المجسم الأفلاطوني

يمكن تمثيل عناصر متعدد السطوح بمصفوفة التكوين . تمثل الصفوف والأعمدة الرؤوس والحواف والوجوه على التوالي. تشير الأرقام القطرية إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في متعدد السطوح بأكمله. وتشير الأرقام غير القطرية إلى عدد مرات ظهور عنصر العمود في عنصر الصف أو عنده. يتم تدوير مصفوفات التكوين لأزواج متعددات السطوح الثنائية بزاوية 180 درجة عن بعضها البعض. ^{[ 8 ]}

شبكات المضلعات حول رأس

{3,3} عيب 180 درجة	{3,4} عيب 120 درجة	{3,5} عيب 60 درجة	{3,6} عيب 0°
{4,3} عيب 90 درجة	{4,4} عيب 0°	{5,3} عيب 36 درجة	{6,3} عيب 0°
يحتاج الرأس إلى 3 أوجه على الأقل، وزاوية ناقصة مقدارها 0° . زاوية ناقصة مقدارها 0° ستملأ المستوى الإقليدي بتبليط منتظم. وبحسب نظرية ديكارت ، فإن عدد الرؤوس يساوي 720°/ زاوية ناقصة مقدارها 0° .

الحجة الهندسية التالية تشبه إلى حد كبير تلك التي قدمها إقليدس في كتاب الأصول :

يمكن تقديم برهان طوبولوجي بحت باستخدام المعلومات التوافقية فقط حول المجسمات. يكمن المفتاح في ملاحظة أويلر بأن V  − E + F = 2، وحقيقة أن pF = 2E = qV ، حيث يمثل p عدد حواف كل وجه و q عدد الحواف التي تلتقي عند كل رأس. بدمج هاتين المعادلتين، نحصل على المعادلة التالية         

$${\displaystyle {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.}$$

ثم ينتج عن التلاعب الجبري البسيط

$${\displaystyle {1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.}$$

بما أن E موجبة تمامًا، فلا بد أن يكون لدينا

$${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.}$$

باستخدام حقيقة أن p و q يجب أن يكون كلاهما على الأقل 3، يمكن للمرء أن يرى بسهولة أن هناك خمسة احتمالات فقط لـ { p , q }: 

توجد عدة زوايا مرتبطة بكل مجسم أفلاطوني. الزاوية ثنائية السطوح هي الزاوية الداخلية بين أي مستويين من مستويات السطح. تُعطى الزاوية ثنائية السطوح، θ ، للمجسم { p , q } بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \sin(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.}$$

ويمكن التعبير عن ذلك أحيانًا بشكل أكثر ملاءمة بدلالة المماس بواسطة

$${\displaystyle \tan(\theta /2)={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}}.}$$

الكمية h (التي تسمى عدد كوكسيتر ) هي 4، 6، 6، 10، و10 على التوالي بالنسبة للهرم الرباعي، والمكعب، والهرم الثماني، والهرم ذي الاثني عشر وجهًا، والهرم ذي العشرين وجهًا.

النقص الزاوي عند رأس متعدد السطوح هو الفرق بين مجموع زوايا الأوجه عند ذلك الرأس و2 π . والنقص، δ ، عند أي رأس من رؤوس المجسمات الأفلاطونية { p , q } هو

$${\displaystyle \delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).}$$

وبحسب نظرية ديكارت، فإن هذا يساوي 4 π مقسومًا على عدد الرؤوس (أي أن العيب الكلي عند جميع الرؤوس هو 4 π ).

الزاوية المجسمة هي النظير ثلاثي الأبعاد للزاوية المستوية . تُعطى الزاوية المجسمة، Ω ، عند رأس المجسم الأفلاطوني بدلالة الزاوية ثنائية السطوح كما يلي:

$${\displaystyle \Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,}$$

ويتبع هذا من صيغة الزيادة الكروية للمضلع الكروي وحقيقة أن شكل رأس متعدد السطوح { p , q } هو مضلع منتظم ذو q ضلع.

الزاوية المجسمة لوجهٍ ما، مُقاسة من مركز مجسم أفلاطوني، تساوي الزاوية المجسمة للكرة الكاملة (4π ستراديان ) مقسومةً على عدد الأوجه. وهذا يساوي النقص الزاوي لمجسمه الثنائي.

تُدرج أدناه الزوايا المختلفة المرتبطة بالأجسام الأفلاطونية. تُعطى القيم العددية للزوايا المجسمة بوحدة الستراديان . الثابت φ = 1 + √5 / 2 هو النسبة الذهبية .

متعدد الأوجه	الزاوية ثنائية السطوح ( θ )	tan θ / 2​​	العيب ( δ )	الزاوية المجسمة للرأس ( Ω )	وجه صلب زاوية
رباعي الأوجه	70.53 درجة	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle \arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\quad \approx 0.551286}$	${\displaystyle \pi }$
مكعب	90 درجة	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \pi \over 2}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\quad \approx 1.57080}$	${\displaystyle 2\pi \over 3}$
المجسم الثماني	109.47 درجة	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {2\pi } \over 3}$	${\displaystyle 4\arcsin \left({1 \over 3}\right)\quad \approx 1.35935}$	${\displaystyle \pi \over 2}$
مجسم ذو اثني عشر وجهًا	116.57 درجة	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \pi \over 5}$	${\displaystyle \pi -\arctan \left({\frac {2}{11}}\right)\quad \approx 2.96174}$	${\displaystyle \pi \over 3}$
المجسم العشري الوجوه	138.19 درجة	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle \pi \over 3}$	${\displaystyle 2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)\quad \approx 2.63455}$	${\displaystyle \pi \over 5}$

ومن مزايا الانتظام أيضاً أن جميع الأجسام الأفلاطونية تمتلك ثلاث كرات متحدة المركز:

• الكرة المحيطة التي تمر بجميع الرؤوس،
• الكرة الوسطى التي تمس كل حافة عند نقطة منتصف الحافة، و
• الكرة المحيطة التي تمس كل وجه عند مركز الوجه.

تُسمى أنصاف أقطار هذه الكرات بنصف قطر الدائرة المحيطة ، ونصف قطر الدائرة الوسطى ، ونصف قطر الدائرة الداخلية . وهي المسافات من مركز المجسم إلى رؤوسه، ومنتصفات حوافه، ومراكز أوجهه على التوالي. يُعطى نصف قطر الدائرة المحيطة R ونصف قطر الدائرة الداخلية r للمجسم { p , q } ذي طول الحافة a بالعلاقة التالية: 

$${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

حيث θ هي الزاوية ثنائية السطوح. يُعطى نصف القطر المتوسط ​​ρ بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle \rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}}$$

حيث h هي الكمية المستخدمة أعلاه في تعريف الزاوية ثنائية السطوح ( h = 4، 6، 6، 10، أو 10). نسبة نصف قطر الدائرة المحيطة إلى نصف قطر الدائرة الداخلية متناظرة في p و q .

$${\displaystyle {\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.}$$

يمكن حساب مساحة السطح ، A ، للمجسم الأفلاطوني { p , q } بسهولة عن طريق ضرب مساحة مضلع منتظم ذي p ضلعًا في عدد الأوجه F. وهذا هو: 

$${\displaystyle A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).}$$

يُحسب الحجم بضرب F في حجم الهرم الذي قاعدته منتظمة ذات p ضلع وارتفاعه نصف قطر داخلي r . أي،

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}rA.}$$

يُبيّن الجدول التالي أنصاف أقطار المجسمات الأفلاطونية المختلفة، بالإضافة إلى مساحة سطحها وحجمها. ويُحدد الحجم الكلي باعتبار طول الحافة، a ، مساوياً لـ 2.

متعدد السطوح، أ  =  2	نصف القطر			مساحة السطح، أ	مقدار
	في، ر	متوسط، ρ	محيط-، R		V	حواف الوحدة
رباعي الأوجه	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle 1 \over {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3 \over 2}}}$	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 0.942809}$	${\displaystyle \approx 0.117851}$
مكعب	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 24\,}$	${\displaystyle 8\,}$	${\displaystyle 1\,}$
المجسم الثماني	${\displaystyle {\sqrt {2 \over 3}}}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {128}}{3}}\approx 3.771236}$	${\displaystyle \approx 0.471404}$
مجسم ذو اثني عشر وجهًا	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}}$	${\displaystyle \varphi ^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\varphi }$	${\displaystyle 12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}\approx 61.304952}$	${\displaystyle \approx 7.663119}$
المجسم العشري الوجوه	${\displaystyle {\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle \varphi }$	${\displaystyle \xi \varphi }$	${\displaystyle 20{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {20\varphi ^{2}}{3}}\approx 17.453560}$	${\displaystyle \approx 2.181695}$

الثوابت φ و ξ في ما سبق معطاة بواسطة

$${\displaystyle \varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {3-\varphi }}.}$$

من بين المجسمات الأفلاطونية، يُعتبر كل من المجسم ذي الاثني عشر وجهًا والمجسم ذي العشرين وجهًا أفضل تقريب للكرة. يتميز المجسم ذو العشرين وجهًا بأكبر عدد من الأوجه وأكبر زاوية ثنائية، كما أنه يُحيط بالكرة المحيطة به بإحكام، ونسبة مساحة سطحه إلى حجمه هي الأقرب إلى نسبة الكرة من نفس الحجم (أي إما نفس مساحة السطح أو نفس الحجم). أما المجسم ذو الاثني عشر وجهًا، فيتميز بأصغر عيب زاوي، وأكبر زاوية مجسمة عند الرأس، كما أنه يملأ الكرة المحيطة به بشكل كامل.

بالنسبة لنقطة عشوائية في فضاء مجسم أفلاطوني نصف قطر محيطه R ، حيث _تكون المسافات بين مركز المجسم الأفلاطوني ورؤوسه n هي L و di على التوالي، و

$${\displaystyle S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$$،

لدينا ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}}$$ بالنسبة لجميع الأجسام الأفلاطونية الخمسة، لدينا ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.}$$

إذا كانت d _i هي المسافات من رؤوس المجسم الأفلاطوني n إلى أي نقطة على الكرة المحيطة به، فإن ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle 4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.}$$

يُقال إن متعدد السطوح P يمتلك خاصية روبرت إذا كان بإمكان متعدد سطوح من نفس حجم P أو أكبر منه، وله نفس الشكل، أن يمر عبر ثقب في P. ^{[ 10 ]} جميع المجسمات الأفلاطونية الخمسة تمتلك هذه الخاصية. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

المركبات المزدوجة

لكل مجسم متعدد السطوح مجسم ثنائي (أو "قطبي") تتبادل فيه الأوجه والرؤوس . المجسم الثنائي لكل مجسم أفلاطوني هو مجسم أفلاطوني آخر، لذا يمكننا ترتيب المجسمات الخمسة في أزواج ثنائية.

• إن رباعي الأوجه هو رباعي الأوجه مزدوج ذاتيًا (أي أن ثنائيه هو رباعي أوجه آخر).
• يشكل المكعب والثماني الأوجه زوجًا ثنائيًا.
• يشكل المجسم ذو الاثني عشر وجهاً والمجسم ذو العشرين وجهاً زوجاً ثنائياً.

إذا كان للمجسم متعدد السطوح رمز شلافلي { p , q }، فإن ثنائيّه يحمل الرمز { q , p }. في الواقع، يمكن تفسير كل خاصية تركيبية لأحد المجسمات الأفلاطونية على أنها خاصية تركيبية أخرى لثنائيّه.  

يمكن إنشاء المجسم الثنائي بجعل رؤوسه مراكز وجوه الشكل الأصلي. ويؤدي توصيل مراكز الوجوه المتجاورة في الشكل الأصلي إلى تكوين حواف المجسم الثنائي، وبالتالي تبديل عدد الوجوه والرؤوس مع الحفاظ على عدد الحواف.

بشكل أعم، يمكن تحويل مجسم أفلاطوني إلى مجسم ثنائي بالنسبة إلى كرة نصف قطرها d متحدة المركز مع المجسم. ترتبط أنصاف أقطار المجسم ( R ، ρ ، r ) وأنصاف أقطار مجسمه الثنائي ( R *، ρ *، r *) بالعلاقة التالية:    

$${\displaystyle d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .}$$

يُعدّ التناظر بالنسبة للكرة المتوسطة ( d  = ρ ) مفيدًا في كثير من الأحيان لأن الكرة المتوسطة لها نفس العلاقة مع كلا المجسمين. وبأخذ d² = Rr، ^نحصل على مجسم ثنائي له نفس نصف القطر المحيطي ونصف القطر الداخلي (أي R * = R و r * = r ).       

في الرياضيات، يُدرس مفهوم التناظر من خلال مفهوم المجموعة الرياضية . لكل متعدد السطوح مجموعة تناظر مرتبطة به ، وهي مجموعة جميع التحويلات ( التماثلات الإقليدية ) التي تُبقي متعدد السطوح ثابتًا. رتبة مجموعة التناظر هي عدد تناظرات متعدد السطوح. غالبًا ما يُفرّق بين مجموعة التناظر الكاملة ، التي تشمل الانعكاسات ، ومجموعة التناظر الجزئية ، التي تشمل الدورانات فقط .

تُعدّ مجموعات التناظر للأجسام الأفلاطونية فئةً خاصةً من مجموعات النقاط ثلاثية الأبعاد تُعرف باسم مجموعات متعددة السطوح . ويمكن تفسير درجة التناظر العالية للأجسام الأفلاطونية بعدة طرق. والأهم من ذلك، أن رؤوس كل جسم متكافئة جميعها تحت تأثير مجموعة التناظر، وكذلك حوافه ووجوهه. يُقال إن تأثير مجموعة التناظر متعدٍّ على الرؤوس والحواف والوجوه. في الواقع، هذه طريقة أخرى لتعريف انتظام متعدد السطوح: يكون متعدد السطوح منتظمًا إذا وفقط إذا كان منتظمًا في الرؤوس والحواف والوجوه .

توجد ثلاث مجموعات تناظر فقط مرتبطة بالأجسام الأفلاطونية بدلاً من خمس، لأن مجموعة تناظر أي متعدد السطوح تتطابق مع مجموعة تناظر نظيره. ويتضح ذلك بسهولة من خلال دراسة بناء متعدد السطوح المقابل. فكل تناظر في المجسم الأصلي يكون تناظراً في المجسم المقابل، والعكس صحيح. مجموعات التناظر الثلاث هي:

• المجموعة رباعية الأوجه T ،
• المجموعة الثمانية السطوح O (وهي أيضاً مجموعة التناظر للمكعب)، و
• المجموعة العشرية الوجوه I (وهي أيضًا مجموعة التناظر الخاصة بالمجسم ذي الاثني عشر وجهًا).

رتب مجموعات الدوران هي 12 و24 و60 على التوالي، أي ضعف عدد حواف المجسمات متعددة السطوح المعنية. أما رتب مجموعات التناظر الكاملة فهي ضعف ذلك (24 و48 و120). انظر (كوكسيتر 1973) للاطلاع على اشتقاق هذه الحقائق. جميع المجسمات الأفلاطونية، باستثناء رباعي الأوجه، متناظرة مركزياً، أي أنها تبقى ثابتة تحت الانعكاس حول نقطة الأصل .

يُبين الجدول التالي خصائص التناظر المختلفة للأجسام الأفلاطونية. مجموعات التناظر المذكورة هي المجموعات الكاملة، مع ذكر مجموعات الدوران الفرعية بين قوسين (وكذلك عدد التناظرات). يُعدّ بناء وايثوف الكاليديوسكوبي طريقةً لإنشاء المجسمات متعددة السطوح مباشرةً من مجموعات التناظر الخاصة بها. يُدرج رمز وايثوف لكل جسم من الأجسام الأفلاطونية كمرجع.

متعدد الأوجه	رمز شلافلي	رمز Wythoff	متعدد السطوح المزدوج	مجموعة التناظر (الانعكاس، الدوران)
				متعدد السطوح	شون.	كوكس.	محجر العين.	طلب
رباعي الأوجه	{3, 3}	3 | 2 3	رباعي الأوجه	رباعي الأوجه	تي دي تي	[3,3] [3,3] +	*332 332	24 12
مكعب	{4, 3}	3 | 2 4	المجسم الثماني	ثماني الأوجه	أوه أوه​	[4,3] [4,3] +	432 432	48 24
المجسم الثماني	{3، 4}	4 | 2 3	مكعب
مجسم ذو اثني عشر وجهًا	{5, 3}	3 | 2 5	المجسم العشري الوجوه	عشروني الوجوه	أنا​​	[5,3] [5,3] +	*532 532	120 60
المجسم العشري الوجوه	{3، 5}	5 | 2 3	مجسم ذو اثني عشر وجهًا

بالنسبة للمرحلة المادية الوسيطة المسماة بالبلورات السائلة ، تم اقتراح وجود مثل هذه التناظرات لأول مرة في عام 1981 من قبل هـ. كلاينرت وك. ماكي. ^{[ 15 ] [ 16 ]} في الألومنيوم، تم اكتشاف البنية العشرين السطوح بعد ثلاث سنوات من ذلك بواسطة دان شيختمان ، وهو ما أكسبه جائزة نوبل في الكيمياء في عام 2011.

أعجب المعماريون بفكرة الأشكال الخالدة لأفلاطون التي يمكن للروح أن تراها في الأشياء المادية، لكنهم حوّلوا هذه الأشكال إلى أشكال أكثر ملاءمة للبناء ، كالكرة والأسطوانة والمخروط والهرم المربع . [ ^{17 ] وعلى} وجه الخصوص، كان إتيان لويس بوليه ، أحد رواد الكلاسيكية الجديدة ، مهتمًا بنسخة المعماريين من "الأجسام الأفلاطونية". ^{[ 18 ]}

• 
  المجسم العشري الوجوه كجزء من نصب سبينوزا التذكاري في أمستردام
• 
  مكعب الطاقة الشمسية في ديسكفري كيوب، مقاطعة أورانج
• 
  مجسم ثماني الأوجه قيد الإنشاء في النمسا
• 
  رباعي الأوجه في بوتروب
• 
  مجسم ذو اثني عشر وجهًا في بودابست

توجد أربعة أشكال متعددة السطوح منتظمة غير محدبة، تسمى أشكال كبلر-بوانسو متعددة السطوح . تتمتع جميعها بتناظر عشريني الوجوه ، ويمكن الحصول عليها كتشكيلات نجمية من الشكل الاثني عشري الوجوه والشكل العشري الوجوه.

مكعب ثماني الأوجه

مجسم ذو عشرين وجهًا

بعد المجسمات الأفلاطونية، تأتي المجسمات المحدبة الأكثر انتظامًا التالية في الترتيب هي المكعب الثماني الأوجه ، وهو شكل مُقوّم للمكعب والثماني الأوجه، والمجسم العشري عشري الأوجه ، وهو شكل مُقوّم للاثني عشري الأوجه والعشروني الأوجه (شكل مُقوّم رباعي الأوجه المُزدوج ذاتيًا هو ثماني الأوجه منتظم). كلاهما شبه منتظم ، أي أنهما متماثلان في الرؤوس والحواف ولهما وجوه منتظمة، لكن هذه الوجوه ليست متطابقة تمامًا (تأتي في فئتين مختلفتين). يشكلان اثنين من المجسمات الأرخميدية الثلاثة عشر ، وهي المجسمات المحدبة المنتظمة ذات التناظر متعدد الأوجه. أما ثنائياتهما، المعين الاثني عشري الأوجه والمعين الثلاثي الأوجه ، فهي متعدية الحواف والوجوه، لكن وجوهها غير منتظمة ورؤوسها تأتي في نوعين لكل منهما. هما اثنان من المواد الصلبة الكاتالونية الثلاثة عشر .

تُشكّل المجسمات المنتظمة فئةً أوسع بكثير من المجسمات. تتميز هذه الأشكال بتجانس رؤوسها، ولها نوع واحد أو أكثر من المضلعات المنتظمة أو النجمية كأوجه. وتشمل هذه الفئة جميع المجسمات المذكورة أعلاه، بالإضافة إلى مجموعة لانهائية من الموشورات ، ومجموعة لانهائية من الموشورات المضادة ، و53 شكلاً آخر غير محدب.

مجسمات جونسون هي متعددات وجوه محدبة ذات أوجه منتظمة ولكنها غير منتظمة. من بينها خمسة من أصل ثمانية مجسمات دلتا محدبة ، لها أوجه منتظمة متطابقة (جميعها مثلثات متساوية الأضلاع) ولكنها غير منتظمة. (المجسمات الدلتا المحدبة الثلاثة الأخرى هي رباعي الأوجه الأفلاطوني، وثماني الأوجه، وعشروني الأوجه).

تبليط كروي منتظم

أفلاطوني
{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
زاوية ثنائية منتظمة
{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}...
التناظر المتماثل المنتظم
{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}...

ترتبط التبليطات المنتظمة الثلاثة للمستوى ارتباطًا وثيقًا بالأجسام الأفلاطونية. في الواقع، يمكن اعتبار الأجسام الأفلاطونية تبليطات منتظمة للكرة . ويتم ذلك بإسقاط كل جسم على كرة متحدة المركز. تُسقط الأوجه على مضلعات كروية منتظمة تُغطي الكرة تمامًا. توفر التبليطات الكروية مجموعتين إضافيتين لانهائيتين من التبليطات المنتظمة، وهما: المجسمات ثنائية السطوح {2، n } ذات رأسين عند القطبين وأوجه هلالية ، والمجسمات ثنائية السطوح { n ، 2} ذات وجهين نصف كرويين ورؤوس متباعدة بانتظام على خط الاستواء. ستكون هذه التبليطات متحللة في الفضاء ثلاثي الأبعاد الحقيقي كمجسمات متعددة السطوح.

تتميز كل عملية تبليط منتظمة للكرة بزوج من الأعداد الصحيحة { p , q } حيث يكون 1 / p + 1 / q > 1/2 . وبالمثل ، تتميز عملية التبليط المنتظمة للمستوى بالشرط 1 / p + 1 / q = 1/2 . وهناك ثلاثة احتمالات :         

التبليطات المنتظمة الثلاثة للمستوى الإقليدي

{4, 4}	{3، 6}	{6, 3}

وبالمثل، يمكن النظر في التبليطات المنتظمة للمستوى الزائدي . وتتميز هذه التبليطات بالشرط 1 / p + 1 / q < 1/2 . وتوجد عائلة لانهائية من هذه التبليطات .    

أمثلة على التبليط المنتظم للمستوى الزائدي

{5, 4}	{4، 5}	{7, 3}	{3, 7}

في أكثر من ثلاثة أبعاد، تتعمم المجسمات متعددة الأوجه إلى متعددات الوجوه ، حيث تكون متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة ذات الأبعاد الأعلى مكافئة للأجسام الأفلاطونية ثلاثية الأبعاد.

في منتصف القرن التاسع عشر، اكتشف عالم الرياضيات السويسري لودفيج شلافلي النظائر رباعية الأبعاد للأجسام الأفلاطونية، والتي تُسمى متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة رباعية الأبعاد . يوجد ستة أشكال من هذه الأشكال؛ خمسة منها تُشابه الأجسام الأفلاطونية  : الشكل الخماسي الخلايا (3، 3، 3)، والشكل السداسي عشري الخلايا (3، 3، 4)، والشكل السداسي والستيني الخلايا (3، 3، 5)، والشكل الرباعي الأبعاد (4، 3، 3)، والشكل المئوي والعشريني الخلايا (5، 3، 3)، والشكل السادس هو الشكل الثنائي الذاتي رباعي وعشرون خلية (3، 4، 3).

في جميع الأبعاد الأعلى من أربعة، لا يوجد سوى ثلاثة أشكال متعددة السطوح منتظمة محدبة: الشكل البسيط {3,3,...,3}، والمكعب الفائق {4,3,...,3}، والشكل متعدد السطوح المتقاطع {3,3,...,4}. ^{[ 19 ]} في ثلاثة أبعاد، تتطابق هذه الأشكال مع الشكل الرباعي الأوجه {3,3}، والمكعب {4,3}، والشكل الثماني الأوجه {3,4}.