رقم

عُثر على عظام وآثار أخرى تحمل علامات محفورة، يعتقد الكثيرون أنها علامات عدّ . ^{[ 9 ]} ويشير بعض المؤرخين إلى أن عظمة ليبومبو (التي يعود تاريخها إلى حوالي 43000 عام) وعظمة إيشانغو (التي يعود تاريخها إلى ما بين 22000 و30000 عام) هما أقدم القطع الأثرية الحسابية، لكن هذا التفسير محل خلاف. ^{[ 10 ] [ 11 ]} ربما استُخدمت علامات العدّ هذه لحساب الوقت المنقضي، مثل عدد الأيام أو الدورات القمرية، أو لتسجيل الكميات ، مثل كميات الحيوانات. ^{[ 12 ]} ويُعتقد أن النظام الإدراكي للكمية ، الذي يُفترض أنه أساس الحساب، مشترك مع أنواع أخرى، ويشير التوزيع التطوري إلى أنه كان موجودًا قبل ظهور اللغة. ^{[ 13 ] [ 10 ]}

لا يمتلك نظام العد مفهوم القيمة المكانية (كما هو الحال في الترميز العشري الحديث )، مما يحد من تمثيله للأعداد الكبيرة. ومع ذلك، تُعتبر أنظمة العد أول نوع من أنظمة الأرقام المجردة. ^{[ 14 ]}

أقدم الأرقام الواضحة في السجل الأثري هي نظام الستينات ( الأساس  60 ) في بلاد ما بين النهرين ( حوالي 3400  قبل الميلاد)؛ ^{[ 15 ]} وظهرت القيمة المكانية في الألفية الثالثة قبل الميلاد. ^{[ 16 ]} ويعود تاريخ أقدم  نظام عشري معروف إلى 3100  قبل الميلاد في مصر . ^{[ 17 ]} ولوح طيني بابلي مؤرخ إلىتوفر الفترة من 1900 إلى 1600  قبل الميلاد تقديرًا لنسبة محيط الدائرة إلى قطرها.${\textstyle 3{\frac {1}{8}}}$= 3.125، ربما يكون هذا أقدم تقريب لـ π. ^{[ 18 ]}

ينبغي التمييز بين الأعداد والرموز المستخدمة لتمثيلها. ابتكر المصريون أول نظام ترقيم مشفر، وتبعهم الإغريق بربط أعدادهم العددية بالأبجديتين الأيونية والدورية. ^{[ 19 ]} (مع ذلك، في عام 300 قبل الميلاد، أظهر أرخميدس لأول مرة استخدام نظام ترقيم موضعي لعرض أعداد كبيرة للغاية في كتابه "حاسبة الرمال" . ^{[ 20 ]} ) ظلت الأرقام الرومانية، وهو نظام يستخدم تركيبات من حروف الأبجدية الرومانية، سائدة في أوروبا حتى انتشار نظام الأرقام الهندية العربية في أواخر القرن الرابع عشر الميلادي، ولا يزال هذا النظام الأكثر شيوعًا لتمثيل الأعداد في العالم اليوم. ^{[ 21 ]} يكمن سر فعالية هذا النظام في رمز الصفر ، الذي طوره علماء الرياضيات الهنود القدماء حوالي عام 500 ميلادي. ^{[ 21 ]}

يعود أول استخدام موثق للصفر كعدد صحيح إلى عام 628 ميلادي، وقد ظهر في كتاب "براهمسفوتاسيدانتا" ، وهو العمل الرئيسي لعالم الرياضيات الهندي براهمغوبتا . يُعتبر براهمغوبتا عادةً أول من صاغ المفهوم الرياضي للصفر. تعامل براهمغوبتا مع الصفر كعدد، وناقش العمليات التي تتضمنه، بما في ذلك القسمة على صفر . وضع قواعد لاستخدام الصفر مع الأعداد السالبة والموجبة، مثل: "صفر زائد عدد موجب هو عدد موجب، وعدد سالب زائد صفر هو عدد سالب". بحلول ذلك الوقت (القرن السابع الميلادي  )، كان المفهوم قد وصل بوضوح إلى كمبوديا في شكل الأرقام الخميرية ، ^{[ 22 ]} وتشير الوثائق إلى انتشار الفكرة لاحقًا إلى الصين والعالم الإسلامي . بدأ المفهوم بالوصول إلى أوروبا عبر المصادر الإسلامية حوالي عام 1000 ميلادي. ^{[ 23 ]}

توجد استخدامات أخرى للصفر قبل براهماغوبتا، مع أن التوثيق ليس كاملاً كما هو الحال في براهماسبوتاسيدانتا . ^{[ 24 ]} كان الاستخدام الأول للصفر مجرد رقم مكاني في أنظمة القيمة المكانية ، يمثل رقمًا آخر كما فعل البابليون. ^{[ 25 ]} استخدمت العديد من النصوص القديمة  الصفر، بما في ذلك النصوص البابلية والمصرية. استخدم المصريون كلمة nfr للدلالة على  رصيد صفري في المحاسبة ذات القيد المزدوج . استخدمت النصوص الهندية كلمة سنسكريتية Shunye أو shunya للإشارة إلى مفهوم الفراغ . في نصوص الرياضيات، غالبًا ما تشير هذه الكلمة إلى الرقم صفر. ^{[ 26 ]} على نحو مماثل، استخدم بانيني (القرن الخامس قبل الميلاد) عامل الصفر (null) في أشتاديايي ، ^{[ 24 ]} وهو مثال مبكر على قواعد جبرية للغة السنسكريتية (انظر أيضًا بينغالا ).

تشير السجلات إلى أن الإغريق القدماء كانوا غير متأكدين من مكانة  الصفر كرقم، إذ تساءلوا: "كيف يمكن أن يكون 'العدم' شيئًا؟" مما أدى إلى نقاشات فلسفية مثيرة للاهتمام ، وبحلول العصور الوسطى، إلى نقاشات دينية حول طبيعة  الصفر والفراغ ووجودهما. وتعتمد مفارقات زينون الإيلي جزئيًا على التفسير غير المؤكد  للصفر. ^{[ 27 ]} (بل إن الإغريق القدماء شككوا فيما إذا كان الواحد رقمًا. ^{[ 28 ]} ) 

بدأ شعب الأولمك المتأخر في جنوب وسط المكسيك باستخدام رمز بديل للصفر، وهو عبارة عن رسم صدفي ، في العالم الجديد بحلول عام 38  قبل الميلاد. ^{[ 30 ]} وكان شعب المايا أول من طور الصفر كعدد أساسي، مستخدمًا إياه في نظامهم العددي وفي تقويمهم . ^{[ 31 ]} استخدم المايا نظامًا عدديًا أساسه 20، وذلك بدمج عدد من النقاط (الأساس  5) مع عدد من الخطوط (الأساس  4). ^{[ 29 ]} وفي عام 1961، أبلغ جورج آي. سانشيز  عن عداد "أصابع" أساسه 4 وأساسه  5. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

بحلول عام ١٣٠ ميلادي، كان بطليموس ، متأثرًا بهيبارخوس والبابليين، يستخدم رمزًا  للصفر (دائرة صغيرة مع خط طويل فوقها) ضمن نظام عد ستيني يستخدم في غيره الأرقام اليونانية الأبجدية . ^{[ ٣٤ ]} ولأنه استُخدم بمفرده، وليس مجرد رمز مكاني، كان هذا الصفر الهلنستي أول استخدام موثق للصفر الحقيقي في العالم القديم. في المخطوطات البيزنطية اللاحقة لكتابه "النحو الرياضي" ( المجسطي )، تحوّل الصفر الهلنستي إلى الحرف اليوناني أوميكرون ^{[ ٣٥ ]} (الذي يعني  ٧٠ في علم الأعداد المتساوية ^{[ ٣٦ ]} ).

استُخدم الصفر الحقيقي في الجداول إلى جانب الأرقام الرومانية بحلول عام 525 (أول استخدام معروف له كان على يد ديونيسيوس إكسيغوس )، ولكن ككلمة، nulla، التي تعني لا شيء ، وليس كرمز. ^{[ 37 ]} وعندما كانت نتيجة القسمة  صفرًا، استُخدمت كلمة nihil ، التي تعني أيضًا لا شيء . وقد استُخدمت هذه الأصفار في العصور الوسطى من قِبل جميع الحاسبين في العصور الوسطى (حاسبي عيد الفصح). ^{[ 38 ]} واستُخدم الحرف الأول منها، N، بشكل منفرد في جدول للأرقام الرومانية من قِبل بيدا أو أحد زملائه حوالي عام 725، كرمز للصفر الحقيقي.

عُرف المفهوم المجرد للأعداد السالبة في الصين في وقت مبكر يعود إلى الفترة ما بين 100 و50 قبل الميلاد. يحتوي كتاب "الفصول التسعة في الفن الرياضي" على طرق لحساب مساحات الأشكال؛ حيث استُخدمت قضبان حمراء للدلالة على المعاملات الموجبة ، وسوداء للمعاملات السالبة. ^{[ 39 ]} أما أول إشارة إلى هذا المفهوم في عمل غربي فكانت في  القرن الثالث الميلادي في اليونان. فقد أشار ديوفانتوس في كتابه "الحساب" إلى المعادلة المكافئة لـ 4 س + 20 = 0 (والتي يكون حلها سالبًا) ، قائلاً إن هذه المعادلة تعطي نتيجة غير منطقية. ^{[ 40 ]}

خلال القرن السابع الميلادي، استُخدمت الأعداد السالبة في الهند لتمثيل الديون. وقد ناقش عالم الرياضيات الهندي براهمغوبتا ، في كتابه "براهمسفوتاسيدانتا " عام 628، إشارة ديوفانتوس السابقة بشكل أكثر وضوحًا، حيث استخدم الأعداد السالبة لاستنباط الصيغة العامة للمعادلة التربيعية التي لا تزال مستخدمة حتى اليوم. مع ذلك، في  القرن الثاني عشر الميلادي في الهند، ذكر بهاسكارا جذورًا سالبة للمعادلات التربيعية، لكنه قال إن القيمة السالبة "لا تُؤخذ في هذه الحالة، لأنها غير كافية؛ فالناس لا يوافقون على الجذور السالبة". ^{[ 41 ]}

قاوم علماء الرياضيات الأوروبيون، في معظمهم، مفهوم الأعداد السالبة حتى  القرن السابع عشر، ^{[ 41 ]} على الرغم من أن فيبوناتشي سمح بالحلول السالبة في المسائل المالية حيث يمكن تفسيرها على أنها ديون (الفصل  13 من كتاب ليبر أباتشي ، 1202) ولاحقًا على أنها خسائر (في فلوس ). أطلق رينيه ديكارت عليها اسم الجذور الزائفة لأنها ظهرت في كثيرات الحدود الجبرية، ومع ذلك فقد وجد طريقة لتبديل الجذور الحقيقية والجذور الزائفة أيضًا. ^{[ 42 ]} في الوقت نفسه، كان الصينيون يشيرون إلى الأعداد السالبة برسم خط قطري يمر عبر الرقم غير الصفري الأقصى يمينًا من العدد الموجب المقابل. ^{[ 43 ]} كان نيكولاس شوكيه من أوائل الأوروبيين الذين جربوا الأعداد السالبة خلال  القرن الخامس عشر. استخدمها كأسس ، ^{[ 44 ]} لكنه أشار إليها باسم "الأعداد العبثية".

حتى القرن الثامن عشر، كان من الممارسات الشائعة تجاهل أي نتائج سلبية تُرجعها المعادلات على افتراض أنها لا معنى لها.

من المرجح أن مفهوم الأعداد الكسرية يعود إلى عصور ما قبل التاريخ . ^{[ 41 ]} استخدم المصريون القدماء رموزهم الكسرية المصرية للأعداد النسبية في نصوص رياضية مثل بردية ريند الرياضية وبردية كاهون . ^{[ 46 ]} تتضمن بردية ريند مثالًا على اشتقاق مساحة دائرة من قطرها، مما يُعطي تقديرًا لقيمة π.${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}}$≈ 3.16049.... ^{[ 18 ]} أجرى علماء الرياضيات اليونانيون والهنود الكلاسيكيون دراساتٍ حول نظرية الأعداد النسبية، كجزءٍ من الدراسة العامة لنظرية الأعداد . ^{[ 47 ] [ 41 ]} ومن الأمثلة المؤثرة بشكلٍ خاص على ذلك كتاب " الأصول " لإقليدس ، الذي يعود تاريخه إلى حوالي 300  قبل الميلاد. ^{[ 48 ]} ومن بين النصوص الهندية، يُعدّ " ستانانغا سوترا" الأكثر صلةً ، والذي يتناول أيضًا نظرية الأعداد كجزءٍ من الدراسة العامة للرياضيات. ^{[ 41 ]}

يرتبط مفهوم الكسور العشرية ارتباطًا وثيقًا بنظام الترقيم العشري؛ ويبدو أنهما تطورا جنبًا إلى جنب. فعلى سبيل المثال، من الشائع في نصوص الرياضيات الجينية تضمين حسابات تقريبية للعدد باي (π) أو الجذر التربيعي للعدد 2 باستخدام الكسور العشرية . وبالمثل، استخدمت النصوص الرياضية البابلية الكسور الستينية (الأساس 60). ^{[ 49 ]} 

أظهر البابليون، منذ عام 1800 قبل الميلاد، تقريبات عددية للكميات غير النسبية مثل √2 على ألواح طينية، بدقة تصل إلى ستة منازل عشرية، كما في اللوح YBC 7289. [ ^{50 ] استُخدمت} هذه القيم بشكل أساسي في الحسابات العملية في الهندسة وقياس الأراضي. ^{[ 51 ]} وُجدت تقريبات عملية للأعداد غير النسبية في نصوص شولبا سوترا الهندية التي كُتبت بين عامي 800 و500 قبل الميلاد. ^{[ 52 ]} 

يُنسب أول برهان على وجود الأعداد غير النسبية عادةً إلى فيثاغورس ، وتحديدًا إلى فيثاغورس هيباسوس ، الذي قدّم برهانًا (هندسيًا على الأرجح) على عدم نسبية الجذر التربيعي للعدد 2. ^{[ 53 ]} وتقول الرواية إن هيباسوس اكتشف الأعداد غير النسبية عندما حاول تمثيل الجذر التربيعي للعدد 2 على شكل كسر. إلا أن فيثاغورس كان يؤمن بمطلقية الأعداد، ولم يستطع دحض وجود الأعداد غير النسبية أو قبولها، ولذلك، وفقًا للأسطورة، حكم على هيباسوس بالإعدام غرقًا لمنع انتشار هذا الخبر المقلق. ^{[ 54 ]}

شهد القرن السادس عشر قبولًا أوروبيًا نهائيًا للأعداد الصحيحة السالبة والأعداد الكسرية. وبحلول القرن السابع عشر، كان علماء الرياضيات يستخدمون الكسور العشرية بشكل عام بالترميز الحديث. وقد طُرح مفهوم الأعداد الحقيقية في القرن السابع عشر على يد رينيه ديكارت . ^{[ 55 ]} أثناء دراسته للفائدة المركبة ، اكتشف جاكوب برنولي عام 1683 أنه مع تناقص فترات التراكم، يتقارب معدل النمو الأسي إلى أساس 2.71828...؛ وقد سُمي هذا الثابت الرياضي الأساسي لاحقًا بعدد أويلر ( e ). ^{[ 56 ]} بدأ دراسة الأعداد غير النسبية بشكل منهجي في القرن الثامن عشر، مع ليونارد أويلر الذي أثبت أن الأعداد غير النسبية هي تلك الأعداد التي لا تكون كسورها المستمرة البسيطة منتهية، وأن عدد أويلر ( e ) عدد غير نسبي. ^{[ 57 ]} وقد أثبت يوهان لامبرت عدم نسبية العدد π عام 1761 . ^{[ 58 ]}

في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، تم تعريف الأعداد الحقيقية، وبالتالي الأعداد غير النسبية، تعريفاً دقيقاً، وذلك بفضل أعمال أوغستين لويس كوشي ، وشارل ميراي (1869)، وكارل فايرشتراس (1872)، وإدوارد هاينه (1872)، ^{[ 59 ]} وجورج كانتور (1883)، ^{[ 60 ]} وريتشارد ديديكيند (1872). ^{[ 61 ]}

العدد المتسامي هو قيمة عددية ليست جذرًا لكثير حدود ذي معاملات صحيحة. وهذا يعني أنه ليس عددًا جبريًا، وبالتالي يستثني جميع الأعداد النسبية. ^{[ 62 ]} وقد أثبت ليوفيل (1844، 1851) وجود الأعداد المتسامية ^{[ 63 ]} لأول مرة. وأثبت هيرميت في عام 1873 أن العدد e عدد متسامٍ، وأثبت ليندمان في عام 1882 أن العدد π عدد متسامٍ. ^{[ 64 ]} وأخيرًا، بيّن كانتور أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية لانهائية غير قابلة للعد، بينما مجموعة جميع الأعداد الجبرية لانهائية قابلة للعد ، لذا يوجد عدد لا نهائي غير قابل للعد من الأعداد المتسامية. ^{[ 65 ]}

في الرياضيات، يُعتبر اللانهاية مفهومًا مجردًا لا عددًا؛ فبدلًا من أن تكون "أكبر من أي عدد"، فإن اللانهاية هي خاصية عدم وجود نهاية لها. ^{[ 66 ]} يظهر أقدم مفهوم معروف للانهاية الرياضية في ياجورفيدا ، وهي نص هندي قديم، حيث تنص في موضع ما على: "إذا طُرح [ الكل ] من [ الكل ] ، فإن الباقي سيظل [ الكل ] ". ^{[ 67 ]} كانت اللانهاية موضوعًا شائعًا للدراسة الفلسفية بين علماء الرياضيات الجينيين حوالي عام 400  قبل الميلاد. وقد ميزوا بين خمسة أنواع من اللانهاية: اللانهاية في اتجاه واحد واتجاهين، واللانهاية في المساحة، واللانهاية في كل مكان، واللانهاية الأبدية. ^{[ 68 ]}

عرّف أرسطو المفهوم الغربي التقليدي للانهائية الرياضية. وميّز بين اللانهاية الفعلية واللانهاية الكامنة ، وكان الرأي السائد أن الأخيرة فقط هي التي تمتلك قيمة حقيقية. ^{[ 69 ]} ناقش غاليليو غاليلي في كتابه " علمان جديدان" فكرة التناظر الأحادي بين المجموعات اللانهائية، والمعروفة بمفارقة غاليليو . ^{[ 70 ]} أما التقدم الرئيسي التالي في هذه النظرية فكان من نصيب جورج كانتور ؛ ففي عام 1895 نشر كتابًا عن نظريته الجديدة في المجموعات ، حيث قدّم، من بين أمور أخرى، الأعداد المتسامية وصاغ فرضية الاستمرارية . ^{[ 65 ]} الرمز${\displaystyle {\text{∞}}}$تم تقديمه لأول مرة في سياق رياضي بواسطة جون واليس في عام 1655. ^{[ 71 ]}

في ستينيات القرن العشرين، بيّن أبراهام روبنسون كيف يمكن تعريف الأعداد اللانهائية الكبيرة والمتناهية الصغر تعريفًا دقيقًا واستخدامها لتطوير مجال التحليل غير القياسي. ^{[ 72 ] [ 73 ]} يُمثّل نظام الأعداد الفائقة الحقيقية منهجًا دقيقًا لمعالجة الأفكار المتعلقة بالأعداد اللانهائية والمتناهية الصغر ، والتي كان يستخدمها علماء الرياضيات والعلماء والمهندسون بشكل غير رسمي منذ اختراع نيوتن وليبنيز لحساب التفاضل والتكامل المتناهي ^الصغر . ^[ 74 ^]

يُقدّم علم الهندسة الإسقاطية نسخة هندسية حديثة لمفهوم اللانهاية ، حيث يُعرّف " النقاط المثالية عند اللانهاية "، نقطة واحدة لكل اتجاه مكاني. يُفترض أن كل مجموعة من الخطوط المتوازية في اتجاه معين تتقارب إلى النقطة المثالية المقابلة. ويرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بفكرة نقاط التلاشي في الرسم المنظوري . ^{[ 75 ]}

أول إشارة عابرة إلى الجذور التربيعية للأعداد السالبة وردت في أعمال عالم الرياضيات والمخترع هيرون الإسكندري في القرن الأول الميلادي ، عندما درس حجم مخروط ناقص مستحيل البناء لهرم . [ ^{76 ] وازدادت} أهميتها في القرن السادس عشر عندما اكتشف علماء رياضيات إيطاليون، مثل نيكولو فونتانا تارتاليا وجيرولامو كاردانو  ، صيغًا مغلقة لجذور كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة والرابعة . وسرعان ما تبيّن أن هذه الصيغ، حتى عند الاهتمام بالحلول الحقيقية فقط، تتطلب أحيانًا التعامل مع الجذور التربيعية للأعداد السالبة. ^{[ 77 ]}

كان هذا الأمر مقلقًا للغاية، إذ لم يكونوا يعتبرون الأعداد السالبة ذات أساس متين في ذلك الوقت. يُنسب أحيانًا إلى رينيه ديكارت صياغة مصطلح "التخيلي" لهذه الكميات عام 1637، بقصد الازدراء. ^{[ 78 ]} (انظر العدد التخيلي لمناقشة "واقعية" الأعداد المركبة). وكان من مصادر الالتباس الأخرى أن المعادلة

${\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$

بدا الأمر متناقضًا بشكل متقلب مع الهوية الجبرية

${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},}$

وهي صالحة للأعداد الحقيقية الموجبة a و b ، وقد استُخدمت أيضًا في حسابات الأعداد المركبة عندما يكون أحد a أو b موجبًا والآخر سالبًا. الاستخدام الخاطئ لهذه المتطابقة، والمتطابقة المرتبطة بها

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$

في حالة كون كل من a و b سالبين، حتى أويلر واجه صعوبة . ^{[ 79 ]} هذه الصعوبة دفعته في النهاية إلى استخدام الرمز الخاص i بدلاً من${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$للحماية من هذا الخطأ.

شهد القرن الثامن عشر أعمال أبراهام دي مويفر وليونهارد أويلر . تنص صيغة دي مويفر (1730) على ما يلي: ^{[ 80 ]}

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }$

بينما أعطتنا صيغة أويلر للتحليل المركب (1748):

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.}$

تُعطي حالة خاصة من هذه الصيغة متطابقة أويلر :

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

يُظهر ذلك وجود صلة عميقة بين الأرقام الأساسية في الرياضيات. ^{[ 81 ]}

لم يُقبل وجود الأعداد المركبة قبولًا تامًا حتى وصف كاسبار فيسل تفسيرها الهندسي عام ١٧٩٩. ثم أعاد كارل فريدريش غاوس اكتشافها ونشرها بعد ذلك بسنوات، مما أدى إلى توسع ملحوظ في نظرية الأعداد المركبة. ^{[ ٨٢ ]} مع ذلك، فقد ظهرت فكرة التمثيل البياني للأعداد المركبة في وقت مبكر يعود إلى عام ١٦٨٥، في كتاب واليس " De algebra tractatus" . ^{[ ٨٣ ]}

في العام نفسه، قدّم غاوس أول برهان مقبول عمومًا للنظرية الأساسية في الجبر ، مُبيّنًا أن لكل متعددة حدود على الأعداد المركبة مجموعة كاملة من الحلول في هذا المجال. درس غاوس الأعداد المركبة من الشكل a + bi ، حيث a و b عددان صحيحان (يُطلق عليهما الآن الأعداد الصحيحة الغاوسية ) أو عددان كسريان. ^{[ 84 ]} درس تلميذه، غوتهولد آيزنشتاين ، النوع a + bω ، حيث ω جذر مركب للمعادلة x³ ^- 1 = 0 (يُطلق عليه الآن الأعداد الصحيحة الآيزنشتاينية ). تُشتق فئات أخرى من هذه الأعداد المركبة (تُسمى الحقول الدائرية ) من جذور الوحدة xⁿ⁻¹ = 0 ^لقيم k الأعلى . يُعزى هذا التعميم إلى حد كبير إلى إرنست كومر ، الذي ابتكر أيضًا الأعداد المثالية ، والتي عبّر عنها فيليكس كلاين ككيانات هندسية في عام 1893.

في عام 1850، اتخذ فيكتور ألكسندر بويزو الخطوة الرئيسية المتمثلة في التمييز بين الأقطاب ونقاط التفرع، وقدم مفهوم النقاط المفردة الأساسية . وقد أدى ذلك في النهاية إلى مفهوم المستوى المركب الممتد .

ربما دُرست الأعداد الأولية عبر التاريخ المُدوّن. وهي أعداد طبيعية لا تُحسب بضرب عددين طبيعيين أصغر منها. وقد اقتُرح أن عظمة إيشانغو تتضمن قائمة بالأعداد الأولية بين 10 و20. ^{[ 85 ]} تُظهر بردية ريند أشكالًا مختلفة للأعداد الأولية. لكن أول توثيق رسمي للأعداد الأولية يعود إلى الإغريق القدماء. فقد خصص إقليدس كتابًا من كتاب الأصول لنظرية الأعداد الأولية؛ حيث أثبت فيه لانهائيتها والنظرية الأساسية في الحساب ، وقدم خوارزمية إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين. ^{[ 86 ]}

في عام ٢٤٠ قبل الميلاد، استخدم إراتوستينس غربال إراتوستينس لعزل الأعداد الأولية بسرعة. لكن معظم التطورات اللاحقة لنظرية الأعداد الأولية في أوروبا تعود إلى عصر النهضة وما تلاه. في حوالي عام ١٠٠٠ ميلادي، اكتشف ابن الهيثم نظرية ويلسون . ووجد ابن البنا المراكشي طريقة لتسريع غربال إراتوستينس عن طريق اختبار الأعداد حتى الجذر التربيعي فقط. نقل فيبوناتشي إسهامات الرياضيات الإسلامية إلى أوروبا، وفي عام ١٢٠٢ كان أول من وصف طريقة القسمة التجريبية . ^{[ ٨٦ ]}

في عام ١٧٩٦، وضع أدريان ماري ليجندر تخمينًا حول نظرية الأعداد الأولية ، واصفًا التوزيع التقاربي للأعداد الأولية. ^{[ ٨٧ ]} ومن النتائج الأخرى المتعلقة بتوزيع الأعداد الأولية برهان أويلر على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية متباعد، ^{[ ٨٨ ]} وتخمين غولدباخ ، الذي ينص على أن أي عدد زوجي كبير بما فيه الكفاية هو مجموع عددين أوليين. ^{[ ٨٩ ]} وهناك تخمين آخر متعلق بتوزيع الأعداد الأولية وهو فرضية ريمان ، التي صاغها برنارد ريمان عام ١٨٥٩. ^{[ ٩٠ ]} وقد أثبت جاك هادامارد وشارل دي لا فالي بوسان نظرية الأعداد الأولية أخيرًا عام ١٨٩٦. ^{[ ٨٧ ]} ولا يزال تخمينا غولدباخ وريمان غير مثبتين وغير نافذين.

حظيت الأرقام بأهمية ثقافية ورمزية ودينية عبر التاريخ وفي العديد من الثقافات. ^{[ 12 ] [ 91 ] [ 92 ] [ 93 ]} في اليونان القديمة، أثرت رمزية الأرقام بشكل كبير على تطور الرياضيات اليونانية ، محفزةً البحث في العديد من مسائل نظرية الأعداد التي لا تزال تحظى باهتمام حتى اليوم. ^{[ 12 ]} ووفقًا لأفلاطون ، نسب الفيثاغوريون خصائص ومعاني محددة لأرقام معينة، واعتقدوا أن "الأشياء نفسها أرقام". ^{[ 94 ]}

تُظهر الحكايات الشعبية في مختلف الثقافات تفضيلات لأرقام معينة، حيث يحظى الرقمان ثلاثة وسبعة بأهمية خاصة في الثقافة الأوروبية، بينما يبرز الرقمان أربعة وخمسة في الحكايات الشعبية الصينية. ^{[ 95 ]} ترتبط الأرقام أحيانًا بالحظ: ففي المجتمع الغربي، يُعتبر الرقم 13 نذير شؤم، بينما يُعتبر الرقم ثمانية فألًا حسنًا في الثقافة الصينية . ^{[ 96 ]}

أكثر الأعداد شيوعًا هي الأعداد الطبيعية (وتُسمى أحيانًا الأعداد الصحيحة أو أعداد العد): 1، 2، 3، وهكذا. تقليديًا، كان تسلسل الأعداد الطبيعية يبدأ بالعدد  1 (لم يكن الصفر يُعتبر عددًا عند الإغريق القدماء). مع ذلك، في القرن التاسع عشر  ، بدأ علماء نظرية المجموعات وغيرهم من علماء الرياضيات بإدراج  الصفر ( عدد عناصر المجموعة الفارغة ، أي 0  عنصر، حيث  يُعد الصفر أصغر عدد أصلي ) ضمن مجموعة الأعداد الطبيعية. ^{[ 98 ] [ 99 ]} اليوم، يستخدم العديد من علماء الرياضيات هذا المصطلح لوصف المجموعتين، سواءً أكانت تتضمن  الصفر أم لا. الرمز الرياضي لمجموعة جميع الأعداد الطبيعية هو N ، ويُكتب أيضًا${\displaystyle \mathbb {N} }$[ ^{97 ]} وأحيانًا^​${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$^{[ 100 ]} أو${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$^{[ 101 ]} عندما يكون من الضروري الإشارة إلى ما إذا كان ينبغي أن تبدأ المجموعة بـ 0 أو 1، على التوالي.

في نظام العد العشري ، المستخدم عالميًا تقريبًا اليوم في العمليات الحسابية، تُكتب رموز الأعداد الطبيعية باستخدام عشرة أرقام : 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، و9. الأساس هو عدد الأرقام الفريدة، بما فيها الصفر، التي يستخدمها نظام العد لتمثيل الأعداد (في النظام العشري، الأساس هو 10). في هذا  النظام العشري، يكون للرقم الموجود في أقصى يمين العدد الطبيعي قيمة مكانية تساوي 1  ، بينما تكون قيمة كل رقم آخر عشرة أضعاف قيمة الرقم الذي على يمينه. ^{[ 102 ]}

في نظرية المجموعات ، التي تُعدّ أساسًا بديهيًا للرياضيات الحديثة، ^{[ 103 ]} يمكن تمثيل الأعداد الطبيعية بفئات من المجموعات المتكافئة. على سبيل المثال،  يمكن تمثيل العدد 3 كفئة جميع المجموعات التي تحتوي على ثلاثة عناصر بالضبط. وبدلاً من ذلك، في حساب بيانو  ، يُرمز للعدد 3 بالرمز S ( S ( S (0)))، حيث S هي دالة "التالي" (أي أن  3 هو التالي الثالث للصفر  ). ^{[ 104 ]} توجد العديد من التمثيلات المختلفة الممكنة؛ كل ما يلزم لتمثيل العدد  3 رسميًا هو كتابة رمز معين أو نمط من الرموز ثلاث مرات.

يُعرَّف معكوس عدد صحيح موجب بأنه العدد الذي ينتج عنه  صفر عند جمعه مع العدد الصحيح الموجب المقابل له. تُكتب الأعداد السالبة عادةً بعلامة السالب ( علامة الطرح ). على سبيل المثال،  يُكتب معكوس العدد 7 على النحو التالي  : -7، ويكون حاصل ضربهما 7 + -7 = 0. عند دمج مجموعة الأعداد السالبة مع مجموعة الأعداد الطبيعية (بما فيها  الصفر)، تُعرَّف النتيجة بأنها مجموعة الأعداد الصحيحة ، Z، والتي تُكتب أيضًا Z.${\displaystyle \mathbb {Z} }$^{[ 97 ]} هنا ، يأتي الحرف Z من الكلمة الألمانية Zahl التي تعني " عدد " . تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة حلقةً مع عمليتي الجمع والضرب. ^{[ 106 ]} 

تشكل الأعداد الطبيعية مجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة. ولعدم وجود معيار موحد لتحديد ما إذا كان الصفر موجودًا أم لا ضمن الأعداد الطبيعية، يُشار عادةً إلى الأعداد الطبيعية التي لا تحتوي على الصفر بالأعداد الصحيحة الموجبة ، بينما يُشار إلى الأعداد الطبيعية التي تحتوي على الصفر بالأعداد الصحيحة غير السالبة .

العدد النسبي هو عدد يمكن التعبير عنه ككسر بسطه عدد صحيح ومقامه عدد صحيح موجب. يُسمح بالمقامات السالبة، ولكن يُتجنب استخدامها عادةً، لأن كل عدد نسبي يساوي كسرًا بمقام موجب. ^{[ 107 ] تُكتب الكسور على شكل عددين صحيحين، البسط والمقام} ، مع وجود خط فاصل بينهما. يُمثل الكسر m / n جزءًا من ^الكل مقسمًا إلى n جزءًا متساويًا. قد يُقابل كسران مختلفان نفس العدد النسبي؛ على سبيل ^المثال ، 1/2 و 2 / 4 متساويان ، أي : [ ¹⁰⁸ ]

${\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.}$

بشكل عام، ^{[ ب ]}

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle {a\times d}={c\times b}.}$

إذا كانت القيمة المطلقة لـ m أكبر من n (المفترض أن تكون موجبة)، فإن القيمة المطلقة للكسر تكون أكبر من  1، ويُسمى هذا الكسر كسرًا غير فعلي أو كسرًا ثقيل البسط . ^{[ 109 ]} يمكن أن تكون الكسور أكبر من 1، أو أصغر من 1، أو تساوي  1 ^{[ 107 ]} ، ويمكن أن تكون موجبة، أو سالبة، أو  صفرًا. تشمل مجموعة الأعداد النسبية الأعداد الصحيحة، حيث يمكن كتابة كل عدد صحيح على شكل كسر مقامه  1. على سبيل المثال  ، يمكن كتابة -7 على الصورة -7/1 . يرمز للأعداد النسبية بالرمز Q (اختصارًا لـ " ناتج القسمة ")، ويكتب أيضًا ${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{97 ]​}

يرمز للأعداد الحقيقية بالرمز R ، ويكتب أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle \mathbb {R} .}$^{[ ٩٧ ]} تشمل هذه الأعداد جميع أعداد القياس. كل عدد حقيقي يُقابله نقطة علىخط الأعداد. تُعامل الأعداد الحقيقية السالبة وفقًا للقواعد العامة للحساب، ويتم تمثيلها ببساطة عن طريق إضافةعلامة ناقص، على سبيل المثال -١٢٣.٤٥٦.

كل رقم على يمين الفاصلة العشرية له قيمة مكانية تساوي عُشر القيمة المكانية للرقم الذي على يساره. على سبيل المثال، يُمثل العدد 123.456 القيمة 123456 / 1000 ، أو بعبارة أخرى: مئة، وعشرتان، وثلاثة آحاد، وأربعة أعشار، وخمسة أجزاء من مئة، وستة أجزاء من ألف. لا يُمكن التعبير عن عدد حقيقي بعدد محدود من الأرقام العشرية إلا إذا كان عددًا نسبيًا، وكان مقامه الكسري مُعاملاته الأولية هي 2 أو 5 أو كليهما، لأن هذه هي العوامل الأولية للعدد 10، وهو أساس النظام العشري. وهكذا، على سبيل المثال، النصف هو 0.5، والخمس هو 0.2، والعُشر هو 0.1، والجزء من خمسين هو 0.02.

الأعداد غير النسبية

بالنسبة للأعداد الحقيقية غير النسبية، فإن تمثيلها كأعداد عشرية يتطلب سلسلة لا نهائية من الأرقام المتغيرة على يمين الفاصلة العشرية. تُسمى هذه الأعداد الحقيقية بالأعداد غير النسبية . ومن أشهر الأعداد الحقيقية غير النسبية العدد π ، ^{[ 58 ]} وهو نسبة محيط أي دائرة إلى قطرها . عندما يُكتب π على الصورة π = 1/2

${\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots ,}$

كما هو الحال أحيانًا، لا تعني علامة الحذف أن الأعداد العشرية تتكرر (فهي لا تتكرر)، بل تعني أنها لا تنتهي. وقد ثبت أن π عدد غير نسبي . وهناك عدد آخر معروف، ثبت أنه عدد حقيقي غير نسبي، وهو

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,}$

الجذر التربيعي للعدد 2 ، أي العدد الحقيقي الموجب الوحيد الذي مربعه يساوي 2. ^{[ 113 ]} وقد تم تقريب كلا العددين (بواسطة الحاسوب) إلى تريليونات (تريليون واحد = 10^ ¹² = 1,000,000,000,000) من الأرقام. ^{[ 114 ] [ 115 ]}

معظم الأعداد الحقيقية غير نسبية، ولذلك لا تحتوي على أنماط متكررة، وبالتالي لا يوجد لها عدد عشري مقابل. يمكن تقريبها فقط باستخدام الأعداد العشرية ، التي تمثل الأعداد الحقيقية المقربة أو المقتطعة ، حيث توضع الفاصلة العشرية على يمين الرقم ذي القيمة المكانية  1. أي عدد مقرب أو مقتطع هو بالضرورة عدد نسبي، وعدد هذه الأعداد محدود .

جميع القياسات، بطبيعتها، تقريبية، ودائماً ما يكون لها هامش خطأ . لذا، يُعتبر العدد 123.456 تقريبًا لأي عدد حقيقي في الفترة :

${\displaystyle \left[{\tfrac {12345{\mathit {55}}}{10000}},{\tfrac {12345{\mathit {65}}}{10000}}\right)}$

عند التقريب إلى ثلاثة أرقام عشرية، أو لأي عدد حقيقي في الفترة:

${\displaystyle \left[{\tfrac {123456}{1000}},{\tfrac {123457}{1000}}\right)}$

عند إجراء عملية التقريب بعد الرقم العشري الثالث، يجب حذف الأرقام التي توحي بدقة أكبر من دقة القياس نفسه. وتُسمى الأرقام المتبقية بالأرقام المعنوية .

على سبيل المثال، نادرًا ما يمكن إجراء القياسات باستخدام المسطرة دون هامش خطأ لا يقل عن 0.001 متر . إذا قِيسَ طول ضلعَي مستطيلٍ ما فكان 1.23  مترًا و4.56  مترًا، فإن عملية الضرب تعطي مساحةً للمستطيل تتراوح بين 5.614591 مترًا ^مربعًا و 5.603011 مترًا ^مربعًا . ولأن الرقم الثاني بعد الفاصلة العشرية لا يُحفظ، فإن الأرقام اللاحقة غير مهمة . لذلك، تُقرَّب النتيجة عادةً إلى 5.61 مترًا ^مربعًا . ^{[ 117 ]}

بالانتقال إلى مستوى أعلى من التجريد، يمكن توسيع نطاق الأعداد الحقيقية ليشمل الأعداد المركبة . يمكن أن تتضمن مجموعة الحلول الكاملة لكثير الحدود من الدرجة الثانية أو أعلى الجذور التربيعية للأعداد السالبة. (مثال على ذلك:${\displaystyle x^{2}+1=0}$[ ^{119 ]} ) لتمثيل ذلك بسهولة، يُرمز للجذر التربيعي للعدد -1 بالرمز i ، ^وهو رمز خصصه ليونارد أويلر ويُسمى الوحدة التخيلية . ^{[ 120 ]} وبالتالي، تتكون الأعداد المركبة من جميع القيم التي تأخذ الشكل التالي: 

${\displaystyle \,a+bi}$

حيث a و b عددان حقيقيان. ولهذا السبب، تُقابل الأعداد المركبة نقاطًا على المستوى المركب ، وهو فضاء متجهي ذو بُعدين حقيقيين . في التعبير a + bi ، يُسمى العدد الحقيقي a الجزء الحقيقي ، ويُسمى b الجزء التخيلي . ^{[ 120 ]}

إذا كان الجزء الحقيقي من عدد مركب يساوي  صفرًا، يُسمى هذا العدد عددًا تخيليًا أو عددًا تخيليًا بحتًا ؛ ^{[ 120 ]} أما إذا كان الجزء التخيلي يساوي  صفرًا، فيُسمى هذا العدد عددًا حقيقيًا. وبالتالي، فإن الأعداد الحقيقية هي مجموعة جزئية من الأعداد المركبة. إذا كان كل من الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من عدد مركب عددًا صحيحًا، يُسمى هذا العدد عددًا صحيحًا غاوسيًا . ^{[ 121 ]} يرمز للأعداد المركبة بالرمز C أو${\displaystyle \mathbb {C} }$[ ^{97 ]​}

تنص النظرية الأساسية للجبر على أن الأعداد المركبة تُشكّل حقلاً مغلقاً جبرياً ، أي أن لكل متعددة حدود ذات معاملات مركبة جذراً في الأعداد المركبة. ^{[ 122 ]} ومثل الأعداد الحقيقية، تُشكّل الأعداد المركبة حقلاً كاملاً ، ولكن على عكس الأعداد الحقيقية، فهو غير مُرتب . ^{[ 123 ]} بمعنى آخر، لا يوجد معنى مُتّسق يُمكن إسناده إلى القول بأن i أكبر من 1، ولا يوجد أي معنى في القول بأن i أصغر من 1. بعبارة أخرى، تفتقر الأعداد المركبة إلى ترتيب كلي يتوافق مع عمليات الحقل .  

التحليل المركب هو فرع من التحليل الرياضي يُعنى بدراسة دوال الأعداد المركبة. وهو مفيد في حل المسائل الفيزيائية، ويُستخدم على نطاق واسع في الرياضيات الحديثة والهندسة والعلوم. ومن أمثلة تطبيقاته: ديناميكا الموائع ، ونظرية التحكم ، ومعالجة الإشارات ، ونظرية الأعداد، وحل المعادلات التفاضلية . ^{[ 124 ]} ويبدو أن الأعداد المركبة تُشكل جانبًا أساسيًا من ميكانيكا الكم ؛ إذ لا يمكن صياغتها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط. ^{[ 125 ]}

العدد الزوجي هو عدد صحيح يقبل القسمة على اثنين بدون باقٍ، أي يقبل القسمة على اثنين بدون باقٍ ؛ أما العدد الفردي فهو عدد صحيح ليس زوجيًا. ^{[ 126 ]} (يُختصر مصطلح "يقبل القسمة على اثنين" في الغالب إلى " يقبل القسمة "). تُسمى هذه الخاصية للعدد الصحيح بالزوجية . ^{[ 127 ]} يمكن كتابة أي عدد فردي n بالصيغة n = 2k + 1، حيث k عدد صحيح مناسب . بدءًا من k = 0، تكون الأعداد الفردية غير السالبة الأولى هي {1، 3، 5، 7، ...}. أي عدد زوجي m له الصيغة m = 2k ، حيث k عدد صحيح أيضًا . وبالمثل، تكون الأعداد الزوجية غير السالبة الأولى هي {0، 2، 4، 6، ...}. حاصل ضرب عدد زوجي في عدد صحيح هو عدد زوجي آخر؛ أما حاصل ضرب عدد فردي في عدد فردي آخر فهو عدد فردي آخر. ^{[ 126 ]}

العدد الأولي ، ويُختصر غالبًا إلى أولي ، هو عدد صحيح أكبر من 1 ولا يكون حاصل ضرب عددين صحيحين موجبين أصغر منه. الأعداد الأولية الأولى هي 2، 3، 5، 7، و11. لا توجد صيغة بسيطة لتوليد الأعداد الأولية كما هو الحال مع الأعداد الفردية والزوجية. تُعدّ أعداد ميرسين الأولية فئة خاصة ، وهي أعداد أولية على الصورة 2^ ⁿ - 1 ، حيث n عدد صحيح موجب. تحمل هذه الأعداد العديد من الأرقام القياسية لأكبر الأعداد الأولية المكتشفة. ^{[ 129 ]}

أثارت دراسة الأعداد الأولية العديد من التساؤلات، لم يُجب إلا على بعضها. وتندرج دراسة هذه التساؤلات ضمن نظرية الأعداد . ^{[ 12 ]} تُعدّ حدسية غولدباخ مثالًا على سؤال لم يُجب عليه بعد: "هل كل عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين؟" ^{[ 89 ]} وقد أُجيب على سؤال واحد، وهو ما إذا كان كل عدد صحيح أكبر من واحد هو حاصل ضرب أعداد أولية بطريقة واحدة فقط، باستثناء إعادة ترتيب هذه الأعداد؛ وتُعرف هذه الحقيقة المُثبتة باسم النظرية الأساسية للحساب . وقد ورد برهانها في كتاب الأصول لإقليدس . ^{[ 86 ]}

في العالم الحديث، تُستخدم الأعداد الأولية في العديد من التطبيقات المهمة، بما في ذلك التشفير بالمفتاح العام ، والتوقيع الرقمي ، وتوليد الأرقام شبه العشوائية ، ومعالجة الإشارات ، وتصفية البيانات لمعالجة الصور الرقمية . ^{[ 130 ]} كما تُستخدم الأعداد الأولية في جداول التجزئة ^{[ 131 ]} ورموز كشف الأخطاء (مثل تلك المستخدمة في ISBN و ISSN ). ^{[ 132 ]}

خضعت العديد من المجموعات الفرعية للأعداد الطبيعية لدراسات متخصصة، وسُميت، في كثير من الأحيان، نسبةً إلى أول عالم رياضيات درسها. ومن أمثلة هذه المجموعات من الأعداد الصحيحة: أعداد برنولي ، ^{[ 133 ]} وأعداد فيبوناتشي ، وأعداد لوكاس ، ^{[ 134 ]} والأعداد الكاملة . ^{[ 135 ]} لمزيد من الأمثلة، انظر متتالية الأعداد الصحيحة .

الأعداد الجبرية هي تلك التي تمثل حلاً لمعادلة متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة. تُسمى الأعداد الحقيقية غير النسبية بالأعداد غير النسبية . أما الأعداد المركبة غير الجبرية فتُسمى بالأعداد المتسامية . ^{[ 62 ]} وتُسمى الأعداد الجبرية التي تمثل حلولاً لمعادلة متعددة الحدود أحادية المعامل ذات معاملات صحيحة بالأعداد الجبرية الصحيحة . ^{[ 136 ]}

الدورة هي عدد مركب يمكن التعبير عنه كتكامل لدالة جبرية على مجال جبري . الدورات هي فئة من الأعداد تشمل، إلى جانب الأعداد الجبرية، العديد من الثوابت الرياضية المعروفة مثل العدد π . تشكل مجموعة الدورات حلقة قابلة للعد ، وتربط بين الأعداد الجبرية والأعداد المتسامية. ^{[ 137 ] [ 138 ]}

يمكن توسيع نطاق الدورات بالسماح بأن يكون التكامل ناتج ضرب دالة جبرية في أسّ دالة جبرية أخرى. وهذا يُعطي حلقة قابلة للعد أخرى: الدورات الأسية. يُعدّ كلٌّ من العدد e وثابت أويلر دورات أسية. ^{[ 137 ] [ 139 ]}

انطلاقًا من المسائل الكلاسيكية المتعلقة بالإنشاءات باستخدام المسطرة والفرجار ، تُعرَّف الأعداد القابلة للإنشاء بأنها تلك الأعداد المركبة التي يمكن إنشاء جزئيها الحقيقي والتخيلي باستخدام المسطرة والفرجار، بدءًا من قطعة مستقيمة معطاة طولها وحدة واحدة، في عدد محدود من الخطوات. ^{[ 140 ]} ومن المواضيع ذات الصلة أعداد الأوريغامي ، وهي نقاط تُنشأ من خلال طي الورق. ^{[ 141 ]}

العدد القابل للحساب ، المعروف أيضًا بالعدد التكراري ، هو عدد حقيقي توجد له خوارزمية ، عند إدخال عدد موجب n ، تُنتج أول n خانة من تمثيله العشري. ^{[ 142 ]} يمكن تقديم تعريفات مكافئة باستخدام الدوال التكرارية μ ، أو آلات تورينج ، أو حساب λ . ^{[ 143 ]} الأعداد القابلة للحساب مستقرة لجميع العمليات الحسابية المعتادة، بما في ذلك حساب جذور كثير الحدود ، وبالتالي تُشكل حقلًا حقيقيًا مغلقًا يحتوي على الأعداد الجبرية الحقيقية . ^{[ 144 ]}

يمكن اعتبار الأعداد القابلة للحساب بمثابة الأعداد الحقيقية التي يمكن تمثيلها بدقة في الحاسوب: يُمثَّل العدد القابل للحساب بدقة بأرقامه الأولى وبرنامج لحساب الأرقام اللاحقة. مع ذلك، نادرًا ما تُستخدم الأعداد القابلة للحساب عمليًا. أحد الأسباب هو عدم وجود خوارزمية لاختبار تساوي عددين قابلين للحساب. بتعبير أدق، لا يمكن أن توجد خوارزمية تأخذ أي عدد قابل للحساب كمدخل، وتُقرر في كل حالة ما إذا كان هذا العدد يساوي صفرًا أم لا.

مجموعة الأعداد القابلة للحساب لها نفس عدد عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية. لذلك، فإن معظم الأعداد الحقيقية غير قابلة للحساب. ومع ذلك، من الصعب جدًا إيجاد عدد حقيقي غير قابل للحساب بشكل صريح.

قد تمتد تمثيلات الأعداد p -adic إلى ما لا نهاية على يسار الفاصلة العشرية، تمامًا كما هو الحال مع الأعداد الحقيقية. يعتمد نظام العد الناتج على الأساس المستخدم للأرقام: أي أساس ممكن، لكن أساس الأعداد الأولية يوفر أفضل الخصائص الرياضية. تحتوي مجموعة الأعداد p -adic على الأعداد النسبية، ^{[ 145 ] [ 146 ]} لكنها لا تنتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة.

تتشابه عناصر حقل الدوال الجبرية على حقل منتهٍ مع الأعداد الجبرية في العديد من الخصائص (انظر: تشبيه حقل الدوال ). ولذلك، غالبًا ما يعتبرها علماء نظرية الأعداد أعدادًا. وتلعب الأعداد p -adic دورًا هامًا في هذا التشبيه.

يمكن بناء أنظمة عددية ذات أبعاد أعلى من الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$بطريقة تعمم بناء الأعداد المركبة. تُسمى أحيانًا بالأعداد فائقة التعقيد ، وهي لا تُدرج ضمن مجموعة الأعداد المركبة. وتشمل هذه الأعداد الرباعية (الكواترنيونات) .${\displaystyle \mathbb {H} }$، التي قدمها السير ويليام روان هاميلتون ، والتي لا يكون فيها الضرب تبديليًا ؛ ^{[ 147 ]} الأوكتونيونات${\displaystyle \mathbb {O} }$، حيث لا تكون عملية الضرب تجميعية بالإضافة إلى كونها غير تبديلية؛ ^{[ 148 ]} والسيدنيونات${\displaystyle \mathbb {S} }$حيث لا يكون الضرب بديلاً ، ولا تجميعيًا ولا تبديليًا. ^{[ 149 ]} تتضمن الأعداد فائقة التعقيد وحدة حقيقية واحدة بالإضافة إلى${\displaystyle 2^{n}-1}$الوحدات التخيلية، حيث n عدد صحيح غير سالب. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الكواترنيونات عمومًا باستخدام الشكل التالي:

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

حيث المعاملات a و b و c و d هي أعداد حقيقية، و i و j و k هي 3 وحدات تخيلية مختلفة. ^{[ 148 ]}

كل نظام أعداد فائق التعقيد هو مجموعة جزئية من نظام الأعداد فائق التعقيد التالي ذي الأبعاد المزدوجة، والذي يتم الحصول عليه عبر بناء كايلي-ديكسون . ^{[ 150 ]} على سبيل المثال، الكواترنيونات رباعية الأبعاد${\displaystyle \mathbb {H} }$هي مجموعة فرعية من الأوكتونيونات ذات الأبعاد الثمانية${\displaystyle \mathbb {O} }$والتي بدورها تشكل مجموعة فرعية من السيدنيونات ذات الأبعاد الستة عشر${\displaystyle \mathbb {S} }$، وهي بدورها مجموعة فرعية من المثلثات ذات الأبعاد 32${\displaystyle \mathbb {T} }$وإلى ما لا نهاية مع${\displaystyle 2^{n}}$الأبعاد، حيث n أي عدد صحيح غير سالب. وبإضافة الأعداد المركبة والحقيقية ومجموعاتها الجزئية، يمكن التعبير عن ذلك رمزياً على النحو التالي: ^{[ 150 ]}

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$

أو بدلاً من ذلك، بدءاً من الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$والتي لا تحتوي على وحدات مركبة، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}\subset {\mathcal {C}}_{1}\subset {\mathcal {C}}_{2}\subset {\mathcal {C}}_{3}\subset {\mathcal {C}}_{4}\subset {\mathcal {C}}_{5}\subset \cdots \subset {\mathcal {C}}_{n}}$

مع${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$يحتوي على${\displaystyle 2^{n}}$الأبعاد. ^{[ 151 ]}

أثبتت الأعداد الرباعية فائدتها الكبيرة في حساب الدوران في ثلاثة أبعاد. على سبيل المثال، تُستخدم في أنظمة التحكم للصواريخ والطائرات، وكذلك في الروبوتات، والتصوير الحاسوبي، والملاحة، والرسوم المتحركة. ^{[ 152 ]} ويبدو أن للأعداد الثمانية صلة نظرية أعمق بالفيزياء، لا سيما في نظرية الأوتار ، ونظرية إم، والجاذبية الفائقة . ^{[ 153 ]}

للتعامل مع المجموعات غير المنتهية ، تم تعميم الأعداد الطبيعية لتشمل الأعداد الترتيبية والأعداد الأصلية . تُحدد الأعداد الترتيبية ترتيب المجموعة، بينما تُحدد الأعداد الأصلية حجمها. أما بالنسبة للمجموعات المنتهية، فتُعتبر كل من الأعداد الترتيبية والأصلية مرادفة للأعداد الطبيعية. في حالة المجموعات غير المنتهية، يقابل العديد من الأعداد الترتيبية نفس العدد الأصلي. ^{[ 154 ]}

تُستخدم الأعداد الفائقة الحقيقية في التحليل غير القياسي . تُشير الأعداد الفائقة الحقيقية، أو الأعداد الحقيقية غير القياسية (ويُرمز لها عادةً بـ * R )، إلى حقل مُرتب يُعد امتدادًا صحيحًا للحقل المُرتب للأعداد الحقيقية R، ويُحقق مبدأ النقل . يسمح هذا المبدأ بإعادة تفسير عبارات الرتبة الأولى الصحيحة حول R على أنها عبارات الرتبة الأولى الصحيحة حول * R . ^{[ 155 ]}

تُوسّع الأعداد الفائقة الحقيقية والأعداد السريالية نطاق الأعداد الحقيقية بإضافة أعداد متناهية الصغر وأعداد لا نهائية الكبر، لكنها لا تزال تُشكّل حقولاً . ^{[ 156 ] [ 157 ]}