تحويل لابلاس

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 254 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف تحويل لابلاس ، نسبةً إلى بيير سيمون لابلاس ( يُلفظ / ləˈplɑːs / ) ، بأنه تحويل تكاملي يحول دالة لمتغير حقيقي (عادةً ما يكونت{\displaystyle t}( في المجال الزمني ) إلى دالة لمتغير مركبs{\displaystyle s}(في مجال التردد ذي القيم المركبة ، والمعروف أيضًا باسم مجال s أو مستوى s ). غالبًا ما يُرمز للدوال باستخدام رمز صغير لدالة مجال الزمن ورمز كبير لدالة مجال التردد، على سبيل المثالx(ت){\displaystyle x(t)}و​X(s){\displaystyle X(s)}⁠ .

يُعدّ هذا التحويل مفيدًا لتحويل التفاضل والتكامل في المجال الزمني إلى عمليتي الضرب والقسمة الجبريتين في مجال لابلاس (على غرار استخدام اللوغاريتمات لتبسيط الضرب والقسمة إلى جمع وطرح). وهذا ما يمنح هذا التحويل تطبيقاتٍ عديدة في العلوم والهندسة ، لا سيما كأداة لحل المعادلات التفاضلية الخطية [ 1 ] والأنظمة الديناميكية، وذلك باستبدال المعادلات التفاضلية والتكاملية العادية بمعادلات متعددة الحدود الجبرية ، واستبدال عملية الالتفاف بعملية الضرب . [ 2 ] [ 3 ]

على سبيل المثال، من خلال تحويل لابلاس، معادلة المذبذب التوافقي البسيط ( قانون هوك )x"(ت)+كx(ت)=0{\displaystyle x''(t)+kx(t)=0}يتم تحويلها إلى معادلة جبريةs2X(s)-sx(0)-x′(0)+كX(s)=0،{\displaystyle s^{2}X(s)-sx(0)-x'(0)+kX(s)=0,}والتي تتضمن الشروط الأوليةx(0){\displaystyle x(0)}و​x′(0){\displaystyle x'(0)}ويمكن حلها لإيجاد الدالة المجهولة .X(s){\displaystyle X(s)}بعد حل المسألة ، يمكن استخدام تحويل لابلاس العكسي لتحويلها إلى المجال الأصلي. وغالبًا ما يُستعان في ذلك بجداول مرجعية مثل الجدول الموضح أدناه .

يُعرَّف تحويل لابلاس (للدوال المناسبة )و{\displaystyle f}) بواسطة التكاملل{و}(s)=∫0∞و(ت)هـ-sتدت،{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,} أين​s{\displaystyle s}هو عدد مركب .

يرتبط تحويل لابلاس بالعديد من التحويلات الأخرى. وهو في جوهره مطابق لتحويل ميلين ، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بتحويل فورييه . على عكس تحويل فورييه، غالبًا ما يكون تحويل لابلاس لدالة ما دالة تحليلية ، أي أنه يمكن التعبير عنه كمتسلسلة قوى متقاربة محليًا، حيث تمثل معاملات هذه المتسلسلة عزوم الدالة الأصلية. علاوة على ذلك، يمكن استخدام تقنيات التحليل المركب ، وخاصة التكاملات الكفافية ، لتبسيط الحسابات.

تاريخ

بيير سيمون، ماركيز دي لابلاس

سُمّي تحويل لابلاس نسبةً إلى عالم الرياضيات والفلك بيير سيمون، ماركيز دي لابلاس ، الذي استخدم تحويلاً مشابهاً في أعماله حول نظرية الاحتمالات . [ 4 ] [ 5 ] كتب لابلاس باستفاضة عن استخدام الدوال المولدة (1814)، وتطور الشكل التكاملي لتحويل لابلاس بشكل طبيعي نتيجةً لذلك. [ 6 ]

كان استخدام لابلاس للدوال المولدة مشابهًا لما يُعرف الآن باسم تحويل z ، ولم يُعر اهتمامًا كبيرًا لحالة المتغير المستمر التي ناقشها نيلز هنريك أبيل . [ 7 ]

ابتداءً من عام 1744، درس ليونارد أويلر التكاملات من الشكل z=∫X(x)هـأxدx و z=∫X(x)xأدx{\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ و }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx} كحلول للمعادلات التفاضلية، مع إدخال دالة غاما على وجه الخصوص . [ 8 ] كان جوزيف لويس لاغرانج معجبًا بأويلر، وفي عمله على تكامل دوال كثافة الاحتمال ، بحث في تعابير من الشكل ∫X(x)هـ-أxأxدx،{\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,} وهو ما يشبه تحويل لابلاس. [ 9 ] [ 10 ]

يبدو أن هذا النوع من التكاملات قد لفت انتباه لابلاس لأول مرة عام 1782، حيث كان يسير على خطى أويلر في استخدام التكاملات نفسها كحلول للمعادلات. [ 11 ] ومع ذلك، في عام 1785، اتخذ لابلاس خطوة حاسمة إلى الأمام عندما بدأ، بدلاً من مجرد البحث عن حل في صورة تكامل، بتطبيق التحويلات بالمعنى الذي أصبح شائعًا فيما بعد. استخدم تكاملاً من الشكل التالي: ∫xsφ(x)دx،{\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,} على غرار تحويل ميلين ، لتحويل معادلة فرقية بأكملها ، بهدف البحث عن حلول للمعادلة المحولة. ثم قام بتطبيق تحويل لابلاس بنفس الطريقة وبدأ في استنتاج بعض خصائصه، وبدأ يدرك قوته الكامنة. [ 12 ]

أدرك لابلاس أيضًا أن طريقة جوزيف فورييه لحل معادلة الانتشار باستخدام متسلسلة فورييه لا يمكن تطبيقها إلا على منطقة محدودة من الفضاء، لأن تلك الحلول دورية . في عام 1809، طبق لابلاس تحويله لإيجاد حلول تنتشر بلا حدود في الفضاء. [ 13 ] في عام 1821، طور كوشي حسابًا عمليًا لتحويل لابلاس يمكن استخدامه لدراسة المعادلات التفاضلية الخطية بنفس الطريقة التي يُستخدم بها التحويل الآن في الهندسة الأساسية. وقد شاع استخدام هذه الطريقة، وربما أُعيد اكتشافها، على يد أوليفر هيفسايد في مطلع القرن العشرين. [ 14 ]

استخدم برنارد ريمان تحويل لابلاس في بحثه المنشور عام 1859 بعنوان " حول عدد الأعداد الأولية الأقل من قيمة معينة" ، والذي طور فيه أيضًا نظرية الانعكاس. استخدم ريمان تحويل لابلاس لتطوير المعادلة الدالية لدالة زيتا لريمان ، ولا تزال طريقته تُستخدم لربط قانون التحويل المعياري لدالة ثيتا لجاكوبي ، والذي يُمكن إثباته بسهولة عبر مجموع بواسون ، بالمعادلة الدالية. [ 15 ]

كان هيالمار ميلين من أوائل من درسوا تحويل لابلاس دراسةً دقيقةً في مدرسة كارل فايرشتراس للتحليل، وطبقوه على دراسة المعادلات التفاضلية والدوال الخاصة ، في مطلع القرن العشرين. [ 16 ] وفي الوقت نفسه تقريبًا، كان هيفسايد منهمكًا في حسابه التفاضلي والتكاملي. وقد نظر توماس يوهانس ستيلتجس في تعميم لتحويل لابلاس مرتبطًا بعمله على العزوم . ومن بين المساهمين الآخرين في هذه الفترة ماتياس ليرش ، [ 17 ] وأوليفر هيفسايد ، وتوماس برومويتش . [ 18 ]

في عام ١٩٢٩، نشر فانيفار بوش ونوربرت وينر كتاب "تحليل الدوائر التشغيلية" كمرجع لتحليل الدوائر الكهربائية هندسيًا، مُطبقين تحويلات فورييه وحساب التفاضل والتكامل التشغيلي، وقد تضمن الكتاب أحد أوائل النماذج الأولية لجدول تحويلات لابلاس الحديث. وفي عام ١٩٣٤، نشر ريموند بالي ونوربرت وينر العمل المهم "تحويلات فورييه في المجال المركب" ، والذي يتناول ما يُعرف الآن بتحويل لابلاس (انظر أدناه). وخلال ثلاثينيات القرن العشرين أيضًا، كان لتحويل لابلاس دورٌ محوري في دراسة غودفري هارولد هاردي وجون إيدنسور ليتلوود لنظريات تاوبر ، وقد توسع ويدر (١٩٤١) في هذا التطبيق لاحقًا ، حيث طور جوانب أخرى من النظرية، مثل طريقة جديدة للعكس. وفي عام ١٩٣٧، كتب إدوارد تشارلز تيتشمارش مقدمة مؤثرة لنظرية تكامل فورييه .

بدأ الاستخدام الواسع النطاق الحالي للتحويل (وخاصة في الهندسة) خلال الحرب العالمية الثانية وبعدها بفترة وجيزة ، [ 19 ] ليحل محل حساب هيفسايد التشغيلي السابق . وقد أكد غوستاف دويتش على مزايا تحويل لابلاس . [ 20 ]

التعريف الرسمي

ℜ(هـ-sت){\displaystyle \Re (e^{-st})}بالنسبة لمختلف الترددات المركبة في مجال s(s=σ+أناω){\displaystyle (s=\sigma +i\omega )}، والتي يمكن التعبير عنها على النحو التاليهـ-σتكوس⁡(ωت){\displaystyle e^{-\sigma t}\cos(\omega t)}. المحور عندσ=0{\displaystyle \sigma =0}يحتوي على جيب تمام نقي. موجبσ{\displaystyle \sigma }يحتوي على دوال جيب التمام المخمدة . سالبσ{\displaystyle \sigma }يحتوي على دوال جيب التمام المتزايدة أُسّيًا .

التحويل اللابلاس للدالة f ( t ) ، المعرّف لجميع الأعداد الحقيقية t ≥ 0 ، هو الدالة F ( s ) المعرّفة بواسطة

F(s)=∫0∞و(ت)هـ-sتدت،{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}   ( المعادلة 1 )

أينs{\displaystyle s}هو معلمة معقدة في مجال الترددs=σ+أناω{\textstyle s=\sigma +i\omega }مع الأعداد الحقيقية σ و ω . [ 21 ]

هناك صيغة بديلة لتحويل لابلاس وهيل{و}{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}بدلاً من F. [ 3 ] وبالتاليF(s)=ل{و}(s){\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)}في الترميز الوظيفي . غالبًا ما يُكتب هذا، خاصة في السياقات الهندسية، على النحو التالي :F(s)=ل{و(ت)}{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}، مع العلم أن المتغير الوهميت{\displaystyle t}لا يظهر في الدالةF(s){\displaystyle F(s)}⁠ .

يعتمد معنى التكامل على أنواع الدوال محل الاهتمام. الشرط الضروري لوجود التكامل هو أن تكون الدالة f قابلة للتكامل محليًا على الفترة [ 0, ∞) . بالنسبة للدوال القابلة للتكامل محليًا التي تتلاشى عند اللانهاية أو من النوع الأسي ( ⁠|و(ت)|≤أهـب|ت|{\displaystyle \vert f(t)\vert \leq Ae^{B\vert t\vert }}يمكن فهم التكامل على أنه تكامل ليبيغ ( صحيح) . مع ذلك، في العديد من التطبيقات، من الضروري اعتباره تكاملاً غير صحيح متقارباً شرطياً عند اللانهاية . وبشكل أعم، يمكن فهم التكامل بمعنى ضعيف ، وسيتم تناول هذا الأمر لاحقاً.

يمكن تعريف تحويل لابلاس لمقياس بوريل محدود μ بواسطة تكامل ليبيغ [ 22 ].ل{μ}(s)=∫[0،∞)هـ-sتدμ(ت).{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}

تُعدّ الحالة الخاصة المهمة هي عندما يكون μ مقياسًا احتماليًا ، مثل دالة ديراك دلتا . في حساب التفاضل والتكامل العملي ، غالبًا ما يُعامل تحويل لابلاس لمقياس ما كما لو كان هذا المقياس مشتقًا من دالة كثافة احتمالية f . في هذه الحالة، ولتجنب أي لبس محتمل، يُكتب عادةً ل{و}(s)=∫0-∞و(ت)هـ-sتدت،{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,} حيث يمثل الحد الأدنى 0 − اختصارًا لـ ليمε→0+∫-ε∞.{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}

يؤكد هذا الحد أن أي كتلة نقطية تقع عند الصفر يمكن استيعابها بالكامل بواسطة تحويل لابلاس. مع أن استخدام تكامل ليبيغ لا يستلزم بالضرورة أخذ هذا الحد، إلا أنه يظهر بشكل طبيعي أكثر عند ربطه بتحويل لابلاس-ستيلتيس .

تحويل لابلاس الثنائي

عندما يُذكر مصطلح "تحويل لابلاس" دون تحديد، يُقصد عادةً التحويل أحادي الجانب. ويمكن تعريف تحويل لابلاس أيضًا بتحويل لابلاس ثنائي الجانب ، وذلك بتوسيع نطاق التكامل ليشمل المحور الحقيقي بأكمله. عندئذٍ، يصبح التحويل أحادي الجانب حالةً خاصةً من التحويل ثنائي الجانب، حيث يتضمن تعريف الدالة المراد تحويلها ضربها بدالة هيفسايد المتدرجة .

يُعرَّف تحويل لابلاس الثنائي F ( s ) على النحو التالي:

F(s)=∫-∞∞هـ-sتو(ت)دت.{\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}   ( المعادلة 2 )

هناك صيغة بديلة لتحويل لابلاس الثنائي وهي ⁠ب{و}{\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}، بدلاًمن F.

تحويل لابلاس العكسي

تتشابه تحويلات لابلاس لدالتين قابلتين للتكامل فقط إذا اختلفتا في مجموعة ذات قياس ليبيغ يساوي صفرًا. وهذا يعني أنه يوجد تحويل عكسي على مدى التحويل. في الواقع، بالإضافة إلى الدوال القابلة للتكامل، يُعد تحويل لابلاس تطبيقًا أحاديًا من فضاء دالة إلى آخر في العديد من فضاءات الدوال الأخرى أيضًا، على الرغم من أنه لا يوجد عادةً توصيف سهل لمدى التحويل.

تشمل فضاءات الدوال النموذجية التي ينطبق عليها هذا الأمر فضاءات الدوال المتصلة المحدودة، والفضاء L∞ (0, ∞) ، أو بشكل أعم التوزيعات المعتدلة على (0, ∞) . كما أن تحويل لابلاس مُعرَّف وحقني في فضاءات مناسبة من التوزيعات المعتدلة.

في هذه الحالات، تقع صورة تحويل لابلاس في فضاء الدوال التحليلية في منطقة التقارب . يُعطى تحويل لابلاس العكسي بالتكامل المركب التالي، المعروف بأسماء مختلفة ( تكامل برومويتش ، وتكامل فورييه-ميلين ، وصيغة ميلين العكسية ):

و(ت)=ل-1{F}(ت)=12πأناليمتي→∞∫γ-أناتيγ+أناتيهـsتF(s)دs،{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,}   ( المعادلة 3 )

حيث γ عدد حقيقي بحيث يكون مسار التكامل ضمن منطقة تقارب F ( s ) . في معظم التطبيقات، يمكن إغلاق المسار، مما يسمح باستخدام نظرية البواقي . تُعطى صيغة بديلة لتحويل لابلاس العكسي بواسطة صيغة بوست العكسية . يُفسَّر الحد هنا في طوبولوجيا * الضعيفة .

من الناحية العملية، من الأنسب عادةً تحليل تحويل لابلاس إلى تحويلات معروفة للدوال التي تم الحصول عليها من جدول وإنشاء المعكوس عن طريق الفحص.

نظرية الاحتمالات

في الاحتمالات البحتة والتطبيقية ، يُعرَّف تحويل لابلاس بأنه القيمة المتوقعة . إذا كان X متغيرًا عشوائيًا بدالة كثافة احتمالية f ، فإن تحويل لابلاس لـ f يُعطى بالقيمة المتوقعة. ل{و}(s)=هـ⁡[هـ-sX]،{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],} أينهـ⁡[ر]{\displaystyle \operatorname {E} [r]}هو القيمة المتوقعة للمتغير العشوائير{\displaystyle r}⁠ .

يُشار إلى هذا اصطلاحًا باسم تحويل لابلاس للمتغير العشوائي X نفسه. هنا، باستبدال s بـ − t نحصل على دالة توليد العزوم لـ X. لتحويل لابلاس تطبيقات في جميع أنحاء نظرية الاحتمالات، بما في ذلك أوقات المرور الأولى للعمليات العشوائية مثل سلاسل ماركوف ، ونظرية التجديد .

ومن المفيد بشكل خاص القدرة على استعادة دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي مستمر X عن طريق تحويل لابلاس على النحو التالي: [ 23 ]FX(x)=ل-1{1sهـ⁡[هـ-sX]}(x)=ل-1{1sل{و}(s)}(x).{\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).}

البناء الجبري

يمكن تعريف تحويل لابلاس بطريقة جبرية بحتة بتطبيق بناء حقل الكسور على حلقة الالتفاف للدوال على نصف المستقيم الموجب. الفضاء الناتج للمؤثرات المجردة مكافئ تمامًا لفضاء لابلاس، ولكن في هذا البناء، لا يلزم تعريف التحويلين الأمامي والعكسي صراحةً (مما يتجنب الصعوبات المرتبطة بإثبات التقارب). [ 24 ]

منطقة التقارب

إذا كانت f دالة قابلة للتكامل محليًا (أو بشكل أعم مقياس بوريل محليًا ذو تباين محدود)، فإن تحويل لابلاس F ( s ) للدالة f يتقارب بشرط أن تكون النهاية ليمR→∞∫0Rو(ت)هـ-sتدت{\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt} موجود.

يتقارب تحويل لابلاس تقاربًا مطلقًا إذا كان التكامل ∫0∞|و(ت)هـ-sت|دت{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt} توجد كتكامل ليبيغ صحيح. يُفهم تحويل لابلاس عادةً على أنه متقارب شرطيًا ، أي أنه يتقارب بالمعنى الأول وليس بالمعنى الثاني.

مجموعة القيم التي يتقارب عندها F ( s ) تقاربًا مطلقًا تكون إما على الصورة Re( s ) > a أو Re( s ) ≥ a ، حيث a ثابت حقيقي موسع مع −∞ ≤ a ≤ ∞ (نتيجة لنظرية التقارب المسيطر ). يُعرف الثابت a باسم فاصلة التقارب المطلق، ويعتمد على سلوك نمو f ( t ) . [ 25 ] وبالمثل، يتقارب التحويل ثنائي الجانب تقاربًا مطلقًا في شريط على الصورة a < Re( s ) < b ، وقد يشمل الخطين Re( s ) = a أو Re( s ) = b . [ 26 ] تُسمى مجموعة قيم s التي يتقارب عندها تحويل لابلاس تقاربًا مطلقًا بمنطقة التقارب المطلق، أو مجال التقارب المطلق. في حالة التحويل ثنائي الجانب، يُطلق عليها أحيانًا شريط التقارب المطلق. تحويل لابلاس تحليلي في منطقة التقارب المطلق: هذه نتيجة لنظرية فوبيني ونظرية موريرا .

وبالمثل، تُعرف مجموعة القيم التي تتقارب عندها الدالة F ( s ) (بشكل مشروط أو مطلق) بمنطقة التقارب المشروط، أو ببساطة منطقة التقارب (ROC). إذا تقارب تحويل لابلاس (بشكل مشروط) عند s = s₀ ، فإنه يتقارب تلقائيًا لجميع قيم s التي يكون فيها Re( s ) > Re( s₀ ) . لذلك، فإن منطقة التقارب هي نصف مستوى على الصورة Re( s ) > a ، وقد تشمل بعض نقاط خط الحدود Re( s ) = a .

في منطقة التقارب Re( s ) > Re( s0 ) ، يمكن التعبير عن تحويل لابلاس للدالة f بالتكامل بالتجزئة على النحو التالي :F(s)=(s-s0)∫0∞هـ-(s-s0)تβ(ت)دت،β(u)=∫0uهـ-s0تو(ت)دت.{\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}

أي أن F ( s ) يمكن التعبير عنها فعليًا، في منطقة التقارب، على أنها تحويل لابلاس متقارب مطلقًا لدالة أخرى. وعلى وجه الخصوص، فهي دالة تحليلية. في صورتها الأكثر عمومية، يُعطي تحويل لابلاس تطابقًا أحاديًا بين الدوال التحليلية التي، بالنسبة لبعض ⁠σ∈R{\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }يتم تعريفها على{s∈ج | Rهـ(s)>σ}{\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \ \vert \ \mathrm {Re} (s)>\sigma \}}وتكون محدودة هناك بالقيمة المطلقة بواسطة متعددة حدود، والتوزيعات على خط الأعداد الحقيقية مدعومة على[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}والتي تصبح توزيعات معتدلة بعد ضربها بـهـ-σت{\displaystyle e^{-\sigma t}}بالنسبة للبعضσ{\displaystyle \sigma }[ 27 ]​​

هناك العديد من نظريات بالي-وينر المتعلقة بالعلاقة بين خصائص اضمحلال f وخصائص تحويل لابلاس داخل منطقة التقارب.

في التطبيقات الهندسية، تكون الدالة الموافقة لنظام خطي ثابت مع الزمن (LTI) مستقرة إذا كان كل مدخل محدود ينتج عنه مخرج محدود. وهذا يكافئ التقارب المطلق لتحويل لابلاس لدالة استجابة النبضة في المنطقة Re( s ) ≥ 0. ونتيجة لذلك، تكون أنظمة LTI مستقرة، بشرط أن يكون الجزء الحقيقي لأقطاب تحويل لابلاس لدالة استجابة النبضة سالبًا.

يُستخدم منحنى ROC هذا في معرفة السببية واستقرار النظام.

الخصائص والنظريات

تتمثل الخاصية الرئيسية لتحويل لابلاس في أنه يحول التفاضل والتكامل في المجال الزمني إلى الضرب والقسمة على s في مجال لابلاس. ولذلك، يُعرف متغير لابلاس s أيضًا بمتغير المؤثر في مجال لابلاس: إما مؤثر التفاضل أو (لـ s − 1 ) مؤثر التكامل .

بفرض الدالتين f ( t ) و g ( t ) ، وتحويلات لابلاس الخاصة بهما F ( s ) و G ( s ) ، و(ت)=ل-1{F(s)}،ز(ت)=ل-1{جي(s)}،{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\},\end{aligned}}}

الجدول التالي هو قائمة بخصائص تحويل لابلاس أحادي الجانب: [ 28 ]

خصائص تحويل لابلاس أحادي الجانب
ملكية المجال الزمني نطاق sتعليق
الخطيةأو(ت)+بز(ت) {\displaystyle af(t)+bg(t)\ }أF(s)+بجي(s) {\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }يمكن إثبات ذلك باستخدام قواعد التكامل الأساسية.
مشتق مجال التردد تو(ت) {\displaystyle tf(t)\ }-F′(s) {\displaystyle -F'(s)\ }F ′ هي المشتقة الأولى لـ F بالنسبة إلى s .
المشتق العام في مجال التردد تنو(ت) {\displaystyle t^{n}f(t)\ }(-1)نF(ن)(s) {\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }شكل أكثر عمومية، المشتقة النونية لـ F ( s ) .
المشتقو′(ت) {\displaystyle f'(t)\ }sF(s)-و(0-) {\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }يُفترض أن f دالة قابلة للتفاضل ، وأن مشتقتها من النوع الأسي. ويمكن الحصول على ذلك عن طريق التكامل بالتجزئة.
المشتقة الثانية و"(ت) {\displaystyle f''(t)\ }s2F(s)-sو(0-)-و′(0-) {\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }يُفترض أن الدالة f قابلة للتفاضل مرتين وأن مشتقتها الثانية من النوع الأسي. ويتحقق ذلك بتطبيق خاصية التفاضل على f ′( t ) .
مشتق عام و(ن)(ت) {\displaystyle f^{(n)}(t)\ }sنF(s)-∑ك=1نsن-كو(ك-1)(0-) {\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{-})\ }يُفترض أن الدالة f قابلة للتفاضل n مرة، وأنمشتقتها من الرتبة n من النوع الأسي. ويتبع ذلك بالاستقراء الرياضي .
التكامل في مجال التردد1تو(ت) {\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }∫s∞F(σ)دσ {\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }يتم استنتاج ذلك باستخدام طبيعة التفاضل الترددي والتقارب الشرطي.
التكامل في المجال الزمني ∫0تو(τ)دτ=(u*و)(ت){\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)}1sF(s){\displaystyle {1 \over s}F(s)}u ( t ) هي دالة الخطوة Heaviside و ( u ∗ f ) ( t ) هي التفاف u ( t ) و f ( t ) .
تغيير التردد هـأتو(ت){\displaystyle e^{at}f(t)}F(s-أ){\displaystyle F(s-a)}
تغيير الوقت و(ت-أ)u(ت-أ){\displaystyle f(t-a)u(t-a)}

و(ت)u(ت-أ) {\displaystyle f(t)u(t-a)\ }

هـ-أsF(s) {\displaystyle e^{-as}F(s)\ }

هـ-أsل{و(ت+أ)}{\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}}

a > 0 ، u ( t ) هي دالة هيفسايد المتدرجة
تغيير المقياس الزمني و(أت){\displaystyle f(at)}1أF(sأ){\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}أ > 0
الضربو(ت)ز(ت){\displaystyle f(t)g(t)}12πأناليمتي→∞∫ج-أناتيج+أناتيF(σ)جي(s-σ)دσ {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }يتم إجراء التكامل على طول الخط الرأسي Re( σ ) = c الذي يقع بالكامل داخل منطقة تقارب F . [ 29 ]
التفاف(و*ز)(ت)=∫0تو(τ)ز(ت-τ)دτ{\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }F(s)⋅جي(s) {\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }
الالتفاف الدائري(و*ز)(ت)=∫0تيو(τ)ز(ت-τ)دτ{\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }F(s)⋅جي(s) {\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }بالنسبة للدوال الدورية ذات الفترة T.
الاقتران المعقدو*(ت){\displaystyle f^{*}(t)}F*(s*){\displaystyle F^{*}(s^{*})}
الدالة الدوريةو(ت){\displaystyle f(t)}11-هـ-تيs∫0تيهـ-sتو(ت)دت{\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}الدالة f ( t ) هي دالة دورية ذات دورة T بحيث تكون f ( t ) = f ( t + T ) لجميع قيم t ≥ 0. وهذا ناتج عن خاصية إزاحة الزمن والمتسلسلة الهندسية .
الجمع الدوريوP(ت)=∑ن=0∞و(ت-تين){\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)}

وP(ت)=∑ن=0∞(-1)نو(ت-تين){\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)}

FP(s)=11-هـ-تيsF(s){\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)}

FP(s)=11+هـ-تيsF(s){\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)}

نظرية القيمة الابتدائية
و(0+)=ليمs→∞sF(s).{\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}
نظرية القيمة النهائية
⁠و(∞)=ليمs→0sF(s){\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}، إذا كانتجميع أقطابsF(s){\displaystyle sF(s)}تقع في النصف الأيسر من المستوى.
تُعدّ نظرية القيمة النهائية مفيدة لأنها تُبيّن السلوك طويل الأمد دون الحاجة إلى إجراء تحليل الكسور الجزئية (أو غيرها من العمليات الجبرية المعقدة). إذا كان للدالة F ( s ) قطب في المستوى الأيمن أو أقطاب على المحور التخيلي (على سبيل المثال، إذاو(ت)=هـت{\displaystyle f(t)=e^{t}}أو​و(ت)=الخطيئة⁡(ت){\displaystyle f(t)=\sin(t)}) ، عندئذٍ يكون سلوك هذه الصيغة غير محدد.

العلاقة بمتسلسلة القوى

يمكن اعتبار تحويل لابلاس نظيرًا متصلًا لمتسلسلة القوى . [ 30 ] إذا كانت a ( n ) دالة منفصلة لعدد صحيح موجب n ، فإن متسلسلة القوى المرتبطة بـ a ( n ) هي المتسلسلة ∑ن=0∞أ(ن)xن{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}} حيث x متغير حقيقي (انظر تحويل Z ). باستبدال الجمع على n بالتكامل على t ، تصبح النسخة المتصلة من متسلسلة القوى كما يلي: ∫0∞و(ت)xتدت{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt} حيث يتم استبدال الدالة المنفصلة a ( n ) بالدالة المستمرة f ( t ) .

تغيير أساس القوة من x إلى e يعطي ∫0∞و(ت)(هـln⁡x)تدت{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}

لكي يتقارب هذا، على سبيل المثال، لجميع الدوال المحدودة f ، من الضروري اشتراط أن يكون ln x < 0. بإجراء الاستبدال − s = ln x، نحصل على تحويل لابلاس فقط: ∫0∞و(ت)هـ-sتدت{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}

بمعنى آخر، تحويل لابلاس هو نظير مستمر لسلسلة القوى، حيث يتم استبدال المعلمة المنفصلة n بالمعلمة المستمرة t ، ويتم استبدال x بـ e − s .

على غرار متسلسلة القوى، إذاأ(ن)=يا(ρ-ن){\displaystyle a(n)=O(\rho ^{-n})}ثم تتقارب متسلسلة القوى إلى دالة تحليلية في|x|<ρ{\displaystyle \vert x\vert <\rho }، إذا​و(ت)=يا(هـ-σت){\displaystyle f(t)=O(e^{-\sigma t})}، يتقارب تحويل لابلاس إلى دالة تحليلية لـℜ(s)>σ{\displaystyle \Re (s)>\sigma }[ 31 ]​​

العلاقة باللحظات

الكميات μن=∫0∞تنو(ت)دت{\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt} هي عزوم الدالة f . إذا تقاربت العزوم n الأولى للدالة f تقاربًا مطلقًا، فإنه بالتفاضل المتكرر تحت التكامل ، (-1)ن(لو)(ن)(0)=μن.{\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}وهذا الأمر ذو أهمية خاصة في نظرية الاحتمالات، حيث تُعطى عزوم المتغير العشوائي X بواسطة القيم المتوقعة .μن=هـ⁡[Xن]{\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}إذن ، تبقى العلاقة قائمة. μن=(-1)ندندsنهـ⁡[هـ-sX](0).{\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}

تحويل مشتقة الدالة

من المفيد غالبًا استخدام خاصية التفاضل في تحويل لابلاس لإيجاد تحويل مشتقة الدالة. ويمكن اشتقاق ذلك من الصيغة الأساسية لتحويل لابلاس كما يلي: ل{و(ت)}=∫0-∞هـ-sتو(ت)دت=[و(ت)هـ-sت-s]0-∞-∫0-∞هـ-sت-sو′(ت)دت(بالأجزاء)=[-و(0-)-s]+1sل{و′(ت)}،{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}} الاستسلام ل{و′(ت)}=s⋅ل{و(ت)}-و(0-)،{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),} وفي الحالة الثنائية، ل{و′(ت)}=s∫-∞∞هـ-sتو(ت)دت=s⋅ل{و(ت)}.{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}

النتيجة العامة ل{و(ن)(ت)}=sن⋅ل{و(ت)}-sن-1و(0-)-⋯-و(ن-1)(0-)،{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),} أينو(ن){\displaystyle f^{(n)}}يشير إلى المشتقة النونية لـ f ، ويمكن إثبات ذلك باستخدام حجة استقرائية.

تقييم التكاملات على المحور الحقيقي الموجب

من الخصائص المفيدة لتحويل لابلاس ما يلي: ∫0∞و(x)ز(x)دx=∫0∞(لو)(s)⋅(ل-1ز)(s)دs{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds} في ظل افتراضات مناسبة بشأن سلوك ⁠و{\displaystyle f}و​​ز{\displaystyle g}في حي مناسب من0{\displaystyle 0}وعلى معدل اضمحلال ⁠و{\displaystyle f}و​​ز{\displaystyle g}في حيّ يساري من∞{\displaystyle \infty }الصيغة أعلاه هي شكل من أشكال التكامل بالتجزئة، مع المعاملات ددx{\displaystyle {\frac {d}{dx}}}و∫دx{\displaystyle \int \,dx}يتم استبدالها بـل{\displaystyle {\mathcal {L}}}و​ل-1{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}لنثبت الصيغة المكافئة :∫0∞(لو)(x)ز(x)دx=∫0∞و(s)(لز)(s)دs.{\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}

عن طريق التوصيل(لو)(x)=∫0∞و(s)هـ-sxدs{\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}يتحول الجانب الأيسر إلى: ∫0∞∫0∞و(s)ز(x)هـ-sxدsدx،{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,} ولكن بافتراض صحة نظرية فوبيني، من خلال عكس ترتيب التكامل نحصل على الجانب الأيمن المطلوب.

يمكن استخدام هذه الطريقة لحساب التكاملات التي يصعب حسابها باستخدام الطرق الأساسية لحساب التفاضل والتكامل الحقيقي. على سبيل المثال، يمكن حساب تكامل ديريشليه باستخدام تحويل لابلاس. ∫0∞الخطيئة⁡xxدx=∫0∞ل(1)(x)الخطيئة⁡xدx=∫0∞1⋅ل(الخطيئة)(x)دx=∫0∞دxx2+1=π2.{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathop {} \!dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin x\mathop {} \!dx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)\mathop {} \!dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}

العلاقة بالتحولات الأخرى

تحويل لابلاس-ستيلتيس

يتم تعريف تحويل لابلاس-ستيلتجيس (أحادي الجانب) للدالة g  : ℝ → ℝ بواسطة تكامل Lebesgue-Stieltjes{ل*ز}(s)=∫0∞هـ-sتدز(ت) .{\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}

يُفترض أن الدالة g ذات تباين محدود . إذا كانت g هي الدالة الأصلية للدالة f : ز(x)=∫0xو(ت)دت{\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}

عندئذٍ، يتطابق تحويل لابلاس-ستيلتيس للدالة g مع تحويل لابلاس للدالة f . وبشكل عام، يُعد تحويل لابلاس-ستيلتيس هو تحويل لابلاس لمقياس ستيلتيس المرتبط بالدالة g . لذا، عمليًا، يكمن الفرق الوحيد بين التحويلين في أن تحويل لابلاس يُنظر إليه على أنه يعمل على دالة كثافة المقياس، بينما يُنظر إلى تحويل لابلاس-ستيلتيس على أنه يعمل على دالة التوزيع التراكمي الخاصة به . [ 32 ]

تحويل فورييه

يتركو{\displaystyle f}لتكن دالة قابلة للتكامل من نوع ليبيغ ذات قيم مركبة مدعومة على[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}ودع​F(s)=لو(s){\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}f(s)}ليكن تحويل لابلاس الخاص بها. عندئذٍ، ضمن منطقة التقارب، لدينا F(σ+أناτ)=∫0∞و(ت)هـ-σتهـ-أناτتدت،{\displaystyle F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,}وهو تحويل فورييه للدالةو(ت)هـ-σت{\displaystyle f(t)e^{-\sigma t}}[ 33 ]​​

في الواقع، يُعد تحويل فورييه حالة خاصة (في ظل شروط معينة) من تحويل لابلاس الثنائي. ويكمن الاختلاف الرئيسي في أن تحويل فورييه لدالة ما هو دالة مركبة لمتغير حقيقي (التردد ).τ{\displaystyle \tau }تحويل لابلاس لدالة ما هو دالة مركبة لمتغير مركب (عامل التخميد) .σ{\displaystyle \sigma }والتكرار​τ{\displaystyle \tau }يقتصر تحويل لابلاس عادةً على تحويل الدوال التي تأخذ t ≥ 0. ونتيجةً لهذا التقييد، فإن تحويل لابلاس لدالة ما هو دالة تحليلية للمتغير s . وعلى عكس تحويل فورييه، فإن تحويل لابلاس للتوزيع هو عمومًا دالة منتظمة السلوك . ويمكن أيضًا استخدام تقنيات المتغيرات المركبة لدراسة تحويلات لابلاس مباشرةً. وباعتباره دالة تحليلية، فإن تحويل لابلاس له تمثيل متسلسلة قوى . تعبر متسلسلة القوى هذه عن الدالة كمجموع خطي لعزوم الدالة. ولهذا المنظور تطبيقات في نظرية الاحتمالات.

بصورة رسمية، فإن تحويل فورييه يعادل تقييم تحويل لابلاس الثنائي مع الوسيط التخيلي s = iω [ 34 ] [ 35 ] عندما يتحقق الشرط الموضح أدناه، و^(ω)=F{و(ت)}=ل{و(ت)}|s=أناω=F(s)|s=أناω=∫-∞∞هـ-أناωتو(ت)دت .{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}

هذا الاصطلاح لتحويل فورييه ( ⁠و^3(ω){\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}في تحويل فورييه  ( مع مراعاة الاصطلاحات الأخرى ) ، يتطلب الأمر عاملاً مقداره 1 / 2π في تحويل فورييه العكسي. تُستخدم هذه العلاقة بين تحويلي لابلاس وفورييه غالبًا لتحديد طيف التردد لإشارةأو نظام ديناميكي .

تكون العلاقة المذكورة أعلاه صحيحة كما هي مذكورة إذا وفقط إذا كانت منطقة التقارب (ROC) لـ F ( s ) تحتوي على المحور التخيلي، σ = 0 .

على سبيل المثال ، الدالة f ( t ) = cos( ω₀t ) لها تحويل لابلاس F ( s ) = s /( s² + ω₀² ) الذي تكون منطقة تقاربه Re( s ) > 0. بما أن s = iω₀ قطب من F ( s ) ، فإن استبدال s = iω في F ( s ) لا يُعطي تحويل فورييه لـ f ( t ) u ( t ) ، الذي يحتوي على حدود تتناسب مع دوال ديراك دلتا δ ( ω ± ω₀ ) .

ومع ذلك، فإن العلاقة من الشكل ليمσ→0+F(σ+أناω)=و^(ω){\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )} ينطبق هذا في ظل شروط أضعف بكثير. على سبيل المثال، ينطبق هذا على المثال المذكور أعلاه بشرط أن يُفهم الحد على أنه حد ضعيف للمقاييس (انظر الطوبولوجيا الغامضة ). تأخذ الشروط العامة التي تربط حد تحويل لابلاس لدالة على الحدود بتحويل فورييه شكل نظريات بالي-وينر .

ميلين يتحول

يرتبط تحويل ميلين وعكسه بتحويل لابلاس ثنائي الجانب عن طريق تغيير المتغيرات.

إذا في تحويل ميلين جي(s)=م{ز(θ)}=∫0∞θsز(θ)دθθ{\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}} نضع θ = e − t فنحصل على تحويل لابلاس ثنائي الجانب.

تحويل Z

التحويل Z أحادي الجانب هو تحويل لابلاس لإشارة مُعينة بشكل مثالي مع استبدال z=دهـوهـsتي،{\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},} حيث T = 1/ f s هي فترة أخذ العينات (بوحدات زمنية مثل الثواني) و f s هو معدل أخذ العينات ( بالعينات في الثانية أو هرتز ).

يترك Δتي(ت) =دهـو ∑ن=0∞دلتا(ت-نتي){\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)} أن تكون سلسلة نبضات أخذ العينات (تسمى أيضًا مشط ديراك ) و xq(ت)=دهـوx(ت)Δتي(ت)=x(ت)∑ن=0∞دلتا(ت-نتي)=∑ن=0∞x(نتي)دلتا(ت-نتي)=∑ن=0∞x[ن]دلتا(ت-نتي){\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}} ليكن التمثيل المأخوذ عينات منه للزمن المستمر x ( t )x[ن]=دهـوx(نتي) .{\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}

تحويل لابلاس للإشارة المأخوذة عينات منها x q ( t ) هو Xq(s)=∫0-∞xq(ت)هـ-sتدت=∫0-∞∑ن=0∞x[ن]دلتا(ت-نتي)هـ-sتدت=∑ن=0∞x[ن]∫0-∞دلتا(ت-نتي)هـ-sتدت=∑ن=0∞x[ن]هـ-نsتي .{\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}

هذا هو التعريف الدقيق للتحويل Z أحادي الجانب للدالة المنفصلة x [ n ]X(z)=∑ن=0∞x[ن]z-ن{\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}} مع استبدال z → e sT .

بمقارنة المعادلتين الأخيرتين، نجد العلاقة بين تحويل Z أحادي الجانب وتحويل لابلاس للإشارة المأخوذة عينات منها، Xq(s)=X(z)|z=هـsتي.{\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}

يتم توسيع نطاق التشابه بين تحويلات Z وتحويلات لابلاس في نظرية حساب مقياس الزمن .

تحويل بوريل

الشكل التكاملي لتحويل بوريلF(s)=∫0∞و(z)هـ-szدz{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz} هي حالة خاصة من تحويل لابلاس لدالة كاملة من النوع الأسي f ، مما يعني أن|و(z)|≤أهـب|z|{\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}} بالنسبة لبعض الثوابت A و B ، يسمح تحويل بوريل المعمم باستخدام دالة ترجيح مختلفة، بدلاً من الدالة الأسية، لتحويل الدوال غير الأسية. وتُقدّم نظرية ناخبين شروطًا ضرورية وكافية لكي يكون تحويل بوريل مُعرّفًا تعريفًا جيدًا.

العلاقات الأساسية

بما أن تحويل لابلاس العادي يُمكن كتابته كحالة خاصة من تحويل ثنائي الجانب، وبما أن التحويل ثنائي الجانب يُمكن كتابته كمجموع تحويلين أحاديي الجانب، فإن نظرية تحويلات لابلاس، وفورييه، وميلين، وZ تُشكل في جوهرها موضوعًا واحدًا. مع ذلك، يرتبط كل من هذه التحويلات التكاملية الأربعة الرئيسية بوجهة نظر مختلفة ومشكلات مميزة مختلفة.

جدول تحويلات لابلاس المختارة

يُقدّم الجدول التالي تحويلات لابلاس للعديد من الدوال الشائعة لمتغير واحد. [ 36 ] [ 37 ] للاطلاع على التعريفات والشروحات، انظر الملاحظات التوضيحية في نهاية الجدول.

لأن تحويل لابلاس هو مؤثر خطي ،

  • إن تحويل لابلاس لمجموع ما هو مجموع تحويلات لابلاس لكل حد.ل{و(ت)+ز(ت)}=ل{و(ت)}+ل{ز(ت)}{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}
  • تحويل لابلاس لمضاعف دالة ما هو ذلك المضاعف مضروبًا في تحويل لابلاس لتلك الدالة.ل{أو(ت)}=أل{و(ت)}{\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}

باستخدام هذه الخطية، وخصائص و/أو متطابقات مختلفة في الدوال المثلثية والزائدية والأعداد المركبة (إلخ)، يمكن الحصول على بعض تحويلات لابلاس من تحويلات أخرى بسرعة أكبر من استخدام التعريف مباشرة.

يأخذ تحويل لابلاس أحادي الجانب كمدخل دالة يكون مجالها الزمني هو الأعداد الحقيقية غير السالبة ، ولهذا السبب فإن جميع دوال المجال الزمني في الجدول أدناه هي مضاعفات دالة هيفسايد المتدرجة ، u ( t ) .

يُشترط أن تكون مدخلات الجدول التي تتضمن تأخيرًا زمنيًا τ سببية (أي أن τ > 0 ). النظام السببي هو نظام تكون فيه استجابة النبضة h ( t ) صفرًا لجميع الأزمنة t قبل t = 0. وبشكل عام، لا تتطابق منطقة التقارب للأنظمة السببية مع منطقة التقارب للأنظمة غير السببية .

تحويلات لابلاس المختارة
وظيفة المجال الزمني و(ت)=ل-1{F(s)}{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}مجال لابلاس sF(s)=ل{و(ت)}{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}منطقة التقارب مرجع
نبضة الوحدة دلتا(ت) {\displaystyle \delta (t)\ }1{\displaystyle 1}جميع​تقتيش
نبضة متأخرة دلتا(ت-τ) {\displaystyle \delta (t-\tau )\ }هـ-τs {\displaystyle e^{-\tau s}\ }جميع​إزاحة زمنية لنبضة الوحدة
يونيت ستيب u(ت) {\displaystyle u(t)\ }1s{\displaystyle {1 \over s}}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}تكامل نبضة الوحدة
خطوة الوحدة المتأخرة u(ت-τ) {\displaystyle u(t-\tau )\ }1sهـ-τs{\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{-\tau s}}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}إزاحة زمنية لخطوة الوحدة
ناتج الدالة المتأخرة والخطوة المتأخرة و(ت-τ)u(ت-τ){\displaystyle f(t-\tau )u(t-\tau )}هـ-sτل{و(ت)}{\displaystyle e^{-s\tau }{\mathcal {L}}\{f(t)\}}استبدال u،u=ت-τ{\displaystyle u=t-\tau }
نبضة مستطيلة u(ت)-u(ت-τ){\displaystyle u(t)-u(t-\tau )}1s(1-هـ-τs){\displaystyle {\frac {1}{s}}(1-e^{-\tau s})}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}
منحدرت⋅u(ت) {\displaystyle t\cdot u(t)\ }1s2{\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}قم بتكامل نبضة الوحدة مرتين
القوة n ( لعدد صحيح n ) تن⋅u(ت){\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}ن!sن+1{\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0} ( n > −1 ) قم بإجراء التكامل باستخدام خطوة الوحدة n مرة
القوة q (للعدد المركب q ) تq⋅u(ت){\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}Γ⁡(q+1)sq+1{\displaystyle {\operatorname {\Gamma } (q+1) \over s^{q+1}}}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}يكرر⁡(q)>-1{\displaystyle \operatorname {Re} (q)>-1}[ 38 ] [ 39 ]
الجذر النونيتن⋅u(ت){\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}1s1ن+1Γ⁡(1ن+1){\displaystyle {1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{n}}+1\right)}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}ضع قيمة q = 1/ n أعلاه.
القوة النونية مع إزاحة التردد تنهـ-αت⋅u(ت){\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}ن!(s+α)ن+1{\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}يكرر⁡(s)>-α{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }قم بتكامل خطوة الوحدة، ثم قم بتطبيق إزاحة التردد
تأخير من الدرجة n مع إزاحة التردد (ت-τ)نهـ-α(ت-τ)⋅u(ت-τ){\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}ن!⋅هـ-τs(s+α)ن+1{\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}يكرر⁡(s)>-α{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }قم بإجراء التكامل باستخدام خطوة الوحدة، ثم قم بتطبيق إزاحة التردد، ثم قم بتطبيق إزاحة الوقت.
اضمحلال أسيهـ-αت⋅u(ت){\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}1s+α{\displaystyle {1 \over s+\alpha }}يكرر⁡(s)>-α{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }إزاحة التردد لخطوة الوحدة
اضمحلال أسي ثنائي الجانب (فقط للتحويل الثنائي) هـ-α|ت| {\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }2αα2-s2{\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}-α<يكرر⁡(s)<α{\displaystyle -\alpha <\operatorname {Re} (s)<\alpha }إزاحة التردد لخطوة الوحدة
النهج الأسي (1-هـ-αت)⋅u(ت) {\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }αs(s+α){\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}خطوة الوحدة ناقص التضاؤل ​​الأسي
جيبالخطيئة⁡(ωت)⋅u(ت) {\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }ωs2+ω2{\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}[ 40 ]
جيب التمامكوس⁡(ωت)⋅u(ت) {\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }ss2+ω2{\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}[ 40 ]
الجيب الزائديسينه⁡(αت)⋅u(ت) {\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }αs2-α2{\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}يكرر⁡(s)>|α|{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}[ 41 ]
جيب التمام الزائديضرب بالعصا⁡(αت)⋅u(ت) {\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }ss2-α2{\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}يكرر⁡(s)>|α|{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}[ 41 ]
موجة جيبية تتلاشى أُسّيًاهـ-αتالخطيئة⁡(ωت)⋅u(ت) {\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }ω(s+α)2+ω2{\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}يكرر⁡(s)>-α{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }[ 40 ]
موجة جيبية تتلاشى أُسّيًاهـ-αتكوس⁡(ωت)⋅u(ت) {\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }s+α(s+α)2+ω2{\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}يكرر⁡(s)>-α{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }[ 40 ]
اللوغاريتم الطبيعيln⁡(ت)⋅u(ت){\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}-1s[ln⁡(s)+γ]{\displaystyle -{1 \over s}\left[\ln(s)+\gamma \right]}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}[ 41 ]
دالة بيسل من النوع الأول، من الرتبة nجن(ωت)⋅u(ت){\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}(s2+ω2-s)نωنs2+ω2{\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{\!n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0} ( n > −1 ) [ 42 ]
دالة الخطأقطعة أرض⁡(ت)⋅u(ت){\displaystyle \operatorname {erf} (t)\cdot u(t)}1sهـs2/4(1-قطعة أرض⁡s2){\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{s^{2}/4}\!\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)}يكرر⁡(s)>0{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}[ 42 ]
ملاحظات توضيحية:

الدوائر المكافئة والمعاوقات في مجال s

يُستخدم تحويل لابلاس غالبًا في تحليل الدوائر الكهربائية عن طريق تحويل عناصر الدائرة إلى مجال s . ويمكن تحويل عناصر الدائرة إلى معاوقات ، تشبه إلى حد كبير معاوقات الطور .

فيما يلي ملخص للمكافئات:

الدوائر المكافئة في مجال s
الدوائر المكافئة في مجال s

لاحظ أن قيمة المقاومة هي نفسها تمامًا في المجال الزمني وفي مجال s . تُضاف المصادر إذا كانت هناك شروط ابتدائية على عناصر الدائرة. على سبيل المثال، إذا كان للمكثف جهد ابتدائي، أو إذا كان للمحث تيار ابتدائي، فإن المصادر المُضافة في مجال s تأخذ ذلك في الحسبان.

يتم اشتقاق المكافئات لمصادر التيار والجهد من التحويلات الواردة في الجدول أعلاه.

أمثلة وتطبيقات

يُستخدم تحويل لابلاس بكثرة في الهندسة والفيزياء ؛ إذ يُمكن حساب خرج نظام خطي ثابت مع الزمن عن طريق دمج استجابته النبضية مع إشارة الدخل. يُحوّل إجراء هذا الحساب في فضاء لابلاس عملية الدمج إلى عملية ضرب، وهي عملية أسهل في الحل نظرًا لصيغتها الجبرية. لمزيد من المعلومات، انظر نظرية التحكم . تحويل لابلاس قابل للعكس على فئة واسعة من الدوال. عند وجود وصف رياضي أو دالي لمدخل أو خرج نظام ما ، يُقدّم تحويل لابلاس وصفًا داليًا بديلًا يُبسّط غالبًا عملية تحليل سلوك النظام، أو في تصميم نظام جديد بناءً على مجموعة من المواصفات. [ 43 ]

يمكن استخدام تحويل لابلاس لحل المعادلات التفاضلية، ويُستخدم على نطاق واسع في الهندسة الميكانيكية والهندسة الكهربائية . يُحوّل تحويل لابلاس المعادلة التفاضلية الخطية إلى معادلة جبرية، والتي يمكن حلها باستخدام قواعد الجبر الرسمية. بعد ذلك، يمكن حل المعادلة التفاضلية الأصلية بتطبيق تحويل لابلاس العكسي. اقترح المهندس الكهربائي الإنجليزي أوليفر هيفسايد مخططًا مشابهًا، ولكن دون استخدام تحويل لابلاس؛ ويُنسب إلى حساب التفاضل والتكامل الناتج اسم حساب هيفسايد.

تقييم التكاملات غير المحددة

دع​ل{و(ت)}=F(s){\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}ثم (انظر الجدول أعلاه) ∂sل{و(ت)ت}=∂s∫0∞و(ت)تهـ-sتدت=-∫0∞و(ت)هـ-sتدت=-F(s){\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)}

ومنها نحصل على: ل{و(ت)ت}=∫s∞F(ص)دص.{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}

في الحدs→0{\displaystyle s\rightarrow 0}، يحصل المرء ∫0∞و(ت)تدت=∫0∞F(ص)دص،{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,} بشرط أن يكون تبديل النهايات مبررًا. غالبًا ما يكون هذا ممكنًا كنتيجة لنظرية القيمة النهائية . حتى عندما لا يكون التبديل مبررًا، يمكن أن تكون الحسابات مفيدة. على سبيل المثال، مع a ≠ 0 ≠ b ، باتباع الشكلية نحصل على ∫0∞كوس⁡(أت)-كوس⁡(بت)تدت=∫0∞(صص2+أ2-صص2+ب2)دص=[12ln⁡ص2+أ2ص2+ب2]0∞=12ln⁡ب2أ2=ln⁡|بأ|.{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}

المعاوقة المركبة للمكثف

في نظرية الدوائر الكهربائية ، يتناسب تدفق التيار في المكثف طرديًا مع سعته ومعدل تغير الجهد الكهربائي (باستخدام معادلات مماثلة لنظام الوحدات الدولي ). ويُعبَّر عن ذلك رمزيًا بالمعادلة التفاضلية. أنا=جدvدت،{\displaystyle i=C{dv \over dt},} حيث C هي سعة المكثف، و i = i ( t ) هو التيار الكهربائي المار عبر المكثف كدالة للزمن، و v = v ( t ) هو الجهد عبر أطراف المكثف، أيضًا كدالة للزمن.

بأخذ تحويل لابلاس لهذه المعادلة، نحصل على أنا(s)=ج(sV(s)-V0)،{\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),} أين أنا(s)=ل{أنا(ت)}،V(s)=ل{v(ت)}،{\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}} و V0=v(0).{\displaystyle V_{0}=v(0).}

بحل المعادلة لإيجاد V ( s ) نحصل على V(s)=أنا(s)sج+V0s.{\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}

تعريف المعاوقة المركبة Z (بالأوم ) هو نسبة الجهد المركب V مقسومًا على التيار المركب I مع تثبيت الحالة الابتدائية V 0 عند الصفر: Z(s)=V(s)أنا(s)|V0=0.{\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}

باستخدام هذا التعريف والمعادلة السابقة، نجد ما يلي: Z(s)=1sج،{\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},} وهو التعبير الصحيح للممانعة المركبة للمكثف. إضافةً إلى ذلك، فإن لتحويل لابلاس تطبيقات واسعة في نظرية التحكم.

استجابة النبضة

لنفترض نظامًا خطيًا ثابتًا مع الزمن ذو دالة نقلح(s)=1(s+α)(s+β).{\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}

استجابة النبضة هي التحويل العكسي لابلاس لدالة النقل هذه: ح(ت)=ل-1{ح(s)}.{\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}

تحليل الكسور الجزئية

لتقييم هذا التحويل العكسي، نبدأ بتوسيع H ( s ) باستخدام طريقة توسيع الكسور الجزئية. 1(s+α)(s+β)=Ps+α+Rs+β.{\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}

الثوابت المجهولة P و R هي البواقي الموجودة عند الأقطاب المقابلة لدالة النقل. يمثل كل باقٍ المساهمة النسبية لتلك النقطة الشاذة في الشكل العام لدالة النقل.

بحسب نظرية البواقي ، يعتمد تحويل لابلاس العكسي فقط على الأقطاب وبواقيها. لإيجاد الباقي P ، نضرب طرفي المعادلة في s + α لنحصل على 1s+β=P+R(s+α)s+β.{\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}

ثم بوضع s = − α ، فإن مساهمة R تتلاشى، وكل ما يتبقى هو P=1s+β|s=-α=1β-α.{\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}

وبالمثل، يُعطى الباقي R بالصيغة التاليةR=1s+α|s=-β=1α-β.{\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}

لاحظ أن R=-1β-α=-P{\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P} وبالتالي فإن استبدال R و P في التعبير الموسع لـ H ( s ) يعطي ح(s)=(1β-α)⋅(1s+α-1s+β).{\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}

وأخيرًا، باستخدام خاصية الخطية والتحويل المعروف للاضمحلال الأسي (انظر البند رقم 3 في جدول تحويلات لابلاس أعلاه)، يمكننا أخذ تحويل لابلاس العكسي لـ H ( s ) للحصول على ح(ت)=ل-1{ح(s)}=1β-α(هـ-αت-هـ-βت)،{\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),} وهو ما يمثل استجابة النظام النبضية.

التفاف

يمكن تحقيق النتيجة نفسها باستخدام خاصية الالتفاف كما لو كان النظام عبارة عن سلسلة من المرشحات ذات دوال نقل 1/( s + α ) و 1/( s + β ) . أي أن معكوس ح(s)=1(s+α)(s+β)=1s+α⋅1s+β{\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}} يكون ل-1{1s+α}*ل-1{1s+β}=هـ-αت*هـ-βت=∫0تهـ-αxهـ-β(ت-x)دx=هـ-αت-هـ-βتβ-α.{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.}

تأخيرات الطور

دالة الزمن تحويل لابلاس
الخطيئة⁡(ωت+φ){\displaystyle \sin {(\omega t+\varphi )}}sالخطيئة⁡(φ)+ωكوس⁡(φ)s2+ω2{\displaystyle {\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}
كوس⁡(ωت+φ){\displaystyle \cos {(\omega t+\varphi )}}sكوس⁡(φ)-ωالخطيئة⁡(φ)s2+ω2.{\displaystyle {\frac {s\cos(\varphi )-\omega \sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}.}

بدءاً من تحويل لابلاس، X(s)=sالخطيئة⁡(φ)+ωكوس⁡(φ)s2+ω2{\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}} نجد المعكوس عن طريق إعادة ترتيب الحدود في الكسر أولاً: X(s)=sالخطيئة⁡(φ)s2+ω2+ωكوس⁡(φ)s2+ω2=الخطيئة⁡(φ)(ss2+ω2)+كوس⁡(φ)(ωs2+ω2).{\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}

أصبحنا الآن قادرين على إجراء تحويل لابلاس العكسي لمصطلحاتنا: x(ت)=الخطيئة⁡(φ)ل-1{ss2+ω2}+كوس⁡(φ)ل-1{ωs2+ω2}=الخطيئة⁡(φ)كوس⁡(ωت)+كوس⁡(φ)الخطيئة⁡(ωت).{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}}

هذا مجرد جيب مجموع الوسائط، مما ينتج عنه: x(ت)=الخطيئة⁡(ωت+φ).{\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}

يمكننا تطبيق منطق مماثل لإيجاد ذلك ل-1{sكوس⁡φ-ωالخطيئة⁡φs2+ω2}=كوس⁡(ωت+φ).{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}

الميكانيكا الإحصائية

في الميكانيكا الإحصائية ، تحويل لابلاس لكثافة الحالاتز(هـ){\displaystyle g(E)}تُعرّف دالة التقسيم . [ 44 ] أي دالة التقسيم الأساسيةZ(β){\displaystyle Z(\beta )}يُعطى بواسطة Z(β)=∫0∞هـ-βهـز(هـ)دهـ{\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE} والمعكوس يُعطى بواسطة ز(هـ)=12πأنا∫β0-أنا∞β0+أنا∞هـβهـZ(β)دβ{\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta }

البنية المكانية (وليس الزمنية) من الطيف الفلكي

يتضح التطبيق الواسع والعام لتحويل لابلاس وعكسه من خلال تطبيق في علم الفلك يوفر بعض المعلومات حول التوزيع المكاني للمادة لمصدر فلكي للإشعاع الحراري بترددات الراديو البعيد جدًا بحيث لا يمكن تمييزه على أنه أكثر من نقطة، بالنظر إلى طيف كثافة التدفق الخاص به ، بدلاً من ربط المجال الزمني بالطيف (مجال التردد).

بافتراض خصائص معينة للجسم، كشكله الكروي ودرجة حرارته الثابتة، فإن الحسابات القائمة على إجراء تحويل لابلاس العكسي على طيف الجسم تُنتج النموذج الوحيد الممكن لتوزيع المادة فيه (الكثافة كدالة للمسافة من المركز) المتوافق مع الطيف. [ 45 ] وعند توفر معلومات مستقلة عن بنية الجسم، وُجد أن طريقة تحويل لابلاس العكسي تُحقق توافقًا جيدًا.

عمليات الولادة والوفاة

لنفترض وجود مسار عشوائي ، مع خطوات{+1،-1}{\displaystyle \{+1,-1\}}يحدث باحتمالاتص،q=1-ص{\displaystyle p,q=1-p}[ 46 ] لنفترض أيضًا أن الخطوة الزمنية هي عملية بواسون ،ذات المعامل ⁠λ{\displaystyle \lambda }ثم احتمال أن يكون المسار عند نقطة الشبكةن{\displaystyle n}في ذلك الوقتت{\displaystyle t}يكون Pن(ت)=∫0تλهـ-λ(ت-s)(صPن-1(s)+qPن+1(s))دs(+هـ-λتمتى ن=0).{\displaystyle P_{n}(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda (t-s)}(pP_{n-1}(s)+qP_{n+1}(s))\,ds\quad (+e^{-\lambda t}\quad {\text{when}}\ n=0).} يؤدي هذا إلى نظام من المعادلات التكاملية (أو ما يعادله نظام من المعادلات التفاضلية). ومع ذلك، ولأنه نظام من معادلات الالتفاف، فإن تحويل لابلاس يحوله إلى نظام من المعادلات الخطية لـ πن(s)=ل(Pن)(s)،{\displaystyle \pi _{n}(s)={\mathcal {L}}(P_{n})(s),} أي: πن(s)=λλ+s(صπن-1(s)+qπن+1(s))(+1λ+sمتى ن=0){\displaystyle \pi _{n}(s)={\frac {\lambda }{\lambda +s}}(p\pi _{n-1}(s)+q\pi _{n+1}(s))\quad (+{\frac {1}{\lambda +s}}\quad {\text{when}}\ n=0)} والتي يمكن حلها الآن بالطرق القياسية.

نظرية تاوبر

تحويل لابلاس للمقياسμ{\displaystyle \mu }على[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}يُعطى بواسطة لμ(s)=∫0∞هـ-sتدμ(ت).{\displaystyle {\mathcal {L}}\mu (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t).} من البديهي أنه بالنسبة للصغيرةs>0{\displaystyle s>0}، ستصبح الدالة التكاملية المتناقصة أُسّيًا أكثر حساسية لتركيز المقياسμ{\displaystyle \mu }على مجموعات فرعية أكبر من المجال. ولجعل هذا أكثر دقة، نُعرّف دالة التوزيع: م(ت)=μ([0،ت)).{\displaystyle M(t)=\mu ([0,t)).} بشكل رسمي، نتوقع حدًا من النوع التالي: ليمs→0+لμ(s)=ليمت→∞م(ت).{\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}{\mathcal {L}}\mu (s)=\lim _{t\to \infty }M(t).}تُعدّ نظريات تاوبر نظريات تربط بين السلوك التقاربي لتحويل لابلاس، كما يلي :s→0+{\displaystyle s\to 0^{+}}، إلى تلك الخاصة بتوزيعμ{\displaystyle \mu }كما​ت→∞{\displaystyle t\to \infty }وبالتالي ، فهي ذات أهمية في الصيغ التقاربية للاحتمالات والإحصاء، حيث غالبًا ما يكون للجانب الطيفي تقاربات أسهل في الاستدلال. [ 46 ]

من أبرز نظريات تاوبر نظرية هاردي-ليتلوود تاوبر ونظرية وينر تاوبر . تُعمم نظرية وينر نظرية إيكيهارا تاوبر ، والتي تنص على ما يلي:

دع​أ(x){\displaystyle A(x)}⁠ دالة غير سالبة، رتيبة، وغير متناقصة لـ ⁠x{\displaystyle x}، مُعرَّف لـ0≤x<∞{\displaystyle 0\leq x<\infty }لنفترض أن و(s)=∫0∞أ(x)هـ-xsدx{\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx} يتقارب من أجلℜ(s)>1{\displaystyle \Re (s)>1}إلى الوظيفة​و(s){\displaystyle f(s)}وذلك ، بالنسبة لعدد غير سالب ماج{\displaystyle c}،​ و(s)-جs-1{\displaystyle f(s)-{\frac {c}{s-1}}}لها امتداد كدالة متصلة لـℜ(s)≥1{\displaystyle \Re (s)\geq 1}ثم النهايةكما​​x{\displaystyle x}⁠ يؤول إلى ما لا نهاية من ⁠هـ-xأ(x){\displaystyle e^{-x}A(x)}يساوي​​ ج{\displaystyle c}⁠ .

يمكن تطبيق هذا البيان على وجه الخصوص على المشتق اللوغاريتمي لدالة زيتا لريمان ، وبالتالي يوفر طريقة مختصرة للغاية لإثبات نظرية الأعداد الأولية . [ 47 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ لين، بول أ. (1986)، "تحويل لابلاس وتحويل z "، الإشارات والأنظمة الإلكترونية ، لندن: ماكميلان للتعليم في المملكة المتحدة، ص 225-272 ، doi : 10.1007/978-1-349-18461-3_6 ، ISBN  978-0-333-39164-8يُعد تحويل لابلاس وتحويل z مرتبطين ارتباطًا وثيقًا بتحويل فورييه. يتميز تحويل لابلاس بنطاق أوسع من تحويل فورييه، ويستخدمه المهندسون على نطاق واسع لوصف الدوائر والأنظمة المتصلة، بما في ذلك أنظمة التحكم الآلي.
  2. ↑ "المعادلات التفاضلية - تحويلات لابلاس" ، ملاحظات بولز الرياضية على الإنترنت ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 أغسطس 2020
  3. 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو، "تحويل لابلاس" ، وولفرام ماث وورلد ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-08-08
  4. ↑ ديكين، مايكل أ.ب. (1981)، "تطور تحويل لابلاس، 1737-1937: من أويلر إلى سبيتزر، 1737-1880" ، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 25 (4): 343-390 ، الرقم الدولي الموحد للدوريات 0003-9519 
  5. ^ "Des Fonctions génératrices" [ في توليد الوظائف ] ، Théorie analytique des Probabilités [ نظرية الاحتمالية التحليلية ] (بالفرنسية) ( الطبعة الثانية)، باريس، 1814، الفصل الأول القسم 2-20 
  6. ↑ جاينز، إي تي (إدوين تي) (2003)، نظرية الاحتمالات : منطق العلم ، بريتهورست، جي. لاري، كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN  0511065892، OCLC 57254076 
  7. ^ أبيل، نيلز هـ. (1820)، “Sur les fonctions génératrices et leurs déterminantes”، Œuvres Complètes (بالفرنسية)، المجلد. الجزء الثاني (نُشر عام 1839)، الصفحات من 77 إلى 88  طبعة 1881
  8. ^ أويلر 1744 ، أويلر 1753 ، أويلر 1769
  9. ↑ لاغرانج 1773
  10. ↑ غراتان-غينيس 1997 ، ص 260 
  11. ↑ غراتان-غينيس 1997 ، ص 261 
  12. ↑ غراتان-غينيس 1997 ، الصفحات 261-262 
  13. ↑ غراتان-غينيس 1997 ، الصفحات 262-266 
  14. ↑ هيفسايد، أوليفر (يناير 2008)، "حل التكاملات المحددة بالتحويل التفاضلي" ، النظرية الكهرومغناطيسية ، المجلد الثالث، لندن، القسم 526، ISBN  9781605206189{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  15. ↑ إدواردز، إتش إم (1974)، دالة زيتا لريمان ، نيويورك: أكاديميك برس، رقم ISBN 0-12-232750-0، Zbl 0315.10035 
  16. ↑ غاردنر، موراي ف.؛ بارنز، جون ل. (1942)، الظواهر العابرة في الأنظمة الخطية التي تمت دراستها بواسطة تحويل لابلاس ، نيويورك: وايليالملحق ج
  17. ^ ماتياس ليرش (1903)، “Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d’Abel” [ إثبات صيغة الانعكاس ] ، Acta Mathematica (بالفرنسية)، 27 : 339–351 ، دوى : 10.1007/BF02421315 ، hdl : 10338.dmlcz/501554
  18. ↑ برومويتش، توماس ج. (1916)، "الإحداثيات العادية في الأنظمة الديناميكية" ، وقائع الجمعية الرياضية في لندن ، 15 : 401-448 ، doi : 10.1112/plms/s2-15.1.401
  19. ↑ من الكتب المؤثرة: غاردنر، موراي ف.؛ بارنز، جون ل. (1942)، العابرون في الأنظمة الخطية المدروسة بواسطة تحويل لابلاس ، نيويورك: وايلي
  20. ^ دويتش ، جوستاف (1937)، Theorie und Anwendung der Laplacesche Transformation [ نظرية وتطبيق تحويل لابلاس ] (في المانيا)، برلين: سبرينغرترجمة عام 1943
  21. ↑ سيبرت، ويليام ماك (13 سبتمبر 1986)، الدوائر والإشارات والأنظمة ، سلسلة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا للهندسة الكهربائية وعلوم الحاسوب، كامبريدج، ماساتشوستس : نيويورك: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ؛ ماكجرو هيل، ص 44، ISBN    978-0-262-19229-3
  22. ↑ فيلر 1971 ، §XIII.1 .
  23. ↑ دالة التوزيع التراكمي هي تكامل دالة كثافة الاحتمال.
  24. ↑ ميكوسينسكي، يان (14 يوليو 2014)، حساب العمليات ، إلسيفير، رقم ISBN 9781483278933
  25. ^ ويدر 1941 ، الفصل الثاني، §1
  26. ^ ويدر 1941 ، الفصل السادس، §2
  27. ↑ بيفا، فيديريكو (2024)، "تحويل لابلاس للتوزيعات" ، الأنظمة غير الخطية الضعيفة ، تشام: سبرينغر نيتشر سويسرا، ص 75-85 ، doi : 10.1007/978-3-031-40681-2_5 ، ISBN  978-3-031-40680-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 يناير 2026
  28. ^ كورن وكورن 1967 ، ص 226-227 
  29. ↑ براسويل 2000 ، الجدول 14.1، ص 385
  30. ↑ مؤرشف في Ghostarchiveوآلة Waybackماتوك ، آرثر (7 نوفمبر 2008)، "من أين يأتي تحويل لابلاس" ، يوتيوب
  31. ↑ ويدر 1941 ، ص 38.
  32. ↑ فيلر 1971 ، ص 432 
  33. ↑ لوران شوارتز (1966)، الرياضيات للعلوم الفيزيائية ، أديسون-ويسلي، ص 224.
  34. ↑ تيتشمارش، إي. (1986) [1948]، مقدمة في نظرية تكاملات فورييه ( الطبعة الثانية)، مطبعة كلارندون ، ص 6، ISBN   978-0-8284-0324-5
  35. ↑ تاكاكس 1953 ، ص 93 
  36. ↑ رايلي، ك. ف.؛ هوبسون، م. ب.؛ بينس، س. ج. (2010)، الأساليب الرياضية للفيزياء والهندسة (الطبعة الثالثة )، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 455، ISBN   978-0-521-86153-3
  37. ↑ ديستيفانو، جيه جيه؛ ستوبرود، إيه آر؛ ويليامز، آي جيه (1995)، أنظمة التغذية الراجعة والتحكم ، سلسلة شوم ( الطبعة الثانية)، ماكجرو هيل، ص 78، ISBN   978-0-07-017052-0
  38. ↑ ليبشوتز، س.؛ شبيغل، م. ر.؛ ليو، ج. (2009)، دليل رياضي للصيغ والجداول ، سلسلة شوم ( الطبعة الثالثة)، ماكجرو هيل، ص 183، ISBN   978-0-07-154855-7– يقدم هذا الدليل على أن q حقيقي .
  39. ↑ http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html – يوفر Wolfram Mathword حالة للأعداد المركبة q
  40. 1 2 3 4 براسويل 1978 ، ص 227.
  41. 1 2 3 ويليامز 1973 ، ص 88.
  42. 1 2 ويليامز 1973 ، ص 89.
  43. ↑ كورن وكورن 1967 ، §8.1
  44. ↑ آر كيه باثريا؛ بول بيل (1996)، الميكانيكا الإحصائية ( الطبعة الثانية)، باتروورث-هاينمان، ص 56 ، رقم ISBN   9780750624695
  45. ↑ سالم، م.؛ سيتون، م. ج. (1974)، "أولاً: أطياف الاستمرارية وخطوط السطوع"، الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية ، 167 : 493-510 ، رمز Bibcode : 1974MNRAS.167..493S ، doi : 10.1093/mnras/167.3.493، وسالم، م. (1974)، "II. النماذج ثلاثية الأبعاد"، الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية ، 167 : 511-516 ، Bibcode : 1974MNRAS.167..511S ، doi : 10.1093/mnras/167.3.511
  46. 1 2 فيلر، مقدمة في نظرية الاحتمالات، المجلد الثاني، الصفحات 479-483
  47. ↑ إس. إيكيهارا (1931)، "توسيع لنظرية لانداو في النظرية التحليلية للأعداد"، مجلة الرياضيات والفيزياء ، 10 ( 1-4 ): 1-12 ، doi : 10.1002/sapm19311011 ، Zbl 0001.12902 

مراجع

حديث

  • براسويل، رونالد ن. (1978)، تحويل فورييه وتطبيقاته (  الطبعة الثانية)، ماكجرو هيل كوجاكوشا، رقم ISBN 978-0-07-007013-4
  • براسويل، آر إن (2000)، تحويل فورييه وتطبيقاته (  الطبعة الثالثة)، بوسطن: ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-116043-8
  • فيلر، ويليام (1971)، مقدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها. المجلد الثاني ، الطبعة الثانية، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، MR 0270403 
  • كورن، جي إيه؛ كورن، تي إم (1967)، دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين (الطبعة الثانية  )، شركة ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-035370-1
  • ويدر، ديفيد فيرنون (1941)، تحويل لابلاس ، سلسلة برينستون الرياضية، المجلد 6، مطبعة جامعة برينستون ، MR 0005923 
  • ويليامز، ج. (1973)، تحويلات لابلاس ، حلول المسائل، جورج ألين وأونوين، رقم ISBN 978-0-04-512021-5
  • Takacs ، J. (1953)، “Fourier amplitudok meghatarozasa Operatorszamitassal”، Magyar Hiradastechnika (باللغة الهنغارية)، الرابع ( 7-8 ): 93-96

تاريخي

  • Euler, L. (1744), “De Constructione aequationum” [ بناء المعادلات ] , أوبرا أمنية ، السلسلة الأولى (باللاتينية)، 22 : 150– 161
  • Euler, L. (1753)، "Methodus aequationes Differentiales" [ طريقة لحل المعادلات التفاضلية ] ، أوبرا أمنية ، السلسلة الأولى (باللاتينية)، 22 : 181– 213
  • Euler, L. (1992) [1769]، "Institutiones calculi Integratedis, Volume 2" [ مؤسسات حساب التفاضل والتكامل التكاملي ] ، Opera Omnia ، السلسلة الأولى (باللاتينية)، المجلد.  12، بازل: بيركهاوزر، ISBN 978-3764314743الفصول من 3 إلى 5
  • أويلر ، ليونارد (1769)، مؤسسات حساب التفاضل والتكامل التكاملي [ مؤسسات حساب التفاضل والتكامل التكاملي ] (باللاتينية)، المجلد.  الثاني، باريس: بتروبولي، الفصل. 3-5، ص 57-153
  • غراتان-غينيس، آي (1997)، "حلول لابلاس التكاملية للمعادلات التفاضلية الجزئية"، في جيليسبي، سي سي (محرر)، بيير سيمون لابلاس 1749-1827: حياة في العلوم الدقيقة ، برينستون: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-01185-1
  • لاغرانج، جيه إل (1773)، مذكرة حول فائدة الطريقة ، أعمال لاغرانج، المجلد.  2، ص 171 – 234 

للمزيد من القراءة

  • أرندت، فولفغانغ؛ باتي ، تشارلز ج.ك. هيبر، ماتياس. نيوبراندر ، فرانك (2002)، تحويلات لابلاس ذات القيمة المتجهة ومشاكل كوشي ، بيركهاوزر بازل، ISBN 978-3-7643-6549-3
  • ديفيز، برايان (2002)، التحويلات التكاملية وتطبيقاتها (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: سبرينغر، ISBN 978-0-387-95314-4
  • ديكين، م. أ. ب. (1981)، "تطوير تحويل لابلاس"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 25 (4): 343-390 ، doi : 10.1007/BF01395660 ، S2CID 117913073 
  • ديكين، م. أ. ب. (1982)، "تطوير تحويل لابلاس"، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، 26 (4): 351-381 ، doi : 10.1007/BF00418754 ، S2CID 123071842 
  • دويتش، غوستاف (1974)، مقدمة في نظرية وتطبيق تحويل لابلاس ، سبرينغر، ISBN 978-0-387-06407-9
  • ماثيوز، جون؛ ووكر، روبرت ل. (1970)، الأساليب الرياضية في الفيزياء (  الطبعة الثانية)، نيويورك: دبليو إيه بنجامين، رقم ISBN 0-8053-7002-1
  • بوليانين، أ.د.؛ مانجيروف، أ.ف. (1998)، دليل المعادلات التكاملية ، بوكا راتون: مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 978-0-8493-2876-3
  • شوارتز، لوران (1952)، “تحويل توزيعات لابلاس”، Comm. كذلك. الرياضيات. جامعة. لوند [ميد. جامعة لوندز. حصيرة. Sem.] (بالفرنسية)، 1952 : 196–206 ، م.ر 0052555 
  • شوارتز، لوران (2008) [1966]، الرياضيات للعلوم الفيزيائية ، كتب دوفر في الرياضيات، نيويورك: منشورات دوفر، الصفحات 215-241 ، ISBN  978-0-486-46662-0انظر الفصل السادس. تحويل لابلاس
  • سيبرت، ويليام مك. (1986)، الدوائر والإشارات والأنظمة ، كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، ISBN 978-0-262-19229-3
  • ويدر، ديفيد فيرنون (1945)، "ما هو تحويل لابلاس؟"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 52 (8): 419-425 ، doi : 10.2307/2305640 ، ISSN 0002-9890 ، JSTOR 2305640 ، MR 0013447   
  • وايدمان، جيه إيه سي؛ فورنبرغ، بنغت (2023)، "طرق تحويل لابلاس العددية بالكامل"، الخوارزميات العددية ، 92 : 985-1006 ، doi : 10.1007/s11075-022-01368-x