طريقة مونت كارلو

طرق مونت كارلو ، أو تجارب مونت كارلو ، هي فئة واسعة من الخوارزميات الحسابية التي تعتمد على أخذ العينات العشوائية المتكررة للحصول على نتائج عددية. المفهوم الأساسي هو استخدام العشوائية لحل المشكلات التي قد تكون حتمية من حيث المبدأ. يأتي الاسم من كازينو مونت كارلو في موناكو، حيث استوحى المطور الرئيسي للطريقة، عالم الرياضيات ستانيسلاف أولام ، إلهامه من عادات المقامرة لدى عمه.

تُستخدم طرق مونت كارلو بشكل أساسي في ثلاث فئات مختلفة من المشكلات: التحسين، والتكامل العددي، وتوليد النتائج من توزيع الاحتمالات. ويمكن استخدامها أيضًا لنمذجة الظواهر ذات عدم اليقين الكبير في المدخلات، مثل حساب خطر فشل محطة الطاقة النووية. غالبًا ما يتم تنفيذ طرق مونت كارلو باستخدام المحاكاة الحاسوبية، ويمكنها تقديم حلول تقريبية للمشكلات التي يصعب حلها أو معقدة للغاية بحيث يصعب تحليلها رياضيًا.

تُستخدم طرق مونت كارلو على نطاق واسع في مختلف مجالات العلوم والهندسة والرياضيات، مثل الفيزياء والكيمياء والأحياء والإحصاء والذكاء الاصطناعي والتمويل والتشفير. كما تم تطبيقها على العلوم الاجتماعية، مثل علم الاجتماع وعلم النفس والعلوم السياسية. وقد تم الاعتراف بأساليب مونت كارلو باعتبارها واحدة من أهم الأفكار وأكثرها تأثيرًا في القرن العشرين، وقد مكنت من تحقيق العديد من الاختراقات العلمية والتكنولوجية.

تحتوي طرق مونت كارلو أيضًا على بعض القيود والتحديات، مثل التوازن بين الدقة والتكلفة الحسابية، ولعنة الأبعاد ، وموثوقية مولدات الأرقام العشوائية، والتحقق من النتائج وصلاحيتها.

تختلف أساليب مونت كارلو، ولكنها تميل إلى اتباع نمط معين:

1. تحديد مجال المدخلات الممكنة
2. إنشاء مدخلات عشوائيًا من توزيع الاحتمالات على المجال
3. إجراء حساب حتمي للمخرجات
4. تجميع النتائج

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك ربع دائرة (قطاع دائري) محصور في مربع الوحدة . مع العلم أن نسبة مساحتيهما هيπ/4، يمكن تقريب قيمة π باستخدام طريقة مونت كارلو: ^[1]

1. ارسم مربعًا، ثم ارسم ربعًا داخله
2. توزيع عدد معين من النقاط بشكل موحد على المربع
3. احسب عدد النقاط داخل الربع، أي التي تكون المسافة بينها وبين الأصل أقل من 1
4. نسبة العدد الداخلي وعدد العينة الإجمالي هي تقدير لنسبة المنطقتين ،π/4. اضرب النتيجة في 4 لتقدير π .

في هذا الإجراء، يكون مجال المدخلات هو المربع الذي يحيط بالربع. ويمكن للمرء أن يولد مدخلات عشوائية عن طريق نثر الحبوب على المربع ثم إجراء عملية حسابية على كل مدخل (اختبار ما إذا كان يقع ضمن الربع). يؤدي تجميع النتائج إلى الحصول على النتيجة النهائية، وهي تقريب π .

هناك اعتباران مهمان:

1. إذا لم يتم توزيع النقاط بشكل متساوٍ، فسيكون التقريب ضعيفًا.
2. التقريب ضعيف بشكل عام إذا تم وضع عدد قليل من النقاط عشوائيًا في المربع بأكمله. في المتوسط، يتحسن التقريب مع وضع المزيد من النقاط.

تتطلب استخدامات طرق مونت كارلو كميات كبيرة من الأرقام العشوائية، وقد استفاد استخدامها بشكل كبير من مولدات الأرقام العشوائية الزائفة ، والتي تعد أسرع بكثير في الاستخدام من جداول الأرقام العشوائية التي كانت تستخدم سابقًا للعينات الإحصائية.

تُستخدم طرق مونت كارلو غالبًا في المشكلات الفيزيائية والرياضية وتكون مفيدة للغاية عندما يكون من الصعب أو المستحيل استخدام طرق أخرى. تُستخدم طرق مونت كارلو بشكل أساسي في ثلاث فئات من المشكلات: [ ^2] التحسين والتكامل العددي وتوليد السحوبات من توزيع الاحتمالات .

في المشاكل المتعلقة بالفيزياء، تكون طرق مونت كارلو مفيدة لمحاكاة الأنظمة ذات درجات الحرية المترابطة العديدة ، مثل السوائل، والمواد غير المنظمة، والمواد الصلبة المترابطة بقوة، والهياكل الخلوية (انظر نموذج بوتس الخلوي ، وأنظمة الجسيمات المتفاعلة ، وعمليات ماكين-فلاسوف ، والنماذج الحركية للغازات ).

تشمل الأمثلة الأخرى نمذجة الظواهر ذات عدم اليقين الكبير في المدخلات مثل حساب المخاطر في الأعمال التجارية، وفي الرياضيات، تقييم التكاملات المحددة متعددة الأبعاد مع شروط حدودية معقدة . في التطبيق على مشاكل هندسة الأنظمة (الفضاء، واستكشاف النفط ، وتصميم الطائرات، وما إلى ذلك)، فإن التنبؤات القائمة على مونت كارلو للفشل وتجاوز التكاليف وتجاوز الجدول الزمني أفضل بشكل روتيني من الحدس البشري أو الطرق "الناعمة" البديلة. ^[3]

من حيث المبدأ، يمكن استخدام طرق مونت كارلو لحل أي مشكلة لها تفسير احتمالي. وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة ، يمكن تقريب التكاملات الموصوفة بالقيمة المتوقعة لبعض المتغيرات العشوائية عن طريق أخذ المتوسط ​​التجريبي ( المعروف أيضًا باسم "متوسط ​​العينة") للعينات المستقلة للمتغير. عندما يتم تحديد معلمات توزيع احتمالات المتغير، يستخدم علماء الرياضيات غالبًا عينة سلسلة ماركوف مونت كارلو (MCMC). ^{[4] [5] [6]} الفكرة الأساسية هي تصميم نموذج سلسلة ماركوف حكيم بتوزيع احتمالي ثابت محدد . أي أنه في الحد الأقصى، ستكون العينات التي يتم إنشاؤها بواسطة طريقة MCMC عينات من التوزيع المطلوب (المستهدف). ^{[7] [8]} وفقًا لنظرية إرجوديك ، يتم تقريب التوزيع الثابت من خلال المقاييس التجريبية للحالات العشوائية لعينة MCMC.

في مشاكل أخرى، الهدف هو توليد سحوبات من سلسلة من توزيعات الاحتمالات التي تلبي معادلة التطور غير الخطية. يمكن دائمًا تفسير تدفقات توزيعات الاحتمالات هذه على أنها توزيعات للحالات العشوائية لعملية ماركوف التي تعتمد احتمالات انتقالها على توزيعات الحالات العشوائية الحالية (انظر عمليات ماكين-فلاسوف ، معادلة الترشيح غير الخطية ). ^{[9] [10]} في حالات أخرى، ينشأ تدفق لتوزيعات الاحتمالات بمستوى متزايد من تعقيد أخذ العينات (نماذج مساحات المسار ذات أفق زمني متزايد، ومقاييس بولتزمان-جيبس المرتبطة بمعلمات درجة الحرارة المتناقصة، وغيرها الكثير). يمكن أيضًا اعتبار هذه النماذج تطورًا لقانون الحالات العشوائية لسلسلة ماركوف غير الخطية. ^{[10] [11]} إحدى الطرق الطبيعية لمحاكاة عمليات ماركوف غير الخطية المعقدة هذه هي أخذ عينات من نسخ متعددة من العملية، واستبدال التوزيعات غير المعروفة للحالات العشوائية في معادلة التطور بالمقاييس التجريبية المأخوذة من العينات . وعلى النقيض من منهجيات مونت كارلو وMCMC التقليدية، تعتمد تقنيات الجسيمات ذات المجال المتوسط ​​على عينات متفاعلة متسلسلة. ويعكس مصطلح المجال المتوسط ​​حقيقة مفادها أن كل عينة ( المعروفة أيضًا باسم الجسيمات أو الأفراد أو السائرين أو الوكلاء أو المخلوقات أو النمط الظاهري) تتفاعل مع المقاييس التجريبية للعملية. وعندما يميل حجم النظام إلى اللانهاية، تتقارب هذه المقاييس التجريبية العشوائية مع التوزيع الحتمي للحالات العشوائية لسلسلة ماركوف غير الخطية، بحيث يختفي التفاعل الإحصائي بين الجسيمات.

لنفترض أن شخصًا يريد معرفة القيمة المتوقعة μ لمجتمع ما (ويعلم أن μ موجودة)، ولكن ليس لديه صيغة متاحة لحسابها. تقدم طريقة مونت كارلو البسيطة تقديرًا لـ μ من خلال تشغيل n محاكاة ومتوسط ​​نتائج المحاكاة. لا توجد قيود على توزيع احتمالات المدخلات في المحاكاة، وتتطلب فقط أن يتم إنشاء المدخلات عشوائيًا وأن تكون مستقلة عن بعضها البعض وأن μ موجودة. ستنتج قيمة n كبيرة بما يكفي قيمة لـ m قريبة بشكل تعسفي من μ ؛ وبشكل أكثر رسمية، ستكون الحالة هي أنه لأي ε > 0، | μ – m | ≤ ε . ^[12]

عادةً، الخوارزمية للحصول على m هي

s = 0؛ 
 بالنسبة إلى  i = 1 إلى n،  قم 
   بتشغيل المحاكاة للمرة i ، مما يعطي النتيجة r i ؛
    s = s + r i ؛
 كرر 
m = s / n ؛

لنفترض أننا نريد أن نعرف عدد المرات التي ينبغي لنا أن نتوقع فيها رمي ثلاثة أحجار نرد ذات ثمانية أوجه حتى يكون مجموع رميات النرد T على الأقل . نحن نعلم أن القيمة المتوقعة موجودة. يتم توزيع رميات النرد بشكل عشوائي ومستقل عن بعضها البعض. لذا فإن طريقة مونت كارلو البسيطة قابلة للتطبيق:

س = 0؛ 
 بالنسبة إلى  i = 1 إلى n،  قم 
   برمي النرد الثلاثة حتى يتم الوصول إلى T أو تجاوزه أولاً ؛ ر i = عدد الرميات ؛
    س = س + ر i ؛ 
كرر 
م = س / ن ؛

إذا كان n كبيرًا بدرجة كافية، فسيكون m ضمن ε من μ لأي ε > 0.

ليكن ε = | μ – m | > 0. اختر مستوى الثقة المطلوب - النسبة المئوية لاحتمالية أن يكون m ضمن ε من μ عند اكتمال خوارزمية مونت كارلو . ليكن z هو الدرجة z المقابلة لمستوى الثقة هذا.

لنفترض أن s ² هو التباين المقدر، والذي يُطلق عليه أحيانًا تباين "العينة"؛ وهو تباين النتائج التي تم الحصول عليها من عدد صغير نسبيًا من عمليات محاكاة "العينة" k . اختر k ؛ لاحظ درييلز وشين أنه "حتى بالنسبة لأحجام العينات التي تقل بمقدار مرتبة واحدة عن العدد المطلوب، فإن حساب هذا العدد مستقر تمامًا". ^[13]

تحسب الخوارزمية التالية s ² في تمريرة واحدة مع تقليل احتمالية أن يؤدي الخطأ العددي المتراكم إلى إنتاج نتائج خاطئة: ^[12]

س 1 = 0؛
قم بتشغيل المحاكاة للمرة الأولى، مما ينتج عنه النتيجة r 1 ؛
 m 1 = r 1 ؛ // m i هو متوسط ​​أول i محاكاة 
لـ i = 2 إلى k  قم
    بتشغيل المحاكاة للمرة i ، مما ينتج عنه النتيجة r i ؛ 
   δ i = r i - m i -1 ؛ 
   m i = m i-1  + (1/ i ) δ i ؛ 
   s i = s i-1  + (( i - 1)/ i )( δ i ) 2 ؛ 
كرر 
s 2 = s k /( k - 1)؛

لاحظ أنه عند اكتمال الخوارزمية، يكون m _k هو متوسط ​​نتائج k .

n كبير بما فيه الكفاية عندما

${\displaystyle n\geq s^{2}/(z\epsilon )^{2}}$^{[12] [13]}

إذا كان n ≤ k ، فإن m _k = m ؛ وقد تم إجراء محاكاة عينة كافية لضمان أن m _k ضمن ε من μ . إذا كان n > k ، فيمكن إجراء n محاكاة "من الصفر"، أو نظرًا لأن k محاكاة قد تم إجراؤها بالفعل، فيمكن للمرء إجراء n - k محاكاة أخرى وإضافة نتائجها إلى تلك المحاكاة من العينات:

س = م ك * ك ؛
بالنسبة إلى i = k + 1 إلى n، قم 
   بتشغيل المحاكاة للمرة i ، مما يعطي النتيجة r i ؛
    s = s + r i ؛
 m = s / n ؛

يمكن استخدام صيغة بديلة في الحالة الخاصة حيث تكون جميع نتائج المحاكاة محدودة من الأعلى والأسفل.

اختر قيمة لـ ε تساوي ضعف الحد الأقصى المسموح به للفرق بين μ و m. دع 0 < δ < 100 يكون مستوى الثقة المطلوب، معبرًا عنه كنسبة مئوية. دع كل نتيجة محاكاة r ₁ , r ₂ , … r _i , … r _n تكون بحيث a ≤ r _i ≤ b لـ a و b المحدودتين . للحصول على ثقة لا تقل عن δ في أن | μ – m | < ε /2، استخدم قيمة لـ n بحيث

${\displaystyle n\geq 2(ba)^{2}\ln(2/(1-(\delta /100)))/\epsilon ^{2}}$

على سبيل المثال، إذا كانت δ = 99%، فإن n ≥ 2( b – a ) ² ln(2/0.01)/ ε ² ≈ 10.6( b – a ) ² / ε ² . ^[12]

على الرغم من بساطتها المفاهيمية والخوارزمية، فإن التكلفة الحسابية المرتبطة بمحاكاة مونت كارلو يمكن أن تكون مرتفعة بشكل مذهل. بشكل عام، تتطلب الطريقة العديد من العينات للحصول على تقريب جيد، مما قد يتسبب في وقت تشغيل إجمالي كبير بشكل تعسفي إذا كان وقت معالجة عينة واحدة مرتفعًا. ^[14] على الرغم من أن هذا يمثل قيدًا شديدًا في المشكلات المعقدة للغاية، فإن الطبيعة المتوازية المحرجة للخوارزمية تسمح بتقليل هذه التكلفة الكبيرة (ربما إلى مستوى ممكن) من خلال استراتيجيات الحوسبة المتوازية في المعالجات المحلية والمجموعات والحوسبة السحابية ووحدة معالجة الرسومات ووحدة FPGA وما إلى ذلك. ^{[15] [16] [17] [18]}

قبل تطوير طريقة مونت كارلو، كانت عمليات المحاكاة تختبر مشكلة حتمية مفهومة مسبقًا، وتم استخدام أخذ العينات الإحصائية لتقدير أوجه عدم اليقين في عمليات المحاكاة. تعكس عمليات محاكاة مونت كارلو هذا النهج، حيث تحل المشكلات الحتمية باستخدام الخوارزميات الاحتمالية (انظر محاكاة التلدين ).

تم ابتكار نسخة مبكرة من طريقة مونت كارلو لحل مشكلة إبرة بوفون ، حيث يمكن تقدير π عن طريق إسقاط الإبر على أرضية مصنوعة من شرائح متوازية متساوية البعد. في ثلاثينيات القرن العشرين، أجرى إنريكو فيرمي أول تجربة على طريقة مونت كارلو أثناء دراسة انتشار النيوترون، لكنه لم ينشر هذا العمل. ^[19]

في أواخر الأربعينيات من القرن العشرين، اخترع ستانيسلاف أولام النسخة الحديثة من طريقة مونت كارلو لسلسلة ماركوف أثناء عمله في مشاريع الأسلحة النووية في مختبر لوس ألاموس الوطني . في عام 1946، كان علماء فيزياء الأسلحة النووية في لوس ألاموس يحققون في انتشار النيوترونات في قلب سلاح نووي. ^[19] وعلى الرغم من وجود معظم البيانات الضرورية، مثل المسافة المتوسطة التي يقطعها النيوترون في مادة ما قبل اصطدامه بنواة ذرية وكمية الطاقة التي من المحتمل أن يطلقها النيوترون بعد الاصطدام، لم يتمكن علماء فيزياء لوس ألاموس من حل المشكلة باستخدام الأساليب الرياضية التقليدية والحتمية. اقترح أولام استخدام تجارب عشوائية. يروي إلهامه على النحو التالي:

كانت الأفكار والمحاولات الأولى التي قمت بها لممارسة [طريقة مونت كارلو] قد اقترحها سؤال خطر ببالي في عام 1946 بينما كنت أتعافى من مرض وألعب لعبة سوليتير. كان السؤال هو ما هي احتمالات نجاح لعبة سوليتير كانفيلد الموضوعة باستخدام 52 بطاقة؟ بعد قضاء الكثير من الوقت في محاولة تقديرها من خلال الحسابات التوافقية البحتة، تساءلت عما إذا كانت الطريقة الأكثر عملية من "التفكير المجرد" قد لا تكون طرحها مائة مرة ومراقبة عدد اللعبات الناجحة وحسابها ببساطة. كان من الممكن بالفعل تصور ذلك مع بداية العصر الجديد من أجهزة الكمبيوتر السريعة، وفكرت على الفور في مشاكل انتشار النيوترونات وغيرها من أسئلة الفيزياء الرياضية، وبشكل عام كيفية تغيير العمليات الموصوفة بمعادلات تفاضلية معينة إلى شكل مكافئ يمكن تفسيره على أنه سلسلة من العمليات العشوائية. لاحقًا [في عام 1946]، وصفت الفكرة لجون فون نيومان ، وبدأنا في التخطيط للحسابات الفعلية. ^[20]

نظرًا لكونه سريًا، فقد تطلب عمل فون نيومان وأولام اسمًا رمزيًا. ^[21] اقترح أحد زملاء فون نيومان وأولام، نيكولاس متروبوليس ، استخدام اسم مونت كارلو ، الذي يشير إلى كازينو مونت كارلو في موناكو حيث كان عم أولام يقترض المال من الأقارب للمقامرة. ^[19] كانت طرق مونت كارلو أساسية في عمليات المحاكاة المطلوبة لمزيد من تطوير الأسلحة النووية بعد الحرب، بما في ذلك تصميم القنبلة الهيدروجينية، على الرغم من محدوديتها الشديدة بواسطة الأدوات الحسابية في ذلك الوقت. قام فون نيومان ونيكولاس متروبوليس وآخرون ببرمجة كمبيوتر إينياك لإجراء أول حسابات مونت كارلو آلية بالكامل، لنواة سلاح انشطار ، في ربيع عام 1948. ^[22] في الخمسينيات من القرن الماضي، استُخدمت طرق مونت كارلو في لوس ألاموس لتطوير القنبلة الهيدروجينية ، وأصبحت شائعة في مجالات الفيزياء والكيمياء الفيزيائية وبحوث العمليات . كانت مؤسسة راند والقوات الجوية الأمريكية اثنتين من المنظمات الرئيسية المسؤولة عن تمويل ونشر المعلومات حول أساليب مونت كارلو خلال هذا الوقت، وبدأت في العثور على تطبيق واسع في العديد من المجالات المختلفة.

بدأت نظرية طرق مونت كارلو للجسيمات من النوع الحقلي المتوسط ​​الأكثر تطورًا بالتأكيد بحلول منتصف الستينيات، مع عمل هنري ب. ماكين جونيور على تفسيرات ماركوف لفئة من المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة غير الخطية الناشئة في ميكانيكا الموائع. ^{[23] [24]} استخدمت مقالة رائدة سابقة لثيودور إي هاريس وهيرمان كان، نُشرت عام 1951، طرق مونت كارلو الجينية من النوع الحقلي المتوسط ​​لتقدير طاقات انتقال الجسيمات. ^[25] تُستخدم أيضًا منهجيات مونت كارلو الجينية من النوع الحقلي المتوسط ​​كخوارزميات بحث طبيعية استدلالية (المعروفة أيضًا باسم الاستدلالية ) في الحوسبة التطورية. يمكن تتبع أصول تقنيات الحوسبة الحقلية المتوسطة هذه إلى عامي 1950 و1954 مع عمل آلان تورينج على آلات التعلم لاختيار الطفرة الجينية ^[26] والمقالات التي كتبها نيلز آل باريسيلي في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون، نيو جيرسي . ^{[27] [28]}

يمكن أيضًا تفسير معادلة مونت كارلو الكمومية ، وبشكل أكثر تحديدًا معادلة مونت كارلو الانتشارية، على أنها تقريب مونت كارلو لجسيمات المجال المتوسط ​​لتكاملات مسار فاينمان - كاك . ^{[29] [30] [31] [32] [33] [34] [35]} غالبًا ما تُنسب أصول طرق مونت كارلو الكمومية إلى إنريكو فيرمي وروبرت ريتشماير اللذين طورا في عام 1948 تفسيرًا متوسطًا لتفاعلات سلسلة النيوترون باستخدام جسيمات المجال المتوسط، ^[36] ولكن أول خوارزمية للجسيمات الشبيهة بالاستدلال والوراثية (المعروفة أيضًا باسم طرق مونت كارلو المعاد أخذ العينات منها أو إعادة تكوينها) لتقدير طاقات الحالة الأساسية للأنظمة الكمومية (في نماذج المصفوفة المخفضة) ترجع إلى جاك إتش هيثرينغتون في عام 1984. ^[35] في الكيمياء الجزيئية، يمكن إرجاع استخدام منهجيات الجسيمات الشبيهة بالاستدلال الوراثي (المعروفة أيضًا باسم استراتيجيات التقليم والإثراء) إلى عام 1955 مع العمل الرائد لمارشال إن. روزنبلوث وأريانا دبليو روزنبلوث . ^[37]

إن استخدام خوارزمية مونت كارلو المتسلسلة في معالجة الإشارات المتقدمة والاستدلال البايزي هو أكثر حداثة. ففي عام 1993، نشر جوردون وآخرون، في عملهم الرائد ^[38]، أول تطبيق لخوارزمية إعادة أخذ العينات مونت كارلو في الاستدلال الإحصائي البايزي. أطلق المؤلفون على خوارزميتهم اسم "مرشح التمهيد"، وأثبتوا أنه مقارنة بطرق الترشيح الأخرى، فإن خوارزمية التمهيد الخاصة بهم لا تتطلب أي افتراض حول مساحة الحالة أو ضوضاء النظام. كانت مقالة جينشيرو كيتاغاوا الرائدة الأخرى في هذا المجال، حول "مرشح مونت كارلو" ذي الصلة، ^[39] وتلك التي كتبها بيير ديل مورال ^[40] وهيميلكون كارفاليو وبيير ديل مورال وأندريه مونين وجيرارد سالوت ^[41] حول مرشحات الجسيمات المنشورة في منتصف التسعينيات. تم تطوير مرشحات الجسيمات أيضًا في معالجة الإشارات في الفترة من 1989 إلى 1992 بواسطة P. Del Moral و JC Noyer و G. Rigal و G. Salut في LAAS-CNRS في سلسلة من التقارير البحثية المقيدة والمصنفة مع STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales) وشركة تكنولوجيا المعلومات DIGILOG و LAAS-CNRS (مختبر تحليل وهندسة الأنظمة) حول مشاكل معالجة إشارات الرادار / السونار ونظام تحديد المواقع العالمي (GPS). ^{[42] [43] [44] [45] [46] [47]} يمكن تفسير منهجيات مونت كارلو المتسلسلة هذه على أنها عينة قبول ورفض مزودة بآلية إعادة تدوير متفاعلة.

من عام 1950 إلى عام 1996، قدمت جميع المنشورات حول منهجيات مونت كارلو المتسلسلة، بما في ذلك طرق مونت كارلو للتقليم وإعادة أخذ العينات التي تم تقديمها في الفيزياء الحاسوبية والكيمياء الجزيئية، خوارزميات طبيعية وخوارزميات استدلالية مطبقة على مواقف مختلفة دون دليل واحد على اتساقها، ولا مناقشة حول تحيز التقديرات والخوارزميات القائمة على الشجرة الأنسابية والأسلاف. كتب بيير ديل مورال الأسس الرياضية والتحليل الدقيق الأول لهذه الخوارزميات الجسيمية في عام 1996. ^{[40] [48]}

كما تم تطوير منهجيات الجسيمات المتفرعة ذات أحجام السكان المتنوعة في نهاية التسعينيات بواسطة دان كريسان وجيسيكا جاينز وتيري ليونز، ^{[49] [50] [51]} ودان كريسان وبيير ديل مورال وتيري ليونز. ^[52] وتم وصف المزيد من التطورات في هذا المجال في الفترة من 1999 إلى 2001 بواسطة ب. ديل مورال وأ. جوينيت ول. مايكرو. ^{[30] [53] [54]}

لا يوجد إجماع حول كيفية تعريف مونت كارلو . على سبيل المثال، يعرّف ريبلي ^[55] معظم النمذجة الاحتمالية بأنها محاكاة عشوائية ، مع حجز مونت كارلو لتكامل مونت كارلو واختبارات مونت كارلو الإحصائية. يميز ساويلوفسكي ^{[56] بين} المحاكاة وطريقة مونت كارلو ومحاكاة مونت كارلو: المحاكاة هي تمثيل خيالي للواقع، وطريقة مونت كارلو هي تقنية يمكن استخدامها لحل مشكلة رياضية أو إحصائية، وتستخدم محاكاة مونت كارلو أخذ العينات المتكررة للحصول على الخصائص الإحصائية لبعض الظواهر (أو السلوك).

وفيما يلي بعض الأمثلة:

• المحاكاة: يمكن استخدام سحب متغير عشوائي موحد من الفاصل الزمني [0,1] لمحاكاة رمي عملة معدنية: إذا كانت القيمة أقل من أو تساوي 0.50، فحدد النتيجة على أنها وجه العملة، ولكن إذا كانت القيمة أكبر من 0.50، فحدد النتيجة على أنها ذيل العملة. هذه محاكاة، ولكنها ليست محاكاة مونت كارلو.
• طريقة مونت كارلو: سكب صندوق من العملات المعدنية على طاولة، ثم حساب نسبة العملات المعدنية التي تسقط على الوجه مقابل الظهر هي طريقة مونت كارلو لتحديد سلوك رمي العملة المعدنية المتكرر، ولكنها ليست محاكاة.
• محاكاة مونت كارلو: رسم عدد كبير من المتغيرات العشوائية المنتظمة من الفاصل [0,1] في وقت واحد، أو مرة واحدة في أوقات مختلفة عديدة، وتعيين قيم أقل من أو تساوي 0.50 كرؤوس وأكبر من 0.50 كذيول، هي محاكاة مونت كارلو لسلوك رمي العملة المعدنية بشكل متكرر.

يشير كالوس وويتلوك ^[57] إلى أن مثل هذه التمييزات ليس من السهل الحفاظ عليها دائمًا. على سبيل المثال، فإن انبعاث الإشعاع من الذرات هو عملية عشوائية طبيعية. يمكن محاكاتها بشكل مباشر، أو يمكن وصف سلوكها المتوسط ​​من خلال معادلات عشوائية يمكن حلها بنفسها باستخدام طرق مونت كارلو. "في الواقع، يمكن النظر إلى نفس الكود الحاسوبي في نفس الوقت باعتباره "محاكاة طبيعية" أو كحل للمعادلات عن طريق أخذ العينات الطبيعية."

يمكن التحقق من تقارب محاكاة مونت كارلو باستخدام إحصائية جلمان-روبين .

الفكرة الرئيسية وراء هذه الطريقة هي أن النتائج تُحسب بناءً على أخذ عينات عشوائية متكررة وتحليل إحصائي. محاكاة مونت كارلو هي في الواقع تجارب عشوائية، في حالة عدم معرفة نتائج هذه التجارب جيدًا. تتميز محاكاة مونت كارلو عادةً بالعديد من المعلمات غير المعروفة، والتي يصعب الحصول على العديد منها تجريبيًا. ^[58] لا تتطلب طرق محاكاة مونت كارلو دائمًا أرقامًا عشوائية حقيقية لتكون مفيدة (على الرغم من أن عدم القدرة على التنبؤ أمر حيوي لبعض التطبيقات مثل اختبار البدائية ). ^[59] تستخدم العديد من التقنيات الأكثر فائدة تسلسلات شبه عشوائية حتمية ، مما يجعل من السهل اختبار وإعادة تشغيل المحاكاة. الجودة الوحيدة اللازمة عادةً لإجراء محاكاة جيدة هي أن يظهر التسلسل شبه العشوائي "عشوائيًا بدرجة كافية" بمعنى معين.

يعتمد ما يعنيه هذا على التطبيق، ولكن عادةً ما يجب أن تجتاز سلسلة من الاختبارات الإحصائية. يعد اختبار توزيع الأرقام بشكل موحد أو اتباع توزيع مرغوب آخر عند النظر في عدد كبير بما يكفي من عناصر التسلسل أحد أبسط الاختبارات وأكثرها شيوعًا. غالبًا ما تكون الارتباطات الضعيفة بين العينات المتعاقبة مرغوبة/ضرورية أيضًا.

يسرد ساويلوفسكي خصائص محاكاة مونت كارلو عالية الجودة: ^[56]

• يحتوي مولد الأرقام (شبه العشوائي) على خصائص معينة (على سبيل المثال "فترة" طويلة قبل تكرار التسلسل)
• يقوم مولد الأرقام (شبه العشوائي) بإنتاج قيم تجتاز اختبارات العشوائية
• هناك عينات كافية لضمان نتائج دقيقة
• يتم استخدام تقنية أخذ العينات المناسبة
• الخوارزمية المستخدمة صالحة لما يتم نمذجته
• فهو يحاكي الظاهرة المعنية.

تُستخدم خوارزميات أخذ العينات من الأرقام العشوائية الزائفة لتحويل الأرقام العشوائية الزائفة الموزعة بشكل موحد إلى أرقام موزعة وفقًا لتوزيع احتمالي معين .

غالبًا ما تُستخدم تسلسلات التباين المنخفض بدلاً من أخذ العينات العشوائية من مساحة ما لأنها تضمن تغطية متساوية وعادةً ما يكون ترتيب التقارب أسرع من محاكاة مونت كارلو باستخدام تسلسلات عشوائية أو شبه عشوائية. تُسمى الطرق القائمة على استخدامها بأساليب مونت كارلو شبه العشوائية .

في محاولة لتقييم تأثير جودة الأرقام العشوائية على نتائج محاكاة مونت كارلو، اختبر الباحثون في الفيزياء الفلكية أرقامًا شبه عشوائية آمنة تشفيريًا تم إنشاؤها عبر مجموعة تعليمات RDRAND من Intel ، مقارنةً بتلك المشتقة من الخوارزميات، مثل Mersenne Twister ، في محاكاة مونت كارلو للتوهجات الراديوية من الأقزام البنية . لم يتم العثور على فرق ذي دلالة إحصائية بين النماذج التي تم إنشاؤها باستخدام مولدات الأرقام شبه العشوائية النموذجية وRDRAND للتجارب المكونة من توليد 10 ⁷ أرقام عشوائية. ^[60]

هناك طرق لاستخدام الاحتمالات التي لا تعتبر بالتأكيد محاكاة مونت كارلو - على سبيل المثال، النمذجة الحتمية باستخدام تقديرات النقطة الواحدة. يتم تعيين تقدير "أفضل تخمين" لكل متغير غير مؤكد داخل النموذج. يتم اختيار السيناريوهات (مثل أفضل أو أسوأ أو الحالة الأكثر احتمالاً) لكل متغير إدخال وتسجيل النتائج. ^[61]

على النقيض من ذلك، تقوم محاكاة مونت كارلو بأخذ عينات من توزيع الاحتمالات لكل متغير لإنتاج مئات أو آلاف النتائج المحتملة. يتم تحليل النتائج للحصول على احتمالات حدوث نتائج مختلفة. ^[62] على سبيل المثال، تُظهر مقارنة نموذج بناء تكلفة جدول بيانات يتم تشغيله باستخدام سيناريوهات "ماذا لو" التقليدية، ثم تشغيل المقارنة مرة أخرى باستخدام محاكاة مونت كارلو وتوزيعات الاحتمالات المثلثية أن تحليل مونت كارلو له نطاق أضيق من تحليل "ماذا لو". ^{[ مطلوب مثال ]} وذلك لأن تحليل "ماذا لو" يعطي وزنًا متساويًا لجميع السيناريوهات (انظر تحديد عدم اليقين في التمويل المؤسسي )، بينما نادرًا ما تأخذ طريقة مونت كارلو عينات في مناطق الاحتمالية المنخفضة للغاية. تسمى العينات في مثل هذه المناطق "أحداث نادرة".

تعتبر طرق مونت كارلو مفيدة بشكل خاص لمحاكاة الظواهر ذات عدم اليقين الكبير في المدخلات والأنظمة ذات درجات الحرية المتعددة . تشمل مجالات التطبيق ما يلي:

الفيزياء الحسابية
الميكانيكا الكهرومغناطيسية الفيزياء المتعددة فيزياء الجسيمات الديناميكا الحرارية محاكاة
الإمكانات مورس/إمكانات بعيدة المدى إمكانات لينارد جونز إمكانات يوكاوا إمكانية مورس
ديناميكا الموائع فرق محدود حجم محدود عنصر محدود عنصر الحدود شبكة بولتزمان مُحَلِّل ريمان ديناميكيات الجسيمات المبددة ديناميكا مائية للجسيمات الملساء نماذج الاضطرابات
طرق مونت كارلو اندماج أخذ العينات من جيبس خوارزمية متروبوليس
جسيم الجسم N جسيم في خلية الديناميكية الجزيئية
العلماء جودونوف أولام فون نيومان جاليركين لورينز ويلسون ألدر ريتشماير
ف ت هـ

تعتبر طرق مونت كارلو مهمة جدًا في الفيزياء الحاسوبية والكيمياء الفيزيائية والمجالات التطبيقية ذات الصلة، ولها تطبيقات متنوعة من حسابات الديناميكا اللونية الكمومية المعقدة إلى تصميم الدروع الحرارية والأشكال الديناميكية الهوائية وكذلك في نمذجة نقل الإشعاع لحسابات قياس جرعات الإشعاع. ^{[63] [64] [65]} في الفيزياء الإحصائية ، تعد النمذجة الجزيئية لمونت كارلو بديلاً للديناميكيات الجزيئية الحاسوبية ، وتُستخدم طرق مونت كارلو لحساب نظريات المجال الإحصائي لأنظمة الجسيمات والبوليمر البسيطة. ^{[37] [66]} تحل طرق مونت كارلو الكمومية مشكلة الأجسام المتعددة للأنظمة الكمومية. ^{[9] [10] [29]} في علم المواد الإشعاعية ، يعتمد تقريب الاصطدام الثنائي لمحاكاة زرع الأيونات عادةً على نهج مونت كارلو لاختيار الذرة المتصادمة التالية. ^[67] في فيزياء الجسيمات التجريبية ، تُستخدم طرق مونت كارلو لتصميم الكواشف وفهم سلوكها ومقارنة البيانات التجريبية بالنظرية. في الفيزياء الفلكية ، يتم استخدامها بطرق متنوعة لنمذجة تطور المجرات ^[68] وانتقال الإشعاع الميكروي عبر سطح كوكبي خشن. ^[69] تُستخدم طرق مونت كارلو أيضًا في نماذج المجموعة التي تشكل أساس التنبؤ بالطقس الحديث .

تُستخدم طرق مونت كارلو على نطاق واسع في الهندسة لتحليل الحساسية والتحليل الاحتمالي الكمي في تصميم العمليات . تنشأ الحاجة من السلوك التفاعلي والخطي وغير الخطي لمحاكاة العمليات النموذجية. على سبيل المثال،

• في هندسة الإلكترونيات الدقيقة ، يتم تطبيق طرق مونت كارلو لتحليل الاختلافات المترابطة وغير المترابطة في الدوائر المتكاملة التناظرية والرقمية .
• في الإحصاء الجيولوجي والهندسة المعدنية ، تدعم طرق مونت كارلو تصميم مخططات معالجة المعادن وتساهم في تحليل المخاطر الكمية . ^[21]
• في ديناميكا الموائع ، وخاصة ديناميكا الغازات النادرة ، حيث يتم حل معادلة بولتزمان لتدفقات الموائع ذات عدد كنودسن المحدود باستخدام طريقة المحاكاة المباشرة مونت كارلو ^[70] بالاشتراك مع خوارزميات حسابية عالية الكفاءة. ^[71]
• في مجال الروبوتات المستقلة ، يمكن لطريقة مونت كارلو تحديد موضع الروبوت. وغالبًا ما يتم تطبيقها على المرشحات العشوائية مثل مرشح كالمان أو مرشح الجسيمات الذي يشكل قلب خوارزمية SLAM (التحديد والتعيين المتزامن).
• في مجال الاتصالات ، عند التخطيط لشبكة لاسلكية، يجب إثبات أن التصميم يعمل لمجموعة واسعة من السيناريوهات التي تعتمد بشكل أساسي على عدد المستخدمين ومواقعهم والخدمات التي يريدون استخدامها. تُستخدم طرق مونت كارلو عادةً لتوليد هؤلاء المستخدمين وحالاتهم. ثم يتم تقييم أداء الشبكة، وإذا لم تكن النتائج مرضية، يمر تصميم الشبكة بعملية تحسين.
• في هندسة الموثوقية ، يتم استخدام محاكاة مونت كارلو لحساب الاستجابة على مستوى النظام بالنظر إلى الاستجابة على مستوى المكون.
• في معالجة الإشارات والاستدلال البايزي ، تعد مرشحات الجسيمات وتقنيات مونت كارلو المتسلسلة فئة من طرق الجسيمات ذات المجال المتوسط ​​لأخذ العينات وحساب التوزيع الخلفي لعملية الإشارة مع الأخذ في الاعتبار بعض الملاحظات الضوضائية والجزئية باستخدام مقاييس تجريبية متفاعلة . ^[72]

تعتمد الهيئة الحكومية الدولية المعنية بتغير المناخ على أساليب مونت كارلو في تحليل دالة كثافة الاحتمال للقوة الإشعاعية . ^[73]

تُستخدم طرق مونت كارلو في مجالات مختلفة من علم الأحياء الحسابي ، على سبيل المثال للاستدلال البايزي في علم النشوء والتطور ، أو لدراسة الأنظمة البيولوجية مثل الجينومات أو البروتينات، ^[74] أو الأغشية. ^[75] يمكن دراسة الأنظمة في الأطر ذات الحبيبات الخشنة أو الأطر الأولية اعتمادًا على الدقة المطلوبة. تسمح المحاكاة الحاسوبية بمراقبة البيئة المحلية لجزيء معين لمعرفة ما إذا كان يحدث تفاعل كيميائي على سبيل المثال. في الحالات التي لا يكون فيها من الممكن إجراء تجربة فيزيائية، يمكن إجراء تجارب فكرية (على سبيل المثال: كسر الروابط، أو إدخال شوائب في مواقع محددة، أو تغيير البنية المحلية/العالمية، أو إدخال مجالات خارجية).

تتبع المسار ، والذي يُشار إليه أحيانًا باسم تتبع أشعة مونت كارلو، يعرض مشهدًا ثلاثي الأبعاد من خلال تتبع عينات عشوائية من مسارات الضوء المحتملة. سيؤدي أخذ العينات المتكررة لأي بكسل معين في النهاية إلى تقارب متوسط ​​العينات على الحل الصحيح لمعادلة العرض ، مما يجعله أحد أكثر طرق عرض الرسومات ثلاثية الأبعاد دقة من الناحية الفيزيائية الموجودة.

تم وضع معايير تجارب مونت كارلو في الإحصاء بواسطة ساويلوفسكي. ^[76] في الإحصاء التطبيقي، يمكن استخدام طرق مونت كارلو لأربعة أغراض على الأقل:

1. لمقارنة الإحصاءات المتنافسة للعينات الصغيرة في ظل ظروف بيانات واقعية. على الرغم من أنه يمكن حساب خطأ النوع الأول وخصائص القوة للإحصاءات للبيانات المأخوذة من التوزيعات النظرية الكلاسيكية ( على سبيل المثال ، المنحنى الطبيعي ، وتوزيع كوشي ) للظروف المقاربة ( أي حجم العينة اللانهائي وتأثير المعالجة الصغير للغاية)، فإن البيانات الحقيقية غالبًا لا تحتوي على مثل هذه التوزيعات. ^[77]
2. توفير تنفيذات لاختبارات الفرضيات التي تكون أكثر كفاءة من الاختبارات الدقيقة مثل اختبارات التباديل (والتي غالبًا ما يكون من المستحيل حسابها) بينما تكون أكثر دقة من القيم الحرجة للتوزيعات المقاربة .
3. لتوفير عينة عشوائية من التوزيع الخلفي في الاستدلال البايزي . تقوم هذه العينة بعد ذلك بتقريب وتلخيص جميع السمات الأساسية للتوزيع الخلفي.
4. لتوفير تقديرات عشوائية فعالة لمصفوفة هيسيان لدالة الاحتمال اللوغاريتمي السالبة التي يمكن حساب متوسطها لتشكيل تقدير لمصفوفة معلومات فيشر . ^{[78] [79]}

إن أساليب مونت كارلو تشكل أيضاً حلاً وسطاً بين الاختبارات العشوائية التقريبية واختبارات التباديل. ويستند اختبار العشوائية التقريبية إلى مجموعة فرعية محددة من كل التباديل (وهو ما يستلزم قدراً هائلاً من العناية والتنظيم فيما يتصل بالتباديل التي تم أخذها في الاعتبار). أما أسلوب مونت كارلو فيستند إلى عدد محدد من التباديل المرسومة عشوائياً (مع استبدال الخسارة الطفيفة في الدقة إذا تم رسم التباديل مرتين ـ أو أكثر من مرة ـ بكفاءة عدم الاضطرار إلى تتبع التباديل التي تم اختيارها بالفعل).

تم تطوير أساليب مونت كارلو إلى تقنية تسمى البحث الشجري لمونت كارلو وهي مفيدة للبحث عن أفضل حركة في اللعبة. يتم تنظيم الحركات المحتملة في شجرة بحث ويتم استخدام العديد من المحاكاة العشوائية لتقدير الإمكانات طويلة المدى لكل حركة. يمثل محاكي الصندوق الأسود تحركات الخصم. ^[80]

تتضمن طريقة البحث الشجري لمونت كارلو (MCTS) أربع خطوات: ^[81]

1. ابدأ من عقدة الجذر للشجرة، ثم حدد العقد الفرعية المثالية حتى الوصول إلى عقدة الورقة.
2. قم بتوسيع عقدة الورقة واختر أحد أبنائها.
3. قم بلعب لعبة محاكاة بدءًا من تلك العقدة.
4. استخدم نتائج تلك اللعبة المحاكاة لتحديث العقدة وأسلافها.

إن التأثير الصافي، على مدار العديد من الألعاب المحاكاة، هو أن قيمة العقدة التي تمثل حركة سترتفع أو تنخفض، ومن المأمول أن يتوافق ذلك مع ما إذا كانت تلك العقدة تمثل حركة جيدة أم لا.

تم استخدام Monte Carlo Tree Search بنجاح لتشغيل ألعاب مثل Go ، ^[82] Tantrix ، ^[83] Battleship ، ^[84] Havannah ، ^[85] و Arimaa . ^[86]

تعتبر طرق مونت كارلو فعالة أيضًا في حل معادلات التفاضل التكاملية المقترنة لحقول الإشعاع ونقل الطاقة، وبالتالي تم استخدام هذه الطرق في حسابات الإضاءة العالمية التي تنتج صورًا واقعية للصور من نماذج ثلاثية الأبعاد افتراضية، مع تطبيقات في ألعاب الفيديو والهندسة المعمارية والتصميم والأفلام المولدة بواسطة الكمبيوتر والمؤثرات السينمائية الخاصة. ^[87]

يستخدم خفر السواحل الأمريكي طرق مونت كارلو ضمن برنامج النمذجة الحاسوبية SAROPS من أجل حساب المواقع المحتملة للسفن أثناء عمليات البحث والإنقاذ . يمكن لكل محاكاة توليد ما يصل إلى عشرة آلاف نقطة بيانات موزعة عشوائيًا بناءً على المتغيرات المقدمة. ^[88] ثم يتم إنشاء أنماط البحث بناءً على استقراء هذه البيانات من أجل تحسين احتمال الاحتواء (POC) واحتمال الكشف (POD)، والتي تساوي معًا احتمال النجاح الإجمالي (POS). في النهاية، يعمل هذا كتطبيق عملي لتوزيع الاحتمالات من أجل توفير أسرع وأكثر الطرق ملاءمة للإنقاذ، مما ينقذ الأرواح والموارد. ^[89]

تُستخدم محاكاة مونت كارلو عادةً لتقييم المخاطر وعدم اليقين اللذين قد يؤثران على نتائج خيارات القرار المختلفة. تسمح محاكاة مونت كارلو لمحلل مخاطر الأعمال بدمج التأثيرات الكلية لعدم اليقين في متغيرات مثل حجم المبيعات وأسعار السلع والعمالة وأسعار الفائدة والصرف، فضلاً عن تأثير أحداث المخاطر المتميزة مثل إلغاء العقد أو تغيير قانون الضرائب.

غالبًا ما تُستخدم طرق مونت كارلو في التمويل لتقييم الاستثمارات في المشاريع على مستوى وحدة الأعمال أو الشركة، أو التقييمات المالية الأخرى. يمكن استخدامها لنمذجة جداول المشروع ، حيث تجمع المحاكاة التقديرات لأسوأ الحالات وأفضل الحالات والأكثر احتمالية لفترات كل مهمة لتحديد النتائج للمشروع الإجمالي. ^[90] تُستخدم طرق مونت كارلو أيضًا في تسعير الخيارات وتحليل مخاطر التخلف عن السداد. ^{[91] [92]} بالإضافة إلى ذلك، يمكن استخدامها لتقدير التأثير المالي للتدخلات الطبية. ^[93]

تم استخدام نهج مونت كارلو لتقييم القيمة المحتملة لبرنامج مقترح لمساعدة مقدمات الالتماسات في ولاية ويسكونسن على النجاح في طلباتهن للحصول على أوامر تقييدية للتحرش والعنف المنزلي . وقد تم اقتراح مساعدة النساء على النجاح في التماساتهن من خلال تزويدهن بمزيد من المناصرة وبالتالي تقليل خطر الاغتصاب والاعتداء الجسدي . ومع ذلك، كان هناك العديد من المتغيرات التي لا يمكن تقديرها بشكل مثالي، بما في ذلك فعالية أوامر التقييد ومعدل نجاح مقدمي الالتماسات مع أو بدون مناصرة، والعديد من المتغيرات الأخرى. أجرت الدراسة تجارب تباينت فيها هذه المتغيرات للتوصل إلى تقدير إجمالي لمستوى نجاح البرنامج المقترح ككل. ^[94]

كما تم استخدام نهج مونت كارلو لمحاكاة عدد منشورات الكتب بناءً على نوع الكتاب في ماليزيا. استخدمت محاكاة مونت كارلو بيانات منشورات الكتب الوطنية المنشورة سابقًا وسعر الكتاب وفقًا لنوع الكتاب في السوق المحلية. تم استخدام نتائج مونت كارلو لتحديد نوع الكتاب الذي يحبه الماليزيون وتم استخدامها لمقارنة منشورات الكتب بين ماليزيا واليابان . [ ^95]

يكتب نسيم نيكولاس طالب عن مولدات مونت كارلو في كتابه الصادر عام 2001 بعنوان "مخدوعون بالعشوائية" كمثال حقيقي لاختبار تورينج العكسي : يمكن اعتبار الإنسان غير ذكي إذا لم يكن من الممكن التمييز بين كتابته وبين الكتابة المولدة.

بشكل عام، تُستخدم طرق مونت كارلو في الرياضيات لحل مشكلات متنوعة عن طريق توليد أرقام عشوائية مناسبة (انظر أيضًا توليد أرقام عشوائية ) وملاحظة ذلك الجزء من الأرقام الذي يطيع خاصية أو خصائص معينة. تُعد الطريقة مفيدة للحصول على حلول عددية للمشكلات المعقدة للغاية بحيث يصعب حلها تحليليًا. التطبيق الأكثر شيوعًا لطريقة مونت كارلو هو تكامل مونت كارلو.

تعمل خوارزميات التكامل العددي الحتمي بشكل جيد في عدد صغير من الأبعاد، ولكنها تواجه مشكلتين عندما تحتوي الدوال على العديد من المتغيرات. أولاً، يزداد عدد تقييمات الدوال المطلوبة بسرعة مع عدد الأبعاد. على سبيل المثال، إذا وفرت 10 تقييمات دقة كافية في بُعد واحد، فستكون هناك حاجة إلى 10 ¹⁰⁰ نقطة لـ 100 بُعد - وهو عدد كبير جدًا بحيث لا يمكن حسابه. وهذا ما يسمى بلعنة الأبعاد . ثانيًا، قد تكون حدود المنطقة متعددة الأبعاد معقدة للغاية، لذلك قد لا يكون من الممكن تقليل المشكلة إلى تكامل متكرر . ^[96] 100 بُعد ليس أمرًا غير عادي بأي حال من الأحوال، لأنه في العديد من المشكلات الفيزيائية، يكون "البعد" معادلًا لدرجة الحرية .

توفر طرق مونت كارلو طريقة للخروج من هذه الزيادة الأسيّة في وقت الحساب. طالما أن الدالة المعنية تتصرف بشكل جيد إلى حد معقول ، فيمكن تقديرها من خلال اختيار نقاط عشوائيًا في فضاء مكون من 100 بُعد، وأخذ نوع من متوسط ​​قيم الدالة عند هذه النقاط. وفقًا لنظرية الحد المركزي ، تُظهر هذه الطريقة التقارب - أي أن مضاعفة عدد النقاط المأخوذة من العينة أربع مرات يقلل الخطأ إلى النصف، بغض النظر عن عدد الأبعاد. ^[96]${\displaystyle \scriptstyle 1/{\sqrt {N}}}$

يتضمن تحسين هذه الطريقة، والمعروف باسم أخذ العينات حسب الأهمية في الإحصاء، أخذ عينات من النقاط بشكل عشوائي، ولكن في كثير من الأحيان حيث يكون المتكامل كبيرًا. للقيام بذلك بدقة، يجب أن يكون المرء على علم بالتكامل بالفعل، ولكن يمكن للمرء تقريب التكامل من خلال تكامل دالة مماثلة أو استخدام روتينات تكيفية مثل أخذ العينات الطبقية ، أو أخذ العينات الطبقية المتكررة ، أو أخذ العينات المظلية التكيفية ^{[97] [98]} أو خوارزمية VEGAS .

يستخدم نهج مماثل، وهو طريقة مونت كارلو شبه ، تسلسلات ذات تباين منخفض . تملأ هذه التسلسلات المنطقة بشكل أفضل وتأخذ عينات من النقاط الأكثر أهمية بشكل أكثر تكرارًا، وبالتالي يمكن لطرق مونت كارلو شبه أن تتقارب غالبًا مع التكامل بشكل أسرع.

فئة أخرى من الطرق لأخذ عينات من النقاط في حجم ما هي محاكاة المشي العشوائي عليها ( سلسلة ماركوف مونت كارلو ). تتضمن هذه الطرق خوارزمية متروبوليس-هاستينجز ، وعينات جيبس ، وخوارزمية وانج ولانداو ، ومنهجيات MCMC من النوع المتفاعل مثل أجهزة أخذ العينات المتسلسلة مونت كارلو . ^[99]

هناك تطبيق آخر قوي وشائع جدًا للأرقام العشوائية في المحاكاة العددية وهو التحسين العددي . تكمن المشكلة في تقليل (أو تعظيم) وظائف بعض المتجهات التي غالبًا ما يكون لها أبعاد عديدة. يمكن صياغة العديد من المشكلات بهذه الطريقة: على سبيل المثال، يمكن اعتبار برنامج شطرنج الكمبيوتر وكأنه يحاول العثور على مجموعة من 10 حركات على سبيل المثال والتي تنتج أفضل دالة تقييم في النهاية. في مشكلة بائع السفر ، الهدف هو تقليل المسافة المقطوعة. هناك أيضًا تطبيقات لتصميم الهندسة، مثل تحسين التصميم متعدد التخصصات . تم تطبيقه مع نماذج شبه أحادية البعد لحل مشاكل ديناميكيات الجسيمات من خلال استكشاف مساحة التكوين الكبيرة بكفاءة. المرجع ^[100] هو مراجعة شاملة للعديد من القضايا المتعلقة بالمحاكاة والتحسين.

إن مشكلة بائع السفر هي ما يسمى بمشكلة التحسين التقليدية. وهذا يعني أن كل الحقائق (المسافات بين كل نقطة وصول) اللازمة لتحديد المسار الأمثل الذي يجب اتباعه معروفة على وجه اليقين والهدف هو مراجعة خيارات السفر الممكنة للتوصل إلى الخيار الذي يتمتع بأقل مسافة إجمالية. وإذا لم يكن الهدف هو تقليل المسافة الإجمالية المقطوعة لزيارة كل وجهة مرغوبة بل تقليل الوقت الإجمالي اللازم للوصول إلى كل وجهة، فإن هذا يتجاوز التحسين التقليدي لأن وقت السفر غير مؤكد بطبيعته (الاختناقات المرورية، والوقت من اليوم، وما إلى ذلك). ونتيجة لهذا، فإن تحديد المسار الأمثل يتطلب محاكاة مختلفة: التحسين لفهم أولاً نطاق الأوقات المحتملة التي قد يستغرقها الانتقال من نقطة إلى أخرى (يمثلها توزيع الاحتمالات في هذه الحالة بدلاً من مسافة محددة) ثم تحسين قرارات السفر لتحديد أفضل مسار يجب اتباعه مع مراعاة هذا عدم اليقين.

تؤدي الصياغة الاحتمالية للمسائل العكسية إلى تعريف توزيع الاحتمالات في فضاء النموذج. يجمع توزيع الاحتمالات هذا بين المعلومات السابقة والمعلومات الجديدة التي تم الحصول عليها من خلال قياس بعض المعلمات القابلة للملاحظة (البيانات). وكما هو الحال في الحالة العامة، فإن النظرية التي تربط البيانات بمعلمات النموذج غير خطية، وقد لا يكون من السهل وصف الاحتمال اللاحق في فضاء النموذج (قد يكون متعدد الوسائط، وقد لا يتم تعريف بعض اللحظات، وما إلى ذلك).

عند تحليل مشكلة عكسية، لا يكون الحصول على نموذج أقصى احتمال كافياً عادةً، حيث تكون المعلومات حول قوة دقة البيانات مطلوبة عادةً. في الحالة العامة، يتم نمذجة العديد من المعلمات، وقد يكون فحص كثافات الاحتمال الهامشية محل الاهتمام غير عملي، أو حتى عديم الفائدة. ولكن من الممكن إنشاء مجموعة كبيرة من النماذج بشكل عشوائي وفقًا لتوزيع الاحتمالات اللاحق وتحليل النماذج وعرضها بطريقة يتم من خلالها نقل المعلومات حول الاحتمالات النسبية لخصائص النموذج إلى المتفرج. يمكن تحقيق ذلك عن طريق طريقة مونت كارلو الفعّالة، حتى في الحالات التي لا تتوفر فيها صيغة صريحة للتوزيع المسبق .

يمكن تعميم طريقة أخذ العينات ذات الأهمية الأكثر شهرة، وهي خوارزمية متروبوليس، وهذا يوفر طريقة تسمح بتحليل المشكلات العكسية (التي قد تكون غير خطية بدرجة كبيرة) مع معلومات وبيانات مسبقة معقدة مع توزيع ضوضاء عشوائي. ^{[101] [102]}

أجرى ماكراكين عرضًا شعبيًا لطريقة مونت كارلو. ^[103] وناقش إليشاكوف ^[104] وجرون-يانوف وويريتش الفلسفة العامة للطريقة. ^[105]

• الوسائط المتعلقة بطريقة مونت كارلو في ويكيميديا ​​كومنز