نظام ديناميكي

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( فبراير 2022 ) ( تعرف على كيفية ومتى تحذف هذه الرسالة )

في الرياضيات ، النظام الديناميكي هو نظام تصف فيه دالة اعتماد نقطة في الفضاء المحيط على الزمن ، كما هو الحال في المنحنى البارامتري . تشمل الأمثلة النماذج الرياضية التي تصف تأرجح بندول الساعة ، وتدفق الماء في الأنبوب ، والحركة العشوائية للجسيمات في الهواء ، وعدد الأسماك في كل ربيع في البحيرة . يوحد التعريف الأكثر عمومية العديد من المفاهيم في الرياضيات مثل المعادلات التفاضلية العادية ونظرية الإرجوديك من خلال السماح باختيارات مختلفة للمساحة وكيفية قياس الوقت. ^{[ بحاجة لمصدر ]} يمكن قياس الوقت بالأعداد الصحيحة، أو بالأعداد الحقيقية أو المركبة أو يمكن أن يكون كائنًا جبريًا أكثر عمومية، ويفقد ذاكرة أصله المادي، وقد يكون الفضاء متعدد الأشكال أو ببساطة مجموعة ، دون الحاجة إلى بنية زمنية-فضاء سلسة محددة عليه.

في أي وقت معين، يكون للنظام الديناميكي حالة تمثل نقطة في فضاء حالة مناسب . غالبًا ما تُعطى هذه الحالة بواسطة مجموعة من الأعداد الحقيقية أو بواسطة متجه في متعدد الأشكال الهندسية. قاعدة تطور النظام الديناميكي هي دالة تصف الحالات المستقبلية التي تتبع الحالة الحالية. غالبًا ما تكون الدالة حتمية ، أي أنه لفترة زمنية معينة تتبع حالة مستقبلية واحدة فقط من الحالة الحالية. ^{[1] [2]} ومع ذلك، فإن بعض الأنظمة عشوائية ، حيث تؤثر الأحداث العشوائية أيضًا على تطور متغيرات الحالة.

في الفيزياء ، يوصف النظام الديناميكي بأنه "جسيم أو مجموعة من الجسيمات التي تتغير حالتها بمرور الوقت وبالتالي تخضع لمعادلات تفاضلية تتضمن مشتقات زمنية". ^[3] من أجل التنبؤ بسلوك النظام المستقبلي، يتم تحقيق حل تحليلي لهذه المعادلات أو تكاملها بمرور الوقت من خلال محاكاة الكمبيوتر.

دراسة الأنظمة الديناميكية هي محور نظرية الأنظمة الديناميكية ، والتي لها تطبيقات في مجموعة واسعة من المجالات مثل الرياضيات والفيزياء ^{[4] [5]} وعلم الأحياء [ ^6] والكيمياء والهندسة [ ^7] والاقتصاد ^[8] والتاريخ والطب . الأنظمة الديناميكية هي جزء أساسي من نظرية الفوضى وديناميكيات الخريطة اللوجستية ونظرية التفرع وعمليات التجميع الذاتي والتنظيم الذاتي ومفهوم حافة الفوضى .

يعود أصل مفهوم النظام الديناميكي إلى ميكانيكا نيوتن . هناك، كما هو الحال في العلوم الطبيعية والتخصصات الهندسية الأخرى، فإن قاعدة تطور الأنظمة الديناميكية هي علاقة ضمنية تعطي حالة النظام لفترة قصيرة فقط في المستقبل. (تكون العلاقة إما معادلة تفاضلية أو معادلة فرق أو مقياس زمني آخر ). يتطلب تحديد الحالة لجميع الأوقات المستقبلية تكرار العلاقة عدة مرات - كل تقدم زمني خطوة صغيرة. يشار إلى إجراء التكرار باسم حل النظام أو تكامل النظام . إذا كان من الممكن حل النظام، فمن الممكن، بالنظر إلى نقطة بداية، تحديد جميع مواضعه المستقبلية، وهي مجموعة من النقاط تُعرف باسم المسار أو المدار .

قبل ظهور أجهزة الكمبيوتر ، كان العثور على مدار يتطلب تقنيات رياضية معقدة ولم يكن من الممكن إنجازه إلا لفئة صغيرة من الأنظمة الديناميكية. وقد عملت الأساليب العددية المطبقة على آلات الحوسبة الإلكترونية على تبسيط مهمة تحديد مدارات النظام الديناميكي.

بالنسبة للأنظمة الديناميكية البسيطة، غالبًا ما يكون معرفة المسار كافيًا، لكن معظم الأنظمة الديناميكية معقدة للغاية بحيث لا يمكن فهمها من حيث المسارات الفردية. تنشأ الصعوبات بسبب:

• قد لا تكون الأنظمة المدروسة معروفة إلا بشكل تقريبي - فقد لا تكون معلمات النظام معروفة بدقة أو قد تكون المصطلحات مفقودة من المعادلات. تثير التقريبات المستخدمة تساؤلات حول صحة أو أهمية الحلول العددية. لمعالجة هذه الأسئلة، تم تقديم العديد من مفاهيم الاستقرار في دراسة الأنظمة الديناميكية، مثل استقرار ليابونوف أو الاستقرار الهيكلي . يشير استقرار النظام الديناميكي إلى وجود فئة من النماذج أو الظروف الأولية التي تكون فيها المسارات متكافئة. تتغير عملية مقارنة المدارات لتحديد تكافؤها مع المفاهيم المختلفة للاستقرار.
• قد يكون نوع المسار أكثر أهمية من مسار واحد بعينه. قد تكون بعض المسارات دورية، في حين قد تتجول مسارات أخرى عبر العديد من الحالات المختلفة للنظام. غالبًا ما تتطلب التطبيقات تعداد هذه الفئات أو الحفاظ على النظام ضمن فئة واحدة. أدى تصنيف جميع المسارات المحتملة إلى الدراسة النوعية للأنظمة الديناميكية، أي الخصائص التي لا تتغير تحت تغييرات الإحداثيات. تعد الأنظمة الديناميكية الخطية والأنظمة التي تحتوي على رقمين يصفان حالة ما أمثلة على الأنظمة الديناميكية حيث يتم فهم الفئات المحتملة للمدارات.
• قد يكون سلوك المسارات كدالة لمعلمة ما هو المطلوب لتطبيق ما. ومع تنوع المعلمة، قد تحتوي الأنظمة الديناميكية على نقاط تشعب حيث يتغير السلوك النوعي للنظام الديناميكي. على سبيل المثال، قد يتحول من وجود حركات دورية فقط إلى سلوك غير منتظم ظاهريًا، كما هو الحال في الانتقال إلى اضطراب السوائل .
• قد تبدو مسارات النظام غير منتظمة، وكأنها عشوائية. وفي هذه الحالات قد يكون من الضروري حساب المتوسطات باستخدام مسار واحد طويل جدًا أو مسارات مختلفة عديدة. يتم تحديد المتوسطات جيدًا للأنظمة المتغيرة ، وتم التوصل إلى فهم أكثر تفصيلاً للأنظمة الزائدية . ساعد فهم الجوانب الاحتمالية للأنظمة الديناميكية في إرساء أسس الميكانيكا الإحصائية والفوضى .

يعتبر العديد من الناس عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه مؤسس الأنظمة الديناميكية. ^[9] نشر بوانكاريه اثنين من الدراسات الكلاسيكية الآن، "طرق جديدة في الميكانيكا السماوية" (1892-1899) و "محاضرات في الميكانيكا السماوية" (1905-1910). في هذه الدراسات، طبق بنجاح نتائج أبحاثهم على مشكلة حركة ثلاثة أجسام ودرس بالتفصيل سلوك الحلول (التردد والاستقرار والمقاربة وما إلى ذلك). تضمنت هذه الأوراق نظرية تكرار بوانكاريه ، والتي تنص على أن أنظمة معينة ستعود، بعد فترة زمنية طويلة بما فيه الكفاية ولكن محدودة، إلى حالة قريبة جدًا من الحالة الأولية.

طور ألكسندر ليابونوف العديد من طرق التقريب المهمة. وتتيح طرقه، التي طورها في عام 1899، تحديد استقرار مجموعات المعادلات التفاضلية العادية. كما ابتكر النظرية الحديثة لاستقرار النظام الديناميكي.

في عام 1913، أثبت جورج ديفيد بيركهوف " آخر نظرية هندسية " لبوانكاريه ، وهي حالة خاصة من مشكلة الأجسام الثلاثة ، وهي النتيجة التي جعلته مشهورًا عالميًا. في عام 1927، نشر كتابه الأنظمة الديناميكية . كانت النتيجة الأكثر ديمومة لبيركهوف هي اكتشافه عام 1931 لما يسمى الآن بنظرية الإرجوديك . من خلال الجمع بين الأفكار الفيزيائية حول فرضية الإرجوديك ونظرية القياس ، حلت هذه النظرية، على الأقل من حيث المبدأ، مشكلة أساسية في الميكانيكا الإحصائية . كما كان لنظرية الإرجوديك تداعيات على الديناميكيات.

كما حقق ستيفن سميل تقدمًا كبيرًا. وكانت مساهمته الأولى هي حدوة الحصان التي أطلقها سميل والتي أدت إلى انطلاق أبحاث مهمة في الأنظمة الديناميكية. كما وضع الخطوط العريضة لبرنامج بحثي نفذه العديد من الآخرين.

قام أوليكساندر ميكولايوفيتش شاركوفسكي بتطوير نظرية شاركوفسكي حول فترات الأنظمة الديناميكية المنفصلة في عام 1964. أحد الآثار المترتبة على النظرية هو أنه إذا كان النظام الديناميكي المنفصل على خط الأعداد الحقيقية له نقطة دورية للفترة 3، فيجب أن يكون له نقاط دورية لكل فترة أخرى.

في أواخر القرن العشرين، بدأ منظور النظام الديناميكي للمعادلات التفاضلية الجزئية يكتسب شعبية. قام المهندس الميكانيكي الفلسطيني علي حسن نايفة بتطبيق الديناميكيات غير الخطية في الأنظمة الميكانيكية والهندسية. [ 10 ] ^كان عمله الرائد في الديناميكيات غير الخطية التطبيقية مؤثرًا في بناء وصيانة الآلات والهياكل الشائعة في الحياة اليومية ، مثل السفن والرافعات والجسور والمباني وناطحات السحاب والمحركات النفاثة ومحركات الصواريخ والطائرات والمركبات الفضائية . ^[11 ]

بالمعنى الأكثر عمومية، ^{[12] [13]} النظام الديناميكي هو مجموعة ( T ، X ، Φ) حيث T عبارة عن أحادي ، مكتوب بشكل إضافي، X عبارة عن مجموعة غير فارغة وΦ عبارة عن دالة

${\displaystyle \Phi :U\subseteq (T\times X)\to X}$

مع

${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}(U)=X}$ (أين خريطة الإسقاط الثانية )${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}}$

ولأي x في X :

${\displaystyle \Phi(0,x)=x}$

${\displaystyle \Phi (t_{2},\Phi (t_{1},x))=\Phi (t_{2}+t_{1},x),}$

بالنسبة إلى و ، حيث قمنا بتعريف المجموعة لأي x في X.${\displaystyle \,t_{1},\,t_{2}+t_{1}\in I(x)}$${\displaystyle \t_{2}\in I(\Phi (t_{1},x))}$${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}}$

على وجه الخصوص ، في الحالة التي لدينا فيها لكل x في X أن وبالتالي فإن Φ يحدد فعل أحادي لـ T على X.${\displaystyle U=T\times X}$${\displaystyle I(x)=T}$

تسمى الدالة Φ( t , x ) بدالة التطور للنظام الديناميكي: فهي تربط بكل نقطة x في المجموعة X صورة فريدة، اعتمادًا على المتغير t ، والذي يسمى معامل التطور . يسمى X فضاء الطور أو فضاء الحالة ، بينما يمثل المتغير x الحالة الأولية للنظام.

نحن نكتب كثيرا

${\displaystyle \Phi _{x}(t)\equiv \Phi (t,x)}$

${\displaystyle \Phi ^{t}(x)\equiv \Phi (t,x)}$

إذا أخذنا أحد المتغيرات كقيمة ثابتة، فإن الدالة

${\displaystyle \Phi _{x}:I(x)\to X}$

يُطلق عليه اسم التدفق عبر x ويُطلق على رسمه البياني اسم المسار عبر x . المجموعة

${\displaystyle \gamma _{x}\equiv \{\Phi (t,x):t\in I(x)\}}$

يُطلق عليه المدار عبر x . المدار عبر x هو صورة التدفق عبر x . تُسمى المجموعة الفرعية S من فضاء الحالة X ثابتة Φ إذا كان لجميع x في S وجميع t في T

${\displaystyle \Phi(t,x)\in S.}$

وبالتالي، على وجه الخصوص، إذا كانت S ثابتة Φ- ، لجميع x في S. وهذا يعني أن التدفق عبر x يجب أن يكون محددًا لجميع الأوقات لكل عنصر من عناصر S.${\displaystyle I(x)=T}$

في أغلب الأحيان، هناك فئتان من التعريفات للنظام الديناميكي: الأولى مدفوعة بالمعادلات التفاضلية العادية وهي هندسية في النكهة؛ والثانية مدفوعة بنظرية إرجوديك وهي نظرية القياس في النكهة.

في التعريف الهندسي، النظام الديناميكي هو مجموعة . هو مجال الزمن - هناك العديد من الخيارات، عادةً الأعداد الحقيقية أو الصحيحة، والتي قد تكون مقيدة بأن تكون غير سالبة. هو متعدد الشعب ، أي محليًا فضاء باناخ أو فضاء إقليدي، أو في الحالة المنفصلة رسم بياني . f هي قاعدة تطور t  →  f ^t (مع ) بحيث تكون f  ^t تفاضلية للمتعدد لنفسه. لذا، فإن f هي تعيين "سلس" للمجال الزمني في فضاء التفاضليات للمتعدد لنفسه. بعبارة أخرى، f ( t ) هي تفاضلية، لكل زمن t في المجال . ${\displaystyle \langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

النظام الديناميكي الحقيقي ، أو النظام الديناميكي في الزمن الحقيقي ، أو النظام الديناميكي في الزمن المستمر ، أو التدفق هو مجموعة ( T ، M ، Φ) حيث T هي فاصل مفتوح في الأعداد الحقيقية R ، وM هي متعدد الشعب تفاضلي محليًا إلى فضاء باناخ ، وΦ هي دالة مستمرة . إذا كان Φ قابلًا للاشتقاق بشكل مستمر ، نقول أن النظام هو نظام ديناميكي قابل للاشتقاق . إذا كان متعدد الشعب M تفاضلي محليًا إلى R ⁿ ، فإن النظام الديناميكي يكون محدود الأبعاد ؛ إذا لم يكن كذلك، فإن النظام الديناميكي يكون غير محدود الأبعاد . هذا لا يفترض وجود بنية متعاطفة . عندما يتم اعتبار T على أنها أعداد حقيقية، يسمى النظام الديناميكي عالميًا أو تدفقًا ؛ وإذا تم تقييد T بالأعداد الحقيقية غير السالبة، فإن النظام الديناميكي يكون شبه تدفق .

النظام الديناميكي المنفصل ، النظام الديناميكي في الزمن المنفصل هو مجموعة ( T ، M ، Φ)، حيث M هو متعدد الأشكال محليًا متشعب الشكل إلى فضاء باناخ ، وΦ هي دالة. عندما نعتبر T هي الأعداد الصحيحة، فإنها تكون سلسلة أو خريطة . إذا اقتصرت T على الأعداد الصحيحة غير السالبة، فإننا نسمي النظام شبه سلسلة . ^[14]

الأتمتة الخلوية عبارة عن مجموعة ( T ، M ، Φ)، حيث T عبارة عن شبكة مثل الأعداد الصحيحة أو شبكة الأعداد الصحيحة ذات الأبعاد الأعلى ، و M عبارة عن مجموعة من الدوال من شبكة الأعداد الصحيحة (مرة أخرى، ذات بعد واحد أو أكثر) إلى مجموعة منتهية، وΦ عبارة عن دالة تطور (محددة محليًا). وعلى هذا النحو، فإن الأتمتة الخلوية عبارة عن أنظمة ديناميكية. تمثل الشبكة في M شبكة "الفضاء"، بينما تمثل تلك الموجودة في T شبكة "الوقت".

تُعرَّف الأنظمة الديناميكية عادةً على أساس متغير مستقل واحد، ويُعرَّف بأنه الزمن. وهناك فئة أكثر عمومية من الأنظمة تُعرَّف على أساس متغيرات مستقلة متعددة، ولذلك تُسمى أنظمة متعددة الأبعاد . وتكون مثل هذه الأنظمة مفيدة في النمذجة، على سبيل المثال، معالجة الصور .

بالنظر إلى نظام ديناميكي عالمي ( R ، X ، Φ) على فضاء طوبولوجي مضغوط محليًا وهاوسدورف X ، فمن المفيد غالبًا دراسة الامتداد المستمر Φ* لـ Φ إلى الانضغاط أحادي النقطة X* لـ X. وعلى الرغم من أننا فقدنا البنية التفاضلية للنظام الأصلي ، يمكننا الآن استخدام حجج الانضغاط لتحليل النظام الجديد ( R ، X* ، Φ*).

في الأنظمة الديناميكية المدمجة، تكون مجموعة حدود أي مدار غير فارغة ومضغوطة ومتصلة ببساطة .

يمكن تعريف النظام الديناميكي رسميًا على أنه تحويل يحافظ على القياس لمساحة القياس ، الثلاثي ( T ، ( X ، Σ، μ )، ​​Φ). هنا، T عبارة عن أحادي (عادةً الأعداد الصحيحة غير السالبة)، و X عبارة عن مجموعة ، و( X ، Σ، μ ) هي مساحة احتمالية ، مما يعني أن Σ عبارة عن جبر سيجما على X وμ عبارة عن مقياس منتهٍ على ( X ، Σ). يُقال إن الخريطة Φ: X → X قابلة للقياس بواسطة Σ إذا وفقط إذا كان لكل σ في Σ . يُقال إن الخريطة Φ تحافظ على القياس إذا وفقط إذا كان لكل σ في Σ . وبجمع ما سبق، يقال إن الخريطة Φ هي تحويل يحافظ على القياس لـ X ، وإذا كانت خريطة من X إلى نفسها، فهي قابلة للقياس بواسطة Σ وتحافظ على القياس. ثم يتم تعريف الثلاثية ( T ، ( X ، Σ، μ )، ​​Φ)، لمثل هذه Φ، على أنها نظام ديناميكي . ${\displaystyle \Phi ^{-1}\sigma \in \Sigma }$${\displaystyle \mu (\Phi ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$

تجسد الخريطة Φ التطور الزمني للنظام الديناميكي. وبالتالي، بالنسبة للأنظمة الديناميكية المنفصلة، ​​تتم دراسة التكرارات لكل عدد صحيح n . بالنسبة للأنظمة الديناميكية المستمرة، يُفهم أن الخريطة Φ عبارة عن خريطة تطور زمني محدود ويكون البناء أكثر تعقيدًا. ${\displaystyle \Phi ^{n}=\Phi \circ \Phi \circ \dots \circ \Phi }$

يفترض التعريف النظري للقياس وجود تحويل يحافظ على القياس. يمكن ربط العديد من المقاييس الثابتة المختلفة بأي قاعدة تطور واحدة. إذا تم إعطاء النظام الديناميكي بواسطة نظام من المعادلات التفاضلية، فيجب تحديد المقياس المناسب. هذا يجعل من الصعب تطوير نظرية إرجوديك بدءًا من المعادلات التفاضلية، لذلك يصبح من المناسب الحصول على تعريف مدفوع بالأنظمة الديناميكية داخل نظرية إرجوديك يتجنب اختيار المقياس ويفترض أن الاختيار قد تم. يوضح البناء البسيط (يُطلق عليه أحيانًا نظرية كريلوف-بوغوليوبوف ) أنه بالنسبة لفئة كبيرة من الأنظمة، من الممكن دائمًا إنشاء مقياس بحيث يجعل قاعدة تطور النظام الديناميكي تحويلًا يحافظ على القياس. في البناء، يتم جمع مقياس معين لمساحة الحالة لجميع النقاط المستقبلية لمسار ما، مما يضمن الثبات.

تحتوي بعض الأنظمة على مقياس طبيعي، مثل مقياس ليوفيل في الأنظمة الهاميلتونية ، والذي يتم اختياره على مقاييس ثابتة أخرى، مثل المقاييس المدعومة على مدارات دورية للنظام الهاميلتوني. بالنسبة للأنظمة التبددية الفوضوية، فإن اختيار المقياس الثابت أكثر تحديًا من الناحية الفنية. يجب دعم المقياس على الجاذب ، ولكن الجاذبات لها مقياس ليبيج صفري ويجب أن تكون المقاييس الثابتة مفردة بالنسبة لمقياس ليبيج. تنكمش منطقة صغيرة من فضاء الطور تحت تطور الزمن.

بالنسبة للأنظمة الديناميكية الزائدية، يبدو أن مقاييس سيناي-رويل-بوين هي الخيار الطبيعي. فهي مبنية على البنية الهندسية للمتعددات المستقرة وغير المستقرة للنظام الديناميكي؛ وهي تتصرف جسديًا تحت الاضطرابات الصغيرة؛ وهي تفسر العديد من الإحصائيات المرصودة للأنظمة الزائدية.

إن مفهوم التطور عبر الزمن يشكل محورًا أساسيًا لنظرية الأنظمة الديناميكية كما رأينا في الأقسام السابقة: والسبب الأساسي وراء هذه الحقيقة هو أن الدافع الأولي للنظرية كان دراسة سلوك الأنظمة الميكانيكية الكلاسيكية عبر الزمن . ولكن يجب حل نظام المعادلات التفاضلية العادية قبل أن يصبح نظامًا ديناميكيًا. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية مثل ما يلي:

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t=0}={\boldsymbol {x}}_{0}}$

أين

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}}$يمثل سرعة النقطة المادية x
• M هو متعدد الأبعاد محدود الأبعاد
• v : T × M → TM هو حقل متجه في R ⁿ أو C ⁿ ويمثل تغير السرعة الناتج عن القوى المعروفة المؤثرة على نقطة المادة المعطاة في فضاء الطور M. التغير ليس متجهًا في فضاء الطور  M ، ولكنه بدلاً من ذلك في فضاء المماس TM .

ليست هناك حاجة لمشتقات من مرتبة أعلى في المعادلة، ولا للمعامل t في v ( t ، x )، لأنه يمكن التخلص منها من خلال النظر في أنظمة ذات أبعاد أعلى.

اعتمادًا على خصائص هذا الحقل المتجه، يُطلق على النظام الميكانيكي اسم

• مستقل ، عندما v ( t , x ) = v ( x )
• متجانسة عندما v ( t , 0 ) = 0 لجميع t

يمكن إيجاد الحل باستخدام تقنيات المعادلة التفاضلية العادية القياسية ويتم الإشارة إليه كدالة التطور التي تم تقديمها بالفعل أعلاه

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})}$

وبالتالي فإن النظام الديناميكي هو ( T ، M ، Φ).

يعطي بعض التلاعب الرسمي بنظام المعادلات التفاضلية الموضح أعلاه شكلًا أكثر عمومية للمعادلات التي يجب أن يلبيها النظام الديناميكي

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})=0\qquad \Leftrightarrow \qquad {\mathfrak {G}}\left(t,\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})\right)=0}$

أين هي دالة من مجموعة دوال التطور إلى مجال الأعداد المركبة. ${\displaystyle {\mathfrak {G}}:{{(T\times M)}^{M}}\to \mathbf {C} }$

تعتبر هذه المعادلة مفيدة عند نمذجة الأنظمة الميكانيكية ذات القيود المعقدة.

يمكن توسيع العديد من المفاهيم في الأنظمة الديناميكية لتشمل متعددات الأبعاد اللانهائية - تلك التي تكون فضاءات باناخ محلية - وفي هذه الحالة تكون المعادلات التفاضلية معادلات تفاضلية جزئية .

يمكن حل الأنظمة الديناميكية الخطية من حيث الوظائف البسيطة وسلوك جميع المدارات المصنفة. في النظام الخطي، تكون مساحة الطور عبارة عن فضاء إقليدي ذي أبعاد N ، لذا يمكن تمثيل أي نقطة في مساحة الطور بواسطة متجه يحتوي على N رقم. تحليل الأنظمة الخطية ممكن لأنها تلبي مبدأ التراكب : إذا كانت u ( t ) و w ( t ) تلبيان المعادلة التفاضلية لحقل المتجه (ولكن ليس بالضرورة الشرط الأولي)، فإن u ( t ) +  w ( t ) تلبيان أيضًا.

بالنسبة للتدفق ، فإن حقل المتجه v( x ) هو دالة تآلفية للموضع في فضاء الطور، أي،

${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$

مع A مصفوفة، وb متجه من الأرقام و x متجه الموضع. يمكن إيجاد حل هذا النظام باستخدام مبدأ التراكب (الخطية). الحالة b  ≠ 0 مع A  = 0 هي مجرد خط مستقيم في اتجاه  b :

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$

عندما يكون b صفرًا و A  ≠ 0، يكون الأصل نقطة توازن (أو نقطة مفردة) للتدفق، أي إذا كان x ₀  = 0، فإن المدار يظل هناك. بالنسبة للظروف الأولية الأخرى، تُعطى معادلة الحركة بواسطة الأسي لمصفوفة : بالنسبة لنقطة أولية x ₀ ،

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$

عندما تكون b = 0، تحدد القيم الذاتية لـ A بنية فضاء الطور. ومن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لـ A، من الممكن تحديد ما إذا كانت نقطة البداية ستتقارب أو تتباعد إلى نقطة التوازن عند الأصل.

ستتغير المسافة بين حالتين ابتدائيتين مختلفتين في الحالة A  ≠ 0 بشكل كبير في معظم الحالات، إما بالتقارب بسرعة كبيرة نحو نقطة ما، أو بالتباعد بسرعة كبيرة. تُظهر الأنظمة الخطية اعتمادًا حساسًا على الظروف الأولية في حالة التباعد. بالنسبة للأنظمة غير الخطية، يعد هذا أحد الشروط (الضرورية ولكن غير الكافية) للسلوك الفوضوي .

نظام ديناميكي أفيني في زمن منفصل له شكل معادلة فرق المصفوفة :

${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}+b,}$

مع A مصفوفة و b متجه. كما هو الحال في الحالة المستمرة، فإن تغيير الإحداثيات x  →  x  + (1 −  A )  ^–1 b يزيل المصطلح b من المعادلة. في نظام الإحداثيات الجديد ، يكون الأصل نقطة ثابتة للخريطة وتكون الحلول من النظام الخطي A ⁿ x _0. لم تعد حلول الخريطة منحنيات، بل نقاط تقفز في فضاء الطور. يتم تنظيم المدارات في منحنيات أو ألياف، وهي مجموعات من النقاط التي تتطابق مع نفسها تحت تأثير الخريطة.  

كما هو الحال في الحالة المستمرة، تحدد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لـ A بنية فضاء الطور. على سبيل المثال، إذا كانت u ₁ متجهًا ذاتيًا لـ A ، بقيمة ذاتية حقيقية أصغر من واحد، فإن الخطوط المستقيمة المعطاة بواسطة النقاط على طول α  u ₁ ، مع α  ∈  R ، هي منحنى ثابت للخريطة. تتجه النقاط في هذا الخط المستقيم إلى النقطة الثابتة.

هناك أيضًا العديد من الأنظمة الديناميكية المنفصلة الأخرى .

لا تتغير الخصائص النوعية للأنظمة الديناميكية في ظل التغيير السلس للإحداثيات (يُعتبر هذا أحيانًا تعريفًا للنوعية): ستظل النقطة المفردة لحقل المتجه (النقطة حيث  v ( x ) = 0) نقطة مفردة في ظل التحولات السلسة؛ المدار الدوري عبارة عن حلقة في فضاء الطور ولا يمكن للتشوهات السلسة لفضاء الطور تغييرها لكونها حلقة. في جوار النقاط المفردة والمدارات الدورية يمكن فهم بنية فضاء الطور للنظام الديناميكي جيدًا. في الدراسة النوعية للأنظمة الديناميكية، يتمثل النهج في إظهار وجود تغيير في الإحداثيات (عادةً غير محدد، ولكن يمكن حسابه) مما يجعل النظام الديناميكي بسيطًا قدر الإمكان.

يمكن جعل التدفق في معظم البقع الصغيرة من فضاء الطور بسيطًا للغاية. إذا كانت y هي النقطة التي يكون فيها مجال المتجه v ( y ) ≠ 0، فسيكون هناك تغيير في إحداثيات المنطقة حول y حيث يصبح مجال المتجه سلسلة من المتجهات المتوازية بنفس المقدار. يُعرف هذا باسم نظرية التصحيح.

تقول نظرية التصحيح أنه بعيدًا عن النقاط المفردة، تكون ديناميكية نقطة في رقعة صغيرة عبارة عن خط مستقيم. يمكن أحيانًا تكبير الرقعة عن طريق خياطة عدة رقع معًا، وعندما ينجح هذا في فضاء الطور بالكامل M، يكون النظام الديناميكي قابلاً للتكامل . في معظم الحالات، لا يمكن تمديد الرقعة إلى فضاء الطور بالكامل. قد تكون هناك نقاط مفردة في مجال المتجه (حيث v ( x ) = 0)؛ أو قد تصبح الرقع أصغر وأصغر كلما اقتربنا من نقطة ما. والسبب الأكثر دقة هو قيد عالمي، حيث يبدأ المسار في رقعة، وبعد زيارة سلسلة من الرقع الأخرى يعود إلى الرقعة الأصلية. إذا دار المدار حول فضاء الطور بطريقة مختلفة في المرة التالية، فسيكون من المستحيل تصحيح مجال المتجه في سلسلة الرقع بأكملها.

بشكل عام، لا يمكن استخدام نظرية التصحيح في جوار مدار دوري. طور بوانكاريه نهجًا يحول التحليل بالقرب من مدار دوري إلى تحليل خريطة. اختر نقطة x ₀ في المدار γ وفكر في النقاط في فضاء الطور في تلك المنطقة التي تكون عمودية على v ( x ₀ ). هذه النقاط هي قسم بوانكاريه S ( γ ،  x ₀ )، من المدار. يحدد التدفق الآن خريطة، خريطة بوانكاريه F  :  S  →  S ، للنقاط التي تبدأ في S وتعود إلى  S. لن تستغرق كل هذه النقاط نفس القدر من الوقت للعودة، ولكن الأوقات ستكون قريبة من الوقت الذي تستغرقه  x ₀ .

تقاطع المدار الدوري مع مقطع بوانكاريه هو نقطة ثابتة لخريطة بوانكاريه F. من خلال الترجمة، يمكن افتراض أن النقطة تقع عند x  = 0. سلسلة تايلور للخريطة هي F ( x ) =  J  ·  x  + O( x ² )، لذا لا يمكن توقع تغيير الإحداثيات h إلا لتبسيط F إلى جزئها الخطي

${\displaystyle h^{-1}\circ F\circ h(x)=J\cdot x.}$

تُعرف هذه بمعادلة الاقتران. كان إيجاد الشروط اللازمة لنجاح هذه المعادلة أحد المهام الرئيسية للبحث في الأنظمة الديناميكية. تناولها بوانكاريه أولاً بافتراض أن جميع الدوال تحليلية وفي هذه العملية اكتشف الشرط غير الرنيني. إذا كانت λ ₁ ، ...،  λ _ν هي القيم الذاتية لـ J، فستكون رنينية إذا كانت إحدى القيم الذاتية عبارة عن تركيبة خطية صحيحة لاثنتين أو أكثر من القيم الأخرى. نظرًا لوجود حدود من النموذج λ _i - Σ (مضاعفات القيم الذاتية الأخرى) في مقام حدود الدالة h ، فإن الشرط غير الرنيني يُعرف أيضًا باسم مشكلة المقسوم الصغير.

تعتمد النتائج المتعلقة بوجود حل لمعادلة الاقتران على القيم الذاتية لـ J ودرجة السلاسة المطلوبة من h . نظرًا لأن J لا تحتاج إلى أي تماثلات خاصة، فإن القيم الذاتية الخاصة بها ستكون عادةً أعدادًا مركبة. عندما لا تكون القيم الذاتية لـ J في دائرة الوحدة، فإن الديناميكيات بالقرب من النقطة الثابتة x ₀ لـ F تسمى زائدية وعندما تكون القيم الذاتية على دائرة الوحدة ومركبة، تسمى الديناميكيات إهليلجية .

في الحالة الزائدية، تعطي نظرية هارتمان-جروبمان الشروط اللازمة لوجود دالة متصلة تربط جوار النقطة الثابتة للخريطة بالخريطة الخطية J  ·  x . كما أن الحالة الزائدية مستقرة هيكليًا . لن تؤدي التغييرات الصغيرة في حقل المتجه إلا إلى تغييرات صغيرة في خريطة بوانكاريه وستنعكس هذه التغييرات الصغيرة في تغييرات صغيرة في موضع القيم الذاتية لـ J في المستوى المركب، مما يعني أن الخريطة لا تزال زائدية.

تعطي نظرية كولموغوروف-أرنولد-موسر (KAM) السلوك بالقرب من نقطة إهليلجية.

عندما تعتمد خريطة التطور Φ ^t (أو حقل المتجه المشتق منها) على معامل μ، فإن بنية فضاء الطور ستعتمد أيضًا على هذا المعامل. قد لا تنتج التغييرات الصغيرة أي تغييرات نوعية في فضاء الطور حتى يتم الوصول إلى قيمة خاصة μ _0. عند هذه النقطة، يتغير فضاء الطور نوعيًا ويقال إن النظام الديناميكي قد مر بتشعب.

تدرس نظرية التفرع بنية في فضاء الطور (عادةً نقطة ثابتة أو مدار دوري أو حلقة ثابتة ) وتدرس سلوكها كدالة للمعامل  μ . عند نقطة التفرع، قد تغير البنية استقرارها، أو تنقسم إلى هياكل جديدة، أو تندمج مع هياكل أخرى. من خلال استخدام تقريبات سلسلة تايلور للخرائط وفهم الاختلافات التي يمكن القضاء عليها عن طريق تغيير الإحداثيات، من الممكن تصنيف تفرعات الأنظمة الديناميكية.

يمكن وصف تشعبات نقطة ثابتة زائدية x ₀ لعائلة نظام F _μ بالقيم الذاتية للمشتقة الأولى للنظام DF _μ ( x ₀ ) المحسوبة عند نقطة التشعب. بالنسبة للخريطة، سيحدث التشعب عندما تكون هناك قيم ذاتية لـ DF _μ على دائرة الوحدة. بالنسبة للتدفق، سيحدث عندما تكون هناك قيم ذاتية على المحور التخيلي. لمزيد من المعلومات، راجع المقال الرئيسي حول نظرية التشعب .

يمكن أن تؤدي بعض التشعبات إلى هياكل معقدة للغاية في فضاء الطور. على سبيل المثال، يصف سيناريو رويل-تيكينز كيف ينقسم مدار دوري إلى حلقة والحلقة إلى جاذب غريب . في مثال آخر، يصف مضاعفة فترة فيجنباوم كيف يمر مدار دوري مستقر عبر سلسلة من تشعبات مضاعفة الفترة .

في العديد من الأنظمة الديناميكية، من الممكن اختيار إحداثيات النظام بحيث يكون الحجم (في الواقع حجم ذو أبعاد ν) في فضاء الطور ثابتًا. يحدث هذا للأنظمة الميكانيكية المشتقة من قوانين نيوتن طالما أن الإحداثيات هي الموضع والزخم ويتم قياس الحجم بوحدات (الموضع) × (الزخم). يأخذ التدفق نقاطًا من مجموعة فرعية A إلى النقاط Φ ^t ( A ) ويعني ثبات فضاء الطور أن  

${\displaystyle \mathrm {vol} (A)=\mathrm {vol} (\Phi ^{t}(A)).}$

في صيغة هاملتون ، من الممكن استنتاج الزخم (المُعمم) المناسب من خلال إحداثيات معينة بحيث يتم الحفاظ على الحجم المرتبط بالتدفق. ويقال إن الحجم يتم حسابه بواسطة مقياس ليوفيل .

في نظام هاملتوني، لا يمكن الوصول إلى جميع التكوينات الممكنة للموضع والزخم من حالة أولية. وبسبب الحفاظ على الطاقة، يمكن الوصول فقط إلى الحالات التي لها نفس طاقة الحالة الأولية. تشكل الحالات التي لها نفس الطاقة غلاف طاقة Ω، وهو متعدد شعب فرعي من فضاء الطور. يتم الحفاظ على حجم غلاف الطاقة، المحسوب باستخدام مقياس ليوفيل، تحت التطور.

بالنسبة للأنظمة التي يتم فيها الحفاظ على الحجم بواسطة التدفق، اكتشف بوانكاريه نظرية التكرار : افترض أن فضاء الطور له حجم ليوفيل محدود ودع F تكون خريطة تحافظ على حجم فضاء الطور و A مجموعة فرعية من فضاء الطور. ثم تعود كل نقطة تقريبًا من A إلى A بشكل لا نهائي في كثير من الأحيان. استخدم زيرميلو نظرية التكرار بوانكاريه للاعتراض على اشتقاق بولتزمان لزيادة الإنتروبيا في نظام ديناميكي من الذرات المتصادمة.

كان أحد الأسئلة التي أثارها عمل بولتزمان هو المساواة المحتملة بين متوسطات الزمن ومتوسطات المكان، وهو ما أطلق عليه فرضية الإرجوديك . تنص الفرضية على أن طول الوقت الذي يقضيه مسار نموذجي في المنطقة أ هو vol( A )/vol(Ω).

لقد تبين أن فرضية الإرجوديك ليست الخاصية الأساسية اللازمة لتطوير الميكانيكا الإحصائية وتم تقديم سلسلة من الخصائص الأخرى المشابهة للإرجوديك لالتقاط الجوانب ذات الصلة بالأنظمة الفيزيائية. اقترب كوبمان من دراسة الأنظمة الإرجوديكية باستخدام التحليل الوظيفي . إن القابل للملاحظة a هو دالة تربط رقمًا بكل نقطة من فضاء الطور (على سبيل المثال الضغط اللحظي أو الارتفاع المتوسط). يمكن حساب قيمة القابل للملاحظة في وقت آخر باستخدام دالة التطور φ  ^t . وهذا يقدم عامل U ^t ، عامل النقل ،  

${\displaystyle (U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).}$

من خلال دراسة الخصائص الطيفية للمشغل الخطي U ، يصبح من الممكن تصنيف الخصائص الإرجودية لـ Φ ^t . باستخدام نهج كوبمان للنظر في تأثير التدفق على دالة قابلة للملاحظة، يتم تعيين المشكلة غير الخطية ذات الأبعاد المحدودة التي تتضمن Φ t ^في مشكلة خطية ذات أبعاد غير محدودة تتضمن  U.  

مقياس ليوفيل المقيد بسطح الطاقة Ω هو الأساس للمتوسطات المحسوبة في ميكانيكا إحصائية متوازنة . المتوسط ​​في الوقت على طول مسار يعادل المتوسط ​​في الفضاء المحسوب بعامل بولتزمان exp(−β H ) . وقد تم تعميم هذه الفكرة بواسطة سيناي وبون ورويل (SRB) على فئة أكبر من الأنظمة الديناميكية التي تتضمن أنظمة تبديدية. تحل مقاييس SRB محل عامل بولتزمان ويتم تعريفها على جاذبات الأنظمة الفوضوية.

يمكن للأنظمة الديناميكية غير الخطية البسيطة، بما في ذلك الأنظمة الخطية المتقطعة ، أن تظهر سلوكًا لا يمكن التنبؤ به بشدة، وقد يبدو عشوائيًا، على الرغم من حقيقة أنها حتمية في الأساس. وقد أطلق على هذا السلوك غير المتوقع الفوضى . الأنظمة الزائدية هي أنظمة ديناميكية محددة بدقة تُظهر الخصائص المنسوبة إلى الأنظمة الفوضوية. في الأنظمة الزائدية، يمكن تحليل المساحات المماسية العمودية على مدار إلى مجموعة من جزأين: أحدهما يحتوي على النقاط التي تتقارب نحو المدار ( المتعدد الشعب المستقر ) والآخر من النقاط التي تتباعد عن المدار ( المتعدد الشعب غير المستقر ).

يتناول هذا الفرع من الرياضيات السلوك النوعي الطويل الأمد للأنظمة الديناميكية. وهنا لا ينصب التركيز على إيجاد حلول دقيقة للمعادلات التي تحدد النظام الديناميكي (وهو أمر ميؤوس منه في كثير من الأحيان)، بل على الإجابة عن أسئلة مثل "هل يستقر النظام في حالة مستقرة في الأمد البعيد، وإذا كان الأمر كذلك، فما هي الجاذبات المحتملة ؟" أو "هل يعتمد السلوك الطويل الأمد للنظام على حالته الأولية؟"

إن السلوك الفوضوي للأنظمة المعقدة ليس هو القضية. فمن المعروف منذ سنوات أن علم الأرصاد الجوية ينطوي على سلوك معقد ـ بل وحتى فوضوي. وكانت نظرية الفوضى مفاجئة للغاية لأن الفوضى يمكن أن نجدها داخل أنظمة تافهة تقريباً. فقد نشأ سيناريو بوميو-مانفيل للخريطة اللوجستية ومشكلة فيرمي-باستا-أولام-تسينغو باستخدام حدود من الدرجة الثانية فقط؛ أما خريطة حدوة الحصان فهي خطية متقطعة.

بالنسبة لمعادلات تفاضلية عادية غير خطية مستقلة، من الممكن في ظل بعض الظروف تطوير حلول ذات مدة محدودة، ^[15] وهذا يعني هنا أنه في هذه الحلول سيصل النظام إلى القيمة صفر في وقت ما، يسمى وقت النهاية، ثم يبقى هناك إلى الأبد بعد ذلك. يمكن أن يحدث هذا فقط عندما لا يتم تحديد مسارات النظام بشكل فريد للأمام والخلف في الوقت بواسطة الديناميكيات، وبالتالي فإن الحلول ذات المدة المحدودة تعني شكلًا من أشكال "عدم القدرة على التنبؤ للأمام في الوقت" وثيق الصلة بعدم القدرة على التنبؤ للأمام في الوقت للفوضى. لا يمكن أن يحدث هذا السلوك لمعادلات ليبشيتز التفاضلية المستمرة وفقًا لإثبات نظرية بيكارد ليندلوف . هذه الحلول هي دوال غير ليبشيتز في أوقات نهايتها ولا يمكن أن تكون دوال تحليلية على خط الأعداد الحقيقية بالكامل.

على سبيل المثال، المعادلة:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

يعترف بحل المدة المحدودة:

${\displaystyle y(t)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {t}{2}}+\left|1-{\frac {t}{2}}\right|\right)^{2}}$

هذا يساوي صفرًا ولا يكون ليبشيتز مستمرًا في وقت نهايته${\displaystyle t\geq 2}$${\displaystyle t=2.}$

• أرنولد، فلاديمير آي. (2006). "المفاهيم الأساسية". المعادلات التفاضلية العادية . برلين: دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 3-540-34563-9.
• تشويشوف، آي دي مقدمة إلى نظرية الأنظمة التبددية ذات الأبعاد اللانهائية .النسخة الإلكترونية من الطبعة الأولى على موقع EMIS [1].
• تيمام، روجر (1997) [1988]. الأنظمة الديناميكية اللانهائية الأبعاد في الميكانيكا والفيزياء . دار سبرينغر للنشر.

• يتلقى خادم ما قبل الطباعة Arxiv يوميًا إرساليات من المخطوطات (غير المحكمة) في الأنظمة الديناميكية.
• موسوعة الأنظمة الديناميكية جزء من Scholarpedia - تمت مراجعتها من قبل النظراء وتم كتابتها من قبل خبراء مدعوين.
• الديناميكيات غير الخطية. نماذج التفرع والفوضى بقلم إلمر ج. وينز
• يوفر Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (سبتمبر 2003) تعريفات وتفسيرات وموارد متعلقة بالعلوم غير الخطية

الكتب أو المحاضرات المتوفرة على الإنترنت

• النظرية الهندسية للأنظمة الديناميكية. ملاحظات محاضرات نيلز بيرجلوند لدورة تدريبية في المعهد الفيدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ على مستوى البكالوريوس المتقدم.
• الأنظمة الديناميكية. يتبنى كتاب جورج د. بيركهوف الصادر عام 1927 نهجًا حديثًا للأنظمة الديناميكية.
• الفوضى: الكلاسيكية والكمية. مقدمة للأنظمة الديناميكية من وجهة نظر المدار الدوري.
• تعلم الأنظمة الديناميكية. برنامج تعليمي حول تعلم الأنظمة الديناميكية.
• المعادلات التفاضلية العادية والأنظمة الديناميكية. ملاحظات المحاضرة بقلم جيرالد تيشل

مجموعات البحث

• مجموعة الأنظمة الديناميكية جرونينجن، IWI، جامعة جرونينجن.
• الفوضى في جامعة ميريلاند. يركز على تطبيقات الأنظمة الديناميكية.
• [2]، جامعة ولاية نيويورك في ستوني بروك. قوائم المؤتمرات والباحثين وبعض المشاكل المفتوحة.
• مركز الديناميكية والهندسة، جامعة ولاية بنسلفانيا.
• أنظمة التحكم والديناميكية، معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا.
• مختبر الأنظمة غير الخطية، مدرسة البوليتكنيك الفيدرالية في لوزان (EPFL).
• مركز الأنظمة الديناميكية، جامعة بريمن
• مجموعة تحليل النظم والنمذجة والتنبؤ، جامعة أكسفورد
• مجموعة الديناميكيات غير الخطية، المعهد العالي التقني، الجامعة التقنية في لشبونة
• الأنظمة الديناميكية أرشفة 2017-06-02 في آلة Wayback .، IMPA، Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada.
• مجموعة عمل الديناميكيات غير الخطية أرشيف 2015-01-21 على موقع واي باك مشين ، معهد علوم الكمبيوتر، الأكاديمية التشيكية للعلوم.
• مجموعة أنظمة UPC الديناميكية برشلونة، جامعة البوليتكنيك في كاتالونيا.
• مركز التحكم والأنظمة الديناميكية والحوسبة، جامعة كاليفورنيا، سانتا باربرا.