الهندسة

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة

الهندسة [ أ ] [ 1 ] هي فرع من فروع الرياضيات يهتم بخصائص الفضاء، مثل المسافة والشكل والحجم والموقع النسبي للأشكال. [ 2 ] تُعدّ الهندسة، إلى جانب الحساب ، من أقدم فروع الرياضيات. يُطلق على عالم الرياضيات الذي يعمل في مجال الهندسة اسم " جيومتر " . حتى القرن التاسع عشر، كانت الهندسة مُخصصة بشكل شبه حصري للهندسة الإقليدية ، [ ب ] التي تشمل مفاهيم النقطة والخط والمستوى والمسافة والزاوية والسطح والمنحنى ، كمفاهيم أساسية . [ 3 ]

طُوِّرت الهندسة في الأصل لنمذجة العالم المادي، ولها تطبيقات في جميع العلوم تقريبًا، وكذلك في الفن والعمارة وغيرها من الأنشطة المتعلقة بالرسومات. [ 4 ] كما أن للهندسة تطبيقات في مجالات من الرياضيات تبدو غير ذات صلة. فعلى سبيل المثال، تُعدّ أساليب الهندسة الجبرية أساسية في برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة ، وهي مسألة طُرحت بمصطلحات حسابية أولية ، وظلت دون حل لعدة قرون.

خلال القرن التاسع عشر، وسّعت عدة اكتشافات نطاق الهندسة بشكلٍ كبير. من أقدم هذه الاكتشافات نظرية كارل فريدريش غاوس ( النظرية الرائعة)، التي تنصّ تقريبًا على أن انحناء غاوس لسطحٍ ما مستقلٌ عن أي تضمينٍ مُحدد في فضاءٍ إقليدي . وهذا يعني إمكانية دراسة الأسطح بشكلٍ جوهري ، أي كفضاءاتٍ مستقلة، وقد توسّع هذا المفهوم ليشمل نظرية المتشعبات والهندسة الريمانية . وفي وقتٍ لاحق من القرن التاسع عشر، تبيّن أنه يُمكن تطوير هندساتٍ لا تعتمد على مسلمة التوازي ( الهندسات غير الإقليدية ) دون إحداث أي تناقض. وتُعدّ الهندسة التي تقوم عليها النسبية العامة تطبيقًا شهيرًا للهندسة غير الإقليدية.

منذ أواخر القرن التاسع عشر، اتسع نطاق الهندسة بشكل كبير، وانقسم هذا المجال إلى العديد من الفروع التي تعتمد على المناهج الأساسية - كالهندسة التفاضلية ، والهندسة الجبرية ، والهندسة الحسابية ، والطوبولوجيا الجبرية ، والهندسة المنفصلة (المعروفة أيضًا بالهندسة التوافقية )، وغيرها - أو على خصائص الفضاءات الإقليدية التي يتم تجاهلها - كالهندسة الإسقاطية التي لا تأخذ في الاعتبار سوى محاذاة النقاط دون المسافة والتوازي، والهندسة الأفينية التي تتجاهل مفهومي الزاوية والمسافة، والهندسة المنتهية التي تتجاهل الاستمرارية ، وغيرها. وقد أدى هذا التوسع في نطاق الهندسة إلى تغيير معنى كلمة "فضاء"، التي كانت تشير في الأصل إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد للعالم المادي ونموذجه الذي توفره الهندسة الإقليدية؛ أما الآن، فالفضاء الهندسي ، أو ببساطة الفضاء، هو بنية رياضية تُعرَّف عليها بعض أشكال الهندسة.

تاريخ

أوروبي وعربي يمارسان الهندسة في القرن الخامس عشر

يمكن تتبع أقدم بدايات علم الهندسة المسجلة إلى بلاد ما بين النهرين ومصر القديمة في الألفية الثانية قبل الميلاد. [ 5 ] [ 6 ] كانت الهندسة المبكرة عبارة عن مجموعة من المبادئ المكتشفة تجريبيًا والمتعلقة بالأطوال والزوايا والمساحات والأحجام، والتي طُوّرت لتلبية بعض الاحتياجات العملية في المسح والبناء وعلم الفلك والحرف المختلفة. من أقدم النصوص المعروفة في الهندسة بردية ريند المصرية (2000-1800 قبل الميلاد) وبردية موسكو ( حوالي 1890 قبل الميلاد )، والألواح الطينية البابلية ، مثل بليمبتون 322 (1900 قبل الميلاد). على سبيل المثال، تقدم بردية موسكو صيغة لحساب حجم الهرم الناقص . [ 7 ] تُظهر الألواح الطينية اللاحقة (350-50 قبل الميلاد) أن علماء الفلك البابليين استخدموا إجراءات شبه المنحرف لحساب موقع كوكب المشتري وحركته في فضاء السرعة والزمن. سبقت هذه الإجراءات الهندسية آلات حاسبة أكسفورد ، بما في ذلك نظرية متوسط ​​السرعة ، بأربعة عشر قرنًا. [ 8 ] جنوب مصر، وضع النوبيون القدماء نظامًا هندسيًا تضمن نسخًا مبكرة من الساعات الشمسية. [ 9 ] [ 10 ]

في القرن السابع قبل الميلاد، استخدم عالم الرياضيات اليوناني طاليس الملطي الهندسة لحل مسائل مثل حساب ارتفاع الأهرامات ومسافة السفن عن الشاطئ. ويُنسب إليه الفضل في أول استخدام للاستدلال الاستنتاجي في الهندسة، وذلك باستنباطه أربع نتائج لنظرية طاليس . [ 11 ] أسس فيثاغورس المدرسة الفيثاغورية ، التي يُنسب إليها أول برهان لنظرية فيثاغورس ، [ 12 ] على الرغم من أن صياغة النظرية لها تاريخ طويل. [ 13 ] [ 14 ] طور إيدوكسوس (408- حوالي 355 قبل الميلاد ) طريقة الاستنفاد ، التي سمحت بحساب مساحات وأحجام الأشكال المنحنية، [ 15 ] بالإضافة إلى نظرية النسب التي تجنبت مشكلة المقادير غير القابلة للقياس ، مما مكّن علماء الهندسة اللاحقين من تحقيق تقدم كبير. حوالي عام 300 قبل الميلاد، أحدث إقليدس ثورة في علم الهندسة، إذ يُعتبر كتابه "الأصول" على نطاق واسع أنجح وأكثر الكتب الدراسية تأثيرًا على مر العصور، [ 16 ] حيث أدخل الدقة الرياضية من خلال المنهج البديهي ، وهو أقدم مثال على الصيغة المستخدمة حتى اليوم في الرياضيات، وهي التعريف، والبديهية، والنظرية، والبرهان. مع أن معظم محتويات "الأصول" كانت معروفة آنذاك، إلا أن إقليدس رتبها في إطار منطقي متماسك. [ 17 ] كان كتاب "الأصول" معروفًا لدى جميع المتعلمين في الغرب حتى منتصف القرن العشرين، ولا تزال محتوياته تُدرّس في دروس الهندسة حتى اليوم. [ 18 ] استخدم أرخميدس ( حوالي 287-212 قبل الميلاد ) من سيراكيوز بإيطاليا طريقة الاستنفاد لحساب المساحة تحت قوس القطع المكافئ باستخدام مجموع متسلسلة لانهائية ، وقدّم تقريبات دقيقة للغاية لقيمة باي (π) . [ 19 ] كما درس الحلزون الذي يحمل اسمه وحصل على صيغ لأحجام أسطح الدوران .

امرأة تُدرّس الهندسة . رسم توضيحي في بداية ترجمة من العصور الوسطى لكتاب العناصر لإقليدس ، حوالي عام 1310 .

كما قدم علماء الرياضيات الهنود إسهامات مهمة في الهندسة. ويحتوي كتاب شاتاباثا براهمانا (القرن الثالث قبل الميلاد) على قواعد للإنشاءات الهندسية الطقسية تشبه قواعد سولبا سوترا . [ 20 ] وفقًا لهاياشي ( 2005 ، ص 363) ، تحتوي سوترا شولبا على "أقدم تعبير لفظي موجود لنظرية فيثاغورس في العالم، على الرغم من أنها كانت معروفة بالفعل لدى البابليين القدماء. وهي تحتوي على قوائم من ثلاثيات فيثاغورس ، [ ج ] وهي حالات خاصة من المعادلات الديوفانتية . [ 21 ] في مخطوطة باخشالي ، توجد مجموعة من المسائل الهندسية (بما في ذلك مسائل حول أحجام المجسمات غير المنتظمة). كما تستخدم مخطوطة باخشالي "نظامًا عشريًا للقيمة المكانية مع نقطة للصفر". [ 22 ] يتضمن كتاب أريابهاتيا لأريابهاتا (499) حساب المساحات والأحجام. كتب براهمغوبتا عمله الفلكي براهمسفوتاسيدانتا في عام 628. الفصل 12، الذي يحتوي على 66 قُسِّمت أبيات السنسكريتية إلى قسمين: "العمليات الأساسية" (بما في ذلك الجذور التكعيبية، والكسور، والنسبة والتناسب، والمقايضة) و"الرياضيات التطبيقية" (بما في ذلك الخلط، والمتسلسلات الرياضية، والأشكال المستوية، وتكديس الطوب، ونشر الأخشاب، وتكديس الحبوب). [ 23 ] في القسم الأخير، ذكر نظريته الشهيرة حول أقطار الشكل الرباعي الدائري . كما تضمن الفصل الثاني عشر صيغة لحساب مساحة الشكل الرباعي الدائري (تعميم لصيغة هيرون )، بالإضافة إلى وصف كامل للمثلثات النسبية ( أي المثلثات ذات الأضلاع والمساحات النسبية). [ 23 ] 

في العصور الوسطى ، أسهمت الرياضيات في الإسلام في تطوير الهندسة، ولا سيما الهندسة الجبرية . [ 24 ] [ 25 ] وقد ابتكر الماهاني (مواليد 853) فكرة اختزال المسائل الهندسية، مثل مضاعفة المكعب، إلى مسائل جبرية. [ 26 ] وتناول ثابت بن قرة (المعروف باسم ثيبت باللاتينية ) (836-901) العمليات الحسابية المطبقة على نسب الكميات الهندسية، وساهم في تطوير الهندسة التحليلية . [ 27 ] ووجد عمر الخيام (1048-1131) حلولاً هندسية للمعادلات التكعيبية . [ 28 ] كانت نظريات ابن الهيثم (الحسن) وعمر الخيام وناصر الدين الطوسي حول الأشكال الرباعية ، بما في ذلك شكل لامبرت الرباعي وشكل ساكيري الرباعي ، جزءًا من سلسلة أبحاث حول مسلمة التوازي التي واصلها علماء الهندسة الأوروبيون اللاحقون، بمن فيهم فيتيلو ( حوالي 1230 - حوالي 1314 )، وجيرسونيدس (1288-1344)، وألفونسو، وجون واليس ، وجيوفاني جيرولامو ساكيري ، والتي أدت بحلول القرن التاسع عشر إلى اكتشاف الهندسة الزائدية . [ 29 ] 

في أوائل القرن السابع عشر، شهد علم الهندسة تطورين هامين. أولهما ابتكار الهندسة التحليلية، أو الهندسة ذات الإحداثيات والمعادلات ، على يد رينيه ديكارت (1596-1650) وبيير دي فيرما (1601-1665). [ 30 ] وقد مثّل هذا التطور مقدمة ضرورية لتطور حساب التفاضل والتكامل ، وظهور علم فيزيائي كمي دقيق . [ 31 ] أما التطور الهندسي الثاني في هذه الفترة ، فكان الدراسة المنهجية للهندسة الإسقاطية على يد جيرار ديزارج (1591-1661). [ 32 ] تدرس الهندسة الإسقاطية خصائص الأشكال التي لا تتغير تحت الإسقاطات والمقاطع ، لا سيما فيما يتعلق بالمنظور الفني . [ 33 ]

أحدث تطوران في علم الهندسة خلال القرن التاسع عشر تغييرًا جذريًا في طريقة دراسته. [ 34 ] تمثلا في اكتشاف الهندسات غير الإقليدية على يد نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي، ويانوس بولياي، وكارل فريدريش غاوس، وفي صياغة التناظر كعنصر أساسي في برنامج إرلانجن لفيلكس كلاين (الذي عمّم الهندسات الإقليدية وغير الإقليدية). وكان من أبرز علماء الهندسة في ذلك الوقت برنارد ريمان (1826-1866)، الذي عمل بشكل أساسي بأدوات من التحليل الرياضي ، وقدم سطح ريمان ، وهنري بوانكاريه ، مؤسس الطوبولوجيا الجبرية والنظرية الهندسية للأنظمة الديناميكية . ونتيجةً لهذه التغيرات الجوهرية في مفهوم الهندسة، أصبح مفهوم " الفضاء " غنيًا ومتنوعًا، وشكّل الخلفية الطبيعية لنظريات مختلفة كالتحليل المركب والميكانيكا الكلاسيكية . [ 35 ]

المفاهيم الرئيسية

فيما يلي بعض أهم المفاهيم في الهندسة. [ 3 ] [ 36 ]

البديهيات

توضيح لفرضية التوازي عند إقليدس

اتخذ إقليدس منهجًا تجريديًا في الهندسة في كتابه "الأصول" ، [ 37 ] أحد أكثر الكتب تأثيرًا على الإطلاق. [ 38 ] قدّم إقليدس بعض البديهيات ، أو المسلّمات ، التي تعبّر عن الخصائص الأساسية أو البديهية للنقاط والخطوط والمستويات. [ 39 ] ثمّ شرع في استنتاج خصائص أخرى بدقة من خلال الاستدلال الرياضي. كانت السمة المميزة لمنهج إقليدس في الهندسة هي دقّته، وقد عُرف هذا المنهج بالهندسة البديهية أو التركيبية . [ 40 ] في مطلع القرن التاسع عشر، أدى اكتشاف الهندسات غير الإقليدية على يد نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي (1792-1856)، ويانوس بولياي (1802-1860)، وكارل فريدريش غاوس (1777-1855)، وآخرين [ 41 ] إلى إحياء الاهتمام بهذا المجال، وفي القرن العشرين، استخدم ديفيد هيلبرت (1862-1943) الاستدلال البديهي في محاولة لتوفير أساس حديث للهندسة. [ 42 ]

المساحات والفضاءات الفرعية

نقاط

تُعتبر النقاط عمومًا عناصر أساسية في بناء الهندسة. ويمكن تعريفها بالخصائص التي يجب أن تمتلكها، كما في تعريف إقليدس لها بأنها "ما ليس له جزء" [ 43 ] ، أو في الهندسة التركيبية . وفي الرياضيات الحديثة، تُعرَّف النقاط عمومًا بأنها عناصر مجموعة تُسمى الفضاء ، وهي بدورها مُعرَّفة بديهيًا .

مع هذه التعريفات الحديثة، يتم تعريف كل شكل هندسي على أنه مجموعة من النقاط؛ وهذا ليس هو الحال في الهندسة التركيبية، حيث يعتبر الخط كائنًا أساسيًا آخر لا يُنظر إليه على أنه مجموعة النقاط التي يمر بها.

مع ذلك، توجد هندسات حديثة لا تُعتبر فيها النقاط كائنات أولية، أو حتى بدون نقاط. [ 44 ] [ 45 ] ومن أقدم هذه الهندسات هندسة وايتهيد الخالية من النقاط ، التي صاغها ألفريد نورث وايتهيد في الفترة 1919-1920.

خطوط

وصف إقليدس الخط بأنه "طول بلا عرض" يقع "بشكل متساوٍ بالنسبة للنقاط الواقعة عليه". [ 43 ] في الرياضيات الحديثة، ونظرًا لتعدد الأشكال الهندسية، يرتبط مفهوم الخط ارتباطًا وثيقًا بكيفية وصف الشكل الهندسي. على سبيل المثال، في الهندسة التحليلية ، يُعرَّف الخط في المستوى غالبًا بأنه مجموعة النقاط التي تحقق إحداثياتها معادلة خطية معينة ، [ 46 ] ولكن في سياق أكثر تجريدًا، مثل هندسة التلاقي ، قد يكون الخط كيانًا مستقلًا، متميزًا عن مجموعة النقاط الواقعة عليه. [ 47 ] في الهندسة التفاضلية، يُعدّ الخط الجيوديسي تعميمًا لمفهوم الخط ليشمل الفضاءات المنحنية . [ 48 ]

طائرات

في الهندسة الإقليدية، المستوى هو سطح ثنائي الأبعاد مستوٍ يمتد إلى ما لا نهاية؛ [ 43 ] وتُعدّ تعريفات أنواع الهندسة الأخرى تعميماتٍ لهذا المفهوم. تُستخدم المستويات في العديد من مجالات الهندسة. على سبيل المثال، يمكن دراسة المستويات كسطح طوبولوجي دون الرجوع إلى المسافات أو الزوايا؛ [ 49 ] ويمكن دراستها كفضاء أفيني ، حيث يمكن دراسة الاستقامة والنسب دون المسافات؛ [ 50 ] ويمكن دراستها كمستوى مركب باستخدام تقنيات التحليل المركب ؛ [ 51 ] وهكذا.

منحنيات

المنحنى هو جسم أحادي البعد قد يكون مستقيماً (مثل الخط) أو لا؛ تسمى المنحنيات في الفضاء ثنائي الأبعاد بالمنحنيات المستوية وتسمى تلك الموجودة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالمنحنيات الفضائية . [ 52 ]

في علم الطوبولوجيا، يُعرَّف المنحنى بدالة من مجال الأعداد الحقيقية إلى فضاء آخر. [ 49 ] في الهندسة التفاضلية، يُستخدم التعريف نفسه، ولكن يُشترط أن تكون الدالة المُعرِّفة قابلة للتفاضل. [ 53 ] تدرس الهندسة الجبرية المنحنيات الجبرية ، والتي تُعرَّف بأنها أصناف جبرية ذات بُعد واحد. [ 54 ]

الأسطح

الكرة هي سطح يمكن تعريفه بشكل بارامتري (بواسطة x = r sin θ cos φ ، y = r sin θ sin φ ، z = r cos θ ) أو ضمنيًا (بواسطة x 2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0 ).

السطح هو جسم ثنائي الأبعاد، مثل الكرة أو القطع المكافئ. [ 55 ] في الهندسة التفاضلية [ 53 ] والطوبولوجيا ، [ 49 ] تُوصف الأسطح بـ"رقع" ثنائية الأبعاد (أو جوارات ) يتم تجميعها بواسطة التشاكلات التفاضلية أو التشاكلات الموضعية ، على التوالي. في الهندسة الجبرية، تُوصف الأسطح بمعادلات متعددة الحدود . [ 54 ]

المواد الصلبة

في الفضاء الإقليدي ، الكرة هي الحجم المحصور داخل كرة.

الجسم الصلب هو جسم ثلاثي الأبعاد محاط بسطح مغلق؛ على سبيل المثال، الكرة هي الحجم المحاط بالكرة.

مشعبات

المتشعب هو تعميم لمفهومي المنحنى والسطح. في علم الطوبولوجيا ، المتشعب هو فضاء طوبولوجي حيث لكل نقطة جوار متماثل شكليًا مع الفضاء الإقليدي. [ 49 ] في الهندسة التفاضلية ، المتشعب التفاضلي هو فضاء يكون فيه كل جوار متماثلًا شكليًا مع الفضاء الإقليدي. [ 53 ]

تُستخدم المتشعبات على نطاق واسع في الفيزياء، بما في ذلك في النسبية العامة ونظرية الأوتار . [ 56 ]

الزوايا

الزوايا الحادة (أ)، والمنفرجة (ب)، والمستقيمة (ج). وتُعرف الزوايا الحادة والمنفرجة أيضاً بالزوايا المائلة.

يُعرّف إقليدس الزاوية المستوية بأنها ميل خطين متقاطعين في مستوى واحد، ولا يقعان على خط مستقيم بالنسبة لبعضهما. [ 43 ] أما في المصطلحات الحديثة، فالزاوية هي الشكل المتكون من شعاعين ، يُطلق عليهما ضلعا الزاوية، يشتركان في نقطة بداية واحدة تُسمى رأس الزاوية. [ 57 ] ويُقاس قياس الزاوية بوحدة قياس الزاوية .

في الهندسة الإقليدية ، تُستخدم الزوايا لدراسة المضلعات والمثلثات ، كما تُشكّل موضوعًا للدراسة بحد ذاتها. [ 43 ] وتُشكّل دراسة زوايا المثلث أو الزوايا في دائرة الوحدة أساس علم المثلثات . [ 58 ]

في الهندسة التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل ، يمكن حساب الزوايا بين المنحنيات المستوية أو المنحنيات الفضائية أو الأسطح باستخدام المشتقة . [ 59 ] [ 60 ]

المقاييس: الطول، والمساحة، والحجم

يصف الطول والمساحة والحجم حجم أو مدى جسم ما في بُعد واحد وبُعدين وثلاثة أبعاد على التوالي .

في الهندسة الإقليدية والهندسة التحليلية ، يمكن في كثير من الأحيان حساب طول قطعة مستقيمة باستخدام نظرية فيثاغورس . [ 61 ]

يمكن تعريف المساحة والحجم ككميتين أساسيتين منفصلتين عن الطول، أو يمكن وصفهما وحسابهما بدلالة الأطوال في مستوى ثنائي الأبعاد أو في فضاء ثلاثي الأبعاد. وقد وجد علماء الرياضيات العديد من الصيغ الصريحة لحساب المساحة والحجم لمختلف الأشكال الهندسية. في حساب التفاضل والتكامل، يمكن تعريف المساحة والحجم بدلالة التكاملات ، مثل تكامل ريمان [ 62 ] أو تكامل لوبيغ [ 63 ] .

وتشمل المقاييس الهندسية الأخرى الانحناء والتراص .

المقاييس والمؤشرات

التحقق البصري من نظرية فيثاغورس للمثلث (3، 4، 5) كما في كتاب تشوبي سوانجينغ 500-200  قبل الميلاد. نظرية فيثاغورس هي نتيجة للمقياس الإقليدي .

يمكن تعميم مفهوم الطول أو المسافة، مما يؤدي إلى فكرة المقاييس . [ 64 ] على سبيل المثال، يقيس المقياس الإقليدي المسافة بين النقاط في المستوى الإقليدي ، بينما يقيس المقياس الزائدي المسافة في المستوى الزائدي . ومن الأمثلة المهمة الأخرى للمقاييس مقياس لورنتز في النسبية الخاصة ، والمقاييس شبه الريمانية في النسبية العامة . [ 65 ]

وفي اتجاه مختلف، يتم توسيع مفاهيم الطول والمساحة والحجم من خلال نظرية القياس ، التي تدرس طرق تحديد حجم أو قياس للمجموعات ، حيث تتبع القياسات قواعد مماثلة لتلك الخاصة بالمساحة والحجم الكلاسيكيين . [ 66 ]

التطابق والتشابه

التطابق والتشابه مفهومان يصفان متى تتشابه خصائص شكلين. [ 67 ] في الهندسة الإقليدية، يُستخدم التشابه لوصف الأجسام التي لها نفس الشكل، بينما يُستخدم التطابق لوصف الأجسام المتطابقة في الحجم والشكل. [ 68 ] وقد تعامل هيلبرت ، في عمله على وضع أساس أكثر دقة للهندسة، مع التطابق كمصطلح غير مُعرَّف، تُحدَّد خصائصه بواسطة بديهيات .

يتم تعميم التطابق والتشابه في هندسة التحويل ، التي تدرس خصائص الأشكال الهندسية التي يتم الحفاظ عليها بواسطة أنواع مختلفة من التحويلات. [ 69 ]

إنشاءات باستخدام البوصلة والمسطرة

أولى علماء الهندسة الكلاسيكيون اهتمامًا خاصًا بإنشاء الأشكال الهندسية التي وُصفت بطريقة أخرى. تقليديًا، كانت الأدوات الوحيدة المستخدمة في معظم الإنشاءات الهندسية هي الفرجار والمسطرة . [ د ] كما كان يجب إتمام كل إنشاء في عدد محدود من الخطوات. مع ذلك، تبين أن بعض المسائل صعبة أو مستحيلة الحل بهذه الوسائل وحدها، فتم ابتكار إنشاءات بارعة باستخدام المنحنيات ، والقطع المكافئ، وغيرها من المنحنيات، أو الأجهزة الميكانيكية.

الدوران والتوجيه

تحدد المفاهيم الهندسية للدوران والاتجاه جزءًا من وضع الأشياء المضمنة في المستوى أو في الفضاء.

الأبعاد

ندفة ثلج كوخ ، ذات بُعد كسري = log4/log3 وبُعد طوبولوجي = 1

سمحت الهندسة التقليدية بالأبعاد الثلاثة: 1 ( خط أو منحنى)، 2 ( مستوى أو سطح)، و3 (عالمنا المحيط بنا الذي يُتصور كفضاء ثلاثي الأبعاد ). علاوة على ذلك، استخدم علماء الرياضيات والفيزياء أبعادًا أعلى لما يقرب من قرنين من الزمان. [ 70 ] ومن الأمثلة على الاستخدام الرياضي للأبعاد الأعلى فضاء التكوين لنظام فيزيائي، والذي له بُعد يساوي درجات حرية النظام . على سبيل المثال، يمكن وصف تكوين برغي بخمس إحداثيات. [ 71 ]

في علم الطوبولوجيا العامة ، تم توسيع مفهوم البُعد من الأعداد الطبيعية إلى البُعد اللانهائي (كما في فضاءات هيلبرت ، على سبيل المثال) والأعداد الحقيقية الموجبة (في الهندسة الكسورية ). [ 72 ] أما في الهندسة الجبرية ، فقد حظي بُعد التنوع الجبري بعدد من التعريفات التي تبدو مختلفة، إلا أنها جميعًا متكافئة في معظم الحالات الشائعة. [ 73 ]

التناظر

تبليط المستوى الزائدي​

يُعدّ موضوع التناظر في الهندسة قديمًا قدم علم الهندسة نفسه تقريبًا. [ 74 ] وقد حظيت الأشكال المتناظرة، كالدائرة والمضلعات المنتظمة والمجسمات الأفلاطونية، بأهمية بالغة لدى العديد من الفلاسفة القدماء [ 75 ] ، ودُرست بتفصيل قبل عصر إقليدس . [ 39 ] وتظهر الأنماط المتناظرة في الطبيعة، وقد جُسدت فنيًا بأشكال متعددة، بما في ذلك رسومات ليوناردو دافنشي وإم سي إيشر وغيرهما. [ 76 ] وفي النصف الثاني من القرن التاسع عشر، خضعت العلاقة بين التناظر والهندسة لدراسة معمقة. وأعلن برنامج إرلانجن الذي وضعه فيليكس كلاين أن التناظر، بمعنى دقيق للغاية، والذي يُعبّر عنه من خلال مفهوم مجموعة التحويل ، يُحدد ماهية الهندسة . [ 77 ] يُعبَّر عن التناظر في الهندسة الإقليدية الكلاسيكية بالتطابقات والحركات الصلبة، بينما في الهندسة الإسقاطية، تلعب الاستقامات دورًا مشابهًا ، وهي تحويلات هندسية تُحوِّل الخطوط المستقيمة إلى خطوط مستقيمة. [ 78 ] مع ذلك، فقد استلهم كلاين فكرته القائلة بـ "تعريف الهندسة من خلال زمرة التناظر الخاصة بها " من الهندسات الجديدة لبولياي ولوباتشيفسكي، وريمان، وكليفورد وكلاين، وسوفوس لي. [ 79 ] يلعب كل من التناظرات المنفصلة والمتصلة أدوارًا بارزة في الهندسة، فالأولى في الطوبولوجيا ونظرية الزمر الهندسية ، [ 80 ] [ 81 ] والثانية في نظرية لي والهندسة الريمانية . [ 82 ] [ 83 ]

يُعد مبدأ الازدواجية في الهندسة الإسقاطية ، من بين مجالات أخرى، نوعًا مختلفًا من التناظر. ويمكن وصف هذه الظاهرة الفوقية تقريبًا كما يلي: في أي نظرية ، استبدل النقطة بالمستوى ، واربطها بالنقطة التي تلتقي بها ، واجعلها تقع في المستوى الذي يحتويها ، والنتيجة هي نظرية صحيحة بنفس القدر. [ 84 ] يوجد شكل مشابه ومرتبط ارتباطًا وثيقًا من الازدواجية بين فضاء متجهي وفضائه الثنائي . [ 85 ]

الهندسة المعاصرة

الهندسة الإقليدية

الهندسة الإقليدية هي الهندسة بمعناها الكلاسيكي. [ 86 ] ولأنها تُنمذج فضاء العالم المادي، فإنها تُستخدم في العديد من المجالات العلمية، مثل الميكانيكا وعلم الفلك وعلم البلورات ، [ 87 ] والعديد من المجالات التقنية، مثل الهندسة ، [ 88 ] والهندسة المعمارية ، [ 89 ] والجيوديسيا ، [ 90 ] والديناميكا الهوائية ، [ 91 ] والملاحة . [ 92 ] ويتضمن المنهج التعليمي الإلزامي في معظم الدول دراسة المفاهيم الإقليدية مثل النقاط والخطوط والمستويات والزوايا والمثلثات والتطابق والتشابه والأشكال المجسمة والدوائر والهندسة التحليلية . [ 93 ]

المتجهات الإقليدية

تُستخدم المتجهات الإقليدية في عدد لا يحصى من التطبيقات في الفيزياء والهندسة، مثل الموضع ، والإزاحة ، والتشوه ، والسرعة ، والتسارع ، والقوة ، وما إلى ذلك.

الهندسة التفاضلية

تستخدم الهندسة التفاضلية أدوات من حساب التفاضل والتكامل لدراسة المشكلات التي تتضمن الانحناء.

تستخدم الهندسة التفاضلية تقنيات التفاضل والتكامل والجبر الخطي لدراسة مسائل الهندسة. [ 94 ] ولها تطبيقات في الفيزياء ، [ 95 ] والاقتصاد القياسي ، [ 96 ] والمعلوماتية الحيوية ، [ 97 ] وغيرها.

تكتسب الهندسة التفاضلية أهمية خاصة في الفيزياء الرياضية نظرًا لفرضية النسبية العامة لألبرت أينشتاين التي تنص على أن الكون منحني . [ 98 ] ويمكن أن تكون الهندسة التفاضلية إما جوهرية (أي أن الفضاءات التي تدرسها عبارة عن فضاءات متعددة الشعب ملساء ، تخضع بنيتها الهندسية لمقياس ريماني يحدد كيفية قياس المسافات بالقرب من كل نقطة) أو خارجية (حيث يكون الجسم قيد الدراسة جزءًا من فضاء إقليدي مسطح محيط). [ 99 ]

الهندسة غير الإقليدية

تتألف الهندسة غير الإقليدية من هندستين مبنيتين على بديهيات وثيقة الصلة بتلك التي تحدد الهندسة الإقليدية . ولأن الهندسة الإقليدية تقع عند تقاطع الهندسة المترية والهندسة الأفينية ، تنشأ الهندسة غير الإقليدية إما باستبدال مسلمة التوازي بأخرى بديلة، أو بالنظر في أشكال تربيعية غير الأشكال التربيعية المحددة المرتبطة بالهندسة المترية . في الحالة الأولى، نحصل على الهندسة الزائدية والهندسة الإهليلجية ، وهما الهندستان غير الإقليديتان التقليديتان. وعند قبول الأشكال التربيعية المتناحية ، تظهر مستويات أفينية مرتبطة بالجبر المستوي ، والتي تُنتج هندسات حركية تُسمى أيضاً بالهندسة غير الإقليدية.

الطوبولوجيا

زيادة في سمك عقدة البرسيم

علم الطوبولوجيا هو المجال المعني بخصائص التطبيقات المتصلة ، [ 100 ] ويمكن اعتباره تعميمًا للهندسة الإقليدية. [ 101 ] عمليًا، غالبًا ما يعني علم الطوبولوجيا التعامل مع خصائص الفضاءات واسعة النطاق، مثل الاتصال والتراص . [ 49 ]

يُعدّ علم الطوبولوجيا، الذي شهد تطورًا هائلًا في القرن العشرين، من الناحية التقنية نوعًا من هندسة التحويلات ، حيث تكون التحويلات عبارة عن تماثلات شكلية . [ 102 ] وقد عُبّر عن ذلك غالبًا بالقول: "الطوبولوجيا هي هندسة الصفائح المطاطية". تشمل فروع الطوبولوجيا الطوبولوجيا الهندسية ، والطوبولوجيا التفاضلية ، والطوبولوجيا الجبرية ، والطوبولوجيا العامة . [ 103 ]

الهندسة الجبرية

ثلاثي كالابي-ياو الخماسي

الهندسة الجبرية هي في جوهرها دراسة بعض الأشكال الهندسية، التي تُسمى المجموعات الجبرية ، باستخدام الطرق الجبرية، وتُعرَّف بأنها أصفار مشتركة لكثيرات الحدود متعددة المتغيرات . [ 104 ] أصبحت الهندسة الجبرية فرعًا مستقلًا من فروع الهندسة حوالي عام 1900 ، مع ظهور نظرية تُعرف باسم نظرية هيلبرت للأصفار، والتي تُثبت وجود تطابق قوي بين المجموعات الجبرية ومثاليات حلقات كثيرات الحدود . وقد أدى ذلك إلى تطور موازٍ للهندسة الجبرية، ونظيرتها الجبرية، التي تُسمى الجبر التبادلي . [ 105 ] منذ أواخر الخمسينيات وحتى منتصف السبعينيات، شهدت الهندسة الجبرية تطورًا تأسيسيًا كبيرًا، مع تقديم ألكسندر غروتينديك لنظرية المخططات ، التي تسمح باستخدام الطرق الطوبولوجية ، بما في ذلك نظريات التماثل، في سياق جبري بحت. [ 105 ] سمحت نظرية المخططات بحل العديد من المسائل الصعبة، ليس فقط في الهندسة، بل في نظرية الأعداد أيضًا . يُعد برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة مثالًا شهيرًا على مسألة عريقة في نظرية الأعداد ، والتي يعتمد حلها على نظرية المخططات وامتداداتها، مثل نظرية الرص . إحدى مسائل جائزة الألفية السبع ، وهي حدسية هودج ، تُعدّ مسألة في الهندسة الجبرية. [ 106 ]

للهندسة الجبرية تطبيقات في العديد من المجالات، بما في ذلك التشفير [ 107 ] ونظرية الأوتار . [ 108 ]

هندسة معقدة

يدرس علم الهندسة المركبة طبيعة البنى الهندسية المُصممة على المستوى المركب أو الناشئة عنه . [ 109 ] [ 110 ] [ 111 ] يقع علم الهندسة المركبة عند تقاطع الهندسة التفاضلية والهندسة الجبرية وتحليل المتغيرات المركبة المتعددة ، وقد وجد تطبيقات في نظرية الأوتار وتناظر المرآة . [ 112 ]

ظهرت الهندسة المركبة لأول مرة كمجال دراسي مستقل في أعمال برنارد ريمان ودراسته لأسطح ريمان . [ 113 ] [ 114 ] [ 115 ] وقد واصلت المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية العمل على نهج ريمان في أوائل القرن العشرين. بدأ تناول الهندسة المركبة المعاصر مع أعمال جان بيير سير ، الذي أدخل مفهوم الحزم إلى هذا المجال، وأوضح العلاقات بين الهندسة المركبة والهندسة الجبرية. [ 116 ] [ 117 ] تتمثل المواضيع الرئيسية للدراسة في الهندسة المركبة في المشعبات المركبة ، والأصناف الجبرية المركبة ، والأصناف التحليلية المركبة ، وحزم المتجهات الهولومورفية ، والحزم المتماسكة فوق هذه الفضاءات. ومن الأمثلة الخاصة على الفضاءات التي دُرست في الهندسة المركبة أسطح ريمان، ومشعبات كالابي-ياو ، وتُستخدم هذه الفضاءات في نظرية الأوتار. على وجه الخصوص، يتم نمذجة صفائح العالم من الأوتار بواسطة أسطح ريمان، وتتنبأ نظرية الأوتار الفائقة بأن الأبعاد الستة الإضافية للزمكان ذي الأبعاد العشرة يمكن نمذجتها بواسطة مشعبات كالابي-ياو.

الهندسة المنفصلة

يشمل علم الهندسة المنفصلة دراسة أنواع مختلفة من تعبئة الكرات .

الهندسة المتقطعة فرع من فروع الهندسة يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالهندسة المحدبة . [ 118 ] [ 119 ] [ 120 ] وهي تُعنى أساسًا بمسائل الموقع النسبي للأشكال الهندسية البسيطة، مثل النقاط والخطوط والدوائر. ومن الأمثلة على ذلك دراسة تعبئة الكرات ، والتثليث ، وفرضية كنيسر-بولسن، وغيرها. [ 121 ] [ 122 ] وتتشابه الهندسة المتقطعة مع علم التوافيق في العديد من الأساليب والمبادئ .

الهندسة الحسابية

يتناول علم الهندسة الحسابية الخوارزميات وتطبيقاتها لمعالجة الأشكال الهندسية. ومن بين المشكلات المهمة تاريخياً: مسألة البائع المتجول ، والأشجار الممتدة الدنيا ، وإزالة الخطوط المخفية ، والبرمجة الخطية . [ 123 ]

على الرغم من كونها مجالًا حديثًا في الهندسة، إلا أن لها العديد من التطبيقات في رؤية الكمبيوتر ، ومعالجة الصور ، والتصميم بمساعدة الكمبيوتر ، والتصوير الطبي ، وما إلى ذلك. [ 124 ]

نظرية المجموعة الهندسية

الرسم البياني لكايلي للمجموعة الحرة على مولدين a و b

يُفهم مفهوم الزمر على أنها كائنات هندسية منذ برنامج إرلانجن لكلاين . تدرس نظرية الزمر الهندسية تأثيرات الزمر على الكائنات التي تُعتبر هندسية (وخاصةً التأثيرات المتساوية القياس على الفضاءات المترية ) لدراسة الزمر المولدة نهائيًا ، وغالبًا ما تتضمن تقنيات هندسية واسعة النطاق [ 125 ] وتستعين بعلم الطوبولوجيا والهندسة والديناميكا والتحليل. [ 126 ] كان لها تأثير كبير على الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد ، ومن أبرز نتائجها برهان أغول على حدسية هاكن الافتراضية التي تجمع بين هندسة بيرلمان وتقنيات التكعيب . [ 127 ]

تُعدّ تأثيرات المجموعات على رسوم كايلي أمثلةً أساسيةً لتأثيرات المجموعات المتساوية القياس. تشمل المواضيع الرئيسية الأخرى شبه التساويات ، ومجموعات غروموف الزائدية وتعميماتها ( المجموعات الزائدية النسبية والأسطوانية )، والمجموعات الحرة وتشاكلاتها الذاتية ، والمجموعات المؤثرة على الأشجار ، ومفاهيم مختلفة للانحناء غير الموجب للمجموعات ( مجموعات CAT(0) ، ودوال دين ، والتلقائية ، إلخ)، ومجموعات آرتين ذات الزوايا القائمة ، ومواضيع قريبة من نظرية المجموعات التوافقية مثل نظرية الإلغاء الصغير والمسائل الخوارزمية (مثل مسائل الكلمة ، والاقتران ، والتشاكل ). تُعتبر مواضيع أخرى في نظرية المجموعات، مثل مجموعات فئات التعيين ، والخاصية (T) ، وقابلية الحل ، وقابلية التقريب ، والشبكات في مجموعات لي، هندسيةً بقوة في بعض الأحيان. [ 125 ] [ 128 ] [ 129 ] [ 130 ]

الهندسة المحدبة

يستكشف علم الهندسة المحدبة الأشكال المحدبة في الفضاء الإقليدي ونظائره الأكثر تجريدًا، وغالبًا ما يستخدم تقنيات التحليل الحقيقي والرياضيات المتقطعة . [ 131 ] وله صلات وثيقة بالتحليل المحدب ، والتحسين ، والتحليل الوظيفي ، وله تطبيقات مهمة في نظرية الأعداد .

يعود تاريخ الهندسة المحدبة إلى العصور القديمة. [ 131 ] وقدّم أرخميدس أول تعريف دقيق معروف للتحدب. كما درس الإغريق، بمن فيهم زينودوروس ، مسألة المحيط المتساوي، وهي مفهوم متكرر في الهندسة المحدبة. درس أرخميدس وأفلاطون وإقليدس ، ولاحقًا كبلر وكوكسيتر ، المضلعات المحدبة وخصائصها. ومنذ القرن التاسع عشر، درس علماء الرياضيات مجالات أخرى من الرياضيات المحدبة، بما في ذلك المضلعات متعددة الأبعاد، وحجم ومساحة سطح الأجسام المحدبة، وانحناء غاوس ، والخوارزميات ، والتبليط ، والشبكات .

التطبيقات

لقد وجدت الهندسة تطبيقات في العديد من المجالات، بعضها موصوف أدناه.

فن

المدرسة البوعنانية، فاس، المغرب، بلاط فسيفساء الزليج يشكل فسيفساء هندسية متقنة

ترتبط الرياضيات والفن بطرق متنوعة. فعلى سبيل المثال، أظهرت نظرية المنظور أن الهندسة تتجاوز مجرد الخصائص المترية للأشكال: فالمنظور هو أصل الهندسة الإسقاطية . [ 132 ]

لطالما استخدم الفنانون مفاهيم التناسب في التصميم. وقد وضع فيتروفيوس نظرية معقدة حول النسب المثالية لجسم الإنسان. [ 133 ] وقد استخدم الفنانون هذه المفاهيم وطوروها، بدءًا من مايكل أنجلو وصولًا إلى رسامي القصص المصورة المعاصرين. [ 134 ]

النسبة الذهبية هي نسبة معينة لعبت دورًا مثيرًا للجدل في الفن. يُزعم غالبًا أنها النسبة الأكثر جمالًا للأطوال، ويُقال إنها مُدمجة في أعمال فنية شهيرة، على الرغم من أن أكثر الأمثلة موثوقية ووضوحًا تم إنشاؤها عمدًا من قبل فنانين على دراية بهذه الأسطورة. [ 135 ]

استُخدمت الزخارف الهندسية ، أو التبليط، في الفنون عبر التاريخ. ويُكثر الفن الإسلامي من استخدامها، كما فعل فن إم سي إيشر . [ 136 ] وقد وظّف إيشر في أعماله الهندسة الزائدية .

طرح سيزان نظرية مفادها أن جميع الصور يمكن بناؤها من الكرة والمخروط والأسطوانة . ولا تزال هذه النظرية مستخدمة في نظريات الفن حتى اليوم، على الرغم من أن قائمة الأشكال الدقيقة تختلف من فنان لآخر. [ 137 ] [ 138 ]

بنيان

للهندسة تطبيقات عديدة في الهندسة المعمارية. بل قيل إن الهندسة تُشكّل جوهر التصميم المعماري. [ 139 ] [ 140 ] تشمل تطبيقات الهندسة في الهندسة المعمارية استخدام الهندسة الإسقاطية لإنشاء منظور قسري ، [ 141 ] واستخدام القطوع المخروطية في بناء القباب والأجسام المشابهة، [ 89 ] واستخدام التبليط ، [ 89 ] واستخدام التناظر. [ 89 ]

الفيزياء

لقد شكّل مجال علم الفلك ، ولا سيما فيما يتعلق برسم خرائط مواقع النجوم والكواكب على الكرة السماوية ووصف العلاقة بين حركات الأجرام السماوية، مصدراً مهماً للمسائل الهندسية عبر التاريخ. [ 142 ]

تُستخدم الهندسة الريمانية والهندسة الريمانية الزائفة في النسبية العامة . [ 143 ] وتستخدم نظرية الأوتار عدة أنواع من الهندسة، [ 144 ] كما تفعل نظرية المعلومات الكمومية . [ 145 ]

مجالات أخرى من الرياضيات

مثلث قائم الزاوية طول ضلعيه 1، وطول وتره √2 (عدد غير نسبي).
اكتشف الفيثاغوريون أن أطوال أضلاع المثلث يمكن أن تكون غير قابلة للقياس .

تأثر علم التفاضل والتكامل بشدة بالهندسة. [ 30 ] فعلى سبيل المثال، شكّل إدخال الإحداثيات على يد رينيه ديكارت والتطورات المتزامنة في الجبر مرحلة جديدة للهندسة، إذ أصبح بالإمكان تمثيل الأشكال الهندسية، مثل المنحنيات المستوية، تحليليًا في صورة دوال ومعادلات. وقد لعب هذا دورًا محوريًا في ظهور حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي في القرن السابع عشر. ولا تزال الهندسة التحليلية ركنًا أساسيًا في مناهج ما قبل التفاضل والتكامل والتفاضل والتكامل. [ 146 ] [ 147 ]

يُعدّ علم الأعداد مجالًا مهمًا آخر للتطبيق . [ 148 ] في اليونان القديمة ، درس الفيثاغوريون دور الأعداد في الهندسة. إلا أن اكتشاف الأطوال غير القابلة للقياس تناقض مع آرائهم الفلسفية. [ 149 ] منذ القرن التاسع عشر، استُخدمت الهندسة لحلّ مسائل في علم الأعداد، على سبيل المثال من خلال هندسة الأعداد ، أو مؤخرًا، من خلال نظرية المخططات ، التي استُخدمت في برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة . [ 150 ]

انظر أيضاً

القوائم
مواضيع ذات صلة
تطبيقات أخرى

ملحوظات

  1. ↑ (من اليونانية القديمة γεωμετρία ( geōmetría ) ' قياس الأرض ' ؛ من γῆ ( gê ) ' الأرض، الأرض ' و μέτρον ( مترون ) ' قياس ' )   
  2. حتى القرن التاسع عشر، هيمنت على علم الهندسة فرضية أن جميع الإنشاءات الهندسية إقليدية. وفي القرن التاسع عشر وما بعده، واجه هذا الافتراض تحديًا مع تطور الهندسة الزائدية على يد لوباتشيفسكي ، وغيرها من الهندسات غير الإقليدية التي وضعها غاوس وغيره. حينها ، أُدرك أن الهندسة غير الإقليدية الضمنية قد ظهرت عبر التاريخ، بما في ذلك أعمال ديزارغ في القرن السابع عشر، وصولًا إلى الاستخدام الضمني للهندسة الكروية لفهم جيوديسية الأرض والملاحة في المحيطات منذ القدم.
  3. ↑ الثلاثيات الفيثاغورية هي ثلاثيات من الأعداد الصحيحة(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}بخصوص العقار:أ2+ب2=ج2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. هكذا،32+42=52{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}،82+152=172{\displaystyle 8^{2}+15^{2}=17^{2}}،122+352=372{\displaystyle 12^{2}+35^{2}=37^{2}}إلخ.
  4. ↑ كان لدى الإغريق القدماء بعض التركيبات باستخدام أدوات أخرى.

مراجع

  1. ↑ "الهندسة - الصيغ والأمثلة | الهندسة المستوية والفراغية" . كيومث . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 أغسطس 2023 .
  2. ↑ فينتشنزو دي ريسي (2015). رياضيات الفضاء: موضوعات الهندسة من العصور القديمة إلى أوائل العصر الحديث . بيركهاوزر. ص 1–. ISBN  978-3-319-12102-4أُرشف من المصدر الأصلي في 20 فبراير 2021. تم الاطلاع عليه في 14 سبتمبر 2019 .
  3. 1 2 تاباك، جون (2014). الهندسة: لغة الفضاء والشكل . دار إنفوبيس للنشر. ص. 14. ISBN  978-0-8160-4953-0.
  4. ↑ والتر أ. ماير (2006). الهندسة وتطبيقاتها . إلسيفير. ISBN 978-0-08-047803-6أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 14 سبتمبر 2019 .
  5. ↑ فريبيرغ، يوران (1981). "أساليب وتقاليد الرياضيات البابلية" . هيستوريا ماثيماتيكا . 8 (3): 277-318 . doi : 10.1016/0315-0860(81)90069-0 .
  6. ↑ نويغباور، أوتو (1969) [1957]. "الفصل الرابع: الرياضيات وعلم الفلك المصري" . العلوم الدقيقة في العصور القديمة ( الطبعة الثانية). منشورات دوفر . الصفحات 71-96 . ISBN   978-0-486-22332-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 14 أغسطس 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 فبراير 2021 ..
  7. ↑ ( بوير 1991 ، "مصر" ص 19)
  8. ↑ أوسندريفر، ماثيو (29 يناير 2016). "علماء الفلك البابليون القدماء حسبوا موقع كوكب المشتري من المساحة تحت منحنى السرعة الزمنية". مجلة ساينس . 351 (6272): 482-484 . Bibcode : 2016Sci...351..482O . doi : 10.1126/science.aad8085 . PMID 26823423. S2CID 206644971 .  
  9. ↑ ديبويدت، ليو (1 يناير 1998). "المجانيق في مروي وعلم المثلثات المبكر". مجلة علم الآثار المصرية . 84 : 171-180 . doi : 10.2307/3822211 . JSTOR 3822211 . 
  10. ↑ سلايمان، أندرو (27 مايو 1998). "مراقبو السماء في العصر الحجري الحديث" . أرشيف مجلة علم الآثار . مؤرشف من الأصل في 5 يونيو 2011. تم الاطلاع عليه في 17 أبريل 2011 .
  11. ↑ ( بوير 1991 ، "إيونيا والفيثاغوريون" ص 43)
  12. ↑ إيفز، هوارد، مقدمة في تاريخ الرياضيات ، سوندرز، 1990، رقم ISBN 0-03-029558-0.
  13. ↑ كورت فون فريتز (1945). "اكتشاف عدم قابلية القياس بواسطة هيباسوس الميتابونتي". كلاسيكيات في تاريخ الرياضيات اليونانية . حوليات الرياضيات؛ دراسات بوسطن في فلسفة العلوم. المجلد 240. حوليات الرياضيات، أمناء جامعة برينستون نيابة عن حوليات الرياضيات، قسم الرياضيات، جامعة برينستون. الصفحات 211-231 . doi : 10.1007/978-1-4020-2640-9_11 . ISBN   978-90-481-5850-8JSTOR 1969021​​ {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  14. ↑ جيمس ر. تشويك (1980). " النجمة الخماسية واكتشاف عدد غير نسبي" . مجلة الرياضيات للكليات المتوسطة . 11 (5): 312-316 . doi : 10.2307/3026893 . JSTOR 3026893. مؤرشف من الأصل في 9 سبتمبر 2022. تم الاطلاع عليه في 9 سبتمبر 2022 . 
  15. ↑ ( بوير 1991 ، "عصر أفلاطون وأرسطو" ص 92)
  16. ↑ ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري" ص 119)
  17. ↑ ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري" ص 104)
  18. ↑ هوارد إيفز ، مقدمة في تاريخ الرياضيات ، ساوندرز، 1990، رقم ISBN 0-03-029558-0ص 141: "لم يُستخدم أي عمل، باستثناء الكتاب المقدس ، على نطاق أوسع...".
  19. ↑ أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف (فبراير 1996). "تاريخ حساب التفاضل والتكامل" . جامعة سانت أندروز . مؤرشف من الأصل في 15 يوليو 2007. تم الاطلاع عليه في 7 أغسطس 2007 .
  20. ↑ ستال، فريتس (1999). "الهندسة اليونانية والفيدية". مجلة الفلسفة الهندية . 27 ( 1-2 ): 105-127 . doi : 10.1023/A:1004364417713 . S2CID 170894641 . 
  21. ↑ ( كوك، 2005 ، ص 198) : "يتضمن المحتوى الحسابي لـ" شولفا سوترا" قواعد لإيجاد ثلاثيات فيثاغورس مثل (3، 4، 5)، (5، 12، 13)، (8، 15، 17)، و(12، 35، 37). ولا يُعرف على وجه اليقين ما هي الفائدة العملية لهذه القواعد الحسابية. وأفضل تفسير هو أنها كانت جزءًا من طقوس دينية. إذ كان يُشترط في المنزل الهندوسي وجود ثلاث نيران مشتعلة في ثلاثة مذابح مختلفة. وكان من المفترض أن تكون المذابح الثلاثة بأشكال مختلفة، ولكن بمساحة متساوية. وقد أدت هذه الشروط إلى ظهور مسائل "ديوفانتية" معينة، من بينها توليد ثلاثيات فيثاغورس، بحيث يكون مربع عدد صحيح مساويًا لمجموع مربعين آخرين." 
  22. ↑ ( هاياشي 2005 ، ص 371) 
  23. 1 2 ( هاياشي 2003 ، ص 121-122) 
  24. ↑ رشيد، رشدي (1994). تطور الرياضيات العربية : بين الحساب والجبر . دراسات بوسطن في فلسفة العلوم. المجلد 156. ص 35. doi : 10.1007/978-94-017-3274-1 . ISBN    978-0-7923-2565-9. OCLC 29181926 . 
  25. ↑ ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية"، ص 241-242) "كتب عمر الخيام (حوالي 1050-1123)، الملقب بـ"صانع الخيام"، كتابًا في الجبر تجاوز كتاب الخوارزمي ليشمل معادلات الدرجة الثالثة. وكما فعل أسلافه العرب، قدم عمر الخيام حلولًا حسابية وهندسية للمعادلات التربيعية؛ أما بالنسبة للمعادلات التكعيبية العامة، فقد اعتقد (خطأً، كما تبين لاحقًا في القرن السادس عشر) أن الحلول الحسابية مستحيلة؛ ولذلك قدم حلولًا هندسية فقط. وقد سبق أن استخدم مناحيموس وأرخميدس والحزان أسلوب استخدام القطوع المخروطية المتقاطعة لحل المعادلات التكعيبية، لكن عمر الخيام اتخذ خطوة جديرة بالثناء بتعميم هذه الطريقة لتشمل جميع معادلات الدرجة الثالثة (ذات الجذور الموجبة). .. بالنسبة للمعادلات من الدرجات الأعلى من ثلاثة، من الواضح أن عمر الخيام لم يتصور أساليب هندسية مماثلة، لأن الفضاء لا يحتوي أكثر من ثلاثة أبعاد... كان من أبرز إسهامات الانتقائية العربية الميل إلى سد الفجوة بين الجبر العددي والجبر الهندسي. وجاءت الخطوة الحاسمة في هذا الاتجاه لاحقًا مع ديكارت، لكن عمر الخيام كان يسير في هذا الاتجاه حين كتب: "من ظن أن الجبر حيلةٌ لإيجاد المجاهيل فقد ظن عبثًا. لا ينبغي الالتفات إلى اختلاف الجبر والهندسة في المظهر، فالجبر حقائق هندسية مثبتة".
  26. ^ أوكونور، جون ج. روبرتسون، إدموند ف. "المهاني" . MacTutor تاريخ أرشيف الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
  27. ^ أوكونور، جون ج. روبرتسون، إدموند ف. “السبي ثابت بن قرة الحراني” . MacTutor تاريخ أرشيف الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
  28. ↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف. "عمر الخيام" . أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
  29. ↑ بوريس أ. روزنفيلد وأدولف ب. يوشكيفيتش (1996)، "الهندسة"، في رشدي راشد، محرر، موسوعة تاريخ العلوم العربية ، المجلد 2، الصفحات 447-494 [470]، روتليدج ، لندن ونيويورك:
    قدّم ثلاثة علماء، هم ابن الهيثم والخيام والطوسي، إسهامًا بالغ الأهمية في هذا الفرع من الهندسة، الذي لم تُدرك أهميته بالكامل إلا في القرن التاسع عشر. فقد جسّدت مقترحاتهم المتعلقة بخصائص الأشكال الرباعية، التي درسوها بافتراض أن بعض زوايا هذه الأشكال حادة أو منفرجة، النظريات الأولى في الهندسة الزائدية والقطع الناقص. وأظهرت مقترحاتهم الأخرى أن العديد من العبارات الهندسية تُكافئ المسلّمة الإقليدية الخامسة. ومن الأهمية بمكان أن هؤلاء العلماء قد أثبتوا العلاقة المتبادلة بين هذه المسلّمة ومجموع زوايا المثلث والشكل الرباعي. ومن خلال أعمالهم في نظرية الخطوط المتوازية، أثّر علماء الرياضيات العرب بشكل مباشر على الدراسات ذات الصلة التي أجراها نظراؤهم الأوروبيون. وكانت أول محاولة أوروبية لإثبات مسلّمة الخطوط المتوازية من قِبل العالم البولندي ويتيلو في القرن الثالث عشر، أثناء مراجعته لكتاب المناظر لابن الهيثم. لا شك أن المصادر العربية كانت وراء ذلك. فالبراهين التي قدمها العالم اليهودي ليفي بن جيرسون، الذي عاش في جنوب فرنسا، وألفونسو المذكور آنفًا من إسبانيا، في القرن الرابع عشر، تكاد تتطابق مع برهان ابن الهيثم. وقد بيّنا سابقًا أن شرح الطوسي الزائف لإقليدس قد حفّز دراسات كلٍّ من ج. واليس وج. ساكيري لنظرية الخطوط المتوازية.
  30. 1 2 كارل ب. بوير (2012). تاريخ الهندسة التحليلية . شركة كورير. ISBN 978-0-486-15451-0أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 26 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  31. ↑ سي إتش إدواردز الابن (2012). التطور التاريخي لحساب التفاضل والتكامل . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 95. ISBN  978-1-4612-6230-5أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 29 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  32. ↑ جوديث ف. فيلد ؛ جيريمي غراي (2012). العمل الهندسي لجيرارد ديزارغ . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 43. ISBN  978-1-4613-8692-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  33. ↑ سي آر وايلي (2011). مقدمة في الهندسة الإسقاطية . شركة كورير. رقم ISBN 978-0-486-14170-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  34. ↑ جيريمي غراي (2011). عوالم من العدم: دورة في تاريخ الهندسة في القرن التاسع عشر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-85729-060-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 7 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  35. ↑ إدواردو بايرو-كوروتشانو (2018). تطبيقات الجبر الهندسي، المجلد الأول: رؤية الحاسوب، والرسومات، والحوسبة العصبية . سبرينغر. ص 4. ISBN  978-3-319-74830-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  36. ↑ موريس كلاين (1990). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة: المجلد 3. الولايات المتحدة: مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 1010–. ISBN  978-0-19-506137-6أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 14 سبتمبر 2019 .
  37. ↑ فيكتور ج. كاتز (2000). استخدام التاريخ لتدريس الرياضيات: منظور دولي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 45 وما بعدها. ISBN  978-0-88385-163-0أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 14 سبتمبر 2019 .
  38. ↑ ديفيد بيرلينسكي (2014). ملك الفضاء اللامتناهي: إقليدس وعناصره . دار بيسيك بوكس. رقم ISBN 978-0-465-03863-3.
  39. 1 2 روبن هارتشورن (2013). الهندسة: إقليدس وما بعده . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 29–. ISBN  978-0-387-22676-7أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 14 سبتمبر 2019 .
  40. ↑ بات هيربست؛ تارو فوجيتا؛ ستيفان هالفيرشيد؛ مايكل فايس (2017). تعلم وتدريس الهندسة في المدارس الثانوية: منظور نمذجة . تايلور وفرانسيس. ص 20–. ISBN  978-1-351-97353-3أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 14 سبتمبر 2019 .
  41. ↑ ياغلوم، آي إم (2012). هندسة غير إقليدية بسيطة وأساسها الفيزيائي: شرح مبسط للهندسة الغاليلية ومبدأ غاليليو النسبي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 6–. ISBN  978-1-4612-6135-3أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 14 سبتمبر 2019 .
  42. ↑ أودون هولم (2010). الهندسة: تراثنا الثقافي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 254–. ISBN  978-3-642-14441-7أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 14 سبتمبر 2019 .
  43. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ أصول إقليدس - جميع الكتب الثلاثة عشر في مجلد واحد ، استنادًا إلى ترجمة هيث، دار غرين ليون للنشر ، رقم ISBN 1-888009-18-7.
  44. ↑ جيرلا، ج. (1995). "الهندسات غير النقطية" (ملف PDF) . في: بوكينهوت، ف.؛ كانتور، و. (محرران). دليل هندسة السقوط: المباني والأساسات . نورث هولاند. الصفحات 1015-1031 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 17 يوليو 2011. 
  45. ↑ كلارك، بومان ل. (يناير 1985). "الأفراد والنقاط" . مجلة نوتردام للمنطق الصوري . 26 (1): 61-75 . doi : 10.1305/ndjfl/1093870761 .
  46. ↑ جون كيسي (1885). الهندسة التحليلية للنقطة والخط والدائرة والقطوع المخروطية .
  47. ↑ فرانسيس بوكينهوت، محرر (1995). دليل هندسة السقوط : المباني والأساسات . أمستردام: إلسيفير. ISBN  978-0-444-88355-1. OCLC 162589397 . 
  48. ↑ "جيوديسي - تعريف الجيوديسي باللغة الإنجليزية من قاموس أكسفورد" . OxfordDictionaries.com . مؤرشف من الأصل في 15 يوليو 2016. تم الاطلاع عليه في 20 يناير 2016 .
  49. 1 2 3 4 5 مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا . المجلد 2 ( الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول، إنك. ISBN   0-13-181629-2. OCLC 42683260 . 
  50. ↑ شميليف، واندا (1983). من الهندسة الأفينية إلى الهندسة الإقليدية . سبرينغر. ISBN 978-90-277-1243-1أُرشف من المصدر الأصلي في 1 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 9 سبتمبر 2022 .
  51. ↑ أهلفورس، لارس ف. (1979). التحليل المركب : مقدمة في نظرية الدوال التحليلية لمتغير مركب واحد ( الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN   9780070006577OCLC 4036464. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 9 سبتمبر 2022 . 
  52. ↑ بيكر، هنري فريدريك. مبادئ الهندسة. المجلد 2. أرشيف مطبعة جامعة كامبريدج، 1954.
  53. 1 2 3 كارمو، مانفريدو بيرديغاو دو (1976). الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح . المجلد 2. إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN  0-13-212589-7OCLC 1529515. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 9 سبتمبر 2022 . 
  54. 1 2 مامفورد، ديفيد (1999). الكتاب الأحمر للأنواع والمخططات يتضمن محاضرات ميشيغان حول المنحنيات ومحدداتها اليعقوبية ( الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . ISBN  978-3-540-63293-1. Zbl 0945.14001 . 
  55. ↑ بريجز، وليام ل.، ولايل كوكران حساب التفاضل والتكامل. "المتعالي المبكر." رقم ISBN 978-0-321-57056-7.
  56. ↑ ياو، شينغ تونغ ؛ ناديس، ستيف (2010). شكل الفضاء الداخلي: نظرية الأوتار وهندسة الأبعاد الخفية للكون . دار بيسيك بوكس. رقم ISBN 978-0-465-02023-2.
  57. ↑ سيدوروف، ل. أ. (2001) [1994]. "الزاوية" . موسوعة الرياضيات . دار نشر EMS .
  58. ↑ جيلفاند، آي إم (2001). علم المثلثات . مارك إي. سول. بوسطن: بيركهاوزر. ص 1-20 . ISBN  0-8176-3914-4OCLC 41355833. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 10 سبتمبر 2022 . 
  59. ↑ ستيوارت، جيمس (2012). حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ، الطبعة السابعة، بروكس كول سينجج ليرنينج. ISBN 978-0-538-49790-9
  60. ↑ جوست، يورغن (2002). الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي . برلين: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-3-540-42627-1..
  61. ↑ جيمس دبليو. كانون (2017). هندسة الأطوال والمساحات والأحجام . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 11. ISBN  978-1-4704-3714-5أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 31 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  62. ↑ جيلبرت سترانج (1991). حساب التفاضل والتكامل . سيام. رقم ISBN 978-0-9614088-2-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  63. ↑ إتش إس بير (2002). مدخل إلى تكامل لوبيغ . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-083971-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 25 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  64. ↑ ديمتري بوراجو ، يو دي بوراجو ، سيرجي إيفانوف (عالم رياضيات)، دورة في الهندسة المترية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، 2001، رقم ISBN 0-8218-2129-6.
  65. ↑ والد، روبرت م. (1984). النسبية العامة . مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 978-0-226-87033-5.
  66. ↑ تيرينس تاو (2011). مقدمة في نظرية القياس . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-6919-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  67. ↑ شلومو ليبسكيند (2008). الهندسة الإقليدية والتحويلية: بحث استنتاجي . جونز وبارتليت ليرنينج. ص 255. ISBN  978-0-7637-4366-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 25 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  68. ↑ مارك أ. فرايتاغ (2013). الرياضيات لمعلمي المرحلة الابتدائية: منهج عملي . سينغيج ليرنينج. ص 614. ISBN  978-0-618-61008-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  69. ↑ جورج إي. مارتن (2012). هندسة التحويل: مقدمة في التناظر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-4612-5680-9أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 7 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  70. ↑ مارك بلاكلوك (2018). ظهور البُعد الرابع: التفكير المكاني الأعلى في نهاية القرن . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-875548-7أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  71. ↑ تشارلز جاسبر جولي (1895). أوراق . الأكاديمية. ص 62 وما بعدها. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه في 18 سبتمبر 2019 . 
  72. ↑ روجر تيمام (2013). الأنظمة الديناميكية اللانهائية الأبعاد في الميكانيكا والفيزياء . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 367. ISBN  978-1-4612-0645-3أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  73. ↑ بيل جاكوب؛ تسيت-يوين لام (1994). التطورات الحديثة في الهندسة الجبرية الحقيقية والأشكال التربيعية: وقائع مؤتمر RAGSQUAD السنوي، بيركلي، 1990-1991 . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 111. ISBN  978-0-8218-5154-8أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 سبتمبر 2019 .
  74. ↑ إيان ستيوارت (2008). لماذا الجمال هو الحقيقة: تاريخ التناظر . دار بيسيك بوكس. ص 14. ISBN  978-0-465-08237-7أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 25 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  75. ↑ ستاخوف أليكسي (2009). رياضيات الانسجام: من إقليدس إلى الرياضيات وعلوم الحاسوب المعاصرة . وورلد ساينتيفيك. ص 144. ISBN  978-981-4472-57-9أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 29 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  76. ↑ فيرنر هان (1998). التناظر كمبدأ تطوري في الطبيعة والفن . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-2363-2أُرشف من المصدر الأصلي في 1 يناير 2020. تم الاطلاع عليه في 23 سبتمبر 2019 .
  77. ↑ برايان ج. كانتويل (2002). مقدمة في تحليل التناظر . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 34. ISBN  978-1-139-43171-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  78. ↑ ب. روزنفيلد؛ بيل ويبي (2013). هندسة زمر لي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 158 وما بعدها. ISBN  978-1-4757-5325-7أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  79. ↑ بيتر بيسيك (2007). ما وراء الهندسة: أوراق كلاسيكية من ريمان إلى أينشتاين . شركة كورير. رقم ISBN 978-0-486-45350-7أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 23 سبتمبر 2019 .
  80. ↑ ميتشيو كاكو (2012). الأوتار، والحقول المطابقة، والطوبولوجيا: مقدمة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 151. ISBN  978-1-4684-0397-8أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  81. ↑ ملادن بيستفينا؛ ميخا ساجيف؛ كارين فوغتمان (2014). نظرية الزمر الهندسية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 132. ISBN  978-1-4704-1227-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 29 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  82. ↑ دبليو إتش ستيب (1996). التناظرات المستمرة، وجبر لي، والمعادلات التفاضلية، والجبر الحاسوبي . شركة وورلد ساينتيفيك للنشر. ISBN 978-981-310-503-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 26 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  83. ↑ تشارلز دبليو. ميسنر (2005). اتجاهات في النسبية العامة: المجلد 1: وقائع الندوة الدولية لعام 1993، ماريلاند: أوراق بحثية تكريمًا لتشارلز ميسنر . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 272. ISBN  978-0-521-02139-5أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 26 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  84. ↑ لينيوس وايلاند داولينج (1917). الهندسة الإسقاطية . شركة ماكجرو هيل للنشر. ص 10 . 
  85. ↑ جي. جيرز (2006). حزم الفضاءات المتجهة الطوبولوجية وازدواجيتها . سبرينغر. ص 252. ISBN  978-3-540-39437-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  86. ↑ روبرت إي. بوتس؛ جيه آر براون (2012). البنائية والعلم: مقالات في الفلسفة الألمانية الحديثة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 127–. ISBN  978-94-009-0959-5أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 20 سبتمبر 2019 .
  87. ↑ العلوم . موسى كينغ. 1886. ص 181–. مؤرشف من الأصل في 27 ديسمبر 2019. تم الاسترجاع في 20 سبتمبر 2019 . 
  88. ↑ دبليو. أبوت (2013). الهندسة العملية والرسومات الهندسية: كتاب مدرسي لطلاب الهندسة وغيرهم . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 6–. ISBN  978-94-017-2742-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 25 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 سبتمبر 2019 .
  89. 1 2 3 4 جورج ل. هيرسي (2001). العمارة والهندسة في عصر الباروك . مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 978-0-226-32783-9أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 25 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 سبتمبر 2019 .
  90. ^ ب. فانيسيك. إي جي كراكيوسكي (2015). الجيوديسيا: المفاهيم . إلسفير. ص. 23. رقم ISBN  978-1-4832-9079-9أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 31 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 سبتمبر 2019 .
  91. ↑ راسل م. كامينغز؛ سكوت أ. مورتون؛ ويليام هـ. ماسون؛ ديفيد ر. ماكدانيال (2015). الديناميكا الهوائية الحاسوبية التطبيقية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 449. ISBN  978-1-107-05374-8أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 20 سبتمبر 2019 .
  92. ↑ روي ويليامز (1998). هندسة الملاحة . دار هوروود للنشر. رقم ISBN 978-1-898563-46-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 7 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 سبتمبر 2019 .
  93. ↑ شميدت، دبليو؛ هوانغ، آر؛ كوجان، ليلاند إس. (2002). "منهج متماسك: حالة الرياضيات" . المعلم الأمريكي . 26 (2): 10-26 . S2CID 118964353 . 
  94. ↑ جيرارد والشاب (2015). حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والهندسة التفاضلية . دي جرويتر. ISBN 978-3-11-036954-0أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  95. ↑ هارلي فلاندرز (2012). الأشكال التفاضلية مع تطبيقات في العلوم الفيزيائية . دار نشر كورير. رقم ISBN 978-0-486-13961-6أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 23 سبتمبر 2019 .
  96. ↑ بول ماريوت؛ مارك سالمون (2000). تطبيقات الهندسة التفاضلية في الاقتصاد القياسي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-65116-5أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 23 سبتمبر 2019 .
  97. ↑ ماثيو هي؛ سيرجي بيتوخوف (2011). رياضيات المعلوماتية الحيوية: النظرية والأساليب والتطبيقات . جون وايلي وأولاده. ص 106. ISBN  978-1-118-09952-0أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  98. ↑ بام ديراك (2016). النظرية العامة للنسبية . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-1-4008-8419-3أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 26 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  99. ^ نهاد آي؛ يورغن جوست؛ هونغ فان لي؛ لورنز شواخهوفر (2017). هندسة المعلومات . سبرينغر. ص. 185. ردمك  978-3-319-56478-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 سبتمبر 2019 .
  100. ↑ مارتن د. كروسلي (2011). أساسيات الطوبولوجيا . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-85233-782-7أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2019 .
  101. ↑ تشارلز ناش؛ سيدهارتا سين (1988). الطوبولوجيا والهندسة للفيزيائيين . إلسيفير. ص 1. ISBN  978-0-08-057085-3أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 26 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2019 .
  102. ↑ جورج إي. مارتن (1996). هندسة التحويل: مقدمة في التناظر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-90636-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 22 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2019 .
  103. ↑ جيه بي ماي (1999). دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية . مطبعة جامعة شيكاغو. رقم ISBN 978-0-226-51183-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 23 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2019 .
  104. ↑ روبن هارتشورن (2013). الهندسة الجبرية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-4757-3849-0أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2019 .
  105. 1 2 جان ديودونيه (1985). تاريخ الهندسة الجبرية . ترجمة جوديث د. سالي. مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-412-99371-8أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 25 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2019 .
  106. ↑ جيمس كارلسون؛ جيمس أ. كارلسون؛ آرثر جافي؛ أندرو وايلز (2006). مسائل جائزة الألفية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-3679-8أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 30 مايو 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2019 .
  107. ↑ إيفريت دبليو. هاو؛ كريستين إي. لاوتر ؛ جودي إل. ووكر (2017). الهندسة الجبرية لنظرية الترميز والتشفير: IPAM، لوس أنجلوس، كاليفورنيا، فبراير 2016. سبرينغر. ISBN 978-3-319-63931-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2019 .
  108. ↑ ماركوس مارينو؛ مايكل ثاديوس؛ رافي فاكيل (2008). الثوابت العددية في الهندسة الجبرية ونظرية الأوتار: محاضرات ألقيت في المدرسة الصيفية لمركز CIME المنعقدة في سيترارو، إيطاليا، 6-11 يونيو 2005. سبرينغر. ISBN 978-3-540-79814-9أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 سبتمبر 2019 .
  109. ^ هيوبرشتس، دانيال (2005). الهندسة المعقدة : مقدمة . برلين: سبرينغر. رقم ISBN  9783540266877OCLC 209857590. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 10 سبتمبر 2022 . 
  110. ↑ غريفيث، ب.، وهاريس، ج. (2014). مبادئ الهندسة الجبرية. جون وايلي وأولاده.
  111. ↑ ويلز، آر أو جونيور (2008). التحليل التفاضلي على المشعبات المعقدة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 65. أو. غارسيا برادا ( الطبعة الثالثة). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-0-387-73892-5 . ISBN   9780387738918OCLC 233971394. مؤرشف من الأصل في 1 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 9 سبتمبر 2022 . 
  112. ↑ هوري، ك.، توماس، ر. ، كاتز، س. ، فافا، س. ، بانداريباندي، ر. ، كليم، أ.، ... وزاسلو، إ. (2003). التناظر المرآوي (المجلد 1). الجمعية الرياضية الأمريكية.
  113. ↑ فورستر، أو. (2012). محاضرات حول أسطح ريمان (المجلد 81). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا.
  114. ↑ ميراندا، ر. (1995). المنحنيات الجبرية وأسطح ريمان (المجلد 5). الجمعية الرياضية الأمريكية.
  115. ↑ دونالدسون، إس كيه (2011). أسطح ريمان . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-154584-9. OCLC 861200296 . 
  116. ^ سيري، جي بي (1955). Faisceaux algébriques cohérents. حوليات الرياضيات، 197-278.
  117. ^ سيري، جي بي (1956). الهندسة الجبرية والهندسية التحليلية. في حوليات معهد فورييه (المجلد 6، الصفحات من 1 إلى 42).
  118. ^ جيري ماتوسيك (2013). محاضرات في الهندسة المنفصلة . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-1-4613-0039-7أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  119. ↑ تشوانمينغ زونغ (2006). المكعب - نافذة على الهندسة المحدبة والمنفصلة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-85535-8أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 23 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  120. ↑ بيتر إم. غروبر (2007). الهندسة المحدبة والمنفصلة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-71133-9أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  121. ↑ ساتيان ل. ديفادوس ؛ جوزيف أورورك (2011). الهندسة المنفصلة والحسابية . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-1-4008-3898-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  122. ^ كارولي بيزديك (2010). المواضيع الكلاسيكية في الهندسة المنفصلة . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-1-4419-0600-7أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  123. ↑ فرانكو ب. بريباراتا ؛ مايكل آي. شاموس (2012). الهندسة الحسابية: مقدمة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-4612-1098-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  124. ^ شيان فنغ ديفيد جو. شينغ تونغ ياو (2008). الهندسة الحسابية المطابقة . الصحافة الدولية. رقم ISBN 978-1-57146-171-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  125. 1 2 كلارا لوه (2017). نظرية الزمر الهندسية: مقدمة . سبرينغر. ISBN 978-3-319-72254-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 29 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  126. ↑ بيستفينا، ملادن؛ ساجيف، ميخا؛ فوغتمان، كارين (24 ديسمبر 2014). "نظرية الزمر الهندسية" . الجمعية الرياضية الأمريكية . تم الاطلاع عليه في 5 مايو 2025 .
  127. ↑ أغول، إيان (2013). "تخمين هاكن الافتراضي" . دوك. ماث . 18. مع ملحق من تأليف إيان أغول، ودانيال غروفز، وجيسون مانينغ: 1045-1087 . doi : 10.4171/dm/ 421 . MR 3104553. S2CID 255586740 .  
  128. ↑ دانيال ت. وايز (2012). من الثراء إلى الثراء الفاحش: المتشعبات ثلاثية الأبعاد، ومجموعات آرتين ذات الزوايا القائمة، والهندسة المكعبة . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-8800-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  129. ↑ مارغاليت، دان؛ كلاي، مات، محرران. (11 يوليو 2017). ساعات مكتبية مع عالم نظرية الزمر الهندسية . مطبعة جامعة برينستون. doi : 10.23943/princeton/9780691158662.001.0001 . ISBN 978-0-691-15866-2.
  130. ↑ دروتو، كورنيليا ؛ كابوفيتش، مايكل (28 مارس 2018). نظرية الزمر الهندسية . منشورات كولكيوم. المجلد 63. الجمعية الأمريكية للرياضيات. doi : 10.1090/coll/063 . ISBN  978-1-4704-1104-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 ديسمبر 2024 .
  131. 1 2 جيرارد ميوران (2014). دليل الهندسة المحدبة . إلسيفير ساينس. ISBN 978-0-08-093439-6أُرشف من المصدر الأصلي في 1 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه في 24 سبتمبر 2019 .
  132. ↑ يورغن ريختر-غيبرت (2011). منظورات حول الهندسة الإسقاطية: جولة إرشادية عبر الهندسة الحقيقية والمعقدة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-642-17286-1أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 29 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  133. ↑ كيمبرلي إيلام (2001). هندسة التصميم: دراسات في التناسب والتكوين . مطبعة برينستون المعمارية. ISBN 978-1-56898-249-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 31 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  134. ↑ براد ج. غيغار (2004). كتاب كل شيء عن فن الكاريكاتير: ابتكر رسومًا كاريكاتورية فريدة وملهمة للمتعة والربح . آدامز ميديا. الصفحات 82 وما بعدها. ISBN  978-1-4405-2305-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  135. ↑ ماريو ليفيو (2008). النسبة الذهبية: قصة فاي، الرقم الأكثر إثارة للدهشة في العالم . كراون/أركيتايب. ص 166. ISBN  978-0-307-48552-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 30 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  136. ^ ميشيل إمير. دوريس شاتشنايدر (2007). تراث MC Escher: احتفال بالذكرى المئوية . سبرينغر. ص. 107. ردمك  978-3-540-28849-7أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 22 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  137. ↑ روبرت كابيتولو؛ كين شواب (2004). دورة الرسم 101. شركة ستيرلينغ للنشر ، ص 22. ISBN  978-1-4027-0383-6.
  138. ↑ فيليس جيلينو (2011). دمج الفنون في مناهج المرحلة الابتدائية . سينجايج ليرنينج. ص 55. ISBN  978-1-111-30126-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 7 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  139. ^ كريستيانو سيكاتو. لارس هيسلجرين؛ مارك بولي؛ هيلموت بوتمان، يوهانس فالنر (2016). التقدم في الهندسة المعمارية 2010 . بيركهوسر. ص. 6. رقم ISBN  978-3-99043-371-3أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 25 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  140. ↑ هيلموت بوتيمان (2007). الهندسة المعمارية . مطبعة معهد بنتلي. ISBN 978-1-934493-04-5أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  141. ↑ ماريان موفيت؛ مايكل دبليو فازيو؛ لورانس وودهاوس (2003). تاريخ عالمي للعمارة . دار لورانس كينغ للنشر. ص 371. ISBN  978-1-85669-371-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  142. ↑ روبن م. غرين؛ روبن مايكل غرين (1985). علم الفلك الكروي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 1. ISBN  978-0-521-31779-5أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 21 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  143. ↑ ديمتري فلاديميروفيتش أليكسييفسكي (2008). التطورات الحديثة في الهندسة الريمانية الزائفة . الجمعية الرياضية الأوروبية. ISBN 978-3-03719-051-7أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 28 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  144. ↑ شينغ تونغ ياو؛ ستيف ناديس (2010). شكل الفضاء الداخلي: نظرية الأوتار وهندسة الأبعاد الخفية للكون . دار بيسيك بوكس. رقم ISBN 978-0-465-02266-3أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  145. ↑ بنغتسون، إنجيمار؛ زيكوفسكي، كارول (2017). هندسة الحالات الكمومية: مقدمة في التشابك الكمومي ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN  978-1-107-02625-4. OCLC 1004572791 . 
  146. ↑ هارلي فلاندرز؛ جاستن ج. برايس (2014). حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية . إلسيفير ساينس. ISBN 978-1-4832-6240-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 24 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  147. ↑ جون روغاوسكي؛ كولين آدامز (2015). حساب التفاضل والتكامل . دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 978-1-4641-7499-5أُرشف من المصدر الأصلي في 1 يناير 2020. تم الاطلاع عليه في 25 سبتمبر 2019 .
  148. ↑ ألفارو لوزانو-روبليدو (2019). نظرية الأعداد والهندسة: مقدمة في الهندسة الحسابية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-1-4704-5016-8أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 27 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .
  149. ↑ أرتورو سانغالي (2009). انتقام فيثاغورس: لغز رياضي . مطبعة جامعة برينستون. ص 57. ISBN  978-0-691-04955-7.
  150. ↑ غاري كورنيل؛ جوزيف هـ. سيلفرمان ؛ غلين ستيفنز (2013). الأشكال النمطية ونظرية فيرما الأخيرة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-1-4612-1974-3أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 30 ديسمبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2019 .

مصادر

  • بوير، سي بي (1991) [1989]. تاريخ الرياضيات (الطبعة الثانية، منقحة من قبل أوتا سي ميرزباخ،  محررة). نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-471-54397-8.
  • كوك، روجر (2005). تاريخ الرياضيات . نيويورك: وايلي-إنترساينس. ISBN 978-0-471-44459-6.
  • هاياشي، تاكاو (2003). "الرياضيات الهندية". في: غراتان-غينيس، إيفور (محرر). الموسوعة المصاحبة لتاريخ وفلسفة العلوم الرياضية . المجلد  1. بالتيمور، ماريلاند: مطبعة جامعة جونز هوبكنز . الصفحات 118-130 . ISBN  978-0-8018-7396-6.
  • هاياشي، تاكاو (2005). "الرياضيات الهندية". في: فلوود، جافين (محرر). دليل بلاكويل للهندوسية . أكسفورد: باسل بلاكويل . ص 360-375 . ISBN  978-1-4051-3251-0.

للمزيد من القراءة

  • جاي كابراف (2014). منهج تشاركي للهندسة الحديثة . دار النشر العالمية العلمية. doi : 10.1142/8952 . ISBN 978-981-4556-70-5. Zbl 1364.00004 . 
  • نيكولاي إ. لوباتشيفسكي (2010). علم الهندسة الشاملة . سلسلة تراث الرياضيات الأوروبية. المجلد  4. المترجم والمحرر: أ. بابادوبولوس. الجمعية الرياضية الأوروبية.
  • ليونارد ملودينو (2002). نافذة إقليدس - قصة الهندسة من الخطوط المتوازية إلى الفضاء الفائق (  طبعة المملكة المتحدة). ألين لين. ISBN 978-0-7139-9634-0.