مسرد المصطلحات الرياضية

تتميز لغة الرياضيات بمفردات واسعة من المصطلحات المتخصصة والتقنية. كما أنها تحتوي على قدر من المصطلحات الخاصة : وهي عبارات شائعة الاستخدام تُعد جزءًا من ثقافة الرياضيات، وليست جزءًا من ماهية هذا العلم. غالبًا ما تظهر هذه المصطلحات في المحاضرات، وأحيانًا في المطبوعات، كاختصار غير رسمي للحجج الدقيقة أو الأفكار المحددة. يعتمد الكثير منها على كلمات إنجليزية شائعة، ولكن بمعنى خاص غير بديهي عند استخدامها في سياق رياضي.

تظهر بعض العبارات، مثل "بشكل عام"، أدناه في أكثر من قسم.

هراء مجرد

إشارة ساخرة إلى نظرية الفئات ، حيث يمكن استخدام حجج لإثبات نتيجة (قد تكون ملموسة) دون الرجوع إلى أي تفاصيل خاصة بالمشكلة المطروحة. ولهذا السبب، تُعرف أيضاً بالهراء المجرد العام أو الهراء المجرد المعمم .

[قدمت ورقة إيلنبرغ وماك لين ( 1942 )] فكرة مجردة للغاية عن " الفئة " - وهو موضوع كان يسمى آنذاك "الهراء المجرد العام"! 

[ غروتينديك ] رفع الهندسة الجبرية إلى مستوى جديد من التجريد... إذا استطاع بعض علماء الرياضيات أن يعزوا أنفسهم لفترة من الوقت على أمل أن كل هذه الهياكل المعقدة كانت "هراءً مجردًا"... فقد أظهرت الأوراق اللاحقة لغروتينديك وآخرين أن المشكلات الكلاسيكية... التي قاومت جهود أجيال عديدة من علماء الرياضيات الموهوبين، يمكن حلها من حيث... المفاهيم المعقدة.

قانوني

يشير هذا المصطلح إلى عرض معياري أو غير مقيد لموضوع رياضي (مثل الخريطة المعيارية، أو الصيغة المعيارية، أو الترتيب المعياري). ويمكن استخدامه أيضاً بشكل غير رسمي للإشارة إلى شيء "معياري" أو "كلاسيكي". على سبيل المثال، يمكن القول إن برهان إقليدس هو "البرهان المعياري" على لانهائية الأعداد الأولية .

هناك نوعان من البراهين الأساسية التي تُستخدم دائمًا لإظهار شكل البرهان الرياضي لغير المتخصصين في الرياضيات:

• — البرهان على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية .
• — برهان على عدم عقلانية الجذر التربيعي للعدد اثنين .

عميق

تُسمى النتيجة "عميقة" إذا تطلّب برهانها مفاهيم وأساليب متقدمة تتجاوز المفاهيم اللازمة لصياغة النتيجة نفسها. على سبيل المثال، كانت نظرية الأعداد الأولية - التي أُثبتت في الأصل باستخدام تقنيات التحليل المركب - تُعتبر في السابق نتيجة عميقة إلى أن تم التوصل إلى براهين أولية لها. ^{[ 1 ]} من ناحية أخرى، من المعروف عادةً أن كون π عددًا غير نسبي نتيجة عميقة، لأنها تتطلب تطورًا كبيرًا في التحليل الحقيقي قبل إثباتها - على الرغم من إمكانية صياغة الادعاء نفسه باستخدام نظرية الأعداد والهندسة البسيطة .

رائع

مصطلح جمالي يشير إلى قدرة فكرة ما على تقديم رؤى ثاقبة في الرياضيات، سواءً بتوحيد مجالات متباينة، أو بتقديم منظور جديد لمجال واحد، أو بتوفير أسلوب برهان يتسم بالبساطة، أو يأسر الحدس أو الخيال حول سبب صحة النتيجة التي يثبتها. في بعض الأحيان، يمكن استخدام مصطلح "جميل" للدلالة على المعنى نفسه، مع أن جيان كارلو روتا ميّز بين أناقة العرض وجمال المفهوم ، قائلاً إنه على سبيل المثال، يمكن الكتابة عن بعض المواضيع بأسلوب أنيق رغم أن محتواها الرياضي ليس جميلاً، وبعض النظريات أو البراهين جميلة ولكن يمكن الكتابة عنها بأسلوب غير أنيق.

جمال النظرية الرياضية مستقل عن خصائصها الجمالية... وعن دقة عرضها. قد لا تُقدَّم بعض النظريات الجميلة أبدًا بعرض يليق بجمالها... كما يمكن إيجاد أمثلة لنظريات متوسطة الجمال، تُقدَّم لها عروض رائعة ومثيرة... [نظرية الفئات] غنية بالتعريفات الجميلة والعميقة، لكنها فقيرة في البراهين الأنيقة... [النظريات] تبقى ركيكة ومملة... [عروض الهندسة الإسقاطية ] تنافست فيما بينها في أناقة العرض وذكاء البرهان... عند التفكير في الأمر، يتساءل المرء عن سبب كل هذه الضجة. قد يقول الرياضيون إن نظرية ما جميلة، بينما يقصدون في الواقع أنها مُنيرة. نُقر بجمال النظرية عندما نرى كيف "تتلاءم" مع سياقها... نقول إن البرهان جميل عندما يكشف أخيرًا سر النظرية.

ابتدائي

يُطلق على البرهان أو النتيجة اسم "البرهان الابتدائي" إذا اقتصر على المفاهيم والأساليب الأساسية في المجال، ويُقابل ذلك بالنتائج المعقدة التي تتطلب مزيدًا من التطوير داخل المجال أو خارجه. يُستخدم مفهوم "البرهان الابتدائي" تحديدًا في نظرية الأعداد ، حيث يُشير عادةً إلى برهان لا يعتمد على أساليب التحليل المركب .

الفولكلور

تُسمى النتيجة "معلومة شعبية" إذا كانت غير بديهية وغير منشورة، ولكنها معروفة عمومًا للمتخصصين في مجال معين. في كثير من الحالات، يكون من غير الواضح من حصل على النتيجة أولًا، ولكن إذا كانت النتيجة مهمة، فقد تجد طريقها في النهاية إلى الكتب الدراسية، وعندها تتوقف عن كونها معلومة شعبية.

ينبغي اعتبار العديد من النتائج المذكورة في هذه الورقة "فولكلورية" بمعنى أنها مجرد بيان رسمي لأفكار معروفة جيدًا للباحثين في هذا المجال، ولكنها قد لا تكون واضحة للمبتدئين، وعلى حد علمي، لا تظهر في أي مكان آخر مطبوع.

طبيعي

يشبه هذا المصطلح مصطلح "الأساسي" ولكنه أكثر تحديدًا، ويشير إلى وصف (يكاد يقتصر على سياق التحويلات ) يظل قائمًا بغض النظر عن أي خيارات. ورغم استخدامه غير الرسمي لفترة طويلة، فقد وجد هذا المصطلح تعريفًا رسميًا في نظرية الفئات.

مرضي

يتصرف الجسم بطريقة شاذة (أو، بتعبير أعم، بطريقة منحرفة ) إذا لم يلتزم بالسلوك العام لمثل هذه الأجسام، أو لم يستوفِ خصائص انتظام معينة تعتمد على السياق، أو ببساطة خالف الحدس الرياضي . قد تكون هذه متطلبات متناقضة، وأحيانًا يُستخدم المصطلح عمدًا للإشارة إلى جسم مُصاغ اصطناعيًا كمثال مضاد لهذه الخصائص. مثال بسيط على ذلك هو أنه من تعريف المثلث الذي مجموع زواياه يساوي π راديان، فإن الخط المستقيم الواحد يلتزم بهذا التعريف بطريقة شاذة.

منذ نصف قرن، شهدنا ظهور مجموعة من الوظائف الغريبة التي تبدو وكأنها تحاول أن تشبه قدر الإمكان الوظائف النزيهة التي تخدم غرضًا ما... بل إن هذه الوظائف الغريبة، من وجهة النظر المنطقية، هي الأكثر عمومية... واليوم يتم اختراعها خصيصًا للطعن في منطق آبائنا...

اكتسبت دالة ديريشليه أهمية بالغة... إذ حفزت على ابتكار أنواع جديدة من الدوال التي تختلف خصائصها تمامًا عما هو مقبول بديهيًا. ومن الأمثلة الشهيرة على هذه الدوال "الشاذة" تلك التي قدمها فايرشتراس ... هذه الدالة متصلة ولكنها غير قابلة للتفاضل .

تجدر الإشارة إلى أن الدوال القابلة للتفاضل نادرة في فضاء الدوال المتصلة، كما اكتشف باناش عام ١٩٣١ ، ولذا تُعتبر الدوال القابلة للتفاضل، بالمعنى الشائع، استثناءً نادرًا بين الدوال المتصلة. وبالتالي، يصعب تبرير وصف الدوال المتصلة غير القابلة للتفاضل بأنها دوال شاذة.

صرامة (صرامة)

إنّ الدقة هي عملية التوصل إلى نتيجة رياضية باستخدام منطق قاطع لا جدال فيه، بدلاً من الحجج الوصفية غير الرسمية. وتُعدّ الدقة سمة أساسية في الرياضيات، ولها دور هام في منع انزلاقها إلى المغالطات.

حسن السلوك

يُعتبر الجسم حسن السلوك (على عكس كونه شاذًا ) إذا استوفى خصائص انتظام سائدة معينة، أو إذا توافق مع الحدس الرياضي (مع أن الحدس قد يوحي بسلوكيات معاكسة أيضًا). في بعض الحالات (مثل التحليل )، يمكن استخدام مصطلح " سلس " للدلالة على نفس المعنى.

على الرغم من أن كل حجة رياضية يجب أن تستوفي في نهاية المطاف معيارًا عاليًا من الدقة، فإن علماء الرياضيات يستخدمون عبارات وصفية غير رسمية لمناقشة المواضيع أو المفاهيم المتكررة التي يصعب تناولها بعبارات رسمية مطولة. تجدر الإشارة إلى أن العديد من هذه المصطلحات دقيقة تمامًا في سياقها.

جميعهم تقريباً

مصطلح مختصر لعبارة "جميع الأعداد الحقيقية باستثناء مجموعة قياسها صفر "، عندما يكون هناك قياسٌ يُمكن ذكره، مع وجود معانٍ مُرتبطة لعبارتي " بشكل شبه مؤكد" و" في كل مكان تقريبًا ". على سبيل المثال، "جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا متسامية " لأن الأعداد الحقيقية الجبرية تُشكّل مجموعة فرعية قابلة للعد من الأعداد الحقيقية ذات القياس صفر. يُمكن أيضًا القول إن "جميع" الأعداد الصحيحة تقريبًا لها خاصية تعني "جميعها باستثناء عدد محدود منها"، على الرغم من أن الأعداد الصحيحة لا تقبل قياسًا يتوافق مع الاستخدام السابق، مثل "جميع الأعداد الأولية تقريبًا فردية ". يوجد معنى أكثر تعقيدًا للأعداد الصحيحة أيضًا، مُناقش في المقال الرئيسي. أخيرًا، يُستخدم هذا المصطلح أحيانًا كمرادف لمصطلح "عام" ، كما هو موضح أدناه.

كبير بشكل تعسفي

مفاهيم تنشأ غالبًا في سياق النهايات ، وتشير إلى تكرار ظاهرة ما عند الاقتراب من النهاية. يمكن التعبير عن عبارة مثل أن المسند P يتحقق بقيم كبيرة كيفما كانت، بصيغة أكثر رسمية كما يلي: ∀ x  : ∃ y ≥ x  : P ( y ) . انظر أيضًا: بشكل متكرر . العبارة التي تفيد بأن الكمية f ( x ) التي تعتمد على x "يمكن جعلها" كبيرة كيفما كانت، تُقابلها العبارة ∀ y  : ∃ x  : f ( x ) ≥ y .

اِعتِباطِيّ

اختصار للمُكمِّم الشامل . الاختيار العشوائي هو الاختيار الذي يتم دون قيود، أو بعبارة أخرى، تكون العبارة صحيحة بالنسبة لأي عنصر من عناصر مجموعة ما إذا كانت صحيحة بالنسبة لأي عنصر من عناصر تلك المجموعة. ويُستخدم هذا المصطلح بكثرة بين علماء الرياضيات: "بالطبع، يمكن أن تكون هذه المسألة معقدة للغاية".

مؤخراً

في سياق النهايات، هذا اختصار لعبارة "للقيم الكبيرة بما يكفي "؛ والقيمة (أو القيم) ذات الصلة مضمنة في السياق. على سبيل المثال، "الدالة log(log( x )) تصبح في النهاية أكبر من 100"؛ في هذا السياق، تعني كلمة "في النهاية" "لقيم x كبيرة بما يكفي ".

عامل من خلال

مصطلح في نظرية الفئات يشير إلى تركيب التشكلات . إذا كان لدينا تطبيق لثلاثة كائنات A و B و C${\displaystyle f\colon A\to C}$يمكن كتابتها كتركيب${\displaystyle f=h\circ g}$مع${\displaystyle g\colon A\to B}$و${\displaystyle h\colon B\to C}$عندئذٍ يُقال إن f تحلل أيًا من (وجميع)${\displaystyle B}$،${\displaystyle g}$، و${\displaystyle h}$.

محدود

عند الحديث عن قيمة متغير يأخذ قيمًا من الأعداد الحقيقية الموسعة غير السالبة${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \},}$عادةً ما يكون المعنى "غير لانهائي". على سبيل المثال، إذا قيل إن تباين متغير عشوائي محدود، فهذا يعني أنه عدد حقيقي غير سالب، وربما يكون صفرًا. مع ذلك، في بعض السياقات، مثل "سعة صغيرة ولكنها محدودة"، يُقصد استبعاد الصفر والمتناهيات في الصغر. وعند الحديث عن قيمة متغير يأخذ قيمًا من الأعداد الطبيعية الموسعة، يُقصد بذلك استبعاد الصفر والأعداد المتناهية في الصغر.${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \},}$المعنى ببساطة هو "غير لانهائي". عندما يُقال هذا عن مجموعة أو كائن رياضيوالتي يكون عنصرها الرئيسي مجموعة، فهذا يعني أن عدد عناصر المجموعة أقل من${\displaystyle \aleph _{0}}$.

مرارًا

في سياق النهايات، يُعد هذا اختصارًا للوسائط الكبيرة بشكل تعسفي وما شابهها؛ وكما هو الحال مع " في النهاية" ، فإن الصيغة المقصودة ضمنية. على سبيل المثال، المتتالية${\displaystyle (-1)^{n}}$غالباً ما تكون في الفترة (1/2، 3/2)، لأنه يوجد عدد كبير بشكل تعسفي من قيم n التي تكون قيمة المتتالية فيها في الفترة.

رسمي، بشكل رسمي

يصف هذا المصطلح أي شيء دقيق بما يكفي ليتم ترجمته مباشرة في نظام رسمي . على سبيل المثال، برهان رسمي ، تعريف رسمي .

نوعي

يحمل هذا المصطلح دلالات مشابهة لمعظم المصطلحات ، ولكنه يُستخدم تحديدًا للمفاهيم الخارجة عن نطاق نظرية القياس . تُعتبر الخاصية صحيحة "بشكل عام" على مجموعة ما إذا كانت هذه المجموعة تُحقق مفهومًا ما (يعتمد على السياق) للكثافة، أو ربما إذا كانت مكملتها تُحقق مفهومًا ما (يعتمد على السياق) للصغر. على سبيل المثال، يُقال إن الخاصية التي تنطبق على مجموعة _Gδ كثيفة ( تقاطع عدد قابل للعد من المجموعات المفتوحة ) صحيحة بشكل عام. في الهندسة الجبرية ، يُقال إن خاصية النقاط على صنف جبري تنطبق على مجموعة زاريسكي مفتوحة كثيفة صحيحة بشكل عام؛ ومع ذلك، لا يُقال عادةً إن الخاصية التي تنطبق فقط على مجموعة كثيفة (ليست مجموعة زاريسكي مفتوحة) هي خاصية عامة في هذه الحالة.

على العموم

في سياق وصفي، تقدم هذه العبارة توصيفًا بسيطًا لفئة واسعة من الأشياءبهدف تحديد مبدأ موحد، يُقدّم هذا المصطلح وصفًا "أنيقًا" ينطبق على الأشياء " العشوائية ". ويمكن ذكر استثناءات لهذا الوصف صراحةً، باعتبارها حالات " مرضية ".

سأل نوربرت أكامبو من جامعة بازل غروتينديك ذات مرة عن أمر يتعلق بالأجسام الأفلاطونية . فنصح غروتينديك بالحذر. وقال إن الأجسام الأفلاطونية جميلة واستثنائية للغاية، بحيث لا يمكن افتراض أن هذا الجمال الاستثنائي سيظل قائماً في حالات أكثر عمومية.

الجانب الأيسر، الجانب الأيمن (LHS، RHS)

في أغلب الأحيان، تشير هذه المصطلحات ببساطة إلى الجانب الأيسر أو الأيمن من المعادلة ؛ على سبيل المثال،${\displaystyle x=y+1}$لديه${\displaystyle x}$على الجانب الأيسر و${\displaystyle y+1}$على الجانب الأيمن. في بعض الأحيان، تُستخدم هذه المصطلحات بمعنى القيمة اليسرى والقيمة اليمنى: الجانب الأيمن هو قيمة أولية، والجانب الأيسر هو قيمة مشتقة.

لطيف - جيد

كائن رياضييُطلق عليه عامةً اسم "جيد" أو "جيد بما فيه الكفاية" إذا استوفى فرضيات أو خصائص، قد تكون غير محددة أو حتى غير معروفة، مرغوبة بشكل خاص في سياق معين. وهو نقيض غير رسمي لكلمة " مرضي" . على سبيل المثال، قد يفترض المرء أن المؤثر التفاضلي يجب أن يستوفي شرطًا معينًا للتقييد "للدوال الاختبارية الجيدة"، أو قد يذكر أن بعض الثوابت الطوبولوجية المهمة يجب أن تكون قابلة للحساب " للفضاءات الجيدة X ".

هدف

أي شيء يمكن إسناده إلى متغير ويمكن اعتباره مساوياً لكائن آخر. وقد صِيغ هذا المصطلح عندما بدأ استخدام المتغيرات للدلالة على المجموعات والبنى الرياضية .

على

تُسمى الدالة (التي تُعرَّف في الرياضيات عمومًا بأنها ربط عناصر مجموعة A بعناصر مجموعة B ) " دالة شاملة " (بدلًا من "دالة من A إلى B " أو " دالة داخل B ") فقط إذا كانت دالة شاملة ؛ بل يمكن القول إن " f شاملة" (أي دالة شاملة). لا يمكن ترجمة هذا المصطلح (دون استخدام عبارات ملتوية) إلى بعض اللغات الأخرى غير الإنجليزية.

سليم

إذا كان، بالنسبة لمفهوم ما للبنية الفرعية، الكائناتإذا كانت العناصر بنى فرعية من نفسها (أي أن العلاقة انعكاسية )، فإنّ وصفها بـ"المناسبة" يستلزم اختلافها. على سبيل المثال، المجموعة الجزئية المناسبة من مجموعة S هي مجموعة جزئية من S تختلف عن S ، والقاسم المناسب للعدد n هو قاسم للعدد n يختلف عن n . هذا المصطلح ذو المعاني المتعددة يُستخدم أيضاً، دون الحاجة إلى مصطلحات تقنية، للدلالة على التشكل المناسب .

ملكية

خاصية قد يمتلكها أو لا يمتلكها كائن رياضي؛ على سبيل المثال "كونه موجباً". غالباً ما يتم التعبير عن الخصائص بالصيغ وتستخدم لتحديد المجموعات والمجموعات الجزئية، وعادةً ما يتم ذلك باستخدام تدوين بناء المجموعة .

عادي

تُسمى الدالة منتظمة إذا استوفت خصائص الاستمرارية والتفاضلية المرضية، والتي غالبًا ما تعتمد على السياق. قد تشمل هذه الخصائص امتلاك عدد محدد من المشتقات ، مع إظهار الدالة ومشتقاتها لخاصية مميزة (انظر "مميزة" أعلاه)، مثل استمرارية هولدر . يُستخدم هذا المصطلح أحيانًا بشكل غير رسمي كمرادف لكلمة "سلسة" (المذكورة أدناه). يجب عدم الخلط بين هذه الاستخدامات غير الدقيقة لكلمة " منتظمة" ومفهوم الفضاء الطوبولوجي المنتظم ، والذي يُعرَّف بدقة.

على التوالي.

(على التوالي) اصطلاح لاختصار العروض المتوازية. " أ (أو ب ) [له علاقة ما بـ] س (أو ص )" يعني أن أ [له علاقة ما بـ] س، وأن ب [له نفس العلاقة بـ] ص . على سبيل المثال، المربعات (أو المثلثات) لها 4 أضلاع (أو 3 أضلاع)؛ أو الفضاءات المتراصة (أو فضاءات ليندلوف ) هي فضاءات يكون لكل غطاء مفتوح فيها غطاء فرعي مفتوح محدود (أو قابل للعد).

حاد

غالباً ما تحدد النظرية الرياضية قيوداً على سلوك جسم ماعلى سبيل المثال، سيُبين أن للدالة حدًا أعلى أو أدنى . يكون القيد دقيقًا (وأحيانًا مثاليًا ) إذا لم يكن بالإمكان جعله أكثر تقييدًا دون أن يفشل في بعض الحالات. على سبيل المثال، بالنسبة لأي عدد حقيقي غير سالب x ، فإن الدالة الأسية e^ ^x ، حيث e  =  2.7182818...، تعطي حدًا أعلى لقيم الدالة التربيعية x^ ² . هذا ليس دقيقًا؛ فالفجوة بين الدالتين لا تقل عن 1 في كل مكان. من بين الدوال الأسية من الشكل αx^ ² ، فإن وضع α  = e^ ^{2/ e} ^2 = 2.0870652... ينتج عنه حد أعلى دقيق؛ أما الخيار الأصغر قليلًا α = 2 فلا ينتج عنه حد أعلى، لأنه في هذه الحالة α ^{^3} = 8 < 3^ ² . في المجالات التطبيقية، غالبًا ما تُستخدم كلمة "دقيق" بنفس المعنى. ^{[ 2 ]}       

سلس

إن مفهوم السلاسة مفهومٌ منحته الرياضيات معانيَ عديدة، بدءًا من قابلية التفاضل البسيطة وصولًا إلى قابلية التفاضل اللانهائية والتحليلية ، وغيرها من المعاني الأكثر تعقيدًا. ويسعى كل استخدام من هذه الاستخدامات إلى استحضار المفهوم البديهي للسلاسة من الناحية الفيزيائية.

قوي، أقوى

يُقال إن النظرية قوية إذا استنتجت نتائج تقييدية من فرضيات عامة. ومن الأمثلة الشهيرة على ذلك نظرية دونالدسون ، التي تفرض قيودًا صارمة على ما قد يبدو لولاها فئة واسعة من المتشعبات. ويعكس هذا الاستخدام (غير الرسمي) رأي المجتمع الرياضي: إذ لا ينبغي أن تكون هذه النظرية قوية بالمعنى الوصفي فحسب (المذكور أدناه)، بل يجب أن تكون حاسمة في مجالها أيضًا. كما تُوصف نظرية أو نتيجة أو شرط بأنه أقوى من غيره إذا أمكن الحصول على برهان للثاني بسهولة من الأول، ولكن ليس العكس. ومن الأمثلة على ذلك سلسلة النظريات: نظرية فيرما الصغرى ، ونظرية أويلر ، ونظرية لاغرانج ، حيث كل منها أقوى من سابقتها؛ ومثال آخر هو أن الحد الأعلى الدقيق (انظر "دقيق" أعلاه) يُعد نتيجة أقوى من الحد الأعلى غير الدقيق. وأخيرًا، يمكن إضافة الصفة "قوي" أو الظرف " بقوة" إلى مفهوم رياضي للدلالة على مفهوم أقوى ذي صلة. على سبيل المثال، السلسلة المضادة القوية هي سلسلة مضادة تستوفي شروطًا إضافية معينة، وبالمثل، فإن الرسم البياني المنتظم القوي هو رسم بياني منتظم يستوفي شروطًا أقوى. عند استخدام هذا المفهوم بهذه الطريقة، يصبح المفهوم الأقوى (مثل "السلسلة المضادة القوية") مصطلحًا تقنيًا ذا معنى محدد بدقة؛ ولا يمكن استنتاج طبيعة الشروط الإضافية من تعريف المفهوم الأضعف (مثل "السلسلة المضادة").

كبير بما فيه الكفاية ، صغير بشكل مناسب، قريب بما فيه الكفاية

في سياق النهايات، تشير هذه المصطلحات إلى نقطة ما (غير محددة، بل وحتى مجهولة) تسود عندها ظاهرة معينة مع الاقتراب من النهاية. يمكن التعبير عن عبارة مثل أن المسند P صحيح لقيم كبيرة بما فيه الكفاية، بصيغة أكثر رسمية كما يلي: ∃ x  : ∀ y ≥ x  : P ( y ). انظر أيضًا: في النهاية .

في الطابق العلوي، في الطابق السفلي

مصطلح وصفي يشير إلى الترميز الذي يتكون من عنصرينتُكتب الحدود فوق بعضها البعض؛ فالحد العلوي يُسمى " الطابق العلوي" والسفلي " الطابق السفلي" . على سبيل المثال، في حزمة الألياف ، يُقال غالبًا أن المساحة الكلية "الطابق العلوي" ، بينما مساحة القاعدة "الطابق السفلي" . في الكسر ، يُشار أحيانًا إلى البسط بـ "الطابق العلوي " والمقام بـ "الطابق السفلي "، كما في عبارة "رفع حد إلى الطابق العلوي".

حتى ، باقي القسمة، باقي القسمة بواسطة

امتدادٌ لمفاهيم الحساب النمطي في الخطاب الرياضي . تكون العبارة صحيحةً حتى شرطٍ ما إذا كان تحقيق هذا الشرط هو العائق الوحيد أمام صحة العبارة. يُستخدم هذا المفهوم أيضًا عند التعامل مع عناصر فئات التكافؤ ، لا سيما في نظرية الفئات ، حيث تكون علاقة التكافؤ تماثلًا (فئويًا)؛ على سبيل المثال: "يكون حاصل الضرب الموتري في فئة أحادية ضعيفة ترابطيًا ووحدويًا حتى تماثل طبيعي ".

يختفي

لأخذ القيمة 0. على سبيل المثال، "تتلاشى الدالة sin( x ) بالنسبة لقيم x التي هي مضاعفات صحيحة لـ π ". يمكن أن ينطبق هذا أيضًا على النهايات: انظر التلاشي عند اللانهاية .

ضعيف، أضعف

عكس كلمة قوي .

محدد جيدًا

وصف أو تحديد دقيق ومحدد. على سبيل المثال، يعتمد التعريف أحيانًا على اختيار شيء ماوبالتالي، يجب أن تكون نتيجة التعريف مستقلة عن هذا الاختيار.

تستمد اللغة الرسمية للإثبات بشكل متكرر من مجموعة صغيرة من الأفكار، والتي يتم استدعاء العديد منها من خلال اختصارات معجمية مختلفة في الممارسة العملية.

لتر

مصطلح قديم يُستخدم لإعلام القارئ بطريقة بديلة، أو برهان على نتيجة ما. في البرهان، يشير هذا المصطلح إلى استدلال زائد عن الحاجة من وجهة نظر منطقية، ولكنه ذو أهمية أخرى.

عن طريق التناقض (BWOC)، أو "لأنه، إن لم يكن كذلك، ..."

المقدمة البلاغية للبرهان بالتناقض ، والتي تسبق نفي العبارة المراد إثباتها.

إذا وفقط إذا (iff)

اختصار للتكافؤ المنطقي للعبارات.

على العموم

في سياق البراهين، غالباً ما تُرى هذه العبارة في حجج الاستقراء عند الانتقال من الحالة الأساسية إلى خطوة الاستقراء، وبالمثل، في تعريف المتتاليات التي تُعرض حدودها القليلة الأولى كأمثلة على الصيغة التي تعطي كل حد من حدود المتتالية.

ضروري وكافٍ

صيغة مختصرة لعبارة "إذا وفقط إذا"؛ فعبارة " أ ضروري ( وكافٍ ) لكي يكون ب " تعني " أ إذا (فقط إذا) كان ب ". على سبيل المثال، عبارة "لكي يكون الحقل ك مغلقًا جبريًا، فمن الضروري والكافي ألا يكون له امتدادات حقل منتهية " تعني " يكون ك مغلقًا جبريًا إذا وفقط إذا لم يكن له امتدادات منتهية". تُستخدم هذه العبارة غالبًا في القوائم، كما في "الشروط التالية ضرورية وكافية لكي يكون الحقل مغلقًا جبريًا...".

مطلوب إثباته (NTS)، مطلوب إثباته (RTP)، أرغب في إثباته، أريد إثباته (WTS)

أحيانًا ما تتم البراهين عن طريق سرد عدة شروط سيؤدي تحقيقها معًا إلى إثبات النظرية المطلوبة؛ وبالتالي، يحتاج المرء إلى إظهار هذه العبارات فقط.

واحد ووحيد

بيان بوجود وتفرد شيء ما; الكائن موجود، وعلاوة على ذلك، لا يوجد كائن آخر من هذا النوع.

QED

( Quod erat demonstrandum ): اختصار لاتيني، يعني "الذي كان من المفترض إثباته"، وكان يوضع تاريخياً في نهاية البراهين، ولكنه أقل شيوعاً حالياً، بعد أن تم استبداله بعلامة نهاية البرهان Halmos ، وهي علامة مربعة ∎.

لطيف بما فيه الكفاية

شرط على الكائنفي سياق المناقشة، التي سيتم تحديدها لاحقًا، سيضمن ذلك تحقق خاصية معينة محددة. عند صياغة نظرية، يشير استخدام هذا التعبير في نص النظرية إلى أن الشروط المعنية قد لا تكون معروفة للمتحدث بعد، وأن الهدف هو جمع الشروط التي سيتبين أنها ضرورية لإتمام برهان النظرية.

ما يلي متكافئ (TFAE)

غالباً ما تكون عدة شروط متكافئة (خاصة بالنسبة للتعريف، مثل المجموعة الفرعية الطبيعية ) مفيدة بنفس القدر في الممارسة العملية؛ يقدم أحدها نظرية تنص على تكافؤ أكثر من عبارتين مع TFAE.

نقل الهيكل

غالباً ما يحدث أن يكون هناك جسمانيُثبت أن فضاءين متجهين متكافئان بطريقة ما، وأن أحدهما مزود ببنية إضافية. باستخدام هذا التكافؤ، يمكننا تعريف هذه البنية على الفضاء الثاني أيضًا، عبر نقل البنية . على سبيل المثال، أي فضاءين متجهين من نفس البعد متماثلان ؛ إذا أُعطي أحدهما جداءً داخليًا ، وإذا حددنا تماثلًا معينًا، فيمكننا تعريف جداء داخلي على الفضاء الآخر بتحليله إلى عوامله الأولية من خلال هذا التماثل.

ليكن V فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد على k ... ولتكن ( e  i  ) حيث 1 ≤ i ≤ n أساسًا لـ V ... يوجد تماثل بين جبر كثيرات الحدود k [ T ij ] حيث 1 ≤ i , j ≤ n والجبر Sym k  ( V ⊗ V * )... ويمتد هذا التماثل إلى تماثل بين k [ GL n ] والجبر الموضعي Sym k  ( V ⊗ V * ) D ، حيث D = det( e i  ⊗ e  j  * )... نرمز لهذا الجبر الأخير بـ k [ GL ( V )]. وبنقل البنية، نحصل على زمرة جبرية خطية GL ( V ) متماثلة مع GL n .        

دون فقدان للعمومية (WLOG, WOLOG, WALOG)، يمكننا أن نفترض (WMA).

أحيانًا، يُمكن إثبات قضية ما بسهولة أكبر بإضافة افتراضات حول الأشياء التي تتناولها. إذا كانت القضية بصيغتها الحالية ناتجة عن هذه القضية المعدلة بتفسير بسيط ومختصر (على سبيل المثال، إذا كانت الحالات الخاصة المتبقية متطابقة باستثناء الرموز)، فإن الافتراضات المعدلة تُضاف مع هذه العبارة، ويتم إثبات القضية المعدلة.

يستخدم علماء الرياضيات عدة عبارات لوصف البراهين أو أساليب البرهان. وغالبًا ما تُستخدم هذه العبارات كتلميحات لتوضيح التفاصيل المملة.

مطاردة الزاوية

يُستخدم لوصف برهان هندسي يتضمن إيجاد علاقات بين الزوايا المختلفة في الرسم التخطيطي. ^{[ 3 ]}

حساب تقريبي

حساب غير رسمي يتجاهل الكثير من الدقة دون التضحية بالصحة. غالباً ما يكون هذا الحساب بمثابة " إثبات للمفهوم " ويتناول حالة خاصة يسهل الوصول إليها فقط.

القوة الغاشمة

بدلاً من البحث عن مبادئ أو أنماط أساسية، تُعدّ هذه طريقةً لتقييم أكبر عدد ممكن من الحالات لإثبات صحة الأمر المطروح أو تقديم أدلة مقنعة على صحته. يتضمن ذلك أحيانًا تقييم كل حالة ممكنة (ويُعرف هذا الأسلوب أيضًا بالإثبات بالاستنفاد ).

على سبيل المثال

البرهان بالمثال هو أسلوب حجاجي لا يُثبت فيه معنى العبارة، بل يُوضَّح بمثال. وإذا أُجريَ هذا الأسلوب بإتقان، فإن المثال المحدد يُمكن تعميمه بسهولة ليُصبح برهانًا عامًا.

عن طريق الفحص

اختصار بلاغي يلجأ إليه المؤلفون لدعوة القارئ إلى التحقق، بنظرة سريعة، من صحة تعبير أو استنتاج مُقترح. إذا أمكن تقييم تعبير ما بتطبيق مباشر لتقنيات بسيطة دون اللجوء إلى حسابات مطولة أو نظريات عامة، فإنه يُمكن تقييمه بالنظر . يُطبق هذا الأسلوب أيضًا على حل المعادلات؛ فعلى سبيل المثال، إيجاد جذور معادلة تربيعية بالنظر يعني "ملاحظتها" أو التحقق منها ذهنيًا. يُمكن أن يلعب "بالنظر" دورًا أشبه بالاستنتاج الشامل : إذ يتضح الحل أو الإجابة تلقائيًا.

عن طريق الترهيب

أسلوب إثبات يتم فيه تصنيف الادعاءات التي يعتقد المؤلف أنها قابلة للتحقق بسهولة على أنها "واضحة" أو "تافهة"، مما يؤدي في كثير من الأحيان إلى إرباك القارئ.

بوضوح، يمكن إثبات ذلك بسهولة

مصطلح يختصر العمليات الحسابية التي يعتبرها عالم الرياضيات مملة أو روتينية، ويمكن لأي فرد من الجمهور الوصول إليها إذا كان لديه الخبرة اللازمة في هذا المجال؛ استخدم لابلاس كلمة "واضح" ( بالفرنسية : évident ).

حدس كامل

تُستخدم عادةً للنكات (التورية على الاستقراء الكامل ).

مطاردة المخطط

^{[ 4 ]} إذا كان لدينا مخطط تبادليوأردناإثبات خاصية معينة للتشاكلات (مثلالحقنية) التي يمكن التعبير عنها بدلالةالعناصر، فيمكننا إجراء البرهان بتتبع مسار عناصر الكائنات المختلفة حول المخطط عند تطبيق تشاكلات متتالية عليه. أي أننانتتبعالعناصر حول المخطط، أويتتبع المخطط نفسه.

التلويح باليد

أسلوب غير تقليدي في البرهان، يُستخدم غالباً في المحاضرات، حيث لا يكون الاستدلال الرسمي ضرورياً بالضرورة. ويعتمد هذا الأسلوب على حذف التفاصيل أو حتى العناصر المهمة، وهو مجرد استدلال قائم على المعقولية.

على العموم

في سياق لا يتطلب دقةً متناهية، غالباً ما تظهر هذه العبارة كوسيلة لتوفير الجهد عندما تفوق التفاصيل التقنية لحجة كاملة الفوائد المفاهيمية. يقدم المؤلف برهاناً في حالة بسيطة بما يكفي لتكون الحسابات معقولة، ثم يشير إلى أن البرهان "بشكل عام" مشابه.

معركة المؤشر

بالنسبة للبراهين التي تتضمن كائنات ذات مؤشرات متعددة والتي يمكن حلها بالرجوع إلى الأسفل (إذا رغب أحد في بذل هذا الجهد). يشبه ذلك تتبع المخططات.

صحيح أخلاقياً

يُستخدم هذا التعبير للإشارة إلى أن المتحدث يعتقد بصحة عبارة ما ، استنادًا إلى خبرته الرياضية، حتى وإن لم يُقدَّم برهانٌ عليها بعد. وفي بعض الحالات، قد تكون العبارة خاطئة في الواقع، ولكنها تُقدِّم شعارًا أو توضيحًا لمبدأ صحيح. ويُعدّ مبدأ هاس المحلي -العالمي مثالًا مؤثرًا للغاية على ذلك.

بوضوح

انظر بوضوح .

يُترك إثبات ذلك كتمرين للقارئ

عادة ما يتم تطبيقها على ادعاء ضمن دليل أكبر عندما يمكن لأي فرد من الجمهور ممن يمتلكون الخبرة اللازمة تقديم دليل على هذا الادعاء بشكل روتيني، ولكنه ليس بسيطًا لدرجة أن يكون واضحًا .

تافه

يشبه ذلك بوضوح . يكون المفهوم تافهاً إذا كان صحيحاً بحكم التعريف، أو نتيجة مباشرة لعبارة معروفة، أو حالة خاصة بسيطة لمفهوم أكثر عمومية.

يتضمن هذا القسم مصطلحات تُستخدم في مختلف مجالات الرياضيات ، أو مصطلحات لا تظهر عادةً في المعاجم المتخصصة. للاطلاع على المصطلحات المستخدمة في مجالات محددة من الرياضيات، يُرجى مراجعة المعاجم في تصنيف: معاجم الرياضيات .

ثنائي

العلاقة الثنائية هي مجموعة من الأزواج المرتبة؛ يقال إن العنصر x مرتبط بعنصر آخر y إذا وفقط إذا كان ( x ، y ) موجودين في المجموعة.

مراسلة

إن العلاقة من مجموعة A إلى مجموعة B هي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي A × B ؛ بعبارة أخرى، إنها علاقة ثنائية ولكن مع تحديد المجموعات المحيطة A و B المستخدمة في التعريف.

رسم بياني

تمثيل مرئي للعلاقة (العلاقات) بين المتغيرات.

وظيفة

الدالة f: A → B هي ثلاثية مرتبة ( A, B, f ) تتكون من المجموعتين A وB ومجموعة جزئية f من حاصل الضرب الديكارتي A × B، وتخضع للشرط ( a, b ) و( a, b ′ ) ∈ f، مما يستلزم b = b ′ . بعبارة أخرى، هي نوع خاص من التناظر ، حيث يوجد عنصر وحيد b من B يناظر عنصرًا a من A.

أساسي

تُستخدم كلمة أساسي لوصف نظرية في مجال معين من الرياضيات تعتبر النظرية الأكثر مركزية في ذلك المجال (على سبيل المثال، النظرية الأساسية للحساب في الحساب ).

ثابت

الثابت الخاص بكائن أو فضاء هو خاصية أو رقم للكائن أو الفضاء يبقى دون تغيير تحت بعض التحويلات.

رسم خريطة

مرادف للدالة بين المجموعات أو التشكل في فئة. وتبعاً للمؤلفين، قد يُخصص مصطلح "الخرائط" أو مصطلح "الدوال" لأنواع محددة من الدوال أو التشكلات (على سبيل المثال، الدالة كمصطلح تحليلي والخريطة كمصطلح عام).

الرياضيات

انظر الرياضيات .

متعدد القيم

الدالة متعددة القيم من مجموعة A إلى مجموعة B هي دالة من A إلى المجموعات الجزئية من B. وتتميز عادةً بخاصية أنه بالنسبة لجميع النقاط x تقريبًا في B ، توجد جوار لـ x بحيث يمكن اعتبار تقييد الدالة على هذا الجوار مجموعة من الدوال من هذا الجوار إلى B.

إسقاط

الإسقاط هو، باختصار، خريطة من مكان أو جسم ما إلى آخر مع حذف بعض المعلومات المتعلقة بالجسم أو المكان. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x}$الإسقاط هو عملية إسقاط، وتقييده على رسم بياني لدالة ما، على سبيل المثال، هو أيضاً إسقاط. كما أن مصطلحي " المؤثر المتطابق " و" الخريطة النسيانية " هما مرادفان للإسقاط.

بناء

البنية الرياضية على كائن ما هي مجموعة إضافية من الكائنات أو البيانات المرفقة بالكائن (مثل العلاقة، والعملية، والمقياس، والطوبولوجيا).

• مسرد مجالات الرياضيات
• قائمة الثوابت الرياضية
• قائمة الرموز الرياضية
• التصنيف: المصطلحات الرياضية

• إيلنبرغ، صموئيل ؛ ماك لين، سوندرز (1942)، "التشاكلات الطبيعية في نظرية الزمر"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية ، 28 (12): 537-543 ، Bibcode : 1942PNAS...28..537E ، doi : 10.1073/pnas.28.12.537 ، PMC 1078535 ، PMID 16588584  .
• إمباغليازو، راسل (1995)، "نظرة شخصية على تعقيد الحالة المتوسطة"، وقائع المؤتمر السنوي العاشر لبنية نظرية التعقيد (SCT'95) ، الصفحات 134-147 ، CiteSeerX 10.1.1.678.8930 ، doi : 10.1109/SCT.1995.514853 ، ISBN   978-0-8186-7052-7، S2CID 2154064 .
• جاكسون، ألين (2004)، "كما لو تم استدعاؤه من العدم : حياة ألكسندر غروتينديك"، إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 51 (9، 10)( الجزء الأول والثاني ).
• ماك لين، سوندرز (1997)، "مجلة وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في ذلك الوقت" (ملف PDF) ، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 94 (12): 5983-5985 ، رمز Bibcode : 1997PNAS...94.5983M ، doi : 10.1073/pnas.94.12.5983 ، PMC 33670 ، PMID 9177152  .
• ماك لين، سوندرز (1998)، تصنيفات للرياضي العامل ، سبرينغر.
• موناستيرسكي، مايكل (2001)، "بعض الاتجاهات في الرياضيات الحديثة وميدالية فيلدز" (PDF) ، ملاحظات الجمعية الرياضية الكندية ، 33 (2 و3).
• بينتو، ج. سوزا (2004)، هوسكينز، ر. ف. (محرر)، طرق متناهية الصغر للتحليل الرياضي ، دار هوروود للنشر، ص  246، رقم ISBN 978-1-898563-99-0.
• بوانكاريه، هنري (1913)، هالستيد، بروس (محرر)، أسس العلم ، دار النشر العلمية، ص  435.
• روتا، جيان كارلو (1977)، "فينومينولوجيا الجمال الرياضي"، سينثيز ، 111 (2): 171-182 ، doi : 10.1023/A:1004930722234 ، ISSN 0039-7857 ، S2CID 44064821  .
• Shafarevich، Igor (1991)، Kandall، GA (ed.)، الهندسة الجبرية ، المجلد.  الرابع، سبرينغر.
• فيديك، فريك، محرر (2006)، المجرمون السبعة عشر في العالم ، بيركهاوزر، ISBN 978-3-540-30704-4.

• موسوعة الرياضيات