فضاء متجهي طوبولوجي قابل للقياس

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 333 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الوظيفي والمجالات الرياضية ذات الصلة ، يُعرف الفضاء المتجهي الطوبولوجي القابل للقياس (أو شبه القابل للقياس ) بأنه فضاء متجهي طوبولوجي تُستحث طوبولوجيته بواسطة مقياس (أو شبه مقياس ). أما فضاء LM فهو حد استقرائي لسلسلة من الفضاءات المتجهة الطوبولوجية القابلة للقياس والمحدبة محليًا .

المقاييس الزائفة والمقاييس

مقياس زائف على مجموعةX{\displaystyle X}هي خريطةد:X×X→R{\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }تحقيق الخصائص التالية:

  1. د(x،x)=0 للجميع x∈X{\displaystyle d(x,x)=0{\text{ لكل }}x\in X}؛
  2. التناظر :د(x،y)=د(y،x) للجميع x،y∈X{\displaystyle d(x,y)=d(y,x){\text{ لجميع }}x,y\in X}؛
  3. خاصية الجمع الفرعي :د(x،z)≤د(x،y)+د(y،z) للجميع x،y،z∈X.{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ لجميع }}x,y,z\in X.}

يُطلق على شبه المقياس اسم المقياس إذا استوفى الشروط التالية:

  1. هوية غير القابلين للتمييز : للجميعx،y∈X،{\displaystyle x,y\in X,}لود(x،y)=0{\displaystyle d(x,y)=0}ثمx=y.{\displaystyle x=y.}

القياس الزائف الفائق

شبه متريد{\displaystyle d}علىX{\displaystyle X}يُطلق عليه اسم "شبه قياس فائق" أو " شبه قياس قوي" إذا استوفى الشروط التالية:

  1. متباينة المثلث القوية / فائقة القياس :د(x،z)≤الأعلى{د(x،y)،د(y،z)} للجميع x،y،z∈X.{\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ لجميع }}x,y,z\in X.}

الفضاء شبه المتري

الفضاء شبه المتري هو زوج(X،د){\displaystyle (X,d)}يتكون من مجموعةX{\displaystyle X}وشبه متريد{\displaystyle d}علىX{\displaystyle X}بحيثX{\displaystyle X}تتطابق بنية الشبكة مع بنية الشبكة الموجودة علىX{\displaystyle X}ناتج عند.{\displaystyle d.}نسمي الفضاء شبه المتري(X،د){\displaystyle (X,d)}الفضاء المتري ( أو الفضاء شبه المتري الفائق ) عندماد{\displaystyle d}هو مقياس (أو مقياس زائف فائق).

الطوبولوجيا المستحثة بواسطة شبه متري

لود{\displaystyle d}هو مقياس زائف على مجموعةX{\displaystyle X}ثم مجموعة الكرات المفتوحة : بر(z):={x∈X:د(x،z)<ر}{\displaystyle B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}}مثلz{\displaystyle z}نطاقاتX{\displaystyle X}ور>0{\displaystyle r>0}تتراوح على الأعداد الحقيقية الموجبة، وتشكل أساسًا لطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}هذا ما يسمى بـد{\displaystyle d}-الطوبولوجيا أو الطوبولوجيا شبه المترية علىX{\displaystyle X}ناتج عند.{\displaystyle d.}

الاتفاقية : إذا(X،د){\displaystyle (X,d)}هو فضاء شبه متري وX{\displaystyle X}إذا تم التعامل مع الفضاء كمساحة طوبولوجية ، فإنه ما لم يُذكر خلاف ذلك، يجب افتراض أنX{\displaystyle X}يتمتع بالطوبولوجيا المستحثة بواسطةد.{\displaystyle d.}

مساحة قابلة للقياس الزائف

فضاء طوبولوجي(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}يُطلق عليه اسم شبه متري (على التوالي متري ، شبه متري فائق ) إذا وُجد شبه متري (على التوالي متري، شبه متري فائق).د{\displaystyle d}علىX{\displaystyle X}بحيثτ{\displaystyle \tau }يساوي الطوبولوجيا الناتجة عند.{\displaystyle d.}[ 1 ]

القياسات الزائفة والقيم على المجموعات الطوبولوجية

المجموعة الطوبولوجية الجمعية هي مجموعة جمعية مزودة بطوبولوجيا تسمى طوبولوجيا المجموعة ، والتي بموجبها يصبح الجمع والنفي عاملين مستمرين.

الطوبولوجياτ{\displaystyle \tau }على فضاء متجه حقيقي أو مركبX{\displaystyle X}تُسمى هذه البنية بنية متجهة أو بنية TVS إذا جعلت عمليات جمع المتجهات وضرب الأعداد القياسية متصلة (أي إذا جعلتX{\displaystyle X}في فضاء متجهي طوبولوجي ).

كل فضاء متجهي طوبولوجي (TVS)X{\displaystyle X}هي مجموعة طوبولوجية تبادلية جمعية، ولكن ليس كل طوبولوجيات المجموعات علىX{\displaystyle X}هي طوبولوجيات متجهة. وذلك لأنه على الرغم من أنها تجعل الجمع والنفي مستمرين، فإن طوبولوجيا المجموعة على فضاء متجهيX{\displaystyle X}قد لا تجعل عملية الضرب القياسي متصلة. على سبيل المثال، تجعل الطوبولوجيا المنفصلة على أي فضاء متجهي غير تافه عمليتي الجمع والنفي متصلتين، لكنها لا تجعل عملية الضرب القياسي متصلة.

المقاييس الزائفة الثابتة للترجمة

لوX{\displaystyle X}إذا كانت المجموعة جمعية، فإننا نقول إنها شبه متريةد{\displaystyle d}علىX{\displaystyle X}يكون ثابتًا تحت الترجمة أو ثابتًا فقط إذا استوفى أيًا من الشروط المتكافئة التالية:

  1. ثبات الترجمة :د(x+z،y+z)=د(x،y) للجميع x،y،z∈X{\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y){\text{ لجميع }}x,y,z\in X}؛
  2. د(x،y)=د(x-y،0) للجميع x،y∈X.{\displaystyle d(x,y)=d(xy,0){\text{ لجميع }}x,y\in X.}

معيار القيمة/G

لوX{\displaystyle X}هي مجموعة طوبولوجية ، قيمة أو شبه معيار G علىX{\displaystyle X}(يرمز الحرف G إلى المجموعة) عبارة عن خريطة ذات قيم حقيقيةص:X→R{\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }بالخصائص التالية: [ 2 ]

  1. غير سالب :ص≥0.{\displaystyle p\geq 0.}
  2. المضاف الفرعي :ص(x+y)≤ص(x)+ص(y) للجميع x،y∈X{\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ لجميع }}x,y\in X}؛
  3. ص(0)=0..{\displaystyle p(0)=0..}
  4. متناظر :ص(-x)=ص(x) للجميع x∈X.{\displaystyle p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\in X.}

حيث نطلق على شبه المعيار G اسم معيار G إذا استوفى الشرط الإضافي التالي:

  1. موجب تمامًا / إيجابي بشكل قاطع : إذاص(x)=0{\displaystyle p(x)=0}ثمx=0.{\displaystyle x=0.}

خصائص القيم

لوص{\displaystyle p}هي قيمة في فضاء متجهيX{\displaystyle X}ثم:

  • |ص(x)-ص(y)|≤ص(x-y) للجميع x،y∈X.{\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y){\text{ for all }}x,y\in X.}[ 3 ]
  • ص(نx)≤نص(x){\displaystyle p(nx)\leq np(x)}و1نص(x)≤ص(x/ن){\displaystyle {\frac {1}{n}}p(x)\leq p(x/n)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}والأعداد الصحيحة الموجبةن.{\displaystyle n.}[ 4 ]
  • المجموعة{x∈X:ص(x)=0}{\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}هي مجموعة فرعية جمعية منX.{\displaystyle X.}[ 3 ]

التكافؤ على المجموعات الطوبولوجية

النظرية [ 2 ] — لنفترض أنX{\displaystyle X}هي زمرة تبادلية جمعية. إذاد{\displaystyle d}هو مقياس زائف ثابت تحت الإزاحة علىX{\displaystyle X}ثم الخريطةص(x):=د(x،0){\displaystyle p(x):=d(x,0)}هي قيمة علىX{\displaystyle X}يُطلق عليها القيمة المرتبطة بـد{\displaystyle d}وعلاوة على ذلك،د{\displaystyle d}يُنشئ بنية مجموعة علىX{\displaystyle X}(أيد{\displaystyle d}-الطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}اصنعX{\displaystyle X}في مجموعة طوبولوجية). على العكس من ذلك، إذاص{\displaystyle p}هي قيمة علىX{\displaystyle X}ثم الخريطةد(x،y):=ص(x-y){\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}هو مقياس زائف ثابت تحت الإزاحة علىX{\displaystyle X}والقيمة المرتبطة بـد{\displaystyle d}هو مجردص.{\displaystyle p.}

المجموعات الطوبولوجية شبه القياسية

النظرية [ 2 ] — إذا(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كانت المجموعة الطوبولوجية جمعية تبادلية، فإن ما يلي متكافئ:

  1. τ{\displaystyle \tau }يتم تحفيزها بواسطة قياس زائف؛ (أي(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}قابل للقياس الزائف)؛
  2. τ{\displaystyle \tau }يتم استحداثها بواسطة مقياس زائف ثابت تحت الإزاحة؛
  3. عنصر الهوية في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}له أساس قابل للعد في الحي.

لو(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كانت المجموعة الطوبولوجية التبادلية من نوع هاوسدورف، فيمكن استبدال كلمة "شبه متري" في العبارة السابقة بكلمة "متري". تكون المجموعة الطوبولوجية التبادلية قابلة للقياس إذا وفقط إذا كانت من نوع هاوسدورف وقابلة للقياس شبه المتري.

مقياس زائف ثابت لا يُنشئ طوبولوجيا متجهة

يتركX{\displaystyle X}أن يكون أمراً غير تافه (أيX≠{0}{\displaystyle X\neq \{0\}}) فضاء متجهي حقيقي أو مركب، ولتكند{\displaystyle d}ليكن المقياس التافه الثابت تحت الإزاحة علىX{\displaystyle X}محدد بواسطةد(x،x)=0{\displaystyle d(x,x)=0}ود(x،y)=1 للجميع x،y∈X{\displaystyle d(x,y)=1{\text{ for all }}x,y\in X}بحيثx≠y.{\displaystyle x\neq y.} الطوبولوجياτ{\displaystyle \tau }الذي - التيد{\displaystyle d}يحفز علىX{\displaystyle X}هي الطوبولوجيا المنفصلة ، ​​مما يجعل(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إلى مجموعة طوبولوجية تبديلية تحت الجمع، لكنها لا تشكل طوبولوجيا متجهة علىX{\displaystyle X}لأن(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}غير متصل، لكن كل بنية متجهة متصلة. المشكلة تكمن في أن الضرب القياسي ليس مستمرًا على(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).}

يوضح هذا المثال أن المقياس (الزائف) الثابت تحت الترجمة لا يكفي لضمان طوبولوجيا المتجهات، مما يقودنا إلى تعريف المعايير الجزئية والمعايير الجزئية F.

المتتابعات المضافة

مجموعةشمال{\displaystyle {\mathcal {N}}}يُطلق على مجموعة جزئية من فضاء متجه اسم المجموعة الجمعية [ 5 ] إذا كان لكلشمال∈شمال،{\displaystyle N\in {\mathcal {N}},}يوجد بعضيو∈شمال{\displaystyle U\in {\mathcal {N}}}بحيثيو+يو⊆شمال.{\displaystyle U+U\subseteq N.}

استمرارية الجمع عند الصفر — إذا(X،+){\displaystyle (X,+)}هي مجموعة (كما هو الحال مع جميع الفضاءات المتجهة)،τ{\displaystyle \tau }هي طوبولوجيا علىX،{\displaystyle X,}وX×X{\displaystyle X\times X}إذا كانت مزودة بطوبولوجيا الضرب ، فإن خريطة الجمعX×X→X{\displaystyle X\times X\to X}(أي الخريطة)(x،y)↦x+y{\displaystyle (x,y)\mapsto x+y}) متصلة عند نقطة الأصلX×X{\displaystyle X\times X}إذا وفقط إذا كانت مجموعة جوارات الأصل في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}وهي إضافة. وتبقى هذه العبارة صحيحة إذا تم استبدال كلمة "neighborhood" بـ "open neighborhood". [ 5 ]

جميع الشروط المذكورة أعلاه ضرورية بالتالي لكي تُشكّل الطوبولوجيا طوبولوجيا متجهة. تتميز المتتاليات الجمعية للمجموعات بخاصية مميزة، وهي أنها تُعرّف دوالًا فرعية جمعية حقيقية مستمرة غير سالبة . يمكن استخدام هذه الدوال لإثبات العديد من الخصائص الأساسية للفضاءات المتجهة الطوبولوجية، وكذلك لإظهار أن فضاء هاوسدورف المتجهي ذي أساس قابل للعد من الجوارات قابل للقياس. تنطبق النظرية التالية بشكل أعم على الزمر الطوبولوجية الجمعية التبادلية .

نظرية — ليكنيو∙=(يوأنا)أنا=0∞{\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }}لتكن مجموعة من المجموعات الجزئية من فضاء متجهي بحيث0∈يوأنا{\displaystyle 0\in U_{i}}ويوأنا+1+يوأنا+1⊆يوأنا{\displaystyle U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}}للجميعأنا≥0.{\displaystyle i\geq 0.} للجميعu∈يو0،{\displaystyle u\in U_{0},}يترك S(u):={ن∙=(ن1،...،نك) : ك≥1،نأنا≥0 للجميع أنا، و u∈يون1+⋯+يونك}.{\displaystyle \mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.}

يُعرِّفو:X→[0،1]{\displaystyle f:X\to [0,1]}بواسطةو(x)=1{\displaystyle f(x)=1}لوx∉يو0{\displaystyle x\not \in U_{0}}وإلا فليكن و(x):=معلومات{2-ن1+⋯2-نك : ن∙=(ن1،...،نك)∈S(x)}.{\displaystyle f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.}

ثمو{\displaystyle f}هي شبه جمعية (بمعنىو(x+y)≤و(x)+و(y) للجميع x،y∈X{\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y){\text{ for all }}x,y\in X}) وو=0{\displaystyle f=0}على⋂أنا≥0يوأنا،{\displaystyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i},}لذلك على وجه الخصوصو(0)=0.{\displaystyle f(0)=0.} إذا كان كل شيءيوأنا{\displaystyle U_{i}}إذا كانت المجموعات متناظرةو(-x)=و(x){\displaystyle f(-x)=f(x)}وإذا كان كل شيءيوأنا{\displaystyle U_{i}}ثم تكون متوازنةو(sx)≤و(x){\displaystyle f(sx)\leq f(x)}لجميع الكميات القياسيةs{\displaystyle s}بحيث|s|≤1{\displaystyle |s|\leq 1}وكل شيءx∈X.{\displaystyle x\in X.} لوX{\displaystyle X}هو فضاء متجهي طوبولوجي، وإذا كان كليوأنا{\displaystyle U_{i}}هل الأحياء الأصلية إذنو{\displaystyle f}متصلة، حيث إذا بالإضافة إلى ذلكX{\displaystyle X}هو هاوسدورف ويو∙{\displaystyle U_{\bullet }}يشكل أساسًا للأحياء المتوازنة للأصل فيX{\displaystyle X}ثمد(x،y):=و(x-y){\displaystyle d(x,y):=f(x-y)}هو مقياس يحدد طوبولوجيا المتجهات علىX.{\displaystyle X.}

المعايير الخاصة

لوX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية أو المركبة، فإنّ المعيار شبه الطبيعي علىX{\displaystyle X}هو شبه معيار G (كما هو موضح أعلاه)ص:X→R{\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} }علىX{\displaystyle X}التي تستوفي أيًا من الشروط الإضافية التالية، والتي يبدأ كل منها بـ "لجميع المتتاليات"x∙=(xأنا)أنا=1∞{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}فيX{\displaystyle X}وجميع المتتاليات المتقاربة من الكميات العدديةs∙=(sأنا)أنا=1∞{\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}[ 6 ]​

  1. استمرارية الضرب : إذاs{\displaystyle s}هو كمية قياسية وx∈X{\displaystyle x\in X}هي من النوع الذيص(xأنا-x)→0{\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}وs∙→s،{\displaystyle s_{\bullet }\to s,}ثمص(sأناxأنا-sx)→0.{\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}-sx\right)\to 0.}
  2. كلا الشرطين:
    • لوs∙→0{\displaystyle s_{\bullet }\to 0}وإذاx∈X{\displaystyle x\in X}بحيثص(xأنا-x)→0{\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}ثمص(sأناxأنا)→0{\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}؛
    • لوص(x∙)→0{\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}ثمص(sxأنا)→0{\displaystyle p\left(sx_{i}\right)\to 0}لكل عدد قياسيs.{\displaystyle s.}
  3. كلا الشرطين:
    • لوص(x∙)→0{\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}وs∙→s{\displaystyle s_{\bullet }\to s}بالنسبة لبعض الكميات القياسيةs{\displaystyle s}ثمص(sأناxأنا)→0{\displaystyle p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0}؛
    • لوs∙→0{\displaystyle s_{\bullet }\to 0}ثمص(sأناx)→0 للجميع x∈X.{\displaystyle p\left(s_{i}x\right)\to 0{\text{ for all }}x\in X.}
  4. استمرارية منفصلة : [ 7 ]
    • لوs∙→s{\displaystyle s_{\bullet }\to s}بالنسبة لبعض الكميات القياسيةs{\displaystyle s}ثمص(sxأنا-sx)→0{\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}لكلx∈X{\displaystyle x\in X}؛
    • لوs{\displaystyle s}هو كمية قياسية،x∈X،{\displaystyle x\in X,}وص(xأنا-x)→0{\displaystyle p\left(x_{i}-x\right)\to 0}ثمص(sxأنا-sx)→0{\displaystyle p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0}.

يُطلق على المعيار الفائق اسم المعيار الكلي إذا كان يحقق بالإضافة إلى ذلك ما يلي:

  • المجموع / إيجابي مؤكد :ص(x)=0{\displaystyle p(x)=0}يشير إلىx=0.{\displaystyle x=0.}

خصائص المعايير الموازية

لوص{\displaystyle p}هو معيار شبهي على فضاء متجهيX{\displaystyle X}ثم الخريطةد:X×X→R{\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }محدد بواسطةد(x،y):=ص(x-y){\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}هو مقياس زائف ثابت تحت الإزاحة علىX{\displaystyle X}ذلك يحدد طوبولوجيا متجهة علىX.{\displaystyle X.}[ 8 ]

لوص{\displaystyle p}هو معيار شبهي على فضاء متجهيX{\displaystyle X}ثم:

  • المجموعة{x∈X:ص(x)=0}{\displaystyle \{x\in X:p(x)=0\}}هو فضاء متجهي جزئي منX.{\displaystyle X.}[ 8 ]
  • ص(x+ن)=ص(x) للجميع x،ن∈X{\displaystyle p(x+n)=p(x){\text{ for all }}x,n\in X}معص(ن)=0.{\displaystyle p(n)=0.}[ 8 ]
  • إذا كان الأمر غير طبيعيص{\displaystyle p}يرضيص(sx)≤|s|ص(x) للجميع x∈X{\displaystyle p(sx)\leq |s|p(x){\text{ for all }}x\in X}والكميات القياسيةs،{\displaystyle s,}ثمص{\displaystyle p}التجانس المطلق (أي أن المساواة قائمة) [ 8 ] وبالتاليص{\displaystyle p}هو شبه معيار .

أمثلة على المعايير غير الطبيعية

  • لود{\displaystyle d}هو مقياس زائف ثابت تحت الإزاحة على فضاء متجهيX{\displaystyle X}وهذا يؤدي إلى طوبولوجيا متجهةτ{\displaystyle \tau }علىX{\displaystyle X}(أي(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}(إذا كان جهاز تلفزيون) ثم الخريطةص(x):=د(x-y،0){\displaystyle p(x):=d(x-y,0)}يُعرّف معيارًا شبه متصل على(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}علاوة على ذلك، فإن البنية الطوبولوجية التي تمثلها هذه الظاهرة الخارقةص{\displaystyle p}يُعرّف فيX{\displaystyle X}يكونτ.{\displaystyle \tau .}[ 8 ]
  • لوص{\displaystyle p}هو ظاهرة غير طبيعية علىX{\displaystyle X}إذن، كذلك هي الخريطةq(x):=ص(x)/[1+ص(x)].{\displaystyle q(x):=p(x)/[1+p(x)].}[ 8 ]
  • كل مضاعف قياسي موجب لمعيار شبهي (على التوالي المعيار شبه الكلي) هو مرة أخرى معيار شبهي (على التوالي المعيار شبه الكلي).
  • كل شبه معيار هو معيار خارق. [ 8 ]
  • إن تقييد معيار شبهي (أو معيار شبهي كلي) على فضاء متجهي جزئي هو معيار شبهي (أو معيار شبهي كلي). [ 9 ]
  • مجموع معيارين شبهيين هو معيار شبهي. [ 8 ]
  • لوص{\displaystyle p}وq{\displaystyle q}المعايير البارامترية علىX{\displaystyle X}إذن كذلك(ص∧q)(x):=معلومات{ص(y)+q(z):x=y+z مع y،z∈X}.{\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}.}علاوة على ذلك،(ص∧q)≤ص{\displaystyle (p\wedge q)\leq p}و(ص∧q)≤q.{\displaystyle (p\wedge q)\leq q.}وهذا يجعل مجموعة المعايير البارامترية علىX{\displaystyle X}إلى شبكة مكتملة شرطيًا . [ 8 ]
  • كل من الخرائط ذات القيم الحقيقية التالية هي معايير شبهية علىX:=R2{\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}:
    • (x،y)↦|x|{\displaystyle (x,y)\mapsto |x|}
    • (x،y)↦|x|+|y|{\displaystyle (x,y)\mapsto |x|+|y|}
  • الخرائط ذات القيم الحقيقية(x،y)↦|x2-y2|{\displaystyle (x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}}و(x،y)↦|x2-y2|3/2{\displaystyle (x,y)\mapsto \left|x^{2}-y^{2}\right|^{3/2}}ليست معايير بارامورX:=R2.{\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}[ 8 ]
  • لوx∙=(xأنا)أنا∈أنا{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}هي أساس هامل على فضاء متجهيX{\displaystyle X}ثم الخريطة ذات القيم الحقيقية التي ترسلx=∑أنا∈أناsأناxأنا∈X{\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}(حيث جميع الكميات القياسية تقريبًا)sأنا{\displaystyle s_{i}}هي 0) إلى∑أنا∈أنا|sأنا|{\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}}هو ظاهرة غير طبيعية علىX،{\displaystyle X,}وهو ما يرضيص(sx)=|s|ص(x){\displaystyle p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}والكميات القياسيةs.{\displaystyle s.}[ 8 ]
  • الوظيفةص(x):=|الخطيئة⁡(πx)|+مين{2،|x|}{\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}}هو ظاهرة غير طبيعية علىR{\displaystyle \mathbb {R} }هذا ليس متوازناً ولكنه مع ذلك يعادل المعيار المعتاد فيR.{\displaystyle R.}لاحظ أن الدالةx↦|الخطيئة⁡(πx)|{\displaystyle x\mapsto |\sin(\pi x)|}هو شبه إضافي. [ 10 ]
  • يتركXج{\displaystyle X_{\mathbb {C} }}ليكن فضاء متجهي معقد ولتكنXR{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}دلXج{\displaystyle X_{\mathbb {C} }}باعتبارها فضاءً متجهيًا علىR.{\displaystyle \mathbb {R} .}أي ظاهرة غير طبيعية علىXج{\displaystyle X_{\mathbb {C} }}وهو أيضاً ظاهرة غير طبيعية فيXR.{\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}[ 9 ]

المعايير الفرعية F

لوX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية أو المركبة، فإن شبه معيار F علىX{\displaystyle X}(الF{\displaystyle F}(اختصار لـ Fréchet ) هي خريطة ذات قيم حقيقيةص:X→R{\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }مع الخصائص الأربع التالية: [ 11 ]

  1. غير سالب :ص≥0.{\displaystyle p\geq 0.}
  2. المضاف الفرعي :ص(x+y)≤ص(x)+ص(y){\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}للجميعx،y∈X{\displaystyle x,y\in X}
  3. متوازن :ص(أx)≤ص(x){\displaystyle p(ax)\leq p(x)}لx∈X{\displaystyle x\in X}جميع الكميات القياسيةأ{\displaystyle a}مُرضٍ|أ|≤1؛{\displaystyle |a|\leq 1;}
    • يضمن هذا الشرط أن كل مجموعة من الشكل{z∈X:ص(z)≤ر}{\displaystyle \{z\in X:p(z)\leq r\}}أو{z∈X:ص(z)<ر}{\displaystyle \{z\in X:p(z)<r\}}بالنسبة للبعضر≥0{\displaystyle r\geq 0}هي مجموعة متوازنة .
  4. لكلx∈X،{\displaystyle x\in X,}ص(1نx)→0{\displaystyle p\left({\tfrac {1}{n}}x\right)\to 0}مثلن→∞{\displaystyle n\to \infty }
    • التسلسل(1ن)ن=1∞{\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}يمكن استبدالها بأي متتالية موجبة تتقارب إلى الصفر. [ 12 ]

يُطلق على شبه المعيار F اسم معيار F إذا كان يحقق بالإضافة إلى ذلك ما يلي:

  1. المجموع / إيجابي مؤكد :ص(x)=0{\displaystyle p(x)=0}يشير إلىx=0.{\displaystyle x=0.}

يُطلق على شبه المعيار F اسم رتيب إذا كان يحقق ما يلي :

  1. أحادي النبرة :ص(رx)<ص(sx){\displaystyle p(rx)<p(sx)}لجميع القيم غير الصفريةx∈X{\displaystyle x\in X}وكلها حقيقيةs{\displaystyle s}وت{\displaystyle t}بحيثs<ت.{\displaystyle s<t.}[ 12 ]

الفضاءات شبه المتماثلة F

الفضاء شبه المعياري F (أو الفضاء المعياري F ) [ 12 ] هو زوج(X،ص){\displaystyle (X,p)}يتكون من فضاء متجهيX{\displaystyle X}و F- شبه معيار (على التوالي F- معيار)ص{\displaystyle p}علىX.{\displaystyle X.}

لو(X،ص){\displaystyle (X,p)}و(Z،q){\displaystyle (Z,q)}إذا كانت الفضاءات شبه المعيارية F، فإن الخريطةو:X→Z{\displaystyle f:X\to Z}يُطلق عليه اسم التضمين المتساوي القياس [ 12 ] إذاq(و(x)-و(y))=ص(x،y) للجميع x،y∈X.{\displaystyle q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ for all }}x,y\in X.}

كل تضمين متساوي القياس لفضاء شبه معياري من النوع F في فضاء آخر هو تضمين طوبولوجي ، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. [ 12 ]

أمثلة على شبه المعايير F

  • كل مضاعف قياسي موجب لـ F- شبه معيار (على التوالي F- معيار، شبه معيار) هو مرة أخرى F- شبه معيار (على التوالي F- معيار، شبه معيار).
  • إن مجموع عدد محدود من المعايير الجزئية F (على التوالي المعايير F ) هو معيار جزئي F (على التوالي المعيار F ).
  • لوص{\displaystyle p}وq{\displaystyle q}المعايير شبه F علىX{\displaystyle X}إذن، كذلك يكون تفوقهم النقطيx↦رشفة{ص(x)،q(x)}.{\displaystyle x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.}وينطبق الأمر نفسه على القيمة العليا لأي عائلة منتهية غير فارغة من شبه المعايير F علىX.{\displaystyle X.}[ 12 ]
  • إن تقييد شبه المعيار F (أو المعيار F ) على فضاء متجهي جزئي هو شبه معيار F (أو المعيار F ). [ 9 ]
  • دالة حقيقية غير سالبة علىX{\displaystyle X}تكون شبه معيار إذا وفقط إذا كانت شبه معيار محدبة من النوع F ، أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا كانت شبه معيار محدبة متوازنة من النوع G. [ 10 ] على وجه الخصوص، كل شبه معيار هو شبه معيار من النوع F.
  • لأي0<ص<1،{\displaystyle 0<p<1,}الخريطةو{\displaystyle f}علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}محدد بواسطة [و(x1،...،xن)]ص=|x1|ص+⋯|xن|ص{\displaystyle [f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left|x_{n}\right|^{p}} هو معيار F ليس معيارًا.
  • لول:X→Y{\displaystyle L:X\to Y}هي دالة خطية، وإذاq{\displaystyle q}هو معيار FY،{\displaystyle Y,}ثمq∘ل{\displaystyle q\circ L}هو معيار FX.{\displaystyle X.}[ 12 ]
  • يتركXج{\displaystyle X_{\mathbb {C} }}ليكن فضاء متجهي معقد ولتكنXR{\displaystyle X_{\mathbb {R} }}دلXج{\displaystyle X_{\mathbb {C} }}باعتبارها فضاءً متجهيًا علىR.{\displaystyle \mathbb {R} .}أي معيار F فيXج{\displaystyle X_{\mathbb {C} }}وهو أيضًا معيار FXR.{\displaystyle X_{\mathbb {R} }.}[ 9 ]

خصائص شبه المعايير F

كل شبه معيار F هو معيار شبهي، وكل معيار شبهي مكافئ لبعض شبه المعايير F. [ 7 ] كل شبه معيار F على فضاء متجهيX{\displaystyle X}هي قيمة علىX.{\displaystyle X.}بخاصة،ص(x)=0،{\displaystyle p(x)=0,}وص(x)=ص(-x){\displaystyle p(x)=p(-x)}للجميعx∈X.{\displaystyle x\in X.}

الطوبولوجيا الناتجة عن شبه معيار F واحد

النظرية [ 11 ] — ليكنص{\displaystyle p}ليكن F شبه معيار على فضاء متجهيX.{\displaystyle X.} ثم الخريطةد:X×X→R{\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }محدد بواسطة د(x،y):=ص(x-y){\displaystyle d(x,y):=p(x-y)} هو مقياس زائف ثابت تحت الإزاحة علىX{\displaystyle X}ذلك يحدد طوبولوجيا متجهةτ{\displaystyle \tau }علىX.{\displaystyle X.} لوص{\displaystyle p}إذا كان معيار Fد{\displaystyle d}هو مقياس. عندماX{\displaystyle X}إذا كانت تتمتع بهذه البنية الطوبولوجيةص{\displaystyle p}هي خريطة متصلة علىX.{\displaystyle X.}

المجموعات المتوازنة{x∈X : ص(x)≤ر}،{\displaystyle \{x\in X~:~p(x)\leq r\},}مثلر{\displaystyle r}تشكل النطاقات على الأعداد الحقيقية الموجبة أساسًا للجوار عند نقطة الأصل لهذه الطوبولوجيا التي تتكون من مجموعة مغلقة. وبالمثل، فإن المجموعات المتوازنة{x∈X : ص(x)<ر}،{\displaystyle \{x\in X~:~p(x)<r\},}مثلر{\displaystyle r}تشكل النطاقات على الأعداد الحقيقية الموجبة أساسًا للجوار عند نقطة الأصل لهذه الطوبولوجيا التي تتكون من مجموعات مفتوحة.

الطوبولوجيا المستحثة بواسطة مجموعة من شبه المعايير F

لنفترض أنل{\displaystyle {\mathcal {L}}}هي مجموعة غير فارغة من شبه المعايير F على فضاء متجهيX{\displaystyle X}ولأي مجموعة جزئية منتهيةF⊆ل{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}}}وأير>0،{\displaystyle r>0,}يترك يوF،ر:=⋂ص∈F{x∈X:ص(x)<ر}.{\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.}

المجموعة{يوF،ر : ر>0،F⊆ل،F محدود }{\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}}يشكل أساسًا للتصفيةX{\displaystyle X}يشكل ذلك أيضًا أساسًا للجوار عند نقطة الأصل لطوبولوجيا متجهة علىX{\displaystyle X}يرمز إليه بـτل.{\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}.}[ 12 ] لكليوF،ر{\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r}}هي مجموعة فرعية متوازنة وجذابة منX.{\displaystyle X.}[ 12 ] تحقق هذه المجموعات [ 12 ]يوF،ر/2+يوF،ر/2⊆يوF،ر.{\displaystyle U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.}

  • τل{\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}هي أدق بنية متجهة علىX{\displaystyle X}اصنع كلص∈ل{\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}مستمر. [ 12 ]
  • τل{\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}}تكون هاوسدورف إذا وفقط إذا كان لكل قيمة غير صفريةx∈X،{\displaystyle x\in X,}يوجد بعضص∈ل{\displaystyle p\in {\mathcal {L}}}بحيثص(x)>0.{\displaystyle p(x)>0.}[ 12 ]
  • لوF{\displaystyle {\mathcal {F}}}هي مجموعة جميع المعايير شبه F المستمرة على(X،τل){\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)}ثمτل=τF.{\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}[ 12 ]
  • لوF{\displaystyle {\mathcal {F}}}هي مجموعة جميع القيم العليا النقطية للمجموعات الجزئية المنتهية غير الفارغة منF{\displaystyle {\mathcal {F}}}لل{\displaystyle {\mathcal {L}}}ثمF{\displaystyle {\mathcal {F}}}هي عائلة موجهة من شبه المعايير F وτل=τF.{\displaystyle \tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.}[ 12 ]

مزيج فريشيه

لنفترض أنص∙=(صأنا)أنا=1∞{\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}هي عائلة من الدوال الفرعية الجمعية غير السالبة على فضاء متجهيX.{\displaystyle X.}

تركيبة فريشيه [ 8 ] منص∙{\displaystyle p_{\bullet }}يُعرَّف بأنه الخريطة ذات القيم الحقيقية ص(x):=∑أنا=1∞صأنا(x)2أنا[1+صأنا(x)].{\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {p_{i}(x)}{2^{i}\left[1+p_{i}(x)\right]}}.}

كـ F -seminorm

افترض أنص∙=(صأنا)أنا=1∞{\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}هي سلسلة متزايدة من المعايير شبهية علىX{\displaystyle X}ودعص{\displaystyle p}يكون مزيج فريشيه منص∙.{\displaystyle p_{\bullet }.} ثمص{\displaystyle p}هو معيار FX{\displaystyle X}وهذا يؤدي إلى نفس الطوبولوجيا المحدبة محليًا مثل العائلةص∙{\displaystyle p_{\bullet }}من المعايير شبهية. [ 13 ]

منذص∙=(صأنا)أنا=1∞{\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}مع ازديادها، تتكون قاعدة الجوار المفتوح للأصل من جميع المجموعات التي على شكل{x∈X : صأنا(x)<ر}{\displaystyle \left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\}}مثلأنا{\displaystyle i}نطاقات على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة ور>0{\displaystyle r>0}نطاقات على جميع الأعداد الحقيقية الموجبة.

المقياس الزائف الثابت تحت الإزاحة علىX{\displaystyle X}ناتج عن هذا المعيار Fص{\displaystyle p}يكون د(x،y)=∑أنا=1∞12أناصأنا(x-y)1+صأنا(x-y).{\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(x-y)}{1+p_{i}(x-y)}}.}

اكتشف فريشيه هذا المقياس في أطروحته عام 1906 لفضاءات المتتاليات الحقيقية والمركبة ذات العمليات النقطية. [ 14 ]

كظاهرة خارقة للطبيعة

إذا كان كلصأنا{\displaystyle p_{i}}إذا كان الأمر غير طبيعي، فكذلكص{\displaystyle p}وعلاوة على ذلك،ص{\displaystyle p}يُحدث نفس التكوين الطوبولوجي علىX{\displaystyle X}كعائلةص∙{\displaystyle p_{\bullet }}من المعايير الفوقية. [ 8 ] وينطبق هذا أيضًا على المعايير الفوقية التالية علىX{\displaystyle X}:

  • q(x):=معلومات{∑أنا=1نصأنا(x)+1ن : ن>0 هو عدد صحيح }.{\displaystyle q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~:~n>0{\text{ is an integer }}\right\}.}[ 8 ]
  • ر(x):=∑ن=1∞مين{12ن،صن(x)}.{\displaystyle r(x):=\sum _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x)\right\}.}[ 8 ]

تعميم

يمكن تعميم تركيبة فريشيه باستخدام دالة إعادة قياس محدودة.

أدالة إعادة القياس المحدودة [ 15 ] هي دالة متصلة غير سالبة وغير متناقصةR:[0،∞)→[0،∞){\displaystyle R:[0,\infty )\to [0,\infty )}التي لها نطاق محدود، تكون شبه جمعية (بمعنى أن R(s+ت)≤R(s)+R(ت){\displaystyle R(s+t)\leq R(s)+R(t)}للجميعs،ت≥0{\displaystyle s,t\geq 0}، ويرضيR(s)=0{\displaystyle R(s)=0}إذا وفقط إذاs=0.{\displaystyle s=0.}

تتضمن أمثلة دوال إعادة القياس المحدودة ما يلي:دالة الظل العكسي⁡ت،{\displaystyle \arctan t,}tanh⁡ت،{\displaystyle \tanh t,}ت↦مين{ت،1}،{\displaystyle t\mapsto \min\{t,1\},}وت↦ت1+ت.{\displaystyle t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.}[ 15 ] إذاد{\displaystyle d}هو مقياس زائف (على التوالي، مقياس) علىX{\displaystyle X}وR{\displaystyle R}إذا كانت دالة إعادة قياس محدودةR∘د{\displaystyle R\circ d}هي مقياس زائف محدود (أو مقياس محدود) علىX{\displaystyle X}وهذا يعادل بشكل موحدد.{\displaystyle d.}[ 15 ]

لنفترض أنص∙=(صأنا)أنا=1∞{\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}هي عائلة من المعايير الجزئية غير السالبة F على فضاء متجهيX،{\displaystyle X,}R{\displaystyle R}هي دالة إعادة قياس محدودة، ور∙=(رأنا)أنا=1∞{\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}هي متتالية من الأعداد الحقيقية الموجبة التي يكون مجموعها منتهيًا. إذن ص(x):=∑أنا=1∞رأناR(صأنا(x)){\displaystyle p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}R\left(p_{i}(x)\right)} يُعرّف معيارًا شبهيًا محدودًا من النوع F وهو مكافئ بشكل منتظم لـص∙.{\displaystyle p_{\bullet }.}[ 16 ] لها الخاصية التي تنص على أنه لأي شبكةx∙=(xأ)أ∈أ{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}فيX،{\displaystyle X,}ص(x∙)→0{\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}إذا وفقط إذاصأنا(x∙)→0{\displaystyle p_{i}\left(x_{\bullet }\right)\to 0}للجميعأنا.{\displaystyle i.}[ 16 ]ص{\displaystyle p}تكون قيمة F -norm إذا وفقط إذا كانتص∙{\displaystyle p_{\bullet }}نقاط منفصلة حولX.{\displaystyle X.}[ 16 ]

الخصائص

من المقاييس (الزائفة) المستحثة بواسطة المعايير (شبه)

مقياس زائف (أو مقياس)د{\displaystyle d}يتم استنباطها بواسطة شبه معيار (أو معيار) على فضاء متجهيX{\displaystyle X}إذا وفقط إذاد{\displaystyle d}هي ثابتة تحت الإزاحة ومتجانسة تمامًا ، مما يعني أنه بالنسبة لجميع الكميات العدديةs{\displaystyle s}وكل شيءx،y∈X،{\displaystyle x,y\in X,}وفي هذه الحالة، تكون الدالة المحددة بواسطةص(x):=د(x،0){\displaystyle p(x):=d(x,0)}هو شبه معيار (أو معيار) والمقياس الزائف (أو المقياس) الناتج عنص{\displaystyle p}يساويد.{\displaystyle d.}

من TVS القابلة للقياس الكاذب

لو(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}هو فضاء متجهي طوبولوجي (TVS) (لاحظ على وجه الخصوص أنτ{\displaystyle \tau }إذا افترضنا أن (طوبولوجيا متجهة) فإن ما يلي متكافئ: [ 11 ]

  1. X{\displaystyle X}قابلة للقياس الزائف (أي طوبولوجيا المتجهات)τ{\displaystyle \tau }يتم تحفيزها بواسطة قياس زائف علىX{\displaystyle X}).
  2. X{\displaystyle X}يحتوي على قاعدة جوار قابلة للعد عند نقطة الأصل.
  3. الطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}يتم استحداثها بواسطة مقياس زائف ثابت تحت الإزاحة علىX.{\displaystyle X.}
  4. الطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}يتم تحفيزها بواسطة شبه معيار F.
  5. الطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}يتم تحفيزه بواسطة حالة غير طبيعية.

من أجهزة التلفزيون القابلة للقياس

لو(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كان جهاز TVS، فإن ما يلي يُعتبر متكافئاً:

  1. X{\displaystyle X}قابل للقياس.
  2. X{\displaystyle X}هو هاوسدورف وقابل للقياس الزائف.
  3. X{\displaystyle X}هي هاوسدورف ولها قاعدة جوار قابلة للعد عند نقطة الأصل. [ 11 ] [ 12 ]
  4. الطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}يتم استنباطها بواسطة مقياس ثابت تحت الإزاحة علىX.{\displaystyle X.}[ 11 ]
  5. الطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}يتم استحداثها بواسطة معيار F. [ 11 ] [ 12 ]
  6. الطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}يتم تحفيزها بواسطة معيار F رتيب . [ 12 ]
  7. الطوبولوجيا علىX{\displaystyle X}يتم تحفيزها بواسطة حالة شاذة كاملة.

نظرية بيركوف-كاكوتاني – إذا(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كانت فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا، فإن الشروط الثلاثة التالية متكافئة: [ 17 ] [ ملاحظة 1 ]

  1. الأصل{0}{\displaystyle \{0\}}مغلق فيX،{\displaystyle X,}وهناك أساس قابل للعد للأحياء لـ0{\displaystyle 0}فيX.{\displaystyle X.}
  2. (X،τ){\displaystyle (X,\tau )}قابل للقياس (كفضاء طوبولوجي).
  3. يوجد مقياس ثابت تحت الإزاحة علىX{\displaystyle X}ذلك يحفزX{\displaystyle X}الطوبولوجياτ،{\displaystyle \tau ,}وهي الطوبولوجيا المعطاة علىX.{\displaystyle X.}

وبحسب نظرية بيركوف-كاكتاني، يترتب على ذلك وجود مقياس مكافئ غير متغير تحت الإزاحة.

من TVS المحدبة محليًا والقابلة للقياس الزائف

لو(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إذا كان TVS فإن ما يلي متكافئ: [ 13 ]

  1. X{\displaystyle X}محدب محليًا وقابل للقياس الزائف.
  2. X{\displaystyle X}تحتوي على قاعدة جوار قابلة للعد عند نقطة الأصل تتكون من مجموعات محدبة.
  3. طوبولوجياX{\displaystyle X}يتم استنباطها بواسطة عائلة قابلة للعد من المعايير شبه (المستمرة).
  4. طوبولوجياX{\displaystyle X}يتم استحداثها بواسطة سلسلة متزايدة قابلة للعد من المعايير شبهية (المستمرة).(صأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}(الزيادة تعني أنه بالنسبة للجميعأنا،{\displaystyle i,}صأنا≥صأنا+1.{\displaystyle p_{i}\geq p_{i+1}.}
  5. طوبولوجياX{\displaystyle X}يتم استحداثها بواسطة شبه معيار F بالشكل التالي: ص(x)=∑ن=1∞2-ندالة الظل العكسي⁡صن(x){\displaystyle p(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatorname {arctan} p_{n}(x)} أين(صأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}هي شبه معايير (مستمرة) علىX.{\displaystyle X.}[ 18 ]

حاصل القسمة

يتركم{\displaystyle M}ليكن فضاءً متجهيًا جزئيًا من فضاء متجهي طوبولوجي(X،τ).{\displaystyle (X,\tau ).}

  • لوX{\displaystyle X}إذا كان جهاز TVS قابلاً للقياس الزائف، فإنه كذلكX/م.{\displaystyle X/M.}[ 11 ]
  • لوX{\displaystyle X}هو جهاز TVS قابل للقياس الزائف بشكل كامل وم{\displaystyle M}هو فضاء متجهي مغلق منX{\displaystyle X}ثمX/م{\displaystyle X/M}مكتمل. [ 11 ]
  • لوX{\displaystyle X}أجهزة تلفزيون قابلة للقياس وم{\displaystyle M}هو فضاء متجهي مغلق منX{\displaystyle X}ثمX/م{\displaystyle X/M}قابل للقياس. [ 11 ]
  • لوص{\displaystyle p}هو معيار FX،{\displaystyle X,}ثم الخريطةP:X/م→R{\displaystyle P:X/M\to \mathbb {R} }محدد بواسطة P(x+م):=معلومات{ص(x+م):م∈م}{\displaystyle P(x+M):=\inf _{}\{p(x+m):m\in M\}} هو معيار FX/م{\displaystyle X/M}وهذا يؤدي إلى طوبولوجيا القسمة المعتادة علىX/م.{\displaystyle X/M.}[ 11 ] إذا بالإضافة إلى ذلكص{\displaystyle p}هو معيار FX{\displaystyle X}وإذام{\displaystyle M}هو فضاء متجهي مغلق منX{\displaystyle X}ثمP{\displaystyle P}هو معيار FX.{\displaystyle X.}[ 11 ]

أمثلة وشروط كافية

  • كل مساحة شبه معيارية(X،ص){\displaystyle (X,p)}قابلة للقياس الزائف باستخدام مقياس زائف معياري معطى بواسطةد(x،y):=ص(x-y){\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}للجميعx،y∈X.{\displaystyle x,y\in X.}[ 19 ] .
  • لو(X،د){\displaystyle (X,d)}هو TVS شبه متري مع شبه متري ثابت تحت الإزاحةد،{\displaystyle d,}ثمص(x):=د(x،0){\displaystyle p(x):=d(x,0)}يُعرّف معيارًا ظاهريًا. [ 20 ] ومع ذلك، إذاد{\displaystyle d}هو مقياس زائف ثابت تحت الإزاحة على الفضاء المتجهيX{\displaystyle X}(بدون شرط إضافي هو(X،د){\displaystyle (X,d)}إذا كان TVS شبه متري ، فإند{\displaystyle d}لا يشترط أن يكون معيارًا فرعيًا من النوع F [ 21 ] ولا معيارًا موازيًا.
  • إذا كان لـ TVS جوار محدود للأصل، فإنه يكون قابلاً للقياس الزائف؛ والعكس غير صحيح بشكل عام. [ 14 ]
  • إذا كان لـ Hausdorff TVS جوار محدود للأصل، فإنه يكون قابلاً للقياس. [ 14 ]
  • يفترضX{\displaystyle X}إما أن يكون فضاءً من نوع DF أو فضاءً من نوع LM . إذاX{\displaystyle X}إذا كانت مساحة متسلسلة، فهي إما قابلة للقياس أو مساحة مونتيل دي إف.

لوX{\displaystyle X}هل نظام هاوسدورف TVS محدب محليًا؟X{\displaystyle X}بفضل البنية الطوبولوجية القوية ،(X،ب(X،X′))،{\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right),}تكون قابلة للقياس إذا وفقط إذا وُجدت مجموعة قابلة للعدب{\displaystyle {\mathcal {B}}}من المجموعات الفرعية المحدودة منX{\displaystyle X}بحيث أن كل مجموعة جزئية محدودة منX{\displaystyle X}يحتوي على عنصر ما منب.{\displaystyle {\mathcal {B}}.}[ 22 ]

المساحة المزدوجة القويةXب′{\displaystyle X_{b}^{\prime }}للفضاء المحدب الموضعي القابل للقياس (مثل فضاء فريشيه [ 23 ] )X{\displaystyle X}هو فضاء DF . [ 24 ] الفضاء الثنائي القوي لفضاء DF هو فضاء فريشيه . [ 25 ] الفضاء الثنائي القوي لفضاء فريشيه انعكاسي هو فضاء بورنولوجي . [ 24 ] الفضاء الثنائي القوي (أي الفضاء الثنائي القوي للفضاء الثنائي القوي) لفضاء محدب محليًا قابل للقياس هو فضاء فريشيه. [ 26 ] إذاX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً قابلاً للقياس ومحدبًا محليًا، فإن ثنائيته القويةXب′{\displaystyle X_{b}^{\prime }}يمتلك إحدى الخصائص التالية، إذا وفقط إذا كان يمتلك جميع هذه الخصائص: (1) بورنولوجي ، (2) تحت البرميل ، (3) برميلي . [ 26 ]

قابلية التقييس

يكون الفضاء الشعاعي الطوبولوجي شبه معياري إذا وفقط إذا كان له جوار محدب ومحدود حول نقطة الأصل. علاوة على ذلك، يكون الفضاء الشعاعي الطوبولوجي معياريًا إذا وفقط إذا كان هاوسدورف وشبه معياري. [ 14 ] كل فضاء شعاعي طوبولوجي قابل للقياس على فضاء شعاعي محدود الأبعاد هو فضاء شعاعي طوبولوجي كامل محدب محليًا وقابل للقياس ، وهو متماثل مع الفضاء الإقليدي . بالتالي، أي فضاء شعاعي طوبولوجي قابل للقياس وغير معياري يجب أن يكون غير محدود الأبعاد.

لوم{\displaystyle M}إذا كانت مجموعة بيانات قابلة للقياس ومحدبة محليًا تمتلك نظامًا أساسيًا قابلًا للعد من المجموعات المحدودة، فإنم{\displaystyle M}قابل للتطبيع. [ 27 ]

لوX{\displaystyle X}إذا كانت فضاءات هاوسدورف محدبة محليًا، فإن ما يلي متكافئ:

  1. X{\displaystyle X}قابل للتطبيع .
  2. X{\displaystyle X}يمتلك جوارًا محدودًا (فون نيومان) للأصل.
  3. المساحة المزدوجة القويةXب′{\displaystyle X_{b}^{\prime }}لX{\displaystyle X}قابل للتطبيع. [ 28 ]

وإذا كان هذا الفضاء محدبًا محليًاX{\displaystyle X}وإذا كان قابلاً للقياس أيضاً، فيمكن إضافة ما يلي إلى هذه القائمة:

  1. الفضاء المزدوج القوي لـX{\displaystyle X}قابل للقياس. [ 28 ]
  2. الفضاء المزدوج القوي لـX{\displaystyle X}هو فضاء محدب محليًا من نوع فريشيه-أوريسون . [ 23 ]

على وجه الخصوص، إذا كان الفضاء قابلاً للقياس ومحدبًا محليًاX{\displaystyle X}إذا لم يكن فضاء (مثل فضاء فريشيه ) قابلاً للتطبيع، فإن فضاءه الثنائي القويXب′{\displaystyle X_{b}^{\prime }}ليس فضاء فريشيه-أوريسون، وبالتالي، فإن هذا الفضاء الكامل هاوسدورف محدب محليًاXب′{\displaystyle X_{b}^{\prime }}كما أنه ليس قابلاً للقياس ولا قابلاً للتطبيع.

ومن النتائج الأخرى لذلك أنه إذاX{\displaystyle X}هو نظام TVS انعكاسي محدب محليًا وثنائي قويXب′{\displaystyle X_{b}^{\prime }}قابل للقياس إذنXب′{\displaystyle X_{b}^{\prime }}هو بالضرورة فضاء فريشيه انعكاسي،X{\displaystyle X}هو فضاء DF ، كلاهماX{\displaystyle X}وXب′{\displaystyle X_{b}^{\prime }}هي بالضرورة مساحات شبكية مميزة فائقة الدقة من نوع هاوسدورف ، وعلاوة على ذلك،Xب′{\displaystyle X_{b}^{\prime }}يكون قابلاً للتطبيع إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}يكون قابلاً للتطبيع إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}تكون نظرية فريشيه-أوريسون صحيحة إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}يمكن قياسها. وعلى وجه الخصوص، مثل هذه المساحةX{\displaystyle X}إما أن يكون فضاء باناخ أو أنه ليس حتى فضاء فريشيه-أوريسون.

المجموعات المحدودة متريًا والمجموعات المحدودة

لنفترض أن(X،د){\displaystyle (X,d)}هو فضاء شبه متري وب⊆X.{\displaystyle B\subseteq X.} المجموعةب{\displaystyle B}محدود متريًا أود{\displaystyle d}-محدود إذا وُجد عدد حقيقيR>0{\displaystyle R>0}بحيثد(x،y)≤R{\displaystyle d(x,y)\leq R}للجميعx،y∈ب{\displaystyle x,y\in B}أصغرهاR{\displaystyle R}ويسمى حينها القطر أود{\displaystyle d}-قطر​ب.{\displaystyle B.}[ 14 ] إذاب{\displaystyle B}محصور في TVS قابل للقياس الزائفX{\displaystyle X}عندئذٍ تكون محدودة متريًا؛ والعكس خاطئ بشكل عام ولكنه صحيح بالنسبة لأنظمة TVS القابلة للقياس محليًا والمحدبة . [ 14 ]

خصائص TVS القابلة للقياس الزائف

النظرية [ 29 ] — جميع TVS القابلة للفصل والقياس الكاملة ذات الأبعاد اللانهائية هي متماثلة .

  • كل فضاء TVS قابل للقياس محليًا ومحدب هو فضاء شبه برميلي ، [ 30 ] فضاء بورنولوجي ، وفضاء ماكي .
  • كل فضاء بارامتري زائف كامل هو فضاء أسطواني وفضاء باير (وبالتالي غير ضئيل). [ 31 ] ومع ذلك، توجد فضاءات باير مترية غير كاملة . [ 31 ]
  • لوX{\displaystyle X}إذا كان فضاءً قابلاً للقياس ومحدبًا محليًا، فإن الثنائي القوي لـX{\displaystyle X}يُعتبر بورنولوجيًا إذا وفقط إذا كان برميليًا ، وإذا وفقط إذا كان تحت البرميل . [ 26 ]
  • لوX{\displaystyle X}هو جهاز TVS قابل للقياس الزائف بشكل كامل وم{\displaystyle M}هو فضاء متجهي مغلق منX،{\displaystyle X,}ثمX/م{\displaystyle X/M}مكتمل. [ 11 ]
  • الفضاء الثنائي القوي لفضاء TVS المحدب محليًا والقابل للقياس هو فضاء شبكي . [ 32 ]
  • لو(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}و(X،ν){\displaystyle (X,\nu )}هي فضاءات تلفزيونية كاملة قابلة للقياس (أي فضاءات F ) وإذاν{\displaystyle \nu }أكثر خشونة منτ{\displaystyle \tau }ثمτ=ν{\displaystyle \tau =\nu }[ 33 ] لم يعد هذا الأمر مضمونًا إذا لم يكن أيٌّ من هذه الأنظمة القابلة للقياس كاملاً. [ 34 ] بعبارة أخرى، إذا(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}و(X،ν){\displaystyle (X,\nu )}إذا كان كلاهما فضاءات F ولكن بطوبولوجيات مختلفة، فلا يمكن لأي منهماτ{\displaystyle \tau }وν{\displaystyle \nu }يحتوي على الآخر كمجموعة فرعية. ومن النتائج المترتبة على ذلك، على سبيل المثال، أنه إذا(X،ص){\displaystyle (X,p)}هو فضاء باناش و(X،q){\displaystyle (X,q)}هي فضاء معياري آخر تكون طوبولوجيته المستحثة بالمعيار أدق من (أو بدلاً من ذلك، تكون أغلظ من) طوبولوجيا الفضاء المعياري.(X،ص){\displaystyle (X,p)}(أي إذا)ص≤جq{\displaystyle p\leq Cq}أو إذاq≤جص{\displaystyle q\leq Cp}لبعض الثوابتج>0{\displaystyle C>0}ثم إن الطريقة الوحيدة هي(X،q){\displaystyle (X,q)}يمكن أن يكون فضاء باناخ (أي أن يكون كاملاً أيضاً) إذا كان هذان المعيارانص{\displaystyle p}وq{\displaystyle q}متكافئتان ؛ إذا لم تكونا متكافئتين، فإن(X،q){\displaystyle (X,q)}لا يمكن أن يكون فضاء باناخ. ونتيجة أخرى، إذا(X،ص){\displaystyle (X,p)}هو فضاء باناش و(X،ν){\displaystyle (X,\nu )}إذا كان فضاء فريشيه ، فإن الخريطةص:(X،ν)→R{\displaystyle p:(X,\nu )\to \mathbb {R} }تكون متصلة إذا وفقط إذا كان فضاء فريشيه(X،ν){\displaystyle (X,\nu )}هل TVS(X،ص){\displaystyle (X,p)}(هنا، فضاء باناش)(X،ص){\displaystyle (X,p)}يتم اعتبارها TVS، مما يعني أن معيارها " منسي " ولكن يتم تذكر بنيتها الطوبولوجية).
  • يكون الفضاء المحدب محليًا والقابل للقياس قابلًا للتطبيع إذا وفقط إذا كان فضاؤه الثنائي القوي فضاءً محدبًا محليًا من نوع فريشيه-أوريسون . [ 23 ]
  • أي منتج من TVSs كاملة قابلة للقياس هو فضاء باير . [ 31 ]
  • يكون ناتج وحدات TVS القابلة للقياس قابلاً للقياس إذا وفقط إذا كان لكل من هذه الوحدات، باستثناء عدد قليل منها على الأكثر، بُعدٌ.0.{\displaystyle 0.}[ 35 ]
  • يكون ناتج TVSs شبه قابل للقياس شبه قابل للقياس إذا وفقط إذا كان لكل TVSs باستثناء عدد قليل منها على الأكثر طوبولوجيا تافهة.
  • كل فضاء تلفزيوني كامل شبه متري هو فضاء أسطواني وفضاء باير (وبالتالي غير ضئيل). [ 31 ]
  • يكون بُعد نظام TVS الكامل القابل للقياس إما محدودًا أو غير قابل للعد. [ 35 ]

اكتمال

كل فضاء متجهي طوبولوجي (وبشكل أعم، مجموعة طوبولوجية ) له بنية منتظمة قياسية ، مستحثة من طوبولوجيته، مما يسمح بتطبيق مفاهيم الاكتمال والاستمرارية المنتظمة عليه.X{\displaystyle X}هو جهاز تلفزيون قابل للقياس ود{\displaystyle d}هو مقياس يحددX{\displaystyle X}إذا كانت بنية الشبكة هي ، فمن الممكن أنX{\displaystyle X}مكتمل كنظام TVS (أي بالنسبة لتجانسه) ولكن المقياسد{\displaystyle d}لا يُعدّ مقياسًا كاملاً (توجد مثل هذه المقاييس حتى بالنسبة لـX=R{\displaystyle X=\mathbb {R} }وبالتالي، إذاX{\displaystyle X}هو TVS يتم استحداث طوبولوجيته بواسطة شبه متريد،{\displaystyle d,}ثم مفهوم اكتمالX{\displaystyle X}(كـ TVS) ومفهوم اكتمال الفضاء شبه المتري(X،د){\displaystyle (X,d)}ليست متكافئة دائمًا. تُقدّم النظرية التالية شرطًا لتكافؤها:

نظرية — إذاX{\displaystyle X}هو TVS قابل للقياس الزائف، وتُستحث طوبولوجيته بواسطة قياس زائف ثابت تحت الإزاحةد،{\displaystyle d,}ثمد{\displaystyle d}هو مقياس زائف كامل علىX{\displaystyle X}إذا وفقط إذاX{\displaystyle X}مكتمل كجهاز تلفزيون. [ 36 ]

النظرية [ 37 ] [ 38 ] (كلي) — ليكن د{\displaystyle d}ليكن أي مقياس [ ملاحظة 2 ] على فضاء متجهيX{\displaystyle X}بحيث تكون الطوبولوجياτ{\displaystyle \tau }ناتج عند{\displaystyle d}علىX{\displaystyle X}اصنع(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}إلى فضاء متجهي طوبولوجي. إذا(X،د){\displaystyle (X,d)}إذا كان فضاءً متريًا كاملاً(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}هو جهاز تلفزيون كامل.

نظرية — إذاX{\displaystyle X}هو نظام TVS يتم استحداث بنيته الطوبولوجية بواسطة معيار شبه طبيعيص،{\displaystyle p,}ثمX{\displaystyle X}تكون مكتملة إذا وفقط إذا كان لكل متتالية(xأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}فيX،{\displaystyle X,}لو∑أنا=1∞ص(xأنا)<∞{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty }ثم∑أنا=1∞xأنا{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}يتقارب فيX.{\displaystyle X.}[ 39 ]

لوم{\displaystyle M}هو فضاء متجهي مغلق من فضاء متجهي كامل قابل للقياس الزائفX،{\displaystyle X,}ثم فضاء القسمةX/م{\displaystyle X/M}مكتمل. [ 40 ] إذام{\displaystyle M}هو فضاء متجهي كامل من فضاء متجهي قابل للقياسX{\displaystyle X}وإذا كان فضاء القسمةX/م{\displaystyle X/M}إذا اكتملت، فكذلكX.{\displaystyle X.}[ 40 ] إذاX{\displaystyle X}إذن، لم يكتمل الأمرم:=X،{\displaystyle M:=X,}لكنها ليست فضاءً متجهيًا كاملاً منX.{\displaystyle X.}

تكون المجموعة الطوبولوجية القابلة للفصل وفقًا لمعيار باير قابلة للقياس إذا وفقط إذا كانت كونية. [ 23 ]

المجموعات الفرعية والمتتاليات الفرعية

  • يتركم{\displaystyle M}ليكن فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا قابلًا للفصل ومحدبًا محليًا وقابلًا للقياس، وليكنج{\displaystyle C}أن يكون اكتماله. إذاS{\displaystyle S}هي مجموعة جزئية محدودة منج{\displaystyle C}إذن توجد مجموعة جزئية محدودةR{\displaystyle R}لX{\displaystyle X}بحيثS⊆clج⁡R.{\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}[ 41 ]
  • كل مجموعة جزئية محدودة تمامًا من TVS قابلة للقياس محليًا ومحدبةX{\displaystyle X}يتم احتواؤها في الغلاف المحدب المغلق المتوازن لتسلسل ما فيX{\displaystyle X}ذلك يتقارب إلى0.{\displaystyle 0.}
  • في نظام TVS شبه قابل للقياس، كل حيوان مفترس للمواليد هو جوار للأصل. [ 42 ]
  • لود{\displaystyle d}هي مقياس ثابت تحت الإزاحة على فضاء متجهيX،{\displaystyle X,}ثمد(نx،0)≤ند(x،0){\displaystyle d(nx,0)\leq nd(x,0)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وكل عدد صحيح موجبن.{\displaystyle n.}[ 43 ]
  • لو(xأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}إذا كانت متتالية فارغة (أي أنها تتقارب إلى نقطة الأصل) في نظام TVS قابل للقياس، فإنه توجد متتالية(رأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}من الأعداد الحقيقية الموجبة المتباعدة إلى∞{\displaystyle \infty }بحيث(رأناxأنا)أنا=1∞→0.{\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.}[ 43 ]
  • تكون المجموعة الجزئية من فضاء متري كامل مغلقة إذا وفقط إذا كانت كاملة. إذا كان الفضاءX{\displaystyle X}إذا لم يكن مكتملاً، فـX{\displaystyle X}هي مجموعة فرعية مغلقة منX{\displaystyle X}هذا غير مكتمل.
  • لوX{\displaystyle X}إذا كانت TVS قابلة للقياس ومحدبة محليًا، فلكل مجموعة جزئية محدودةب{\displaystyle B}لX،{\displaystyle X,}يوجد قرص محدودد{\displaystyle D}فيX{\displaystyle X}بحيثب⊆Xد،{\displaystyle B\subseteq X_{D},}وكلاهماX{\displaystyle X}والفضاء المعياري المساعدXد{\displaystyle X_{D}}استحث نفس طوبولوجيا الفضاء الفرعي علىب.{\displaystyle B.}[ 44 ]

نظرية باناش-ساكس [ 45 ] — إذا(xن)ن=1∞{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}هي متتالية في TVS قابلة للقياس محليًا ومحدبة(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}التي تتقارب بشكل ضعيف إلى شيء ماx∈X،{\displaystyle x\in X,}إذن توجد متتاليةy∙=(yأنا)أنا=1∞{\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}فيX{\displaystyle X}بحيثy∙→x{\displaystyle y_{\bullet }\to x}في(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}وكلyأنا{\displaystyle y_{i}}هي مجموعة محدبة من عدد محدود منxن.{\displaystyle x_{n}.}

شرط ماكي للعد [ 14 ] — لنفترض أنX{\displaystyle X}هو TVS قابل للقياس محدب محليًا، و(بأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}هي سلسلة قابلة للعد من المجموعات الجزئية المحدودة منX.{\displaystyle X.} إذن توجد مجموعة جزئية محدودةب{\displaystyle B}لX{\displaystyle X}وتسلسل(رأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}من الأعداد الحقيقية الموجبة بحيثبأنا⊆رأناب{\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}للجميعأنا.{\displaystyle i.}

سلسلة معممة

كما هو موضح في قسم المتسلسلات المعممة من هذه المقالة ، لأيأنا{\displaystyle I}- عائلة مفهرسة(رأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}متجهات من TVSX،{\displaystyle X,}من الممكن تحديد مجموعها∑أنا∈أنارأنا{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}باعتبارها نهاية محصلة المجاميع الجزئية المحدودةF∈المجموعات الجزئية المحدودة⁡(أنا)↦∑أنا∈Fرأنا{\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}حيث المجالالمجموعات الجزئية المحدودة⁡(أنا){\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}من إخراج​⊆.{\displaystyle \,\subseteq .\,} لوأنا=شمال{\displaystyle I=\mathbb {N} }وX=R،{\displaystyle X=\mathbb {R} ,}على سبيل المثال، ثم السلسلة المعممة∑أنا∈شمالرأنا{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}}يتقارب إذا وفقط إذا∑أنا=1∞رأنا{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}تتقارب بشكل غير مشروط بالمعنى المعتاد (وهو ما يعادل التقارب المطلق بالنسبة للأعداد الحقيقية ). إذا كانت متسلسلة معممة∑أنا∈أنارأنا{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}يتقارب في جهاز تلفزيون قابل للقياس، ثم المجموعة{أنا∈أنا:رأنا≠0}{\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}هو بالضرورة قابل للعد (أي إما محدود أو غير محدود قابل للعد )؛ [ البرهان 1 ] بعبارة أخرى، كل شيء ما عدا على الأكثر عدد قابل للعدرأنا{\displaystyle r_{i}}ستكون قيمتها صفرًا، وبالتالي فإن هذه السلسلة المعممة∑أنا∈أنارأنا = ∑رأنا≠0أنا∈أنارأنا{\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}هو في الواقع مجموع عدد لا يتجاوز عدد الحدود غير الصفرية القابلة للعد.

الخرائط الخطية

لوX{\displaystyle X}هو جهاز TVS قابل للقياس الزائف وأ{\displaystyle A}الخرائط مجموعات فرعية محدودة منX{\displaystyle X}إلى مجموعات فرعية محدودة منY،{\displaystyle Y,}ثمأ{\displaystyle A}متصلة. [ 14 ] توجد دوال خطية غير متصلة على أي فضاء ثنائي الأبعاد شبه متري لانهائي الأبعاد. [ 46 ] وبالتالي، يكون الفضاء الثنائي الأبعاد شبه المتري محدود الأبعاد إذا وفقط إذا كان فضاؤه الثنائي المتصل مساويًا لفضائه الثنائي الجبري . [ 46 ]

لوF:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}هي خريطة خطية بين TVSs وX{\displaystyle X}إذا كانت قابلة للقياس، فإن ما يلي متكافئ:

  1. F{\displaystyle F}متصل؛
  2. F{\displaystyle F}هي خريطة محدودة (محليًا) (أي،F{\displaystyle F}الخرائط (فون نيومان) مجموعات فرعية محدودة منX{\displaystyle X}إلى مجموعات فرعية محدودة منY{\displaystyle Y}); [ 12 ]
  3. F{\displaystyle F}متصلة تسلسليًا ؛ [ 12 ]
  4. الصورة أدناهF{\displaystyle F}لكل تسلسل فارغ فيX{\displaystyle X}هي مجموعة محدودة [ 12 ] حيث أن المتتالية الصفرية ، بحسب التعريف، هي متتالية تتقارب إلى الأصل.
  5. F{\displaystyle F}يرسم تسلسلات فارغة إلى تسلسلات فارغة؛

الخرائط المفتوحة وشبه المفتوحة

نظرية : إذاX{\displaystyle X}هو جهاز TVS كامل قابل للقياس الزائف،Y{\displaystyle Y}هو تلفزيون هاوسدورف، وتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}إذا كان تطبيقًا خطيًا مغلقًا وشبه مفتوح، فإنتي{\displaystyle T}هي خريطة مفتوحة. [ 47 ]
نظرية : إذاتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هو مؤثر خطي شامل من فضاء محدب محليًاX{\displaystyle X}إلى مساحة برميليةY{\displaystyle Y}(على سبيل المثال، كل فضاء قابل للقياس الزائف كامل يكون أسطوانيًا) ثمتي{\displaystyle T}يكاد يكون مفتوحاً . [ 47 ]
نظرية : إذاتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هو عامل خطي شامل من TVSX{\displaystyle X}إلى مساحة بايرY{\displaystyle Y}ثمتي{\displaystyle T}يكاد يكون مفتوحاً. [ 47 ]
نظرية : لنفترضتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هو عامل خطي متصل من TVS كامل قابل للقياس الزائفX{\displaystyle X}إلى تلفزيون هاوسدورفY.{\displaystyle Y.}إذا كانت صورةتي{\displaystyle T}غير ضئيل فيY{\displaystyle Y}ثمتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هي خريطة مفتوحة شاملة وY{\displaystyle Y}هو فضاء قابل للقياس بالكامل . [ 47 ]

امتداد هان-باناش للعقار

فضاء متجهي جزئيم{\displaystyle M}من تلفزيونX{\displaystyle X}تتمتع بخاصية التمديد إذا كانت أي دالة خطية متصلة علىم{\displaystyle M}يمكن توسيعها لتصبح دالة خطية متصلة علىX.{\displaystyle X.}[ 22 ] لنفترض أن جهاز تلفزيونX{\displaystyle X}تتمتع بخاصية امتداد هان-باناخ ( HBEP ) إذا كان كل فضاء متجهي جزئي منX{\displaystyle X}يمتلك خاصية الامتداد. [ 22 ]

تضمن نظرية هان -باناخ أن كل فضاء هاوسدورف محدب محليًا يمتلك نقطة تفوق هان-باناخ. أما بالنسبة للفضاءات المترية الكاملة القابلة للقياس، فهناك عكس ذلك.

نظرية (كالتون) - كل فضاء فضائي متري كامل يتمتع بخاصية امتداد هان-باناش يكون محدبًا محليًا. [ 22 ] 

إذا كان فضاء متجهيX{\displaystyle X}له أبعاد لا تُحصى، وإذا زودناه بأفضل طوبولوجيا متجهة، فإنه يصبح فضاءً متجهيًا ذا طوبولوجيا متجهة مع معادلة هاميلتون-بيريت (HBEP) غير محدب محليًا وغير قابل للقياس. [ 22 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ في الواقع، هذا صحيح بالنسبة للمجموعة الطوبولوجية، لأن البرهان لا يستخدم الضرب القياسي.
  2. ↑ لا يُفترض أن يكون ثابتًا عند الترجمة.

البراهين

  1. ↑ لنفترض الشبكة∑أنا∈أنارأنا =تعريف ليمأ∈المجموعات الجزئية المحدودة⁡(أنا) ∑أنا∈أرأنا=ليم{∑أنا∈أرأنا:أ⊆أنا،أ محدود }{\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}يتقارب إلى نقطة ما في TVS قابل للقياسX،{\displaystyle X,}حيث تذكر أن مجال هذه الشبكة هو المجموعة الموجهة(المجموعات الجزئية المحدودة⁡(أنا)،⊆).{\displaystyle (\operatorname {FiniteSubsets} (I),\subseteq ).} مثل كل شبكة متقاربة، فإن هذه الشبكة المتقاربة من المجاميع الجزئيةأ↦∑أنا∈أرأنا{\displaystyle A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}}هي شبكة كوشي ، وهو ما يعني بالنسبة لهذه الشبكة تحديدًا (بحسب التعريف) أنه لكل جواردبليو{\displaystyle W}من أصل فيX،{\displaystyle X,}توجد مجموعة جزئية منتهيةأ0{\displaystyle A_{0}}لأنا{\displaystyle I}بحيث ∑أنا∈برأنا-∑أنا∈جرأنا∈دبليو{\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}لجميع المجموعات الفائقة المنتهيةب،ج⊇أ0؛{\displaystyle B,C\supseteq A_{0};} وهذا يعني أنرأنا∈دبليو{\displaystyle r_{i}\in W}لكلأنا∈أنا∖أ0{\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}(عن طريق أخذب:=أ0∪{أنا}{\displaystyle B:=A_{0}\cup \{i\}}وج:=أ0{\displaystyle C:=A_{0}}). منذX{\displaystyle X}قابلة للقياس، ولها أساس حي قابل للعديو1،يو2،...{\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }عند نقطة الأصل، التي يكون تقاطعها بالضرورةيو1∩يو2∩⋯={0}{\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}}(منذX{\displaystyle X}هو جهاز تلفزيون ذكي من نوع هاوسدورف). لكل عدد صحيح موجبن∈شمال،{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}اختر مجموعة جزئية منتهيةأن⊆أنا{\displaystyle A_{n}\subseteq I}بحيثرأنا∈يون{\displaystyle r_{i}\in U_{n}}لكلأنا∈أنا∖أن.{\displaystyle i\in I\setminus A_{n}.} لوأنا{\displaystyle i}ينتمي إلى(أنا∖أ1)∩(أنا∖أ2)∩⋯=أنا∖(أ1∪أ2∪⋯){\displaystyle (I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)}ثمرأنا{\displaystyle r_{i}}ينتمي إلىيو1∩يو2∩⋯={0}.{\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.} هكذارأنا=0{\displaystyle r_{i}=0}لكل فهرسأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}ذلك لا ينتمي إلى المجموعة القابلة للعدأ1∪أ2∪⋯.{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .}◼{\displaystyle \blacksquare }

مراجع

  1. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 1-18.
  2. 1 2 3 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 37-40.
  3. 1 2 Swartz 1992 ، ص. 15.
  4. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 17.
  5. 1 2 ويلانسكي 2013 ، ص 40-47.
  6. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 15.
  7. 1 2 شيشتر 1996 ، ص 689-691.
  8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ويلانسكي 2013 ، ص 15-18.
  9. 1 2 3 4 شيشتر 1996 ، ص. 692.
  10. 1 2 Schechter 1996 ، ص. 691.
  11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Narici & Beckenstein 2011 ، ص 91-95.
  12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Jarchow 1981 ، ص 38-42.
  13. 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 123.
  14. 1 2 3 4 5 6 7 8 Narici & Beckenstein 2011 ، ص 156-175.
  15. 1 2 3 شيشتر 1996 ، ص. 487.
  16. 1 2 3 شيشتر 1996 ، ص 692-693.
  17. ↑ كوث 1983 ، القسم 15.11
  18. ↑ شيشتر 1996 ، ص 706.
  19. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 115-154.
  20. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 15-16.
  21. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 91-92.
  22. 1 2 3 4 5 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 225-273.
  23. 1 2 3 4 غابرييليان، إس إس "حول الفضاءات الطوبولوجية والمجموعات الطوبولوجية مع شبكات محلية قابلة للعد معينة (2014)"
  24. 1 2 Schaefer & Wolff 1999 ، ص. 154.
  25. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 196.
  26. 1 2 3 Schaefer & Wolff 1999 ، ص. 153.
  27. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 68-72.
  28. 1 2 Trèves 2006 ، ص. 201.
  29. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 57.
  30. ↑ جارشو 1981 ، ص 222.
  31. 1 2 3 4 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 371-423.
  32. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 459-483.
  33. ↑ Köthe 1969 ، ص 168.
  34. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 59.
  35. 1 2 Schaefer & Wolff 1999 ، ص 12-35.
  36. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 47-50.
  37. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 35.
  38. ↑ كلي، ف. ل. (1952). "المقاييس الثابتة في الزمر (حل لمسألة باناخ)" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات. 3 ( 3): 484-487 . doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
  39. ↑ ويلانسكي 2013 ، ص 56-57.
  40. 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 47-66.
  41. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 190–202.
  42. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 172-173.
  43. 1 2 رودين 1991 ، ص. 22.
  44. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 441-457.
  45. ↑ رودين 1991 ، ص 67.
  46. 1 2 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص. 125.
  47. 1 2 3 4 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 466-468.

فهرس