الدوال المثلثية العكسية

علم المثلثات
مخطط تفصيلي تاريخ الاستخدام الدوال  ( sin , cos , tan , inverse) علم المثلثات المعمم
مرجع
الهويات الثوابت الدقيقة الجداول دائرة الوحدة
القوانين والنظريات
الجيوب الأنفية جيب التمام الظلال ظل التمام نظرية فيثاغورس
حساب التفاضل والتكامل
التعويض المثلثي التكاملات  ( الدوال العكسية ) المشتقات سلسلة مثلثية
علماء الرياضيات
هيبارخوس بطليموس براهماجوبتا الحسيب البتاني ريجيومونتانوس فييت دي موافر أويلر فورييه
ف ت هـ

في الرياضيات ، الدوال المثلثية العكسية (وتسمى أحيانًا أيضًا الدوال المثلثية المضادة ، ^{[1] أو} الدوال الدائرية ، [ 2 ^] أو الدوال القوسية ^[3] ) هي الدوال العكسية للدوال المثلثية ، في المجالات المقيدة بشكل مناسب. على وجه التحديد ، فهي معكوسات الدوال الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام ، ^[4] وتُستخدم للحصول على زاوية من أي من النسب المثلثية للزاوية. تُستخدم الدوال المثلثية العكسية على نطاق واسع في الهندسة والملاحة والفيزياء والهندسة .

توجد عدة تدوينات للدوال المثلثية العكسية. الاتفاقية الأكثر شيوعًا هي تسمية الدوال المثلثية العكسية باستخدام بادئة arc-: arcsin( x ) و arccos( x ) و arctan( x ) وما إلى ذلك. ^[1] (تُستخدم هذه الاتفاقية في جميع أنحاء هذه المقالة.) تنشأ هذه التدوينة من العلاقات الهندسية التالية: ^{[ بحاجة لمصدر ]} عند القياس بالراديان، فإن زاوية θ راديان ستتوافق مع قوس طوله rθ ، حيث r هو نصف قطر الدائرة. وبالتالي في دائرة الوحدة ، فإن دالة جيب تمام x هي القوس والزاوية، لأن قوس الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 1 يساوي نفس الزاوية. أو، "القوس الذي جيب تمامه يساوي x " هو نفس "الزاوية التي جيب تمامها يساوي x "، لأن طول قوس الدائرة بنصف القطر يساوي نفس قياس الزاوية بالراديان. ^[5] في لغات برمجة الكمبيوتر، غالبًا ما يتم تسمية الدوال المثلثية العكسية بالأشكال المختصرة asin و acos و atan . ^[6]

غالبًا ما تُستخدم أيضًا التدوينات sin ⁻¹ ( x ) و cos ⁻¹ ( x ) و tan ⁻¹ ( x ) وما إلى ذلك، كما قدمها جون هيرشل في عام 1813، ^{[7] [8] في المصادر باللغة الإنجليزية، [1]} أكثر بكثير من التدوينات sin ^[−1] ( x ) و cos ^[−1] ( x ) و tan ^[−1] ( x ) التي تم إنشاؤها أيضًا - وهي اتفاقيات متسقة مع تدوين الدالة العكسية ، والتي تكون مفيدة (على سبيل المثال) لتحديد النسخة متعددة القيم لكل دالة مثلثية عكسية: ومع ذلك، قد يبدو هذا متعارضًا منطقيًا مع الدلالات الشائعة للتعبيرات مثل sin ² ( x ) (على الرغم من أن sin ² x فقط ، بدون أقواس، هو الاستخدام الشائع حقًا)، والتي تشير إلى القوة العددية بدلاً من تكوين الدالة، وبالتالي قد يؤدي ذلك إلى ارتباك بين تدوين المعكوس ( المعكوس المضاعف ) والدالة العكسية ^[9] .${\displaystyle \tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}~.}$

يتم تخفيف الارتباك إلى حد ما من خلال حقيقة أن كل من الدوال المثلثية المعكوسة لها اسمها الخاص - على سبيل المثال، (cos( ​​x )) ⁻¹ = sec( x ) . ومع ذلك، ينصح بعض المؤلفين بعدم استخدامه، لأنه غامض. ^{[1] [10]} هناك اتفاقية أخرى غير مستقرة يستخدمها عدد صغير من المؤلفين وهي استخدام حرف أول كبير ، إلى جانب حرف علوي " −1 ": Sin ⁻¹ ( x ) ، Cos ⁻¹ ( x ) ، Tan ⁻¹ ( x ) ، إلخ. ^[11] على الرغم من أنه يهدف إلى تجنب الارتباك مع المعكوس ، والذي يجب تمثيله بواسطة sin ⁻¹ ( x ) ، cos ⁻¹ ( x ) ، إلخ، أو بشكل أفضل، بواسطة sin ⁻¹ x ، cos ⁻¹ x ، إلخ، إلا أنه بدوره يخلق مصدرًا رئيسيًا آخر للغموض، خاصة وأن العديد من لغات البرمجة عالية المستوى الشائعة (مثل Mathematica و MAGMA ) تستخدم نفس التمثيلات ذات الأحرف الكبيرة لوظائف المثلثات القياسية، بينما تستخدم لغات أخرى ( Python و SymPy و NumPy و Matlab و MAPLE وما إلى ذلك) أحرفًا صغيرة.

ومن ثم، منذ عام 2009، حددت معايير ISO 80000-2 بادئة "القوس" فقط للوظائف العكسية.

نظرًا لأن أيًا من الدوال المثلثية الست ليست متماثلة ، فيجب تقييدها حتى يكون لها دوال عكسية. وبالتالي، فإن نطاقات نتائج الدوال العكسية هي مجموعات فرعية صحيحة (أي صارمة) لمجالات الدوال الأصلية.

على سبيل المثال، باستخدام الدالة بمعنى الدوال متعددة القيم ، تمامًا كما يمكن تعريف دالة الجذر التربيعي من الدالة يتم تعريفها بحيث بالنسبة لعدد حقيقي معين مع يوجد أعداد متعددة (في الواقع، يمكن عدها بلا حدود ) بحيث ؛ على سبيل المثال، ولكن أيضًا إلخ. عندما تكون هناك حاجة إلى قيمة واحدة فقط، يمكن تقييد الدالة على فرعها الرئيسي . مع هذا القيد، لكل منها في المجال، سيتم تقييم التعبير إلى قيمة واحدة فقط، تسمى قيمتها الرئيسية . تنطبق هذه الخصائص على جميع الدوال المثلثية العكسية. ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$${\displaystyle y^{2}=x,}$${\displaystyle y=\arcsin(x)}$${\displaystyle \sin(y)=x.}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \sin(y)=x}$${\displaystyle \sin(0)=0,}$${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \arcsin(x)}$

يتم إدراج المعاكسات الرئيسية في الجدول التالي.

اسم	التدوين المعتاد	تعريف	مجال للنتيجة الحقيقية ${\displaystyle x}$	نطاق القيمة الأساسية المعتادة ( راديان )	نطاق القيمة الأساسية المعتادة ( درجات )
قوس الجيب	${\displaystyle y=\arcsin(x)}$	x = sin ( y )	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle -90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }}$
قوس كوزين	${\displaystyle y=\arccos(x)}$	x = cos ( y )	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$	${\displaystyle 0^{\circ }\leq y\leq 180^{\circ }}$
ظل الزاوية	${\displaystyle y=\arctan(x)}$	x = tan ( y )	جميع الأعداد الحقيقية	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle -90^{\circ }<y<90^{\circ }}$
ظل الزاوية	${\displaystyle y=\operatorname {arccot}(x)}$	x = cot ( y )	جميع الأعداد الحقيقية	${\displaystyle 0<y<\pi }$	${\displaystyle 0^{\circ }<y<180^{\circ }}$
القوس القاطع	${\displaystyle y=\operatorname {arcsec}(x)}$	س = ثانية ( ص )	${\displaystyle {\left\vert x\right\vert }\geq 1}$	${\displaystyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi }$	${\displaystyle 0^{\circ }\leq y<90^{\circ }{\text{ or }}90^{\circ }<y\leq 180^{\circ }}$
قاطع الجيب القوسي	${\displaystyle y=\operatorname {arccsc}(x)}$	x = csc ( y )	${\displaystyle {\left\vert x\right\vert }\geq 1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y<0{\text{ or }}0<y\leq {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle -90^{\circ }\leq y<0^{\circ }{\text{ or }}0^{\circ }<y\leq 90^{\circ }}$

ملاحظة: يعرّف بعض المؤلفين ^{[ بحاجة لمصدر ]} نطاق قاطع القوس ليكون ، لأن دالة الظل غير سالبة على هذا المجال. وهذا يجعل بعض العمليات الحسابية أكثر اتساقًا. على سبيل المثال، باستخدام هذا النطاق، بينما مع النطاق ، يتعين علينا أن نكتب بما أن الظل غير سالب على ولكنه غير موجب على ولسبب مماثل، يعرّف نفس المؤلفين نطاق قاطع القوس ليكون أو${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}})}$${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},}$${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi )}$${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},}$${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

إذا سُمح بأن يكون عددًا مركبًا ، فإن نطاقه ينطبق فقط على الجزء الحقيقي منه. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

يعرض الجدول أدناه أسماء ومجالات الدوال المثلثية العكسية بالإضافة إلى نطاق قيمها الأساسية المعتادة بالراديان .

اسم	رمز		اِختِصاص		الصورة/المدى	الدالة العكسية		اِختِصاص		صورة القيم الأساسية
جيب	${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \arcsin }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]}$
جيب التمام	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \arccos }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [0,\pi ]}$
مماس	${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \arctan }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$
ظل التمام	${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \operatorname {arccot} }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle (0,\pi )}$
قاطع	${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle [\,0,\;\pi \,]\;\;\;\setminus \left\{{\tfrac {\pi }{2}}\right\}}$
قاطع التمام	${\displaystyle \csc }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} }$	${\displaystyle :}$	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}$

يشير الرمز إلى مجموعة كل الأعداد الحقيقية ويشير إلى مجموعة كل الأعداد الصحيحة . يتم الإشارة إلى مجموعة كل مضاعفات الأعداد الصحيحة بواسطة${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}}$${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.}$$

يشير الرمز إلى مجموعة الطرح بحيث، على سبيل المثال، هي مجموعة النقاط الموجودة في (أي الأعداد الحقيقية) التي ليست في الفاصل${\displaystyle \,\setminus \,}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (-1,1).}$

تم الآن شرح صيغة مجموع مينكوفسكي والتي تم استخدامها أعلاه لكتابة المجالات بشكل موجز .${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$${\displaystyle \pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}}$${\displaystyle \cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec }$

مجال ظل التمام وقاطع التمام${\displaystyle \cot }$${\displaystyle \csc }$ : مجالا ظل التمام وقاطع التمام متماثلان. وهما مجموعة كل الزوايا التي يكون عندها أي كل الأعداد الحقيقية التي ليست من شكل عدد صحيح${\displaystyle \,\cot \,}$${\displaystyle \,\csc \,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin \theta \neq 0,}$${\displaystyle \pi n}$${\displaystyle n,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

مجال المماس والقاطع${\displaystyle \tan }$${\displaystyle \sec }$ : مجالا المماس والقاطع متماثلان. وهما مجموعة كل الزوايا التي${\displaystyle \,\tan \,}$${\displaystyle \,\sec \,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta \neq 0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}}$$

كل دالة مثلثية دورية في الجزء الحقيقي من حجتها، حيث تمر عبر جميع قيمها مرتين في كل فترة من${\displaystyle 2\pi :}$

• تبدأ فترة الجيب وقاطع الجيب عند (حيث يكون عددًا صحيحًا)، وتنتهي عند ثم تنعكس عند${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle k}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• يبدأ جيب التمام والقاطع دورتهما عند وينتهيان عند ثم يعكسان نفسيهما إلى${\displaystyle 2\pi k,}$${\displaystyle 2\pi k+\pi .}$${\displaystyle 2\pi k+\pi }$${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$
• يبدأ المماس دورته عند وينتهي عند ثم يكررها (إلى الأمام) إلى${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• يبدأ ظل التمام دورته عند وينتهي عند ثم يكررها (إلى الأمام) إلى${\displaystyle 2\pi k,}$${\displaystyle 2\pi k+\pi ,}$${\displaystyle 2\pi k+\pi }$${\displaystyle 2\pi k+2\pi .}$

تنعكس هذه الدورية في المعكوسات العامة، حيث يكون عددًا صحيحًا. ${\displaystyle k}$

يوضح الجدول التالي كيف يمكن استخدام الدوال المثلثية العكسية لحل المتساويات التي تتضمن الدوال المثلثية القياسية الست. يُفترض أن القيم المعطاة وكلها تقع ضمن نطاقات مناسبة بحيث تكون التعبيرات ذات الصلة أدناه محددة جيدًا . لاحظ أن "بالنسبة لبعض " هي مجرد طريقة أخرى لقول "بالنسبة لبعض الأعداد الصحيحة " ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle x,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k.}$

الرمز هو المساواة المنطقية ويشير إلى أنه إذا كان الجانب الأيسر صحيحًا، فإن الجانب الأيمن صحيح أيضًا، وعلى العكس من ذلك، إذا كان الجانب الأيمن صحيحًا، فإن الجانب الأيسر صحيح أيضًا (انظر هذه الحاشية ^{[ملاحظة 1]} لمزيد من التفاصيل ومثال يوضح هذا المفهوم). ${\displaystyle \,\iff \,}$

معادلة	إذا وفقط إذا	حل
${\displaystyle \sin \theta =y}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$	${\displaystyle \arcsin(y)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \csc \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle (-1)^{k}}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cos \theta =x}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sec \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$	${\displaystyle \pm \,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec}(r)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \pi k}$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \tan \theta =s}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \arctan(s)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cot \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\,}$		${\displaystyle \operatorname {arccot}(r)}$	${\displaystyle +}$		${\displaystyle \pi k}$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

حيث يمكن كتابة الحلول الأربعة الأولى في شكل موسع على النحو التالي:

معادلة	إذا وفقط إذا	حل
${\displaystyle \sin \theta =y}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\;\;\;\,\arcsin(y)+2\pi k}$           أو ${\displaystyle \theta =-\arcsin(y)+2\pi k+\pi }$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \csc \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\;\;\;\,\operatorname {arccsc}(r)+2\pi k}$           أو ${\displaystyle \theta =-\operatorname {arccsc}(r)+2\pi k+\pi }$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \cos \theta =x}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\;\;\;\,\arccos(x)+2\pi k}$          أو ${\displaystyle \theta =-\arccos(x)+2\pi k}$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sec \theta =r}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =\;\;\;\,\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k}$          أو ${\displaystyle \theta =-\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k}$	لبعض${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

على سبيل المثال، إذا فعندئذٍ لبعض بينما إذا فعندئذٍ لبعض حيث سيكون زوجيًا إذا و سيكون فرديًا إذا كانت المعادلات و لها نفس الحلول مثل و على التوالي. في جميع المعادلات أعلاه باستثناء تلك التي تم حلها للتو (أي باستثناء / و / )، يتم تحديد العدد الصحيح في صيغة الحل بشكل فريد بواسطة (لثابت و ). ${\displaystyle \cos \theta =-1}$${\displaystyle \theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle \sin \theta =\pm 1}$${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sin \theta =1}$${\displaystyle \sin \theta =-1.}$${\displaystyle \sec \theta =-1}$${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$${\displaystyle \cos \theta =-1}$${\displaystyle \sin \theta =\pm 1,}$${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \csc \theta =\pm 1}$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \sec \theta =-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r,s,x,}$${\displaystyle y}$

بمساعدة التكافؤ الصحيح، من الممكن كتابة حل لا يتضمن رمز "زائد أو ناقص": $${\displaystyle \operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}}$$${\displaystyle \cos \theta =x}$${\displaystyle \,\pm \,}$

${\displaystyle cos\;\theta =x\quad }$إذا وفقط إذا لبعض${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$${\displaystyle h\in \mathbb {Z} .}$

وعلى نحو مماثل بالنسبة لدالة القاطع،

${\displaystyle sec\;\theta =r\quad }$إذا وفقط إذا لبعض${\displaystyle \quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad }$${\displaystyle h\in \mathbb {Z} ,}$

حيث يساوي عندما يكون العدد الصحيح زوجيًا، ويساوي عندما يكون فرديًا. ${\displaystyle \pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)}$${\displaystyle \pi h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \pi h+\pi }$

تتضمن حلول و رمز "زائد أو ناقص" الذي أصبح معناه واضحًا الآن. سيتم مناقشة حل فقط لأن المناقشة لـ هي نفسها. لدينا بين ونعلم أن هناك زاوية في فترة معينة تلبي نريد إيجاد هذا يشير الجدول أعلاه إلى أن الحل هو وهو طريقة مختصرة للقول بأن (على الأقل) إحدى العبارات التالية صحيحة:${\displaystyle \cos \theta =x}$${\displaystyle \sec \theta =x}$${\displaystyle \,\pm ,\,}$${\displaystyle \cos \theta =x}$${\displaystyle \sec \theta =x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \cos \theta =x.}$${\displaystyle \theta .}$$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$

1. ${\displaystyle \,\theta =\arccos x+2\pi k\,}$لبعض الأعداد الصحيحة أو${\displaystyle k,}$
   
2. ${\displaystyle \,\theta =-\arccos x+2\pi k\,}$لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle k.}$

كما ذكر أعلاه، إذا (وهو ما يحدث بحكم التعريف فقط عندما ) فإن كلا العبارتين (1) و (2) صحيحة، وإن كانت بقيم مختلفة للعدد الصحيح : إذا كان هو العدد الصحيح للعبارة (1)، مما يعني أن صحيح، فإن العدد الصحيح للعبارة (2) هو (لأن ). ومع ذلك، إذا كان العدد الصحيح فريدًا ومحددًا تمامًا بواسطة إذا (وهو ما يحدث بحكم التعريف فقط عندما ) إذن (لأن و لذلك في كلتا الحالتين يساوي ) وبالتالي فإن العبارتين (1) و (2) متطابقتان في هذه الحالة المعينة (ولذلك فإن كلاهما صحيح). بعد النظر في الحالات و نركز الآن على الحالة حيث و لذا افترض هذا من الآن فصاعدًا. لا يزال الحل لـ هو الذي كما كان من قبل هو اختصار لقول أن إحدى العبارتين (1) و (2) صحيحة. ومع ذلك، هذه المرة، لأن العبارتين (1) و (2) مختلفتان وعلاوة على ذلك، فإن إحدى المتساويتين بالضبط صحيحة (وليس كلاهما). هناك حاجة إلى معلومات إضافية حول لتحديد أيهما صحيح. على سبيل المثال، افترض أن و أن كل ما هو معروف عن ذلك هو ذلك (ولا شيء أكثر من ذلك معروف). ثم وعلاوة على ذلك، في هذه الحالة المعينة (لكل من الحالة والحالة ) وبالتالي، هذا يعني أنه يمكن أن يكون إما أو بدون معلومات إضافية، من غير الممكن تحديد أي من هذه القيم لها. مثال على بعض المعلومات الإضافية التي يمكن أن تحدد قيمة سيكون معرفة أن الزاوية أعلى من المحور - (في هذه الحالة ) أو بدلاً من ذلك، معرفة أنها أسفل المحور - (في هذه الحالة ). ${\displaystyle \,\arccos x=\pi \,}$${\displaystyle x=\cos \pi =-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \theta =\pi +2\pi K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K+1}$${\displaystyle \theta =-\pi +2\pi (1+K)}$${\displaystyle x\neq -1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta .}$${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$${\displaystyle x=\cos 0=1}$${\displaystyle \,\pm \arccos x=0\,}$${\displaystyle \,+\arccos x=+0=0\,}$${\displaystyle \,-\arccos x=-0=0\,}$${\displaystyle \,\pm \arccos x\,}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \,\arccos x=0\,}$${\displaystyle \,\arccos x=\pi ,\,}$${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$${\displaystyle \,\arccos x\neq \pi ,\,}$${\displaystyle \cos \theta =x}$$${\displaystyle \,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle \,\arccos x\neq 0\,}$${\displaystyle \,0<\arccos x<\pi ,\,}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \,-\pi \leq \theta \leq \pi \,}$$${\displaystyle \arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}}$$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \,+\,}$${\displaystyle \,-\,}$$${\displaystyle \theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \,\pi /2\,}$${\displaystyle \,-\pi /2.}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta =-\pi /2}$

يوضح الجدول أدناه كيف يجب أن تكون الزاويتان مرتبطتين إذا كانت قيمتاهما تحت دالة مثلثية معينة متساوية أو سالبة لبعضهما البعض. ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

معادلة	إذا وفقط إذا	الحل ( للبعض ) ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$	أيضا حل ل
${\displaystyle {\phantom {-}}\sin \theta =\sin \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {\quad }}(-1)^{k}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\csc \theta =\csc \varphi }$
${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta =\cos \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta =\sec \varphi }$
${\displaystyle {\phantom {-}}\tan \theta =\tan \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {(-1)^{k+1}}}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cot \theta =\cot \varphi }$
${\displaystyle -\sin \theta =\sin \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta =(-1)^{k+1}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle -\csc \theta =\csc \varphi }$
${\displaystyle -\cos \theta =\cos \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k+\pi {\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle -\sec \theta =\sec \varphi }$
${\displaystyle -\tan \theta =\tan \varphi }$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}-\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle -\cot \theta =\cot \varphi }$
${\displaystyle {\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\sin \theta \right|&=\left|\sin \varphi \right|\\&\Updownarrow \\{\phantom {-}}\left|\cos \theta \right|&=\left|\cos \varphi \right|\end{aligned}}}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\tan \theta \right|&=\left|\tan \varphi \right|\\\left|\csc \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\\\left|\sec \theta \right|&=\left|\sec \varphi \right|\\\left|\cot \theta \right|&=\left|\cot \varphi \right|\end{aligned}}}$

يشير السهم المزدوج الرأسي في الصف الأخير إلى أن و يرضيان إذا وفقط إذا يرضيان${\displaystyle \Updownarrow }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|}$${\displaystyle \left|\cos \theta \right|=\left|\cos \varphi \right|.}$

مجموعة من الحلول للمعادلات المثلثية الأولية

وبالتالي، إذا كان هناك حل واحد لمعادلة مثلثية أولية ( على سبيل المثال، هي معادلة من هذا القبيل، ولأنها صحيحة دائمًا، فهي دائمًا حل)، فإن مجموعة كل الحلول لها هي: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sin \theta =y}$${\displaystyle \sin(\arcsin y)=y}$${\displaystyle \theta :=\arcsin y}$

إذا تم حلها${\displaystyle \theta }$	ثم	مجموعة من جميع الحلول (من حيث ) ${\displaystyle \theta }$
${\displaystyle \;\sin \theta =y}$	ثم	${\displaystyle \{\varphi :\sin \varphi =y\}=\,}$	${\displaystyle (\theta }$	${\displaystyle \,+\,2}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \,\cup \,(-\theta }$	${\displaystyle -\pi }$	${\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \;\csc \theta =r}$	ثم	${\displaystyle \{\varphi :\csc \varphi =r\}=\,}$	${\displaystyle (\theta }$	${\displaystyle \,+\,2}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \,\cup \,(-\theta }$	${\displaystyle -\pi }$	${\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \;\cos \theta =x}$	ثم	${\displaystyle \{\varphi :\cos \varphi =x\}=\,}$	${\displaystyle (\theta }$	${\displaystyle \,+\,2}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \,\cup \,(-\theta }$		${\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \;\sec \theta =r}$	ثم	${\displaystyle \{\varphi :\sec \varphi =r\}=\,}$	${\displaystyle (\theta }$	${\displaystyle \,+\,2}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} )}$	${\displaystyle \,\cup \,(-\theta }$		${\displaystyle +2\pi \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \;\tan \theta =s}$	ثم	${\displaystyle \{\varphi :\tan \varphi =s\}=\,}$	${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \,+\,}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \;\cot \theta =r}$	ثم	${\displaystyle \{\varphi :\cot \varphi =r\}=\,}$	${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \,+\,}$	${\displaystyle \pi \mathbb {Z} }$

يمكن تحويل المعادلات أعلاه باستخدام هويات الانعكاس والتحول: ^[12]

تحويل المعادلات عن طريق التحولات والانعكاسات

دعوى:${\displaystyle {\underline {\;~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\theta }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\pm \theta }$	${\displaystyle \pi \pm \theta }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\pm \theta }$	${\displaystyle 2k\pi \pm \theta ,}$ ${\displaystyle (k\in \mathbb {Z} )}$
${\displaystyle \sin {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\sin \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }$	${\displaystyle \mp \sin \theta }$	${\displaystyle -\cos \theta }$	${\displaystyle \pm \sin \theta }$
${\displaystyle \csc {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\csc \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }$	${\displaystyle \mp \csc \theta }$	${\displaystyle -\sec \theta }$	${\displaystyle \pm \csc \theta }$
${\displaystyle \cos {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }$	${\displaystyle \mp \sin \theta }$	${\displaystyle -\cos \theta }$	${\displaystyle \pm \sin \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\cos \theta }$
${\displaystyle \sec {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }$	${\displaystyle \mp \csc \theta }$	${\displaystyle -\sec \theta }$	${\displaystyle \pm \csc \theta }$	${\displaystyle {\phantom {-}}\sec \theta }$
${\displaystyle \tan {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\tan \theta }$	${\displaystyle \mp \cot \theta }$	${\displaystyle \pm \tan \theta }$	${\displaystyle \mp \cot \theta }$	${\displaystyle \pm \tan \theta }$
${\displaystyle \cot {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=}$	${\displaystyle -\cot \theta }$	${\displaystyle \mp \tan \theta }$	${\displaystyle \pm \cot \theta }$	${\displaystyle \mp \tan \theta }$	${\displaystyle \pm \cot \theta }$

وتعني هذه الصيغ، على وجه الخصوص، أن ما يلي ينطبق:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}}$$

حيث أن التبديل والتبادل يعطيان المعادلات التناظرية على التوالي. ${\displaystyle \sin \leftrightarrow \csc ,}$${\displaystyle \cos \leftrightarrow \sec ,}$${\displaystyle \tan \leftrightarrow \cot }$${\displaystyle \csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,}$

على سبيل المثال، باستخدام المساواة يمكن تحويل المعادلة إلى والتي تسمح باستخدام حل المعادلة (حيث )؛ هذا الحل هو: والتي تصبح: حيث باستخدام حقيقة أن والاستبدال يثبت أن حلًا آخر لـ هو: يمكن استخدام الاستبدال للتعبير عن الجانب الأيمن من الصيغة أعلاه من حيث بدلاً من${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$${\displaystyle \cos \theta =x}$${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$${\displaystyle \;\sin \varphi =x\;}$${\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta }$${\displaystyle \varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,}$$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle (-1)^{k}=(-1)^{-k}}$${\displaystyle h:=-k}$${\displaystyle \;\cos \theta =x\;}$$${\displaystyle \theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .}$$${\displaystyle \;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;}$${\displaystyle \;\arccos x\;}$${\displaystyle \;\arcsin x.\;}$

الدوال المثلثية للدوال المثلثية العكسية موضحة أدناه. إحدى الطرق السريعة لاستنتاجها هي النظر في هندسة مثلث قائم الزاوية، حيث يبلغ طول أحد أضلاعه 1 وطول ضلع آخر ثم تطبيق نظرية فيثاغورس وتعريفات النسب المثلثية. تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة لقاطع القوس وقاطع الجيب القوسي، يفترض الرسم البياني أن موجب، وبالتالي يجب تصحيح النتيجة من خلال استخدام القيم المطلقة وعملية الإشارة (sgn). ${\displaystyle x,}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$	رسم بياني
${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x}$	${\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \cos(\arccos(x))=x}$	${\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}$
${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}}$
${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

الزوايا التكميلية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}$

الحجج السلبية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}}$

الحجج المتبادلة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}}$

يمكن استخدام الهويات أعلاه مع ( والاشتقاق منها) حقيقة أن و متبادلان (أي )، كما هي و و و${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \csc }$${\displaystyle \csc ={\tfrac {1}{\sin }}}$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \sec ,}$${\displaystyle \tan }$${\displaystyle \cot .}$

الهويات المفيدة إذا كان لديك جزء فقط من جدول الجيب:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

عندما يتم استخدام الجذر التربيعي لعدد مركب هنا، فإننا نختار الجذر الذي يحتوي على الجزء الحقيقي الموجب (أو الجزء التخيلي الموجب إذا كان المربع حقيقيًا سالبًا).

النموذج المفيد الذي يتبع مباشرة من الجدول أعلاه هو

${\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}$.

يتم الحصول عليها من خلال الاعتراف بأن . ${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}$

من صيغة نصف الزاوية ، ، نحصل على: ${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}$

يتم اشتقاق هذا من صيغة الجمع الظلي

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}$

عن طريق السماح

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}$

المشتقات للقيم المركبة لـ z هي كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}$

فقط للقيم الحقيقية لـ x :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}$

يمكن اشتقاق هذه الصيغ من حيث مشتقات الدوال المثلثية. على سبيل المثال، إذا كان ، إذن ${\displaystyle x=\sin \theta }$${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

يؤدي تكامل المشتقة وتثبيت القيمة عند نقطة واحدة إلى الحصول على تعبير للدالة المثلثية العكسية على هيئة تكامل محدد:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

عندما يكون x يساوي 1، فإن التكاملات ذات المجالات المحدودة هي تكاملات غير صحيحة ، ولكنها لا تزال محددة جيدًا.

على غرار دوال الجيب وجيب التمام، يمكن أيضًا حساب الدوال المثلثية العكسية باستخدام سلسلة القوى ، على النحو التالي. بالنسبة لجيب القوس، يمكن اشتقاق السلسلة عن طريق توسيع مشتقتها، ، كسلسلة ثنائية الحدين ، وتكامل حد تلو الآخر (باستخدام تعريف التكامل كما هو موضح أعلاه). يمكن أيضًا اشتقاق سلسلة قوس الظل عن طريق توسيع مشتقتها في سلسلة هندسية ، وتطبيق تعريف التكامل أعلاه (انظر سلسلة لايبنيز ). ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}$

يمكن إعطاء سلسلة للدوال المثلثية العكسية الأخرى من حيث هذه وفقًا للعلاقات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، ، ، وهكذا. يتم إعطاء سلسلة أخرى بواسطة: ^[13]${\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}$${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}$

${\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

وجد ليونارد أويلر سلسلة للظل العكسي تتقارب بسرعة أكبر من متسلسلة تايلور الخاصة بها :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}$^[14]

(المصطلح في المجموع لـ n = 0 هو الحاصل الفارغ ، وبالتالي فهو 1.)

وبدلا من ذلك، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$

سلسلة أخرى لدالة الظل العكسي تعطى بواسطة

${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}$

أين الوحدة التخيلية . ^[15]${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

هناك بديلان لسلسلة القوى للظل العكسي وهما الكسور المستمرة المعممة التالية :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

الطريقة الثانية صالحة في المستوى المركب المقطوع. يوجد قطعان، من − i إلى النقطة عند اللانهاية، نزولاً على المحور التخيلي، ومن i إلى النقطة عند اللانهاية، نزولاً على نفس المحور. تعمل بشكل أفضل للأعداد الحقيقية التي تتراوح من −1 إلى 1. المقامات الجزئية هي الأعداد الطبيعية الفردية، والبسط الجزئي (بعد الأول) هي فقط ( nz ) ² ، مع ظهور كل مربع كامل مرة واحدة. تم تطوير الأول بواسطة ليونهارد أويلر ؛ والثاني بواسطة كارل فريدريش جاوس باستخدام المتسلسلة الهندسية الفائقة الجاوسية .

بالنسبة للقيم الحقيقية والمعقدة لـ z :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}$

بالنسبة لـ x الحقيقي ≥ 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}$

لجميع x الحقيقية التي لا تقع بين -1 و 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}}$

القيمة المطلقة ضرورية للتعويض عن القيم السالبة والموجبة لدالتي القوس القاطع والقوس القاطع. دالة الإشارة ضرورية أيضًا بسبب القيم المطلقة في مشتقات الدالتين، والتي تخلق حلين مختلفين للقيم الموجبة والسلبية لـ x. يمكن تبسيط هذه الحلول بشكل أكبر باستخدام التعريفات اللوغاريتمية للدوال الزائدية العكسية :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}$

القيمة المطلقة في وسيطة دالة arcosh تخلق نصفًا سلبيًا لرسمها البياني، مما يجعلها متطابقة مع دالة الإشارة اللوغاريتمية الموضحة أعلاه.

يمكن اشتقاق كل هذه المشتقات العكسية باستخدام التكامل بالأجزاء وأشكال المشتقة البسيطة الموضحة أعلاه.

باستخدام (أي التكامل بالأجزاء )، مجموعة ${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}$

ثم

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,}$

والتي عن طريق الاستبدال البسيط تعطي النتيجة النهائية: ${\displaystyle w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx}$

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

نظرًا لأن الدوال المثلثية العكسية هي دوال تحليلية ، فيمكن تمديدها من الخط الحقيقي إلى المستوى المركب. وينتج عن هذا دوال ذات أوراق متعددة ونقاط فرعية . إحدى الطرق الممكنة لتحديد الامتداد هي:

${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}$

حيث أن الجزء من المحور التخيلي الذي لا يقع بدقة بين نقاط التفرع (-i و+i) هو قطع الفرع بين الورقة الرئيسية والأوراق الأخرى. يجب ألا يتقاطع مسار التكامل مع قطع الفرع. بالنسبة إلى z غير الموجودة على قطع فرع، فإن المسار المستقيم من 0 إلى z هو مثل هذا المسار. بالنسبة إلى z الموجودة على قطع فرع، يجب أن يقترب المسار من Re[x] > 0 لقطع الفرع العلوي ومن Re[x] < 0 لقطع الفرع السفلي.

يمكن تعريف دالة القوس الجيبية على النحو التالي:

${\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}$

حيث (يتم قطع دالة الجذر التربيعي على طول المحور الحقيقي السالب و) الجزء من المحور الحقيقي الذي لا يقع بدقة بين -1 و +1 هو الفرع المقطوع بين الورقة الرئيسية من القوس الجيبية والأوراق الأخرى؛

${\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}$

الذي له نفس القطع مثل القوسين؛

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}$

الذي له نفس القطع مثل arctan؛

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

حيث يكون جزء المحور الحقيقي بين -1 و+1 شاملاً هو القطع بين الورقة الرئيسية للقوس والأوراق الأخرى؛

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

الذي له نفس القطع مثل arcsec.

يمكن أيضًا التعبير عن هذه الدوال باستخدام اللوغاريتمات المعقدة . وهذا يوسع نطاقاتها إلى المستوى المركب بطريقة طبيعية. تنطبق الهويات التالية للقيم الأساسية للدوال في كل مكان يتم تعريفها فيه، حتى على قطع فروعها.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$

نظرًا لأن جميع الدوال المثلثية العكسية تنتج زاوية مثلث قائم الزاوية، فيمكن تعميمها باستخدام صيغة أويلر لتكوين مثلث قائم الزاوية في المستوى المركب. جبريًا، يعطينا هذا:

${\displaystyle ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )}$

أو

${\displaystyle ce^{i\theta }=a+ib}$

حيث هو الضلع المجاور، هو الضلع المقابل، و هو الوتر. من هنا، يمكننا حل . ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}}$

أو

${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)}$

إن أخذ الجزء التخيلي ببساطة يعمل لأي قيمة حقيقية و ، ولكن إذا كانت أو ذات قيمة معقدة، فيجب علينا استخدام المعادلة النهائية حتى لا يتم استبعاد الجزء الحقيقي من النتيجة. نظرًا لأن طول الوتر لا يغير الزاوية، فإن تجاهل الجزء الحقيقي من يزيل أيضًا من المعادلة. في المعادلة النهائية، نرى أنه يمكن إيجاد زاوية المثلث في المستوى المركب عن طريق إدخال أطوال كل ضلع. من خلال تعيين أحد الأضلاع الثلاثة مساويًا لـ 1 وأحد الأضلاع المتبقية مساويًا لمدخلاتنا ، نحصل على صيغة لإحدى الدوال المثلثية العكسية، بإجمالي ست معادلات. نظرًا لأن الدوال المثلثية العكسية تتطلب مدخلاً واحدًا فقط، فيجب علينا وضع الضلع الأخير للمثلث من حيث الضلعين الآخرين باستخدام علاقة نظرية فيثاغورس${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \ln(a+bi)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

يوضح الجدول أدناه قيم a وb وc لكل من الدوال المثلثية العكسية والتعبيرات المكافئة لهذه النتيجة من إدخال القيم في المعادلات أعلاه وتبسيطها. ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}}$

يمكن أن يتسبب الشكل الخاص للتعبير المبسّط في اختلاف الناتج عن الفرع الرئيسي المعتاد لكل من الدوال المثلثية العكسية. ستُخرج الصيغ المعطاة الفرع الرئيسي المعتاد عند استخدام الفرع الرئيسي و لكل دالة باستثناء قوس الظل في العمود. سيخرج قوس الظل في العمود على فرعه الرئيسي المعتاد باستخدام اتفاقية و . ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle \operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0}$

بهذا المعنى، يمكن اعتبار جميع الدوال المثلثية العكسية حالات محددة للدالة اللوغاريتمية ذات القيمة المركبة. ونظرًا لأن هذه التعريفات تعمل لأي دالة لوغاريتمية ذات قيمة مركبة ، فإن التعريفات تسمح بالزوايا الزائدية كمخرجات ويمكن استخدامها لتعريف الدوال الزائدية العكسية بشكل أكبر . ومن الممكن إثبات هذه العلاقات جبريًا من خلال البدء بالأشكال الأسية للدوال المثلثية وحل الدالة العكسية. ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}}$

باستخدام التعريف الأسي للجيب ، والسماح${\displaystyle \xi =e^{i\phi },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

(يتم اختيار الفرع الإيجابي)

${\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

رسوم بيانية لعجلة الألوان للدوال المثلثية العكسية في المستوى المركب

${\displaystyle \arcsin(z)}$	${\displaystyle \arccos(z)}$	${\displaystyle \arctan(z)}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)}$

تكون الدوال المثلثية العكسية مفيدة عند محاولة تحديد الزاويتين المتبقيتين في مثلث قائم الزاوية عندما تكون أطوال أضلاع المثلث معروفة. وبتذكر تعريفات الجيب وجيب التمام للمثلث القائم الزاوية، يتبع ذلك أن

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).}$

غالبًا ما يكون الوتر غير معروف ويجب حسابه قبل استخدام قوس الجيب أو قوس جيب التمام باستخدام نظرية فيثاغورس : حيث هو طول الوتر. يكون قوس الظل مفيدًا في هذه الحالة، حيث لا تكون هناك حاجة لطول الوتر. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.}$

على سبيل المثال، لنفترض أن السقف ينخفض ​​بمقدار 8 أقدام عندما يبلغ ارتفاعه 20 قدمًا. يشكل السقف زاوية θ مع الأفقي، حيث يمكن حساب θ على النحو التالي:

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}$

تحسب الدالة atan2 ذات الحاجتين الظل العكسي لـ y / x مع العلم أن y و x ، ولكن مع نطاق (− π ،  π ]. بعبارة أخرى، atan2( y ،  x ) هي الزاوية بين المحور x الموجب للمستوى والنقطة ( x ،  y ) عليه، مع إشارة موجبة للزوايا عكس اتجاه عقارب الساعة (نصف المستوى العلوي، y  > 0)، وإشارة سالبة للزوايا في اتجاه عقارب الساعة (نصف المستوى السفلي، y  < 0). تم تقديمه لأول مرة في العديد من لغات برمجة الكمبيوتر، ولكنه أصبح الآن شائعًا أيضًا في مجالات أخرى من العلوم والهندسة.

من حيث دالة arctan القياسية ، أي مع نطاق (− ⁠π/2⁠ , ⁠π/2) ، ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}}$

كما أنه يساوي القيمة الأساسية لحجة العدد المركب x  +  i y .

يمكن أيضًا تعريف هذه النسخة المحدودة من الدالة أعلاه باستخدام صيغ نصف الزاوية المماسية على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)}$

بشرط أن يكون x  > 0 أو y  ≠ 0. ومع ذلك، يفشل هذا إذا كان x ≤ 0 وy = 0، وبالتالي فإن التعبير غير مناسب للاستخدام الحسابي.

يبدو أن ترتيب الحجج أعلاه ( y , x ) هو الأكثر شيوعًا، ويُستخدم بشكل خاص في معايير ISO مثل لغة البرمجة C ، ولكن قد يستخدم عدد قليل من المؤلفين الاتفاقية المعاكسة ( x , y )، لذا يلزم توخي بعض الحذر. تم تفصيل هذه الاختلافات في atan2 .

في العديد من التطبيقات ^[16]، يكون حل المعادلة هو الاقتراب قدر الإمكان من قيمة معينة . يتم إنتاج الحل المناسب بواسطة دالة الظل العكسي المعدلة بالمعلمة ${\displaystyle y}$${\displaystyle x=\tan(y)}$${\displaystyle -\infty <\eta <\infty }$

${\displaystyle y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.}$

تقوم الوظيفة بالتقريب إلى أقرب عدد صحيح. ${\displaystyle \operatorname {rni} }$

بالنسبة للزوايا القريبة من 0 و π ، فإن قوس جيب التمام غير مشروط ، وعلى نحو مماثل مع قوس جيب التمام للزوايا القريبة من − π /2 و π /2. وبالتالي، تحتاج تطبيقات الكمبيوتر إلى مراعاة استقرار المدخلات لهذه الوظائف وحساسية حساباتها، أو استخدام طرق بديلة. ^[17]

• أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين أ. ، محرران (1972). دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية. نيويورك: دار دوفر للنشر . رقم ISBN 978-0-486-61272-0.

• وايسستين، إريك دبليو. “الظل العكسي”. عالم الرياضيات .