أوكتونيون

تُعدّ طريقة كايلي-ديكسون طريقةً أكثر منهجيةً لتعريف الأوكتونيونات. بتطبيق هذه الطريقة على الكواترنيونات، نحصل على الأوكتونيونات، والتي يمكن التعبير عنها على النحو التالي:${\displaystyle \mathbb {O} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {H} ,1)}$[ ^{6 ]​}

كما يمكن تعريف الكواترنيونات على أنها أزواج من الأعداد المركبة، يمكن تعريف الأوكتونيونات على أنها أزواج من الكواترنيونات. وتُعرَّف عملية الجمع على أساس الأزواج. ويُعرَّف حاصل ضرب زوجين من الكواترنيونات ( أ ، ب ) و ( ج ، د ) كما يلي:

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}$

حيث يرمز z * إلى مرافق الكواترنيون z . هذا التعريف مكافئ للتعريف المذكور أعلاه عندما يتم تعريف الأوكتونيونات الثمانية الوحدوية بالأزواج.

${\displaystyle (1,0),(i,0),(j,0),(k,0),(0,1),(0,i),(0,j),(0,k)}$.

يتم جمع وطرح الأوكتونيونات عن طريق جمع وطرح الحدود المقابلة وبالتالي معاملاتها، مثل الكواترنيونات.

يُعدّ ضرب الأوكتونيونات أكثر تعقيدًا. فالضرب عملية توزيعية على الجمع، لذا يُمكن حساب حاصل ضرب أوكتونيين بجمع نواتج ضرب جميع الحدود، تمامًا كما هو الحال مع الكواترنيونات. يُمكن إيجاد حاصل ضرب كل زوج من الحدود بضرب المعاملات وجدول ضرب الأوكتونيونات الأساسية، كما في هذا الجدول (الذي وضعه كلٌّ من آرثر كايلي عام 1845 وجون تي. غريفز عام 1843): ^{[ 7 ]}

${\displaystyle e_{i}e_{j}}$		${\displaystyle e_{j}}$
		${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

معظم العناصر غير القطرية في الجدول متناظرة عكسيًا، مما يجعلها تقريبًا مصفوفة متناظرة عكسيًا باستثناء العناصر الموجودة على القطر الرئيسي، بالإضافة إلى الصف والعمود اللذين يكون فيهما e ₀ معاملًا.

يمكن تلخيص الجدول على النحو التالي: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle e_{\ell }e_{m}={\begin{cases}e_{m},&{\text{إذا كان }}\ell =0\\e_{\ell },&{\text{إذا كان }}m=0\\-e_{0},&{\text{إذا كان }}\ell =m,m\neq 0\\\varepsilon _{\ell mn}e_{n},&{\text{فيما عدا ذلك}}\end{cases}}}$

حيث أن ε _ℓmn هو موتر متناظر تمامًا، قيمته +1 عندما يكون ℓmn = 123 ، 145 ، 176 ، 246 ، 257 ، 347 ، 365 ، أو أي تبديل زوجي لهذه القيم، و -1 لأي ​​تبديل فردي (مثلًا، ε ₁₂₃ = +1 ؛ ε ₁₃₂ = ε ₂₁₃ = -1 ؛ ε ₃₁₂ = ε ₂₃₁ = +1 ). عندما يكون أي اثنين من المؤشرات الثلاثة متطابقين، فإن ε _ℓmn = 0 .

التعريف المذكور أعلاه ليس فريدًا، بل هو واحد من 480  تعريفًا ممكنًا لضرب الأوكتونيونات حيث e₀ = 1. _{ويمكن الحصول على التعريفات} الأخرى بتبديل وتغيير إشارات عناصر الأساس غير العددية { e₁ , _e₂ , e₃ _, e₄ , e₅ _, e₆ _, e₇ } _. تتشابه الجبريات  الـ 480 _{المختلفة ، ونادرًا} ما تكون هناك حاجة لتحديد قاعدة الضرب المستخدمة.

كل تعريف من هذه التعريفات الـ 480 ثابتٌ تحت تأثير الإشارات في  دورة سباعية معينة للنقاط (1 2 3 4 5 6 7) ، ولكل  دورة سباعية أربعة تعريفات تختلف في الإشارات وعكس الترتيب. من الخيارات الشائعة استخدام التعريف الثابت تحت تأثير  الدورة السباعية (1 2 3 4 5 6 7) حيث e₁e₂ = e₄ باستخدام مخطط الضرب _{المثلثي ، أو مستوى فانو الموضح أدناه ،} والذي يُظهر أيضًا القائمة المرتبة للثلاثيات السباعية ذات الأساس 1 2 4 ومصفوفات الضرب المرتبطة بها _بصيغتي eₙ و IJKL .

ثلاثيات الأوكتونيون، ومستوى فانو، ومصفوفات الضرب

_{يُستخدم أحيانًا شكلٌ مُعدَّلٌ من هذه الطريقة ،} وهو تسمية عناصر الأساس بالعناصر ∞ ، 0، 1، 2، ...، 6، للخط الإسقاطي على الحقل المنتهي ذي الرتبة 7. ويُعطى الضرب حينها بالعلاقة e∞ = 1 و e₁e₂ = _{e₄ ،} وتُستنتج جميع المعادلات من هذه المعادلة بإضافة ثابت ( باقي القسمة على 7 ) إلى جميع المؤشرات السفلية : أي باستخدام الثلاثيات السبع (1 2 4) ، (2 3 5) _، ( 3 4 6) ، (4 5 0) ، (5 6 1) ، (6 0 2) ، (0 1 3) . وهذه هي الكلمات المشفرة غير الصفرية لرمز الباقي التربيعي ذي الطول  7 على حقل غالوا ذي العنصرين، GF (2) . توجد تناظر من الرتبة  7 يتم الحصول عليه بإضافة ثابت modulo  7 إلى جميع المؤشرات السفلية، وكذلك تناظر من الرتبة 3 يتم الحصول عليه بضرب  جميع المؤشرات السفلية، modulo 7، بأحد البواقي التربيعية 1 و2 و4. ^{[ 9 ] [ 10 ]} يمكن أيضًا اعتبار هذه الثلاثيات السبع بمثابة الإزاحات السبع للمجموعة {1،2،4} من المربعات غير الصفرية التي تشكل مجموعة فرق دورية (7،3،1) في الحقل المنتهي GF(7) المكون من سبعة عناصر.

طائرة فانو الموضحة أعلاه مع${\displaystyle e_{n}}$وتشمل مصفوفات الضرب IJKL أيضًا أساس الجبر الهندسي ذو الإشارة (− − − −) ويتم إعطاؤها بدلالة الثلاثيات الرباعية السبعة التالية (مع حذف عنصر الوحدة القياسي): 

${\displaystyle (I,j,k),(i,J,k),(i,j,K),(I,J,K),(\bigstar I,i,l),(\bigstar J,j,l),(\bigstar K,k,l)}$

أو بدلاً من ذلك

${\displaystyle (\sigma _{1},j,k),(i,\sigma _{2},k),(i,j,\sigma _{3}),(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}),(\bigstar \sigma _{1},i,l),(\bigstar \sigma _{2},j,l),(\bigstar \sigma _{3},k,l)}$

حيث تمثل العناصر الصغيرة { i , j , k , l } متجهات (مثلاً {${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$}, على التوالي) والأحرف الكبيرة { I , J , K } = {${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$} هي متجهات ثنائية (مثل${\displaystyle \gamma _{\{1,2,3\}}\gamma _{0}}$(على التوالي) ومؤثر هودج النجمي ★ = i j k l هو العنصر شبه القياسي. إذا أُجبر ★ على أن يكون مساويًا للعنصر المحايد، فإن عملية الضرب تتوقف عن كونها تجميعية، ولكن يمكن إزالة ★ من جدول الضرب مما ينتج عنه جدول ضرب ثماني.

مع الحفاظ على خاصية التجميع ★ = i j k l، وبالتالي عدم اختزال الجبر الهندسي رباعي الأبعاد إلى جبر ثماني الأبعاد، يمكن اشتقاق جدول الضرب بالكامل من معادلة ★ . لننظر إلى مصفوفات غاما في الأمثلة المذكورة أعلاه. الصيغة التي تُعرّف مصفوفة غاما الخامسة (${\displaystyle \gamma _{5}}$) يوضح أنها ★ من الجبر الهندسي رباعي الأبعاد لمصفوفات جاما.

يُعدّ الرسم البياني، الذي يُمثّل جدول الضرب لكايلي وغريفز، وسيلةً مُلائمةً لتذكّر نواتج ضرب الأوكتونيونات الوحدوية. ^{[ 7 ] [ 12 ]} يُطلق على هذا الرسم البياني، الذي يتكوّن من سبع نقاط وسبعة خطوط (تُعتبر الدائرة المارة بالنقاط 1 و2 و3 خطًا)، اسم مستوى فانو . الخطوط مُوجّهة. تُقابل النقاط السبع عناصر الأساس القياسية السبعة لـ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\mathbb {O} {\bigr ]}}$(انظر التعريف الوارد في قسم  المرافق والمعيار والمعكوس أدناه). يقع كل زوج من النقاط المختلفة على خط مستقيم واحد، ويمر كل خط بثلاث نقاط بالضبط.

ليكن ( أ ، ب ، ج ) ثلاثية مرتبة من النقاط تقع على خط مستقيم معين، ويكون ترتيبها محددًا باتجاه السهم. عندئذٍ، يكون الضرب كما يلي: أ ب = ج و ب أ = -ج، بالإضافة إلى التباديل الدورية . هذه القواعد، إلى جانب

• 1 هو العنصر المحايد الضربي،
• ${\displaystyle {e_{i}}^{2}=-1\ }$لكل نقطة في الرسم التخطيطي

يُحدد هذا تمامًا البنية الضربية للأوكتونيونات. كل خط من الخطوط السبعة يُولد جبرًا فرعيًا من${\displaystyle \mathbb {O} }$متماثل مع الرباعيات ℍ .

المرافق للأوكتونيون​

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}}$

يُعطى بواسطة

${\displaystyle x^{\ast }=x_{0}e_{0}-x_{1}e_{1}-x_{2}e_{2}-x_{3}e_{3}-x_{4}e_{4}-x_{5}e_{5}-x_{6}e_{6}-x_{7}e_{7}}$.

التصريف هو انقلاب لـ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$ويحقق ( xy )* = y * x * (لاحظ التغيير في الترتيب).

الجزء الحقيقي من x يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}e_{0}}$

والجزء التخيلي (الذي يُسمى أحيانًا الجزء النقي ) بواسطة

${\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}}$.

تمتد مجموعة جميع الأوكتونيونات التخيلية البحتة على فضاء فرعي ذي 7 أبعاد من${\displaystyle \mathbb {O} ,}$يُشار إليه${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\mathbb {O} {\bigr ]}}$.

إن اقتران الأوكتونيونات يحقق المعادلة

${\displaystyle -6x^{*}=x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}}$.

إن حاصل ضرب الأوكتونيون مع مرافقه، x * x = xx * ، هو دائماً عدد حقيقي غير سالب:

${\displaystyle x^{*}x={x_{0}}^{2}+{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+{x_{4}}^{2}+{x_{5}}^{2}+{x_{6}}^{2}+{x_{7}}^{2}}$.

باستخدام هذا، يُعرَّف معيار الأوكتونيون على النحو التالي:

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$.

يتفق هذا المعيار مع المعيار الإقليدي القياسي ذي الأبعاد الثمانية على ℝ ⁸ .

وجود معيار بشأن${\displaystyle \mathbb {O} }$يستلزم ذلك وجود معكوسات لكل عنصر غير صفري من${\displaystyle \mathbb {O} .}$معكوس x ≠ 0 ، وهو الأوكتونيون الوحيد x ⁻¹ الذي يحقق xx ⁻¹ = x ⁻¹ x = 1 ، يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$.

يمكن تحليل أي عدد ثماني x إلى جزئه الحقيقي وجزئه التخيلي:

${\displaystyle x={\mathfrak {R}}(x)+{\mathfrak {I}}(x)}$

وتسمى أحيانًا أيضًا الأجزاء العددية والمتجهة.

نُعرّف متجه الوحدة u المقابل لـ x على النحو التالي:

${\displaystyle u={\frac {{\mathfrak {I}}(x)}{\|{\mathfrak {I}}(x)\|}}}$. إنه أوكتونيون نقي من المعيار 1.

يمكن إثبات ^{[ 13 ]} أن أي عدد ثماني غير صفري يمكن كتابته على النحو التالي:

${\displaystyle o=\|o\|(\cos \theta +u\sin \theta )=\|o\|e^{u\theta }}$

وبذلك يتم توفير شكل قطبي.

يُعطى مُبدِّل عددين ثمانيين x و y بالصيغة التالية :

${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$.

هذا متناظر عكسيًا وتخيلي. إذا تم اعتباره فقط كحاصل ضرب على الفضاء التخيلي.${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\mathbb {O} {\bigr ]}}$يُعرّف هذا النموذج ضربًا على ذلك الفضاء، وهو الضرب الاتجاهي ذو الأبعاد السبعة ، المعطى بواسطة

${\displaystyle x\times y={\tfrac {1}{2}}(xy-yx)}$.

كما هو الحال في الضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد، فإن هذا متجه متعامد مع x و y وله مقدار

${\displaystyle \|x\times y\|=\|x\|\|y\|\sin \theta }$.

لكن مثله مثل حاصل ضرب الأوكتونيون، فهو ليس مُعرَّفًا تعريفًا فريدًا. بل توجد العديد من حاصلات الضرب التقاطعية المختلفة، كل منها يعتمد على اختيار حاصل ضرب الأوكتونيون. ^{[ 14 ]}

التشاكل الذاتي ، A ، للأوكتونيونات هو تحويل خطي قابل للعكس لـ${\displaystyle \mathbb {O} }$ذلك يرضي

${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y)}$.

مجموعة جميع التشاكلات الذاتية لـ${\displaystyle \mathbb {O} }$تُشكّل زمرةً تُسمى G₂ _. ^{[ 15 ]} الزمرة G₂ هي زمرة لي حقيقية ، بسيطة الاتصال ، ومتراصة ، ذات بُعد 14. هذه الزمرة هي أصغر زمر لي الاستثنائية، وهي متماثلة مع _الزمرة الجزئية من Spin(7) التي تحافظ على أي متجه مُختار في تمثيله الدوراني الحقيقي ذي البُعد 8. الزمرة Spin(7) بدورها هي زمرة جزئية من زمرة التماثلات الموصوفة أدناه. 

انظر أيضًا : PSL(2,7) – مجموعة التشاكل الذاتي لمستوى فانو.

التماثل الجبري هو ثلاثية من الدوال الخطية التقابلية a و b و c بحيث إذا كان xy = z فإن a ( x ) b ( y ) = c ( z ) . وبالنسبة لـ a = b = c، فإن هذا يُعادل التماثل الذاتي. زمرة التماثل الجبري هي زمرة جميع التماثلات، والتي تحتوي على زمرة التماثلات الذاتية كزمرة جزئية.

مجموعة التماثل للأوكتونيونات هي المجموعة Spin ₈ (ℝ) ، حيث تمثل a و b و c التمثيلات الثمانية الأبعاد الثلاثة. ^{[ 16 ]} المجموعة الجزئية للعناصر التي يثبت فيها c العنصر المحايد هي المجموعة الجزئية Spin ₇ (ℝ) ، والمجموعة الجزئية التي تثبت فيها a و b و c جميعها العنصر المحايد هي مجموعة التشاكلات الذاتية G ₂ .

كما يمكن تمثيل الكواترنيونات كمصفوفات ، يمكن تمثيل الأوكتونيونات كجداول من الكواترنيونات. وبشكلٍ أدق، ولأن أي أوكتونيون يمكن تعريفه كزوج من الكواترنيونات، فإننا نمثل الأوكتونيون${\displaystyle (q_{0},q_{1})}$مثل: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{0}&q_{1}\\-q_{1}^{*}&q_{0}^{*}\end{bmatrix}}}$$

باستخدام ضرب المصفوفات الرباعية المعدلة قليلاً (غير التجميعية): $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha _{0}&\alpha _{1}\\\alpha _{2}&\alpha _{3}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}\beta _{0}&\beta _{1}\\\beta _{2}&\beta _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{0}\beta _{0}+\beta _{2}\alpha _{1}&\beta _{1}\alpha _{0}+\alpha _{1}\beta _{3}\\\beta _{0}\alpha _{2}+\alpha _{3}\beta _{2}&\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{3}\beta _{3}\end{bmatrix}}}$$ يمكننا ترجمة عمليات الجمع والضرب في المصفوفات الثمانية إلى العمليات المقابلة على المصفوفات الرباعية. ^{[ 6 ]}