتفاف". 41 صفحة. https://slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution . كرانفيلد، بيدفورد MK43 OAL، المملكة المتحدة. تاريخ الاطلاع: 13 مارس 2013.
  • قاسمي، إس. هومان؛ نوفاك، أندريه إس. (2017)، "مؤشر الموثوقية للتوزيعات غير الطبيعية لدوال حالة الحد"، الهندسة الإنشائية والميكانيكا ، 62 (3): 365-372 ، doi : 10.12989/sem.2017.62.3.365
  • غرينشبان، أ.ز. (2017)، "متباينة للالتفافات المتعددة فيما يتعلق بمقياس احتمالية ديريشليه"، التقدم في الرياضيات التطبيقية ، 82 (1): 102-119 ، doi : 10.1016/j.aam.2016.08.001
  • هيويت، إدوين. روس، كينيث أ. (1979)، التحليل التوافقي المجرد. المجلد. أنا ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية]، المجلد.  115 (  الطبعة الثانية)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-09434-0، MR 0551496 .
  • هيويت، إدوين. روس، كينيث أ. (1970)، التحليل التوافقي المجرد. المجلد. الثاني: البنية والتحليل للمجموعات المدمجة. تحليل المجموعات الأبيلية المدمجة محليًا ، Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، Band 152، Berlin، New York: Springer-Verlag ، MR 0262773 .
  • Hörmander, L. (1983)، تحليل العوامل التفاضلية الجزئية الخطية I ، Grundl. الرياضيات. فيسنشافت، المجلد.  256، سبرينغر، دوى : 10.1007/978-3-642-96750-4 ، ISBN 3-540-12104-8، MR 0717035 .
  • كاسل، كريستيان (1995)، المجموعات الكمومية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  155، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-0783-2 ، ISBN 978-0-387-94370-1MR 1321145​ .
  • كنوت، دونالد (1997)، الخوارزميات شبه العددية (الطبعة الثالثة  )، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي، ISBN 0-201-89684-2.
  • ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
  • ريد، مايكل؛ سيمون، باري (1975)، أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة. الجزء الثاني: تحليل فورييه، الترافق الذاتي ، نيويورك-لندن: دار النشر الأكاديمية هاركورت بريس جوفانوفيتش،  361 صفحة، ISBN 0-12-585002-6، MR 0493420 
  • رودين، والتر (1962)، تحليل فورييه على المجموعات ، سلسلة إنترساينس في الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  12، نيويورك - لندن: دار إنترساينس للنشر، ISBN 0-471-52364-X، MR 0152834 {{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
  • شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
  • شتاين، إلياس ؛ فايس، غيدو (1971)، مقدمة في تحليل فورييه على الفضاءات الإقليدية ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-08078-X.
  • سوبوليف، في. آي. (2001) [1994]، "التفاف الدوال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
  • ستريشارتز، ر. (1994)، دليل لنظرية التوزيع وتحويلات فورييه ، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 0-8493-8273-4.
  • تيتشمارش، إي (1948)، مقدمة في نظرية تكاملات فورييه (الطبعة الثانية  )، نيويورك، نيويورك: شركة تشيلسي للنشر (نُشرت عام 1986)، رقم ISBN 978-0-8284-0324-5{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
  • تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
  • أولوداغ، أ.م. (1998)، "حول التدهور المحتمل للنعومة تحت تأثير عملية الالتفاف"، مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات ، 227 (2): 335-358 ، doi : 10.1006/jmaa.1998.6091 ، hdl : 11693/25385
  • فون زور جاثين، J .؛ جيرهارد، ج. (2003)، جبر الكمبيوتر الحديث ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-82646-2.