التوزيع الاحتمالي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يصف التوزيع الاحتمالي كيفية تخصيص الاحتمالات للنتائج المحتملة لظاهرة عشوائية، أو تحديدًا للأحداث ، وهي مجموعات من النتائج المحتملة لتجربة احتمالية . وبعبارة أخرى، يخبرنا التوزيع الاحتمالي بمدى احتمالية النتائج المختلفة. أما من الناحية الرسمية، فهو مقياس احتمالي : دالة تُخصص الاحتمالات للأحداث بطريقة تُحقق بديهيات الاحتمال .

ترتبط التوزيعات الاحتمالية ارتباطًا وثيقًا بالمتغيرات العشوائية . المتغير العشوائي هو دالة تُسند قيمةً لكل نتيجة من نتائج تجربة احتمالية؛ فهو يُنشئ توزيعًا احتماليًا على مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها. على سبيل المثال، يمكن تمثيل نتيجة رمي عملة معدنية بمتغير عشوائي X يساوي 1 للصورة و 0 للكتابة. إذا كانت العملة متوازنة، فإن هذا التوزيع يُسند احتمال 1/2 لـ X = 1 واحتمال 1/2 لـ X = 0. وبالنظر إلى X كمقياس احتمالي، فإن توزيع X يُسند ℙ( X ∈ A ) لكل مجموعة A ⊆ {0,1 }؛ بالنسبة لعملة متوازنة، ℙ( X ∈ {1}) = ℙ( X ∈ {0}) = 1/2 ، ℙ( X ∈ {0,1}) = 1 ، وℙ( X ∈ ∅) = 0 .

عملياً، غالباً ما تُوصف التوزيعات الاحتمالية بدوال مثل دوال التوزيع التراكمي ، ودوال الكتلة الاحتمالية ، ودوال الكثافة الاحتمالية . ويعتمد اختيار الوصف على طبيعة التوزيع: تُستخدم دوال الكتلة الاحتمالية للتوزيعات المنفصلة ، ​​بينما تُستخدم دوال الكثافة الاحتمالية للعديد من التوزيعات المستمرة .

غالباً ما تُعطى التوزيعات الاحتمالية التي تحدث بشكل متكرر أو لها أهمية نظرية خاصة أسماء محددة؛ ويتم جمع الأمثلة في قائمة التوزيعات الاحتمالية .

التوزيع الاحتمالي هو وصف رياضي لاحتمالات الأحداث ، أي مجموعات جزئية من فضاء العينة . غالبًا ما يُرمز إلى فضاء العينة بالرمز σ.${\displaystyle \\Omega \\}$هي مجموعة جميع النتائج الممكنة لظاهرة عشوائية قيد الملاحظة. قد تكون فضاء العينة أي مجموعة من الأرقام أو المتجهات أو التصنيفات أو أي شيء آخر. على سبيل المثال، يمكن أن يكون فضاء العينة لرمي عملة معدنية Ω = { "صورة"، "كتابة" } ، بينما بالنسبة لرمي نرد ، يمكن أن يكون Ω = { 1، 2، 3، 4، 5، 6 } .

لتحديد التوزيعات الاحتمالية لحالة المتغيرات العشوائية (بحيث يمكن ربط فضاء العينة بفضاء قابل للقياس ، مثل الأعداد الحقيقية )، من الشائع التمييز بين المتغيرات العشوائية المتقطعة والمتصلة . في الحالة المتقطعة، يكفي تحديد دالة كتلة احتمالية .${\displaystyle p}$تحديد احتمال لكل نتيجة ممكنة (على سبيل المثال، عند رمي نرد متوازن، يكون لكل رقم من الأرقام الستة من "1" إلى "6" ، والذي يتوافق مع عدد النقاط على النرد، احتمال معين).${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$(أي عندما يكون في الأعلى عند هبوطه). يُعرَّف احتمال وقوع حدث ما بأنه مجموع احتمالات جميع النتائج التي تحقق هذا الحدث؛ على سبيل المثال، احتمال وقوع حدث "رمي النرد والحصول على قيمة زوجية" هو 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2. في المقابل، عندما يأخذ متغير عشوائي قيمًا من سلسلة متصلة، فإنه ما لم تحتوي دالة كثافة الاحتمال على قمم كثيفة لا نهائية ، فإن احتمال أي نتيجة فردية يكون صفرًا. بالنسبة لهذه المتغيرات العشوائية المتصلة، فإن الأحداث التي تتضمن عددًا لا نهائيًا من النتائج، مثل الفترات ، فقط هي التي يكون احتمالها أكبر من صفر.

على سبيل المثال، لنفترض أننا نقيس وزن قطعة لحم خنزير في السوبر ماركت، وأن الميزان قادر على توفير دقة قياس عالية جدًا. في هذه الحالة، يكون احتمال أن يكون وزنها 500 غرام بالضبط صفرًا، لأنه مهما بلغت دقة القياس، لا يمكن افتراض عدم وجود أرقام غير صفرية بعد الأرقام التي يُخرجها الميزان. مع ذلك، في نفس الحالة، من الممكن تلبية متطلبات مراقبة الجودة ، كأن يكون وزن عبوة لحم الخنزير التي تزن 500 غرام بين 490 و510 غرامات. هذا ممكن لأن هذا القياس لا يتطلب دقة مطلقة من الجهاز المستخدم، كما أنه يوفر هامشًا للتفاوت في الأجسام والعمليات الفيزيائية.    

يمكن وصف التوزيعات الاحتمالية المستمرة باستخدام دالة التوزيع التراكمي ، التي تصف احتمال ألا تتجاوز قيمة المتغير العشوائي قيمة معينة (أي P ( X ≤ x )) لبعض قيم x . دالة التوزيع التراكمي هي المساحة تحت منحنى دالة كثافة الاحتمال من -∞ إلى x ، كما هو موضح في الشكل 1. ^{[ 1 ]}

معظم التوزيعات الاحتمالية المستمرة التي نصادفها في الممارسة العملية ليست مستمرة فحسب، بل هي أيضًا مستمرة بشكل مطلق . ويمكن وصف هذه التوزيعات بدالة كثافة الاحتمال الخاصة بها . بعبارة أخرى، كثافة الاحتمال${\displaystyle f}$لمتغير عشوائي${\displaystyle X}$يصف القيمة النسبية للاحتمالية المتناهية الصغر التي${\displaystyle X}$يأخذ أي قيمة${\displaystyle x}$- إنه${\displaystyle P(x\leq X<x+\Delta x)\approx f(x)\,\Delta x}$مثل${\displaystyle \Delta x>0}$يصبح صغيراً بشكل تعسفي. احتمال أن${\displaystyle X}$يمكن حساب القيم التي تقع ضمن فترة معينة بدقة عن طريق تكامل دالة كثافة الاحتمال على تلك الفترة. ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ليكن فضاء احتمالي ،${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$أن تكون مساحة قابلة للقياس ، و${\displaystyle X:\Omega \to E}$كن${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$متغير عشوائي ذو قيم n. ثم التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle X}$هو مقياس الدفع الأمامي لمقياس الاحتمالية${\displaystyle P}$على${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ناتج عن${\displaystyle X}$وبشكل صريح، فإن هذا الإجراء التحفيزي على${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle X_{*}(P)(B)=P\left(X^{-1}(B)\right)}$$ل${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}.}$

أي توزيع احتمالي هو مقياس احتمالي على${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$(يختلف بشكل عام عن)${\displaystyle P}$، إلا إذا${\displaystyle X}$ happens to be the identity map).^[3]

A probability distribution can be described in various forms, such as by a probability mass function or a cumulative distribution function. One of the most general descriptions, which applies for absolutely continuous and discrete variables, is by means of a probability function ${\displaystyle P\colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$ whose input space ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is a σ-algebra, and gives a real number probability as its output, particularly, a number in ${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$.

The probability function ${\displaystyle P}$ can take as argument subsets of the sample space itself, as in the coin toss example, where the function ${\displaystyle P}$ was defined so that P(heads) = 0.5 and P(tails) = 0.5. However, because of the widespread use of random variables, which transform the sample space into a set of numbers (e.g., ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {N} }$), it is more common to study probability distributions whose argument are subsets of these particular kinds of sets (number sets),^[4] and all probability distributions discussed in this article are of this type. It is common to denote as ${\displaystyle P(X\in E)}$ the probability that a certain value of the variable ${\displaystyle X}$ belongs to a certain event ${\displaystyle E}$.^[5][6]

The above probability function only characterizes a probability distribution if it satisfies all the Kolmogorov axioms, that is:

1. ${\displaystyle P(X\in E)\geq 0\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$, so the probability is non-negative
2. ${\displaystyle P(X\in E)\leq 1\;\forall E\in {\mathcal {A}}}$, so no probability exceeds ${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle P(X\in \bigcup _{i}E_{i})=\sum _{i}P(X\in E_{i})}$ for any countable disjoint family of sets ${\displaystyle \{E_{i}\}}$

The concept of probability function is made more rigorous by defining it as the element of a probability space${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$, where ${\displaystyle X}$ is the set of possible outcomes, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is the set of all subsets ${\displaystyle E\subset X}$ whose probability can be measured, and ${\displaystyle P}$ is the probability function, or probability measure, that assigns a probability to each of these measurable subsets ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$.^[7]

Probability distributions usually belong to one of two classes.

A discrete probability distribution is applicable to the scenarios where the set of possible outcomes is discrete (e.g. a coin toss, a roll of a die) and the probabilities are encoded by a discrete list of the probabilities of the outcomes; in this case probabilities are described by a probability mass function, and the probability distribution is given by a sum of the probability mass function.

ينطبق التوزيع الاحتمالي المتصل تمامًا على الحالات التي يمكن أن تأخذ فيها مجموعة النتائج المحتملة قيمًا ضمن نطاق متصل (مثل الأعداد الحقيقية)، كدرجة الحرارة في يوم معين. في حالة الاتصال المطلق، تُوصف الاحتمالات بدالة كثافة احتمالية ، ويكون التوزيع الاحتمالي، بحكم تعريفه، تكاملًا لدالة الكثافة الاحتمالية. ^{[ 5 ] [ 2 ] [ 6 ]} يُعد التوزيع الطبيعي توزيعًا احتماليًا متصلًا تمامًا شائع الاستخدام. قد تتطلب التجارب الأكثر تعقيدًا، كتلك التي تتضمن عمليات عشوائية مُعرَّفة في زمن متصل ، استخدام مقاييس احتمالية أكثر عمومية .

يُطلق على التوزيع الاحتمالي الذي تكون فضاء عينته أحادي البعد (مثل الأعداد الحقيقية، أو قائمة التصنيفات، أو التصنيفات المرتبة، أو البيانات الثنائية) اسم التوزيع أحادي المتغير ، بينما يُطلق على التوزيع الذي تكون فضاء عينته فضاءً متجهيًا ذا بُعدين أو أكثر اسم التوزيع متعدد المتغيرات . يُعطي التوزيع أحادي المتغير احتمالات أن يأخذ متغير عشوائي واحد قيمًا مختلفة؛ بينما يُعطي التوزيع متعدد المتغيرات ( التوزيع الاحتمالي المشترك ) احتمالات أن يأخذ متجه عشوائي - قائمة من متغيرين عشوائيين أو أكثر - تركيبات مختلفة من القيم. من التوزيعات الاحتمالية أحادية المتغير المهمة والشائعة: التوزيع ذو الحدين ، والتوزيع الهندسي الفائق ، والتوزيع الطبيعي . ومن التوزيعات متعددة المتغيرات الشائعة: التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات .

إلى جانب دالة الاحتمال، ودالة التوزيع التراكمي، ودالة كتلة الاحتمال، ودالة كثافة الاحتمال، فإن دالة توليد العزوم والدالة المميزة تُستخدمان أيضاً لتحديد توزيع الاحتمال، حيث إنهما تحددان بشكل فريد دالة التوزيع التراكمي الأساسية. ^{[ 8 ]}

فيما يلي بعض المفاهيم والمصطلحات الرئيسية، المستخدمة على نطاق واسع في الأدبيات المتعلقة بموضوع التوزيعات الاحتمالية. ^{[ 9 ]}

In the special case of a real-valued random variable, the probability distribution can equivalently be represented by a cumulative distribution function instead of a probability measure. The cumulative distribution function of a random variable ${\displaystyle X}$ with regard to a probability distribution ${\displaystyle p}$ is defined as $${\displaystyle F(x)=P(X\leq x).}$$

The cumulative distribution function of any real-valued random variable has the properties:

• ${\displaystyle F(x)}$ is non-decreasing;
• ${\displaystyle F(x)}$ is right-continuous;
• ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$ and ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}$; and
• ${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$.

Conversely, any function ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ that satisfies the first four of the properties above is the cumulative distribution function of some probability distribution on the real numbers.^[12]

Any probability distribution can be decomposed as the mixture of a discrete, an absolutely continuous and a singular continuous distribution,^[13] and thus any cumulative distribution function admits a decomposition as the convex sum of the three according cumulative distribution functions.

التوزيع الاحتمالي المنفصل هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي لا يمكن أن يأخذ إلا عددًا محدودًا من القيم ^{[ 14 ]} ( بشكل شبه مؤكد ) ^{[ 15 ]} ، مما يعني أن احتمال وقوع أي حدث${\displaystyle E}$يمكن التعبير عنها كمجموع (محدود أو غير محدود قابل للعد ): $${\displaystyle P(X\in E)=\sum _{\omega \in A\cap E}P(X=\omega ),}$$ أين${\displaystyle A}$هي مجموعة قابلة للعد مع${\displaystyle P(X\in A)=1}$وبالتالي، فإن المتغيرات العشوائية المنفصلة (أي المتغيرات العشوائية التي يكون توزيع احتمالاتها منفصلاً) هي تحديداً تلك التي لها دالة كتلة احتمالية${\displaystyle p(x)=P(X=x)}$في حالة كون نطاق القيم لانهائيًا قابلًا للعد، يجب أن تتناقص هذه القيم إلى الصفر بسرعة كافية لكي يصبح مجموع الاحتمالات مساويًا لـ 1. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle p(n)={\tfrac {1}{2^{n}}}}$ل${\displaystyle n=1,2,...}$، سيكون مجموع الاحتمالات${\displaystyle 1/2+1/4+1/8+\dots =1}$.

تشمل التوزيعات الاحتمالية المنفصلة المعروفة والمستخدمة في النمذجة الإحصائية توزيع بواسون ، وتوزيع برنولي ، والتوزيع ذي الحدين ، والتوزيع الهندسي ، والتوزيع ذي الحدين السالب ، والتوزيع الفئوي . ^{[ 16 ]} عند سحب عينة (مجموعة من المشاهدات) من مجتمع إحصائي أكبر، فإن نقاط العينة لها توزيع تجريبي منفصل، يوفر معلومات حول توزيع المجتمع الإحصائي. بالإضافة إلى ذلك، يُستخدم التوزيع المنتظم المنفصل بشكل شائع في برامج الحاسوب التي تُجري اختيارات عشوائية متساوية الاحتمال بين عدد من الخيارات.

التوزيع الاحتمالي المتصل تمامًا هو توزيع احتمالي على الأعداد الحقيقية له عدد لا يُحصى من القيم الممكنة، مثل فترة كاملة على خط الأعداد الحقيقية، حيث يمكن التعبير عن احتمال أي حدث كعدد صحيح. ^{[ 19 ]} بتعبير أدق، متغير عشوائي حقيقي${\displaystyle X}$يكون لها توزيع احتمالي مستمر تمامًا إذا كانت هناك دالة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ]}$بحيث يكون لكل فترة${\displaystyle I=[a,b]\subset \mathbb {R} }$احتمالية${\displaystyle X}$ينتمي إلى${\displaystyle I}$يُعطى بواسطة تكامل${\displaystyle f}$زيادة${\displaystyle I}$[ ^{20 ] [ 21 ]​}$${\displaystyle P\left(a\leq X\leq b\right)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$ هذا هو تعريف دالة كثافة الاحتمال ، وبالتالي فإن التوزيعات الاحتمالية المستمرة تمامًا هي تلك التي لها دالة كثافة احتمال. على وجه الخصوص، احتمال${\displaystyle X}$أن يأخذ أي قيمة واحدة${\displaystyle a}$(إنه،${\displaystyle a\leq X\leq a}$) is zero, because an integral with coinciding upper and lower limits is always equal to zero. If the interval ${\displaystyle [a,b]}$ is replaced by any measurable set ${\displaystyle A}$, the according equality still holds: $${\displaystyle P(X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx.}$$

An absolutely continuous random variable is a random variable whose probability distribution is absolutely continuous.

There are many examples of absolutely continuous probability distributions: normal, uniform, chi-squared, and others.

In the measure-theoretic formalization of probability theory, a random variable is defined as a measurable function${\displaystyle X}$ from a probability space${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ to a measurable space${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$. Given that probabilities of events of the form ${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in A\}}$ satisfy Kolmogorov's probability axioms, the probability distribution of ${\displaystyle X}$ is the image measure${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} }$ of ${\displaystyle X}$ , which is a probability measure on ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$ satisfying ${\displaystyle X_{*}\mathbb {P} =\mathbb {P} X^{-1}}$.^[22][23][24]

التوزيعات المستمرة والمتقطعة تمامًا ذات الدعم على${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$أو${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$تُعدّ هذه النماذج مفيدة للغاية في نمذجة عدد لا يُحصى من الظواهر، ^{[ 5 ] [ 1 ]} نظرًا لأن معظم التوزيعات العملية مدعومة على مجموعات فرعية بسيطة نسبيًا، مثل المكعبات الفائقة أو الكرات . ومع ذلك، ليس هذا هو الحال دائمًا، وهناك ظواهر ذات نطاقات دعم عبارة عن منحنيات معقدة في الواقع.${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} ضمن فضاء ما${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أو ما شابه. في هذه الحالات، يكون توزيع الاحتمال مدعومًا بصورة هذا المنحنى، ومن المرجح أن يتم تحديده تجريبيًا، بدلاً من إيجاد صيغة مغلقة له. ^{[ 25 ]}

يُظهر الشكل على اليمين مثالًا على ذلك، حيث يعرض تطور نظام من المعادلات التفاضلية (المعروفة باسم معادلات رابينوفيتش-فابريكانت ) التي يمكن استخدامها لنمذجة سلوك موجات لانغمير في البلازما . ^{[ 26 ]} عند دراسة هذه الظاهرة، تكون الحالات المرصودة من المجموعة الفرعية كما هو موضح باللون الأحمر. لذا، يمكن التساؤل عن احتمال رصد حالة ما في موضع معين من المجموعة الفرعية الحمراء؛ إذا وُجد مثل هذا الاحتمال، يُسمى مقياس الاحتمال للنظام. ^{[ 27 ] [ 25 ]}

يظهر هذا النوع من الدعم المعقد بشكل متكرر في الأنظمة الديناميكية . ليس من السهل إثبات أن النظام يمتلك مقياس احتمالية، وتتمثل المشكلة الرئيسية فيما يلي: ليكن${\displaystyle t_{1}\ll t_{2}\ll t_{3}}$كن لحظات في الزمن و${\displaystyle O}$مجموعة فرعية من نطاق الدعم؛ إذا كان مقياس الاحتمالية موجودًا للنظام، فمن المتوقع أن يكون تردد ملاحظة الحالات داخل المجموعة${\displaystyle O}$ستكون متساوية في الفترة${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$و${\displaystyle [t_{2},t_{3}]}$وهذا قد لا يحدث؛ على سبيل المثال، قد يتذبذب بشكل مشابه للموجة الجيبية،${\displaystyle \sin(t)}$، الذي حده عندما${\displaystyle t\rightarrow \infty }$لا يتقارب. رسميًا، لا يوجد المقياس إلا إذا تقاربت نهاية التردد النسبي عند رصد النظام في المستقبل اللانهائي. ^{[ 28 ]} يُعرف فرع الأنظمة الديناميكية الذي يدرس وجود مقياس احتمالي بنظرية الإرجودية .

لاحظ أنه حتى في هذه الحالات، فإن توزيع الاحتمالات، إن وجد، قد يُطلق عليه "مستمر تمامًا" أو "منفصل" اعتمادًا على ما إذا كان الدعم غير قابل للعد أو قابل للعد، على التوالي.

تنص نظرية ليبيغ للتحليل على أنه يمكن تحليل أي توزيع احتمالي على خط الأعداد الحقيقية بشكل فريد إلى مزيج من ثلاثة أنواع أساسية: ${\displaystyle F=\alpha F_{\text{discrete}}+\beta F_{\text{ac}}+\gamma F_{\text{singular}}}$ حيث المعاملات${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \in [0,1]}$مجموعها يساوي 1. المكونات الثلاثة هي: ^{[ 29 ]}

• منفصل : يتركز الاحتمال على مجموعة قابلة للعد من القيم (النقاط). دالة التوزيع التراكمي (CDF) هي دالة متدرجة.
• متصل تمامًا : التوزيع له دالة كثافة احتمالية${\displaystyle f(x)}$بحيث${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$. مجموعة القيم ذات الكثافة الاحتمالية غير الصفرية لها مقياس ليبيغ أكبر من الصفر.
• دالة متصلة منفردة : دالة التوزيع التراكمي متصلة في كل مكان، لكن مشتقتها تساوي صفرًا تقريبًا في كل مكان (بالنسبة لمقياس ليبيغ). يتركز الاحتمال على مجموعة قياسها صفر (مثل مجموعة كانتور ). ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك توزيع كانتور .

معظم التوزيعات القياسية في التطبيقات الإحصائية إما منفصلة تمامًا (${\displaystyle \alpha =1}$) أو متصلة بشكل مطلق تمامًا (${\displaystyle \beta =1}$) . نادراً ما تظهر التوزيعات المفردة في الإحصاء التطبيقي ولكنها مهمة في نظرية العمليات العشوائية والكسور .

تعتمد معظم الخوارزميات على مولد أرقام شبه عشوائي ينتج أرقامًا${\displaystyle X}$والتي تتوزع بشكل منتظم في الفترة نصف المفتوحة [ 0، 1) . هذه المتغيرات العشوائية${\displaystyle X}$ثم تُحوَّل هذه القيم عبر خوارزمية ما لإنشاء متغير عشوائي جديد ذي توزيع احتمالي مطلوب. وباستخدام هذا المصدر للعشوائية الزائفة المنتظمة، يمكن توليد قيم لأي متغير عشوائي. ^{[ 30 ]}

على سبيل المثال، لنفترض أن U له توزيع منتظم بين 0 و1. لإنشاء متغير برنولي عشوائي لبعض 0 < p < 1 ، عرّف $${\displaystyle X={\begin{cases}1&{\text{if }}U<p\\0&{\text{if }}U\geq p.\end{cases}}}$$ وهكذا لدينا $${\displaystyle P(X=1)=P(U<p)=p,\quad P(X=0)=P(U\geq p)=1-p.}$$ لذلك، فإن المتغير العشوائي X له توزيع برنولي مع المعلمة p . ^{[ 30 ]}

يمكن تكييف هذه الطريقة لتوليد متغيرات عشوائية ذات قيم حقيقية بأي توزيع: لأي دالة توزيع تراكمي F ، ليكن F ^inv المعكوس الأيسر المعمم لـ${\displaystyle F,}$تُعرف أيضاً في هذا السياق باسم دالة الكمية أو دالة التوزيع العكسي : $${\displaystyle F^{\mathrm {inv} }(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.}$$ إذن، F ^inv ( p ) ≤ x إذا وفقط إذا كان p ≤ F ( x ) . ونتيجة لذلك، إذا كان المتغير العشوائي U موزعًا توزيعًا منتظمًا على الفترة [0, 1] ، فإن دالة التوزيع التراكمي لـ X = F ^inv ( U ) هي F.

على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد توليد متغير عشوائي له توزيع أسي بمعامل${\displaystyle \lambda }$— أي، باستخدام دالة التوزيع التراكمي${\displaystyle F:x\mapsto 1-e^{-\lambda x}.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=u&\Leftrightarrow 1-e^{-\lambda x}=u\\[2pt]&\Leftrightarrow e^{-\lambda x}=1-u\\[2pt]&\Leftrightarrow -\lambda x=\ln(1-u)\\[2pt]&\Leftrightarrow x={\frac {-1}{\lambda }}\ln(1-u)\end{aligned}}}$$ لذا${\displaystyle F^{\mathrm {inv} }(u)=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-u)}$وإذا كان للمتغير U توزيع منتظم على الفترة [0، 1)، فإن${\displaystyle X=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-U)}$له توزيع أسي بمعامل${\displaystyle \lambda .}$^{[ 30 ]}

على الرغم من أن هذه الطريقة فعّالة دائمًا من الناحية النظرية، إلا أن دالة التوزيع العكسي غير معروفة عمليًا و/أو لا يمكن حسابها بكفاءة. في هذه الحالة، تُستخدم طرق أخرى (مثل طريقة مونت كارلو ).

يشكّل مفهوم التوزيع الاحتمالي والمتغيرات العشوائية التي يصفها أساسًا لعلم الاحتمالات، وهو فرع من فروع الرياضيات وعلم الإحصاء. يوجد تباين أو تشتت في أي قيمة تقريبًا يمكن قياسها في مجتمع ما (مثل طول الأشخاص، ومتانة المعادن، ونمو المبيعات، وحركة المرور، وما إلى ذلك)؛ وتُجرى جميع القياسات تقريبًا مع هامش خطأ جوهري؛ وفي الفيزياء، تُوصف العديد من العمليات احتماليًا، بدءًا من الخصائص الحركية للغازات وصولًا إلى الوصف الكمي للجسيمات الأساسية . لهذه الأسباب وغيرها الكثير، غالبًا ما تكون الأرقام البسيطة غير كافية لوصف كمية ما، بينما تكون التوزيعات الاحتمالية أكثر ملاءمة في كثير من الأحيان.

فيما يلي قائمة ببعض التوزيعات الاحتمالية الأكثر شيوعًا، مصنفة حسب نوع العملية التي ترتبط بها. للاطلاع على قائمة أكثر شمولًا، راجع قائمة التوزيعات الاحتمالية ، المصنفة حسب طبيعة النتيجة قيد الدراسة (منفصلة، ​​متصلة تمامًا، متعددة المتغيرات، إلخ).

جميع التوزيعات أحادية المتغير الموضحة أدناه ذات قمة واحدة؛ أي يُفترض أن القيم تتجمع حول نقطة واحدة. عمليًا، قد تتجمع الكميات المرصودة فعليًا حول قيم متعددة. يمكن نمذجة هذه الكميات باستخدام توزيع خليط .

يُعدّ تقارب متواليات التوزيعات الاحتمالية مفهومًا أساسيًا في نظرية الاحتمالات .${\displaystyle (P_{n})}$يقال إنها تتقارب بشكل ضعيف (أو في التوزيع ) إلى توزيع احتمالي${\displaystyle P}$لو ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}(A)=P(A)}$ لكل مجموعة${\displaystyle A}$التي حدودها${\displaystyle P}$الاحتمالية 0.

وبصورة مكافئة، باستخدام دوال التوزيع التراكمي ، فإن المتتالية${\displaystyle F_{n}}$يتقارب إلى${\displaystyle F}$لو ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$ لكل${\displaystyle x}$عندها${\displaystyle F}$متصلة. ^{[ 35 ]}

يُعد هذا المفهوم أساسياً لنظرية النهاية المركزية ، التي تنص على أن التوزيع الاحتمالي للمجموع المعياري للمتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع يتقارب مع التوزيع الطبيعي المعياري ، بغض النظر عن التوزيع الأساسي للمتغيرات الفردية. ^{[ 36 ]}

• توزيع الاحتمال الشرطي
• التوزيع الاحتمالي التجريبي
• الرسم البياني
• التوزيع الاحتمالي المشترك
• مقياس الاحتمالية
• توزيع شبه الاحتمال
• تطبيق تكامل ريمان-ستيلتيس على نظرية الاحتمالات

• "توزيع الاحتمالات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• دليل ميداني لتوزيعات الاحتمالات المستمرة ، جافين إي. كروكس.
• التمييز بين مقياس الاحتمال، والدالة، والتوزيع ، موقع تبادل الأسئلة والأجوبة الرياضية