المجموعة المختزلة

في الرياضيات ، الزمرة المختزلة هي نوع من الزمر الجبرية الخطية على حقل . أحد تعريفاتها هو أن الزمرة الجبرية الخطية المتصلة G على حقل كامل تكون مختزلة إذا كان تمثيلها ذا نواة منتهية وشبه بسيط ، أي مجموع مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال . تشمل الزمر المختزلة بعضًا من أهم الزمر في الرياضيات، مثل الزمرة الخطية العامة GL( n ) للمصفوفات القابلة للعكس ، والزمرة المتعامدة الخاصة SO( n )، والزمرة التبادلية Sp(2n ) . الزمر الجبرية البسيطة ، وبشكل أعم، الزمر الجبرية شبه البسيطة، هي زمر مختزلة.

أثبت كلود شوفالي أن تصنيف الزمر المختزلة هو نفسه على أي حقل مغلق جبريًا . وعلى وجه الخصوص، تُصنَّف الزمر الجبرية البسيطة بواسطة مخططات دينكين ، كما هو الحال في نظرية زمر لي المدمجة أو جبر لي شبه البسيط المركب . يصعب تصنيف الزمر المختزلة على أي حقل، ولكن بالنسبة للعديد من الحقول مثل الأعداد الحقيقية R أو حقل الأعداد ، فإن التصنيف مفهوم جيدًا. ينص تصنيف الزمر البسيطة المنتهية على أن معظم الزمر البسيطة المنتهية تنشأ كزمرة G ( k ) من النقاط k- العقلانية لزمرة جبرية بسيطة G على حقل منتهٍ k ، أو كمتغيرات طفيفة من هذا البناء.

تتمتع الزمر الاختزالية بنظرية تمثيل غنية في سياقات متنوعة. يمكن دراسة تمثيلات الزمرة الاختزالية G على حقل k كزمرة جبرية، وهي تأثيرات G على فضاءات متجهة k . كما يمكن دراسة التمثيلات المركبة للزمرة G ( k ) عندما يكون k حقلاً منتهياً، أو التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد لزمرة اختزالية حقيقية، أو التمثيلات الذاتية لزمرة جبرية أديلية . وتُستخدم نظرية بنية الزمر الاختزالية في جميع هذه المجالات.

تُعرَّف المجموعة الجبرية الخطية على الحقل k بأنها مخطط مجموعة فرعية مغلقة ملساء من GL ( n ) على k ، حيث n عدد صحيح موجب . وبصورة مكافئة، فإن المجموعة الجبرية الخطية على k هي مخطط مجموعة أفينية ملساء على k .

لكل زمرة لي متصلة ومتراصة تماثل معقد ، وهو زمرة جبرية اختزالية معقدة. في الواقع، يُعطي هذا البناء تناظرًا أحاديًا بين زمر لي المتصلة والمتراصة والزمر الاختزالية المعقدة، حتى التشاكل. بالنسبة لزمرة لي متراصة K ذات تماثل معقد G ، فإن الاحتواء من K إلى الزمرة الاختزالية المعقدة G ( C ) هو تكافؤ تماثلي ، بالنسبة للطوبولوجيا الكلاسيكية على G ( C ). على سبيل المثال، الاحتواء من الزمرة الوحدوية U( n ) إلى GL( n , C ) هو تكافؤ تماثلي.

بالنسبة لمجموعة اختزالية G على حقل ذي خاصية صفرية، فإن جميع التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لـ G (كمجموعة جبرية) قابلة للاختزال كليًا ، أي أنها عبارة عن مجاميع مباشرة لتمثيلات غير قابلة للاختزال. ^{[ 6 ]} وهذا هو مصدر تسمية "الاختزالية". مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن قابلية الاختزال الكاملة لا تتحقق بالنسبة للمجموعات الاختزالية ذات الخاصية الموجبة (باستثناء الطورات). بتفصيل أكثر: يُطلق على مخطط المجموعة الأفينية G من النوع المحدود على حقل k اسم "الاختزالية الخطية" إذا كانت تمثيلاتها ذات الأبعاد المحدودة قابلة للاختزال كليًا. بالنسبة لـ k ذي خاصية صفرية، تكون G اختزالية خطيًا إذا وفقط إذا كان عنصر الوحدة ^G₀ لـ ^G اختزاليًا . ^{[ 7 ]} أما بالنسبة لـ k ذي خاصية p > 0، فقد أثبت ماسايوشي ناجاتا أن G تكون اختزالية خطيًا إذا وفقط إذا ^كان G₀ من النوع الضربي وكان G / G₀ رتبته أولية بالنسبة لـ p . ^{[ 8 ]}

يُصنَّف الزمر الجبرية المختزلة وفقًا لنظام الجذور المرتبط بها ، كما هو الحال في نظريات جبر لي شبه البسيط المعقد أو زمر لي المدمجة. إليك كيفية ظهور الجذور في الزمر المختزلة.

ليكن G زمرة اختزالية منقسمة على حقل k ، وليكن T طارة عظمى منقسمة في G ؛ إذن T متماثل مع ( G m)n لبعض n، حيث n يُسمى رتبة G. كل تمثيل لـ T (كزمرة جبرية) هو مجموع مباشر لتمثيلات أحادية البعد. [9] الوزن لـ G يعني فئة تماثل لتمثيلات أحادية البعد لـ T ، أو مكافئًا له ، تشاكل T → G m  . تُشكل الأوزان زمرة X ( T ) تحت جداء موتر للتمثيلات، حيث X ( T ) متماثلة مع جداء n نسخة من الأعداد الصحيحة ، Z n .

التمثيل المرافق هو تأثير G عن طريق الاقتران على جبر لي الخاص به${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$جذر G يعني وزنًا غير صفري يحدث في تأثير T ⊂ G على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$الفضاء الجزئي المقابل لكل جذر هو فضاء أحادي البعد، و${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ثابت بواسطة T هو بالضبط جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$من T. ^{[ 10 ]} لذلك ، فإن جبر لي لـ G يتحلل إلى${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$بالإضافة إلى الفضاءات الفرعية أحادية البعد المفهرسة بواسطة مجموعة الجذور Φ:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

على سبيل المثال، عندما تكون G هي المجموعة GL( n )، فإن جبر لي الخاص بها${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$هي فضاء المتجهات لجميع المصفوفات من الرتبة n × n على k . ولتكن T المجموعة الجزئية للمصفوفات القطرية في G. عندئذٍ، يُعبّر تحليل فضاء الجذور عن:${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$باعتبارها المجموع المباشر للمصفوفات القطرية والفضاءات الفرعية أحادية البعد المفهرسة بواسطة المواضع غير القطرية ( i , j ) . وبكتابة L1 _, ..., Ln كأساس قياسي لشبكة الأوزان X ( T ) ≅ Zn ^، فإن الجذور هي العناصر Li ₋ Lj لجميع i ≠ _{j من} 1 إلى n .

تشكل جذور المجموعة شبه البسيطة نظامًا جذريًا ؛ وهو بنية توافقية يمكن تصنيفها تصنيفًا كاملًا. وبشكل أعم، تشكل جذور المجموعة المختزلة معطى جذريًا ، وهو اختلاف طفيف. ^{[ 11 ]} تعني مجموعة ويل للمجموعة المختزلة G مجموعة القسمة للمُعَيِّر لسطح حلقي أقصى على السطح الحلقي، W = NG ( _T )/ T . في الواقع ، مجموعة ويل هي مجموعة منتهية مُوَلَّدة بالانعكاسات. على سبيل المثال، بالنسبة لـ GL( n ) أو SL( n )، فإن مجموعة ويل هي المجموعة المتناظرة Sn _.

يوجد عدد محدود من الزمر الجزئية لبوريل التي تحتوي على طارة عظمى معينة، ويتم تبديلها ببساطة بشكل متعدٍ بواسطة زمرة ويل (التي تعمل بالاقتران ). ^{[ 12 ]} يحدد اختيار زمرة جزئية لبوريل مجموعة من الجذور الموجبة Φ⁺ ^⊂ Φ، حيث أن Φ هي الاتحاد المنفصل لـ Φ⁺ ^و −Φ⁺ ^. وبصورة أدق، فإن جبر لي لـ B هو المجموع المباشر لجبر لي لـ T وفضاءات الجذور الموجبة.

${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

على سبيل المثال، إذا كانت B هي المجموعة الفرعية بوريل للمصفوفات المثلثية العلوية في GL( n )، فإن هذا هو التفكيك الواضح للفضاء الفرعي${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$من المصفوفات المثلثية العلوية في${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$الجذور الموجبة هي Li − _L j _لـ 1 ≤ i < j ≤ n .

الجذر البسيط هو جذر موجب لا يساوي مجموع جذرين موجبين آخرين. نرمز لمجموعة الجذور البسيطة بالرمز Δ. عدد الجذور البسيطة r يساوي رتبة زمرة التبديل الجزئية للمجموعة G ، والتي تُسمى رتبة شبه البسيطة للمجموعة G (وهي ببساطة رتبة G إذا كانت G شبه بسيطة). على سبيل المثال، الجذور البسيطة للمجموعة GL( n ) أو SL( n ) هي Li _- Li _{+ 1} ، حيث 1 ≤ i ≤ n - 1.

تُصنَّف أنظمة الجذور وفقًا لمخطط دينكين المقابل ، وهو رسم بياني محدود (مع بعض الحواف الموجهة أو المتعددة). تمثل مجموعة رؤوس مخطط دينكين مجموعة الجذور البسيطة. باختصار، يصف مخطط دينكين الزوايا بين الجذور البسيطة وأطوالها النسبية، بالنسبة إلى جداء داخلي ثابت تحت تأثير مجموعة فايل على شبكة الأوزان. تظهر مخططات دينكين المتصلة (المقابلة للمجموعات البسيطة) أدناه.

بالنسبة لمجموعة اختزالية منقسمة G على حقل k ، من المهم أن نلاحظ أن الجذر α لا يُحدد فقط فضاءً جزئيًا أحادي البعد من جبر لي لـ G ، بل يُحدد أيضًا نسخة من المجموعة الجمعية G _a في G مع جبر لي المُعطى، وتُسمى هذه النسخة مجموعة الجذر U _α . مجموعة الجذر هي النسخة الوحيدة من المجموعة الجمعية في G التي تم تطبيعها بواسطة T والتي لها جبر لي المُعطى. ^{[ 10 ]} يتم توليد المجموعة G بأكملها (كمجموعة جبرية) بواسطة T ومجموعات الجذر، بينما يتم توليد مجموعة بوريل B بواسطة T ومجموعات الجذر الموجبة. في الواقع، يتم توليد مجموعة شبه بسيطة منقسمة G بواسطة مجموعات الجذر فقط.

بالنسبة لمجموعة اختزالية منقسمة G على حقل k ، فإن المجموعات الفرعية المتصلة الملساء من G التي تحتوي على مجموعة بوريل B معينة من G تتطابق تطابقًا تامًا مع المجموعات الفرعية من مجموعة الجذور البسيطة Δ (أو بصورة مكافئة، المجموعات الفرعية من مجموعة رؤوس مخطط دينكين). ليكن r رتبة Δ، وهي الرتبة شبه البسيطة لـ G. كل مجموعة فرعية مكافئة من G مترافقة مع مجموعة فرعية تحتوي على B بواسطة عنصر ما من G ( k ). ونتيجة لذلك، يوجد بالضبط 2r ^فئة ترافق للمجموعات الفرعية المكافئة في G على k . ^{[ 13 ]} وبالتحديد، فإن المجموعة الفرعية المكافئة المقابلة لمجموعة فرعية S معينة من Δ هي المجموعة المولدة بواسطة B مع مجموعات الجذور U _−α لكل α في S. على سبيل المثال، فإن المجموعات الفرعية المكافئة لـ GL( n ) التي تحتوي على المجموعة الفرعية بوريل B المذكورة أعلاه هي مجموعات المصفوفات القابلة للعكس ذات المدخلات الصفرية أسفل مجموعة معينة من المربعات على طول القطر، مثل:

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

بحسب التعريف، فإن الزمرة الجزئية المكافئة P من زمرة اختزالية G على حقل k هي زمرة جزئية k-ية ملساء بحيث يكون صنف القسمة G / P صنفًا مناسبًا على k ، أو مكافئًا له صنف إسقاطي على k . وبالتالي، فإن تصنيف الزمر الجزئية المكافئة يرقى إلى تصنيف الأصناف المتجانسة الإسقاطية لـ G (مع زمرة مثبتة ملساء؛ أي لا يوجد قيد على k ذات خاصية صفرية). بالنسبة لـ GL( n )، فإن هذه هي أصناف الرايات ، التي تُعطي معلمات لمتتاليات من الفضاءات الجزئية الخطية ذات الأبعاد المعطاة a₁ _, ..., aᵢ _{الموجودة} في فضاء متجهي ثابت V ذي بُعد n .

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.}$

بالنسبة للمجموعة المتعامدة أو المجموعة التبسيطية، فإنّ المتنوعات المتجانسة الإسقاطية لها وصف مشابه لمتنوعات الأعلام المتناحية بالنسبة لشكل تربيعي أو شكل تبسيطي مُعطى. لأي مجموعة اختزالية G ذات مجموعة بوريل جزئية B ، يُطلق على G / B اسم تنوع الأعلام أو متعدد الأعلام لـ G.

أظهر شيڤالي في عام ١٩٥٨ أن الزمر الاختزالية على أي حقل مغلق جبريًا تُصنَّف حتى التشاكل بواسطة بيانات الجذور. ^{[ ١٤ ]} وعلى وجه الخصوص، تُصنَّف الزمر شبه البسيطة على حقل مغلق جبريًا حتى التشاكل المركزي بواسطة مخطط دينكين الخاص بها، وتتوافق الزمر البسيطة مع المخططات المتصلة. وبالتالي، توجد زمر بسيطة من الأنواع Aₙ _، Bₙ _، Cₙ _، Dₙ _، E₆ _، E₇ _، E₈ _، F₄ _، G₂ _. هذه النتيجة مطابقة جوهريًا لتصنيفات زمر لي المدمجة أو جبر لي شبه البسيط المعقد، التي وضعها فيلهلم كيلينغ وإيلي كارتان في ثمانينيات وتسعينيات القرن التاسع عشر. على وجه الخصوص، يمكن استنتاج أبعاد ومراكز وخصائص أخرى للزمر الجبرية البسيطة من قائمة زمر لي البسيطة . ومن اللافت للنظر أن تصنيف الزمر الاختزالية مستقل عن الخاصية المميزة. للمقارنة، هناك العديد من جبر لي البسيط في الخاصية الموجبة أكثر من الخاصية الصفرية.

تم بناء المجموعات الاستثنائية G من النوعين G₂ _و E₆ _سابقًا ، على الأقل في صورة المجموعة المجردة G ( k )، بواسطة ل. إ. ديكسون . على سبيل المثال، المجموعة G₂ _هي مجموعة التشاكلات الذاتية لجبر الأوكتونيونات على k . في المقابل، كانت مجموعات شيڤالي من النوع F₄ _و E₇ _و E₈ _على حقل ذي خاصية موجبة جديدة تمامًا.

بشكل أعم، يكون تصنيف الزمر الاختزالية المنقسمة متماثلاً على أي حقل. ^{[ 15 ]} تُسمى الزمرة شبه البسيطة G على الحقل k زمرةً متصلةً ببساطة إذا كان كل تماثل مركزي من زمرة شبه بسيطة إلى G تماثلاً. (بالنسبة لـ G شبه البسيطة على الأعداد المركبة ، فإن كونها متصلة ببساطة بهذا المعنى يُكافئ كون G ( C ) متصلة ببساطة في الطوبولوجيا الكلاسيكية). يُبين تصنيف شيڤالي أنه على أي حقل k ، توجد زمرة شبه بسيطة منقسمة G متصلة ببساطة وحيدة ذات مخطط دينكين مُعطى، مع زمر بسيطة تُقابل المخططات المتصلة. في المقابل، تكون الزمرة شبه البسيطة من النوع المرافق إذا كان مركزها تافهاً. الزمر شبه البسيطة المنقسمة على k ذات مخطط دينكين مُعطى هي بالضبط الزمر G / A ، حيث G هي الزمرة المتصلة ببساطة و A هي مخطط زمرة فرعية k لمركز G.

على سبيل المثال، تكون المجموعات البسيطة المنقسمة المتصلة ببساطة على حقل k والتي تتوافق مع مخططات دينكين "الكلاسيكية" كما يلي:

• A _n : SL( n +1) على k ؛
• B _n : مجموعة الدوران Spin(2 n +1) المرتبطة بصيغة تربيعية ذات بُعد 2 n +1 على k مع دليل ويت n ، على سبيل المثال الصيغة

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• C _n : المجموعة التبسيطية Sp(2 n ) على k ؛
• D _n : مجموعة الدوران Spin(2 n ) المرتبطة بصيغة تربيعية ذات بُعد 2 n على k مع مؤشر ويت n ، والتي يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.}$

إن زمرة التشاكل الذاتي الخارجية لزمرة اختزالية منقسمة G على حقل k متماثلة مع زمرة التشاكل الذاتي لجذر G. علاوة على ذلك، تنقسم زمرة التشاكل الذاتي لـ G كحاصل ضرب شبه مباشر .

${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),}$

حيث Z هو مركز G. ^{[ 16} ] بالنسبة لمجموعة G شبه البسيطة المتصلة ببساطة على حقل، فإن مجموعة التشاكل الخارجي لـ G لها وصف أبسط: إنها مجموعة التشاكل لمخطط ^دينكين لـ G.

يُطلق على مخطط المجموعة G فوق المخطط S اسم المخطط الاختزالي إذا كان التشكل G → S أملسًا وتآلفيًا ، وكل ليف هندسي${\displaystyle G_{\bar {k}}}$هي اختزالية. (بالنسبة لنقطة p في S ، فإن الليف الهندسي المقابل يعني تغيير أساس G إلى إغلاق جبري${\displaystyle {\bar {k}}}$(من حقل البقايا لـ p .) بتوسيع عمل شيڤالي، أظهر ميشيل ديمازور وغروتينديك أن مخططات الزمر الاختزالية المثبتة على أي مخطط غير فارغ S تُصنف حسب بيانات الجذر. ^{[ 17 ]} يتضمن هذا البيان وجود زمر شيڤالي كمخططات زمر على Z ، وينص على أن كل زمرة اختزالية مثبتة على مخطط S متماثلة مع تغيير أساس زمرة شيڤالي من Z إلى S. تثبيت زمرة اختزالية منقسمة هو اختيار أساس الجذر، وكذلك اختيار تبسيط الزمرة الجمعية أحادية البعد المقابلة لكل جذر بسيط. هذا البيان خاطئ بدون التثبيت؛ على سبيل المثال، لنفترض أن A مجال ديديكيند وأن I مثالي في A فئته في زمرة فئات A ليست مربعًا. ثم فإن SL( A + I ) وSL2 ₍ A) منقسمة ومختزلة على Spec A ولها نفس بيانات الجذر ولكنها ليست متماثلة: مخطط العلم (القسمة بواسطة مخطط مجموعة بوريل الفرعية) للأول هو حزمة الخط الإسقاطية P ( A + I ) وليس لها مقطع مع حزمة طبيعية تافهة (يتوافق المقطع مع متتالية تامة قصيرة 0 → J → A + I → K → 0 حيث J و K هما فئتان مثاليتان والحزمة الطبيعية هي J^{-1}K ، وهي ليست تافهة لأن JK متماثلة مع I ) بينما مخطط العلم للثاني هو P1 ⁽ A ) ويمتلك مقاطع مع حزمة طبيعية تافهة .

في سياق زمر لي وليس الزمر الجبرية، تُعرَّف الزمرة المختزلة الحقيقية بأنها زمرة لي G بحيث توجد زمرة جبرية خطية L على R يكون عنصرها المحايد (في طوبولوجيا زاريسكي ) مختزلاً، وتشاكل G → L ( R ) تكون نواته منتهية وصورته مفتوحة في L ( R ) (في الطوبولوجيا الكلاسيكية). ومن المتعارف عليه أيضًا افتراض أن صورة التمثيل المرافق Ad( G ) مُحتواة في Int( gC ) = Ad( L0 ( _C ) ) (وهو افتراض تلقائي عندما تكون ^G متصلة ). ^{[ 18 ]}

على وجه الخصوص، كل زمرة لي شبه بسيطة متصلة (أي أن جبر لي الخاص بها شبه بسيط) هي زمرة اختزالية. كذلك، فإن زمرة لي R اختزالية بهذا المعنى، إذ يمكن اعتبارها العنصر المحايد لـ GL(1, R ) ≅ R ^× . وتتلخص مشكلة تصنيف الزمر الاختزالية الحقيقية إلى حد كبير في تصنيف زمر لي البسيطة. ويتم تصنيف هذه الزمر باستخدام مخطط ساتيك الخاص بها ؛ أو يمكن ببساطة الرجوع إلى قائمة زمر لي البسيطة (حتى التغطيات المحدودة).

طُوِّرت نظريات مفيدة للتمثيلات المقبولة والتمثيلات الوحدوية للمجموعات الاختزالية الحقيقية في هذا السياق العام. وتتمثل الاختلافات الرئيسية بين هذا التعريف وتعريف المجموعة الجبرية الاختزالية في أن المجموعة الجبرية G على R قد تكون متصلة كمجموعة جبرية، بينما مجموعة لي G ( R ) غير متصلة، وينطبق الأمر نفسه على المجموعات المتصلة ببساطة.

على سبيل المثال، تُعتبر المجموعة الخطية الإسقاطية PGL(2) متصلة كمجموعة جبرية على أي حقل، لكن مجموعة نقاطها الحقيقية PGL(2, R ) تتكون من عنصرين متصلين. العنصر المحايد لـ PGL(2, R ) (ويُسمى أحيانًا PSL(2, R )) هو مجموعة اختزالية حقيقية لا يمكن اعتبارها مجموعة جبرية. وبالمثل، تُعتبر SL(2) متصلة ببساطة كمجموعة جبرية على أي حقل، لكن مجموعة لي SL(2, R ) لها مجموعة أساسية متماثلة مع الأعداد الصحيحة Z ، وبالتالي فإن SL(2, R ) لها فضاءات تغطية غير تافهة . وبحسب التعريف، فإن جميع التغطيات المنتهية لـ SL(2, R ) (مثل المجموعة الميتابليكتية ) هي مجموعات اختزالية حقيقية. من ناحية أخرى، فإن الغطاء الشامل لـ SL(2, R ) ليس مجموعة اختزالية حقيقية، على الرغم من أن جبر لي الخاص به اختزالي ، أي أنه ناتج عن جبر لي شبه بسيط وجبر لي أبيلي.

بالنسبة لمجموعة اختزالية حقيقية متصلة G ، فإن فضاء القسمة G / K لـ G بواسطة مجموعة جزئية مدمجة قصوى K هو فضاء متناظر من النوع غير المدمج. في الواقع، ينشأ كل فضاء متناظر من النوع غير المدمج بهذه الطريقة. تُعد هذه أمثلة مركزية في الهندسة الريمانية للفضاءات ذات الانحناء القطاعي غير الموجب . على سبيل المثال، SL(2, R )/SO(2) هو المستوى الزائدي ، وSL(2, C )/SU(2) هو الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد.

بالنسبة لمجموعة اختزالية G على حقل k كاملة بالنسبة لتقييم منفصل (مثل الأعداد p-adic Q _p )، فإن البناء الأفيني X لـ G يلعب دور الفضاء المتناظر. أي أن X عبارة عن مُركّب تبسيطي له تأثير من G ( k )، و G ( k ) يحافظ على مقياس CAT(0) على X ، وهو نظير لمقياس ذي انحناء غير موجب. بُعد البناء الأفيني هو رتبة k لـ G. على سبيل المثال، بناء SL(2, Q _p ) هو شجرة .

بالنسبة لمجموعة اختزالية منقسمة G على حقل k ، تُحدد تمثيلات G غير القابلة للاختزال (كمجموعة جبرية) بواسطة الأوزان المهيمنة ، والتي تُعرف بأنها تقاطع شبكة الأوزان X ( T ) ≅ Zn مع مخروط محدب ( غرفة فايل ⁾ في Rn ^. وبالتحديد، فإن هذا التحديد مستقل عن خاصية k . بتفصيل أكثر، لنثبت طارة عظمى منقسمة ومجموعة بوريل جزئية، T ⊂ B ⊂ G. عندئذٍ ، B هو حاصل الضرب شبه المباشر لـ T مع مجموعة جزئية أحادية القوة متصلة ملساء U. لنُعرّف متجه الوزن الأعلى في تمثيل V لـ G على k بأنه متجه غير صفري v بحيث يُسقط B الخط الممتد بواسطة v على نفسه. عندئذٍ، يؤثر B على هذا الخط من خلال مجموعة القسمة T ، بواسطة عنصر λ من شبكة الأوزان X ( T ). أظهر شيڤالي أن لكل تمثيل غير قابل للاختزال لـ G متجه وزن أعلى فريد حتى القيم العددية؛ وأن "الوزن الأعلى" المقابل λ هو الوزن السائد؛ وأن كل وزن سائد λ هو الوزن الأعلى لتمثيل غير قابل للاختزال فريد L (λ) لـ G ، حتى التشاكل. ^{[ 19 ]}

تبقى مشكلة وصف التمثيل غير القابل للاختزال ذي الوزن الأعلى المُعطى قائمة. بالنسبة لـ k ذي الخاصية الصفرية، توجد إجابات شبه كاملة. بالنسبة للوزن المهيمن λ، يُعرَّف نموذج شور ∇(λ) على أنه فضاء المتجهات k لمقاطع حزمة الخط المتغيرة G على مشعب الرايات G / B المرتبط بـ λ؛ وهذا تمثيل لـ G. بالنسبة لـ k ذي الخاصية الصفرية، تنص نظرية بوريل-ويل على أن التمثيل غير القابل للاختزال L (λ) متماثل مع نموذج شور ∇(λ). علاوة على ذلك، تُعطي صيغة خاصية ويل خاصية هذا التمثيل (وبالتحديد بُعده).

بالنسبة لمجموعة اختزالية منقسمة G على حقل k ذي خاصية موجبة، يكون الوضع أكثر تعقيدًا، لأن تمثيلات G عادةً لا تكون مجاميع مباشرة لعناصر غير قابلة للاختزال. بالنسبة لوزن مهيمن λ، يكون التمثيل غير القابل للاختزال L (λ) هو الوحدة الفرعية البسيطة الوحيدة ( القاعدة ) لوحدة شور ∇(λ)، ولكنه ليس بالضرورة مساويًا لوحدة شور. يُعطى بُعد وخاصية وحدة شور بواسطة صيغة خاصية فايل (كما في الخاصية الصفرية)، لجورج كيمبف . ^{[ 20 ]} أبعاد وخصائص التمثيلات غير القابلة للاختزال L (λ) غير معروفة عمومًا، على الرغم من تطوير مجموعة كبيرة من النظريات لتحليل هذه التمثيلات. إحدى النتائج المهمة هي أن بُعد وخاصية L (λ) معروفان عندما تكون الخاصية p لـ k أكبر بكثير من عدد كوكسيتر لـ G ، لهينينج أندرسن ، وجينس جانتزن ، وولفجانج سورجيل (مثبتين بذلك حدسية لوزتيج في هذه الحالة). تعتمد صيغة خصائصهم للعدد p الكبير على كثيرات حدود كازدان-لوزتيغ ، وهي معقدة توافقيًا. ^{[ 21 ]} لأي عدد أولي p ، افترض سيمون ريتش وجوردي ويليامسون الخصائص غير القابلة للاختزال لمجموعة اختزالية بدلالة كثيرات حدود كازدان-لوزتيغ من الرتبة p ، وهي أكثر تعقيدًا، ولكنها على الأقل قابلة للحساب. ^{[ 22 ]}

كما ذُكر سابقًا، فإن تصنيف الزمر الاختزالية المنقسمة يكون واحدًا في أي حقل. في المقابل، قد يكون تصنيف الزمر الاختزالية العشوائية صعبًا، اعتمادًا على الحقل الأساسي. ومن الأمثلة على الزمر الكلاسيكية :

• كل شكل تربيعي غير منحل q على حقل k يحدد زمرة اختزالية G = SO( q ). هنا، تكون G بسيطة إذا كان بُعد q هو n على الأقل 3، لأن${\displaystyle G_{\bar {k}}}$متماثل مع SO( n ) على إغلاق جبري${\displaystyle {\bar {k}}}$رتبة المجموعة G من الرتبة k تساوي مؤشر ويت لـ q (البعد الأقصى للفضاء الجزئي المتناحي على k ). ^{[ 23 ]} لذا، فإن المجموعة البسيطة G تنقسم على k إذا وفقط إذا كان لـ q أكبر مؤشر ويت ممكن.${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$.
• كل جبر مركزي بسيط A على k يُحدد زمرة اختزالية G = SL(1, A )، وهي نواة المعيار المختزل على زمرة الوحدات A * (كزمرة جبرية على k ). درجة A تعني الجذر التربيعي لبُعد A كفضاء متجهي k. هنا، تكون G بسيطة إذا كانت درجة A n أكبر من أو تساوي 2، لأن${\displaystyle G_{\bar {k}}}$متماثل مع SL ( n ) على${\displaystyle {\bar {k}}}$إذا كان لـ A فهرس r (أي أن A متماثل مع جبر المصفوفات M _{n / r} ( D ) لجبر القسمة D من الدرجة r على k )، فإن رتبة k لـ G هي ( n / r ) − 1. ^{[ 24 ]} لذا فإن المجموعة البسيطة G منقسمة على k إذا وفقط إذا كانت A جبر مصفوفات على k .

ونتيجةً لذلك، فإن مشكلة تصنيف الزمر الاختزالية على k تتضمن أساسًا مشكلة تصنيف جميع الأشكال التربيعية على k أو جميع الجبر المركزي البسيط على k . هذه المشاكل سهلة بالنسبة لـ k المغلقة جبريًا، وهي مفهومة لبعض الحقول الأخرى مثل حقول الأعداد، ولكن بالنسبة للحقول العشوائية، هناك العديد من الأسئلة المفتوحة.

تُسمى المجموعة المختزلة على حقل k متناحية إذا كان رتبتها k أكبر من 0 (أي إذا كانت تحتوي على طارة منقسمة غير تافهة)، وإلا فهي غير متناحية . بالنسبة لمجموعة شبه بسيطة G على حقل k ، فإن الشروط التالية متكافئة:

• G متجانسة الخواص (أي أن G تحتوي على نسخة من المجموعة الضربية G _m على k )؛
• تحتوي المجموعة G على مجموعة فرعية مكافئة على k لا تساوي G ؛
• تحتوي المجموعة G على نسخة من المجموعة الجمعية G _a على k .

بالنسبة لـ k مثالي، فإن القول بأن G ( k ) يحتوي على عنصر أحادي القوة بخلاف 1. ^{[ 25 ]}

بالنسبة لمجموعة جبرية خطية متصلة G على حقل محلي k ذي خاصية صفرية (مثل الأعداد الحقيقية)، تكون المجموعة G ( k ) متراصة في الطوبولوجيا الكلاسيكية (المبنية على طوبولوجيا k ) إذا وفقط إذا كانت G اختزالية وغير متناحية. ^{[ 26 ]} مثال: المجموعة المتعامدة SO( p , q ) على R لها رتبة حقيقية min( p , q )، وبالتالي فهي غير متناحية إذا وفقط إذا كان p أو q يساوي صفرًا. ^{[ 23 ]}

تُسمى المجموعة المختزلة G على الحقل k شبه منقسمة إذا احتوت على مجموعة بوريل جزئية على k . المجموعة المختزلة المنقسمة هي شبه منقسمة. إذا كانت G شبه منقسمة على k ، فإن أي مجموعتين بوريل جزئيتين من G تكونان مترافقتين بواسطة عنصر ما من G ( k ). ^{[ 27 ]} مثال: المجموعة المتعامدة SO( p , q ) على R منقسمة إذا وفقط إذا كان | p − q | ≤ 1، وهي شبه منقسمة إذا وفقط إذا كان | p − q | ≤ 2. ^{[ 23 ]}

بالنسبة لمجموعة شبه بسيطة منقسمة متصلة ببساطة G على حقل k ، قدم روبرت شتاينبرغ عرضًا صريحًا للمجموعة المجردة G ( k ). ^{[ 28 ]} يتم توليدها بواسطة نسخ من المجموعة الجمعية لـ k مفهرسة بجذور G (المجموعات الفرعية الجذرية)، مع علاقات محددة بواسطة مخطط دينكين لـ G.

بالنسبة لمجموعة شبه بسيطة منقسمة متصلة ببساطة G على حقل مثالي k ، حدد شتاينبرغ أيضًا مجموعة التشاكلات الذاتية للمجموعة المجردة G ( k ). كل تشاكل ذاتي هو حاصل ضرب تشاكل ذاتي داخلي ، وتشاكل ذاتي قطري (أي اقتران بواسطة تشاكل ذاتي مناسب).${\displaystyle {\bar {k}}}$^{[ 29 ]} نقطة من طارة قصوى)، وتماثل بياني (يقابل تماثلًا ذاتيًا لمخطط دينكين)، وتماثل حقلي (ناتج عن تماثل ذاتي للحقل k ).

بالنسبة لمجموعة جبرية بسيطة من الرتبة k، G ، تنص نظرية تيتس للبساطة على أن المجموعة المجردة G ( k ) تقترب من البساطة، في ظل افتراضات بسيطة. لنفترض أن G متناحية على k ، وأن الحقل k يحتوي على 4 عناصر على الأقل. ولتكن G ( k ) ^⁺ المجموعة الجزئية من المجموعة المجردة G ( k ) المولدة بواسطة k نقطة من نسخ المجموعة الجمعية Gₐ _على k الموجودة في G. (بافتراض أن G متناحية على k ، فإن المجموعة G ( k ) ^⁺ غير تافهة، بل وكثيفة زاريسكي في G إذا كان k لانهائيًا). إذن، تكون مجموعة القسمة لـ G ( k ) ^⁺ بمركزها بسيطة (كمجموعة مجردة). ^{[ 30 ]} يستخدم البرهان آلية جاك تيتس لأزواج BN .

تُعدّ الاستثناءات الخاصة بالحقول من الرتبة 2 أو 3 مفهومة جيدًا. بالنسبة لـ k = F ₂ ، تظل نظرية تيتس للبساطة سارية المفعول باستثناء حالة انقسام G من النوع A ₁ أو B ₂ أو G ₂ ، أو عدم انقسامه (أي كونه وحدويًا) من النوع A _2. أما بالنسبة لـ k = F ₃ ، فتظل النظرية سارية المفعول باستثناء حالة ^G من النوع A _1. ^{[ 31} ]

لفهم المجموعة G ( k ) بأكملها، وهي مجموعة بسيطة من الرتبة k ، يمكن النظر إلى مجموعة وايتهيد W ( k , G ) = G ( k ) / G ( k ) ⁺ . في حالة G المتصلة ببساطة وشبه المنقسمة، تكون مجموعة وايتهيد تافهة، وبالتالي تكون المجموعة G ( k ) بأكملها بسيطة بتردد مركزها. ^{[ 32 ]} وبشكل أعم، تسأل مسألة كنيسر-تيتس عن أي مجموعات بسيطة متساوية الخواص من الرتبة k تكون مجموعة وايتهيد تافهة. في جميع الأمثلة المعروفة، تكون W ( k , G ) تبديلية.

بالنسبة لمجموعة بسيطة غير متناحية من الرتبة k، G ، قد تكون المجموعة المجردة G ( k ) بعيدة كل البعد عن البساطة. على سبيل المثال، ليكن D جبر قسمة مركزه حقل p -adic k . لنفترض أن بُعد D على k محدود وأكبر من 1. عندئذٍ، G = SL(1, D ) هي مجموعة بسيطة غير متناحية من الرتبة k . كما ذُكر سابقًا، فإن G ( k ) متراصة في الطوبولوجيا الكلاسيكية. ولأنها أيضًا منفصلة تمامًا ، فإن G ( k ) هي مجموعة شبه منتهية (ولكنها ليست منتهية). ونتيجة لذلك، تحتوي G ( k ) على عدد لا نهائي من الزمر الجزئية الطبيعية ذات الدليل المحدود . ^{[ 33 ]}

ليكن G زمرة جبرية خطية على الأعداد النسبية Q. يمكن عندئذٍ تمديد G إلى مخطط زمرة أفينية G على Z ، وهذا يُحدد زمرة مجردة G ( Z ). الزمرة الحسابية هي أي زمرة جزئية من G ( Q ) قابلة للقياس مع G ( Z ). (خاصية حسابية أي زمرة جزئية من G ( Q ) مستقلة عن اختيار بنية Z ). على سبيل المثال، SL( n , Z ) هي زمرة جزئية حسابية من SL( n , Q ).

بالنسبة لزمرة لي G ، تعني الشبكة في G زمرة جزئية منفصلة Γ من G بحيث يكون للمتشعب G /Γ حجم محدود (بالنسبة لمقياس ثابت تحت تأثير G ). على سبيل المثال، تكون الزمرة الجزئية المنفصلة Γ شبكة إذا كانت G /Γ متراصة. وتنص نظرية مارغوليس للحسابية ، على وجه الخصوص، على ما يلي: بالنسبة لزمرة لي بسيطة G ذات رتبة حقيقية لا تقل عن 2، فإن كل شبكة في G هي زمرة حسابية.

في محاولة لتصنيف الزمر الاختزالية التي لا تحتاج إلى تقسيم، تتمثل إحدى الخطوات في مؤشر تيتس ، الذي يُختزل المسألة إلى حالة الزمر غير المتناحية. يُعمم هذا الاختزال العديد من النظريات الأساسية في الجبر. على سبيل المثال، تنص نظرية تفكيك ويت على أن الشكل التربيعي غير المنحط على حقل ما يُحدد حتى التشاكل بواسطة مؤشر ويت الخاص به بالإضافة إلى نواته غير المتناحية. وبالمثل، تُختزل نظرية آرتين-ويدربورن تصنيف الجبر البسيط المركزي على حقل ما إلى حالة جبر القسمة. بتعميم هذه النتائج، بيّن تيتس أن الزمرة الاختزالية على حقل k تُحدد حتى التشاكل بواسطة مؤشر تيتس الخاص بها بالإضافة إلى نواتها غير المتناحية، وهي زمرة k شبه بسيطة غير متناحية مرتبطة بها .

بالنسبة لمجموعة اختزالية G على حقل k ، فإن مجموعة غالوا المطلقة Gal( k ^sep / k ) تؤثر (بشكل مستمر) على مخطط دينكين "المطلق" لـ G ، أي مخطط دينكين لـ G على إغلاق قابل للفصل k ^sep (وهو أيضًا مخطط دينكين لـ G على إغلاق جبري).${\displaystyle {\bar {k}}}$يتكون مؤشر تيتس للمجموعة G من البيانات الأساسية للمجموعة G _{k ^sep} ، وتأثير غالوا على مخطط دينكين الخاص بها، ومجموعة فرعية ثابتة تحت تأثير غالوا من رؤوس مخطط دينكين. تقليديًا، يُرسم مؤشر تيتس بتحديد مدارات غالوا في المجموعة الفرعية المعطاة.

يوجد تصنيف كامل للمجموعات شبه المنقسمة وفقًا لهذه المصطلحات. أي، لكل فعل لمجموعة غالوا المطلقة لحقل k على مخطط دينكين، توجد مجموعة شبه منقسمة شبه بسيطة H متصلة ببساطة على k ولها نفس الفعل. (بالنسبة لمجموعة شبه منقسمة، يتم إحاطة كل مدار غالوا في مخطط دينكين بدائرة). علاوة على ذلك، فإن أي مجموعة شبه بسيطة G متصلة ببساطة على k ولها نفس الفعل هي شكل داخلي للمجموعة شبه المنقسمة H ، مما يعني أن G هي المجموعة المرتبطة بعنصر من مجموعة تماثل غالوا H ¹ ( k , H / Z )، حيث Z هو مركز H. بعبارة أخرى، G هي التواء H المرتبط ببعض H / Z -torsor على k ، كما سيتم توضيحه في القسم التالي.

مثال: ليكن q شكلاً تربيعياً غير منحل ذو بُعد زوجي 2n على حقل k ذي خاصية لا تساوي 2، حيث n ≥ 5. (يمكن تجنب هذه القيود). ليكن G الزمرة البسيطة SO ( q ) على k . مخطط دينكين المطلق لـ G من النوع Dn _، وبالتالي فإن زمرة التشاكل الذاتي الخاصة به من الرتبة 2، مما يؤدي إلى تبديل "ساقي" مخطط Dn _. يكون تأثير زمرة غالوا المطلقة لـ k على مخطط دينكين تافهاً إذا وفقط إذا كان المميز الموجه d لـ q في k */( k *) ² تافهاً. إذا كان d غير تافه، فإنه يُشفّر في تأثير غالوا على مخطط دينكين: الزمرة الفرعية ذات الدليل 2 من زمرة غالوا التي تعمل كعنصر محايد هي${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$. تنقسم المجموعة G إذا وفقط إذا كان لـ q مؤشر ويت n ، وهو الحد الأقصى الممكن، وتكون G شبه منقسمة إذا وفقط إذا كان لـ q مؤشر ويت n − 1 على الأقل. ^{[ 23 ]}

يعني التورسور لمخطط المجموعة الأفينية G على الحقل k مخططًا أفينيًا X على k مع فعل G بحيث${\displaystyle X_{\overline {k}}}$متماثل مع${\displaystyle G_{\overline {k}}}$بفعل${\displaystyle G_{\overline {k}}}$يمكن أيضًا اعتبار التورسور حزمة رئيسية من G على k بالنسبة إلى طوبولوجيا fppf على k ، أو طوبولوجيا إيتال إذا كانت G ناعمة على k . تُسمى المجموعة المُشار إليها من فئات التشاكل لتورسورات G على k ^بـ H1 ( k , G )، في لغة تماثل غالوا.

تظهر التوسورات عندما نسعى لتصنيف أشكال كائن جبري معين Y على حقل k ، أي الكائنات X على k التي تصبح متماثلة مع Y على الإغلاق الجبري لـ k . بمعنى آخر، هذه الأشكال (حتى التماثل) تتطابق تطابقًا تامًا مع المجموعة H₁ ⁽ k , Aut( Y )). على سبيل المثال، تُصنف الأشكال التربيعية (غير المنحلة) ذات البعد n على k بواسطة H₁ ( k , O( n ) )، وتُصنف الجبريات البسيطة المركزية من الدرجة n على k بواسطة ^H₁ ( k , PGL( n ) ⁾ . كذلك، تُصنف الأشكال k لمجموعة جبرية معينة G (والتي تُسمى أحيانًا "التواءات" G ) بواسطة H₁ ⁽ k , Aut( G )). تحفز هذه المشكلات الدراسة المنهجية للتوسورات G ، وخاصةً للمجموعات المختزلة G.

عند الإمكان، يُؤمل تصنيف الزمر G -torsors باستخدام الثوابت الكوهومولوجية ، وهي ثوابت تأخذ قيمًا في كوهومولوجيا غالوا مع مجموعات المعاملات الأبيلية M ، H ^a ( k , M ). في هذا السياق، أثبت شتاينبرغ "تخمين سير الأول": بالنسبة لزمرة جبرية خطية متصلة G على حقل كامل ذي بُعد كوهومولوجي لا يتجاوز 1، فإن H ¹ ( k , G ) = 1. ^{[ 34 ]} (كانت حالة الحقل المنتهي معروفة سابقًا، كنظرية لانغ ). ويترتب على ذلك، على سبيل المثال، أن كل زمرة اختزالية على حقل منتهٍ هي شبه منقسمة.

تتنبأ فرضية سير الثانية بأنه بالنسبة لمجموعة شبه بسيطة متصلة G على حقل ذي بُعد كوهومولوجي لا يتجاوز 2، فإن H ¹ ( k , G ) = 1. هذه الفرضية معروفة لحقل أعداد تخيلي كلي (ذي بُعد كوهومولوجي 2). وبشكل أعم، لأي حقل أعداد k ، أثبت مارتن كنيسر ، وغونتر هاردر، وفلاديمير تشيرنوسوف (1989) مبدأ هاس : بالنسبة لمجموعة شبه بسيطة متصلة G على k ، فإن التطبيق

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

هي دالة تقابلية. ^{[ 35 ]} هنا ، يمتد v على جميع مواضع k ، و k_{_v} هو الحقل المحلي المقابل (ربما R أو C ). علاوة على ذلك، فإن المجموعة المُشار إليها H ^₁ ( k _{_v} , G ) تافهة لكل حقل محلي غير أرخميدي k _{_v} ، وبالتالي فإن المواضع الحقيقية لـ k هي المهمة فقط. وقد أثبت هاردر (1975) سابقًا نتيجة مماثلة لحقل شامل k ذي خاصية موجبة: لكل زمرة شبه بسيطة متصلة ببساطة G على k ، فإن H ^₁ ( k , G ) تافهة (لأن k ليس له مواضع حقيقية). ^{[ 36 ]}

في حالة مختلفة قليلاً، وهي حالة المجموعة المرافقة G على حقل عددي k ، ينطبق مبدأ هاس بصيغة أضعف: الخريطة الطبيعية

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

هو حقني. ^{[ 37 ]} بالنسبة لـ G = PGL ( n )، فإن هذا يعادل نظرية ألبرت-براور-هاس-نوثر ، التي تنص على أن الجبر البسيط المركزي على حقل عددي يتم تحديده بواسطة ثوابته المحلية.

استنادًا إلى مبدأ هاس، فإن تصنيف الزمر شبه البسيطة على حقول الأعداد مفهوم جيدًا. على سبيل المثال، يوجد بالضبط ثلاثة أشكال Q للزمرة الاستثنائية E ₈ ، والتي تتوافق مع الأشكال الحقيقية الثلاثة لـ E ₈ .

• مجموعات من نوع لي هي مجموعات بسيطة منتهية مبنية من مجموعات جبرية بسيطة على حقول منتهية.
• تنوع العلم المعمم ، تحليل بروهات ، تنوع شوبيرت ، حساب شوبيرت
• جبر شور ، نظرية ديلين-لوستيج
• الشكل الحقيقي (نظرية الكذب)
• تخمين ويل بشأن أعداد تاماغاوا
• تصنيف لانجلاندز ، مجموعة لانجلاندز الثنائية ، برنامج لانجلاندز ، برنامج لانجلاندز الهندسي
• مجموعة خاصة ، بُعد أساسي
• نظرية الثوابت الهندسية ، نظرية شريحة لونا ، نظرية حبوش
• جذر مجموعة جبرية

• بوريل، أرماند (1991) [1969]، الزمر الجبرية الخطية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  126 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر نيتشر ، doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 ، ISBN 0-387-97370-2MR 1102012​ 
• الأماكن القريبة : الثدي، جاك (1971)، “Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I.”، اختراعات الرياضيات ، 12 (2): 95– 104، بيب كود : 1971InMat..12...95B ، دوى : 10.1007 / BF01404653 ، MR 0294349 , S2CID 119837998  
• Chevalley، Claude (2005) [1958]، Cartier، P. (ed.)، تصنيف المجموعات الجبرية شبه البسيطة ، الأعمال المجمعة، المجلد. 3, سبرينغر نيتشر , ISBN 3-540-23031-9MR 2124841​ 
• كونراد ، بريان (2014)، “مخططات المجموعة الاختزالية” (PDF) ، Autour des schémas en groupes ، المجلد.  1، باريس: Société Mathématique de France ، الصفحات من 93 إلى 444، ISBN  978-2-85629-794-0MR 3309122​ 
• ديمازور, ميشيل ; غابرييل ، بيير (1970)، المجموعات الجبرية. المجلد الأول: الهندسة الجبرية والعامة والمجموعات التبادلية ، باريس: ماسون، ISBN 978-2225616662، MR 0302656 
• ديمازور، م . جروتينديك، أ. (2011) [1970]. جيل، ص. بولو، ص. (محرران). المخططات الجماعية (SGA 3)، I: خصائص المخططات العامة في المجموعات . شركة الرياضيات الفرنسية . رقم ISBN 978-2-85629-323-2. MR 2867621 . طبعة منقحة ومُعلّقة من النسخة الأصلية الصادرة عام 1970.
• ديمازور، م . جروتينديك، أ. (1970). مجموعات النوع المضاعف وبنية المخططات في مجموعات عامة . ملاحظات محاضرة في الرياضيات. المجلد.  152. برلين؛ نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . دوى : 10.1007/BFb0059005 . رقم ISBN 978-3540051800MR 0274459 .​ 
• ديمازور، م . جروتينديك، أ. (2011) [1970]. جيل، ص. بولو، ص. (محرران). Schémas en groupes (SGA 3)، III: هيكلة المخططات في مجموعات مختزلة . شركة الرياضيات الفرنسية . رقم ISBN 978-2-85629-324-9MR 2867622 .​ طبعة منقحة ومُعلّقة من النسخة الأصلية الصادرة عام 1970.
• جيل ، فيليب (2009)، “Le problème de Kneser–Tits” (PDF) ، ندوة بورباكي. المجلد. 2007/2008 ، أستيريسك، المجلد.  326، Société Mathématique de France ، الصفحات من 39 إلى 81، ISBN  978-285629-269-3MR 2605318​ 
• جانتزن، ينس كارستن (2003) [1987]، تمثيلات المجموعات الجبرية (  الطبعة الثانية)، الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-3527-2MR 2015057​ 
• ميلن، جيه إس (2017)، الزمر الجبرية: نظرية مخططات الزمر من النوع المحدود على حقل ، مطبعة جامعة كامبريدج ، doi : 10.1017/9781316711736 ، ISBN 978-1107167483MR 3729270​ 
• بلاتونوف، فلاديمير ؛ رابينتشوك، أندريه (1994)، الزمر الجبرية ونظرية الأعداد ، دار النشر الأكاديمية ، رقم ISBN 0-12-558180-7MR 1278263​ 
• في إل بوبوف (2001) [1994]، "المجموعة المختزلة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• ريتشي، سيمون؛ ويليامسون ، جوردي (2018)، وحدات الإمالة والأساس الكنسي ، Astérisque، المجلد.  397، شركة الرياضيات الفرنسية ، أرخايف : 1512.08296 ، بيب كود : 2015arXiv151208296R ، ISBN 978-2-85629-880-0
• سبرينغر، توني أ. (1979)، "المجموعات المختزلة" ، الأشكال التلقائية، والتمثيلات، ودوال L ، المجلد  1، الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 3-27 ، ISBN  0-8218-3347-2، MR 0546587 
• سبرينغر، توني أ. (1998)، الزمر الجبرية الخطية ، سلسلة التقدم في الرياضيات، المجلد  9 (الطبعة الثانية  )، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، doi : 10.1007/978-0-8176-4840-4 ، ISBN 978-0-8176-4021-7MR 1642713​ 
• شتاينبرغ ، روبرت (1965)، “العناصر المنتظمة للمجموعات الجبرية شبه البسيطة” ، منشورات Mathématiques de l’IHÉS ، 25 : 49–80 ، دوى : 10.1007 / bf02684397 ، MR 0180554 ، S2CID 55638217  
• ستاينبرغ، روبرت (2016) [1968]، محاضرات في مجموعات شيڤالي ، سلسلة محاضرات جامعية، المجلد  66، الجمعية الأمريكية للرياضيات ، doi : 10.1090/ulect/066 ، ISBN 978-1-4704-3105-1MR 3616493​ 
• تيتس، جاك (1964)، "المجموعات البسيطة الجبرية والمجردة"، حوليات الرياضيات ، 80 (2): 313-329 ، doi : 10.2307/1970394 ، JSTOR 1970394 ، MR 0164968  

• ديمازور، م . جروتينديك، A. ، جيل، P .؛ Polo, P. (eds.), Schémas en groupes (SGA 3), II: مجموعات من النوع المضاعف، وبنية المخططات في مجموعات عامةطبعة منقحة ومُعلّقة من النسخة الأصلية الصادرة عام 1970.