الرياضيات والفن

كان بوليكليتوس الأكبر (حوالي 450-420 قبل الميلاد) نحاتًا يونانيًا من مدرسة أرغوس ، ومعاصرًا لفيدياس . تألفت أعماله وتماثيله في الغالب من البرونز، وكانت تُصوّر رياضيين. ووفقًا للفيلسوف والرياضي زينوقراطيس ، يُصنّف بوليكليتوس كواحد من أهم نحاتي العصور الكلاسيكية القديمة لعمله على تمثال دوريفوروس وتمثال هيرا في هيرايون أرغوس . ^{[ 3 ]} ورغم أن منحوتاته قد لا تكون بشهرة منحوتات فيدياس، إلا أنها تحظى بإعجاب كبير. في كتابه "القانون "، وهو رسالة كتبها لتوثيق النسب "المثالية" للجسم الذكري العاري، يُقدّم لنا بوليكليتوس منهجًا رياضيًا لنحت جسم الإنسان. ^{[ 3 ]}

فُقدت النسخة الأصلية من القانون، ولكن يُعتقد أن بوليكليتوس استخدم سلسلة من النسب حيث يكون طول كل عنصر هو طول قطر مربع مرسوم على العنصر السابق له، بنسبة 1: √2 ( حوالي 1 :1.4142). ^{[ 4 ]}

كان تأثير قانون بوليكليتوس هائلاً في فن النحت اليوناني الكلاسيكي والروماني وعصر النهضة ، حيث اتبع العديد من النحاتين توجيهاته. ورغم أن أعمال بوليكليتوس الأصلية لم تصل إلينا، إلا أن النسخ الرومانية تُظهر مثاله الأعلى للكمال الجسدي والدقة الرياضية. ويرى بعض الباحثين أن الفكر الفيثاغورسي قد أثر في قانون بوليكليتوس . ^{[ 5 ]} يطبق القانون المفاهيم الرياضية الأساسية للهندسة اليونانية، مثل النسبة والتناسب والتناظر ( المصطلح اليوناني الذي يعني "التناسب المتناغم")، ويحولها إلى نظام قادر على وصف الشكل البشري من خلال سلسلة من المتتابعات الهندسية المتصلة . ^{[ 4 ]}

في العصور الكلاسيكية، بدلاً من تصغير الأشكال البعيدة باستخدام المنظور الخطي ، كان الرسامون يُحددون أحجام الأشياء والأشكال وفقًا لأهميتها الموضوعية. وفي العصور الوسطى، استخدم بعض الفنانين المنظور العكسي لإبراز جوانب معينة. وقد وصف عالم الرياضيات المسلم ابن الهيثم نظرية في علم البصريات في كتابه "المناظر" عام 1021، لكنه لم يُطبقها قط على الفن. ^{[ 6 ]} شهد عصر النهضة إحياءً للثقافة والأفكار اليونانية والرومانية الكلاسيكية، ومن بينها دراسة الرياضيات لفهم الطبيعة والفنون . وقد دفع دافعان رئيسيان الفنانين في أواخر العصور الوسطى وعصر النهضة نحو الرياضيات. أولاً، احتاج الرسامون إلى معرفة كيفية تصوير المشاهد ثلاثية الأبعاد على لوحة ثنائية الأبعاد. ثانيًا، كان الفلاسفة والفنانون على حد سواء مقتنعين بأن الرياضيات هي الجوهر الحقيقي للعالم المادي، وأن الكون بأسره، بما في ذلك الفنون، يُمكن تفسيره بمصطلحات هندسية. ^{[ 7 ]}

بدأت مبادئ المنظور مع جوتو (1266/7 – 1337)، الذي حاول الرسم بالمنظور باستخدام طريقة جبرية لتحديد موضع الخطوط البعيدة. وفي عام 1415، قدّم المهندس المعماري الإيطالي فيليبو برونليسكي وصديقه ليون باتيستا ألبيرتي الطريقة الهندسية لتطبيق المنظور في فلورنسا، باستخدام المثلثات المتشابهة كما صاغها إقليدس، لإيجاد الارتفاع الظاهري للأجسام البعيدة. ^{[ 8 ] [ 9 ]} فُقدت لوحات برونليسكي الخاصة بالمنظور، لكن لوحة ماساتشيو للثالوث المقدس تُظهر تطبيق مبادئه. ^{[ 6 ] [ 10 ] [ 11 ]}

كان الرسام الإيطالي باولو أوتشيلو (1397-1475) مفتونًا بالمنظور، كما يتضح في لوحاته لمعركة سان رومانو (حوالي 1435-1460): حيث تقع الرماح المكسورة بشكل ملائم على طول خطوط المنظور. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

جسّد الرسام بييرو ديلا فرانشيسكا (حوالي 1415-1492) هذا التحول الجديد في فكر عصر النهضة الإيطالية. كان عالم رياضيات وهندسة بارعًا ، ألّف كتبًا في الهندسة الفراغية والمنظور ، منها "De prospectiva pingendi" (في المنظور للرسم) ، و "Trattato d'Abaco" (رسالة في المعداد) ، و "De quinque corporibus regularibus" (في الأجسام الصلبة المنتظمة الخمسة) . ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} ويصفه المؤرخ فاساري في كتابه "حياة الرسامين " بأنه "أعظم مهندس في عصره، وربما في كل العصور". ^{[ 17 ]} ويتجلى اهتمام بييرو بالمنظور في لوحاته، ومنها لوحة "مذبح بيروجيا " ^{[ 18 ]} ، ولوحة مذبح سان أغوستينو، ولوحة "جلد المسيح" . أثّر عمله في الهندسة على علماء الرياضيات والفنانين اللاحقين، بمن فيهم لوكا باتشولي في كتابه "النسبة الإلهية" وليوناردو دافنشي . درس بييرو الرياضيات الكلاسيكية وأعمال أرخميدس . ^{[ 19 ]} تلقّى دروسًا في الحساب التجاري في "مدارس المعداد"؛ وكتاباته مُنسّقة على غرار كتب مدارس المعداد، ^{[ 20 ]} وربما تشمل كتاب ليوناردو بيزانو ( فيبوناتشي ) " ليبر أباتشي " عام 1202. كان المنظور الخطي في بداياته في عالم الفن. أوضح ألبرتي في كتابه "دي بيكتورا" عام 1435 : "تسير أشعة الضوء في خطوط مستقيمة من نقاط في المشهد المرئي إلى العين، مُشكّلةً نوعًا من الهرم تكون العين رأسه". اللوحة المرسومة بالمنظور الخطي هي مقطع عرضي لهذا الهرم. ^{[ 21 ]}

في كتابه "De Prospectiva Pingendi" ، يحوّل بييرو ملاحظاته التجريبية حول كيفية تغير جوانب الشكل بتغير زاوية الرؤية إلى براهين رياضية. يبدأ بحثه على نهج إقليدس: إذ يُعرّف النقطة بأنها "أصغر شيء يمكن للعين إدراكه". ^{[ أ ] [ 7 ]} ويستخدم المنطق الاستنتاجي ليقود القارئ إلى تمثيل المنظور لجسم ثلاثي الأبعاد. ^{[ 22 ]}

جادل الفنان ديفيد هوكني في كتابه " المعرفة السرية: إعادة اكتشاف التقنيات المفقودة للأساتذة القدامى" بأن الفنانين بدأوا باستخدام الكاميرا لوسيدا منذ عشرينيات القرن الخامس عشر، مما أدى إلى تغيير مفاجئ في الدقة والواقعية، وأن هذه الممارسة استمرت على يد فنانين كبار من بينهم إنجرس وفان إيك وكارافاجيو . ^{[ 23 ]} يختلف النقاد حول صحة رأي هوكني. [ ^{24 ] [ 25 ] وبالمثل} ، جادل المهندس المعماري فيليب ستيدمان، في رأي مثير للجدل ^{[ 26 ]} ، بأن فيرمير استخدم جهازًا مختلفًا، وهو الكاميرا أوبسكورا ، لمساعدته في ابتكار لوحاته المميزة بملاحظاته الدقيقة. ^{[ 27 ]}

في عام ١٥٠٩، نشر لوكا باتشولي (حوالي ١٤٤٧-١٥١٧) كتاب "De divina proportione" الذي يتناول النسب الرياضية والفنية ، بما في ذلك نسب الوجه البشري. وقد قام ليوناردو دافنشي (١٤٥٢-١٥١٩) بتوضيح الكتاب برسومات خشبية لأشكال صلبة منتظمة أثناء دراسته على يد باتشولي في تسعينيات القرن الخامس عشر. وتُعدّ رسومات ليوناردو على الأرجح أولى الرسوم التوضيحية للأشكال الصلبة الهيكلية. ^{[ ٢٨ ]} وكانت هذه الأشكال، مثل المعين المكعب الثماني الأوجه ، من أوائل الأشكال التي رُسمت لتوضيح المنظور من خلال تراكبها. ويناقش الكتاب المنظور في أعمال بييرو ديلا فرانشيسكا ، وميلوزو دا فورلي ، وماركو بالميتزانو . ^{[ ٢٩ ]} وقد درس ليوناردو كتاب باتشولي " Summa" ، الذي استنسخ منه جداول النسب. ^{[ 30 ]} في لوحتي الموناليزا والعشاء الأخير ، وظّف ليوناردو المنظور الخطي مع نقطة التلاشي لإضفاء عمق ظاهري. ^{[ 31 ]} بُنيت لوحة العشاء الأخير بنسبة دقيقة 12:6:4:3، كما هو الحال في لوحة مدرسة أثينا لرافائيل ، التي تضم فيثاغورس مع لوح النسب المثالية، وهو مقدس لدى الفيثاغوريين. ^{[ 32 ] [ 33 ]} في لوحة الرجل الفيتروفي ، عبّر ليوناردو عن أفكار المهندس المعماري الروماني فيتروفيوس ، مُظهرًا الشكل الذكوري مرتين بشكل مبتكر، ومُركزًا إياه في كل من دائرة ومربع. ^{[ 34 ]}

منذ القرن الخامس عشر، شقت تقنية المنظور المنحني طريقها إلى لوحات الفنانين المهتمين بتشويه الصور. ففي لوحة "بورتريه أرنولفيني" للفنان يان فان إيك عام 1434، تظهر مرآة محدبة تعكس صور الأشخاص في المشهد، ^{[ 35 ]} بينما في لوحة " بورتريه ذاتي في مرآة محدبة" للفنان بارميجيانينو ، حوالي 1523-1524، يظهر وجه الفنان في المنتصف دون تشويه يُذكر، مع خلفية منحنية بشدة ويد الفنان حول الحافة. ^{​​[ 36 ]}

يمكن تمثيل الفضاء ثلاثي الأبعاد بشكل مقنع في الفن، كما هو الحال في الرسم التقني ، بوسائل أخرى غير المنظور. وقد استخدم الفنانون الصينيون الإسقاطات المائلة ، بما في ذلك منظور الفرسان (الذي استخدمه الفنانون العسكريون الفرنسيون لتصوير التحصينات في القرن الثامن عشر)، بشكل مستمر وواسع النطاق من القرنين الأول أو الثاني الميلاديين حتى القرن الثامن عشر. وقد اكتسب الصينيون هذه التقنية من الهند، التي بدورها اكتسبتها من روما القديمة. ويُلاحظ استخدام الإسقاط المائل في الفن الياباني، كما في لوحات أوكيو-إي للفنان توري كيوناغا (1752-1815). ^{[ 37 ]}

• 
  نقش خشبي من كتاب لوكا باتشولي " De divina proportione" لعام 1509، يظهر مثلثًا متساوي الأضلاع على وجه بشري
• 
  الكاميرا لوسيدا قيد الاستخدام. مجلة ساينتفك أمريكان ، 1879
• 
  رسم توضيحي لفنان يستخدم الكاميرا المظلمة ، القرن السابع عشر
• 
  النسبة: رجل فيتروفيان لليوناردو ، حوالي عام 1490
• 
  برونليسكي نظرية المنظور : Masaccio 's Trinità , ج. 1426-1428، في بازيليك سانتا ماريا نوفيلا
• 
  رسم تخطيطي من لوحة ديلا بيتورا لليون باتيستا ألبيرتي عام 1435 ، مع أعمدة في المنظور على الشبكة
• 
  المنظور الخطي في لوحة جلد المسيح لبييرو ديلا فرانشيسكا ، حوالي 1455-1460
• 
  المنظور المنحني : المرآة المحدبة في لوحة أرنولفيني للفنان يان فان إيك ، 1434
• 
  بارميجيانينو ، صورة ذاتية في مرآة محدبة ، ج. 1523-1524
• 
  فيثاغورس مع لوح النسب، في لوحة رافائيل " مدرسة أثينا" ، 1509
• 
  إسقاط مائل : مدخل وفناء يامن . تفصيل من مخطوطة عن سوتشو بريشة شو يانغ، بأمر من الإمبراطور تشيان لونغ . القرن الثامن عشر
• 
  إسقاط مائل : نساء يلعبن ألعاب الشوغي ، والجو ، وبان -سوغوروكو اللوحية. لوحة للفنان توري كيوناغا ، اليابان، حوالي عام ١٧٨٠

كانت النسبة الذهبية (التي تساوي تقريبًا 1.618) معروفة لدى إقليدس . ^{[ 38 ]} وقد زُعم مرارًا وتكرارًا ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]} في العصر الحديث أن القدماء في مصر واليونان وغيرها استخدموا النسبة الذهبية في الفن والعمارة ، دون وجود أدلة موثوقة. ^{[ 43 ]} وقد يكون هذا الادعاء ناتجًا عن الخلط بينها وبين "الوسط الذهبي"، الذي كان يعني عند الإغريق القدماء "تجنب الإفراط في أي اتجاه"، وليس نسبة. ^{[ 43 ]} وقد جادل علماء الأهرامات منذ القرن التاسع عشر، استنادًا إلى أسس رياضية مشكوك فيها، بشأن استخدام النسبة الذهبية في تصميم الأهرامات. ^{[ ب ]} وزُعم أن البارثينون ، وهو معبد يعود تاريخه إلى القرن الخامس قبل الميلاد في أثينا، استخدم النسبة الذهبية في واجهته ومخططه الأرضي، ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ]} ولكن هذه الادعاءات أيضًا دُحضت بالقياس. ^{[ 43 ]} يُزعم أيضًا أن الجامع الكبير في القيروان بتونس يستخدم النسبة الذهبية في تصميمه، [ 50 ^{] إلا أن} هذه النسبة لا تظهر في الأجزاء الأصلية للجامع. ^{[ 51 ]} جادل مؤرخ العمارة فريدريك ماكودي لوند عام 1919 بأن كاتدرائية شارتر (القرن الثاني عشر)، وكاتدرائية نوتردام في لاون (1157-1205)، وكاتدرائية نوتردام في باريس (1160) مصممة وفقًا للنسبة الذهبية، ^{[ 52 ]} ورسم خطوطًا مرجعية لدعم حجته. ويرى باحثون آخرون أن النسبة الذهبية كانت مجهولة للفنانين والمعماريين حتى عمل باتشولي عام 1509. ^{[ 53 ]} فعلى سبيل المثال، تبلغ نسبة ارتفاع وعرض واجهة كاتدرائية نوتردام في لاون 8/5 أو 1.6، وليس 1.618. وسرعان ما يصعب التمييز بين نسب فيبوناتشي هذه والنسبة الذهبية. ^{[ 54 ]} بعد باتشولي، أصبح من الواضح بشكل أكبر أن النسبة الذهبية تظهر في الأعمال الفنية بما في ذلك لوحة الموناليزا لليوناردو . ^{[ 55 ]}

نسبة أخرى، وهي العدد المورفي الوحيد الآخر، ^{[ 56 ]} أطلق عليها اسم العدد البلاستيكي ^{[ c ]} في عام 1928 من قبل المهندس المعماري الهولندي هانز فان دير لان (وكان اسمها الأصلي le nombre radiant بالفرنسية). ^{[ 57 ]} وقيمتها هي حل المعادلة التكعيبية

${\displaystyle x^{3}=x+1\,}$،

عدد غير نسبي يُقارب 1.325. ووفقًا للمهندس المعماري ريتشارد بادوفان ، فإن لهذا العدد نسبًا مميزة هي 3/4 و 1 / 7 ، والتي تُحدد حدود الإدراك البشري في ربط حجم مادي بآخر. وقد استخدم فان دير لان هذه النسب عند تصميم كنيسة دير سانت بينيديكتوسبيرغ في هولندا عام 1967. ^{[ 57 ]}

• 
  يمكن أن تكون نسب القاعدة إلى الوتر (ب:أ) لهرم خوفو كالتالي : 1:φ ( مثلث كبلر )، أو 3:5 ( مثلث 3-4-5 )، أو 1:4/π
• 
  النسب المفترضة: نوتردام لاون
• 
  مستطيلات ذهبية متراكبة على لوحة الموناليزا
• 
  تتميز كنيسة دير سانت بينيديكتوسبيرج التي صممها هانز فان دير لان عام 1967 بنسب بلاستيكية .

استُغِلَّت التناظرات المستوية لآلاف السنين في أعمال فنية مثل السجاد والشبكات والمنسوجات والبلاط. ^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]}

تُقسّم العديد من السجادات التقليدية، سواءً كانت سجادات ذات وبر أو سجادات الكليم المنسوجة ، إلى حقل مركزي وحافة محيطة؛ وكلاهما قد يكون متناظرًا، إلا أن هذا التناظر غالبًا ما يُكسر قليلًا في السجاد المنسوج يدويًا بتفاصيل صغيرة، واختلافات في النقوش، وتغيرات في الألوان يُدخلها النساج. ^{[ 59 ]} في سجاد الكليم الأناضولي ، تكون الزخارف المستخدمة متناظرة في الغالب. كما أن التصميم العام موجود عادةً، مع ترتيبات مثل الخطوط، والخطوط المتناوبة مع صفوف من الزخارف، ومصفوفات متراصة من زخارف سداسية الشكل تقريبًا. يُصمم الحقل عادةً على شكل ورق جدران بمجموعة ورق جدران مثل pmm، بينما قد تُصمم الحافة على شكل إفريز من مجموعة الإفريز pm11 أو pmm2 أو pma2. غالبًا ما تحتوي سجادات الكليم التركية والآسيوية الوسطى على ثلاث حواف أو أكثر في مجموعات إفريز مختلفة. من المؤكد أن النساجين كانوا يقصدون التناظر، دون معرفة صريحة بأساسياته الرياضية. ^{[ 59 ]} يقترح عالم الرياضيات والمنظر المعماري نيكوس سالينغاروس أن "الحضور القوي" ^{[ 58 ]} (التأثير الجمالي) لـ"سجادة رائعة" ^{[ 58 ]} ، مثل أفضل سجاد قونية ذي الميداليتين من القرن السابع عشر، يُخلق من خلال تقنيات رياضية مرتبطة بنظريات المهندس المعماري كريستوفر ألكسندر . تشمل هذه التقنيات جعل المتناقضات تتزاوج؛ وقيم الألوان المتضادة؛ والتمييز الهندسي للمساحات، سواء باستخدام أشكال متكاملة أو موازنة اتجاه الزوايا الحادة؛ وتوفير تعقيد على نطاق صغير (من مستوى العقدة فصاعدًا) وتناظر على نطاق صغير وكبير؛ وتكرار العناصر على تسلسل هرمي من المقاييس المختلفة (بنسبة 2.7 تقريبًا من كل مستوى إلى المستوى الذي يليه). يجادل سالينغاروس بأن "جميع السجاد الناجح يفي بتسعة قواعد على الأقل من القواعد العشر المذكورة أعلاه"، ويقترح أنه قد يكون من الممكن إنشاء مقياس من هذه القواعد. ^{[ 58 ]}

تُوجد زخارف شبكية مُتقنة في فن الجالي الهندي ، المنحوت في الرخام لتزيين المقابر والقصور. ^{[ 60 ]} وتوجد الزخارف الشبكية الصينية، التي تتسم دائمًا بنوع من التناظر، في 14 من أصل 17 مجموعة من ورق الجدران؛ وغالبًا ما يكون لها تناظر انعكاسي، أو انعكاسي مزدوج، أو دوراني. بعضها يحتوي على ميدالية مركزية، وبعضها الآخر يحتوي على إطار ضمن مجموعة إفريزية. ^{[ 63 ]} وقد قام دانيال إس. داي بتحليل العديد من الزخارف الشبكية الصينية رياضيًا؛ وحدد سيتشوان كمركز لهذا الفن. ^{[ 64 ]}

تُعدّ التناظرات بارزة في فنون النسيج ، بما في ذلك التلحيف ^{[ 61 ]} ، والحياكة ^{[ 65 ]} ، والغرز المتقاطعة ، والكروشيه ^{[ 66 ]} ، والتطريز ^{[ 67 ] [ 68 ]} ، والنسيج [ ^{69 ] ،} حيث قد تكون زخرفية بحتة أو دلالة على المكانة الاجتماعية ^{[ 70 ]} . ويُلاحظ التناظر الدوراني في الهياكل الدائرية كالقباب ؛ التي تُزيّن أحيانًا بزخارف متناظرة من الداخل والخارج، كما هو الحال في مسجد الشيخ لطف الله في أصفهان الذي بُني عام 1619 ^{[ 71 ]} . ويمكن أن تحتوي قطع التطريز والدانتيل ، كمفارش المائدة وحصائرها، المصنوعة باستخدام البكرات أو بتقنية التاتينغ ، على مجموعة واسعة من التناظرات الانعكاسية والدورانية التي يجري استكشافها رياضيًا ^{[ 72 ] .}

يستغل الفن الإسلامي التناظرات في العديد من أشكاله الفنية، ولا سيما في بلاط الجيريه . يُشكّل هذا البلاط باستخدام خمسة أشكال أساسية، هي: مُضلّع عشاري منتظم، ومُضلّع سداسي مُطوّل، ومُضلّع على شكل ربطة عنق، ومُضلّع مُعيّن، ومُضلّع خماسي منتظم. جميع أضلاع هذه البلاطات متساوية في الطول، وجميع زواياها من مُضاعفات 36 درجة (π/5 راديان )، مما يُتيح تناظرات خماسية وعشرية. تُزيّن البلاطات بخطوط مُزخرفة (جيريه)، وهي عادةً ما تكون أكثر وضوحًا من حدود البلاطات نفسها. في عام 2007، جادل الفيزيائيان بيتر لو وبول شتاينهارت بأن الجيريه يُشبه بلاطات بنروز شبه البلورية . ^{[ 73 ]} يُعدّ بلاط الزليج الهندسي المُتقن عنصرًا مميزًا في العمارة المغربية . ^{[ 62 ]} أما قباب المقرنصات فهي ثلاثية الأبعاد، ولكنها صُمّمت في بُعدين باستخدام رسومات للخلايا الهندسية. ^{[ 74 ]}

• 
  كيليم هوتاميس (تفصيل)، وسط الأناضول ، أوائل القرن التاسع عشر
• 
  تفاصيل من نسيج بروكار من عهد أسرة مينغ ، باستخدام نمط شبكي سداسي مشطوف الحواف
• 
  شبكة رخام جالي في قبر سليم تشيشتي ، فاتحبور سيكري ، الهند
• 
  التناظرات : نسيج بنمط بارجيلو الفلورنسي
• 
  سقف مسجد الشيخ لطف الله ، أصفهان ، 1619
• 
  التناظر الدوراني في الدانتيل : أعمال التاتينغ
• 
  بلاطات غيريه : أنماط بأحجام كبيرة وصغيرة على أحد أركان ضريح درب الإمام ، أصفهان، 1453
• 
  التغطية بالفسيفساء : فسيفساء الزليج بالمدرسة البوعنانية ، فاس ، المغرب
• 
  الهندسة المعقدة والبلاطات المستخدمة في قبو المقرنصات في مسجد الشيخ لطف الله، أصفهان
• 
  مخطط معماري لقبو ربع المقرنصات. مخطوطة توبكابي
• 
  سترة توبا إنكا من بيرو ، 1450-1540، نسيج أنديزي يدل على مكانة عالية ^{[ 70 ] .}

تُعدّ المجسمات الأفلاطونية وغيرها من المجسمات متعددة الأوجه موضوعًا متكررًا في الفن الغربي. نجدها، على سبيل المثال، في فسيفساء رخامية تضمّ مجسمًا نجميًا صغيرًا ذا اثني عشر وجهًا ، يُنسب إلى باولو أوتشيلو، في أرضية كاتدرائية سان ماركو في البندقية؛ ^{[ 12 ]} وفي رسومات ليوناردو دافنشي للمجسمات متعددة الأوجه المنتظمة التي رُسمت كرسوم توضيحية لكتاب لوكا باتشولي "النسبة الإلهية" الصادر عام 1509 ؛ ^{[ 12 ]} وفي مجسم زجاجي ثماني الأوجه معيني المكعب في لوحة جاكوبو دي بارباري التي تصوّر باتشولي، والتي رُسمت عام 1495؛ ^{[ 12 ]} وفي المجسم المقطوع (وغيره من الأشكال الرياضية) في نقش ألبريشت دورر "ميلانخوليا 1" ؛ ^{[ 12 ]} وفي لوحة سلفادور دالي " العشاء الأخير" التي يظهر فيها المسيح وتلاميذه داخل مجسم عملاق ذي اثني عشر وجهًا . ^{[ 75 ]}

كان ألبرخت دورر (1471-1528) رسامًا ألمانيًا من عصر النهضة، قدم إسهاماتٍ جليلة في أدبيات المجسمات متعددة الأوجه ، لا سيما في كتابه " Underweysung der Messung" (تعليم القياس) الصادر عام 1525 ، والذي هدف إلى تعليم موضوعات المنظور الخطي ، والهندسة المعمارية ، والمجسمات الأفلاطونية ، والمضلعات المنتظمة . ويُرجح أن دورر تأثر بأعمال لوكا باتشولي وبييرو ديلا فرانشيسكا خلال رحلاته إلى إيطاليا . ^{[ 76 ]} ورغم أن أمثلة المنظور في "Underweysung der Messung" غير مكتملة وتحتوي على بعض الأخطاء، إلا أنها تتضمن نقاشًا مفصلًا حول المجسمات متعددة الأوجه. كما يُعد دورر أول من أدخل في النص فكرة الشبكات متعددة الأوجه ، وهي مجسمات متعددة الأوجه تُفرد لتصبح مسطحةً للطباعة. ^{[ 77 ]} نشر دورر كتابًا مؤثرًا آخر عن النسب البشرية يسمى Vier Bücher von Menschlicher Proportion (أربعة كتب عن النسبة البشرية) في عام 1528. ^{[ 78 ]}

تُصوّر لوحة دورر الشهيرة "ميلانخوليا 1" مفكراً محبطاً يجلس بجوار شبه منحرف مثلث الشكل مقطوع ومربع سحري . ^{[ 1 ]} وقد حظي هذان العنصران، واللوحة ككل، بتفسيرات حديثة أكثر من محتوى أي مطبوعة أخرى تقريباً، ^{[ 1 ] [ 79 ] [ 80 ]} بما في ذلك كتاب من مجلدين لبيتر كلاوس شوستر، ^{[ 81 ]} ونقاش مؤثر في دراسة إروين بانوفسكي عن دورر. ^{[ 1 ] [ 82 ]}

تُصوّر لوحة سلفادور دالي " كوربوس هايبركيوبوس" (1954) بشكل فريد صليب المسيح على هيئة شبكة ثلاثية الأبعاد مفتوحة لمكعب فائق ، يُعرف أيضًا باسم التيسيراكت : يُشابه فتح التيسيراكت إلى هذه المكعبات الثمانية فتح جوانب مكعب على شكل صليب من ستة مربعات، يُمثل هنا المنظور الإلهي بمجسم رباعي الأبعاد منتظم. ^{[ 83 ] [ 84 ]} تُظهر اللوحة شخصية المسيح أمام التيسيراكت؛ عادةً ما يُصوّر مُثبّتًا بالمسامير على الصليب، لكن لا توجد مسامير في اللوحة. بدلًا من ذلك، توجد أربعة مكعبات صغيرة أمام جسده، عند زوايا المكعب الأمامي من مكعبات التيسيراكت الثمانية. يذكر عالم الرياضيات توماس بانشوف أن دالي كان يحاول تجاوز العالم ثلاثي الأبعاد، بينما تقول الشاعرة وناقدة الفن كيلي غروفيير : "يبدو أن اللوحة قد فكت الرابط بين روحانية خلاص المسيح ومادية القوى الهندسية والفيزيائية. ويبدو أنها تسد الفجوة التي يشعر الكثيرون أنها تفصل العلم عن الدين." ^{[ 85 ]}

• 
  أول رسم توضيحي مطبوع لمجسم معيني الشكل ، بواسطة ليوناردو دا فينشي ، نُشر في De Divina Proportione ، 1509
• 
  المجسم العشري الوجوه كجزء من نصب باروخ سبينوزا التذكاري ، أمستردام

تجمع تصاميم الباتيك الإندونيسية التقليدية، المصنوعة بتقنية مقاومة الشمع، على القماش بين الزخارف التمثيلية (مثل العناصر الزهرية والنباتية) والعناصر التجريدية والفوضوية نوعًا ما، بما في ذلك عدم الدقة في تطبيق الشمع المقاوم، والتنوع العشوائي الناتج عن تشقق الشمع. يتراوح البعد الكسري لتصاميم الباتيك بين 1 و2، ويختلف باختلاف الأساليب الإقليمية. على سبيل المثال، يبلغ البعد الكسري لباتيك سيريبون 1.1؛ بينما يتراوح البعد الكسري لباتيك يوجياكارتا وسوراكارتا ( سولو ) في جاوة الوسطى بين 1.2 و1.5؛ أما باتيك لاسيم على الساحل الشمالي لجاوة وباتيك تاسيكمالايا في جاوة الغربية فيتراوح البعد الكسري بين 1.5 و1.7. ^{[ 86 ]}

تتميز أعمال الفنان الحديث جاكسون بولوك، التي تعتمد أسلوب التنقيط في الرسم ، ببعدها الكسري المميز. ففي لوحته "رقم 14" التي رسمها عام 1948، يبلغ البعد الكسري 1.45، وهو بُعد يشبه خط الساحل، بينما اتسمت لوحاته اللاحقة بأبعاد كسرية أعلى، وبالتالي بأنماط أكثر تعقيدًا. أما لوحة "الأعمدة الزرقاء" ، وهي إحدى آخر أعماله، فقد استغرقت ستة أشهر لإنجازها، ويبلغ بعدها الكسري 1.72. ^{[ 87 ]}

يصف عالم الرياضيات جيري ب. كينغ الرياضيات بأنها فن، مصرحًا بأن "مفاتيح الرياضيات هي الجمال والأناقة لا الرتابة والتعقيد التقني"، وأن الجمال هو القوة الدافعة للبحث الرياضي. ^{[ 91 ]} ويستشهد كينغ بمقال عالم الرياضيات جي إتش هاردي المنشور عام 1940 بعنوان "اعتذار عالم رياضيات" . يناقش هاردي في هذا المقال سبب اعتباره لنظريتين من العصور الكلاسيكية من الدرجة الأولى، وهما برهان إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، وبرهان أن الجذر التربيعي للعدد 2 عدد غير نسبي . يقيم كينغ البرهان الأخير وفقًا لمعايير هاردي للأناقة الرياضية : " الجدية، والعمق، والعمومية، والمفاجأة، والحتمية ، والاقتصاد " (التشديد من كينغ)، ويصف البرهان بأنه "مُرضٍ من الناحية الجمالية". ^{[ 92 ]} وافق عالم الرياضيات المجري بول إيردوس على أن الرياضيات تمتلك جمالًا، لكنه اعتبر الأسباب عصية على التفسير: "لماذا الأرقام جميلة؟ إنه مثل سؤال لماذا سيمفونية بيتهوفن التاسعة جميلة. إذا لم ترَ السبب، فلن يستطيع أحد أن يخبرك. أنا أعرف أن الأرقام جميلة." ^{[ 93 ]}

يمكن تلمس الرياضيات في العديد من الفنون، مثل الموسيقى والرقص ^{[ 94} ] والرسم والعمارة والنحت . يرتبط كل منها ارتباطًا وثيقًا بالرياضيات. [ ^{95 ] ومن بين هذه} الروابط بالفنون البصرية، يمكن للرياضيات أن توفر أدوات للفنانين، مثل قواعد ^{المنظور} الخطي كما وصفها بروك تايلور ويوهان لامبرت ، أو أساليب الهندسة الوصفية ، المطبقة الآن في نمذجة المجسمات باستخدام البرامج، والتي يعود تاريخها إلى ألبرخت دورر وجاسبار مونج . ^{[ 96 ]} وقد استخدم فنانون من أمثال لوكا باتشولي في العصور الوسطى وليوناردو دافنشي وألبرخت دورر في عصر النهضة الأفكار الرياضية وطوروها في سعيهم وراء أعمالهم الفنية. ^{[ 95 ] [ 97 ]} بدأ استخدام المنظور، على الرغم من بعض الاستخدامات الأولية في عمارة اليونان القديمة، مع رسامين إيطاليين مثل جوتو في القرن الثالث عشر؛ صاغ برونليسكي قواعد مثل نقطة التلاشي لأول مرة حوالي عام 1413، ^{[ 6 ]} وقد أثرت نظريته على ليوناردو دافنشي ودورر. كما أثر عمل إسحاق نيوتن على الطيف الضوئي على نظرية غوته للألوان ، وبالتالي على فنانين مثل فيليب أوتو رونج ، وجون مالورد ويليام تيرنر ، ^{[ 98 ]} وجماعة ما قبل الرفائيلية ، وفاسيلي كاندينسكي . ^{[ 99 ] [ 100 ]} وقد يختار الفنانون أيضًا تحليل تناظر المشهد. ^{[ 101 ]} ويمكن استخدام هذه الأدوات من قبل علماء الرياضيات الذين يستكشفون الفن، أو الفنانين المستوحين من الرياضيات، مثل إم سي إيشر (المستوحى من إتش إس إم كوكسيتر ) والمهندس المعماري فرانك جيري ، الذي جادل بشكل أقل دقة بأن التصميم بمساعدة الحاسوب مكّنه من التعبير عن نفسه بطريقة جديدة تمامًا. ^{[ 102 ]}

يجادل الفنان ريتشارد رايت بأن الكائنات الرياضية التي يمكن إنشاؤها يُمكن النظر إليها إما "كعمليات لمحاكاة الظواهر" أو كأعمال " فن حاسوبي ". ويتناول طبيعة الفكر الرياضي، ملاحظًا أن الفراكتلات كانت معروفة لدى علماء الرياضيات لمدة قرن قبل الاعتراف بها كفن. ويختتم رايت بالقول إنه من المناسب إخضاع الكائنات الرياضية لأي منهج يُستخدم "للتصالح مع المنتجات الثقافية كالفن، والتوتر بين الموضوعية والذاتية، ومعانيها المجازية، وطبيعة أنظمة التمثيل". ويُعطي أمثلةً على ذلك صورة من مجموعة ماندلبروت ، وصورة مُولّدة بواسطة خوارزمية الأوتوماتا الخلوية ، وصورة مُصممة حاسوبيًا ، ويناقش، بالرجوع إلى اختبار تورينج ، ما إذا كانت المنتجات الخوارزمية تُعتبر فنًا. ^{[ 103 ]} ويتخذ كتاب ساشو كالاجدزيفسكي " الرياضيات والفن: مقدمة في الرياضيات البصرية" نهجًا مشابهًا، إذ يتناول موضوعات رياضية بصرية مناسبة مثل التبليطات والفراكتلات والهندسة الزائدية. ^{[ 104 ]}

أُبدعت بعض الأعمال الأولى في فن الحاسوب بواسطة "آلة الرسم 1" لديزموند بول هنري ، وهي آلة تناظرية تعتمد على حاسوب جهاز التصويب بالقنابل، وعُرضت عام 1962. ^{[ 105 ] [ 106 ]} كانت الآلة قادرة على إنشاء رسومات خطية معقدة، تجريدية، غير متناظرة، منحنية، ولكنها متكررة. ^{[ 105 ] [ 107 ]} وفي الآونة الأخيرة، ابتكر حامد نادري يغانه أشكالًا تُوحي بأشياء من العالم الحقيقي، مثل الأسماك والطيور، باستخدام صيغ تتغير تباعًا لرسم مجموعات من المنحنيات أو الخطوط المائلة. ^{[ 108 ] [ 109 ] [ 110 ]} أما فنانون مثل ميكائيل هفيدتفيلدت كريستنسن، فيُبدعون أعمالًا فنية توليدية أو خوارزمية من خلال كتابة نصوص برمجية لنظام برمجي مثل "ستركتشر سينث" : حيث يُوجه الفنان النظام فعليًا لتطبيق مجموعة مُحددة من العمليات الرياضية على مجموعة بيانات مُختارة. ^{[ 111 ] [ 112 ]}

• 
  منحوتة رياضية للفنانة باثشيبا غروسمان ، 2007
• 
  النحت الكسري : 3D Fraktal 03/H/dd بواسطة هارتموت سكيربيش ، 2003
• 
  كلمة فيبوناتشي : تفاصيل من عمل فني للفنان صموئيل مونيه، 2009
• 
  صورة فنية حاسوبية من إنتاج "آلة الرسم 1" لديزموند بول هنري ، عُرضت عام 1962
• 
  "طائر في حالة طيران" ، من تصميم حامد نادري يغانه ، 2016، تم بناؤه باستخدام مجموعة من المنحنيات الرياضية.

حظي كتاب "العلم والفرضية" لعالم الرياضيات والفيزياء النظرية هنري بوانكاريه بقراءة واسعة من قبل التكعيبيين ، بمن فيهم بابلو بيكاسو وجان ميتزينجر . ^{[ 114 ] [ 115 ]} وبمعرفته التامة بأعمال برنارد ريمان في الهندسة اللاإقليدية، كان بوانكاريه يدرك تمامًا أن الهندسة الإقليدية ليست سوى واحدة من بين العديد من التكوينات الهندسية الممكنة، وليست حقيقة موضوعية مطلقة. وقد ألهم احتمال وجود بُعد رابع الفنانين للتساؤل حول منظور عصر النهضة الكلاسيكي ، فأصبحت الهندسة اللاإقليدية بديلاً مقبولاً. ^{[ 116 ] [ 117 ] [ 118 ]} وقد ساهم مفهوم إمكانية التعبير عن الرسم رياضيًا، من خلال اللون والشكل، في ظهور التكعيبية، وهي الحركة الفنية التي أدت إلى الفن التجريدي . ^{[ 119 ]} كتب ميتزينجر في عام 1910: "[بيكاسو] يضع منظورًا حرًا متحركًا، استنتج منه عالم الرياضيات البارع موريس برينسيت هندسة كاملة". ^{[ 120 ]} وفي وقت لاحق، كتب ميتزينجر في مذكراته:

كان موريس برينسيت ينضم إلينا كثيرًا  ... لقد صاغ مفاهيم الرياضيات كفنان، واستحضر مفهوم الأوساط المتصلة متعددة الأبعاد كفنان جمالي. كان يحب أن يجذب اهتمام الفنانين بالآراء الجديدة حول الفضاء التي فتحها شليغل وآخرون. وقد نجح في ذلك. ^{[ 121 ]}

إنّ الدافع وراء ابتكار نماذج تعليمية أو بحثية للأشكال الرياضية يُنتج بطبيعته أشياءً ذات تناظرات وأشكال مُدهشة أو مُرضية. وقد ألهمت بعض هذه النماذج فنانين مثل الدادائيين مان راي ، ^{[ 122 ]} ومارسيل دوشامب، ^{[ 123 ]} وماكس إرنست ، ^{[ 124 ] [ 125 ]} وتبعه هيروشي سوغيموتو . ^{[ 126 ]}

صوّر مان راي بعض النماذج الرياضية في معهد هنري بوانكاريه في باريس، بما في ذلك "الجسم الرياضي ". ولاحظ أن هذا الجسم يُمثّل أسطح إينيبر ذات انحناء سالب ثابت ، مُشتقة من شبه الكرة . كان هذا الأساس الرياضي مهمًا بالنسبة له، إذ سمح له بنفي كون الجسم "مجردًا"، مُدّعيًا بدلًا من ذلك أنه حقيقي تمامًا كالمرحاض الذي حوّله دوشامب إلى عمل فني. اعترف مان راي بأن صيغة الجسم [سطح إينيبر] "لم تكن تعني لي شيئًا، لكن الأشكال نفسها كانت متنوعة وأصيلة كأي شكل في الطبيعة". استخدم صوره للنماذج الرياضية كشخصيات في سلسلته الفنية عن مسرحيات شكسبير ، مثل لوحته "أنطونيو وكليوباترا" عام 1934 . ^{[ 127 ]} يجادل الصحفي الفني جوناثان كيتس، في مقال له في مجلة فوربس لايف ، بأن مان راي صوّر "الأشكال الإهليلجية والنقاط المخروطية بنفس الإضاءة الحسية التي استخدمها في صوره لكيكي دي مونبارناس "، و"أعاد توظيف الحسابات الرياضية ببراعة للكشف عن طوبولوجيا الرغبة". ^{[ 128 ]} استلهم نحاتو القرن العشرين ، مثل هنري مور وباربرا هيبورث ونعوم غابو، من النماذج الرياضية. ^{[ 129 ]} كتب مور عن منحوتته " الأم والطفل المربوطان " عام 1938 : "لا شك أن مصدر إلهامي للتماثيل المربوطة بالخيوط كان متحف العلوم  ... لقد انبهرت بالنماذج الرياضية التي رأيتها هناك  ... لم يكن الأمر متعلقًا بالدراسة العلمية لهذه النماذج، بل بالقدرة على النظر من خلال الخيوط كما لو كنت أنظر من قفص طائر، ورؤية شكل داخل آخر، وهو ما أثار حماسي". ^{[ 130 ]}

أسس الفنانان ثيو فان دوسبرغ وبيت موندريان حركة دي ستايل ، التي أرادا من خلالها "إرساء مفردات بصرية تتألف من أشكال هندسية أساسية يفهمها الجميع وقابلة للتكيف مع أي مجال". ^{[ 131 ] [ 132 ]} تتكون العديد من أعمالهما الفنية بشكل واضح من مربعات ومثلثات مُسطّرة، وأحيانًا مع دوائر. عمل فنانو دي ستايل في الرسم والأثاث والتصميم الداخلي والهندسة المعمارية. ^{[ 131 ]} بعد تفكك دي ستايل، أسس فان دوسبرغ حركة الفن الطليعي الملموس ، واصفًا عمله " التكوين الحسابي" (1929-1930 )، وهو عبارة عن سلسلة من أربعة مربعات سوداء على قطر خلفية مربعة، بأنه "بنية يمكن التحكم بها، سطح محدد خالٍ من العناصر العشوائية أو النزوات الفردية"، ومع ذلك "لا يخلو من الروح، ولا يفتقر إلى العالمية، وليس فارغًا... إذ يحتوي على كل ما يتناسب مع الإيقاع الداخلي". تلاحظ الناقدة الفنية غلاديس فابر أن هناك تطورين يعملان في اللوحة، وهما المربعات السوداء المتزايدة والخلفيات المتناوبة. ^{[ 133 ]} 

وفرت رياضيات التبليط ، والمجسمات متعددة الأوجه، وتشكيل الفضاء، والإشارة الذاتية، للفنان التشكيلي إم سي إيشر (1898-1972) مادةً ثريةً لأعماله الفنية الخشبية. ^{[ 134 ] [ 135 ]} في لوحة "رسم قصر الحمراء" ، أظهر إيشر إمكانية ابتكار الفن باستخدام المضلعات أو الأشكال المنتظمة كالمثلثات والمربعات والسداسيات. استخدم إيشر المضلعات غير المنتظمة عند تبليط السطح، وكثيراً ما وظّف الانعكاسات، والانعكاسات الانزلاقية ، والإزاحات للحصول على أنماط إضافية. تتضمن العديد من أعماله تركيبات مستحيلة، مصنوعة باستخدام أشكال هندسية تُنشئ تناقضاً بين الإسقاط المنظوري والأبعاد الثلاثة، لكنها في الوقت نفسه مريحة للعين البشرية. يستند عمل إيشر " الصعود والنزول " إلى " الدرج المستحيل " الذي ابتكره العالم الطبي ليونيل بنروز وابنه عالم الرياضيات روجر بنروز . ^{[ 136 ] [ 137 ] [ 138 ]}

استلهم إيشر بعضًا من رسوماته العديدة التي تُصوّر التبليط من محادثاتٍ دارت بينه وبين عالم الرياضيات إتش إس إم كوكسيتر حول الهندسة الزائدية . ^{[ 139 ]} كان إيشر مهتمًا بشكلٍ خاص بخمسة أشكال متعددة السطوح، والتي تظهر مرارًا في أعماله. تبرز المجسمات الأفلاطونية - رباعيات الأوجه، والمكعبات، وثمانيات الأوجه، واثني عشرية الأوجه، وعشرينية الأوجه - بشكلٍ لافت في لوحتي "النظام والفوضى" و "المجسمات المنتظمة الأربعة" . ^{[ 140 ]} غالبًا ما تقع هذه الأشكال النجمية داخل شكلٍ آخر، مما يزيد من تشويه زاوية الرؤية وتكوين المجسمات، ويُضفي على العمل الفني منظورًا متعدد الأوجه. ^{[ 141 ]}

ألهمت التعقيدات البصرية للهياكل الرياضية، كالتبليط والمجسمات متعددة الأوجه، مجموعة متنوعة من الأعمال الفنية الرياضية. يصنع ستيوارت كوفين ألغازًا متعددة الأوجه من أخشاب نادرة وجميلة؛ ويعمل جورج دبليو هارت على نظرية المجسمات متعددة الأوجه وينحت أشياء مستوحاة منها؛ ويصنع ماغنوس وينينجر نماذج "جميلة بشكل خاص" لمجسمات نجمية معقدة . ^{[ 142 ]}

استُكشفت المنظورات المشوهة للتشويه البصري في الفن منذ القرن السادس عشر، عندما أدرج هانز هولباين الأصغر جمجمة مشوهة بشدة في لوحته "السفراء " عام 1533. وقد استخدم العديد من الفنانين منذ ذلك الحين، بمن فيهم إيشر، حيل التشويه البصري. ^{[ 143 ]}

ألهمت رياضيات الطوبولوجيا العديد من الفنانين في العصر الحديث. فقد ابتكر النحات جون روبنسون (1935-2007) أعمالًا مثل "العقدة الغوردية" و "أشرطة الصداقة" ، عارضًا نظرية العقد في البرونز المصقول. ^{[ 7 ]} وتستكشف أعمال أخرى لروبنسون طوبولوجيا الطارات . يستند عمل "التكوين" إلى حلقات بوروميان - وهي مجموعة من ثلاث دوائر، لا ترتبط اثنتان منها ببعضهما، ولكن لا يمكن تفكيك البنية بأكملها دون كسرها. ^{[ 144 ]} ويصنع النحات هيلامان فيرغسون أسطحًا معقدة وأشكالًا طوبولوجية أخرى . ^{[ 145 ]} أعماله عبارة عن تمثيلات بصرية لأشكال رياضية؛ يستند عمل "الطريق الثماني" إلى المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,7) ، وهي مجموعة منتهية من 168 عنصرًا. ^{[ 146 ] [ 147 ]} وبالمثل، تستند النحاتة باثشيبا غروسمان في أعمالها إلى البنى الرياضية. ^{[ 148 ] [ 149 ]} يدمج الفنان نيلسون سايرز المفاهيم والنظريات الرياضية في فنه بدءًا من الطوبولوجيا والمخططات وصولًا إلى نظرية الألوان الأربعة وعدم منطقية π . ^{[ 150 ]}

يستكشف مشروع بحثي في ​​الفنون الليبرالية الروابط بين الرياضيات والفن من خلال شريط موبيوس ، والأشكال المرنة ، وفن الأوريغامي، والتصوير البانورامي . ^{[ 151 ]}

صُنعت أشكال رياضية، بما في ذلك متعدد الشعب لورنز والمستوى الزائدي، باستخدام فنون الألياف ، ومنها الكروشيه. ^{[ د ] [ 153 ]} ألّفت النساجة الأمريكية آدا ديتز دراسةً عام 1949 بعنوان "التعبيرات الجبرية في المنسوجات اليدوية" ، عرّفت فيها أنماط النسيج بناءً على توسيع كثيرات الحدود متعددة المتغيرات . ^{[ 154 ]} أوضحت عالمة الرياضيات داينا تايمينا خصائص المستوى الزائدي من خلال الكروشيه عام 2001. ^{[ 155 ]} دفع هذا مارغريت وكريستين ويرثيم إلى حياكة شعاب مرجانية ، تتكون من العديد من الحيوانات البحرية، مثل الرخويات العارية، التي تستند أشكالها إلى المستويات الزائدية. ^{[ 156 ]} استخدم عالم الرياضيات جيه سي بي ميلر الأوتومات الخلوية من القاعدة 90 لتصميم منسوجات جدارية تصور الأشجار وأنماطًا مجردة من المثلثات. ^{[ 157 ]}[ ^{158 ]} استخدم بات آشفورث وستيف بلامر، وهما من رواد الحياكة الرياضية ^، نماذج محبوكة لأشكال رياضية مثل الأشكال السداسية المرنة في تدريسهما، إلا أن إسفنجة مينجر التي صنعاها كانت صعبة الحياكة، فصنعاها من قماش بلاستيكي. ^{[ 159 ] [ 160 ]} وقد أدخل مشروعهما "بطانيات الرياضيات" (بطانيات للمدارس) الحياكة في مناهج الرياضيات والتكنولوجيا البريطانية. ^{[ 161 ] [ 162 ]}

• 
  الفضاء رباعي الأبعاد للتكعيبية : Esprit Jouffret 's 1903 Traité élémentaire de géométrie à quatre Dimensions . ^{[ 163 ] [ ه ]}
• 
  دي ستيل : التركيب الهندسي لثيو فان دوسبرغ الأول (الحياة الساكنة) ، 1916
• 
  من التربية إلى الفن: ماغنوس وينينجر مع بعض مجسماته النجمية متعددة الأوجه ، 2009
• 
  وشاح من شريط موبيوس مصنوع بالكروشيه ، 2007
• 
  التشويه البصري : السفراء لهانز هولباين الأصغر ، 1533، مع جمجمة مشوهة بشدة في المقدمة
• 
  الشعاب المرجانية المُحاكة : العديد من الحيوانات مُصممة على شكل مستويات زائدية ذات معايير متغيرة، من تصميم مارغريت وكريستين ويرثيم . شعاب فور المرجانية ، توبنغن، 2013

إنّ النمذجة ليست الطريقة الوحيدة الممكنة لتوضيح المفاهيم الرياضية. فلوحة "ستيفانيسكي الثلاثية" لجوتو ، التي رُسمت عام ١٣٢٠، تُجسّد التكرار في شكل "ميز أون أبيم" ؛ إذ تحتوي اللوحة المركزية، في أسفل اليسار، على صورة الكاردينال ستيفانيسكي راكعًا، رافعًا اللوحة الثلاثية كقربان. ^{[ ١٦٥ ]} أما لوحات جورجيو دي شيريكو الميتافيزيقية، مثل لوحته " الداخل الميتافيزيقي العظيم" التي رُسمت عام ١٩١٧ ، فتستكشف مسألة مستويات التمثيل في الفن من خلال تصوير لوحات داخل لوحاته. ^{[ ١٦٦ ]}

• 
  يوضح الوجه الأمامي للوحة ستيفانيسكي الثلاثية لجوتو ، 1320، مفهوم التكرار .
• 
  تفاصيل الكاردينال ستيفانيسكي وهو يحمل اللوحة الثلاثية

يمكن للفن أن يجسد المفارقات المنطقية، كما في بعض لوحات الفنان السريالي رينيه ماغريت ، والتي يمكن قراءتها على أنها تلميحات رمزية حول التداخل بين المستويات. ففي لوحة "الحالة الإنسانية" (1933)، يصوّر ماغريت حاملًا للرسم (على قماش حقيقي)، يدعم بسلاسة منظرًا من خلال نافذة مؤطرة بستائر "حقيقية" في اللوحة. ^{[ 167 ]} وقد سبق لفنانين مثل رامبرانت أن استكشفوا مسألة التأطير، في لوحات متعددة مثل لوحته " العائلة المقدسة مع ستارة " (1646 ). يصور هذا العمل المشهد وإطاره (الخشب والستارة معًا)، مما يُحدث تداخلًا بين الواقع وتصويره. ^{[ 168 ]} وقد شبّه ألبرتي ، في مناقشته للمنظور، اللوحات بنوافذ مفتوحة على المشاهد المصورة. ^{[ 169 ] [ 168 ]} في لوحة "الوضع الإنساني" ، يُصعّد ماغريت، على حد تعبير مؤرخ الفن أندراس ريني، "القوة التخريبية للاختلاف الأيقوني الذي كان جليًا بالفعل في أعمال رامبرانت، ويُحوله إلى مفارقة واضحة". ^{[ 168 ]} ويرى ريني أن النكتة البصرية الناتجة هي الغاية الأساسية من اللوحة، إذ تُقوّض فن الرسم. ويُعلق قائلاً إن " الوضع الإنساني " أقرب إلى فلسفة ما وراء الرسم منها إلى عمل فني. ^{[ 168 ]}

يصور رامبرانت في لوحته " العائلة المقدسة مع الستارة" ، التي رسمها عام 1646، المشهد وإطاره (الخشب والستارة)، مما يُحدث لبساً بين الواقع وتصويره. ^{[ 168 ]}

نكتة سيميائية : لوحة رينيه ماغريت عام 1933 بعنوان "الحالة الإنسانية" تعزز الخلط بين مستويات المشهد والإطار إلى مفارقة بصرية. ^{[ 167 ]}

يُقدّم معرض إيشر للطباعة (1956) مقاربةً أخرى للمفارقة الرياضية؛ فهو عبارة عن مطبوعة تُصوّر مدينةً مشوّهةً تحتوي على معرضٍ يحتوي بدوره على الصورة نفسها بشكلٍ متكرر، وهكذا إلى ما لا نهاية . ^{[ 167 ]} استخدم ماغريت الكرات والمكعبات لتشويه الواقع بطريقةٍ مختلفة، فرسمها إلى جانب مجموعةٍ من المنازل في لوحته " الحساب الذهني " عام 1931 كما لو كانت مكعبات بناءٍ للأطفال، ولكن بحجم المنازل. ^{[ 170 ]} لاحظت صحيفة الغارديان أن "صورة مدينة الألعاب الغريبة" تنبئ باستيلاء الحداثة على "الأشكال التقليدية المريحة"، ولكنها تتلاعب أيضًا بالميل البشري للبحث عن أنماطٍ في الطبيعة . ^{[ 171 ]}

كانت لوحة سلفادور دالي الأخيرة، ذيل السنونو (1983)، جزءًا من سلسلة مستوحاة من نظرية الكوارث لرينيه توم . [ ^{173 ] ركز} الرسام والنحات الإسباني بابلو بالازويلو (1916-2007) على دراسة الشكل. وطوّر أسلوبًا وصفه بأنه هندسة الحياة وهندسة الطبيعة جمعاء. تكوّنت أعماله، مثل "الزاوية 1" و "الخريف" ، من أشكال هندسية بسيطة ذات أنماط وألوان دقيقة، حيث عبّر بالازويلو عن نفسه من خلال التحولات الهندسية. ^{[ 7 ]}

يمارس الفنان أدريان غراي فن موازنة الأحجار ، مستغلاً الاحتكاك ومركز الثقل لإنشاء تركيبات مذهلة تبدو مستحيلة. ^{[ 174 ]}

مع ذلك، لا يأخذ الفنانون الهندسة بالضرورة بمعناها الحرفي. فكما كتب دوغلاس هوفستاتر في كتابه " غودل، إيشر، باخ" (1980) ، وهو تأمل في الفكر الإنساني، من خلال (من بين أمور أخرى) رياضيات الفن: "يكمن الفرق بين رسم إيشر والهندسة غير الإقليدية في أنه في الأخيرة، يمكن إيجاد تفسيرات مفهومة للمصطلحات غير المحددة، مما ينتج عنه نظام كلي مفهوم، بينما في الأولى، لا تتوافق النتيجة النهائية مع تصور المرء للعالم، مهما طال تأمله في الصور". يناقش هوفستاتر لوحة الطباعة الحجرية "معرض المطبوعات " للفنان إم سي إيشر، والتي تبدو متناقضة ؛ إذ تصور مدينة ساحلية تحتوي على معرض فني يبدو أنه يحتوي على لوحة للمدينة الساحلية، مع وجود "حلقة غريبة، أو تسلسل هرمي متشابك" لمستويات الواقع في الصورة. ويلاحظ هوفستاتر أن الفنان نفسه غير مرئي. إن واقعيته وعلاقته بالطباعة الحجرية ليسا متناقضين. ^{[ 172 ]} وقد استقطب الفراغ المركزي للصورة اهتمام عالمي الرياضيات بارت دي سميت وهندريك لينسترا ، اللذين يقترحان أنه قد يحتوي على نسخة من نفسها بفعل تأثير دروستي ، بعد تدويرها وتصغيرها؛ وهذا من شأنه أن يكون مثالاً إضافياً على التكرار يتجاوز ما أشار إليه هوفستاتر. ^{[ 175 ] [ 176 ]}

يمكن للتحليل الخوارزمي لصور الأعمال الفنية، باستخدام تقنيات مثل مطيافية التألق بالأشعة السينية ، أن يكشف معلومات قيّمة عن الفن. إذ تُتيح هذه التقنيات الكشف عن الصور الكامنة في طبقات الطلاء التي غطاها الفنان لاحقًا؛ كما تُساعد مؤرخي الفن على تصور العمل الفني قبل أن يتشقق أو يتلاشى؛ وتُساعد في التمييز بين النسخة الأصلية والنسخة المقلدة، أو في تمييز أسلوب ضربات فرشاة الفنان الماهر عن أسلوب ضربات فرشاة تلاميذه. ^{[ 177 ] [ 178 ]}

رسم الفنان الدادائي ماكس إرنست، أحد رواد الحركة الدادائية في القرن العشرين، أشكال ليساجو مباشرةً عن طريق تأرجح دلو مثقوب من الطلاء فوق لوحة قماشية. وقد التقط صورة لنفسه أثناء رسم هذه الأشكال الرياضية في نيويورك عام ١٩٤٢. علّق إرنست وعاء الطلاء بخيط متصل بخيط آخر، كان بدوره متصلاً بنقطتين بقضيب. ترك الوعاء يتأرجح بحرية فوق ورقة مربعة لرسم العمل الفني، بينما كان يجلس بالقرب منه، مرتدياً بدلة وربطة عنق، يراقب العملية. ^{[ ١٧٩ ] [ و ]} كان إرنست أول من أدخل استخدام هذا الشكل شبه الآلي ^{[ ١٨٠ ]} من الرسم بالتنقيط (المعروف أيضاً باسم "التذبذب" ^{[ ١٨٠ ]} )، والذي ساهم في نشره. ^{[ 181 ]} طبّق إرنست هذه التقنية على العديد من لوحاته خلال مسيرته الفنية، بما في ذلك أعماله عام 1942: "الكوكب الحائر" ، و"السريالية والرسم" ، و" شاب مفتون برحلة ذبابة غير إقليدية" ، وعمله عام 1970 : " المنطقة الخضراء" . ^{[ 182 ] [ 183 ]} ​​ظهرت أشكال ليساجو لاحقًا بشكل متكرر في فنون الحاسوب المبكرة . ^{[ 182 ]} من المرجح أن استخدام إرنست لهذه التقنية الرياضية قد أثّر على أسلوب جاكسون بولوك في الرسم بالتنقيط. ^{[ 184 ]} تتميز لوحات بولوك ببعد كسري واضح ^{[ 185 ]} من الفوضى المنظمة . ^{[ 186 ]}

قام عالم الحاسوب نيل دودجسون بدراسة إمكانية توصيف لوحات بريدجيت رايلي المخططة رياضياً، وخلص إلى أنه في حين أن مسافة الفصل يمكن أن "توفر بعض التوصيف" وأن الانتروبيا العالمية نجحت في بعض اللوحات، إلا أن الارتباط الذاتي فشل لأن أنماط رايلي كانت غير منتظمة. وكانت الانتروبيا المحلية هي الأفضل، وتوافقت بشكل جيد مع الوصف الذي قدمه الناقد الفني روبرت كوديلكا. ^{[ 187 ]}

يقترح عالم الرياضيات الأمريكي جورج بيركوف ، في كتابه "المقياس الجمالي" الصادر عام 1933 ، مقياسًا كميًا للجودة الجمالية للعمل الفني. لا يسعى هذا المقياس إلى قياس دلالات العمل، مثل المعنى الذي قد تحمله اللوحة، بل يقتصر على "عناصر النظام" في الشكل المضلع. يجمع بيركوف أولًا (كمجموع) خمسة عناصر من هذا القبيل: وجود محور تناظر رأسي، ووجود توازن بصري، وعدد التناظرات الدورانية، ومدى تشابه الشكل مع ورق الجدران، ووجود سمات غير مرضية، مثل تقارب رأسين بشكل مفرط. يأخذ هذا المقياس، O ، قيمة تتراوح بين -3 و7. أما المقياس الثاني، C ، فيحسب عناصر الشكل، وهو بالنسبة للمضلع عدد الخطوط المستقيمة المختلفة التي تحتوي على ضلع واحد على الأقل منه. ثم يُعرّف بيركوف مقياسه الجمالي لجمال الشيء بأنه O/C . يمكن تفسير ذلك على أنه توازن بين المتعة التي يمنحها النظر إلى الشيء، ومقدار الجهد المطلوب لاستيعابه. وقد تعرض اقتراح بيركوف لانتقادات من جوانب مختلفة، ليس أقلها محاولته وضع الجمال في صيغة، لكنه لم يدّعِ قط أنه فعل ذلك. ^{[ 188 ]}

لقد حفز الفن في بعض الأحيان تطور الرياضيات، كما هو الحال عندما بدأت نظرية برونليسكي عن المنظور في العمارة والرسم دورة من البحث أدت إلى عمل بروك تايلور ويوهان هاينريش لامبرت على الأسس الرياضية لرسم المنظور، ^{[ 189 ]} وفي النهاية إلى رياضيات الهندسة الإسقاطية لجيرار ديزارج وجان فيكتور بونسيليه . ^{[ 190 ]}

أعادت توموكو فوسيه صياغة فن طي الورق الياباني ( الأوريغامي) رياضياً باستخدام الوحدات ، وهي قطع ورق متطابقة كالمربعات، وتحويلها إلى مجسمات متعددة الأوجه أو تبليطات. ^{[ 191 ]} استُخدم طي الورق عام 1893 من قِبل ت. سوندارا راو في كتابه "تمارين هندسية في طي الورق" لإثبات البراهين الهندسية. ^{[ 192 ]} تم استكشاف رياضيات طي الورق في نظرية مايكاوا ، [ ^{193 ] ونظرية} كاواساكي ، ^{[ 194 ]} وبديهيات هوزيتا-هاتوري . ^{[ 195 ]}

• 
  حافز للهندسة الإسقاطية : رسم ألبرتي الذي يوضح دائرة تُرى من منظور قطع ناقص . ديلا بيتورا ، 1435-1436
• 
  فن طي الورق الرياضي : " الانطلاق نحو العمل" ، من تصميم جيف بينون، مصنوع من مستطيل ورقي واحد. ^{[ 196 ]}

تُظهر الخدع البصرية ، مثل حلزون فريزر، بوضوح محدودية الإدراك البصري البشري، مُحدثةً ما وصفه مؤرخ الفن إرنست غومبريتش بـ"خدعة مُحيرة". فالحبال السوداء والبيضاء التي تبدو وكأنها تُشكل حلزونات هي في الواقع دوائر متحدة المركز . وقد استغل فن الأوب آرت، أو الفن البصري، ^في منتصف القرن العشرين، ^{هذه التأثيرات في الرسم والتصميم الجرافيكي لخلق انطباع بالحركة وأنماط الوميض أو الاهتزاز، كما هو الحال} في أعمال فنانين مثل بريدجيت رايلي ، ^{وسبيروس هوريميس} ، وفيكتور فاساريلي .

ينظر فرع من الفن، منذ اليونان القديمة، إلى الله باعتباره مهندس العالم، وبالتالي يعتبر هندسة العالم مقدسة. إن الاعتقاد بأن الله خلق الكون وفقًا لخطة هندسية له جذور قديمة. نسب بلوتارخ هذا الاعتقاد إلى أفلاطون ، فكتب: "قال أفلاطون إن الله يُهندس باستمرار" ( مناظرات كونفيفياليوم ، الكتاب 8، 2). وقد أثرت هذه الصورة على الفكر الغربي منذ ذلك الحين. استمد المفهوم الأفلاطوني بدوره من فكرة فيثاغورس عن التناغم في الموسيقى، حيث كانت النوتات الموسيقية متباعدة بنسب مثالية، تتوافق مع أطوال أوتار القيثارة؛ بل إن الفيثاغوريين اعتقدوا أن كل شيء مُرتب حسب العدد. وبالمثل، في الفكر الأفلاطوني، تُملي المجسمات المنتظمة أو الأفلاطونية النسب الموجودة في الطبيعة والفن. ^{[ 199 ] [ 200 ]} يُظهر رسمٌ مُزخرفٌ في مخطوطة فيندوبونينسيس التي تعود إلى القرن الثالث عشر اللهَ وهو يرسم الكونَ بفرجار، وهو ما قد يُشير إلى آيةٍ في العهد القديم: "حين أسس السماوات كنتُ هناك، وحين وضع بوصلةً على وجه الغمر" (أمثال 8: 27). ^{[ 201 ]} في عام 1596، وضع عالم الفلك الرياضي يوهانس كيبلر نموذجًا للكون على شكل مجموعة من الأجسام الأفلاطونية المتداخلة، مُحددًا الأحجام النسبية لمدارات الكواكب. ^{[ 201 ]} يستخدم ويليام بليك رمزية الفرجار في لوحته " قديم الأيام" (التي تُصوّر أوريزن ، تجسيد بليك للعقل والقانون) ولوحته للفيزيائي إسحاق نيوتن ، عاريًا، مُنحنيًا ويرسم بفرجار، لانتقاد العقلانية التقليدية والمادية باعتبارها ضيقة الأفق. ^{[ 202 ] [ 203 ]} يصوّر سلفادور دالي في لوحته "الصلب" (كوربوس هايبركيوبوس) عام 1954 الصليب على شكل مكعب فائق ، ممثلاً المنظور الإلهي بأربعة أبعاد بدلاً من الأبعاد الثلاثة المعتادة. ^{[ 84 ]} وفي لوحة دالي "سر العشاء الأخير " (1955)، يظهر المسيح وتلاميذه داخل مجسم ضخم ذي اثني عشر وجهاً . ^{[ 204 ]}

• 
  الله على الجيولوجيا. كوديكس فيندوبوننسيس ، ج. 1220
• 
  الخلق، مع حامله المسيح الضابط الكل . إنجيل القديس لويس ، حوالي 1220-1240
• 
  نموذج يوهانس كيبلر الأفلاطوني الصلب للمسافات بين الكواكب في النظام الشمسي من كتابه "Mysterium Cosmographicum" ، 1596
• 
  قصيدة ويليام بليك " القديم الأيام" ، 1794
• 
  نيوتن لويليام بليك ، حوالي عام 1800