مكعب

بفرض مكعب طول ضلعه${\displaystyle a}$، قطر وجه المكعب هو قطر المربع${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$والقطر الفراغي للمكعب هو خط يصل بين رأسين ليسا على نفس الوجه، ويُصاغ على النحو التالي:${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$يمكن تحديد كلتا الصيغتين باستخدام نظرية فيثاغورس . مساحة سطح المكعب${\displaystyle A}$مساحتها ستة أضعاف مساحة المربع: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle A=6a^{2}.}$$ يُحسب حجم متوازي المستطيلات بضرب طوله وعرضه وارتفاعه. ولأن جميع أضلاع المكعب متساوية في الطول، فإن صيغة حجمه هي مكعب طول ضلعه. ^{[ 11 ]} وهذا ما يُفسر استخدام كلمة "مكعب" كفعل بمعنى رفع أي عدد إلى القوة الثالثة. ^{[ 4 ]}$${\displaystyle V=a^{3}.}$$

يحتوي المكعب على ثلاثة أنواع من المسارات الجيوديسية المغلقة ، أو المسارات على سطح المكعب التي تكون مستقيمة محليًا. بعبارة أخرى، تتجنب هذه المسارات الرؤوس، وتتبع قطعًا مستقيمة عبر الأوجه التي تتقاطع معها، وتشكل زوايا متتامة على الوجهين المتصلين بكل حافة تتقاطع معها. يقع أحد هذه المسارات في مستوى موازٍ لأحد أوجه المكعب، ويشكل مربعًا مطابقًا لذلك الوجه، طول ضلعه أربعة أضعاف طول حافة المكعب. أما النوع الآخر فيقع في مستوى عمودي على القطر الأطول، مشكلاً سداسيًا منتظمًا؛ طول ضلعه هو${\displaystyle 3{\sqrt {2}}}$أضعاف ما هو عليه في الحافة. ​​النوع الثالث هو شكل سداسي غير مستوٍ. ^{[ 12 ]}

كرة داخلية لمكعب${\displaystyle r_{i}}$هي كرة مماسة لأوجه مكعب عند مراكزها . كرتها الوسطى${\displaystyle r_{m}}$هي كرة مماسة لحواف مكعب. الكرة المحيطة بها${\displaystyle r_{c}}$هي كرة مماسية لرؤوس مكعب. طول ضلعها${\displaystyle a}$وهي على التوالي: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle r_{i}={\frac {1}{2}}a=0.5a,\qquad r_{m}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\qquad r_{c}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\approx 0.866a.}$$

المكعب الواحد هو مكعب طول ضلعه وحدة واحدة . وبناءً على ذلك، فإن كل وجه من أوجهه مربع وحدة ، وحجم الشكل بأكمله وحدة مكعبة واحدة. ^{[ 14 ] [ 15 ]} راهن الأمير روبرت من نهر الراين ، المعروف بـ" قطرة الأمير روبرت" ، على إمكانية تمرير مكعب عبر ثقب في مكعب آخر من نفس الحجم . وقد أجابت القصة التي رواها عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس عام 1693 بأن ذلك ممكن، على الرغم من وجود بعض الأخطاء في عرض واليس. بعد قرن تقريبًا، قدم عالم الرياضيات الهولندي بيتر نيولاند حلاً أفضل مفاده أن أضلاع المكعب التي تمر عبر ثقب المكعب الواحد يمكن أن يصل طولها إلى 1.06 وحدة تقريبًا. ^{[ 16 ] [ 17 ]} إحدى طرق الحصول على هذه النتيجة هي استخدام نظرية فيثاغورس أو صيغة المسافة الإقليدية في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ^{[ 18 ]}

تتطلب مسألة قديمة تتمثل في مضاعفة حجم المكعب بناء مكعب حجمه ضعف حجم المكعب الأصلي باستخدام الفرجار والمسطرة فقط . وقد توصل إلى هذه النتيجة عالم الرياضيات الفرنسي بيير وانتزل عام 1837، مُثبتًا استحالة تنفيذها، إذ أن مكعبًا حجمه ضعف حجم المكعب الأصلي - وهو الجذر التكعيبي للعدد 2${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$— غير قابل للبناء . ^{[ 19 ]} ومع ذلك، تم حل هذه المشكلة عن طريق طي ورقة الأوريغامي بواسطة ميسر (1986) . ^{[ 20 ]}

يتمتع المكعب بتناظر ثماني الأوجه${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$من الرتبة 48. بعبارة أخرى، يمتلك المكعب 48 تحويلاً متساوي القياس (بما في ذلك التحويل المحايد )، كل منها يحول المكعب إلى نفسه. تشمل هذه التحويلات تسعة تناظرات انعكاسية (حيث يكون نصفان مقطوعان بمستوى متطابقين): ثلاثة منها تقطع المكعب عند منتصفات حوافه، وستة تقطعه قطريًا. يمتلك المكعب أيضًا ثلاثة عشر محورًا للتناظر الدوراني (حيث ينتج عن الدوران حول المحور مظهر متطابق): ثلاثة محاور تمر عبر مراكز الأوجه المتقابلة، وستة تمر عبر منتصفات الحواف المتقابلة، وأربعة تمر عبر الرؤوس المتقابلة؛ هذه المحاور هي على التوالي تناظر دوراني رباعي (0°، 90°، 180°، و270°)، وتناظر دوراني ثنائي (0° و180°)، وتناظر دوراني ثلاثي (0°، 120°، و240°). ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

يمكن الحصول على المجسم الثنائي من كل رأس من رؤوس المجسمات المماسية لمستوى ما، وذلك من خلال عملية تُعرف باسم التبادل القطبي . ^{[ 25 ]} من خصائص المجسمات الثنائية أن المجسم ومجسمه الثنائي يشتركان في مجموعة التناظر النقطي ثلاثي الأبعاد . في هذه الحالة، يكون المجسم الثنائي للمكعب هو ثماني السطوح المنتظم ، ويتمتع كلا المجسمين بنفس التناظر الثماني السطوح. ^{[ 26 ]}

المكعب متماثل الأوجه ، أي أن وجهيه المربعين متطابقان ويمكن تمثيلهما بالدوران والانعكاس. ^{[ 27 ]} وهو متماثل الرؤوس ، أي أن جميع رؤوسه متكافئة ويمكن تمثيلها بشكل متساوي القياس تحت تناظره. ^{[ 28 ]} وهو أيضًا متماثل الحواف ، أي أن نفس نوع الأوجه يحيط بكل رأس من رؤوسه بنفس الترتيب أو بترتيب معاكس، ولكل زوج من الأوجه المتجاورة نفس الزاوية ثنائية السطوح. لذلك، فإن المكعب متعدد السطوح منتظم . ^{[ 29 ]} كل رأس محاط بثلاثة مربعات، لذا فإن المكعب${\displaystyle 4.4.4}$عن طريق تكوين الرؤوس أو${\displaystyle \{4,3\}}$بواسطة رمز شلافلي . ^{[ 30 ]}

في اتجاه عقارب الساعة من أعلى اليسار: نرد سداسي الأوجه ، وسكيوب مكتمل ، وتمثال ألامو ، وأشجار مشذبة على شكل مكعب.

ظهرت المكعبات في العديد من الأدوار في الثقافة الشعبية، وهي الشكل الأكثر شيوعًا للنرد . ^{[ 27 ]} تُصنع ألعاب الألغاز، مثل قطع مكعب سوما ، ^{[ 31 ]} ومكعب روبيك ، وسكيوب، من المكعبات. ^{[ 32 ]} تُعد لعبة ماينكرافت مثالًا على لعبة فيديو مفتوحة العالم تعتمد على المكعبات. ^{[ 33 ]} منحوتة ألامو الخارجية (1967) عبارة عن مكعب يدور حول محوره الرأسي. ^{[ 34 ]} استكشف فنانون مثل إم سي إيشر الخدع البصرية ، مثل المكعب المستحيل ومكعب نيكر . ^{[ 35 ]} استُخدم المكعب في كتاب ألبرتي عن عمارة عصر النهضة ، " دي ري إيديفيكاتوريا " (1450). ^{[ 36 ]} منازل المكعبات في هولندا عبارة عن مجموعة من المنازل المكعبة التي تُشكل أقطارها السداسية الطابق الرئيسي. ^{[ 37 ]} يمكن تقليم الأشجار لتأخذ شكلًا مكعبًا كمنحوتات حية. ^{[ 38 ]}

بنية بلورية مكعبة بسيطة

بلورات ملح الطعام المكعبة

نموذج كروي وعصوي للكوبان

تُستخدم المكعبات أيضًا في مجالات متنوعة من العلوم الطبيعية والتكنولوجيا. ويُطلق هذا المصطلح على وحدة الخلية في البلورة المعروفة باسم النظام البلوري المكعب . ^{[ 39 ]} يُعد ملح الطعام مثالًا على معدن ذي شكل مكعب شائع. ^{[ 40 ]} ومن الأمثلة الأخرى البيريت (على الرغم من وجود العديد من الأنواع المختلفة) [41] واليورانيوم ذو الشكل المكعب في البرنامج النووي. [42] يتميز الراديولاريا ^{Lithocubus geometricus ،} الذي اكتشفه ^{إرنست هيكل ،} بشكل مكعب . [ 43 ] ^{الكوبان هو هيدروكربون} اصطناعي يتكون من ثماني ذرات كربون مرتبة في زوايا مكعب، مع ذرة هيدروجين واحدة مرتبطة بكل ذرة كربون. ^{[ 44 ]}

استخدمت محاولة تاريخية لتوحيد ثلاث أفكار فيزيائية هي النسبية والجاذبية وميكانيكا الكم إطار مكعب يُعرف ^باسم مكعب cGh . [ ^{45 ]}

كيوب سات النرويجي

عاكس الزاوية يعيد توجيه شعاعين إلى مصدرهما

تشمل المكعبات التكنولوجية جهاز المركبة الفضائية كيوب سات ^{[ 46 ]} ، وجهاز عرض الإشعاع الحراري مكعب ليزلي ^{[ 47 ]} ، وخادم الويب كوبالت كيوب ^{[ 48 ]} . تُعد الشبكات المكعبة شائعة في أنظمة الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد ^{[ 49 ]} . في رسومات الحاسوب ، تقسم خوارزميةٌ حجم الإدخال إلى مجموعة منفصلة من المكعبات تُعرف باسم سطح الوحدة المتساوي ^{[ 50 ]} ، ويمكن استخدام أوجه المكعب لرسم شكلٍ ما ^{[ 51 ]} . في مجالات هندسية متنوعة ، بما في ذلك إشارات المرور والرادار ، تُعد زاوية المكعب مفيدةً كعاكسٍ رجعي ، يُسمى عاكس الزاوية ، والذي يُعيد توجيه أي شعاع أو موجة إلى مصدرها ^{[ 52 ] .}

رسم تخطيطي لمكعب من تصميم يوهانس كيبلر

نموذج كبلر الأفلاطوني الصلب للنظام الشمسي

المجسمات الأفلاطونية هي خمسة أشكال متعددة الأوجه معروفة منذ القدم. سُميت هذه المجموعة نسبةً إلى أفلاطون ، الذي نسب هذه المجسمات إلى الطبيعة في حواره "طيماوس" . أحدها، المكعب، يُمثل عنصر الأرض الكلاسيكي نظرًا لكونه أحد اللبنات الأساسية لتكوين الأرض. ^{[ 53 ]} عرّف كتاب " الأصول " لإقليدس المجسمات الأفلاطونية، بما فيها المكعب، وبيّن كيفية إيجاد نسبة قطر الكرة المحيطة إلى طول ضلعها. ^{[ 54 ]}

بعد استخدام أفلاطون للمجسمات المنتظمة كرموز للطبيعة، رسم يوهانس كيبلر في كتابه "هارمونيسيس موندي" كل مجسم من المجسمات الأفلاطونية، وزين أحد جوانب المكعب بشجرة. ^{[ 55 ]} وفي كتابه "ميستيريوم كوزموغرافيكوم" ، اقترح كيبلر بنية النظام الشمسي والعلاقات بين كواكبه باستخدام مجموعة المجسمات الأفلاطونية، المحاطة والمحاطة بأجرام كروية . كل مجسم محاط بكرة، داخل كل مجسم آخر، يُنتج ست طبقات، تُقابل الكواكب الستة المعروفة: عطارد ، الزهرة ، الأرض ، المريخ ، المشتري ، وزحل . من الداخل إلى الخارج، رُتبت هذه المجسمات بدءًا من ثماني السطوح ، ثم عشريني السطوح ، ثم اثني عشري السطوح ، ثم رباعي السطوح ، وأخيرًا المكعب. ^{[ 56 ]}

يمكن تمثيل المكعب بيانيًا ، وهو بنية في نظرية الرسوم البيانية تتكون من مجموعة من الرؤوس المتصلة بحواف . ويُمكن تحقيق ذلك وفقًا لنظرية شتاينيتز ، التي تنص على أنه يُمكن تمثيل أي رسم بياني على أنه رسم بياني للرؤوس والحواف لمجسم متعدد السطوح، طالما أنه يمتلك الخاصيتين التاليتين: التسطح ( حيث تكون حواف الرسم البياني متصلة بكل رأس دون أن تتقاطع مع حواف أخرى)، والاتصال الثلاثي (حيث تبقى الحواف متصلة عند إزالة رأسين من الرسم البياني الذي يحتوي على أكثر من ثلاثة رؤوس). ^{[ 61 ] [ 62 ]} يُطلق على هيكل المكعب، المُمثل بالرسم البياني، اسم الرسم البياني المكعبي ، وهو رسم بياني أفلاطوني . يحتوي على نفس عدد الرؤوس والحواف الموجودة في المكعب، أي اثني عشر رأسًا وثمانية حواف. ^{[ 63 ]} يُصنف الرسم البياني المكعب أيضًا على أنه رسم بياني منشوري ، يشبه هيكل متوازي المستطيلات. ^{[ 64 ]}

الرسم البياني المكعب هو حالة خاصة من الرسم البياني المكعب الفائق أو${\displaystyle n}$- مكعب — يُشار إليه بـ${\displaystyle Q_{n}}$— لأنه يمكن إنشاؤه باستخدام الضرب الديكارتي للرسوم البيانية : رسمان بيانيان يربطان زوجًا من الرؤوس بحافة لتشكيل رسم بياني جديد. ^{[ 65 ]} في حالة الرسم البياني المكعب، يكون ناتج ضرب${\displaystyle Q_{2}\mathbin {\Box } Q_{1}}$، أين${\displaystyle \mathbin {\Box } }$يرمز إلى حاصل الضرب الديكارتي للرسوم البيانية. بعبارة أخرى، يُنشأ الرسم البياني المكعب بربط كل رأس من رؤوس مربعين بحافة. ​​ويُرمز للرسم البياني المكعب بـ${\displaystyle Q_{3}}$[ ^{66 ] ومثل أي} رسم بياني مكعب فائق، يحتوي على دورة تزور كل رأس مرة واحدة بالضبط ، ^{[ 67 ]} وهو أيضًا مثال على رسم بياني بمسافة وحدة . ^{[ 68 ]}

الرسم البياني المكعب ثنائي الأجزاء ، أي أن كل مجموعة مستقلة من أربعة رؤوس يمكن أن تكون منفصلة ، ​​وأن تكون الحواف متصلة في تلك المجموعات. ^{[ 69 ]} مع ذلك، لا يمكن لأي رأس في مجموعة ما أن يربط جميع الرؤوس في المجموعة الأخرى، لذا فإن هذا الرسم البياني ثنائي الأجزاء غير مكتمل . ^{[ 70 ]} وهو مثال على كل من الرسم البياني التاجي ورسم كنيسر ثنائي الأجزاء . ^{[ 71 ] [ 69 ]}

يُلقي الجسم المُضاء بأشعة ضوئية متوازية ظلاً على مستوى عمودي على تلك الأشعة، يُسمى الإسقاط المتعامد . يُعتبر المجسم متعدد الأوجه متساوي الإسقاط إذا كان إسقاطه المتعامد، عند موضع معين للضوء، مضلعًا منتظمًا. المكعب متساوي الإسقاط لأنه إذا كان الضوء موازيًا لأحد الخطوط الأربعة الواصلة بين رأس ورأس مقابل له، فإن إسقاطه يكون سداسيًا منتظمًا . ^{[ 72 ]}

يمكن تمثيل المكعب بمصفوفة التكوين ، وهي مصفوفة تُمثل صفوفها وأعمدتها عناصر متعدد السطوح، كالرؤوس والحواف والوجوه. يُشير قطر المصفوفة إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في متعدد السطوح، بينما يُشير العنصر غير القطري إلى عدد عناصر العمود الموجودة في أو عند عنصر الصف. تُمثل عناصر قطر المصفوفة رؤوس المكعب الثمانية وحوافه الاثني عشر ووجوهه الستة (8، 12، 6 على التوالي). يُشير العمود الأول من الصف الأوسط إلى وجود رأسين على كل حافة، ويُرمز له بالرقم 2؛ ويُشير العمود الأوسط من الصف الأول إلى التقاء ثلاث حواف عند كل رأس، ويُرمز له بالرقم 3. مصفوفة تكوين المكعب هي: ^{[ 73 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$$

بعض المجسمات متعددة الأوجه المبنية على أساس المكعب: ثماني الأوجه النجمي ، وسداسي الأوجه الرباعي ، والمكعب المشطوف

يمكن بناء العديد من المجسمات متعددة الأوجه انطلاقاً من مكعب. ومن الأمثلة على ذلك:

• عند تقسيم المكعب إلى أوجه، أي إزالة جزء من الأوجه المضلعة دون إنشاء رؤوس جديدة للمكعب، فإن المجسم الناتج هو ثماني السطوح النجمي . ^{[ 74 ]}
• يمكن إنشاء مجسمات محدبة جديدة عن طريق إلحاق مجسمات أقل انتظامًا بأوجه المكعب. ^{[ 10 ]} وبالتالي، يُعد المكعب مكونًا من مكونين من مجسمات جونسون ، وهما الهرم المربع المطوّل والهرم المربع المزدوج المطوّل ، والأخير عبارة عن مكعب ذي أهرامات مربعة على أوجه متقابلة. ^{[ 75 ]}
• يؤدي ربط هرم منخفض بكل وجه من أوجه المكعب إلى إنتاج كليتوب الخاص به ، وهو سداسي الأوجه رباعي الأوجه ، ^{[ 76 ]} ثنائي لثماني الأوجه المقطوع .
• التقسيم المركزي للمكعب (أو ثنائيته، ثماني السطوح المنتظم) هو ثنائي السطوح الاثني عشري ، وهو مجسم كاتالاني . ^{[ 77 ]}
• يمكن أيضًا اقتطاع منطقة الزاوية للمكعب بواسطة مستوى (على سبيل المثال، يمتد بواسطة الرؤوس الثلاثة المجاورة)، مما ينتج عنه رباعي الأوجه ثلاثي المستطيلات . ^{[ 78 ]}
• المكعب المقطوع هو مجسم أرخميدسي يمكن بناؤه عن طريق فصل أوجه المكعب، وملء الفراغات بمثلثات متساوية الأضلاع ذات زوايا ملتوية، وهي عملية تُعرف باسم القطع . ^{[ 79 ]}
• يمكن اقتطاع كل رأس من رؤوس المكعب ، والمجسم الناتج هو المجسم الأرخميدسي ، أو المكعب المقطوع . ^{[ 80 ]} وعند اقتطاع حوافه، يصبح مكعبًا ثماني الأوجه معينيًا . ^{[ 81 ]} وبالمثل، يمكن أيضًا إنشاء المكعب ثماني الأوجه المعيني بفصل أوجه المكعب ثم فردها، وبعد ذلك إضافة أوجه مثلثة ومربعة أخرى بينها؛ وهذا ما يُعرف باسم "المكعب الموسع". ويمكن اشتقاق الشكل نفسه بالطريقة نفسها من ثنائي المكعب، وهو ثماني الأوجه المنتظم. ^{[ 82 ]}
• يُنشأ المكعب المشطوف من مكعب باستخدام عملية اقتطاع تُسمى الشطف . ويتكون المجسم الناتج من اثني عشر وجهًا سداسيًا وستة وجوه مربعة متناظرة مركزيًا ، وهو ما يُعرف باسم المجسم متعدد الأوجه . ^{[ 83 ] [ 84 ]}
• يمكن إنشاء ثلاثة مستطيلات ذهبية متعامدة من زوج من الرؤوس الواقعة على منتصفات الحواف المتقابلة على سطح مكعب، وذلك برسم قطعة مستقيمة بين هذين الرأسين، ثم تقسيم هذه القطعة المستقيمة بنسبة ذهبية من منتصفها. تمثل زوايا هذه المستطيلات رؤوس مجسم عشروني الوجوه منتظم ذي عشرين مثلثًا متساوي الأضلاع. ^{[ 85 ]}

من الأمثلة على المكعبات المتعددة مكعب متعدد يتكون من خمسة مكعبات متصلة وجهاً لوجه، وصليب دالي . يُعد الأخير واحداً من 261 شبكة تشكل مكعب رباعي الأبعاد .

المكعب المتعدد هو شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من ضم مكعب واحد أو أكثر متطابقة وجهاً لوجه. المكعبات المتعددة هي النظائر ثلاثية الأبعاد للمضلعات ثنائية الأبعاد . ^{[ 86 ]}

عند تكديس أربعة مكعبات عموديًا، وإضافة أربعة مكعبات أخرى إلى المكعب الثاني من الأعلى في المجموعة، ينتج عن ذلك مكعب متعدد الأضلاع يُعرف باسم صليب دالي ، نسبةً إلى الفنان السريالي الإسباني سلفادور دالي ، الذي تحتوي لوحته "كوربوس هايبركيوبوس " (1954) على مكعب رباعي الأبعاد (تيسيراكت) يتكشف على شكل صليب سداسي الأذرع؛ ويُعدّ بناء مشابه عنصرًا أساسيًا في قصة روبرت أ. هاينلاين القصيرة " وبنى بيتًا مائلًا " (1940). ^{[ 87 ] [ 88 ]} يمكن طي صليب دالي في بُعد رابع ليحتوي على مكعب رباعي الأبعاد (تيسيراكت) . ^{[ 89 ]} المكعب هو نسخة ثلاثية الأبعاد من المكعب الفائق (يُعرف أيضًا بالمكعب ثلاثي الأبعاد)؛ المكعب الفائق ثنائي الأبعاد (المكعب ثنائي الأبعاد) هو مربع ، والمكعب الفائق رباعي الأبعاد (المكعب رباعي الأبعاد) هو مكعب رباعي الأبعاد (تيسيراكت). ^{[ 90 ]}

المكعب هو متعدد السطوح يملأ الفراغ ، أي أنه يُشكّل فسيفساءً مع نسخته في الفضاء ثلاثي الأبعاد. لا تترك هذه الفسيفساء أي فراغ، فيما يُعرف بـ" خلية النحل" . ^{[ 91 ]} المكعب هو متعدد السطوح شبه متماثل ، وهو نوع خاص من متعددات السطوح التي تملأ الفراغ، ويمكن تعريفه بأنه خلية فورونوي لمجموعة ديلون المتناظرة . ^{[ 92 ]} تشمل متعددات السطوح شبه المتماثلة متوازيات السطوح ، التي يمكن نقلها دون تدوير لملء فراغ يكون فيه كل وجه من أي نسخة منها متصلاً بوجه مماثل من نسخة أخرى. هناك خمسة أنواع من متوازيات السطوح، أحدها متوازي المستطيلات. ^{[ 93 ]} كل متوازي سطوح ثلاثي الأبعاد هو متعدد السطوح متناظر مركزيًا ، وجوهه عبارة عن مضلعات متناظرة مركزيًا . ^{[ 94 ]}

مثال على خلية قرص العسل المكعبة فقط، والتي تُسمى خلية ، هي خلية قرص العسل المكعبة التي تتكون من أربعة مكعبات حول حوافها في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ^{[ 95 ] [ 96 ]} ومن الأمثلة الأخرى في الفضاء غير الإقليدي ثلاثي الأبعاد خلية قرص العسل بثلاثة مكعبات حول حوافها في كرة ثلاثية الأبعاد ، وخلية قرص العسل بخمسة مكعبات حول حوافها في الفضاء الزائدي . ^{[ 96 ]}

يمكن لأي متوازي مستطيلات، بما في ذلك المكعب، أن يُشكّل بنية قرص العسل إذا كان ثابت دين الخاص به يساوي صفرًا. ^{[ 97 ]} يعود أصل ثابت دين إلى مسألة هيلبرت الثالثة ، وهي ما إذا كان من الممكن دائمًا تقسيم أي مجسمين متعددي السطوح متساويي الحجم إلى أجزاء متعددة السطوح وإعادة تجميعهما معًا. إذا كان الجواب نعم، فيمكن تعريف حجم أي مجسم متعدد السطوح بشكل بديهي على أنه حجم مكعب مكافئ يمكن إعادة تجميعه فيه. وقد حلّ ماكس دين هذه المسألة ، مخترعًا ثابته ، ومجيبًا بأنه لا يمكن إعادة تجميع جميع المجسمات متعددة السطوح في مكعب. ^{[ 98 ]} وقد أظهر أن مجسمين متعددي السطوح متساويي الحجم يجب أن يكون لهما نفس ثابت دين، باستثناء رباعيي السطوح اللذين يختلف ثابت دين الخاص بهما. ^{[ 99 ]}

التعداد وفقًا لسكيلينج (1976) : مركب من ستة مكعبات ذات حرية دوران${\displaystyle \mathrm {UC} _{7}}$ثلاثة مكعبات${\displaystyle \mathrm {UC} _{8}}$وخمسة مكعبات${\displaystyle \mathrm {UC} _{9}}$

تُعرف المركبات متعددة السطوح ، التي تشترك فيها المكعبات في نفس المركز، باسم المركبات متعددة السطوح المنتظمة ، أي أنها مركبات متعددة السطوح تتكون من مجسمات متعددة السطوح متطابقة - وإن كانت قد تكون متماثلة مرآويًا - مرتبة بشكل منتظم. وقد ذكر سكيلينغ (1976) المركبات من السابع إلى التاسع على التوالي، وهي مركبات منتظمة تتكون من ستة مكعبات ذات حرية دوران، وثلاثة مكعبات ، وخمسة مكعبات . ^{[ 100 ]} كما عُثر على مركبين، أحدهما يتكون من مكعبين والآخر من ثلاثة مكعبات، في لوحة إيشر الخشبية المطبوعة " النجوم" وفي كتاب ماكس بروكينر " الأشكال المتعددة والأسطح المتعددة" . ^{[ 101 ]}

مكعب كروي

منظر ثلاثي الأبعاد على شكل حلقة

يمثل المكعب الكروي متعدد السطوح الكروي ، والذي يمكن نمذجته بأقواس الدوائر العظمى ، مما يُشكل حدودًا كحواف المربع الكروي . ^{[ 102 ]} وبالتالي، يتكون المكعب الكروي من ستة مربعات كروية بزوايا داخلية مقدارها 120 درجة عند كل رأس. وهو يتمتع بتوازن متجهي ، أي أن المسافة من مركز الثقل إلى كل رأس تساوي المسافة من ذلك المركز إلى كل حافة. ^{​​[ 103 ] [ 104 ]} ثنائيه هو ثماني السطوح الكروي . ^{[ 102 ]}

الكائن الطوبولوجي ثلاثي الأبعاد، وهو عبارة عن طارة، هو فضاء طوبولوجي يُعرَّف بأنه متماثل شكليًا مع حاصل الضرب الديكارتي لثلاث دوائر. ويمكن تمثيله كنموذج ثلاثي الأبعاد لشكل المكعب. ^{[ 105 ]}

الأشكال الكسورية المكعبة هي إسفنجة مينجر ، ومكعب القدس، وندفة الثلج موسلي .

تتميز العديد من الأشكال الكسورية بغلاف مكعب محدب ، بما في ذلك إسفنجة مينجر (المماثلة لسجادة سيربينسكي ثنائية الأبعاد )، ^{[ 106 ]} ومكعب القدس وندفة ثلج موسلي . ^{[ 107 ] [ 108 ]}

يمكن تقسيم المكعب إلى ستة أهرامات مربعة . يبلغ ارتفاع هذه الأهرامات نصف طول ضلع المكعب، وتلتقي رؤوسها في المركز. ^{[ 109 ]}