طريقة العناصر المحدودة

تتميز طريقة العناصر المحدودة بصياغة تباينية ، واستراتيجية تجزئة، وخوارزمية حل واحدة أو أكثر، وإجراءات ما بعد المعالجة.

ومن أمثلة الصياغة التباينية طريقة جاليركين ، وطريقة جاليركين غير المتصلة، والطرق المختلطة، وما إلى ذلك.

تُفهم استراتيجية التجزئة على أنها مجموعة محددة بوضوح من الإجراءات التي تشمل: (أ) إنشاء شبكات العناصر المحدودة، (ب) تعريف دوال الأساس على العناصر المرجعية (وتُسمى أيضًا دوال الشكل)، و(ج) ربط العناصر المرجعية بعناصر الشبكة. ومن أمثلة استراتيجيات التجزئة: الإصدار h، والإصدار p ، والإصدار hp ، و x-FEM ، والتحليل الهندسي المتساوي ، وغيرها. ولكل استراتيجية تجزئة مزاياها وعيوبها. ويُعدّ تحقيق أداء شبه مثالي لأوسع نطاق من النماذج الرياضية ضمن فئة نموذجية معينة معيارًا منطقيًا لاختيار استراتيجية التجزئة.

يمكن تصنيف خوارزميات الحل العددي المختلفة إلى فئتين رئيسيتين: الحلول المباشرة والحلول التكرارية. صُممت هذه الخوارزميات للاستفادة من خاصية التباعد في المصفوفات، والتي تعتمد على الصيغة التباينية وخيارات استراتيجية التقطيع.

صُممت إجراءات المعالجة اللاحقة لاستخراج البيانات المطلوبة من حلول العناصر المحدودة. ولتلبية متطلبات التحقق من الحل، يجب أن توفر هذه الإجراءات تقديرًا لاحقًا للخطأ بدلالة الكميات المطلوبة. عندما تتجاوز أخطاء التقريب الحد المقبول، يجب تغيير التجزئة إما بعملية تكيفية آلية أو بتدخل من المحلل. وتوفر بعض إجراءات المعالجة اللاحقة عالية الكفاءة إمكانية تحقيق التقارب الفائق .

توضح المسألتان التاليتان طريقة العناصر المحدودة.

P1 هي مشكلة أحادية البعد $${\displaystyle {\text{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\text{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}$$ أين${\displaystyle f}$معطى،${\displaystyle u}$هي دالة غير معروفة لـ${\displaystyle x}$، و${\displaystyle u''}$هي المشتقة الثانية لـ${\displaystyle u}$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$.

المسألة P2 هي مسألة ثنائية الأبعاد ( مسألة ديريشليه ) $${\displaystyle {\text{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y)&{\text{ في }}\Omega ,\\u=0&{\text{ على }}\partial \Omega ,\end{cases}}}$$

أين$أوميغا$هي منطقة مفتوحة متصلة في${\displaystyle (x,y)}$المستوى الذي حدوده${\displaystyle \partial \Omega }$جميل (مثلاً، سطح مستوٍ أملس أو مضلع )، و${\displaystyle u_{xx}}$و${\displaystyle u_{yy}}$لنرمز إلى المشتقات الثانية بالنسبة إلى${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، على التوالى.

يمكن حل المسألة P1 مباشرةً بحساب الدوال الأصلية . مع ذلك، فإن هذه الطريقة لحل مسألة القيمة الحدية (BVP) لا تُجدي إلا في حالة وجود بُعد مكاني واحد. ولا يمكن تعميمها على المسائل ذات الأبعاد الأعلى أو مسائل مثل${\displaystyle u+V''=f}$لهذا السبب، سنقوم بتطوير طريقة العناصر المحدودة لـ P1 ونوضح تعميمها على P2.

سيتم شرحنا على مرحلتين، وهما تعكسان خطوتين أساسيتين يجب على المرء اتخاذهما لحل مسألة القيمة الحدية (BVP) باستخدام طريقة العناصر المحدودة (FEM).

• في الخطوة الأولى، يُعاد صياغة مسألة القيمة الحدية الأصلية في صورتها الضعيفة. عادةً ما تتطلب هذه الخطوة حسابات قليلة أو معدومة. ويتم التحويل يدويًا على الورق.
• الخطوة الثانية هي التقطيع، حيث يتم تقطيع الشكل الضعيف في فضاء محدود الأبعاد.

بعد هذه الخطوة الثانية، نحصل على صيغ محددة لمسألة خطية كبيرة ولكنها محدودة الأبعاد، والتي سيحل حلها تقريبًا مسألة القيمة الحدية الأصلية. ثم يتم تطبيق هذه المسألة محدودة الأبعاد على جهاز كمبيوتر .

الخطوة الأولى هي تحويل P1 و P2 إلى صيغهما الضعيفة المكافئة .

الشكل الضعيف لـ P1

لو${\displaystyle u}$إذا تم حل P1، فعندئذٍ لأي دالة سلسة${\displaystyle v}$التي تحقق شروط حدود الإزاحة، أي${\displaystyle v=0}$في${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle x=1}$لدينا

$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx.}$$

1

على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle u}$مع${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$يحقق (1) لكل دالة سلسة${\displaystyle v(x)}$عندئذٍ يمكن للمرء أن يثبت أن هذا${\displaystyle u}$سيحل هذا المسألة P1. ويكون البرهان أسهل بالنسبة للدوال القابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر.${\displaystyle u}$( نظرية القيمة المتوسطة ) ولكن يمكن إثباتها بمعنى التوزيع أيضًا.

نُعرّف عاملًا أو خريطة جديدة${\displaystyle \phi (u,v)}$باستخدام التكامل بالتجزئة على الجانب الأيمن من (1):

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,dx&=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,dx\\&=u'(x)v(x)|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\\&=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,dx\equiv -\phi (u,v),\end{aligned}}}$

2

حيث استخدمنا الافتراض التالي:${\displaystyle v(0)=v(1)=0}$.

نأخذ الفترة الزمنية${\displaystyle (0,1)}$، يختار${\displaystyle n}$قيم${\displaystyle x}$مع${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$ونحن نحدد${\displaystyle V}$بواسطة: $${\displaystyle V=\{v:[0,1]\to \mathbb {R} \;:v{\text{ is continuous, }}v|_{[x_{k},x_{k+1}]}{\text{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\text{, and }}v(0)=v(1)=0\}}$$

حيث نحدد${\displaystyle x_{0}=0}$و${\displaystyle x_{n+1}=1}$لاحظ أن الوظائف في${\displaystyle V}$لا يمكن تفاضلها وفقًا للتعريف الأساسي للتفاضل والتكامل. في الواقع، إذا${\displaystyle v\in V}$عندئذٍ، لا تكون المشتقة معرفة عادةً عند أي نقطة.${\displaystyle x=x_{k}}$،${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ومع ذلك، فإن المشتقة موجودة عند كل قيمة أخرى لـ${\displaystyle x}$ويمكن استخدام هذه المشتقة للتكامل بالتجزئة .

نحن بحاجة${\displaystyle V}$أن تكون مجموعة من وظائف${\displaystyle \Omega }$في الشكل الموجود على اليمين، قمنا بتوضيح عملية تثليث منطقة مضلعة ذات 15 ضلعًا${\displaystyle \Omega }$في المستوى (أدناه)، ودالة خطية متقطعة (أعلاه، بالألوان) لهذا المضلع والتي تكون خطية على كل مثلث من مثلثات التثليث؛ الفضاء${\displaystyle V}$ستتألف من دوال خطية على كل مثلث من المثلثات المختارة.

يُؤمل أنه مع ازدياد دقة الشبكة المثلثية الأساسية، سيتقارب حل المسألة المنفصلة (3) إلى حد ما مع حل مسألة القيمة الحدية الأصلية P2. لقياس دقة هذه الشبكة، يتم فهرسة التثليث بواسطة مُعامل حقيقي القيمة.${\displaystyle h>0}$والتي تُعتبر صغيرة جدًا. سيرتبط هذا المعامل بأكبر حجم أو متوسط ​​حجم المثلث في عملية التثليث. ومع تحسين عملية التثليث، يتسع نطاق الدوال الخطية القطعية.${\displaystyle V}$يجب أن يتغير أيضًا مع${\displaystyle h}$ولهذا السبب، يقرأ المرء غالبًا${\displaystyle V_{h}}$بدلاً من${\displaystyle V}$في الأدبيات. وبما أننا لا نجري مثل هذا التحليل، فلن نستخدم هذه الرموز.

استيفاء دالة بيسل

16 دالة أساسية مثلثية متغيرة الحجم ومزاحة (ألوان) تستخدم لإعادة بناء دالة بيسل من الرتبة الصفرية J ₀ (أسود)

يؤدي التركيب الخطي للدوال الأساسية (باللون الأصفر) إلى إعادة إنتاج J ₀ (باللون الأسود) بأي دقة مطلوبة.

لإتمام عملية التقطيع، يجب علينا اختيار أساس لـ${\displaystyle V}$في الحالة أحادية البعد، لكل نقطة تحكم${\displaystyle x_{k}}$سنختار الدالة الخطية المجزأة${\displaystyle v_{k}}$في${\displaystyle V}$قيمتها${\displaystyle 1}$في${\displaystyle x_{k}}$وصفر في كل${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$، أي، $${\displaystyle v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\text{ if }}x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k}}&{\text{ if }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$

ل${\displaystyle k=1,\dots ,n}$هذه القاعدة عبارة عن دالة خيمة مُزاحة ومُقاسة . أما في الحالة ثنائية الأبعاد، فنختار مرة أخرى دالة أساسية واحدة.${\displaystyle v_{k}}$رأسي${\displaystyle x_{k}}$من عملية التثليث للمنطقة المستوية${\displaystyle \Omega }$الوظيفة${\displaystyle v_{k}}$الوظيفة الفريدة لـ${\displaystyle V}$قيمتها${\displaystyle 1}$في${\displaystyle x_{k}}$وصفر في كل${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$.

بحسب المؤلف، يشير مصطلح "العنصر" في "طريقة العناصر المحدودة" إلى مثلثات المجال، أو دالة الأساس الخطية القطعية، أو كليهما. فعلى سبيل المثال، قد يستبدل مؤلف مهتم بالمجالات المنحنية المثلثات بأشكال أولية منحنية، وبالتالي يصف العناصر بأنها منحنية. من جهة أخرى، يستبدل بعض المؤلفين مصطلح "خطية قطعية" بمصطلح "تربيعية قطعية" أو حتى "متعددة الحدود قطعية". وقد يستخدم المؤلف حينها مصطلح "عنصر من رتبة أعلى" بدلاً من "متعددة حدود من درجة أعلى". لا تقتصر طريقة العناصر المحدودة على المثلثات (مثل رباعيات الأوجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد أو الأشكال البسيطة من الرتبة الأعلى في الفضاءات متعددة الأبعاد). ومع ذلك، يمكن تعريفها على مجالات فرعية رباعية الأضلاع (مثل سداسيات الأوجه، والموشورات، والأهرامات في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وما إلى ذلك). ويمكن تعريف الأشكال من الرتبة الأعلى (العناصر المنحنية) باستخدام أشكال متعددة الحدود، وحتى أشكال غير متعددة الحدود (مثل القطع الناقص أو الدائرة).

من أمثلة الطرق التي تستخدم دوال الأساس متعددة الحدود ذات الدرجة الأعلى طريقة hp-FEM وطريقة FEM الطيفية .

تستخدم التطبيقات الأكثر تطورًا (طرق العناصر المحدودة التكيفية) أسلوبًا لتقييم جودة النتائج (استنادًا إلى نظرية تقدير الخطأ) وتعديل الشبكة أثناء الحل بهدف الوصول إلى حل تقريبي ضمن حدود معينة من الحل الدقيق لمسألة الوسط المتصل. قد تستخدم عملية تكيف الشبكة تقنيات متنوعة، وأكثرها شيوعًا ما يلي:

• تحريك العقد (التكيف r)
• تحسين العناصر (وغير المحسّنة) (التكيف h)
• تغيير ترتيب الدوال الأساسية (التكيف من النوع p)
• مجموعات من العناصر المذكورة أعلاه ( التكيف مع ارتفاع ضغط الدم ).

تتمثل الميزة الأساسية لهذا الاختيار للأساس في أن المنتجات الداخلية $${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle =\int _{0}^{1}v_{j}v_{k}\,dx}$$ و $${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})=\int _{0}^{1}v_{j}'v_{k}'\,dx}$$ ستكون القيمة صفرًا بالنسبة للجميع تقريبًا${\displaystyle j,k}$(المصفوفة التي تحتوي على${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$في${\displaystyle (j,k)}$يُعرف الموقع باسم مصفوفة غراميان . في الحالة أحادية البعد، يكون نطاق الدعم${\displaystyle v_{k}}$هي الفترة${\displaystyle [x_{k-1},x_{k+1}]}$وبالتالي، فإن الدوال التكاملية لـ${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$و${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})}$تكون قيمها صفرًا تمامًا عندما${\displaystyle |j-k|>1}$.

وبالمثل، في الحالة المستوية، إذا${\displaystyle x_{j}}$و${\displaystyle x_{k}}$إذا لم تشترك في ضلع من أضلاع التثليث، فإن التكاملات $${\displaystyle \int _{\Omega }v_{j}v_{k}\,ds}$$ و $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla v_{j}\cdot \nabla v_{k}\,ds}$$ كلاهما يساوي صفرًا.

إذا كتبنا${\displaystyle u(x)=\sum _{k=1}^{n}u_{k}v_{k}(x)}$و${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$ثم المسألة (3)، خذ${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$ل${\displaystyle j=1,\dots ,n}$، يصبح

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{n}u_{k}\phi (v_{k},v_{j})=\sum _{k=1}^{n}f_{k}\int v_{k}v_{j}dx}$ل${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$

4

إذا رمزنا بـ${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {f} }$متجهات الأعمدة${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})^{t}}$و${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$وإذا سمحنا $${\displaystyle L=(L_{ij})}$$ و $${\displaystyle M=(M_{ij})}$$ لتكن مصفوفات عناصرها $${\displaystyle L_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})}$$ و $${\displaystyle M_{ij}=\int v_{i}v_{j}dx}$$ عندئذٍ يمكننا إعادة صياغة (4) على النحو التالي

$${\displaystyle -L\mathbf {u} =M\mathbf {f} .}$$

5

ليس من الضروري أن نفترض${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$بالنسبة لدالة عامة${\displaystyle f(x)}$، المسألة (3) مع${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$ل${\displaystyle j=1,\dots ,n}$يصبح الأمر أبسط في الواقع، لأنه لا توجد مصفوفة${\displaystyle M}$يُستخدم،

$${\displaystyle -L\mathbf {u} =\mathbf {b} ,}$$

6

أين${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{n})^{t}}$و${\displaystyle b_{j}=\int fv_{j}dx}$ل${\displaystyle j=1,\dots ,n}$.

كما ناقشنا سابقاً، فإن معظم مدخلات${\displaystyle L}$و${\displaystyle M}$تساوي صفرًا لأن الدوال الأساسية${\displaystyle v_{k}}$لدينا دعم صغير. لذلك علينا الآن حل نظام خطي في المجهول.${\displaystyle \mathbf {u} }$حيث تمثل معظم عناصر المصفوفة${\displaystyle L}$، والتي نحتاج إلى عكسها، تساوي صفرًا.

تُعرف هذه المصفوفات بالمصفوفات المتفرقة ، وهناك حلول فعالة لمثل هذه المشكلات (أكثر كفاءة بكثير من عكس المصفوفة فعليًا). بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle L}$بما أن المصفوفة متناظرة وموجبة التحديد ، يُفضّل استخدام تقنية مثل طريقة التدرج المترافق . أما بالنسبة للمسائل غير الكبيرة جدًا، فإن تحليلات LU المتفرقة وتحليلات Cholesky لا تزال فعّالة. على سبيل المثال، قد يكون عامل القسمة العكسية في MATLAB (الذي يستخدم تحليلات LU المتفرقة، وتحليلات Cholesky المتفرقة، وغيرها من طرق التحليل) كافيًا للشبكات التي تحتوي على مئة ألف رأس.

المصفوفة${\displaystyle L}$يُشار إليها عادةً باسم مصفوفة الصلابة ، بينما المصفوفة${\displaystyle M}$يُطلق عليها اسم مصفوفة الكتلة .

بشكل عام، تتميز طريقة العناصر المحدودة بالعملية التالية.

• يختار المرء شبكة لـ${\displaystyle \Omega }$في المعالجة السابقة، كانت الشبكة تتكون من مثلثات، ولكن يمكن أيضًا استخدام مربعات أو مضلعات منحنية.
• ثم يتم اختيار الدوال الأساسية. استخدمنا الدوال الأساسية الخطية القطعية في مناقشتنا، ولكن من الشائع استخدام الدوال الأساسية متعددة الحدود القطعية.

يُعدّ سلاسة الدوال الأساسية مسألةً منفصلة. ففي مسائل القيم الحدية الإهليلجية من الرتبة الثانية ، تكفي دالة أساسية متعددة الحدود مجزأة متصلة فقط (أي أن مشتقاتها غير متصلة). أما في المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتب العليا، فيجب استخدام دوال أساسية أكثر سلاسة. على سبيل المثال، في مسألة من الرتبة الرابعة مثل...${\displaystyle u_{xxxx}+u_{yyyy}=f}$يمكن استخدام دوال أساسية تربيعية مجزأة تكون${\displaystyle C^{1}}$.

وثمة اعتبار آخر يتمثل في علاقة الفضاء ذي الأبعاد المحدودة${\displaystyle V}$إلى نظيره اللانهائي الأبعاد في الأمثلة أعلاه${\displaystyle H_{0}^{1}}$طريقة العنصر المتوافق هي طريقة يتم فيها استخدام الفضاء${\displaystyle V}$هي فضاء جزئي من فضاء العناصر للمسألة المتصلة. المثال أعلاه هو إحدى هذه الطرق. إذا لم يتحقق هذا الشرط، نحصل على طريقة العناصر غير المطابقة ، ومثال عليها فضاء الدوال الخطية القطعية على الشبكة، والتي تكون متصلة عند منتصف كل حافة. ​​بما أن هذه الدوال غير متصلة عمومًا على طول الحواف، فإن هذا الفضاء ذو ​​الأبعاد المحدودة ليس فضاءً جزئيًا من الفضاء الأصلي.${\displaystyle H_{0}^{1}}$.

عادةً، توجد خوارزمية لتقسيم شبكة معينة. إذا كانت الطريقة الأساسية لزيادة الدقة هي تقسيم الشبكة، فإن لدينا طريقة h ( حيث h عادةً ما يكون قطر أكبر عنصر في الشبكة). بهذه الطريقة، إذا أثبتنا أن الخطأ باستخدام شبكة${\displaystyle h}$يحدها من الأعلى${\displaystyle Ch^{p}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle C<\infty }$و${\displaystyle p>0}$عندئذٍ، يكون لدينا طريقة من الرتبة p . في ظل فرضيات محددة (على سبيل المثال، إذا كان المجال محدبًا)، تكون متعددة الحدود القطعية من الرتبة p${\displaystyle d}$ستحتوي الطريقة على خطأ في الترتيب${\displaystyle p=d+1}$.

إذا قمنا، بدلاً من تصغير قيمة h ، بزيادة درجة كثيرات الحدود المستخدمة في دالة الأساس، نحصل على طريقة p . وإذا جمعنا هذين النوعين من التحسين، نحصل على طريقة hp ( hp-FEM ). في طريقة hp-FEM، يمكن أن تختلف درجات كثيرات الحدود من عنصر لآخر. تُسمى الطرق عالية الرتبة ذات قيمة p الموحدة الكبيرة بطرق العناصر المحدودة الطيفية ( SFEM ). يجب عدم الخلط بينها وبين الطرق الطيفية .

بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية المتجهة، قد تأخذ الدوال الأساسية قيمًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

تجمع طريقة العناصر التطبيقية (AEM) بين ميزات كل من طريقة العناصر المحدودة (FEM) وطريقة العناصر المنفصلة (DEM).

قدم يانغ ولوي طريقة العناصر المحدودة المعززة، والتي كان هدفها نمذجة الانقطاعات الضعيفة والقوية دون الحاجة إلى درجات حرية إضافية، كما ذكر بيوم.

تم تطوير أسلوب العناصر المحدودة المقطوعة في عام 2014. ^{[ 16 ]} يهدف هذا الأسلوب إلى "جعل عملية التجزئة مستقلة قدر الإمكان عن الوصف الهندسي وتقليل تعقيد توليد الشبكة، مع الحفاظ على دقة ومتانة طريقة العناصر المحدودة القياسية". ^{[ 17 ]}

تستخدم طريقة العناصر المحدودة المعممة (GFEM) فضاءات محلية تتكون من دوال، ليست بالضرورة متعددة الحدود، تعكس المعلومات المتاحة حول الحل المجهول، وبالتالي تضمن تقريبًا محليًا جيدًا. ثم يُستخدم تجزئة الوحدة لربط هذه الفضاءات معًا لتشكيل الفضاء الفرعي التقريبي. وقد ثبتت فعالية GFEM عند تطبيقها على مسائل ذات نطاقات ذات حدود معقدة، ومسائل ذات مقاييس دقيقة، ومسائل ذات طبقات حدودية. ^{[ 18 ]}

طريقة العناصر المحدودة المختلطة هي نوع من أنواع طريقة العناصر المحدودة التي يتم فيها إدخال متغيرات مستقلة إضافية كمتغيرات عقدية أثناء عملية التقطيع لمسألة معادلة تفاضلية جزئية.

تجمع طريقة العناصر المحدودة hp -FEM بشكل تكيفي بين العناصر ذات الحجم المتغير h ودرجة كثير الحدود p لتحقيق معدلات تقارب سريعة للغاية وأسية. ^{[ 19 ]}

يجمع hpk -FEM بشكل تكيفي بين العناصر ذات الحجم المتغير h ، ودرجة متعددة الحدود للتقريبات المحلية p ، وقابلية التفاضل العالمية للتقريبات المحلية ( k -1) لتحقيق أفضل معدلات التقارب.

طريقة العناصر المحدودة الموسعة (XFEM) هي تقنية عددية تعتمد على طريقة العناصر المحدودة المعممة (GFEM) وطريقة تجزئة الوحدة (PUM). وهي توسع طريقة العناصر المحدودة الكلاسيكية بإثراء فضاء الحلول للمعادلات التفاضلية ذات الدوال غير المتصلة. تعمل طرق العناصر المحدودة الموسعة على إثراء فضاء التقريب لإعادة إنتاج الخصائص المعقدة المرتبطة بالمسألة قيد الدراسة بشكل طبيعي، مثل عدم الاتصال، والتفرد، والطبقة الحدية، وغيرها. وقد ثبت أنه بالنسبة لبعض المسائل، يمكن لهذا التضمين لخصائص المسألة في فضاء التقريب أن يحسن بشكل كبير من معدلات التقارب والدقة. علاوة على ذلك، فإن معالجة المسائل ذات الدوال غير المتصلة باستخدام XFEM يقلل من الحاجة إلى إنشاء شبكة وإعادة إنشاء شبكة لأسطح عدم الاتصال، مما يخفف من التكاليف الحسابية وأخطاء الإسقاط المرتبطة بطرق العناصر المحدودة التقليدية، وذلك على حساب حصر عدم الاتصال في حواف الشبكة.

تُطبّق العديد من برامج البحث هذه التقنية بدرجات متفاوتة:

1. GetFEM++
2. xfem++
3. openxfem++

تم تطبيق طريقة العناصر المحدودة الموسعة (XFEM) أيضاً في برامج مثل Altair Radios و ASTER و Morfeo و Abaqus. ويجري اعتمادها بشكل متزايد من قبل برامج العناصر المحدودة التجارية الأخرى، مع توفر عدد قليل من الإضافات والتطبيقات الأساسية الفعلية (ANSYS و SAMCEF و OOFELIE وغيرها).

ظهرت طريقة العناصر المحدودة ذات الحدود المُقاسة (SBFEM) لأول مرة في دراسة سونغ وولف (1997). ^{[ 20 ]} تُعدّ هذه الطريقة من أهمّ المساهمات في مجال التحليل العددي لمسائل ميكانيكا الكسور. وهي طريقة شبه تحليلية لا تتطلب حلًا تفاضليًا أساسيًا، تجمع بين مزايا صياغات وإجراءات العناصر المحدودة وتجزئة العناصر الحدية. مع ذلك، وعلى عكس طريقة العناصر الحدية، لا تتطلب هذه الطريقة حلًا تفاضليًا أساسيًا.

تُعدّ طريقة العناصر المحدودة المُنعّمة (S-FEM) فئةً خاصةً من خوارزميات المحاكاة العددية لمحاكاة الظواهر الفيزيائية. وقد طُوّرت هذه الطريقة من خلال دمج الطرق غير الشبكية مع طريقة العناصر المحدودة.

تجمع طرق العناصر الطيفية بين المرونة الهندسية للعناصر المحدودة والدقة العالية للطرق الطيفية. وتُعدّ الطرق الطيفية حلاً تقريبياً للمعادلات الجزئية ذات الشكل الضعيف، وتعتمد على دوال لاغرانجية عالية الرتبة، وتُستخدم فقط مع قواعد تربيعية محددة. ^{[ 21 ]}

تُعدّ طريقة لوبيناك التكرارية طريقة تكرارية في طرق العناصر المحدودة.

تُعدّ طريقة العناصر المحدودة لللدونة البلورية (CPFEM) أداةً عدديةً متطورةً طوّرها فرانز روترز. يمكن اعتبار المعادن تجمعاتٍ بلوريةً تُظهر تباينًا في الخواص تحت تأثير التشوه، مثل الإجهاد غير الطبيعي وتمركز الانفعال. تعتمد طريقة CPFEM على الانزلاق (معدل انفعال القص)، وتستطيع حساب الانخلاعات، واتجاه البلورات، ومعلومات أخرى عن النسيج البلوري، وذلك لمراعاة تباين الخواص البلورية أثناء العمليات الحسابية الروتينية. وقد طُبّقت هذه الطريقة في الدراسات العددية لتشوه المواد، وخشونة السطح، والكسور، وغيرها.

تُعدّ طريقة العناصر الافتراضية (VEM)، التي قدّمها بيرو دا فيغا وآخرون (2013) ^{[ 22 ]} كامتداد لطرق الفروق المحدودة المحاكية (MFD)، تعميمًا لطريقة العناصر المحدودة القياسية لأي هندسة عناصر. يسمح هذا الأسلوب باستخدام المضلعات العامة (أو المجسمات ثلاثية الأبعاد) غير المنتظمة وغير المحدبة. ويُشتق اسم "الافتراضية" من حقيقة أن معرفة أساس دالة الشكل المحلية غير مطلوبة، بل ولا يتم حسابها صراحةً أبدًا.