الهندسة التحليلية

قام عالم الرياضيات اليوناني مينايخموس بحل المسائل وإثبات النظريات باستخدام طريقة تشبه إلى حد كبير استخدام الإحداثيات، وقد قيل أحيانًا أنه هو من أدخل الهندسة التحليلية. ^{[ 1 ]}

تناول أبولونيوس البرغي ، في كتابه "في المقطع المحدد" ، مسائلَ يمكن وصفها بالهندسة التحليلية أحادية البعد، وتحديدًا مسألة إيجاد نقاط على خط مستقيم تُشكّل نسبةً إلى نقاط أخرى. ^{[ 2 ]} وقد طوّر أبولونيوس في كتابه "المخروطيات" منهجًا شديد الشبه بالهندسة التحليلية، حتى أن البعض يعتقد أن عمله سبق عمل ديكارت بنحو 1800 عام. إن تطبيقه لخطوط المرجعية والقطر والمماس لا يختلف جوهريًا عن استخدامنا الحديث لنظام الإحداثيات، حيث تمثل المسافات المقاسة على طول القطر من نقطة التماس الإحداثيات السينية، بينما تمثل القطع المستقيمة الموازية للمماس والمقطوعة بين المحور والمنحنى الإحداثيات الصادية. وقد طوّر أيضًا علاقات بين الإحداثيات السينية والإحداثيات الصادية المقابلة لها، وهي علاقات تُكافئ المعادلات البلاغية (المُعبَّر عنها لفظيًا) للمنحنيات. مع ذلك، ورغم اقتراب أبولونيوس من تطوير الهندسة التحليلية، إلا أنه لم ينجح في ذلك، إذ لم يأخذ في الحسبان المقادير السالبة، وفي كل حالة كان نظام الإحداثيات يُفرض على منحنى معين لاحقاً بدلاً من فرضه مسبقاً . أي أن المعادلات كانت تُحدد بالمنحنيات، لكن المنحنيات لم تكن تُحدد بالمعادلات. كانت الإحداثيات والمتغيرات والمعادلات مفاهيم ثانوية تُطبق على حالة هندسية محددة. ^{[ 3 ]}

رأى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام، الذي عاش في القرن الحادي عشر، علاقة وثيقة بين الهندسة والجبر، وكان يسير في الاتجاه الصحيح عندما ساهم في سد الفجوة بين الجبر العددي والجبر الهندسي ^{[ 4 ]} من خلال حله الهندسي للمعادلات التكعيبية العامة ، ^{[ 5 ]} إلا أن الخطوة الحاسمة جاءت لاحقًا مع ديكارت. ^{[ 4 ]} يُنسب إلى عمر الخيام تحديد أسس الهندسة الجبرية ، ويُعد كتابه "رسالة في برهان مسائل الجبر" (1070)، الذي وضع فيه مبادئ الهندسة التحليلية، جزءًا من التراث الرياضي الفارسي الذي انتقل لاحقًا إلى أوروبا. ^{[ 6 ]} وبفضل منهجه الهندسي الشامل في حل المعادلات الجبرية، يُمكن اعتبار الخيام رائدًا لديكارت في ابتكار الهندسة التحليلية. ^{[ 7 ] : 248}

ابتكر رينيه ديكارت وبيير دي فيرما الهندسة التحليلية بشكل مستقل ، ^{[ 8 ] [ 9 ]} على الرغم من أن الفضل يُنسب أحيانًا إلى ديكارت وحده. ^{[ 10 ] [ 11 ]} أما الهندسة الديكارتية ، وهو المصطلح البديل المستخدم للهندسة التحليلية، فقد سُميت نسبةً إلى ديكارت.

أحرز ديكارت تقدمًا ملحوظًا في المنهجية من خلال مقال بعنوان " الهندسة" ( La Géométrie ) ، وهو أحد المقالات الثلاثة المصاحبة (الملحقات) التي نُشرت عام 1637 مع كتابه " مقال في المنهج لتوجيه العقل بشكل صحيح والبحث عن الحقيقة في العلوم" ، والمعروف باسم "مقال في المنهج" . وقد أرست "الهندسة" ، المكتوبة بلغته الفرنسية الأم ، ومبادئها الفلسفية، أساسًا لحساب التفاضل والتكامل في أوروبا. في البداية، لم يلقَ العمل استحسانًا، ويعود ذلك جزئيًا إلى الثغرات العديدة في الحجج والمعادلات المعقدة. ولم تنل تحفة ديكارت التقدير الذي تستحقه إلا بعد ترجمتها إلى اللاتينية وإضافة تعليقات فان شوتين عام 1649 (وما تلا ذلك من أعمال لاحقة). ^{[ 12 ]}

كان بيير دي فيرما رائدًا في تطوير الهندسة التحليلية. ورغم عدم نشرها في حياته، إلا أن نسخة مخطوطة من كتابه "Ad locos planos et solidos isagoge " (مقدمة في المواضع المستوية والصلبة) كانت متداولة في باريس عام 1637، قبيل نشر ديكارت لكتابه " مقال في الهندسة ". ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} وقد لاقت هذه المقدمة ، المكتوبة بأسلوب واضح والمقبولة، استحسانًا واسعًا، ووضعت أيضًا الأساس للهندسة التحليلية. ويكمن الاختلاف الرئيسي بين معالجة فيرما وديكارت في وجهة النظر: إذ كان فيرما يبدأ دائمًا بمعادلة جبرية ثم يصف المنحنى الهندسي الذي يحققها، بينما كان ديكارت يبدأ بالمنحنيات الهندسية ويستنتج معادلاتها كإحدى خصائصها المتعددة. ^{[ 12 ]} ونتيجةً لهذا النهج، اضطر ديكارت إلى التعامل مع معادلات أكثر تعقيدًا، وكان عليه تطوير أساليب للتعامل مع المعادلات متعددة الحدود ذات الدرجات الأعلى. كان ليونارد أويلر أول من طبق طريقة الإحداثيات في دراسة منهجية للمنحنيات والأسطح الفضائية.

The most common coordinate system to use is the Cartesian coordinate system, where each point has an x-coordinate representing its horizontal position, and a y-coordinate representing its vertical position. These are typically written as an ordered pair (x, y). This system can also be used for three-dimensional geometry, where every point in Euclidean space is represented by an ordered triple of coordinates (x, y, z).

In polar coordinates, every point of the plane is represented by its distance r from the origin and its angleθ, with θ normally measured counterclockwise from the positive x-axis. Using this notation, points are typically written as an ordered pair (r, θ). One may transform back and forth between two-dimensional Cartesian and polar coordinates by using these formulae:^[17]$${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta$$ ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).} This system may be generalized to three-dimensional space through the use of cylindrical or spherical coordinates.^[17]

In cylindrical coordinates, every point of space is represented by its height z, its radiusr from the z-axis and the angleθ its projection on the xy-plane makes with respect to the horizontal axis.

في الإحداثيات الكروية، تُمثَّل كل نقطة في الفضاء بمسافتها ρ من نقطة الأصل، والزاوية θ التي يصنعها إسقاطها على المستوى xy بالنسبة للمحور الأفقي، والزاوية φ التي تصنعها بالنسبة للمحور z . غالبًا ما تُعكس أسماء الزوايا في الفيزياء. ^{[ 16 ]}

يمكن وصف الخطوط في المستوى الديكارتي ، أو بشكل أعم، في الإحداثيات الأفينية ، جبريًا بواسطة معادلات خطية . في بعدين، غالبًا ما تُعطى معادلة الخطوط غير الرأسية بصيغة الميل والمقطع : $${\displaystyle y=mx+b}$$ أين:

• يمثل m ميل الخط أو انحداره .
• b هو نقطة تقاطع الخط مع المحور الصادي.
• x هو المتغير المستقل للدالة y = f ( x ).

بطريقة مماثلة للطريقة التي يتم بها وصف الخطوط في الفضاء ثنائي الأبعاد باستخدام شكل نقطة-ميل لمعادلاتها، فإن المستويات في الفضاء ثلاثي الأبعاد لها وصف طبيعي باستخدام نقطة في المستوى ومتجه متعامد معها ( المتجه العمودي ) للإشارة إلى "ميلها".

على وجه التحديد، دع${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ليكن متجه موضع نقطة ما${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ودع${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ليكن متجهًا غير صفري. يتكون المستوى المحدد بهذه النقطة والمتجه من تلك النقاط.${\displaystyle P}$، مع متجه الموضع${\displaystyle \mathbf {r} }$، بحيث يكون المتجه المرسوم من${\displaystyle P_{0}}$ل${\displaystyle P}$عمودي على${\displaystyle \mathbf {n} }$بتذكر أن متجهين يكونان متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا، فإنه يترتب على ذلك أن المستوى المطلوب يمكن وصفه بأنه مجموعة جميع النقاط${\displaystyle \mathbf {r} }$بحيث $${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$$ (النقطة هنا تعني الضرب القياسي ، وليس الضرب القياسي). وبتوسيع هذا يصبح $${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$وهي الصيغة النقطية العمودية لمعادلة المستوى. هذه مجرد معادلة خطية : $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ حيث }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$$ وبالمقابل، من السهل إثبات أنه إذا كانت a و b و c و d ثوابت، وكانت a و b و c لا تساوي جميعها صفرًا، فإن الرسم البياني للمعادلة $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$هو مستوى له متجه${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$كحالة طبيعية. تُسمى هذه المعادلة المألوفة للمستوى بالصيغة العامة لمعادلة المستوى. ^{[ 20 ]}

في ثلاثة أبعاد، لا يمكن وصف الخطوط بمعادلة خطية واحدة، لذلك غالباً ما يتم وصفها بمعادلات وسيطية : $${\displaystyle x=x_{0}+at}$$$${\displaystyle y=y_{0}+bt}$$$${\displaystyle z=z_{0}+ct}$$ أين:

• x و y و z كلها دوال للمتغير المستقل t الذي يتراوح على الأعداد الحقيقية.
• ( x0 _, y0 , _{z0 )} هي أي نقطة على الخط.
• ترتبط a و b و c بميل الخط، بحيث يكون المتجه ( a و b و c ) موازياً للخط.

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يكون تمثيل المعادلة التربيعية بمتغيرين دائمًا قطعًا مخروطيًا - على الرغم من أنه قد يكون منحلًا، وتنشأ جميع القطوع المخروطية بهذه الطريقة. ستكون المعادلة على الصورة التالية: $${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ حيث }}A، B، C{\text{ ليست جميعها أصفارًا.}}}$$ بما أن تغيير مقياس جميع الثوابت الستة ينتج عنه نفس موضع الأصفار، يمكن اعتبار القطوع المخروطية نقاطًا في الفضاء الإسقاطي خماسي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

يمكن تصنيف القطوع المخروطية الموصوفة بهذه المعادلة باستخدام المميز ^{[ 21 ]}

$${\displaystyle B^{2}-4AC.}$$ إذا كان القطع المخروطي غير منحل، فإن:

• لو${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$، تمثل المعادلة قطعًا ناقصًا ؛
  • لو${\displaystyle A=C}$و${\displaystyle B=0}$، تمثل المعادلة دائرة ، وهي حالة خاصة من القطع الناقص؛
• لو${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$، تمثل المعادلة قطعًا مكافئًا ؛
• لو${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$، تمثل المعادلة قطعًا زائدًا ؛
  • إذا كان لدينا أيضًا${\displaystyle A+C=0}$، تمثل المعادلة قطعًا زائدًا قائمًا .

السطح التربيعي ، أو السطح التربيعي ، هو سطح ثنائي الأبعاد في فضاء ثلاثي الأبعاد، ويُعرَّف بأنه _موضع أصفار متعددة الحدود التربيعية . في الإحداثيات x1 ، x2 ، x3 _، يُعرَّف السطح التربيعي العام بالمعادلة الجبرية ^{[ 22 ]} _.

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$$

تشمل الأسطح التربيعية الأشكال الإهليلجية (بما في ذلك الكرة )، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد ، والأسطوانات ، والمخاريط ، والمستويات .

أحد أنواع التقاطعات التي تحظى بدراسة واسعة هو تقاطع شكل هندسي مع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$محاور الإحداثيات.

تقاطع شكل هندسي و${\displaystyle y}$يُطلق على المحور - اسم${\displaystyle y}$نقطة تقاطع الجسم مع المحور الصادي. تقاطع جسم هندسي مع المحور الصادي.${\displaystyle x}$يُطلق على المحور - اسم${\displaystyle x}$نقطة تقاطع الجسم مع المحور السيني.

للسطر${\displaystyle y=mx+b}$، المعامل${\displaystyle b}$يحدد النقطة التي يتقاطع عندها الخط مع${\displaystyle y}$المحور. اعتمادًا على السياق، إما${\displaystyle b}$أو النقطة${\displaystyle (0,b)}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle y}$- نقطة التقاطع.

في الهندسة ، يُعرف المماس (أو ببساطة المماس ) لمنحنى مستوٍ عند نقطة معينة بأنه الخط المستقيم الذي يلامس المنحنى عند تلك النقطة. بعبارة أخرى، هو خط يمر بنقطتين متقاربتين للغاية على المنحنى. بتعبير أدق، يُقال إن الخط المستقيم مماس للمنحنى y = f ( x ) عند النقطة x = c على المنحنى إذا كان يمر بالنقطة ( c , f ( c )) على المنحنى وميله f ' ( c )، حيث f' هي مشتقة f . وينطبق تعريف مشابه على المنحنيات الفضائية والمنحنيات في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n .

عندما يمر عبر النقطة التي يلتقي فيها الخط المماس والمنحنى، والتي تسمى نقطة التماس ، فإن الخط المماس "يسير في نفس الاتجاه" مثل المنحنى، وبالتالي فهو أفضل تقريب خطي للمنحنى عند تلك النقطة.

وبالمثل، فإن المستوى المماس لسطح ما عند نقطة معينة هو المستوى الذي "يلامس" السطح عند تلك النقطة. يُعد مفهوم المماس أحد أهم المفاهيم الأساسية في الهندسة التفاضلية ، وقد تم تعميمه على نطاق واسع؛ انظر: فضاء المماس .

• بوير، كارل ب. (2004) [1956]، تاريخ الهندسة التحليلية ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0486438320
• كاجوري، فلوريان (1999)، تاريخ الرياضيات ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 978-0821821022
• جون كيسي (1885) الهندسة التحليلية للنقطة والخط والدائرة والقطوع المخروطية ، رابط من أرشيف الإنترنت .
• كاتز، فيكتور ج. (1998)، تاريخ الرياضيات: مقدمة (الطبعة الثانية) ، ريدينغ: أديسون ويسلي لونغمان، رقم ISBN 0-321-01618-1
• ميخائيل بوستنيكوف (1982) محاضرات في الهندسة، الفصل الدراسي الأول، الهندسة التحليلية، عبر أرشيف الإنترنت
• ستريك، دي جيه (1969)، كتاب مصادر في الرياضيات، 1200-1800 ، مطبعة جامعة هارفارد، رقم ISBN 978-0674823556

• بيسيل، كريستوفر سي. (1987)، "الهندسة الديكارتية: المساهمة الهولندية"، مجلة الرياضيات الذكية ، 9 (4): 38-44 ، doi : 10.1007/BF03023730
• بوير، كارل ب. (1944)، "الهندسة التحليلية: اكتشاف فيرما وديكارت"، معلم الرياضيات ، 37 (3): 99-105 ، doi : 10.5951/MT.37.3.0099
• بوير، كارل ب. (1965)، "يوهان هود وإحداثيات الفضاء"، معلم الرياضيات ، 58 (1): 33-36 ، doi : 10.5951/MT.58.1.0033
• كوليدج، جيه إل (1948)، "بدايات الهندسة التحليلية في ثلاثة أبعاد"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 55 (2): 76-86 ، doi : 10.2307/2305740 ، JSTOR 2305740 
• بيكل، ج.، نيوتن والهندسة التحليلية