القطع الناقص

يفترض الشكل القياسي للقطع الناقص في الإحداثيات الديكارتية أن نقطة الأصل هي مركز القطع الناقص، وأن المحور السيني هو المحور الرئيسي، و:

لنقطة عشوائية${\displaystyle (x,y)}$المسافة إلى البؤرة${\displaystyle (c,0)}$يكون${\textstyle {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}}$والتركيز الآخر${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ومن هنا تأتي النقطة${\displaystyle (x,\,y)}$يكون على القطع الناقص كلما: $${\displaystyle {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

إزالة الجذور عن طريق التربيع المناسب واستخدام${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$(انظر الرسم البياني) ينتج المعادلة القياسية للقطع الناقص: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$ أو، تم حلها لإيجاد قيمة y : $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {{\vphantom {\left(a^{2}-x^{2}\right)}}a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

معلمات العرض والارتفاع${\displaystyle a,\;b}$تُسمى هذه النقاط بالمحورين شبه الرئيسي وشبه الثانوي .${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$هي الرؤوس المشتركة . المسافات من نقطة${\displaystyle (x,\,y)}$البؤرتان على القطع الناقص إلى اليسار واليمين هما${\displaystyle a+ex}$و${\displaystyle a-ex}$.

ويترتب على المعادلة أن القطع الناقص متناظر بالنسبة لمحاور الإحداثيات، وبالتالي بالنسبة لنقطة الأصل.

خط عشوائي${\displaystyle g}$يتقاطع مع القطع الناقص في 0 أو 1 أو 2 نقطة، وتسمى هذه النقاط على التوالي خطًا خارجيًا ومماسًا وقاطعًا . يمر بكل نقطة من نقاط القطع الناقص مماس وحيد. المماس عند نقطة${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$من القطع الناقص${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$لها معادلة إحداثيات: $${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

المعادلة البارامترية المتجهة للمماس هي: $${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

البرهان: ليكن${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$أن تكون نقطة على قطع ناقص و${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$لتكن معادلة أي خط مستقيم${\displaystyle g}$يحتوي على${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$بإدخال معادلة الخط في معادلة القطع الناقص مع مراعاة${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$ينتج عنه: $${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$ ثم هناك حالات:

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$ثم خط${\displaystyle g}$والقطع الناقص له نقطة واحدة فقط${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$بشكل مشترك، و${\displaystyle g}$هو مماس. اتجاه المماس له متجه عمودي${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$إذن، معادلة الخط المماس هي${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$بالنسبة للبعض${\displaystyle k}$. لأن${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$إذا كان على المماس والقطع الناقص، نحصل على${\displaystyle k=1}$.
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$ثم خط${\displaystyle g}$له نقطة ثانية مشتركة مع القطع الناقص، وهو قاطع.

باستخدام (1) نجد أن${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$هو متجه مماس عند النقطة${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$وهذا يثبت صحة المعادلة المتجهة.

لو${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$و${\displaystyle (u,v)}$نقطتان على القطع الناقص بحيث${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$إذاً، تقع النقاط على قطرين مترافقين (انظر أدناه ). (إذا${\displaystyle a=b}$(القطع الناقص عبارة عن دائرة و"مترافق" تعني "متعامد").

إذا تم تحريك القطع الناقص القياسي بحيث يكون مركزه${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$معادلتها هي $${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

لا تزال المحاور موازية للمحورين x و y .

في الهندسة التحليلية ، يُعرَّف القطع الناقص بأنه سطح تربيعي : مجموعة النقاط${\displaystyle (x,\,y)}$من المستوى الديكارتي الذي، في الحالات غير المنحلة، يحقق المعادلة الضمنية ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$ متاح${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

لتمييز الحالات المنحلة عن الحالة غير المنحلة، ليكن ∆ هو المحدد$${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

يكون القطع الناقص قطعًا ناقصًا حقيقيًا غير منعدم إذا وفقط إذا كان C∆ < 0. إذا كان C∆ > 0، يكون لدينا قطع ناقص تخيلي، وإذا كان ∆ = 0، يكون لدينا قطع ناقص نقطي. ^{[ 7 ] : 63}

يمكن الحصول على معاملات المعادلة العامة من المحور شبه الرئيسي المعروف${\displaystyle a}$، المحور شبه الصغير${\displaystyle b}$إحداثيات المركز${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$وزاوية الدوران${\displaystyle \theta }$(الزاوية من المحور الأفقي الموجب إلى المحور الأكبر للقطع الناقص) باستخدام الصيغ التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

يمكن اشتقاق هذه التعبيرات من المعادلة الأساسية $${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$ عن طريق تحويل إقليدي للإحداثيات${\displaystyle (X,\,Y)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

وعلى العكس من ذلك، يمكن الحصول على معلمات الشكل الكنسي من معاملات الشكل العام بواسطة المعادلات: ^{[ 3 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

حيث atan2 هي دالة الظل العكسي ذات الوسيطين.

باستخدام الدوال المثلثية ، تمثيل وسيطي للقطع الناقص القياسي${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$يكون: $${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

المعامل t (الذي يُسمى الشذوذ اللامركزي في علم الفلك) ليس زاوية${\displaystyle (x(t),y(t))}$مع المحور السيني ، ولكن له معنى هندسي يعود إلى فيليب دي لا هير (انظر §  رسم القطع الناقصة أدناه). ^{[ 9 ]}

مع الاستبدال${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$وباستخدام الصيغ المثلثية نحصل على $${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

والمعادلة البارامترية النسبية للقطع الناقص $${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

والتي تغطي أي نقطة من القطع الناقص${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$باستثناء الرأس الأيسر${\displaystyle (-a,\,0)}$.

ل${\displaystyle u\in [0,\,1],}$تمثل هذه الصيغة الربع العلوي الأيمن من القطع الناقص الذي يتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة مع زيادة${\displaystyle u.}$الرأس الأيسر هو النهاية${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

أو بدلاً من ذلك، إذا كانت المعلمة${\displaystyle [u:v]}$تعتبر نقطة على خط الإسقاط الحقيقي${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$ثم يكون التمثيل المنطقي المقابل هو $${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

ثم${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

تُستخدم التمثيلات العقلانية للقطاعات المخروطية بشكل شائع في التصميم بمساعدة الحاسوب (انظر منحنى بيزير ).

تمثيل بارامتري، يستخدم الميل${\displaystyle m}$يمكن الحصول على قيمة المماس عند نقطة من القطع الناقص من مشتق التمثيل القياسي${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)}$: $${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

وبمساعدة الصيغ المثلثية، نحصل على: $${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

استبدال${\displaystyle \cos t}$و${\displaystyle \sin t}$ينتج عن التمثيل القياسي ما يلي: $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

هنا${\displaystyle m}$يمثل ميل المماس عند نقطة القطع الناقص المقابلة،${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$هو الجزء العلوي و${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$النصف السفلي من القطع الناقص. الرؤوس${\displaystyle (\pm a,\,0)}$لا يشمل التمثيل العناصر التي لها مماسات رأسية.

معادلة المماس عند النقطة${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$له الشكل${\displaystyle y=mx+n}$المجهول حتى الآن${\displaystyle n}$يمكن تحديد ذلك بإدخال إحداثيات نقطة القطع الناقص المقابلة${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$: $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

يُعدّ وصف مماسات القطع الناقص أداةً أساسيةً لتحديد زاوية الرؤية للقطع الناقص. وتتضمن مقالة زاوية الرؤية برهانًا آخر، دون استخدام التفاضل والتكامل أو الصيغ المثلثية.

تعريف آخر للقطع الناقص يستخدم التحويلات الأفينية :

أي قطع ناقص هو صورة تآلفية لدائرة الوحدة ذات المعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$.

التمثيل البارامتري

التحويل الأفيني للمستوى الإقليدي له الشكل التالي${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$، أين${\displaystyle A}$هي مصفوفة منتظمة ( بمحدد غير صفري ) و${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$هو متجه عشوائي. إذا${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$هي متجهات الأعمدة للمصفوفة${\displaystyle A}$دائرة الوحدة${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$،${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$، يتم رسمها على القطع الناقص: $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

هنا${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$هو المركز و${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$هي اتجاهات قطرين مترافقين ، وليست متعامدة بشكل عام.

الرؤوس

رؤوس القطع الناقص الأربعة هي${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$، لمعامل${\displaystyle t=t_{0}}$مُعرَّف بواسطة: $${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

(لو${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$، ثم${\displaystyle t_{0}=0}$.) يُشتق هذا على النحو التالي. متجه المماس عند النقطة${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$يكون: $${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

عند معلمة الرأس${\displaystyle t=t_{0}}$، يكون المماس عموديًا على المحورين الرئيسي والثانوي، لذا: $${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

توسيع وتطبيق الهويات${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$تعطي المعادلة لـ${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

منطقة

من نظرية أبولونيوس (انظر أدناه) نحصل على: مساحة القطع الناقص${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$يكون $${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

المحاور النصفية

مع الاختصارات ${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ يمكن كتابة عبارات نظرية أبولونيوس على النحو التالي: $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$ حل هذا النظام غير الخطي لـ${\displaystyle a,b}$ينتج عنه أنصاف المحاور: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

التمثيل الضمني

حل التمثيل البارامتري لـ${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$باستخدام قاعدة كرامر${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$وبذلك نحصل على التمثيل الضمني $${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

وبالعكس: إذا كانت المعادلة

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$مع${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

إذا تم إعطاء شكل بيضاوي مركزه نقطة الأصل، فإن المتجهين $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$ يمكن تطبيق الأدوات المذكورة أعلاه على نقطتين مترافقتين.

مثال : بالنسبة للقطع الناقص ذي المعادلة${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$المتجهات هي $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

القطع الناقص القياسي المدور

ل${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$نحصل على تمثيل بارامتري للقطع الناقص القياسي الذي تم تدويره بزاوية${\displaystyle \theta }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

شكل بيضاوي في الفضاء

يُقدّم تعريف القطع الناقص في هذا القسم تمثيلاً بارامترياً لأي قطع ناقص، حتى في الفضاء، إذا سمح المرء${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$أن تكون متجهات في الفضاء.

في الإحداثيات القطبية ، مع وجود نقطة الأصل في مركز القطع الناقص، وباستخدام الإحداثي الزاوي${\displaystyle \theta }$معادلة القطع الناقص، مقاسة من المحور الرئيسي، هي ^{[ 7 ] : 75}$${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$ أين${\displaystyle e}$هو الانحراف (وليس عدد أويلر ).

أما إذا استخدمنا بدلاً من ذلك الإحداثيات القطبية مع وجود نقطة الأصل عند إحدى البؤرتين، فإن الإحداثي الزاوي${\displaystyle \theta =0}$إذا استمر قياسها من المحور الرئيسي، فإن معادلة القطع الناقص هي $${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

حيث تكون الإشارة في المقام سالبة إذا كان اتجاه المرجع${\displaystyle \theta =0}$تشير إلى المركز (كما هو موضح على اليمين)، وتكون موجبة إذا كان هذا الاتجاه يشير بعيدًا عن المركز.

الزاوية${\displaystyle \theta }$يُطلق عليه اسم الشذوذ الحقيقي للنقطة. البسط${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$هو العضلة المستقيمة شبه العريضة .

تتمتع الدائرة بالخاصية التالية:

تقع نقاط منتصف الأوتار المتوازية على قطر.

يحافظ التحويل الأفيني على التوازي ونقاط منتصف القطع المستقيمة، لذا فإن هذه الخاصية صحيحة لأي قطع ناقص. (لاحظ أن الأوتار المتوازية والقطر لم تعد متعامدة).

تعريف

قطران${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$تكون نقاط منتصف القطع الناقص مترافقة إذا كانت نقاط منتصف الأوتار الموازية لـ${\displaystyle d_{1}}$استلقِ على${\displaystyle d_{2}\ .}$

من الرسم التخطيطي نجد ما يلي:

قطران${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$تكون مماسات القطع الناقص مترافقة عندما تكون مماسات القطع الناقص عند${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle Q_{1}}$موازية لـ${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$.

تُعمم الأقطار المترافقة في القطع الناقص الأقطار المتعامدة في الدائرة.

في المعادلة البارامترية للقطع الناقص العام المذكورة أعلاه، $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

أي زوج من النقاط${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$ينتمي إلى قطر، والزوج${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$ينتمي إلى قطره المترافق.

للتمثيل البارامتري الشائع${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$للقطع الناقص ذي المعادلة${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$يحصل المرء على: النقاط

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$(الإشارات: (+,+) أو (−,−))

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$(الإشارات: (−,+) أو (+,−) )

مترافقة و

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

في حالة الدائرة، تؤول المعادلة الأخيرة إلى${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

بالنسبة للقطع الناقص ذي المحاور النصفية${\displaystyle a,\,b}$ما يلي صحيح: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

يترك${\displaystyle c_{1}}$و ${\displaystyle c_{2}}$إذا كان نصف قطرين مترافقين (انظر الرسم التوضيحي)،

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
2. المثلث​${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$مع جوانب${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$(انظر الرسم التوضيحي) له مساحة ثابتة${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$، والتي يمكن التعبير عنها بواسطة${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$، أيضاً.${\displaystyle d_{1}}$هو ارتفاع النقطة${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle \alpha }$الزاوية بين نصفي القطرين. ومن ثم، يمكن كتابة مساحة القطع الناقص (انظر قسم الخصائص المترية ) على النحو التالي:${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$.
3. متوازي الأضلاع المكون من مماسين مجاورين للأقطار المترافقة المعطاة له${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

دليل

ليكن القطع الناقص في الشكل القانوني ذي المعادلة البارامترية $${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

النقطتان${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$تقع على أقطار مترافقة (انظر القسم السابق). من الصيغ المثلثية نحصل على${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$و $${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

مساحة المثلث الناتج عن${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$يكون $${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$

ومن الرسم البياني يتضح أن مساحة متوازي الأضلاع تساوي 8 أضعاف مساحة${\displaystyle A_{\Delta }}$. لذلك $${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}$$